2022年河南省中考数学试卷及解析

2022年河南省中考数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的．1．（3分）−12的相反数是（）A．−12B．12C．﹣2D．22．（3分）2022年北京冬奥会的奖牌“同心”表达了“天地合•人心同”的中华文化内涵．将这六个汉字分别写在某正方体的表面上，如图是它的一种展开图，则在原正方体中，与“地”字所在面相对的面上的汉字是（）A．合B．同C．心D．人3．（3分）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD，垂足为O．若∠1＝54°，则∠2的度数为（）A．26°B．36°C．44°D．54°4．（3分）下列运算正确的是（）A．2√3−√3=2B．（a+1）2＝a2+1C．（a2）3＝a5D．2a2•a＝2a35．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为CD的中点．若OE ＝3，则菱形ABCD的周长为（）A．6B．12C．24D．486．（3分）一元二次方程x2+x﹣1＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．没有实数根C．有两个相等的实数根D．只有一个实数根7．（3分）如图所示的扇形统计图描述了某校学生对课后延时服务的打分情况（满分5分），则所打分数的众数为（）A．5分B．4分C．3分D．45%8．（3分）《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆．”说明了大数之间的关系：1亿＝1万×1万，1兆＝1万×1万×1亿．则1兆等于（）A．108B．1012C．1016D．10249．（3分）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O重合，AB∥x轴，交y轴于点P．将△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，点A的坐标为（）A．（√3，﹣1）B．（﹣1，−√3）C．（−√3，﹣1）D．（1，√3）10．（3分）呼气式酒精测试仪中装有酒精气体传感器，可用于检测驾驶员是否酒后驾车．酒精气体传感器是一种气敏电阻（图1中的R1），R1的阻值随呼气酒精浓度K的变化而变化（如图2），血液酒精浓度M与呼气酒精浓度K的关系见图3．下列说法不正确的是（）A．呼气酒精浓度K越大，R1的阻值越小B．当K＝0时，R1的阻值为100ΩC．当K＝10时，该驾驶员为非酒驾状态D．当R1＝20时，该驾驶员为醉驾状态二、填空题（每小题3分，共15分）11．（3分）请写出一个y随x的增大而增大的一次函数的表达式：．12．（3分）不等式组{x−3≤0，x2＞1的解集为．13．（3分）为开展“喜迎二十大、永远跟党走、奋进新征程”主题教育宣讲活动，某单位从甲、乙、丙、丁四名宣讲员中随机选取两名进行宣讲，则恰好选中甲和丙的概率为．14．（3分）如图，将扇形AOB沿OB方向平移，使点O移到OB的中点O′处，得到扇形A′O′B′．若∠O＝90°，OA＝2，则阴影部分的面积为．15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2√2，点D为AB的中点，点P 在AC 上，且CP ＝1，将CP 绕点C 在平面内旋转，点P 的对应点为点Q ，连接AQ ，DQ ．当∠ADQ ＝90°时，AQ 的长为 ．三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16．（10分）（1）计算：√273−（13）0+2﹣1；（2）化简：x 2−1x÷（1−1x）．17．（9分）2022年3月23日下午，“天宫课堂”第二课在中国空间站开讲，神舟十三号乘组航天员翟志刚、王亚平、叶光富相互配合进行授课，这是中国空间站的第二次太空授课，被许多中小学生称为“最牛网课”．某中学为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，随机抽取50名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理，信息如下： a ．成绩频数分布表： 成绩x （分） 50≤x ＜6060≤x ＜70 70≤x ＜80 80≤x ＜90 90≤x ≤100 频数7912166b ．成绩在70≤x ＜80这一组的是（单位：分）： 70 71 72 72 74 77 78 78 78 79 79 79 根据以上信息，回答下列问题：（1）在这次测试中，成绩的中位数是 分，成绩不低于80分的人数占测试人数的百分比为 ．（2）这次测试成绩的平均数是76.4分，甲的测试成绩是77分．乙说：“甲的成绩高于平均数，所以甲的成绩高于一半学生的成绩．”