湘潭大学概率论与数理统计答案

第一章 随机事件及概率1、这6个数字选出5个来排列的方法有56P 种，首位为0的有45P 种，而首位不能为0的为:4556P P -600=.2、任取5件，其中有4件正品与一件次品的取法为： 1347C C 105=.3、证明：()P A B C [()]P A B C =()()[()]P A B P C P A B C =+-()()()()()P A P B P AB P C P ACBC =+-+-()()()()[()()()]P A P B P AB P C P AC P BC P ACBC =+-+-+-()()()()()()()P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =++---+4、A 表示任取3件中有一件为次品事件，50件中任取3件的取法为350C ，而有一件为次品的取法为21455C C ，2145535099()392C C P A C ∴==.5、(1)任取四球都是白球的取法有46C ，而任取四球的取法有412C ，因此任取四球都是白球的概率为：46412133C C =(2)任取6球恰好3白2红1黑的概率为：4216426122077C C C C =. 6、(1)每个盒子都放有的方法有10!，而总共的放法有1010，因此没有一个空盒子的概率为1010!10; (2)至少有一个空盒子的概率为1010!110-. 7、由题知：)1,0(,∈y x 且56<+y x ，如下图所示：阴影部分为符合条件的点，其面积25172)156(212=⋅--=∆AOB S S ，此事件的概率为：251711=⨯=S P 8、如下图所示：由题意可知所求的概率为：9511213232211121=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=-==∆''∆∆∆AOBB A A AOB AOBS S S S S P 9、(1)取得2个红球的可能有28C ，而总共的取法为210C ，所以两次取得都是红球的概率为452821028=C C ；(2)两次中一次取得红球，另一次取得白球的方法有1218C C ，而总共的取法为210C ，因此此事件的概率为2101218C C C 4516=；(3)因为两次取得红球的概率由(1)知为4528，因此其对立事件即至少一次取得白球的概率为451745281=-； (4)设1A 表示第一次取得白球事件，2A 表示第二次取得白球事件；显然这两事件是对立的，即)()(21A P A P =，至少一次取得白球事件为21A A ，根据概率性质有：)()()()(212121A A P A P A P A A P -+=)()(2212A A P A P -=而由题知4517)(21=A A P ，两次取得白球的概率为451)(2102221==C C A A P ，代入上等式有459)(2=A P 51=. 10、设A 表示此密码被译出的事件，1A 表示甲译出事件，2A 表示乙译出事件，3A 表示丙译出事件，1B 表示一个人译出事件，2B 表示只有两人译出事件，3B 表示3个人译出事件，显然1B ，2B ，3B 相互独立。

由题知：)()()()()()()()()()(3213213211A P A P A P A P A P A P A P A P A P B P ++=)411(31)511(41)311)(511()411)(311(51-⨯⨯-+⨯--+--⨯= 51152101++= 3013= 同理)()()()()()()()()()(3213213212A P A P A P A P A P A P A P A P A P B P ++= 203=601)()()()(3213==A P A P A P B P根据全概率公式有：6.0)()()()(321=++=B P B P B P A P11、(1)设顾客买下该箱事件为A ，0A 表示取得一箱中没有次品事件，1A 表示取一箱有一件次品事件，2A 表示取一箱中有两件次品事件；显然0A 、1A 、2A 为相互独立事件，8.0)(0=A P ， 1.0)(1=A P ，1.0)(2=A P而1)(0=A A P ，541716181719182019)(1=⋅⋅⋅=A A P ，19121715181619172018)(2=⋅⋅⋅=A A P ，根据全概率事件： =)(A P )()(00A P A A P ⋅)(1A A P +)(1A P ⋅)()(22A P A A P ⋅+475448=； (2)在顾客买下该箱中，确实没有残次品的概率为11295)()()()(000=⋅=A P A P A A P A A P -12、设A 为中靶事件，0A 为选中未校正过事件，1A 为选中校正过枪支事件，则)(0A P 83=,)(1A P 85=,)(0A A P 3.0=,)(1A A P 8.0=, =∴)(A P )(0A P )(0A A P 8049)()(01=+A A P A P ,4940)()()()(111==∴A P A P A A P A A P13、设A 为飞机坠落事件，1A 为击中一次事件，2A 为击中两次事件，3A 为击中3此事件；iB 表示被第i 此击中事件)3,2,1(=i ，显然221,,A A A 为相互独立事件。

,7.0)(,5.0)(,4.0)(321===B P B P B P,36.0)()()()()()()()()()(3213213211=++=B P B P B P B P B P B P B P B P B P A P ,41.0)()()()()()()()()()(3213213212=++=B P B P B P B P B P B P B P B P B P A P,14.0)()()()(3213==B P B P B P A P而1)(,6.0)(,2.0)(321===A A P A A P A A P ，因此根据全概率公式有=)(A P )()(11A P A A P ⋅)(2A A P +)(2A P ⋅)()(33A P A A P ⋅+45.0=14、(1)击中3次的概率为,3456.0)6.01()6.0(2335=-=C P (2)因为每次击中的概率为355)6.0(C ，而至少有一次未击中是其对立事件，因此至少有一次击中的概率为-1355)6.0(C 92224.0= 15、考虑其对立事件：即少于3台车床发生故障的概率，没有一台发生故障的概率为12012)7.0(C ，一台发生故障的概率为11112)7.0)(3.0(C ，两台发生故障的概率为102212)7.0()3.0(C ，因此在任一指定时刻有3台以上车床发生故障的概率为-112012)7.0(C 