第十章弯曲-2
FQ M
+
MM
－
M
规定：当截面上的剪力FQ使研究对象有顺时针转向趋势 时为正，反之为负。
当截面上的弯矩 M 使研究对象产生向下凸的变形
时（即上部受压下部受拉）为正，反之为负。
计算表明：梁上某一截面的剪力大小等于截面之 左（或右）段上所有外力的代数和；弯矩大小等于截 面之左（或右）段上的所有外力对截面形心力矩的代
两段研究。
②标值。计算各区段边界各截面之剪力与弯矩值，将结果 标注在剪力图与弯矩图上的相应位置上。截面上的剪力和弯矩
值可按下述进行简化计算：
解 1)求支反力。
Fb FA l
①分段。
Fa FB l
a F
A
b
C
B
2)画剪力图与弯矩图。 ②标值。 截面上的剪力等于截面任 FQa) = FQB＝-Fa/l A -Fb/l 一侧外力的总和。 M =0 M =0 截面上的弯矩等于截面任 FQb) C =Fb/l，FQC+=-Fb/l 一侧外力对截面形心力矩的总和。 M ＝Fab/l 本题算得结果如下： ③连线。按各区段有无分布
a F
A
b
C
B
F、a、b，试作梁的FQ图和M图。
解 1)求支反力。以整体为研 究对象，由平衡方程可得
Fb FA l
Fa FB l
FA
l
FB
2)画剪力图与弯矩图。
①分段。由于集中力会引起剪力图突变，集中力偶会产生
弯矩图的突变，所以在由集中力或集中力偶作用处，就应将梁 分段计算，本题梁中C处有集中力F作用，故应将梁分为AC与CB
物线，在FQ=0处截面（x=l/2）， 有极值，则知
FB FQ图
－ x
ql/2
0
l ql l Mmax=M (l/2)=FA =ql2/8 2 2 4
工程上，在弯矩图中画抛物 线仅需注意极值和凸凹方向，可 化简画出弯矩图，并在图上标出 极值的大小。
ql/2 ql2/8 + M图
x
0
简支梁受载如图所示。若已知
a
A C
b M
B
M FA l
2) 画剪力图与弯矩图。
M FB l
FA
0
l
FQ
FB
FQ图
x
①分段。分为AC与CB两段。 ②标值。 FQA=-M/l FQC-=-M /l
－
M
M/l Mb/l M图
+
FQC+=-M/l FQB=-M/l
MA=0 MC-=-Ma/l
0
-
x
MC+=Mb/l MB=0 ③连线。FQ图与M图上相邻两点均连直线。 ④复查。检查C点弯矩图的变化。
A
B
2 ．载荷的简化 作用在梁上的外力，包括载荷和约束力，一律可
简化为三种形式，即集中力F、集中力偶M和分布载荷。
分布载荷若分布均匀，则称为均布载荷，通常用载荷 集度q表示。其单位为N/m。
纵向对称面 F q
M 轴 线
FA
FB
3 ．支座的简化
按支座对梁的约束作用不同，可按照静力学分
析，用活动铰支座、固定铰支座及固定端支座进行
研究表明，梁上截面上的弯矩、剪力和作用于该截
面处的载荷集度之间存在一定的关系。如图，设梁上作 用着任意载荷，坐标原点选在梁的左端截面形心（即支 座A处），x轴向右为正，分布载荷以向上为正 。
y F
q(x)
M B x
A
x l
从x截面处截取微段dx进行分析。
q(x)在dx微段上可看成均布的；左截面上作用有剪
A
FA
FQ
B
l
+
FB FQ图
－ x
ql/2
0
FQA=FA=ql/2 ，
MA=0
ql/2
FQB=-FB =-ql/2 ， MB=0
连接AB两点即可得剪力图。
FQA=FA=ql/2 ，
MA=0
q
FQB=-FB =-ql/2 ， MB=0
连接AB两点即可得剪力图。
A
FA
FQ
B
l
+
M
由q＜0可知弯矩图为上凸抛
dFQ ( x)
∑Mc(F)=0
略去dx的两阶微量，简化后得
dx dx M ( x) dM ( x) M ( x) FQ ( x)dx q( x) 0 2
dM ( x) FQ ( x) dx