你认为乙的说法正确吗？请说明理由． （3）请对该校学生“航空航天知识”的掌握情况作出合理的评价．18．（9分）如图，反比例函数y =kx （x ＞0）的图象经过点A （2，4）和点B ，点B 在点A 的下方，AC 平分∠OAB ，交x 轴于点C ． （1）求反比例函数的表达式．（2）请用无刻度的直尺和圆规作出线段AC 的垂直平分线．（要求：不写作法，保留作图痕迹）（3）线段OA 与（2）中所作的垂直平分线相交于点D ，连接CD ．求证：CD ∥AB ．19．（9分）开封清明上河园是依照北宋著名画家张择端的《清明上河图》建造的，拂云阁是园内最高的建筑．某数学小组测量拂云阁DC 的高度，如图，在A 处用测角仪测得拂云阁顶端D 的仰角为34°，沿AC 方向前进15m 到达B 处，又测得拂云阁顶端D 的仰角为45°．已知测角仪的高度为1.5m ，测量点A ，B 与拂云阁DC 的底部C 在同一水平线上，求拂云阁DC 的高度（结果精确到1m ．参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67）．20．（9分）近日，教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准（2022年版），将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来．某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动．据了解，市场上每捆A 种菜苗的价格是菜苗基地的54倍，用300元在市场上购买的A 种菜苗比在菜苗基地购买的少3捆．（1）求菜苗基地每捆A 种菜苗的价格．（2）菜苗基地每捆B 种菜苗的价格是30元．学校决定在菜苗基地购买A ，B 两种菜苗共100捆，且A 种菜苗的捆数不超过B 种菜苗的捆数．菜苗基地为支持该校活动，对A ，B 两种菜苗均提供九折优惠．求本次购买最少花费多少钱．21．（9分）小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为y＝a（x﹣h）2+k，其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离，y（m）是水柱距地面的高度．（1）求抛物线的表达式．（2）爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m．身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离．22．（10分）为弘扬民族传统体育文化，某校将传统游戏“滚铁环”列入了校运动会的比赛项目．滚铁环器材由铁环和推杆组成．小明对滚铁环的启动阶段进行了研究，如图，滚铁环时，铁环⊙O与水平地面相切于点C，推杆AB与铅垂线AD的夹角为∠BAD，点O，A，B，C，D在同一平面内．当推杆AB与铁环⊙O相切于点B时，手上的力量通过切点B传递到铁环上，会有较好的启动效果．（1）求证：∠BOC+∠BAD＝90°．（2）实践中发现，切点B只有在铁环上一定区域内时，才能保证铁环平稳启动．图中点B是该区域内最低位置，此时点A距地面的距离AD最小，测得cos∠BAD=35．已知铁环⊙O的半径为25cm，推杆AB的长为75cm，求此时AD的长．23．（10分）综合与实践综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．（1）操作判断操作一：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM．根据以上操作，当点M在EF上时，写出图1中一个30°的角：．（2）迁移探究小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片ABCD按照（1）中的方式操作，并延长PM交CD于点Q，连接BQ．①如图2，当点M在EF上时，∠MBQ＝°，∠CBQ＝°；②改变点P在AD上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系，并说明理由．（3）拓展应用在（2）的探究中，已知正方形纸片ABCD的边长为8cm，当FQ＝1cm时，直接写出AP 的长．2022年河南省中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的．1．（3分）−12的相反数是（）A．−12B．12C．﹣2D．2【解答】解：−12的相反数是12，故选：B．2．（3分）2022年北京冬奥会的奖牌“同心”表达了“天地合•人心同”的中华文化内涵．将这六个汉字分别写在某正方体的表面上，如图是它的一种展开图，则在原正方体中，与“地”字所在面相对的面上的汉字是（）A．合B．同C．心D．人【解答】解：在原正方体中，与“地”字所在面相对的面上的汉字是人，故选：D．