10221211112)7.0()3.0()7.0)(3.0(C C -- 16、第一问：考虑其对立事件：0台、1台发生故障的概率分别为：01.0)99.0(,)99.0(1912020020⋅C C ；因此设备发生故障而得不到及时处理的概率为-101.0)99.0()99.0(1912020020⋅-C C ； 同理第二问中所求概率为：-101.0)99.0()99.0(7918080080⋅-C C 377380278280)01.0()99.0()01.0()99.0(⋅--C C 第二章 随机变量及其分布1，设Z 表示取出次品的个数，“0=Z ”表示取出0个次品事件；因为15只零件中有2只次品，取3次且每次都不放回取到0件次品的概率为：3522315313=C C ，即3522)0(==Z P ； 同理有：3512)1(31512213===C C C Z P ，351)2(315212113===C C C Z P ； 因此Z 的分布律为：（如下图所示）2,设Z 表示3个零件中合格品的个数，“0=Z ”表示取出0个合格品事件，i A 表示第i 个零件为不合格品事件（i=1，2，3），显然1A ，2A ，3A 为相互独立事件。

由题意知：21)(1=A P ，31)(2=A P ，41)(3=A P ，因此41)411)(311)(211()()()()3(321=---===A P A P A P Z P ，同理：2411)()()()()()()()()()2(321321321=++==A P A P A P A P A P A P A P A P A P Z P 246)()()()()()()()()()1(321321321=++==A P A P A P A P A P A P A P A P A P Z P 241)()()()0(321===A P A P A P Z P ， 所以Z 的分布列为：3，设Z 表示该汽车首次遇红灯前已经通过的路口的个数，过第一个路口就遇到红灯的概率为：21)0(==Z P ， 同理有：412121)1(=⋅==Z P ，81212121)2(=⋅⋅==Z P ，81212121)3(=⋅⋅==Z P 所以Z 概率分布列为：4，X 的分布列为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<=31325.0212.010)(x x x x x F6，(1)，1)(=⎰∞∞-dx x f，10cos 02222=++∴⎰⎰⎰∞--∞-ππππdx xdx A dx从而得到122sin =-ππx A ，21=∴A(2)，当2π-<x 时，00)()(===⎰⎰∞-∞-xxdt dt t f x F ；当22ππ<≤-x 时，21sin 21cos 210)()(22+=+==⎰⎰⎰--∞-∞-x tdt dt dt t f x F xxππ； 当2π≥x 时，10cos 210)()(2222=++==⎰⎰⎰⎰--∞-∞-x xdt tdt dt dt t f x F ππππ；因此Z 的分布函数2222121sin 210)(ππππ≥<≤--<⎪⎩⎪⎨⎧+=x x x x x F7，当o x <时有：x xt xe dt e dt tf x F 2121)()(===⎰⎰∞-∞-； 当o x ≥时有：x x x x xxe dt e dt e dt xf dt t f dt t f x F 2112121)()()()(00-=+=+==⎰⎰⎰⎰⎰-∞-∞-∞- 因此X 的分布函数为:21121)(≥<⎪⎩⎪⎨⎧-=x x e ex F x x8，(1) )(x F 是处处右连续的，∴1)1()(lim 1==→F x F x ，1lim 21=→Ax x ；1=∴A ；(2)其它1002)()(<≤⎩⎨⎧='=x xx F x f ；(3){}91.0)3.0()3.1(3.13.0=-=≤≤F F x P9，(1)最初150小时电子管烧坏的概率为：()31)(150150==≤⎰∞-dx x f X P ； 因此至少有两电子管被烧坏的概率为：277)31()311()31(333223=+-=C C P (2)Y 表示在使用最初150小时内烧坏的个数，则:,278)311()0(303=-==C Y P ,2712)311)(31()1(213=-==C Y P,276)311()31()2(223=-==C Y P ,271)31()3(333===C Y P因此电子管数Y 的分布列为：(3)，Y 的分布函数为：332211000272627202780)(≥<≤<≤<≤<⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=y y y y y y F 10，设n V =k 表示观测值不大于0.1的次数为k ，而01.020)()1.0(1.001.0=+==≤⎰⎰⎰∞-∞-xdx dx dt x f X P ，因此随机变量n V 的概率分布为：3,2,1,)99.0()01.0()(===-k C k V P k n k knn 11，因为要使方程012=++Xy y 有实根，则其判别式01142≥⨯⨯-=∆X ，得22-≤≥X X 或；又因为X 服从[]6,1分布，所以541626)62(=--=≤≤X P 12，设A 表示观测值大于3的事件，B 表示A 发生的次数，依题意得：,322535)(=--=A P 2720)32(31)32()2(333223=+=≥∴C C B P 13，(1)因为51)(x e x F --=，所以251011)10()10(---=-==≤e eF X P ，5,4,3,2,1,0,)1()()(5225=-==∴---k e e C k Y P k k k ；(2)Y 是表示10分钟内等不到的次数，则 5167.0)1(1)1(52≈--=≥-e Y P 14，(1),90.0)3108()()(=-Φ==<a a F a X P 查表知28.13108=-a ，所以84.111=a ；(2)，)6.1171.101(<<X P )6.117()1.101(F F +-=)31081.101()31086.117(-Φ--Φ=，因为)(1)(x x Φ-=-Φ，所以988.0)6.1171.101(=<<X P15，因为{}8.0200120≥<<X P ，即 )160120()160200()120()200(σσ-Φ--Φ=-F F)40()40(σσ-Φ-Φ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡Φ--Φ=)40(1)40(σσ 8.01)40(2≥-Φ=σ90.0)40(≥Φ⇒σ，查表知：28.140≥σ， 