浙教版九年级下册数学 解直角三角形

上章节知识点回顾：1，证明圆周角定理 2，证明重心定理3，射影定理（本章节附加内容，证明过程）在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项 ∠ACB=90° BD AD CD •=2⇒AB AD AC •=2CD ⊥AB BD BC •=2解直角三角形（全章复习）一． 教学目标(1) 了解三角函数的定义，熟练掌握正弦、余弦、正切的相关计算 (2) 学会运用直角坐标轴比较各角度正弦、余弦和正切的值的大小 (3)能够运用三角函数解决实际中一些简单问题二． 教学重点与难点重点：正弦、余弦以及正切的相关计算并运用三角函数解决一些简单的实际问题 难点：运用直角坐标轴比较各种角度的正弦、余弦和正切值的大小三． 教学内容1、三角函数的定义：在Rt △ABC 中，如果锐角A 确定，那么∠A 的对边与斜边的比、邻边与斜边的比也随之确定.∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正弦(sine)，记作sinA ，即sinA ＝斜边的对边A ∠∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦(cosine)，记作cosA ，即cosA=斜边的邻边A ∠∠A 的对边与∠A 的邻边的比叫做∠A 的正切(tangent)，记作tanA ，即 锐角A 的正弦、余弦和正切 统称∠A 的三角函数.tanA=∠A的对边∠A的邻边思考：在钝角三角形中怎么表示正弦、余弦和正切注意：sinA ，cosA ，tanA 都是一个完整的符号，单独的 “sin ”没有意义，其中A 前面的“∠”一般省略不写。

思考：（1）根据上面的三角函数定义，你知道正弦与余弦三角函数值的取值范围吗正切三角函数值的取值范围呢0＜sina ＜1，0＜cosa ＜1.（2）在非三角形中，角度的取值范围是多少呢相对应的 三角函数值的取值范围呢（了解）2，（逆向思维，已知三角函数值，求角度）三角函数角sin α cos α tan α30° 21 23 3345° 22 221 60° 2321 390° 120° 150°（补充）各锐角三角函数之间的关系（1）互余关系 sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A) tanA=cot(90°—A)，cotA=tan(90°—A)（2）平方关系 1cos sin 22=+A A（3）倒数关系 tanA •tan(90°—A)=1（4）弦切关系 tanA=AAcos sin[例1]13230sin 1+-︒. 3-3（1） cos60°+ sin 245°－tan34°·tan56° (2)已知tanA=2，求AA AA cos 5sin 4cos sin 2+-的值。

[例2]一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为 m ，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为60°，且两边的摆动角度相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差.(结果精确到 m)AC 约为（怎么徒手开方）[例3]如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，sinB=135，D 在BC 边上，且∠ADC=45°，AC=5。

求∠BAD 的正切值。

3、学会比较三角函数大小（不用计算器）1°=60’ 1’=60” 度 分 秒 （2）cos27°12′，cos85°，cos63°36′15″，cos54°23′，cos38°39′52″思考：在平面直角坐标系中怎么比较三角函数的大小小结：Sin α，tan α随着锐角α的增大而增大； Cos α随着锐角α的增大而减小．锐角三角函数的增减性 当角度在0°~90°之间变化时，（1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） （2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） （3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） （4）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）;89sin ,5467sin ,58sin ,644246sin ,3234sin ,21sin )1(000000'''''.10tan ,35tan ,373tan ,5540tan ,5213tan )3(00000'''''BD第19题图A B CD小试牛刀：1、 比较下列余弦值大小cos130°, cos50°,cos40°； sin50°，sin130°,sin40°；tan10°,tan70°,tan150° 2、△ABC 2.在正方形网格中，ABC △的位置如图所示，则cos B ∠的值为（ ）A ．12B ．2C ．3D ．33、如图，铁路MN 和公路PQ 在点O 处交汇，∠QON=30°．公路PQ 上A 处距离O 点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路MN 上沿ON 方向以72千米/时的速度行驶时，A 处受噪音影响的时间为A ．12秒．B ．16秒．C ．20秒．D ．24秒4、如图，正方形ABCD 中，E 是BC 边上一点，以E 为圆心、EC 为半径的半圆与以A 为圆心，AB 为半径的圆弧外切，则sin EAB ∠的值为（ ） A ．43B ．34 C ．45D ．355、如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BD ⊥DC ，∠C ＝60°，AD ＝4，BC ＝6，求AB 的长．6、如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=5cm ，∠BAC 的平分线交BC 于D ， AD ＝1033cm,求∠B ，AB ，BC.4、坡度与坡角的关系；给出仰角、俯角的定义如右图，这是一张水库拦水坝的横断面的设计图，坡面的铅垂高度与水平宽度的比叫做坡度(或坡比)，记作i ，即i ＝ACBC，坡度通常用l ：m 的形式，例如上图中的1：2的形式。