3．（3分）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD，垂足为O．若∠1＝54°，则∠2的度数为（）A．26°B．36°C．44°D．54°【解答】解：∵EO⊥CD，∴∠COE＝90°，∵∠1+∠COE+∠2＝180°，∴∠2＝180°﹣∠1﹣∠COE＝180°﹣54°﹣90°＝36°．故选：B．4．（3分）下列运算正确的是（）A．2√3−√3=2B．（a+1）2＝a2+1C．（a2）3＝a5D．2a2•a＝2a3【解答】解：A、2√3−√3=√3，故A不符合题意；B、（a+1）2＝a2+2a+1，故B不符合题意；C、（a2）3＝a6，故C不符合题意；D、2a2•a＝2a3，故D符合题意．故选：D．5．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为CD的中点．若OE ＝3，则菱形ABCD的周长为（）A．6B．12C．24D．48【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝DA，∴△COD为直角三角形．∵OE＝3，点E为线段CD的中点，∴CD＝2OE＝6．∴C菱形ABCD＝4CD＝4×6＝24．故选：C．6．（3分）一元二次方程x2+x﹣1＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．没有实数根C．有两个相等的实数根D．只有一个实数根【解答】解：在一元二次方程x2+x﹣1＝0中，a＝1，b＝1，c＝﹣1，∴Δ＝b2﹣4ac＝12﹣4×1×（﹣1）＝1+4＝5＞0，∴原方程有两个不相等的实数根．故选：A．7．（3分）如图所示的扇形统计图描述了某校学生对课后延时服务的打分情况（满分5分），则所打分数的众数为（）A．5分B．4分C．3分D．45%【解答】解：由扇形统计图知，得4分的人数占总人数的45%，人数最多，所以所打分数的众数为4分，故选：B．8．（3分）《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆．”说明了大数之间的关系：1亿＝1万×1万，1兆＝1万×1万×1亿．则1兆等于（）A．108B．1012C．1016D．1024【解答】解：1亿＝104×104＝108，1兆＝104×104×108＝104+4+8＝1016，故选：C．9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O重合，AB∥x轴，交y轴于点P．将△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，点A的坐标为（）A．（√3，﹣1）B．（﹣1，−√3）C．（−√3，﹣1）D．（1，√3）【解答】解：∵边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O重合，∴OA＝AB＝2，∠BAO＝60°，∵AB∥x轴，∴∠APO＝90°，∴∠AOP＝30°，∴AP＝1，OP=√3，∴A（1，√3），∵将△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，可知点A2与D重合，由360°÷90°＝4可知，每4次为一个循环，∴2022÷4＝505……2，∴点A2022与点A2重合，∵点A2与点A关于原点O对称，∴A2（﹣1，−√3），∴第2022次旋转结束时，点A的坐标为（﹣1，−√3），故选：B．10．（3分）呼气式酒精测试仪中装有酒精气体传感器，可用于检测驾驶员是否酒后驾车．酒精气体传感器是一种气敏电阻（图1中的R1），R1的阻值随呼气酒精浓度K的变化而变化（如图2），血液酒精浓度M与呼气酒精浓度K的关系见图3．下列说法不正确的是（）A ．呼气酒精浓度K 越大，R 1的阻值越小B ．当K ＝0时，R 1的阻值为100ΩC ．当K ＝10时，该驾驶员为非酒驾状态D ．当R 1＝20时，该驾驶员为醉驾状态【解答】解：由图2可知，呼气酒精浓度K 越大，R 1的阻值越小，故A 正确，不符合题意；由图2知，K ＝0时，R 1的阻值为100，故B 正确，不符合题意； 由图3知，当K ＝10时，M ＝2200×10×10﹣3＝22（mg /100mL ），∴当K ＝10时，该驾驶员为酒驾状态，故C 不正确，符合题意； 由图2知，当R 1＝20时，K ＝40， ∴M ＝2200×40×10﹣3＝88（mg /100mL ），∴该驾驶员为醉驾状态，故D 正确，不符合题意； 故选：C ．二、填空题（每小题3分，共15分）11．（3分）请写出一个y 随x 的增大而增大的一次函数的表达式： 答案不唯一，如y ＝x ．【解答】解：例如：y ＝x ，或y ＝x +2等，答案不唯一． 12．（3分）不等式组{x −3≤0，x 2＞1的解集为 2＜x ≤3 ．