20.31≤∴σ16，误差的绝对值不超过30米的概率为：4961.0)402030()402030()30()30()3030(=--Φ--Φ=--=≤≤-F F X P ， 所以误差超过30米的概率为：5069.04931.01=-，所以三次误差绝对值都超过30米的概率为333)5069.0(C ， 因此三次测量中至少有一次误差绝对值不超过30米的概率为：869.0)5069.0(1333=-C 17，(1)根据题知：))1,1((,1655)1(1)1()41811()1(-∈+=------=<<-x x x x X P 其中；当1-<x 时，0)()(=<=x X P x F ， 当11<≤-x 时，16751655810)1()1()()(+=+++=<≤-+-<=<=x x x X P X P x X P x F ， 当1≥x 时，1)(=x F ；(2)X 取负值的概率为：16716705)0()0(=+⨯==<F X P 18，由题知，216.0)4.01()0(303=-==C X P ，432.0)4.01)(4.0()1(213=-==C X P ，288.0)4.01()4.0()2(223=-==C X P ， 064.0)4.0()3(333===C X P ，(1)故21X Y =的分布列为：(2))2(2-=X X Y 的分布列为：(3)3)3(3X X Y -=的分布列为： 19，由X e Y =得x e y =，显然有0>y 且y x ln =，根据定理有：yy f y y f y f X X Y 1)(ln )(ln )(ln )(='=， (1)当0ln ≥=x y 时，即1≥y 时有2ln 111)(ln yy e y y f y X ==⋅-, (2)当0ln <=x y 时，即10<<y 时有01)(ln =⋅yy f X , 由(1),(2)得：⎪⎩⎪⎨⎧<<≥=10011)(2y y y y f Y20，(1)因为)(tan )tan ()(arctan )()(y F y X P y X P y Y P y F X Y =≤=≤=≤= 等式两边对y 求导得：y ey y f y f y X Y 22tan 2sec 21sec )(tan )(2⋅==-π，由X Y arctan =得x y arctan =， 22ππ<<-∴y ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-≥=∴-222sec 20)(2tan 22ππππy e y y y f yY(2))12()()(2y X P y Y P y F Y ≤+=≤= (显然1≥y 才有可能) )2121(-≤≤--=y X y P )21()21(----=y F y F Y Y 1)21(2--=y F Y 两边对y 进行求导得：41)1(21)21)(21(2)(---='--=y X Y ey y y f y f π，因此122+=X Y 的概率密度为：⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=--101)1(21)(41y y e y y f y Y π；(3) )()()(y X P y Y P y F Y ≤=≤=)(y X y P ≤≤-= )()(y F y F X X --=1)(2-=y F X ，两边对y 求导得：22222212)(2)(y y X Y eey f y f --===ππ，因此X Y =的概率密度为：⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-0002)(22y y ey f yY π 习题三1. 箱子里装有12只开关，其中只有2 只次品，从箱中随机地取两次，每次取一只，且设随机变量X ，Y 为⎩⎨⎧=⎩⎨⎧=.,1,0;,1,0若第二次取得次品若第二次取得正品若第一次取得次品若第一次取得正品，Y ，X试就放回抽样与不放回抽样两种情况，写出X 与Y 的联合分布律. 解：先考虑放回抽样的情况：.361122122}1,1{,3651210122}0,1{,3651221210}1,0{,362512101210}0,0{=⨯====⨯====⨯====⨯===Y X P Y X P Y X P Y X P则此种情况下，X 与Y 的联合分布律为再考虑不放回抽样的情况.661111122}1,1{,3351110122}0,1{,3351121210}1,0{,22151191210}0,0{=⨯====⨯====⨯====⨯===Y X P Y X P Y X P Y X P2. 将一硬币连掷三次，以X 表示在三次中出现正面的次数，以Y 表示在三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值，试写出（X,Y ）的联合分布律及边缘分布律.解：由已知可得：X 的取值可能为0，1，2，3；Y 的取值可能为1，3；则由硬币出现正面和反面的概率各为21，可知 83212121}1,2{,0}3,1{,83212121}1,1{,81212121}3,0{(0}0,0{2313=⨯⨯=======⨯⨯====⨯⨯======C Y X P Y X P C Y X P Y X P Y X P 此种情况不可能发生）.81212121}3,3{0}1,3{0}3,2{=⨯⨯=========Y X P Y X P Y X P3. 把三个球随机地投入三个盒子中去，每个球投入各个盒子的可能性是相同的，设随机变量X 与Y 分别表示投入第一个及第二个盒子中的球的个数，求二维随机变量(X,Y)的概率分布及边缘分布.解：由已知可得：X 的取值可能为0，1，2，3；Y 的取值可能为0，1，2，3；则271313131}0,0{=⨯⨯===Y X P ， 91313131}1,0{13=⨯⨯===C Y X P 91313131}2,0{23=⨯⨯===C Y X P ，271313131}3,0{=⨯⨯===Y X P 91313131}0,1{13=⨯⨯===C Y X P ，92313131}1,1{1213=⨯⨯===C C Y X P 91313131}2,1{13=⨯⨯===C Y X P 0}3,1{===Y X P ，91313131}0,2{23=⨯⨯===C Y X P91313131}1,2{23=⨯⨯===C Y X P0}3,2{}2,2{======Y X P Y X P271313131}0,3{33=⨯⨯===C Y X P 0}3,3{}2,3{}1,3{=========Y X P Y X P Y X P则二维随机变量（X,Y ）的概率分布及边缘分布为4. 