中考数学专题训练(二)认识三角形 浙教版
中考数学全等三角形 浙教版
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思考、探究： 思考、探究：
看了上面这 看了上面这些图 形，你发现了什么 共同特征？ 共同特征？
全等图形的定义
能够完全重 完全重 合的两个图 合的两个图形 叫做全等 全等图 叫做全等图形 .
全等三角形的对应边相等，对应角相等。 全等三角形的对应边相等，对应角相等。
例1、如图，两个等腰三角形ห้องสมุดไป่ตู้全等三角形。 、如图，两个等腰三角形是全等三角形。 请说出图中两个全等三角形通过何种运动可以 重合。并写出对应顶点、对应边、对应角。 重合。并写出对应顶点、对应边、对应角。
B C A D
E
B C A D
试一试： 试一试：
1、你能给出“全等三角形”的定义吗？ 、你能给出“全等三角形”的定义吗？ 2、你能构造一对全等三角形吗？ 、你能构造一对全等三角形吗？
翻折、平移、旋转是图形变换的三种形式。 翻折、平移、旋转是图形变换的三种形式
A l A’ A A’’
B A
C
C’
B’ B
C B’’
C’’
B
(C’’’) (C ) C B”’
B C
A D
E △ABC≌△ADE ≌
E △ABC≌△AED ≌
例2、如图，两个三角形是全等三角形。 、如图，两个三角形是全等三角形。 请说出图中两个全等三角形通过何种运动可 以重合。并写出对应顶点、对应边、对应角。 以重合。并写出对应顶点、对应边、对应角。
A
B D
C
E
F
A
B D
C E
F △ABC≌△FDE ≌
拓展、延伸： 拓展、延伸：
中考《三角形认识》复习练习题及答案
中考数学复习专题练习认识三角形一、选择题：1、一定在△ABC内部的线段是（）A．锐角三角形的三条高、三条角平分线、三条中线B．钝角三角形的三条高、三条中线、一条角平分线C．任意三角形的一条中线、二条角平分线、三条高D．直角三角形的三条高、三条角平分线、三条中线2、有5根小木棒，长度分别为2cm、3cm、4cm、5cm、6cm，任意取其中的3根小木棒首尾相接搭三角形，可搭出不同的三角形的个数为（）A．5个 B．6个 C．7个 D．8个3、如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（）A．3 B．4 C．6 D．54、如图，一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，拼成如下图形，其中∠C=90°，∠B=45°，∠E=30°，则∠BFD的度数是( )A．15° B．25° C．30° D．10°5、如图，在△ABC中，∠ACB=100°，AC=AE，BC=BD，则∠DCE的度数为（）A．20° B．25° C．30° D．40°6、一个多边形少加了一个内角时，它的度数和是1310°，则这个内角的度数为（）A．120° B．130° C．140° D．150°7、已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1：4，则这个等腰三角形顶角的度数为（）A．20°或100° B．120° C．20°或120° D．36°8、一个正多边形的每个内角都等于140°，那么它是正（）边形A．正六边形 B．正七边形 C．正八边形 D．正九边形9、如图所示，小华从A点出发，沿直线前进10米后左转24°，再沿直线前进10米，又向左转24°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走的路程是（）A．140米 B．150米 C．160米 D．240米10、如图，已知点D是△ABC的重心，连接BD并延长，交AC于点E，若AE=4，则AC的长度为（）A．6 B．8 C．10 D．1211、．光线a照射到平面镜CD上，然后在平面镜AB和CD之间来回反射，光线的反射角等于入射角．若已知∠1=52°，∠3=70°，则∠2是( )A．52° B．61° C．65° D．70°12、如图,在四边形ABCD中,E、F分别是AB、AD的中点.若EF=2,BC=5,CD=3,则tanC等于（）A. B. C. D.二、填空题:13、a、b、c为三角形的三条边，则= ．14、如图，△ABC的两条高线AD、BE交于点F，∠BAD=45°，∠C=60°，则∠BFD的度数为15、如果将长度为a﹣2，a+5和a+2的三根线段首尾顺次相接可以得到一个三角形,a取值范围是．16、一个三角形的两边长为8和10，若另一边为a，当a为最短边时，a的取值范围是；当a为最长边时，a的取值范围是 .17、已知△ABC 的三边长 a、b、c，化简│a＋b-c│-│b-a-c│的结果是 .18、将一副三角尺按如图所示的方式放置，使含30°角的三角尺的短直角边和含45°角的三角尺的一条直角边重合，则∠1的度数是．19、如图，∠2+∠3+∠4=320°，则∠1= ．20、如图，七星形中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= ．21、如图，将∠BAC沿DE向∠BAC内折叠，使AD与A′D重合，A′E与AE重合，若∠A=30°，则∠1+∠2= ．22、如图的七边形ABCDEFG中，AB、ED的延长线相交于O点．若图中∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为220°，则∠BOD的度数为．23、如图，已知矩形ABCD，一条直线将该矩形ABCD分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为M和N，则M+N= _．24、如图,一个面积为50平方厘米正方形与另一个小正方形并排放在一下起，则△ABC面积是平方厘米．三、简答题:25、如图,在△ABC中，AB=AC，AC边上的中线把三角形的周长分为24cm和30cm两部分,求三角形各边的长．26、如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线，（1）∠ABE=15°，∠BAD=35°，求∠BED的度数；（2）作出△BED的BD边上的高；（3）若△ABC的面积为60，BD=5，则点E到BC边的距离为多少？27、（1）如图，在△ABC中，∠B=40°，∠C=80°，AD⊥BC于D，且AE平分∠BAC，求∠EAD的度数．（2）上题中若∠B=40°，∠C=80°改为∠C＞∠B，其他条件不变，请你求出∠EAD与∠B、∠C之间的数列关系？并说明理由．28、如图，∠O=30°，任意裁剪的直角三角形纸板两条直角边所在直线与∠O的两边分别交于D、E两点．（1）如图1，若直角顶点C在∠O的边上，则∠ADO+∠OEB= 度；（2）如图2，若直角顶点C在∠O内部，求出∠ADO+∠OEB的度数；（3）如图3，如果直角顶点C在∠O外部，求出∠ADO+∠OEB的度数．29、如图（甲），D是△ABC的边BC的延长线上一点．∠ABC、∠ACD的平分线相交于P1．（1）若∠ABC=80°，∠ACB=40°，则∠P1的度数为；（2）若∠A=α，则∠P1的度数为；（用含α的代数式表示）（3）如图（乙），∠A=α，∠ABC、∠ACD的平分线相交于P1，∠P1BC、∠P1CD的平分线相交于P2，∠P2BC、∠P2CD的平分线相交于P3依此类推，则∠Pn的度数为（用n与α的代数式表示）30、阅读下列材料：某同学遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB=AC，BD是△ABC的高．P是BC边上一点，PM，PN分别与直线AB，AC垂直，垂足分别为点M，N．求证：．他发现，连接AP，有，即．由AB=AC，可得．他又画出了当点P在CB的延长线上，且上面问题中其他条件不变时的图形，如图2所示．他猜想此时BD，PM，PN之间的数量关系是：．请回答：（1）请补全以下该同学证明猜想的过程；证明：连接AP．∵，∴．∵AB=AC，∴．（2）参考该同学思考问题的方法，解决下列问题：在△ABC中，AB=AC=BC，BD是△ABC的高．P是△ABC所在平面上一点，PM，PN，PQ分别与直线AB，AC，BC垂直，垂足分别为点M，N，Q．①如图3，若点P在△ABC 的内部，则BD，PM，PN，PQ之间的数量关系是：；②若点P在如图4所示位置,利用图4探究得出此时BD，PM，PN，PQ之间数量关系是：．31、已知锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，M是线段BC的中点，连接DM、EM.（1）若DE=3，BC=8，求△DME的周长；（2）若∠A=60°，求证：∠DME=60°；（3）若BC2=2DE2，求∠A的度数．参考答案1、A.2、C．3、A．4、A．5、D．6、B．7、C．8、D.9、B．10、B．11、B．12、B.13、答案为：2a．14、答案为：60° 15、答案为：a＞5．16、答案为：2<a≤8,10≤a<18.17、答案为：2b-2c. 18、答案为：75°．19、答案为：40°．20、答案为：180°．21、答案为：60°．22、答案为：40°.23、答案为:360°或540°或720°．24、答案为25．25、解：设AB=AC=2，则AD=CD=，（1）当AB＋AD=30，BC＋CD=24时，有2=30，∴ =10，2 =20，BC=24－10=14.三边长分别为：20 cm，20 cm，14 cm．（2）当AB＋AD=24，BC＋CD=30时，有=24，∴ =8，，BC=30－8=22.三边长分别为：16 cm，16 cm，22 cm．26、解：（1）∵∠BED是△ABE的一个外角，∴∠BED=∠ABE+∠BAD=15°+35°=50°。
2019—2020年最新浙教版八年级数学上册《三角形的初步认识》全章测试题及答案解析.docx
第1章三角形的初步认识章节检测一．选择题（共10小题，每题3分，共30分）1．现有长度分别为2cm、4cm、6cm、8cm的木棒，从中任取三根，能组成三角形的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．42．下列命题：①对顶角相等；②同位角相等，两直线平行；③若a=b，则|a|=|b|；④若x=0，则x2﹣2x=0它们的逆命题一定成立的有（）A．①②③④B．①④C．②④D．②3．如图，在△ABC中，D、E分别是AC、BC上的点，若△ADB≌△EDB≌△EDC，则∠C的度数是（）A．15° B．20° C．25° D．30°4．△ABC中，已知∠A、∠B、∠C的度数之比是1：2：3，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形5．如图所示，∠E=∠F，∠B=∠C，AE=AF，以下结论：①∠FAN=∠EAM；②EM=FN；③△ACN≌△ABM；④CD=DN．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．三角形的三边长分别为5，8，x，则最长边x的取值范围是（）A．3＜x＜8 B．5＜x＜13 C．3＜x＜13 D．8＜x＜137．如图，在Rt△ADB中，∠D=90°，C为AD上一点，∠ACB=6x，则x值可以是（）A．10° B．20° C．30° D．40°8．给出下列关于三角形的条件：①已知三边；②已知两边及其夹角；③已知两角及其夹边；④已知两边及其中一边的对角．利用尺规作图，能作出唯一的三角形的条件是（）A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④9．如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，已知EH=EB=3，AE=4，则CH的长是（）A．4 B．5 C．1 D．210．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，CD⊥BC，BC=CD，O是BD的中点，E 是CD延长线上一点，作OF⊥OE交DA的延长线于F，OE交AD于H，OF交AB于G，FO的延长线交CD于K，以下结论：①OE=OF；②OH=FG；③DF﹣DE=；④S四边形OHDK=S△BCD，其中正确的结论是（）A．①②③B．①④C．①③④D．②③二．填空题（共7小题，每题3分，共21分）11．如图，△ABC三边的中线AD、BE、CF的公共点为G，若S△ABC=12，则图中阴影部分的面积是______．12．已知三条不同的直线a，b，c在同一平面内，下列四个命题：①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c；②如果b∥a，c∥a，那么b⊥c；③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c．其中真命题的是______．（填写所有真命题的序号）13．（2015秋•岳池县期末）如图，△AEB≌△ACD，AB=10cm，∠A=60°，∠ADC=90°，则AD=______．14．数学中的命题常可以写成“如果…那么…”的形式，这时“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论．请你将命题“同角的补角相等”改写成“如果…那么…”的形式：______．15．如图，已知AB∥CF，E为DF的中点，若AB=7cm，CF=4cm，则BD=______cm．16．如图，已知AD是△ABC的角平分线，在不添加任何辅助线的前提下，要使△AED≌△AFD，需添加一个条件是：______．17．已知，∠AOB．求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′=∠AOB．作法：（1）以______为圆心，______为半径画弧．分别交OA，OB于点C，D．