【解答】解：{x −3≤0①x 2＞1②，解不等式①，得：x ≤3， 解不等式②，得：x ＞2， ∴该不等式组的解集是2＜x ≤3， 故答案为：2＜x ≤3．13．（3分）为开展“喜迎二十大、永远跟党走、奋进新征程”主题教育宣讲活动，某单位从甲、乙、丙、丁四名宣讲员中随机选取两名进行宣讲，则恰好选中甲和丙的概率为 16．【解答】解：画树状图如下：共有12种可能的结果，其中恰好选中甲和丙的结果有2种， ∴恰好选中甲和丙的概率为212=16，故答案为：16．14．（3分）如图，将扇形AOB 沿OB 方向平移，使点O 移到OB 的中点O ′处，得到扇形A ′O ′B ′．若∠O ＝90°，OA ＝2，则阴影部分的面积为π3+√32．【解答】解：如图，设O ′A ′交AB̂于点T ，连接OT ．∵OT ＝OB ，OO ′＝O ′B ， ∴OT ＝2OO ′， ∵∠OO ′T ＝90°，∴∠O ′TO ＝30°，∠TOO ′＝60°， ∴S 阴＝S 扇形O ′A ′B ′﹣（S 扇形OTB ﹣S △OTO ′）=90⋅π×22360−（60⋅π⋅22360−12×1×√3）=π3+√32． 故答案为：π3+√32． 15．（3分）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2√2，点D 为AB 的中点，点P 在AC 上，且CP ＝1，将CP 绕点C 在平面内旋转，点P 的对应点为点Q ，连接AQ ，DQ．当∠ADQ＝90°时，AQ的长为√5或√13．【解答】解：如图：∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝2√2，∴AB=√2AC＝4，∵点D为AB的中点，∴CD＝AD=12AB＝2，∠ADC＝90°，∵∠ADQ＝90°，∴点C、D、Q在同一条直线上，由旋转得：CQ＝CP＝CQ′＝1，分两种情况：当点Q在CD上，在Rt△ADQ中，DQ＝CD﹣CQ＝1，∴AQ=√AD2+DQ2=√22+12=√5，当点Q在DC的延长线上，在Rt△ADQ′中，DQ′＝CD+CQ′＝3，∴AQ′=√AD2+DQ′2=√22+32=√13，综上所述：当∠ADQ＝90°时，AQ的长为√5或√13，故答案为：√5或√13．三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16．（10分）（1）计算：√273−（13）0+2﹣1；（2）化简：x 2−1x÷（1−1x）．【解答】解：（1）原式＝3﹣1+12 =52； （2）原式=(x+1)(x−1)x ÷x−1x=(x+1)(x−1)x •x x−1＝x +1．17．（9分）2022年3月23日下午，“天宫课堂”第二课在中国空间站开讲，神舟十三号乘组航天员翟志刚、王亚平、叶光富相互配合进行授课，这是中国空间站的第二次太空授课，被许多中小学生称为“最牛网课”．某中学为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，随机抽取50名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理，信息如下： a ．成绩频数分布表： 成绩x （分） 50≤x ＜6060≤x ＜70 70≤x ＜80 80≤x ＜90 90≤x ≤100 频数7912166b ．成绩在70≤x ＜80这一组的是（单位：分）： 70 71 72 72 74 77 78 78 78 79 79 79 根据以上信息，回答下列问题：（1）在这次测试中，成绩的中位数是 78.5 分，成绩不低于80分的人数占测试人数的百分比为 44% ．（2）这次测试成绩的平均数是76.4分，甲的测试成绩是77分．乙说：“甲的成绩高于平均数，所以甲的成绩高于一半学生的成绩．”你认为乙的说法正确吗？请说明理由． （3）请对该校学生“航空航天知识”的掌握情况作出合理的评价．【解答】解：（1）这次测试成绩的中位数是第25、26个数据的平均数，而第25、26个数据的平均数为78+792=78.5（分），所以这组数据的中位数是78.5分，成绩不低于80分的人数占测试人数的百分比为16+650×100%＝44%，故答案为：78.5，44%； （2）不正确，因为甲的成绩77分低于中位数78.5分， 所以甲的成绩不可能高于一半学生的成绩；（3）测试成绩不低于80分的人数占测试人数的44%，说明该校学生对“航空航天知识”的掌握情况较好（答案不唯一，合理均可）．18．（9分）如图，反比例函数y =kx （x ＞0）的图象经过点A （2，4）和点B ，点B 在点A 的下方，AC 平分∠OAB ，交x 轴于点C ． （1）求反比例函数的表达式．（2）请用无刻度的直尺和圆规作出线段AC 的垂直平分线．（要求：不写作法，保留作图痕迹）（3）线段OA 与（2）中所作的垂直平分线相交于点D ，连接CD ．求证：CD ∥AB ．