设(X,Y)的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<<<--=.,0,42,20),6(81),(其它y x y x y x f求：（1） P ﹛(x,y)∈D ﹜, 其中D=﹛(x,y)|x<1,y<3﹜; （2） P ﹛(x,y)∈D ﹜, 其中D=﹛(x,y)|x+y<3﹜. 解：（1） ∵D={(x,y)|x<1,y<3}∴83)6(81),(}),{(103213=--==∈⎰⎰⎰⎰∞-∞-dxdy y x dxdy y x f D y x P （2） ∵D={(x,y)|x+y<3}∴245)6(81),(}),{(1032=--==∈⎰⎰⎰⎰-xDdxdy y x dxdy y x f D y x P 5. 设(X,Y)的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤++-=.,0,),(),(22222其它R y x y x R c y x f求：（1） 系数c ；（2） (X,Y)落在圆()R r r y x <≤+222内的概率. 解：（1） 由⎰⎰+∞∞-+∞∞-=1),(dxdy y x f ，得1)(22222=+-⎰⎰≤+dxdy y x R c Ry x ，可求得33R c π=（2） 设222|),{(r y x y x D ≤+=，则)321(3)(3),(}),{(3223222R r R dxdy y x R R dxdy y x f D Y X P Dr y x -=+-==∈⎰⎰⎰⎰≤+ππ 6. 已知随机变量X 和Y 的联合概率密度为⎩⎨⎧≤≤≤≤=.,0,10,10,4),(其他y x xy y x f求X 和Y 的联合分布函数.解：∵随机变量X 和Y 的联合概率密度为⎩⎨⎧≤≤≤≤=.,0,10,10,4),(其他y x xy y x f∴当x<0,或y<0时，F(x,y)=0; 当10,10≤≤≤≤y x 时，2204=y} Y x , P{X =y)F(x ,y x XYdXdY x y⎰⎰=≤≤当1,10>≤≤y x 时，2014=y} Y x , P{X =y)F(x ,x XYdXdY x ⎰⎰=≤≤当10,1≤≤>y x 时，21004=y} Y x , P{X =y)F(x ,y XYdXdY y⎰⎰=≤≤当1,1>>y x 时，14=y} Y x , P{X =y)F(x ,101⎰⎰=≤≤XYdXdY综上可得，X 和Y 的联合分布函数为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>>≤≤>>≤≤≤≤≤≤<<1,1 110,1 1,10 10,100,00=y)F(x,2222y x y x y y x x y x y x y x 或7. 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为⎩⎨⎧<<<≤+=.,0,60,60),(),(其他y x y x k y x f（1） 求常数k ；（2） 求 P ﹛0<x<2,1<y ≤3﹜; （3） 求X,Y 的边缘概率密度； （4） 判断X 与Y 是否相互独立. 解：（1） 由概率密度的性质有⎰⎰+∞∞-+∞∞=1),(dxdy y x f即1)(606⎰⎰=+dxdy y x k ，有2161=1216k k ∴= (2) ⎰⎰=+=≤<<<2031181)(2161}31,20{dxdy y x y x P (3) X 的边缘概率密度为⎰+∞∞-=dy y x f x f X ),()(∴当0≤x<6时，363)(2161)(60+=+=⎰x dy y x x f X 当x<0或x ≥6时，显然有0)(=x f X⎪⎩⎪⎨⎧<≤+=∴.,0,60,363)(其他x x x f XY 的边缘概率密度为⎰+∞∞-=dx y x f y f Y ),()(∴当0<y<6时，363)(2161)(6+=+=⎰y dy y x y f Y 当y ≤0或x ≥6时，显然有0)(=y f Y⎪⎩⎪⎨⎧<<+=∴.,0,60,363)(其他y y y f Y(4) 的表达式易知，及从)()(y f x f Y X ),()()(y x f y f x f Y X ≠ ∴X 与Y 不相互独立.8．已知随机变量X 1和X 2的概率分布为而且P{X 1X 2=0}=1.(1) 求X 1和X 2的联合分布； (2) 问X 1和X 2是否独立？为什么？解：由1}0{21==X X P ,可知021=X X 必然成立.0}0{21=≠∴X X P由}1,1{}1,0{}1,1{}1{2121212=======-===X X P X X P X X P X P 得21}1{}1,0{221=====X P X X P 同理可得：41}0,1{,41}0,1{2121=====-=X X P X X P ，而}0,1{}1,0{}0,1{}0,0{}0{2121212121==+==+=-=+====X X P X X P X X P X X P X X P 04141211}0,1{}1,0{}0,1{}0{}0,0{2121212121=---===-==-=-=-====X X P X X P X X P X X P X X P 综上可得，1X 和2X 的联合分布为（2）}0{}0{}0,0{2121==≠==X P X P X X P可知1X 和2X 不独立.9. 设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从()b b ,- 上的均匀分布，求方程02=++Y tX t 有实根的概率.解：方程02=++Y tX t 有实根的充要条件是042≥-Y X ，由于随机变量X 与Y 相互独立，所以随机变量（X ，Y ）的联合概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<-<<-=其他,0,,,41),(2b y b b x b b y x f下面分两种情况讨论： （1）当40≤<b 时，如图24214),(}4{4222b dy dx b dxdy y x f y X P Dbbx b+===≥⎰⎰⎰⎰-- (2) 当4>b 时，如图bdy dx b dxdy b dxdy b dxdy y x f y X P Dbbbx D D32141414),(}4{224222221-=-=-===≥⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-综上可得：方程02=++Y tX t 有实根的概率为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≤<+=≥-.4,321,40,2421}04P{2b