（2）画一条射线O′A′，以______为圆心，______长为半径画弧，交O′A′于点C′，（3）以点______为圆心______长为半径画弧，与第2步中所画的弧交于点D′．（4）过点______画射线O′B′，则∠A′O′B′=∠AOB．三．解答题（共7小题，18，19每题6分，20,21,22每题8分，23题9分，24题12分）18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．（1）用尺规在边BC上求作一点P，使PA=PB（不写作法，保留作图痕迹）（2）连接AP，当∠B为______度时，AP平分∠CAB．19．如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB=50°，∠C=60°，求∠DAE和∠BOA的度数．20．已知：∠MON=40°，OE平分∠MON，点A、B、C分别是射线OM、OE、ON上的动点（A、B、C不与点O 重合），连接AC交射线OE于点D．设∠OAC=x°．（1）如图1，若AB∥ON，则①∠ABO的度数是______；②当∠BAD=∠ABD时，x=______；当∠BAD=∠BDA时，x=______．（2）如图2，若AB⊥OM，则是否存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．21．如图，有三个论断①∠1=∠2；②∠B=∠D；③∠A=∠C，请从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，并证明该命题的正确性．22．如图，在图中的两个三角形是全等三角形，其中A和D、B和E是对应点．（1）用符号“≌“表示这两个三角形全等（要求对应顶点写在对应位置上）；（2）写出图中相等的线段和相等的角；（3）写出图中互相平行的线段，并说明理由．23．如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE=BD，连结AE、DE、DC．①求证：△ABE≌△CBD；②若∠CAE=30°，求∠BDC的度数．24．（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明：DE=BD+CE．（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF 均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状．第1章三角形的初步认识章节检测参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．现有长度分别为2cm、4cm、6cm、8cm的木棒，从中任取三根，能组成三角形的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据三角形的三边关系定理，只要满足任意两边的和大于第三边，即可确定有哪三个木棒组成三角形．【解答】解：能组成三角形的三条线段是：4cm、6cm、8cm．只有一种结果．故选A．【点评】考查三角形的边时，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．2．下列命题：①对顶角相等；②同位角相等，两直线平行；③若a=b，则|a|=|b|；④若x=0，则x2﹣2x=0它们的逆命题一定成立的有（）A．①②③④B．①④C．②④D．②【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再根据课本中的性质定理进行判断，即可得出答案．【解答】解：①对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，错误；②同位角相等，两直线平行的逆命题是两直线平行，同位角相等，成立；③若a=b，则|a|=|b|的逆命题是如果|a|=|b，|则a=b，错误；④若x=0，则x2﹣2x=0的逆命题是如果x2﹣2x=0，则x=0或x=2，错误；故选D．【点评】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．3．如图，在△ABC中，D、E分别是AC、BC上的点，若△ADB≌△EDB≌△EDC，则∠C的度数是（）A．15° B．20° C．25° D．30°【分析】根据全等三角形的性质得到AB=BE=EC，∠ABC=∠DBE=∠C，根据直角三角形的判定得到∠A=90°，计算即可．【解答】解：∵△ADB≌△EDB≌△EDC，∴AB=BE=EC，∠ABD=∠DBE=∠C，∴∠A=90°，∴∠C=30°，故选：D．【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键．4．△ABC中，已知∠A、∠B、∠C的度数之比是1：2：3，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形【分析】根据三角形的内角和公式和直角三角形的判定不难求得各角的度数，从而可判定其形状．【解答】解：设三个角的度数分别为x，2x，3x，则根据三角形内角和定理可求出三个角分别为30度，60度，90度，因而是直角三角形．故选B．【点评】本题考查了直角三角形的判定：可用一角等于90度来判定．5．如图所示，∠E=∠F，∠B=∠C，AE=AF，以下结论：①∠FAN=∠EAM；②EM=FN；③△ACN≌△ABM；④CD=DN．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】由AAS证明△ABE≌△ACF（AAS），得出∠BAE=∠CAF，得出①正确；由ASA证明△AEM≌△AFN，得出对应边相等②正确；由AAS证明△ACN≌△ABM，得出③正确．【解答】解：在△ABE和△ACF中，，∴△ABE≌△ACF（AAS），∴∠BAE=∠CAF，∴∠FAN=∠EAM，∴①正确；在△AEM和△AFN中，，∴△AEM≌△AFN（ASA），∴EM=FN，AM=AN，∴②正确；在△ACN和△ABM中，，∴△ACN≌△ABM（AAS），∴③正确，④不正确；正确的结论有3个．故选：C．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质；熟练掌握全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．6．三角形的三边长分别为5，8，x，则最长边x的取值范围是（）A．3＜x＜8 B．5＜x＜13 C．3＜x＜13 D．8＜x＜13【分析】根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边的取值范围，再根据x是最长边求解．【解答】解：∵5+8=13，8﹣5=3，∴3＜x＜13，又∵x是三角形中最长的边，∴8＜x＜13．故选D．【点评】本题考查了三角形的三边关系，需要注意x是三角形最长边的条件，这是本题最容易出错的地方．7．如图，在Rt△ADB中，∠D=90°，C为AD上一点，∠ACB=6x，则x值可以是（）A．10° B．20° C．30° D．40°【分析】根据三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角可得∠ACB＞90°，再根据∠ACB是钝角小于180°列式，然后求解即可．【解答】解：根据三角形的外角性质，∠ACB=6x＞90°，解得x＞15°，∵∠ACB是钝角，∴6x＜180°，∴x＜30°，∴15°＜x＜30°，纵观各选项，只有20°符合．故选B．【点评】本题考查了三角形的外角性质，要注意∠ACB小于180°的暗含条件．8．给出下列关于三角形的条件：①已知三边；②已知两边及其夹角；③已知两角及其夹边；④已知两边及其中一边的对角．利用尺规作图，能作出唯一的三角形的条件是（）A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④【分析】根据全等三角形的判定的知识判断．【解答】解：①是边边边（SSS）；②是两边夹一角（SAS）；③两角夹一边（ASA）都成立．根据三角形全等的判定，都可以确定唯一的三角形；而④则不能．故选A．【点评】本题主要考查了作图的理论依据．9．如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，已知EH=EB=3，AE=4，则CH的长是（）A．4 B．5 C．1 D．2【分析】由AD垂直于BC，CE垂直于AB，利用垂直的定义得到一对角为直角，再由一对对顶角相等，利用三角形的内角和定理得到一对角相等，再由一对直角相等，以及一对边相等，利用AAS得到三角形AEH与三角形EBC全等，由全等三角形的对应边相等得到AE=EC，由EC﹣EH，即AE﹣EH即可求出HC的长．【解答】解：∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠ADB=∠AEH=90°，∵∠AHE=∠CHD，∴∠BAD=∠BCE，∵在△HEA和△BEC中，，∴△HEA≌△BEC（AAS），∴AE=EC=4，则CH=EC﹣EH=AE﹣EH=4﹣3=1．故选C【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．10．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，CD⊥BC，BC=CD，O是BD的中点，E 是CD延长线上一点，作OF⊥OE交DA的延长线于F，OE交AD于H，OF交AB于G，FO的延长线交CD于K，以下结论：①OE=OF；②OH=FG；③DF﹣DE=；④S四边形OHDK=S△BCD，其中正确的结论是（）A．①②③B．①④C．①③④D．②③【分析】连接OC，根据题意，推出OC=OD=OB，∠OCK=∠ODH=45°，∠DOH=∠COK，得△DOH≌△COK，得OH=OK，即可推出△FOH≌△EOK，即可①OE=OF，然后根据结论①，推出△FOD≌△EOC，得CE=DF，由等腰直角三角形BCD，得CD=，即可推出结论③，结合图形S△BCD=S△OCK+S△DOK，结合△DOH≌△COK，即可推出结论④．【解答】解：∵O为BD中点，BC=CD，BC⊥CD，∴OC=OD=OB，∠OCK=∠ODH=45°，OC⊥BD，∵EO⊥FO，∴∠DOH=∠COK，∴△DOH≌△COK，∴OH=OK，∠EKO=∠FHO，∴△FOH≌△EOK，∴OE=OF，∵△DOH≌△COK，∴∠EOD=∠KOC，∴∠FOD=∠EOC，∵∠OCK=∠ODH=45°，OC=OD，∴△FOD≌△EOC，∴CE=DF，∵CD=，∴CE﹣DE=；∴DF﹣DE=；∵△DOH≌△COK，∵S△BOC=S△DOC，∴S四边形OHDK=S△OCK+S△DOK=S△BCD．故选择C．【点评】本题主要考查全等三角形的判定、等腰直角三角形的性质、直角梯形的性质，解题的关键在于根据题意连接OC，求证△DOH≌△COK，推出△FOH≌△EOK 结论①，在结论①基础上即可推出结论③和结论④．二．填空题（共7小题）11．如图，△ABC三边的中线AD、BE、CF的公共点为G，若S△ABC=12，则图中阴影部分的面积是 4 ．【分析】根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分，知△ABC的面积即为阴影部分的面积的3倍．【解答】解：∵△ABC的三条中线AD、BE，CF交于点G，∴S△CGE=S△AGE=S△ACF，S△BGF=S△BGD=S△BCF，∵S△ACF=S△BCF=S△ABC=×12=6，∴S△CGE=S△ACF=×6=2，S△BGF=S△BCF=×6=2，∴S阴影=S△CGE+S△BGF=4．故答案为4．【点评】根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分，该图中，△BGF 的面积=△BGD的面积=△CGD的面积，△AGF的面积=△AGE的面积=△CGE的面积．12．已知三条不同的直线a，b，c在同一平面内，下列四个命题：①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c；②如果b∥a，c∥a，那么b⊥c；③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c．其中真命题的是①④．（填写所有真命题的序号）【分析】根据平行线的判定定理与性质对各小题进行逐一分析即可．【解答】解：①∵a∥b，a⊥c，∴b⊥c，①是真命题；②∵b∥a，c∥a，∴b∥c，∴②是假命题；③∵b⊥a，c⊥a，∴b∥c，∴③是假命题；④∵b⊥a，c⊥a，∴b∥c，④是真命题．故答案为：①④．【点评】本题考查的是命题与定理，熟知在同一平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行是解答此题的关键．13．如图，△AEB≌△ACD，AB=10cm，∠A=60°，∠ADC=90°，则AD= 5cm ．【分析】根据勾股定理求出∠C的度数，根据全等三角形的性质得到AC=AB=10cm，根据直角三角形的性质解答即可．【解答】解：∵∠A=60°，∠ADC=90°，∴∠C=30°，∵△AEB≌△ACD，∴AC=AB=10cm，∴AD=AC=5cm．故答案为：5cm．【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键．14．数学中的命题常可以写成“如果…那么…”的形式，这时“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论．请你将命题“同角的补角相等”改写成“如果…那么…”的形式：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等．【分析】把命题的题设和结论，写成“如果…那么…”的形式即可．