【解答】（1）解：∵反比例函数y =kx （x ＞0）的图象经过点A （2，4）， ∴k ＝2×4＝8，∴反比例函数的解析式为y=8 x；（2）解：如图，直线m即为所求．（3）证明：∵AC平分∠OAB，∴∠OAC＝∠BAC，∵直线m垂直平分线段AC，∴DA＝DC，∴∠OAC＝∠DCA，∴∠DCA＝∠BAC，∴CD∥AB．19．（9分）开封清明上河园是依照北宋著名画家张择端的《清明上河图》建造的，拂云阁是园内最高的建筑．某数学小组测量拂云阁DC的高度，如图，在A处用测角仪测得拂云阁顶端D的仰角为34°，沿AC方向前进15m到达B处，又测得拂云阁顶端D的仰角为45°．已知测角仪的高度为1.5m，测量点A，B与拂云阁DC的底部C在同一水平线上，求拂云阁DC的高度（结果精确到1m．参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67）．【解答】解：延长EF 交DC 于点H ，由题意得：∠DHF ＝90°，EF ＝AB ＝15米，CH ＝BF ＝AE ＝1.5米， 设FH ＝x 米，∴EH ＝EF +FH ＝（15+x ）米， 在Rt △DFH 中，∠DFH ＝45°， ∴DH ＝FH •tan45°＝x （米）， 在Rt △DHE 中，∠DEH ＝34°， ∴tan34°=DH EH =xx+15≈0.67， ∴x ≈30.5，经检验：x ≈30.5是原方程的根， ∴DC ＝DH +CH ＝30.5+1.5≈32（米）， ∴拂云阁DC 的高度约为32米．20．（9分）近日，教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准（2022年版），将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来．某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动．据了解，市场上每捆A 种菜苗的价格是菜苗基地的54倍，用300元在市场上购买的A 种菜苗比在菜苗基地购买的少3捆．（1）求菜苗基地每捆A 种菜苗的价格．（2）菜苗基地每捆B 种菜苗的价格是30元．学校决定在菜苗基地购买A ，B 两种菜苗共100捆，且A 种菜苗的捆数不超过B 种菜苗的捆数．菜苗基地为支持该校活动，对A ，B 两种菜苗均提供九折优惠．求本次购买最少花费多少钱． 【解答】解：（1）设菜苗基地每捆A 种菜苗的价格是x 元，根据题意得：300x=30054x +3，解得x ＝20，经检验，x ＝20是原方程的解，答：菜苗基地每捆A 种菜苗的价格是20元；（2）设购买A 种菜苗m 捆，则购买B 种菜苗（100﹣m ）捆， ∵A 种菜苗的捆数不超过B 种菜苗的捆数， ∴m ≤100﹣m ， 解得m ≤50，设本次购买花费w 元，∴w ＝20×0.9m +30×0.9（100﹣m ）＝﹣9m +2700， ∵﹣9＜0，∴w 随m 的增大而减小，∴m ＝50时，w 取最小值，最小值为﹣9×50+2700＝2250（元）， 答：本次购买最少花费2250元．21．（9分）小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P 距地面0.7m ，水柱在距喷水头P 水平距离5m 处达到最高，最高点距地面3.2m ；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为y ＝a （x ﹣h ）2+k ，其中x （m ）是水柱距喷水头的水平距离，y （m ）是水柱距地面的高度． （1）求抛物线的表达式．（2）爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P 水平距离3m ．身高1.6m 的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离．【解答】解：（1）由题意知，抛物线顶点为（5，3.2）， 设抛物线的表达式为y ＝a （x ﹣5）2+3.2，将（0，0.7）代入得： 0.7＝25a +3.2，解得a=−1 10，∴y=−110（x﹣5）2+3.2=−110x2+x+710，答：抛物线的表达式为y=−110x2+x+710；（2）当y＝1.6时，−110x2+x+710=1.6，解得x＝1或x＝9，∴她与爸爸的水平距离为3﹣1＝2（m）或9﹣3＝6（m），答：当她的头顶恰好接触到水柱时，与爸爸的水平距离是2m或6m．22．（10分）为弘扬民族传统体育文化，某校将传统游戏“滚铁环”列入了校运动会的比赛项目．滚铁环器材由铁环和推杆组成．小明对滚铁环的启动阶段进行了研究，如图，滚铁环时，铁环⊙O与水平地面相切于点C，推杆AB与铅垂线AD的夹角为∠BAD，点O，A，B，C，D在同一平面内．当推杆AB与铁环⊙O相切于点B时，手上的力量通过切点B传递到铁环上，会有较好的启动效果．