bb bY X另解：方程02=++Y tX t 有实根的充要条件是 042≥-Y X令),(,121x F X Z Z 其分布函数为=),(,422x F Y Z Z 其分布函数为-= 则当x<0时,0)(1=x F Z 则当0≤x ≤b 2时{}x X x P x X P X Z P x F Z ≤≤-=≤=≤=}{}{)(211由于X 与Y 都服从()b b ,-上的均匀分布，即其密度函数各为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其他其他,0,21)(,0,21)(Y by b by f bx b bx f X 当0≤x ≤b 2时，bxdt b x F xx Z ==⎰-21)(1 当x>b 2时显然有.1)(1=x F Z∴Z 1的概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=.00,2)(21其他b x bxx F Z而当时，b x 4≥1)4(01}4{1}4{)(2=-≤--=-<-=≤-=b xx Y P x Y P x F Z当-4b<x<4b 时，bxb x b dt b x Y P x F xb Z 821)4(211}4{1)(42+=≤-≤--=-<-=⎰--当x ≤-4b 时，0)4(11}4{1)(2=≥--=-<-=b xx Y P x F Z∴Z 2的概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=.44,81)(2其他b x b bx F Z又由于随机变量X 与Y 相互独立，∴Z 1 和Z 2也相互独立. 又设Z= Z 1 +Z 2，，则，分布函数为其密度函数为dx x z f x f f x F x Z Z Z Z Z ⎰+∞∞--=)()()z ()()(f而⎰∞--=-=≥=≥-02)(1)0(1}0{}04{dz z f F Z P Y X P Z Z ∵b>0,而当z ≤-4b ，]4,4[b b x -∈时，04≤+b z 此时0)(=z f Zb dx bx b z f b b z b bz Z 818121)(44402=⋅=-≤<-⎰+时，当即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-≥-≤<-+-≤=.4,81,44,84,4,0)(222b b z bb b z b b bz b z z f Z ），时，（即当04402≤-≤<b b b 242182112181841}04P{04442222bb b dz b dz bb z Y X b b bb b+=+--=-+-=≥-⎰⎰--- ），时，（即》当0442>-b b b bdz b b z Y X b321841}04P{0422-=+-=≥-⎰- 综上可得：方程02=++Y tX t 有实根的概率为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≤<+=≥-.4,321,40,2421}04P{2b bb bY X10. 设（X,Y ）的概率密度为⎩⎨⎧<<=-.,0,0,),(其他y x e y x f y求边缘概率密度和{}.1≤+Y X P 解：X 的边缘概率密度为⎰+∞∞-=dy y x f x f X ),()(，当x ≤0时，0)(=x f X当x>0时，⎰+∞--==xx y X e dy e x f )(Y 的边缘概率密度为⎰+∞∞-=dx y x f y f Y ),()(当x ≤0时，0)(=y f Y ，当y>0时，⎰--==yy y Y ye dx e y f 0)(⎩⎨⎧>≤=⎩⎨⎧>≤=∴--000)(.000)(y yey y f x e x x f yY xX而⎰⎰⎰⎰⎰-------+=-==≤+==≤+2102111210121)(}1|),{((),(1}Y P{X ee dx e e dy e dx y x y x D dxdy y xf x x xxy D其中11. 设X,Y 相互独立，其概率密度为⎩⎨⎧≤>=⎩⎨⎧≤≤=-.0,0,0,)(.,0,10,1)(y y e y f x x f y Y X 其他 求Z=X+Y 的概率密度.解：由已知得 ⎰+∞∞--=dx x z f x f z f Y X Z )()()(当z<0时，)0,10(0)(≤-≤≤=x z x z f Z 时当 当0≤z ≤1时，z zz x Z e dx e z f ---==⎰1)(0当z>1时，z z x Z e e dx e z f ---==⎰)1()(1∴Z=X+Y 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤-<=--1)1(10100)(z e e z e z z f z zZ12. 设随机变量（X,Y ）的概率密度为⎩⎨⎧<<<<=.,0,10,0,3),(其他x x y x y x f求Z=X —Y 的概率密度. 解：∵Z=X —Y 的分布函数为⎰⎰⎰⎰≤-+∞∞-+∞-==≤-=≤=zY X zx Z dy y x f dx dxdy y x f z Y X P z Z P z F ),(),(}{}{)(∴Z=X —Y 的概率密度为⎰+∞∞--==dxz x x f z F z f Z Z ),()()('⎩⎨⎧<<<<=.,0,10,0,3),(其他x x y x y x f0)(,0x 1=∴≤-≥z f z z Z 时，当， ,0)(,x 0=∴≥-≤z f x z z Z 时，当),1(23xdx 3)(1021z z f z Z Z -==<<⎰时，当∴Z=X —Y 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<-=.,0,10),1(23)(2其他z z z f Z13. 设随机变量（X,Y ）的概率密度为(),,21),(22222+∞<<∞-=+-y x ey x f y x σπσ求22Y X Z +=的概率密度.解：设22Y X Z +=的分布函数为)(z F Z当0≤Z 时，0}{}{)(22=≤+=≤=z Y X P z Z P z F Z 当0>Z 时，222222222222022222212121}{)(σπσσσπσθπσz zY X y x y x Z erdred dxdy ez Z P z F -≤++-+-===≤=⎰⎰⎰⎰∴22Y X Z +=的概率密度⎪⎩⎪⎨⎧>≤=-.0,21,0,0)(222z ez z F z Z σσ14. 