【解答】解：把命题“同角的补角相等”改写成“如果…那么…”的形式为：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等；故答案为：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等．【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，把一个命题写成“如果…那么…”形式是解决问题的关键．15．如图，已知AB∥CF，E为DF的中点，若AB=7cm，CF=4cm，则BD= 3 cm．【分析】根据平行的性质求得内错角相等，根据ASA得出△ADE≌△CFE，从而得出AD=CF，已知AB，CF的长，即可得出BD的长．【解答】解：∵AB∥FC，∴∠ADE=∠EFC，∵E是DF的中点，∴DE=EF，在△ADE与△CFE中，，∴△ADE≌△CFE（ASA），∴AD=CF=4cm，∴BD=AB﹣AD=7﹣4=3（cm）．故答案为：3．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．16．如图，已知AD是△ABC的角平分线，在不添加任何辅助线的前提下，要使△AED≌△AFD，需添加一个条件是：AE=AF或∠EDA=∠FDA ．【分析】要证两三角形全等的判定，已经有∠EAD=∠FAD，AD=AD，所以再添加一对边或一对角相等即可得证．【解答】解：①添加条件：AE=AF，证明：在△AED与△AFD中，∵AE=AF，∠EAD=∠FAD，AD=AD，∴△AED≌△AFD（SAS），②添加条件：∠EDA=∠FDA，证明：在△AED与△AFD中，∵∠EAD=∠FAD，AD=AD，∠EDA=∠FDA，∴△AED≌△AFD（ASA）．故答案为：AE=AF或∠EDA=∠FDA．【点评】本题是开放性题目，主要考查三角形全等的判定方法，只要符合题意即可．全等三角形的判定方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．17．已知，∠AOB．求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′=∠AOB．作法：（1）以O 为圆心，任意长为半径画弧．分别交OA，OB于点C，D．（2）画一条射线O′A′，以O′为圆心，OC 长为半径画弧，交O′A′于点C′，（3）以点C′为圆心CD 长为半径画弧，与第2步中所画的弧交于点D′．（4）过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′=∠AOB．【分析】利用作一个角等于已知角的基本方法求解即可．【解答】解：已知，∠AOB．求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′=∠AOB．作法：（1）以O为圆心，任意长为半径画弧．分别交OA，OB于点C，D．（2）画一条射线O′A′，以O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′，（3）以点C为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧交于点D′．（4）过点D′画射线O′B′′，则∠AO′B′=∠AOB．故答案为：O，任意长，O′，OC，C′，CD，D′．【点评】本题主要考查了基本作图，解题的关键是熟记作一个角等于已知角．三．解答题（共8小题）18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．（1）用尺规在边BC上求作一点P，使PA=PB（不写作法，保留作图痕迹）（2）连接AP，当∠B为30 度时，AP平分∠CAB．【分析】（1）运用基本作图方法，中垂线的作法作图，（2）求出∠PAB=∠PAC=∠B，运用直角三角形解出∠B．【解答】解：（1）如图，（2）如图，∵PA=PB，∴∠PAB=∠B，如果AP是角平分线，则∠PAB=∠PAC，∴∠PAB=∠PAC=∠B，∵∠ACB=90°，∴∠PAB=∠PAC=∠B=30°，∴∠B=30°时，AP平分∠CAB．故答案为：30．【点评】本题主要考查了基本作图，角平分线的知识，解题的关键是熟记作图的方法及等边对等角的知识．19．如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB=50°，∠C=60°，求∠DAE和∠BOA的度数．【分析】先利用三角形内角和定理可求∠ABC，在直角三角形ACD中，易求∠DAC；再根据角平分线定义可求∠CBF、∠EAF，可得∠DAE的度数；然后利用三角形外角性质，可先求∠AFB，再次利用三角形外角性质，容易求出∠BOA．【解答】解：∵∠A=50°，∠C=60°∴∠ABC=180°﹣50°﹣60°=70°，又∵AD是高，∴∠ADC=90°，∴∠DAC=180°﹣90°﹣∠C=30°，∵AE、BF是角平分线，∴∠CBF=∠ABF=35°，∠EAF=25°，∴∠DAE=∠DAC﹣∠EAF=5°，∠AFB=∠C+∠CBF=60°+35°=95°，∴∠BOA=∠EAF+∠AFB=25°+95°=120°，∴∠DAC=30°，∠BOA=120°．故∠DAE=5°，∠BOA=120°．【点评】本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义、三角形外角性质．关键是利用角平分线的性质解出∠EAF、∠CBF，再运用三角形外角性质求出∠AFB．20．已知：∠MON=40°，OE平分∠MON，点A、B、C分别是射线OM、OE、ON上的动点（A、B、C不与点O 重合），连接AC交射线OE于点D．设∠OAC=x°．（1）如图1，若AB∥ON，则①∠ABO的度数是20°；②当∠BAD=∠ABD时，x= 120°；当∠BAD=∠BDA时，x= 60°．（2）如图2，若AB⊥OM，则是否存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．【分析】利用角平分线的性质求出∠ABO的度数是关键，分类讨论的思想．【解答】解：（1）①∵∠MON=40°，OE平分∠MON∴∠AOB=∠BON=20°∵AB∥ON∴∠ABO=20°②∵∠BAD=∠ABD∴∠BAD=20°∵∠AOB+∠ABO+∠OAB=180°∴∠OAC=120°∵∠BAD=∠BDA，∠ABO=20°∴∠BAD=80°∵∠AOB+∠ABO+∠OAB=180°∴∠OAC=60°故答案为：①20 ②120，60（2）①当点D在线段OB上时，若∠BAD=∠ABD，则x=20若∠BAD=∠BDA，则x=35若∠ADB=∠ABD，则x=50②当点D在射线BE上时，因为∠ABE=110°，且三角形的内角和为180°，所以只有∠BAD=∠BDA，此时x=125．综上可知，存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角，且x=20、35、50、125．【点评】本题考查了三角形的内角和定理和三角形的外角性质的应用，注意：三角形的内角和等于180°，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和．21．如图，有三个论断①∠1=∠2；②∠B=∠D；③∠A=∠C，请从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，并证明该命题的正确性．【分析】根据题意，请从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，根据平行线的判定和性质及对顶角相等进行证明．【解答】已知：∠B=∠D，∠A=∠C．求证：∠1=∠2．证明：∵∠A=∠C，∴AB∥CD．∴∠B=∠BFC．∵∠B=∠D，∴∠BFC=∠D．∴DE∥BF．∴∠DMN=∠BNM．∵∠1=∠DMN，∠2=∠BNM，∴∠1=∠2．【点评】证明的一般步骤：写出已知，求证，画出图形，再证明．22．如图，在图中的两个三角形是全等三角形，其中A和D、B和E是对应点．（1）用符号“≌“表示这两个三角形全等（要求对应顶点写在对应位置上）；（2）写出图中相等的线段和相等的角；（3）写出图中互相平行的线段，并说明理由．【分析】（1）根据图形和已知写出即可；（2）根据全等三角形的性质得出即可；（3）根据全等得出对应角相等，根据平行线的判定得出即可．【解答】解：（1）△ABC≌△DEF；（2）AB=DE，BC=EF，AC=DF；∠A=∠D，∠B=∠E，∠ACB=∠DFE；（3）BC∥EF，AB∥DE，理由是：∵△ABC≌△DEF，∴∠A=∠D，∠ACB=∠DFE，∴AB∥DE，BC∥EF．【点评】本题考查了全等三角形的性质和平行线的判定的应用，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等．23．如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE=BD，连结AE、DE、DC．①求证：△ABE≌△CBD；②若∠CAE=30°，求∠BDC的度数．【分析】①利用SAS即可得证；②由全等三角形对应角相等得到∠AEB=∠CDB，利用外角的性质求出∠AEB的度数，即可确定出∠BDC的度数．【解答】①证明：在△ABE和△CBD中，，∴△ABE≌△CBD（SAS）；②解：∵△ABE≌△CBD，∴∠AEB=∠BDC，∵∠AEB为△AEC的外角，∴∠AEB=∠ACB+∠CAE=30°+45°=75°，则∠BDC=75°．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及三角形的外角性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．24．（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明：DE=BD+CE．（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF 均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状．【分析】（1）根据BD⊥直线m，CE⊥直线m得∠BDA=∠CEA=90°，而∠BAC=90°，根据等角的余角相等得∠CAE=∠ABD，然后根据“AAS”可判断△ADB≌△CEA，则AE=BD，AD=CE，于是DE=AE+AD=BD+CE；（2）与（1）的证明方法一样；（3）由前面的结论得到△ADB≌△CEA，则BD=AE，∠DBA=∠CAE，根据等边三角形的性质得∠ABF=∠CAF=60°，则∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，则∠DBF=∠FAE，利用“SAS”可判断△DBF≌△EAF，所以DF=EF，∠BFD=∠AFE，于是∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°，根据等边三角形的判定方法可得到△DEF为等边三角形．【解答】证明：（1）∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，∴∠BDA=∠CEA=90°，∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°，∵∠BAD+∠ABD=90°，∴∠CAE=∠ABD，∵在△ADB和△CEA中，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE=BD，AD=CE，∴DE=AE+AD=BD+CE；（2）成立．∵∠BDA=∠BAC=α，∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°﹣α，∴∠CAE=∠ABD，∵在△ADB和△CEA中，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE=BD，AD=CE，∴DE=AE+AD=BD+CE；（3）△DEF是等边三角形．由（2）知，△ADB≌△CEA，BD=AE，∠DBA=∠CAE，∵△ABF和△ACF均为等边三角形，∴∠ABF=∠CAF=60°，∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，∴∠DBF=∠FAE，∵BF=AF在△DBF和△EAF中，∴△DBF≌△EAF（SAS），∴DF=EF，∠BFD=∠AFE，∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°，∴△DEF为等边三角形．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等边三角形的判定与性质．。
中考数学 专题系列——三角形教案 浙教版