（1）求证：∠BOC+∠BAD＝90°．（2）实践中发现，切点B只有在铁环上一定区域内时，才能保证铁环平稳启动．图中点B是该区域内最低位置，此时点A距地面的距离AD最小，测得cos∠BAD=35．已知铁环⊙O的半径为25cm，推杆AB的长为75cm，求此时AD的长．【解答】（1）证明：方法1：如图1，过点B作EF∥CD，分别交AD于点E，交OC于点F．∵CD与⊙O相切于点C，∴∠OCD＝90°．∵AD⊥CD，∴∠ADC＝90°．∵EF∥CD，∴∠OFB＝∠AEB＝90°，∴∠BOC+∠OBF＝90°，∠ABE+∠BAD＝90°，∵AB为⊙O的切线，∴∠OBA＝90°．∴∠OBF+∠ABE＝90°，∴∠OBF＝∠BAD，∴∠BOC+∠BAD＝90°；方法2：如图2，延长OB交CD于点M．∵CD与⊙O相切于点C，∴∠OCM＝90°，∴∠BOC+∠BMC＝90°，∵AD⊥CD，∴∠ADC＝90°．∵AB为⊙O的切线，∴∠OBA＝90°，∴∠ABM＝90°．∴在四边形ABMD中，∠BAD+∠BMD＝180°．∵∠BMC+∠BMD＝180°，∴∠BMC＝∠BAD．∴∠BOC+∠BAD＝90°；方法3：如图3，过点B作BN∥AD，∴∠NBA＝∠BAD．∵CD与⊙O相切于点C，∴∠OCD＝90°，∵AD⊥CD，∴∠ADC＝90°．∴AD∥OC，∴BN∥OC，∴∠NBO＝∠BOC．∵AB为OO的切线，∴∠OBA＝90°，∴∠NBO+∠NBA＝90°，∴∠BOC+∠BAD＝90°．（2）解：如图1，在Rt△ABE中，∵AB＝75，cos∠BAD=3 5，∴AE＝45．由（1）知，∠OBF＝∠BAD，∴cos∠OBF=3 5，在Rt△OBF中，∵OB＝25，∴BF＝15，∴OF＝20．∵OC＝25，∴CF＝5．∵∠OCD＝∠ADC＝∠CFE＝90°，∴四边形CDEF为矩形，∴DE＝CF＝5，∴AD＝AE+ED＝50cm．23．（10分）综合与实践综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．（1）操作判断操作一：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM．根据以上操作，当点M在EF上时，写出图1中一个30°的角：∠EMB或∠CBM或∠ABP或∠PBM（任写一个即可）．（2）迁移探究小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片ABCD按照（1）中的方式操作，并延长PM交CD于点Q，连接BQ．①如图2，当点M在EF上时，∠MBQ＝15°，∠CBQ＝15°；②改变点P在AD上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系，并说明理由．（3）拓展应用在（2）的探究中，已知正方形纸片ABCD的边长为8cm，当FQ＝1cm时，直接写出AP 的长．【解答】解：（1）∵对折矩形纸片ABCD，∴AE＝BE=12AB，∠AEF＝∠BEF＝90°，∵沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，∴AB＝BM，∠ABP＝∠PBM，∵sin∠BME=BEBM=12，∴∠EMB＝30°，∴∠ABM＝60°，∴∠CBM＝∠ABP＝∠PBM＝30°，故答案为：∠EMB或∠CBM或∠ABP或∠PBM（任写一个即可）；（2）①由（1）可知∠CBM＝30°，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠BAD＝∠C＝90°，由折叠可得：AB＝BM，∠BAD＝∠BMP＝90°，∴∠BM＝BC，∠BMQ＝∠C＝90°，又∵BQ＝BQ，∴Rt△BCQ≌Rt△BMQ（HL），∴∠CBQ＝∠MBQ＝15°，故答案为：15，15；②∠MBQ＝∠CBQ，理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠BAD＝∠C＝90°，由折叠可得：AB＝BM，∠BAD＝∠BMP＝90°，∴BM＝BC，∠BMQ＝∠C＝90°，又∵BQ＝BQ，∴Rt △BCQ ≌Rt △BMQ （HL ），∴∠CBQ ＝∠MBQ ；（3）由折叠的性质可得DF ＝CF ＝4cm ，AP ＝PM ， ∵Rt △BCQ ≌Rt △BMQ ，∴CQ ＝MQ ，当点Q 在线段CF 上时，∵FQ ＝1cm ，∴MQ ＝CQ ＝3cm ，DQ ＝5cm ，∵PQ 2＝PD 2+DQ 2，∴（AP +3）2＝（8﹣AP ）2+25，∴AP =4011， 当点Q 在线段DF 上时，∵FQ ＝1cm ，∴MQ ＝CQ ＝5cm ，DQ ＝3cm ，∵PQ 2＝PD 2+DQ 2，∴（AP +5）2＝（8﹣AP ）2+9，∴AP =2413， 综上所述：AP 的长为4011cm 或2413cm ．。