设二维随机变量（X,Y ）在矩形(){}10,20|,≤≤≤≤=y x y x G 上服从均匀分布，试求边长为X 和Y 的矩形面积S 的概率密度f(s). 解：由已知可得随机变量（X,Y ）的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤=.,010,20,21),(其他，y x y x f设边长为X 和Y 的矩形面积S 的分布函数为F(s)，则⎰⎰≤=≤=≤=sxy )f(x,s}{}{)dxdy y XY P s S P s F （∴.0)0=≤s F S （时，当2)ln 2(ln 2222121)y ,()20220102s s s s dx x s dy dx dy dx dy x f dx s F S sx s s s x s+-=+=+==<<∴⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰（时，当)1(121)22≥==≥⎰⎰xsdy dx s F S x s（时，当 ∴矩形面积S 的概率密度⎪⎩⎪⎨⎧≥≤<<-=2,0,020),ln 2(ln 21)(s s s s s f 或15．设X 和Y 为两个随机变量，且{}{},740{}0,730,0=≥=≥=≥≥Y P X P Y X P 求{}.0),m ax (≥Y X P解：{}{}0,00,0}0{<≥+≥≥=≥Y X P Y X P X P {}{}173740,0}0{0,0=-=≥≥-≥=<≥∴Y X P X P Y X P 同理可求{}710,0=≥<Y X P {}{}{}{}10,00,00,00,0=<<+≥<+<≥+≥≥Y X P Y X P Y X P Y X P 又{}7271717310,0=---<<∴Y X P {}{}{}.757210,010),max (10),max (=-=<<-=<-=≥∴Y X P Y X P Y X P16. 设（X,Y ）的联合概率密度为 (),,10021),(1001002122+∞<<∞-•=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-y x ey x f y x π求：（1）{};Y X P < （2）边缘概率密度； (3) ).|(|x y f X Y 解：（1）由已知，得⎰⎰⎰⎰<∞+∞-∞+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-•=•=<yxy x y x dy edx dxdy e Y X P x 100100211001002122221002110021}{ππ同理可知⎰⎰∞+∞-∞+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-•=>yy x dx edy Y X P 100100212210021}{π}{}{Y X P Y X P >=<∴而0}{==Y X P又1}{}{}{==+>+<Y X P Y X P Y X P21}{}{=>=<∴Y X P Y X P （2）X 的边缘概率密度为)(210110021),()(20010010021222+∞<<-∞=•==-∞+∞-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∞+∞-⎰⎰x edy edy y x f x f x y x X ππ由于f(x,y)关于x,y 地位的对称性，得)(2101)(2002+∞<<-∞=-y ey f y Y π17. 设X,Y 是相互独立且服从同一分布的两个随机变量，已知X 的分布律为),3,2,1(31}{===i i X P 又设},,min{},,max{Y X Y X ==ηξ试写出变量),(ηξ的分布律及边缘分布律并求}.{ηξ==P解：由已知得：,913131}1{}1{}1,1{}1,1{=⨯=========Y P X P Y X P P ηξ0}3,1{}2,1{======ηξηξP P,9231313131}2{}1{}1{}2{}2,1{}1,2{}1,2{=⨯+⨯===+=====+=====Y P X P Y P X P Y X P Y X P P ηξ,913131}2{}2{}2,2{}2,2{=⨯=========Y P X P Y X P P ηξ,0}3,2{===ηξP,9231313131}3{}1{}1{}3{}3,1{}1,3{}1,3{=⨯+⨯===+=====+=====Y P X P Y P X P Y X P Y X P P ηξ,9231313131}3{}2{}2{}3{}3,2{}2,3{}2,3{=⨯+⨯===+=====+=====Y P X P Y P X P Y X P Y X P P ηξ913131}3,3{}3,3{=⨯======Y X P P ηξ则变量),(ηξ的分布律及边缘分布律为：而.31919191}{=++===ηξP 18. 设X 关于Y 的条件概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=其他，,0,0,3)|(32|y x y x y x f Y X 而Y 的概率密度为⎩⎨⎧<<=其他，,0,10,5)(4y y y f Y求.21⎭⎬⎫⎩⎨⎧>X P解：由已知得：⎩⎨⎧<<<<=•=其他,010,0,15)()|(),(2|y y x y x y f y x f y x f Y Y X⎰⎰⎰⎰==+∞<<-∞>==>∴121212644715}),21x {D (),(}21{P Y Dydx x y dxdy y x f X 其中19. 设（X,Y ）的概率密度为⎩⎨⎧≤≤≤≤+=其他,0,10,10,),(y x y x y x f求：（1）},max{Y X Z =的概率密度； （2）},min{Y X Z =的概率密度.解：(1) 设},max{Y X Z =的分布函数为)(z F Z ,概率密度为)(z f Z ，则当0≤Z 时，0),(}},{max{}{)(},max{==≤=≤=⎰⎰≤zY X Z dxdy y x f z Y X P z Z P z F当10≤<Z 时，33302},max{22)2()(),(}{)(z zz dx xz z dyy x dx dxdy y x f z Z P z F zzzzY X Z =+=+=+==≤=⎰⎰⎰⎰⎰≤当z>1时, ⎰⎰≤≤≤≤=+=≤=10101)(}{)(y x Z dxdy y x z Z P z F},max{Y X Z =∴的概率密度为⎩⎨⎧≤≤=.,0,10,3)(2其他z z z f Z(2) 设},min{Y X Z =的分布函数为的分布函数为)(z F Z ,概率密度为)(z f Z ， 则当1≥Z 时，101},{1}}{m in{1}{1}{)(=-=>>-=><-=>-=≤=Z Y Z X P Z Y X P z Z P z Z P z F Z 则当0≤Z 时，011},{1}}{m in{1}{1}{)(=-=>>-=><-=>-=≤=Z Y Z X P Z Y X P z Z P z Z P z F Z 则当10<<Z 时，⎰⎰++=+-=>>-=≤=1132)(1},{1}{)(zzZ z z z dy y x dx Z Y Z X P z Z P z F},min{Y X Z =∴的概率密度为⎩⎨⎧≤≤-+=.,0,10,321)(f 2其他z z z z Z20. 