2011中考专题系列五——三角形一、三角形的角平分线-中线-高1、三角形的角平分线在三角形中，一个内角的平分线与对边相交，这个顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线．如图，∠A的平分线与对边BC交于点D，那么线段AD叫做三角形的角平分线．一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部，它们相交于一点，这一点叫做三角形的内心．三角形角平分线的数学语言：2、三角形的中线在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线．如图，连接△ABC 的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的中线．一个三角形有三条中线，并且都在三角形的内部，它们相交于一点，这一点叫三角形的重心．三角形中线的数学语言：3、三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．如图，从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在的直线画垂线，垂足为D．那么线段AD叫△ABC的边BC上的高．三角形的高的数学语言：典型例题剖析例1、如图所示， BD 是△ABC 中∠ABC 的角平分线， CD 是△ABC的外角∠ACE 的平分线，它与 BD的延长线交于点 D，我们将会得到∠A=2∠D 这一结论，试想一想为什么，并加以说明.[解析]例2、如图，是甲、乙、丙、丁四位同学画的钝角△ABC的高BE，其中画错的是_________．[解析]例3、不等边△ABC的两边高分别为4和12，若第三边上的高也是整数，试求它的长．[解析]例4、如图，已知AD、AE分别是△ABC的高和中线，AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm，∠CAB=90°，试求：（1）AD的长；（2）△ABE的面积；（3）△AC E和△ABE周长的差．[解析]例5、如图， BD 、CD 分别平分∠ABC 和∠ACB.（1）若∠A=70°，求∠BDC 的度数；（2）试判断∠BDC 与∠A 的关系，并说明理由.二、三角形边角之间的关系 1、三角形的内角和等于1800。
浙江省2024届中考数学：第18讲《三角形与全等三角形》名师讲练(含答案)
第18讲 三角形与全等三角形1．三角形的概念及其分类⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧概念：由不在同始终线上的三条线段 相接所得到的图形叫做三角形.分类⎩⎪⎨⎪⎧按角分类⎩⎪⎨⎪⎧ 角三角形 角三角形 角三角形按边分类⎩⎪⎨⎪⎧不等边三角形等腰三角形⎩⎪⎨⎪⎧底与腰不相等的等腰三角形 三角形2．与三角形有关的线段考试内容考试要求高____________________三角形的三条高相交于三角形的内部；直角三角形的三条高相交于____________________；钝角三角形的三条高相交于三角形的外部．b中线三角形的三条中线相交于____________________，每一条中线都将三角形分成面积____________________的两部分．角平分线 三角形的三条角平分线相交于____________________，这个点是三角形的____________________，这个点到三边的距离____________________．三边关系三角形的两边之和____________________第三边，三角形的两边之差____________________第三边．c 稳定性 三角形具有稳定性，四边形没有稳定性．a 三角形的中位线定义连结三角形两边____________________的线段叫做三角形的中位线.c 性质三角形的中位线____________________第三边，并且等于第三边的____________________．3.与三角形有关的角考试内容考试要求定理三角形三个内角的和等于____________________． b c推论直角三角形的两个锐角____________________．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的____________________．4.全等三角形的性质与判定考试内容考试要求性质全等三角形的对应边____________________，对应角_____________． c判定判定1：三边分别相等的两个三角形全等(简写成“边边边”或“SSS”)； 判定2：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(简写成“边角边”或“SAS”)；判定3：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(简写成“角边角”或“ASA”)；判定4：两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等(简写成“角角边”或“AAS”)；判定5：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(简写成“斜边、直角边”或“HL”)．考试内容考试要求基本方法1.分析问题思索方法：(1)顺推分析：从已知条件动身，运用相应的定理，联合几个已知条件加以发展，一步一步地去靠近欲证目标；c(2)逆推分析：从欲证结论入手，分析达到欲证的可能途径，逐步沟通它与已知条件的联系，从而找到证明方法；(3)顺推分析与逆推分析相结合；(4)联想分析：对于一道与证明过的题目有类似之处的新题目，分析它们之间的相同点与不同点，尝试把对前一道题的思索转用于现在的题目中，从而找到它的解法．2.“截长法”和“补短法”是证明和差关系的重要方法，无论用哪一种方法都是要将线段的和差关系转化为证明线段相等的问题，因此添加协助线构造全等三角形是通向结论的桥梁．1．(2024·舟山)长度分别为2，7，x的三条线段能组成一个三角形，x的值可以是() A．4 B．5 C．6 D．92．(2024·衢州)如图，直线AB∥CD，∠A＝70°，∠C＝40°，则∠E等于()A．30°B．40°C．60°D．70°3．(2024·丽水)如图，在△ABC中，∠A＝63°，直线MN∥BC，且分别与AB，AC相交于点D，E，若∠AEN＝133°，则∠B的度数为____________________．4．(2024·温州)如图，在五边形ABCDE中，∠BCD＝∠EDC＝90°，BC＝ED，AC＝AD.(1)求证：△ABC≌△AED；(2)当∠B＝140°时，求∠BAE的度数．【问题】如图，在△ABC中，点D是边BC上一点，作射线AD.(1)若点D是BC的中点，你能得到什么结论？若AD是∠BAC的角平分线呢？(2)在线段AD及其延长线上分别取点E、F，DE＝DF，连结CE、BF.添加一个条件，使得△BDF≌△CDE，并加以证明．你添加的条件是________．(不添加协助线)．【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理中线、高、角平分线，以及三角形全等的判定，判定两个三角形全等，先依据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再依据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．类型一三角形的三边关系例1(2024·金华)下列各组数中，不行能成为一个三角形三边长的是()A．2，3，4 B．5，7，7 C．5，6，12 D．6，8，10【解后感悟】三角形的三边关系定理：随意两边之和大于第三边．只要满意两短边的和大于最长的边，就可以构成三角形．1．(1)(2024·杭州市下城区模拟)已知△ABC的三边长都是整数，且AB＝2，BC＝6，则△ABC的周长可能是()A．12 B．14 C．16 D．17(2)(2024·义乌模拟)如图，用四个螺丝将四条不行弯曲的木条围成一个木框(形态不限)，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依次为3、4、5、7，且相邻两木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框，则随意两个螺丝间的距离的最大值为()A．6 B．7 C．8 D．9(3)小明和小丽是同班同学，小明的家距学校2千米远，小丽的家距学校5千米远，设小明家距小丽家x千米远，则x的值应满意()A．x＝3 B．x＝7 C．x＝3或x＝7 D．3≤x≤7类型二三角形的内角、外角的性质例2(2024·衢州模拟)如图，锐角三角形ABC中，直线l为BC的垂直平分线，直线m 为∠ABC的角平分线，l与m相交于P点．若∠BAC＝60°，∠ACP＝24°，则∠ABP的度数为()A．24°B．30°C．32°D．36°【解后感悟】本题是线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质、角平分线的定义、三角形的内角和定理的运用，熟记各性质并列出关于∠ABP的方程是解题的关键．2．(1)(2024·宁波模拟)已知：△ABC的三个内角满意∠A＝2∠B＝3∠C，则△ABC是____________________三角形．(填“锐角”、“直角”、“钝角”)(2)(2024·舟山模拟)将正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放．假如∠3＝32°，那么∠1＋∠2＝____________________度．3．将一副三角板拼成如图所示的图形，过点C作CF平分∠DCE交DE于点F.(1)求证：CF∥AB；(2)求∠DFC的度数．类型三三角形的角平分线、中线和高例3如图，在△ABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高，∠B＝30°，∠C ＝80°，BE＝2，AF＝3，填空：(1)AB＝________．(2)∠BAD＝________．(3)∠DAF＝________．(4)S△AEC＝________．【解后感悟】理解三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理．揭示三线构建图形之间的联系．4．(1)(2024·长沙)如图，过△ABC的顶点A作BC边上的高，以下作法正确的是()(2)(2024·绵阳)如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线BE，CD相交于点F，∠ABC ＝42°，∠A＝60°，则∠BFC＝()A．118°B．119°C．120°D．121°5．(2024·广州)如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝33，AD＝3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点(含端点，但点M不与点B重合)，点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为____________________．6．△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC交BC于点E.(1)∠B＝30°，∠C＝70°，求∠EAD的大小；(2)若∠B<∠C，则2∠EAD与∠C－∠B是否相等？若相等，请说明理由．类型四三角形全等的判定的运用例4如图，点B，F，C，E在直线l上(F，C之间不能干脆测量)，点A，D在l异侧，测得AB＝DE，AC＝DF，BF＝EC.(1)求证：△ABC≌△DEF；(2)指出图中全部平行的线段，并说明理由【解后感悟】解题的关键是正确找寻证明三角形全等的条件，联想平行线的判定方法．7．(2024·温州模拟)在梯形ABCD中，AD∥BC，连结AC，且AC＝BC，在对角线AC 上取点E，使CE＝AD，连结BE.(1)求证：△DAC≌△ECB；(2)若CA平分∠BCD，且AD＝3，求BE的长．8．(2024·桂林模拟)如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE＝BD，连结AE、DE、DC.(1)求证：△ABE≌△CBD；(2)若∠CAE＝30°，求∠BDC的度数．类型五三角形全等的性质的运用例5如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE.(1)求证：CE＝CF；(2)若点G在AD上，且∠GCE＝45°，则GE＝BE＋GD成立吗？为什么？【解后感悟】证两条线段相等往往转化为证明这两条线段所在三角形全等，在其次问中通过全等找出和GE相等的线段，从而证出关系是不是成立．9．如图，小强利用全等三角形的学问测量池塘两端M、N的距离，假如△PQO≌△NMO，则只需测出其长度的线段是()A．PO B．PQ C．MO D．MQ10．如图，点D、E分别在AB、AC上．(1)已知：BD＝CE，CD＝BE，求证：AB＝AC；(2)分别将“BD＝CE”记为①，“CD＝BE”记为②，“AB＝AC”记为③.添加条件①、③，以②为结论构成命题1；添加条件②、③，以①为结论构成命题 2.命题1是________________命题，命题2是________________命题．(填“真”或“假”)【反思探讨题】(2024·义乌模拟)已知△ABC中，AB＝AC，BC＝6.点P从点B动身沿射线BA移动，同时点Q从点C动身沿线段AC的延长线移动，点P、Q移动的速度相同，PQ与直线BC 相交于点D.(1)如图1，过点P作PF∥AQ交BC于点F，求证：△PDF≌△QDC；(2)如图2，当点P为AB的中点时，求CD的长；(3)如图3，过点P作PE⊥BC于点E，在点P从点B向点A移动的过程中，线段DE 的长度是否保持不变？若保持不变，恳求出DE的长度，若变更，请说明理由．【方法与对策】运用全等三角形的判定与性质等，留意对比信息，尝试着用前一题的结论与方法去完成下一题，该题型是中考热点题型之一．【忽视全等三角形判定中边、角位置性】AB＝AC，D、E分别在AB、AC上，连结CD、BE，且CD＝BE，推断∠ADC和∠AEB 是否相等？若相等，请证明；若不相等，请说明理由．参考答案第18讲 三角形与全等三角形【考点概要】1．首尾顺次 锐 直 钝 等边 2.锐角 直角顶点 一点 相等 一点 内心 相等 大于 小于 中点 平行 一半 3.180° 互余 和 4.相等 相等【考题体验】1．C 2.A 3.70° 4.