坡面与水平面的夹角叫做坡角。

从三角函数的概念可以知道，坡度与坡角的关系是i ＝tanB ，显然，坡度越大，坡角越大，坡面就越陡。

如右图，从下往上看，视线与水平线的夹角叫仰角，从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角。

右图中的∠1就是仰角， ∠2就是俯角。

练习：1、同学们对公园的滑梯很熟悉吧！如图是某公园在“六•一”前新增设的一台滑梯，该滑梯高度AC ＝2m ，滑梯着地点B 与梯架之间的距离BC ＝4m 。

（1）求滑梯AB 的长（精确到）；（2）若规定滑梯的倾斜角（∠ABC ）不超过45°属于安全范围。

请通过计算说明这架滑梯的倾斜角是否要求2.如图，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽10米，坝高BE=CF=30米，斜坡AB 的坡角∠A=30°，斜坡CD的坡度i =1:3，求坝底宽AD 的长.（答案保留根号）3某兴趣小组用高为1.2米的仪器测量建筑物CD 的高度．如示意图，由距CD 一定距离的A 处用仪器观察建筑物顶部D 的仰角为β，在A 和C 之间选一点B ，由B 处用仪器观察建筑物顶部D 的仰角为α．测得A ，B 之间的距离为4米，tan 1.6α=，tan 1.2β=，试求建筑物CD 的高度．强化练习题：A BCEFD30ACDBEF β αG6、△ABC 中，∠C=90°，斜边上的中线CD=6，sinA=31，则S △ABC=______。

7、菱形的两条对角线长分别为23和6，则菱形较小的内角为______度。

11、如图4，如果△APB 绕点B 按逆时针方向旋转30°后得到△A＇P ＇B ，且BP=2，那么PP ＇的长为____________.(不取近似值. 以下数据供解题使用：sin15°=62-，cos15°=62+)13、李红同学遇到了这样一道题：3tan(α+20°)=1，你猜想锐角α的度数应是（ ）° ° ° °15、在△ABC 中，若tanA=1，sinB=22，你认为最确切的判断是（ ） A.△ABC 是等腰三角形 B.△ABC 是等腰直角三角形 C.△ABC 是直角三角形 D.△ABC 是一般锐角三角形16、如图5，某地夏季中午，当太阳移至房顶上方偏南时，光线与地面成80°角，房屋朝南的窗子高AB= m ，要在窗子外面上方安装水平挡光板AC ，使午间光线不能直接射入室内，那么挡光板的宽度AC 为( )C.︒80sin 8.1 mD.︒80tan 8.1 m10、如图3，我校为了筹备校园艺术节，要在通往舞台的台阶上铺上红色地毯．如果地毯的宽度恰好与台阶的宽度一致，台阶的侧面如图所示，台阶的坡角为30，90BCA ∠=，台阶的高BC 为2米，那么请你帮忙算一算需要米长的地毯恰好能铺好台阶．（结果精确到0.1m ，取2 1.414=，3 1.732=）(1)3cos30°+2sin45°(2)6tan 230°－3sin 60°－2sin 45°。