假设一电路装有三个同种电器元件，其工作状态相互独立，且无故障工作时间都服从参数为0>λ的指数分布，当三个元件都无故障时，电路正常工作，否则整个电路不能正常工作.试求电路正常工作的时间T 的概率分布.解：用)3,2,1(=i X i 表示第i 个电气元件无故障工作的时间，则321,,X X X 相互独立且同分布，其分布函数为⎩⎨⎧≤>-=-0,00,1)(x x e x F x λ 设G(t)是T 的分布函数.当t ≤0时，G(t)=0;当t>0时，有t e t F t X P t X P t X P t X t X t X P t T P t T P t G λ333213211)](1[1}{}{}{1},,{1}{1}{)(--=--=>>>-=>>>-=>-=≤=⎩⎨⎧≤>-=∴-.0,0,0,1)(3t t e t G t λ 电器正常工作的时间T 的概率分布服从参数为λ3的指数分布. 习题四1. 设排球队A 队与B 队进行比赛（无平局），若有一队胜4场，则比赛结束，假定A 队与B 队在每场比赛中获胜的概率都是,21试求比赛结束时所需比赛场数的数学期望.解：设所需比赛场数为x,则x 可取4，5，6，7，,8121}4{412=⋅==∴C x P ,41212121}5{33412=⋅⋅⋅⋅==C C x P ,165212121}6{233512=⋅⋅⋅⋅==C C x P,165212121}7{333612=⋅⋅⋅⋅==C C x P 1693}7{7}6{6}5{5}4{4)(==⋅+=⋅+=⋅+=⋅=x P x P x P x P X E2. 10个电子元件中有8个正品，2个次品，组装电子仪器时，从中任取一个，如果取出的是次品不再放回，求在取得正品前已取出次品数X 的分布律及数学期望.解：由题意知，10个电子元件中有2个次品，所以在取得正品前已取出次品数X的取值有三种情况，即X=0, X=1 X=2.,45891082}1{,54}0{19110181211018=⨯⨯======C C C C X P C C X P,451891082}2{1819110181112=⨯⨯⨯===C C C C C C X P∴X 的分布律为X 的数学期望为924545245150)(==⋅+⋅+⋅=X E 3. 公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车通过，乘客到达车站的任一时刻是等可能的，且假设公开汽车一来，乘客必能上车，求： （1） 候车时间的数学期望与均方差； （2） 候车时间不超过3分钟的概率.解：乘客侯车时间的随机变量X 在区间[0,5]服从均匀分布，其密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其他,0,50,51)(x X f ⎰⎰+∞∞-===55.25)(x )(dx xdx x f X E ⎰⎰∞+∞-===502223255)(x )(dx x dx x f X E635)(12255.2325)]([)()(22=∴=-=-=∴X D X E X E X D (2) 5351}3{30==≤⎰dx X P4. 设连续型随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=.,0,0,sin 21)(其他πx x x f求2X Y =的方差D(Y).解：由题意可知，⎰⎰===+∞∞-π4442sin 21)()()(xdx x dx x f x X E Y E ⎰⎰===+∞∞-π222sin 21)()()(xdx x dx x f x X E Y E 2044)]([)()(2222+-=-=∴ππY E Y E Y D5. 设连续型随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧<<+=.,0,10,)(2其他x bx a x f且.53)(=X E 求：（1） 常数a,b; （2） X 的分布函数； （3） P{X<1}; （4） D(X).解：(1)由密度函数的性质得13)a ,1)(102=+=+=⎰⎰+∞∞-a bdx bx dx x f （即又由53)(=X E ，则5324)a )()(102=+=+==⎰⎰+∞∞-a b dx bx x dx x xf X E （.56,53==∴b a（2）当x<0时，F(x)=0,当0≤x ≤1时，x x dx x f x F x5352)()(3⎰∞-+==故X 的分布函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤+<=.1,1,10,5352,0,0)(3x x x x x x F （3）15352)(}1{10=+==<⎰dx x f X P ；（4）2511|)5256()5653()(10351022=+=+=⎰x x dx x X E2522592511)]([)()(22=-=-=∴X E X E X D6.设随机机变量X 在]2,0[π服从均匀分布，求E(sinx). 解：随机变量X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧∈=.,0],2,0[,21)(其他ππx x f.0|)cos (2121sin )(sin E 2020=-=⋅=∴⎰ππππx dx x x 6. 设随机变量X 的概率密度为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤=-.0,21,0,21)(x e x e x f x x试求E(2X),E(|X|),).(||2X e E - 解：由题意可知：⎰⎰⎰⎰⎰+∞-∞-+∞∞-+∞∞-=⋅+⋅=+==0000212212)(2)(2)(2)2(dx e x dx e x dx x xf dx x xf dx x xf X E x x ⎰⎰⎰+∞-∞-+∞∞-=⋅+⋅-==001)21()21()(|||)(|dx e x dx e x dx x f x X E x x⎰⎰+∞--∞--=⋅+⋅=0202||231)21()21()(dx e e dx e e e E x x x x X8. 