(1)∵AC ＝AD ，∴∠ACD ＝∠ADC ，又∵∠BCD ＝∠EDC ＝90°，∴∠ACB ＝∠ADE ，在△ABC 和△AED 中，⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝ED ，∠ACB ＝∠ADE AC ＝AD ，，∴△ABC ≌△AED (SAS )； (2)当∠B ＝140°时，∠E ＝140°，又∵∠BCD ＝∠EDC ＝90°，∴五边形ABCDE 中，∠BAE ＝540°－140°×2－90°×2＝80°.【学问引擎】【解析】(1)BD ＝DC ＝12BC ，S △ABD ＝S △ADC ；∠BAD ＝∠DAC ＝12∠BAC 等． (2)由已知∠EDC ＝∠FDB ，因为三角形全等条件中必需是三个元素，并且肯定有一组对应边相等．故添加的条件是：BD ＝CD (或CE ∥BF 或∠ECD ＝∠DBF 或∠DEC ＝∠DFB 等)．证明：在△BDF 和△CDE 中∵⎩⎪⎨⎪⎧CD ＝BD ∠EDC ＝∠FDB DE ＝DF，∴△CDE ≌△BDF.【例题精析】例1 C例2 ∵直线m 为∠ABC 的角平分线，∴∠ABP ＝∠CBP.∵直线l 为BC 的中垂线，∴BP ＝CP ，∴∠CBP ＝∠BCP ，∴∠ABP ＝∠CBP ＝∠BCP ，在△ABC 中，3∠ABP ＋∠A ＋∠ACP ＝180°，即3∠ABP ＋60°＋24°＝180°，解得∠ABP ＝32°.故选C .例3 (1)∵在△ABF 中，AF 是高，∠B ＝30°，AF ＝3，∴AB ＝2AF ＝6； (2)∵在△ABC中，∠B ＝30°，∠C ＝80°，∴∠BAC ＝70°，∵AD 是角平分线，∴∠BAD ＝12∠BAC ＝35°； (3)∵在△AFC 中，AF 是高，∠C ＝80°，∴∠FAC ＝10°，∴∠DAF ＝∠DAC －∠FAC ＝35°－10°＝25°； (4)∵在△ABC 中，AE 是中线，∴EC ＝BE ＝2，∴S △AEC ＝12EC ·AF ＝12×2×3＝3.故答案为：6；35°；25°；3. 例4 (1)∵BF ＝CE ，∴BF ＋FC ＝FC ＋CE ，即BC ＝EF ，在△ABC 和△DEF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝DE ，AC ＝DF ，BC ＝EF ，∴△ABC ≌△DEF(SSS)． (2)结论：AB ∥DE ，AC ∥DF.理由：∵△ABC ≌△DEF ，∴∠ABC ＝∠DEF ，∠ACB ＝∠DFE ，∴AB ∥DE ，AC ∥DF.例5 (1)证明：在正方形ABCD 中，∵BC ＝CD ，∠B ＝∠CDF ，BE ＝DF ，∴△CBE ≌△CDF(SAS)．∴CE ＝CF. (2)GE ＝BE ＋GD 成立．理由是：∵由(1)得：△CBE ≌△CDF ，∴∠BCE ＝∠DCF ，∴∠BCE ＋∠ECD ＝∠DCF ＋∠ECD ，即∠ECF ＝∠BCD ＝90°.又∵∠GCE ＝45°，∴∠GCF ＝∠GCE ＝45°.∵CE ＝CF ，∠GCE ＝∠GCF ，GC ＝GC ，∴△ECG ≌△FCG(SAS)．∴GE ＝GF.∴GE ＝DF ＋GD ＝BE ＋GD.【变式拓展】1．(1)B (2)D (3)D2.(1)钝角 (2)703. (1)证明：由题意知，△ACB 是等腰直角三角形，且∠ACB ＝∠DCE ＝90°，∴∠B ＝45°.∵CF 平分∠DCE ，∴∠DCF ＝∠ECF ＝45°，∴∠B ＝∠ECF ，∴CF ∥AB. (2)由三角板知，∠E ＝60°，由(1)知，∠ECF ＝45°，∵∠DFC ＝∠ECF ＋∠E ，∴∠DFC ＝45°＋60°＝105°.4. (1)A (2)C5.36. (1)∵∠B ＝30°，∠C ＝70°，∴∠BAC ＝180°－∠B －∠C ＝80°，∵AE 是角平分线，∴∠EAC ＝12∠BAC ＝40°，∵AD 是高，∠C ＝70°，∴∠DAC ＝90°－∠C ＝20°，∴∠EAD ＝∠EAC －∠DAC ＝40°－20°＝20°； (2)由(1)知，∠EAD ＝∠EAC －∠DAC ＝12∠BAC －(90°－∠C)①，把∠BAC ＝180°－∠B －∠C 代入①，整理得∠EAD ＝12∠C －12∠B ，∴2∠EAD ＝∠C －∠B.7. (1)略； (2)∵CA 平分∠BCD ，∴∠ECB ＝∠DCA ，且由(1)可知∠DAC ＝∠ECB ，∴∠DAC ＝∠DCA ，∴CD ＝DA ＝3，又∵由(1)可得△DAC ≌△ECB ，∴BE ＝CD ＝3.8.(1)略； (2)∵AB ＝CB ，∠ABC ＝90°，∴∠CAB ＝45°，∵∠CAE ＝30°，∴∠BAE ＝∠CAB －∠CAE ＝45°－30°＝15°，∵△ABE ≌△CBD ，∴∠BCD ＝∠BAE ＝15°，∴∠BDC ＝90°－∠BCD ＝90°－15°＝75°.9.B10.(1)连结BC.∵BD ＝CE ，CD ＝BE ，BC ＝CB ，∴△DBC ≌△ECB(SSS)．∴∠DBC ＝∠ECB ，∴AB ＝AC. (2)真 假第10题图【热点题型】【分析与解】(1)∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠ACB.∵PF ∥AC ，∴∠PFB ＝∠ACB.∴∠B ＝∠PFB ，∴BP ＝FP.由题意，BP ＝CQ ，∴FP ＝CQ.∵PF ∥AC ，∴∠DPF ＝∠DQC.又∠PDF ＝∠QDC ，∴△PDF ≌△QDC ； (2)如图，过P 点作PF ∥AC 交BC 于F ，∵点P 为AB 的中点，∴F 为BC 的中点，∴FC ＝12BC ＝3，由(1)知△PDF ≌△QDC ，CD ＝DF ，∴CD ＝DF ＝12FC ＝32；(3)线段DE的长度保持不变．如图，过点P作PF∥AC交BC于F，由(1)知PB＝PF，∵PE⊥BC，∴BE＝EF，由(1)知△PDF≌△QDC，CD＝DF，∴DE＝EF＋DF＝12BC＝3.【错误警示】∠ADC和∠AEB不肯定相等．例如，如图，AB＝AC，且CD＝CE′＝BE，这时∠ADC≠∠AEB.。
认识三角形 浙教版八年级数学上册同步训练(含答案)
1.1认识三角形一．选择题1．将一个三角形纸片剪开分成两个三角形，这两个三角形不可能（）A．都是锐角三角形B．都是直角三角形C．都是钝角三角形D．是一个锐角三角形和一个钝角三角形2．如图中三角形的个数是（）A．6B．7C．8D．93．图中三角形的个数是（）A．3个B．4个C．5个D．6个4．下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（）A．B．C．D．5．如图所示，要使一个六边形木架在同一平面内不变形，至少还要再钉上（）根木条．A．1B．2C．3D．46．如图，在△ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，AD与BE交于点G．若BG＝6，则EG＝（）A．4.5B．4C．3.5D．37．下列长度的三条线段，不能作为三角形的三边的是（）A．5、12、13B．5、5、10C．6、8、10D．3、3、58.如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，DE∥AB，若∠CDE=165°，则∠B的度数为（）A.15°B.55°C.65°D.75°9.如图，一个直角三角形纸片，剪去这个直角后，得到一个四边形，则∠1+∠2度数为（）A.150°B.180°C.240°D.270°10.小明把一副含45°，30°的直角三角板如图摆放，其中∠C=∠F=90°，∠A=45°，∠D=30°，则∠α+∠β等于（）A.180°B.210°C.360°D.270°二．填空题11．如图所示，第1个图中有1个三角形，第2个图中共有5个三角形，第3个图中共有9个三角形，依此类推，则第6个图中共有三角形个．12如图，在△ABC中，AB＝AC，P是BC边上任意一点，PF⊥AB于点F，PE⊥AC于点E，BD为△ABC的高线，BD＝8，则PF＋PE＝________．13．如图，∠A＝20°，∠B＝30°，∠C＝50°，则∠ADB的度数是．14．如图，在△ABC中，E为AC的中点，点D为BC上一点，BD：CD＝2：3，AD、BE 交于点O，若S△AOE﹣S△BOD＝1，则△ABC的面积为．15．如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上一点，将△ABC沿DE折叠，使点A的对称点A'落在边BC上，若∠A＝50°，则∠1+∠2+∠3+∠4＝．三．解答题16.如图，在△ABC中，AD是高线，AE，BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB=50°，∠C=60°，求∠DAE和∠BOA的度数．17.如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，CE是∠ACB的平分线，∠A=20°，∠B=60°，求∠BCD和∠ECD的度数．18.各边长都是整数，且最大边长为8的三角形共有多少个？19．如图，在三角形ABC中，AB＝10cm，AC＝6cm，D是BC的中点，E点在边AB上．（1）若三角形BDE的周长与四边形ACDE的周长相等，求线段AE的长．（2）若三角形ABC的周长被DE分成的两部分的差是2cm，求线段AE的长．20．已知：如图，AB∥CD，AC与BD相交于点E，且EA＝EC．（1）求证：EB＝ED；（2）过点E作EF⊥BD，交DC的延长线于点F，连接FB，求证：S△BEF＝S△AEB+S△CEF．参考答案1.答案为：A2.答案为：C.3.答案为：C.4.答案为：C5.答案为：C.6.答案为：D7.答案为：B.8.答案为：D9.答案为：D.10.答案为：B.11．答案为：21．12.答案为813．100°．14．10．15．230°．16.解：∵∠CAB=50°，∠C=60°，∴∠ABC=180°－50°－60°=70°．∵AD 是高线，∴∠ADC=90°，∴∠DAC=180°－∠ADC －∠C=30°．∵AE ，BF 是角平分线，∴∠ABF=12∠ABC=35°，∠EAF=12∠CAB=25°，∴∠DAE=∠DAC －∠EAF=5°，∠AFB=180°－∠ABF －∠CAB=95°，∴∠AOF=180°－∠AFB －∠EAF=60°，∴∠BOA=180°－∠AOF=120°．17.解：∵CD ⊥AB ，∴∠CDB=90°．∵∠B=60°，∴∠BCD=180°－∠CDB －∠B=30°．∵∠A=20°，∠B=60°，∠A ＋∠B ＋∠ACB=180°，∴∠ACB=100°．∵CE 是∠ACB 的平分线，∴∠BCE=12∠ACB=50°，∴∠ECD=∠BCE －∠BCD=20°．18.解：∵各边长度都是整数、最大边长为8，∴三边长可以为：1，8，8；2，7，8；2，8，8；3，6，8；3，7，8；3，8，8；4，5，8；4，6，8； 4，7，8；4，8，8；5，5，8；5，6，8；5，7，8；5，8，8；6，6，8；6，7，8； 6，8，8；7，7，8；7，8，8；8，8，8．故各边长都是整数，且最大边长为8的三角形共有20个．19．解：（1）由图可知三角形BDE 的周长＝BE +BD +DE ，四边形ACDE 的周长＝AE +AC +DC +DE ，又三角形BDE 的周长与四边形ACDE 的周长相等，D 为BC 中点，∴BD ＝DC ，BE +BD +DE ＝AE +AC +DC +DE ，即BE ＝AE +AC ，∵AB ＝10cm ，AC ＝6cm ，∴10﹣AE ＝AE +6，∴AE ＝2cm ．（2）由三角形ABC 的周长被DE 分成的两部分的差是2，可得方程①BE ＝AE +AC +2或②BE ＝AE +AC ﹣2．解①得AE ＝1cm ，解②得AE ＝3cm ．故AE 长为1cm 或3cm ．20（1）证明：∵AB ∥CD ，∴∠ABE ＝∠D ，在△ABE 和△CDE 中∴△ABE ≌△CDE （AAS ），∴EB ＝ED ；（2）证明：∵△ABE ≌△CDE ，∴S △AEB ＝S △DEC ，∵EB ＝ED ，∴S △BEF ＝S △DEF ，∵S△DEF＝S△DEC+S△CEF，∴S△BEF＝S△AEB+S△CEF．。
中考数学专题训练(二)认识三角形 浙教版