设二维随机变量（X,Y ）的分布律为试求E(X),E(Y),D(X),D(Y),cov(X,Y).解：由联合分布列求出其相应的边际分布列，得,6.0}1{,4.0}0{,4.0}2{,3.0}1{,3.0}0{==========Y P Y P X P X P X P就得下表：24.06.06.0)()(69.0)1.1(9.1)()(6.06.014.00)(9.14.023.013.00)(6.06.014.00)(1.14.023.013.00)(222222221022222202212=-=-==-=-=∴=⨯+⨯====⨯+⨯+⨯====⨯+⨯====⨯+⨯+⨯===∴∑∑∑∑====EY Y E DY EX X E DX y y p y EY x x p x EX y y p y EY i x p x EX j i i i i i j i i i i i04.06.01.17.0)(),cov(7.03.0211.011Y =⨯-=-=∴=⨯⨯+⨯⨯==∑∑EXEY XY E Y X p y x EX ijij j i 又9. 设随机变量(X,Y)的概率密度为⎩⎨⎧<<<<=.,0,0,10,),(其他x y x k y x f(1)确定常数k ； (2)求E(XY).解：(1)由密度函数的性质得⎰⎰⎰===+∞∞-1002k ,1,1)(得即Xkdydx dx x f（2） 则⎰⎰⎰⎰===+∞∞-+∞∞-10041)),()(xkxydydx dy dx y x f xy XY E10. 设随机变量(X,Y)的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤+=.,0,20,20),(sin ),(其他ππy x y x A y x f（1） 确定常数A ；(2) 求E(X),E(Y),D(X),D(Y); (3)求cov(X,Y)，.XY ρ解：(1)由密度函数的性质得⎰⎰⎰==+=∞+∞-202021A ,1)sin(,1)(ππ得即dxdy y x A dx x f （2）)sin (cos 21)sin(21)(20x x dy y x x f X +=+=⎰π，4)sin (cos 21)()(2020πππ=+⋅⋅==⎰⎰dx x x x dx x f x X E X ，又228)()(22022-+==⎰πππdx x f x X E X)328(161)4(228)]([)()(22222-+=--+=-=∴πππππX E X E X D 由X,Y 的对称性，同理可得)328(161)(,4)(2-+==πππX D Y E（3）22)sin(21)(2020-=+=⎰⎰πππdxdy y x xy XY E),168(1614422)()()(),cov(2-+-=⋅--=-=∴πππππY E X E XY E Y X 328168)()(),cov(22-+-+-==ππππρY D X D Y X XY11. 设随机变量X 与Y 的概率密度为⎩⎨⎧≤>=⎩⎨⎧≤>=--.0,0,0,3)(.0,0,0,2)(32y y e y g x x e x f x x试求E(X+Y),E(2X-3Y 2).解：,31)3()(,21)2()(0302=⋅==⋅=⎰⎰+∞-+∞-dy e y Y E dx e x X E y x.65)()()(=+=+∴Y E X E Y X E又,92)3()(0322=⋅=⎰+∞-dy e y Y E y∴E(2X-3Y 2)=E(2X)-3E(Y 2)=2E(X)-3E(Y 2)= 3112. 设随机变量X ，Y 相互独立，且E(X)=E(Y)=0,D(X)=D(Y)=1，试求E[(X+Y)2].解：∵E(X)=E(Y)=0,D(X)=D(Y)=1，∴E(X 2）= D(X)+[E(X)]2=1, E （Y 2）= D(Y)+[ E(X)]2=1 ∴E[(X+Y)2]=E[X 2+2XY+Y 2]= E[X 2]+2E[XY]+E[Y 2] = E[X 2]+ 2E[X]E[Y]+ E[Y 2]=213.设X 与Y 是相互独立的随机变量，X 在]21,0[上服从均匀分布，Y 的概率密度为⎩⎨⎧≤>=-.0,0,0,2)(2y y e y f x Y求：（1）（X,Y ）的联合概率密度； （2）（X,Y ）的分布函数； （3）P{Y ≤X}; (4)的概率密度；)|(|x y f X Y（5） Z=X+Y 的概率密度；(6) 求E(X),E(Y),D(X),D(Y),cov(X,Y), .XY ρ解：（1）由题意知，X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧∈=.,0],21,0[,2)(其他x x f X ⎪⎩⎪⎨⎧>∈==∴-.,0,0],21,0[,4)()(),(2其他y x e y f x f y x f yY X (2) ⎰⎰∞-∞-=xydy y x f dx y x F ),(),(0y)F(x ,0,(00x ==≤<，因此）时，或当y x f y)21(2)|2(4y)F(x,021x 0202002y yy x y y e x e x dy e dx y ----=-==>≤≤⎰⎰时，且当 y y y y y e e dy e dx y 202210021|2214y)F(x ,021x ----=⋅==>>⎰⎰时，且当 (3) eedx e dy e dx P x x xy 1|1)1(24X}{Y 2102212202=+=-==≤---⎰⎰⎰ (4)⎩⎨⎧≤>====-.0,0,0,2)()()()()(),()|(2|y y e y f x f y f x f x f y x f x y f y Y X Y X X X Y (5) ,),(z}Y {X z}{Z )(zY X ⎰⎰≤+=≤+=≤=dxdy y x f P P z F Z0(z)F 0,(0z Z ==<，因此）时，当y x f124(z)F 21z 02002Z -+==≤≤---⎰⎰z z x z y e z dy e dx 时，当z z x z y e e dy e dx 22121002Z 14(z)F 21z ----+-==>⎰⎰时，当 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-≤≤-<==--.21),1(2,210,220,0(z)'F (z)f 22Z Z z e e z e z zz(6) ⎰⎰∞-=⋅===0221212)(,412)(dy e y Y E xdx X E y。