认识三角形一、选择题（共16小题）1．（衡阳）如图，∠1=100°，∠C=70°，则∠A的大小是（）A．10° B．20° C．30° D．80°2．（鄂州）一副三角板有两个直角三角形，如图叠放在一起，则∠α的度数是（）A．165°B．120°C．150°D．135°3．（襄阳）如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，∠B=40°，∠ACD=120°，则∠A等于（）A．60° B．70° C．80° D．90°4．（晋江市）已知在△ABC中，∠C=∠A+∠B，则△ABC的形状是（）A．等边三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形5．（泉州）在△ABC中，∠A=20°，∠B=60°，则△ABC的形状是（）A．等边三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形6．（河北）如图，平面上直线a，b分别过线段OK两端点（数据如图），则a，b相交所成的锐角是（）A．20° B．30° C．70° D．80°7．（湘西州）如图，一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，拼成如下图形，其中∠C=90°，∠B=45°，∠E=30°，则∠BFD的度数是（）A．15° B．25° C．30° D．10°8．（2015•绵阳）如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线BE，CD相交于点F，∠ABC=42°，∠A=60°，则∠BFC=（）A．118°B．119°C．120°D．121°9．（2015•柳州）如图，图中∠1的大小等于（）A．40° B．50° C．60° D．70°10．（2015•桂林）如图，在△ABC中，∠A=50°，∠C=70°，则外角∠ABD的度数是（）A．110°B．120°C．130°D．140°11．（2015•广西）如图，△ABC中，∠A=40°，点D为延长线上一点，且∠CBD=120°，则∠C=（）A．40° B．60° C．80° D．100°12．（2015•甘孜州）如图，在△ABC中，∠B=40°，∠C=30°，延长BA至点D，则∠CAD的大小为（）A．110°B．80° C．70° D．60°13．（黔南州）如图，点C在AB的延长线上，∠A=35°，∠DBC=110°，则∠D的度数是（）A．65° B．70° C．75° D．95°14．（2015•滨州）在△ABC中，∠A：∠B：∠C=3：4：5，则∠C等于（）A．45° B．60° C．75° D．90°15．（昆明）如图，在△ABC中，∠A=50°，∠ABC=70°，BD平分∠ABC，则∠BDC的度数是（）A．85° B．80° C．75° D．70°16．（河北）一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3=50°，则∠1+∠2=（）A．90° B．100°C．130°D．180°二、填空题（共13小题）17．（河池）如图，点O是△ABC的两条角平分线的交点，若∠BOC=118°，则∠A的大小是．18．（2015•枣庄）如图，平面上直线a，b分别经过线段OK两端点（数据如图），则a，b相交所成的锐角是．19．（2015•南充）如图，点D在△ABC边BC的延长线上，CE平分∠ACD，∠A=80°，∠B=40°，则∠ACE 的大小是度．20．（2015•淮安）将一副三角尺按如图所示的方式放置，使含30°角的三角尺的短直角边和含45°角的三角尺的一条直角边重合，则∠1的度数是．21．（广州）△ABC中，已知∠A=60°，∠B=80°，则∠C的外角的度数是°．22．（随州）将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为度．23．（黔东南州）在△ABC中，三个内角∠A、∠B、∠C满足∠B﹣∠A=∠C﹣∠B，则∠B= 度．24．（佛山）如图是一副三角板叠放的示意图，则∠α=．25．（上海）当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为．26．（怀化）如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=50°，延长BC到D，则∠ACD= °．27．（2015•常德）如图，在△ABC中，∠B=40°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC= ．28．（抚顺）将正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放．如果∠3=32°，那么∠1+∠2= 度．29．（达州）如图，在△ABC中，∠A=m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD 的平分线交于点A2，得∠A2；…∠A2012BC和∠A2012CD的平分线交于点A2013，则∠A2013= 度．三、解答题（共1小题）30．（六盘水）（1）三角形内角和等于．（2）请证明以上命题．浙江省衢州市2016年中考数学（浙教版）专题训练（二）：认识三角形参考答案与试题解析一、选择题（共16小题）1．（衡阳）如图，∠1=100°，∠C=70°，则∠A的大小是（）A．10° B．20° C．30° D．80°【解答】解：∵∠1=100°，∠C=70°，∴∠A=∠1﹣∠C=100°﹣70°=30°．故选C．2．（鄂州）一副三角板有两个直角三角形，如图叠放在一起，则∠α的度数是（）A．165°B．120°C．150°D．135°【解答】解：如图，∵∠2=90°﹣30°=60°，∴∠1=∠2﹣45°=15°，∴∠α=180°﹣∠1=165°．故选A．3．（襄阳）如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，∠B=40°，∠ACD=120°，则∠A等于（）A．60° B．70° C．80° D．90°【解答】解：∵∠ACD=∠A+∠B，∴∠A=∠ACD﹣∠B=120°﹣40°=80°．故选：C．4．（晋江市）已知在△ABC中，∠C=∠A+∠B，则△ABC的形状是（）A．等边三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形【解答】解：∵在△ABC中，∠A+∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180°，∴2∠C=180°，解得∠C=90°，、∴△ABC是直角三角形．故选：C．5．（泉州）在△ABC中，∠A=20°，∠B=60°，则△ABC的形状是（）A．等边三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形【解答】解：∵∠A=20°，∠B=60°，∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣20°﹣60°=100°，∴△ABC是钝角三角形．故选D．6．（河北）如图，平面上直线a，b分别过线段OK两端点（数据如图），则a，b相交所成的锐角是（）A．20° B．30° C．70° D．80°【解答】解：a，b相交所成的锐角=100°﹣70°=30°．故选：B．7．（湘西州）如图，一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，拼成如下图形，其中∠C=90°，∠B=45°，∠E=30°，则∠BFD的度数是（）A．15° B．25° C．30° D．10°【解答】解：∵Rt△CDE中，∠C=90°，∠E=30°，∴∠BDF=∠C+∠E=90°+30°=120°，∵△BDF中，∠B=45°，∠BDF=120°，∴∠BFD=180°﹣45°﹣120°=15°．故选A．8．（2015•绵阳）如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线BE，CD相交于点F，∠ABC=42°，∠A=60°，则∠BFC=（）A．118°B．119°C．120°D．121°【解答】解：∵∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=120°，∵BE，CD是∠B、∠C的平分线，∴∠CBE=∠ABC，∠BCD=，∴∠CBE+∠BCD=（∠ABC+∠BCA）=60°，∴∠BFC=180°﹣60°=120°，故选：C．9．（2015•柳州）如图，图中∠1的大小等于（）A．40° B．50° C．60° D．70°【解答】解：由三角形的外角性质得，∠1=130°﹣60°=70°．故选D．10．（2015•桂林）如图，在△ABC中，∠A=50°，∠C=70°，则外角∠ABD的度数是（）A．110°B．120°C．130°D．140°【解答】解：由三角形的外角性质的，∠ABD=∠A+∠C=50°+70°=120°．故选B．11．（2015•广西）如图，△ABC中，∠A=40°，点D为延长线上一点，且∠CBD=120°，则∠C=（）A．40° B．60° C．80° D．100°【解答】解：由三角形的外角性质得，∠C=∠CBD﹣∠A=120°﹣40°=80°．故选C．12．（2015•甘孜州）如图，在△ABC中，∠B=40°，∠C=30°，延长BA至点D，则∠CAD的大小为（）A．110°B．80° C．70° D．60°【解答】解：由三角形的外角性质得：∠CAD=∠B+∠C=40°+30°=70°．故选C．13．（黔南州）如图，点C在AB的延长线上，∠A=35°，∠DBC=110°，则∠D的度数是（）A．65° B．70° C．75° D．95°【解答】解：由三角形的外角性质得，∠D=∠DBC﹣∠A=110°﹣35=75°．故选C．14．（2015•滨州）在△ABC中，∠A：∠B：∠C=3：4：5，则∠C等于（）A．45° B．60° C．75° D．90°【解答】解：180°×==75°即∠C等于75°．故选：C．15．（昆明）如图，在△ABC中，∠A=50°，∠ABC=70°，BD平分∠ABC，则∠BDC的度数是（）A．85° B．80° C．75° D．70°【解答】解：∵∠ABC=70°，BD平分∠ABC，∴∠ABD=70°×=35°，∴∠BDC=50°+35°=85°，故选：A．16．（河北）一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3=50°，则∠1+∠2=（）A．90° B．100°C．130°D．180°【解答】解：如图，∠BAC=180°﹣90°﹣∠1=90°﹣∠1，∠ABC=180°﹣60°﹣∠3=120°﹣∠3，∠ACB=180°﹣60°﹣∠2=120°﹣∠2，在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，∴90°﹣∠1+120°﹣∠3+120°﹣∠2=180°，∴∠1+∠2=150°﹣∠3，∵∠3=50°，∴∠1+∠2=150°﹣50°=100°．故选：B．二、填空题（共13小题）17．（河池）如图，点O是△ABC的两条角平分线的交点，若∠BOC=118°，则∠A的大小是56°．【解答】解：∵△BOC中，∠BOC=118°，∴∠1+∠2=180°﹣118°=62°．∵BO和CO是△ABC的角平分线，∴∠ABC+∠ACB=2（∠1+∠2）=2×62°=124°，在△ABC中，∵∠ABC+∠ACB=124°，∴∠A=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣124°=56°．故答案为：56°．18．（2015•枣庄）如图，平面上直线a，b分别经过线段OK两端点（数据如图），则a，b相交所成的锐角是30°．【解答】解：由三角形的外角性质得，a，b相交所成的锐角的度数是100°﹣70°=30°．故答案为：30°．19．（2015•南充）如图，点D在△ABC边BC的延长线上，CE平分∠ACD，∠A=80°，∠B=40°，则∠ACE 的大小是60 度．【解答】解：∵∠ACD=∠B+∠A，而∠A=80°，∠B=40°，∴∠ACD=80°+40°=120°．∵CE平分∠ACD，∴∠ACE=60°，故答案为6020．（2015•淮安）将一副三角尺按如图所示的方式放置，使含30°角的三角尺的短直角边和含45°角的三角尺的一条直角边重合，则∠1的度数是75°．【解答】解：如图，∵含30°角的三角尺的短直角边和含45°角的三角尺的一条直角边重合，∴AB∥CD，∴∠3=∠4=45°，∴∠2=∠3=45°，∵∠B=30°，∴∠1=∠2+∠B=30°+45°=75°，故答案为：75°．21．（广州）△ABC中，已知∠A=60°，∠B=80°，则∠C的外角的度数是140 °．【解答】解：∵∠A=60°，∠B=80°，∴∠C的外角=∠A+∠B=60°+80°=140°．故答案为：140．22．（随州）将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为75 度．【解答】解：如图．∵∠3=60°，∠4=45°，∴∠1=∠5=180°﹣∠3﹣∠4=75°．故答案为：75．23．（黔东南州）在△ABC中，三个内角∠A、∠B、∠C满足∠B﹣∠A=∠C﹣∠B，则∠B= 60 度．【解答】解：∵∠B﹣∠A=∠C﹣∠B，∴∠A+∠C=2∠B，又∵∠A+∠C+∠B=180°，∴3∠B=180°，∴∠B=60°．故答案为：60．24．（佛山）如图是一副三角板叠放的示意图，则∠α=75°．【解答】解：∵∠ACB=90°，∠1=45°，∴∠2=90°﹣45°=45°，∴∠α=45°+30°=75°，故答案为：75°．25．（上海）当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为30°．【解答】解：由题意得：α=2β，α=100°，则β=50°，180°﹣100°﹣50°=30°，故答案为：30°．26．（怀化）如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=50°，延长BC到D，则∠ACD= 80 °．【解答】解：∵∠A=30°，∠B=50°，∴∠ACD=∠A+∠B=30°+50°=80°．故答案为：80．27．（2015•常德）如图，在△ABC中，∠B=40°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC= 70°．【解答】解：∵三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，∴∠EAC=∠DAC，∠ECA=∠ACF；又∵∠B=40°（已知），∠B+∠1+∠2=180°（三角形内角和定理），∴∠DAC+∠ACF=（∠B+∠2）+（∠B+∠1）=（∠B+∠B+∠1+∠2）=110°（外角定理），∴∠AEC=180°﹣（∠DAC+∠ACF）=70°．故答案为：70°．28．（抚顺）将正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放．如果∠3=32°，那么∠1+∠2= 70 度．【解答】解：∵∠3=32°，正三角形的内角是60°，正四边形的内角是90°，正五边形的内角是108°，∴∠4=180°﹣60°﹣32°=88°，∴∠5+∠6=180°﹣88°=92°，∴∠5=180°﹣∠2﹣108° ①，∠6=180°﹣90°﹣∠1=90°﹣∠1 ②，∴①+②得，180°﹣∠2﹣108°+90°﹣∠1=92°，即∠1+∠2=70°．故答案为：70°．29．（达州）如图，在△ABC中，∠A=m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD 的平分线交于点A2，得∠A2；…∠A2012BC和∠A2012CD的平分线交于点A2013，则∠A2013= 度．【解答】解：∵A1B平分∠ABC，A1C平分∠ACD，∴∠A1BC=∠ABC，∠A1CA=∠ACD，∵∠A1CD=∠A1+∠A1BC，即∠ACD=∠A1+∠ABC，∴∠A1=（∠ACD﹣∠ABC），∵∠A+∠ABC=∠ACD，∴∠A=∠ACD﹣∠ABC，∴∠A1=∠A，∴∠A1=m°，∵∠A1=∠A，∠A2=∠A1=∠A，…以此类推∠A2013=∠A=°．故答案为：．三、解答题（共1小题）30．（六盘水）（1）三角形内角和等于180°．（2）请证明以上命题．【解答】解：（1）三角形内角和等于180°．故答案为：180°；（2）已知：如图所示的△ABC，求证：∠A+∠B+∠C=180°．证明：过点C作CF∥AB，∵CF∥AB，∴∠2=∠A，∠B+∠BCF=180°，∵∠1+∠2=∠BCF，∴∠B+∠1+∠2=180°，∴∠B+∠1+∠A=180°，即三角形内角和等于180°．。
备战中考数学基础必练(浙教版)特殊三角形(含解析)
2019备战中考数学基础必练（浙教版）-特殊三角形（含解析）一、单选题1.平面内点A（﹣1，2）和点B（﹣1，6）的对称轴是（）A.x轴B.y轴C.直线y=4D.直线x=﹣12.已知等腰三角形的两边长分别为5㎝、2㎝，则该等腰三角形的周长是()A.7㎝B.9㎝C.12㎝或者9㎝D.12㎝3.如图，AD是△ABC的角平分线，DF△AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和38，则△EDF的面积为（）A.8B.12C.4D.64.在△ABC中，若AC=15，BC=13，AB边上的高CD=12，则△ABC的周长为（）A.32B.42C.32或42D.以上都不对5.如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点P在x轴上，若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有（）A.2个B.3个C.4个 D.5个6.下列各组线段中，能够组成直角三角形的是（）．A.6，7，8B.5，6，7C.4，5，6D.3，4，57.如图所示，有一块地，已知AD=4米，CD=3米，△ADC=90°，AB=13米，BC=12米，则这块地的面积为（）A.24平方米B.26平方米C.28平方米D.30平方米8.长度分别为9cm、12cm、15cm、36cm、39cm五根木棍首尾连接，最多可搭成直角三角形的个数为（）A.1个B.2个C.3个 D.4个9.如图，在△ABC中，AB=AC，△B=30°，则△C的大小为（）A.15°B.25°C.30°D.6 0°10.生活中有人喜欢把请人传送的便条折成图丁形状，折叠过程如图所示（阴影部分表示纸条反面），如果折成图丁形状的纸条宽x cm, 并且一端超出P点1 cm，另一端超出P点2 cm，那么折成的图丁所示的平面图形的面积为cm2. ()A. B. C.D.二、填空题11.如图，在□ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕将△ABE向上翻折，点A正好落在CD的点F处，若△FDE的周长为8，△FCB 的周长为22，则Y ABCD的周长为________.12.等腰三角形的腰和底边的比是3：2，若底边为6，则底边上的高是________13.如图，在△ABC中，△ABC=120°，BD是AC边上的高，若AB+AD=DC，则△C等于________．14.在直角△ABC中，△C=90°，AD平分△BAC交BC于点D，若CD=4，则点D到斜边AB的距离为________．15.已知两线段长分别为6cm，10cm，则当第三条线段长为________cm时，这三条线段能组成直角三角形．16.在△ABC中，AB=5cm，AC=12cm，BC=13cm，那么△ABC的面积是________cm2．17.用反证法证明命题“在同一平面中，若a△b，a△c，则b△c”，应先假设________18.如图，CA△AB，垂足为点A，AB=8，AC=4，射线BM△AB，垂足为点B，一动点E从A点出发以2/秒的速度沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED=CB，当点E运动________秒时，△DEB与△BCA全等．三、解答题19.如图，在△ABC中，AD为△BAC的平分线，DE△AB于点E，DF△AC于点F，△ABC的面积是28cm2，AB=16cm，AC=12cm，求DE的长．20.已知：如图，△B=△D=90°，△A=60°，AB=4，CD=2．求：四边形ABCD的面积．21.已知：如图，四边形ABCD中，AB△BC，AB=1，BC=2，CD=2，AD=3，求四边形ABCD的面积．四、综合题22.如图，长方形ABCD中，AB=8，BC=10，将长方形沿折痕AF折叠，点D恰好落在BC 边上的点E处．（1）求BE的长．（2）求CF的长23.如图，△ABC中，A点坐标为（2，4），B点坐标为（﹣3，﹣2），C点坐标为（3，1）．（1）在图中画出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′（不写画法），并写出点A′，B′，C′的坐标；（2）求△ABC的面积．24.如图，在△ABC中，△ACB=90°，BC=6cm，AC=8cm，点O为AB的中点，连接CO．点M在CA边上，从点C以1cm/秒的速度沿CA向点A运动，设运动时间为t秒．（1）当△AMO=△AOM时，求t的值；（2）当△COM是等腰三角形时，求t的值．25.如图△，把△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCED内部点A′的位置．通过计算我们知道：2△A=△1+△2．请你继续探索：（1）如果把△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCED外部点A′的位置，如图△所示．此时△A与△1、△2之间存在什么样的关系？并说明理由．（2）如果把四边形ABCD沿EF折叠，使点A、D分别落在四边形BCFE内部点A′、D′的位置，如图△所示．你能求出△A′、△D′、△1 与△2之间的关系吗？并说明理由．答案解析部分一、单选题1.【答案】C【考点】坐标与图形变化-对称【解析】【解答】解：△点A（﹣1，2）和点B（﹣1，6）对称，△AB平行与y轴，所以对称轴是直线y= （6+2）=4．故选C．【分析】观察两坐标的特点，发现横坐标相同，所以对称轴为平行与x轴的直线，即y=纵坐标的平均数．2.【答案】D【考点】等腰三角形的性质【解析】【解答】解：△5cm为腰，2cm为底，此时周长为12cm；△5cm为底，2cm为腰，则两边和小于第三边无法构成三角形，故舍去．△其周长是12cm．故选D．【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为4cm和2cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．3.【答案】D【考点】直角三角形全等的判定，角平分线的性质【解析】【分析】过点D作DH△AC于H，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DF=DH，然后利用“HL”证明Rt△DEF和Rt△DGH全等，根据全等三角形的面积相等可得S△EDF=S△GDH，设面积为S，然后根据S△ADF=S△ADH列出方程求解即可．【解答】如图，过点D作DH△AC于H，△AD是△ABC的角平分线，DF△AB，△DF=DH，在Rt△DEF和Rt△DGH中，，△Rt△DEF△Rt△DGH（HL)，△S△EDF=S△GDH，设面积为S，同理Rt△ADF△Rt△ADH，△S△ADF=S△ADH，即38+S=50-S，解得S=6．故选D．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造出全等三角形并利用角平分线的性质是解题的关键．4.【答案】C【考点】勾股定理【解析】【解答】解：△AC=15，BC=13，AB边上的高CD=12，△AD=BD=如图1，CD在△ABC内部时，AB=AD+BD=9+5=14，此时，△ABC的周长=14+13+15=42，如图2，CD在△ABC外部时，AB=AD﹣BD=9﹣5=4，此时，△ABC的周长=4+13+15=32，综上所述，△ABC的周长为32或42．故选C．【分析】作出图形，利用勾股定理列式求出AD、BD，再分CD在△ABC内部和外部两种情况求出AB，然后根据三角形的周长的定义解答即可．5.【答案】C【考点】等腰三角形的判定与性质【解析】【解答】解：以O为圆心，以OA为半径画弧交x轴于点P和P′，此时三角形是等腰三角形，即2个；以A为圆心，以OA为半径画弧交x轴于点P″（O除外），此时三角形是等腰三角形，即1个；作OA的垂直平分线交x轴于一点P1，则AP=OP，此时三角形是等腰三角形，即1个；2+1+1=4，答案为：C．【分析】等腰三角形的分类讨论可分别以三个顶点为顶角顶点，具体作图可以分三类：（1）以O为圆心，以OA为半径画弧交x轴于点P和P；（2）以A为圆心，以OA为半径画弧交x轴于点P″；（3）作OA的垂直平分线交x轴于一点P1，再根据等腰三角形的性质可求出OP的长，转化为坐标.6.【答案】D【考点】勾股定理的逆定理【解析】【分析】将各选项中长度最长的线段长求出平方，剩下的两线段长求出平方和，若两个结果相等，利用勾股定理的逆定理得到这三条线段能组成直角三角形；反之不能组成直角三角形．【解答】A、△62+72=36+49=85；82=64，△62+72≠82，则此选项线段长不能组成直角三角形；B、△52+62=25+36=61；72=49，△52+62≠72，则此选项线段长不能组成直角三角形；C、△42+52=16+25=41；62=36，△42+52≠62，则此选项线段长不能组成直角三角形；D、△32+42=9+16=85；52=25，△32+42=52，则此选项线段长能组成直角三角形；故选D．【点评】此题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解本题的关键7.【答案】A【考点】勾股定理，勾股定理的逆定理【解析】【解答】如图，连接AC．由勾股定理可知AC= = =5，又△AC2+BC2=52+122=132=AB2△△ABC是直角三角形故所求面积=△ABC的面积-△ACD的面积= ×5×12-×3×4=24（m2）．故答案为：A【分析】如图，连接AC．首先根据勾股定理算出AC的长，由AC2+BC2=52+122=132=AB2根据勾股定理的逆定理判断出△ABC是直角三角形，再由所求面积=△ABC的面积-△ACD 的面积即可算出答案。
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认识三角形一、选择题（共16小题）1．（衡阳）如图，∠1=100°，∠C=70°，则∠A的大小是（）A．10°B．20°C．30°D．80°2．（鄂州）一副三角板有两个直角三角形，如图叠放在一起，则∠α的度数是（）A．165°B．120° C．150°D．135°3．（襄阳）如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，∠B=40°，∠ACD=120°，则∠A等于（）A．60°B．70°C．80°D．90°4．（晋江市）已知在△ABC中，∠C=∠A+∠B，则△ABC的形状是（）A．等边三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形5．（泉州）在△ABC中，∠A=20°，∠B=60°，则△ABC的形状是（）A．等边三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形6．（河北）如图，平面上直线a，b分别过线段OK两端点（数据如图），则a，b相交所成的锐角是（）A．20°B．30°C．70°D．80°7．（湘西州）如图，一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，拼成如下图形，其中∠C=90°，∠B=45°，∠E=30°，则∠BFD的度数是（）A．15°B．25°C．30°D．10°8．（2015•绵阳）如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线BE，CD相交于点F，∠ABC=42°，∠A=60°，则∠BFC=（）A．118°B．119° C．120°D．121°9．（2015•柳州）如图，图中∠1的大小等于（）A．40°B．50°C．60°D．70°10．（2015•桂林）如图，在△ABC中，∠A=50°，∠C=70°，则外角∠ABD的度数是（）A．110°B．120° C．130°D．140°11．（2015•广西）如图，△ABC中，∠A=40°，点D为延长线上一点，且∠CBD=120°，则∠C=（）A．40°B．60°C．80°D．100°12．（2015•甘孜州）如图，在△ABC中，∠B=40°，∠C=30°，延长BA至点D，则∠CAD的大小为（）A．110°B．80°C．70°D．60°13．（黔南州）如图，点C在AB的延长线上，∠A=35°，∠DBC=110°，则∠D的度数是（）A．65°B．70°C．75°D．95°14．（2015•滨州）在△ABC中，∠A：∠B：∠C=3：4：5，则∠C等于（）A．45°B．60°C．75°D．90°15．（昆明）如图，在△ABC中，∠A=50°，∠ABC=70°，BD平分∠ABC，则∠BDC的度数是（）A．85°B．80°C．75°D．70°16．（河北）一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3=50°，则∠1+∠2=（）A．90°B．100° C．130°D．180°二、填空题（共13小题）17．（河池）如图，点O是△ABC的两条角平分线的交点，若∠BOC=118°，则∠A的大小是．18．（2015•枣庄）如图，平面上直线a，b分别经过线段OK两端点（数据如图），则a，b相交所成的锐角是．19．（2015•南充）如图，点D在△ABC边BC的延长线上，CE平分∠ACD，∠A=80°，∠B=40°，则∠ACE的大小是度．20．（2015•淮安）将一副三角尺按如图所示的方式放置，使含30°角的三角尺的短直角边和含45°角的三角尺的一条直角边重合，则∠1的度数是．21．（广州）△ABC中，已知∠A=60°，∠B=80°，则∠C的外角的度数是°．22．（随州）将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为度．23．（黔东南州）在△ABC中，三个内角∠A、∠B、∠C满足∠B﹣∠A=∠C﹣∠B，则∠B= 度．24．（佛山）如图是一副三角板叠放的示意图，则∠α=．25．（上海）当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为．26．（怀化）如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=50°，延长BC到D，则∠ACD= °．27．（2015•常德）如图，在△ABC中，∠B=40°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC= ．28．（抚顺）将正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放．如果∠3=32°，那么∠1+∠2= 度．29．（达州）如图，在△ABC中，∠A=m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD 的平分线交于点A2，得∠A2；…∠A2012BC和∠A2012CD的平分线交于点A2013，则∠A2013= 度．三、解答题（共1小题）30．（六盘水）（1）三角形内角和等于．（2）请证明以上命题．浙江省衢州市2016年中考数学（浙教版）专题训练（二）：认识三角形参考答案与试题解析一、选择题（共16小题）1．（衡阳）如图，∠1=100°，∠C=70°，则∠A的大小是（）A．10°B．20°C．30°D．80°【解答】解：∵∠1=100°，∠C=70°，∴∠A=∠1﹣∠C=100°﹣70°=30°．故选C．2．（鄂州）一副三角板有两个直角三角形，如图叠放在一起，则∠α的度数是（）A．165°B．120° C．150°D．135°【解答】解：如图，∵∠2=90°﹣30°=60°，∴∠1=∠2﹣45°=15°，∴∠α=180°﹣∠1=165°．故选A．3．（襄阳）如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，∠B=40°，∠ACD=120°，则∠A等于（）A．60°B．70°C．80°D．90°【解答】解：∵∠ACD=∠A+∠B，∴∠A=∠ACD﹣∠B=120°﹣40°=80°．故选：C．4．（晋江市）已知在△ABC中，∠C=∠A+∠B，则△ABC的形状是（）A．等边三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形【解答】解：∵在△ABC中，∠A+∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180°，∴2∠C=180°，解得∠C=90°，、∴△ABC是直角三角形．故选：C．5．（泉州）在△ABC中，∠A=20°，∠B=60°，则△ABC的形状是（）A．等边三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形【解答】解：∵∠A=20°，∠B=60°，∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣20°﹣60°=100°，∴△ABC是钝角三角形．故选D．6．（河北）如图，平面上直线a，b分别过线段OK两端点（数据如图），则a，b相交所成的锐角是（）A．20°B．30°C．70°D．80°【解答】解：a，b相交所成的锐角=100°﹣70°=30°．故选：B．7．（湘西州）如图，一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，拼成如下图形，其中∠C=90°，∠B=45°，∠E=30°，则∠BFD的度数是（）A．15°B．25°C．30°D．10°【解答】解：∵Rt△CDE中，∠C=90°，∠E=30°，∴∠BDF=∠C+∠E=90°+30°=120°，∵△BDF中，∠B=45°，∠BDF=120°，∴∠BFD=180°﹣45°﹣120°=15°．故选A．8．（2015•绵阳）如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线BE，CD相交于点F，∠ABC=42°，∠A=60°，则∠BFC=（）A．118°B．119° C．120°D．121°【解答】解：∵∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=120°，∵BE，CD是∠B、∠C的平分线，∴∠CBE=∠ABC，∠BCD=，∴∠CBE+∠BCD=（∠ABC+∠BCA）=60°，∴∠BFC=180°﹣60°=120°，故选：C．9．（2015•柳州）如图，图中∠1的大小等于（）A．40°B．50°C．60°D．70°【解答】解：由三角形的外角性质得，∠1=130°﹣60°=70°．故选D．10．（2015•桂林）如图，在△ABC中，∠A=50°，∠C=70°，则外角∠ABD的度数是（）A．110°B．120° C．130°D．140°【解答】解：由三角形的外角性质的，∠ABD=∠A+∠C=50°+70°=120°．故选B．11．（2015•广西）如图，△ABC中，∠A=40°，点D为延长线上一点，且∠CBD=120°，则∠C=（）A．40°B．60°C．80°D．100°【解答】解：由三角形的外角性质得，∠C=∠CBD﹣∠A=120°﹣40°=80°．故选C．12．（2015•甘孜州）如图，在△ABC中，∠B=40°，∠C=30°，延长BA至点D，则∠CAD的大小为（）A．110°B．80°C．70°D．60°【解答】解：由三角形的外角性质得：∠CAD=∠B+∠C=40°+30°=70°．故选C．13．（黔南州）如图，点C在AB的延长线上，∠A=35°，∠DBC=110°，则∠D的度数是（）A．65°B．70°C．75°D．95°【解答】解：由三角形的外角性质得，∠D=∠DBC﹣∠A=110°﹣35=75°．故选C．14．（2015•滨州）在△ABC中，∠A：∠B：∠C=3：4：5，则∠C等于（）A．45°B．60°C．75°D．90°【解答】解：180°×==75°即∠C等于75°．故选：C．15．（昆明）如图，在△ABC中，∠A=50°，∠ABC=70°，BD平分∠ABC，则∠BDC的度数是（）A．85°B．80°C．75°D．70°【解答】解：∵∠ABC=70°，BD平分∠ABC，∴∠ABD=70°×=35°，∴∠BDC=50°+35°=85°，故选：A．16．（河北）一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3=50°，则∠1+∠2=（）A．90°B．100° C．130°D．180°【解答】解：如图，∠BAC=180°﹣90°﹣∠1=90°﹣∠1，∠ABC=180°﹣60°﹣∠3=120°﹣∠3，∠ACB=180°﹣60°﹣∠2=120°﹣∠2，在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，∴90°﹣∠1+120°﹣∠3+120°﹣∠2=180°，∴∠1+∠2=150°﹣∠3，∵∠3=50°，∴∠1+∠2=150°﹣50°=100°．故选：B．二、填空题（共13小题）17．（河池）如图，点O是△ABC的两条角平分线的交点，若∠BOC=118°，则∠A的大小是56°．【解答】解：∵△BOC中，∠BOC=118°，∴∠1+∠2=180°﹣118°=62°．∵BO和CO是△ABC的角平分线，∴∠ABC+∠ACB=2（∠1+∠2）=2×62°=124°，在△ABC中，∵∠ABC+∠ACB=124°，∴∠A=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣124°=56°．故答案为：56°．18．（2015•枣庄）如图，平面上直线a，b分别经过线段OK两端点（数据如图），则a，b相交所成的锐角是30°．【解答】解：由三角形的外角性质得，a，b相交所成的锐角的度数是100°﹣70°=30°．故答案为：30°．19．（2015•南充）如图，点D在△ABC边BC的延长线上，CE平分∠ACD，∠A=80°，∠B=40°，则∠ACE的大小是60 度．【解答】解：∵∠ACD=∠B+∠A，而∠A=80°，∠B=40°，∴∠ACD=80°+40°=120°．∵CE平分∠ACD，∴∠ACE=60°，故答案为6020．（2015•淮安）将一副三角尺按如图所示的方式放置，使含30°角的三角尺的短直角边和含45°角的三角尺的一条直角边重合，则∠1的度数是75°．【解答】解：如图，∵含30°角的三角尺的短直角边和含45°角的三角尺的一条直角边重合，∴AB∥CD，∴∠3=∠4=45°，∴∠2=∠3=45°，∵∠B=30°，∴∠1=∠2+∠B=30°+45°=75°，故答案为：75°．21．（广州）△ABC中，已知∠A=60°，∠B=80°，则∠C的外角的度数是140 °．【解答】解：∵∠A=60°，∠B=80°，∴∠C的外角=∠A+∠B=60°+80°=140°．故答案为：140．22．（随州）将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为75 度．【解答】解：如图．∵∠3=60°，∠4=45°，∴∠1=∠5=180°﹣∠3﹣∠4=75°．故答案为：75．23．（黔东南州）在△ABC中，三个内角∠A、∠B、∠C满足∠B﹣∠A=∠C﹣∠B，则∠B= 60 度．【解答】解：∵∠B﹣∠A=∠C﹣∠B，∴∠A+∠C=2∠B，又∵∠A+∠C+∠B=180°，∴3∠B=180°，∴∠B=60°．故答案为：60．【解答】解：∵∠ACB=90°，∠1=45°，∴∠2=90°﹣45°=45°，∴∠α=45°+30°=75°，故答案为：75°．25．（上海）当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为30°．【解答】解：由题意得：α=2β，α=100°，则β=50°，180°﹣100°﹣50°=30°，故答案为：30°．26．（怀化）如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=50°，延长BC到D，则∠ACD= 80 °．【解答】解：∵∠A=30°，∠B=50°，∴∠ACD=∠A+∠B=30°+50°=80°．故答案为：80．27．（2015•常德）如图，在△ABC中，∠B=40°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC= 70°．【解答】解：∵三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，又∵∠B=40°（已知），∠B+∠1+∠2=180°（三角形内角和定理），∴∠DAC+∠ACF=（∠B+∠2）+（∠B+∠1）=（∠B+∠B+∠1+∠2）=110°（外角定理），∴∠AEC=180°﹣（∠DAC+∠ACF）=70°．故答案为：70°．28．（抚顺）将正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放．如果∠3=32°，那么∠1+∠2= 70 度．【解答】解：∵∠3=32°，正三角形的内角是60°，正四边形的内角是90°，正五边形的内角是108°，∴∠4=180°﹣60°﹣32°=88°，∴∠5+∠6=180°﹣88°=92°，∴∠5=180°﹣∠2﹣108° ①，∠6=180°﹣90°﹣∠1=90°﹣∠1 ②，∴①+②得，180°﹣∠2﹣108°+90°﹣∠1=92°，即∠1+∠2=70°．故答案为：70°．29．（达州）如图，在△ABC中，∠A=m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD 的平分线交于点A2，得∠A2；…∠A2012BC和∠A2012CD的平分线交于点A2013，则∠A2013= 度．【解答】解：∵A1B平分∠ABC，A1C平分∠ACD，∴∠A1BC=∠ABC，∠A1CA=∠ACD，即∠ACD=∠A1+∠ABC，∴∠A1=（∠ACD﹣∠ABC），∵∠A+∠ABC=∠ACD，∴∠A=∠ACD﹣∠ABC，∴∠A1=∠A，∴∠A1=m°，∵∠A1=∠A，∠A2=∠A1=∠A，…以此类推∠A2013=∠A=°．故答案为：．三、解答题（共1小题）30．（六盘水）（1）三角形内角和等于180°．（2）请证明以上命题．【解答】解：（1）三角形内角和等于180°．故答案为：180°；（2）已知：如图所示的△ABC，求证：∠A+∠B+∠C=180°．证明：过点C作CF∥AB，∵CF∥AB，∴∠2=∠A，∠B+∠BCF=180°，∵∠1+∠2=∠BCF，∴∠B+∠1+∠A=180°，即三角形内角和等于180°．。