q ( x)
y
q(x)
F
q(x) M B x M ( x) FQ(x) FQ(x+dx) M (x+dx)
数和。在实际计算中，剪力和弯矩的符号一般皆设为正，
如果计算结果为正，表明实际的剪力和弯矩与图示方向
一致；若结果为负，则与图示方向相反。
研究对象在截面的左边
研究对象在截面的右边
FQ＝∑F左
M=∑MC(F左)
FQ＝∑F右 M=∑MC(F右)
例 外伸梁受载如图所示，已知q、a，试求图中各指定截 面上的剪力和弯矩。图上截面2、3分别为集中力FＡ作用 处的左、右邻截面（即面2、3间的间距趋于无穷小量）， 截面4、5亦为集中力偶矩MT０的左、右邻截面。
力FQ(x)和弯矩M(x)，右截面上作用有剪力FQ(x)+dFQ(x)
和弯矩M(x)+dM(x)。 由平衡条件可得
y F q(x) M B x x dx l M ( x) FQ(x) FQ(x+dx) M (x+dx)
q(x)
A
dx
∑Fy=0
FQ( x） FQ( x dx) q( x)dx 0
集中力 偶M作 用处
无影响
FQ图
水平线 FQ＞0，斜直 线 斜率＞0
q(x)＞0，斜直线 斜率＞0 q(x)＜0，斜直线 斜率＜0
q(x)＞0，抛物线， 下凸
M图
FQ＜0，斜直 线 斜率＜0 FQ＝0，水平 线
有突变 q(x)＜0，抛物线， 斜率有突变 突变量 上凸 图形成直线 =M FQ=0，抛物线有 极值
有外力（包括约束力）都 作用于梁的纵向对称面内， 则变形后轴线将是在纵向 y y 对称面内的一条平面曲线。 这种弯曲变形称为平面弯 曲。本章只讨论梁的平面 弯曲。
纵向对称面 F q
M 轴 线
FA
FB
二、梁的计算简图及分类
1 ．梁本身的简化
不论梁的截面形状如何，通常取梁的轴线来
代替实际的梁 。
1.弯曲变形和平面弯曲 A B q
第十章 直梁的弯曲
第一节 第二节 弯 曲 内 力图（剪力图与弯矩图） 梁弯曲时的强度计算
第三节 梁的刚度计算 第四节 提高梁的强度和刚度的措施 小 结
第一节 弯 曲 内 力图
一、平面弯曲的概念
工程实际中，存在大量的受弯曲的杆件，如火车轮轴、
桥式起重机大梁等。这些杆件，在杆的轴线平面内受到外力
作用，使杆的轴线由原来直变曲，这种变形称为弯曲变形。 凡以弯曲变形为主的杆件，通常称为梁。
O x m
FB
式中FQ称为剪力，它是与横
截面平行内力的合力。M称为横 截面上的弯矩，它是横截面上垂
M
m O m l-x B MB
F M FQ
直内力对其形心的合力矩。
式（a）称为剪力方程， 式（b ）即称为弯矩方程。
FB
为使取左段或取右段得到的同一截面上的内力符 号一致，特规定如下：
FQ
+
FQFQ
－
q A B
所吊起物体的重力暂不考虑，试
作剪力图与弯矩图。 解 1)求支反力。将起重机大 梁简化为简支梁，如图，可得
FA
l
FB
1 FA FB ql 2
(↑)
2)画剪力图与弯矩图。观察此
q
梁所受外载情况，可知其左、右
两端受集中力，全梁受负的均布 力，所以剪力图在x＝0+和x＝l－处 有突变，在整个梁段上是斜率为 负的直线。取梁的左、右端微段， 求其平衡，可得
C A B
FA
l
FQ
FB
FQ图
－ x
0
Fb/l +
载荷，连接相邻两点，即得剪力
图和弯矩图。本题无分布载荷， 故FQ图与M图皆连直线。 0
M
Fa/l
Fab)求支反力。
Fb FA l
①分段。 ②标值。 ③连线。
Fa FB l
a F
A
b
C
B
2)画剪力图与弯矩图。
FA
A
x dx l
dx
∑Fy=0
FQ( x） FQ( x dx) q( x)dx 0
dFQ ( x)
∑Mc(F)=0
略去dx的两阶微量，简化后得
dx dx M ( x) dM ( x) M ( x) FQ ( x)dx q( x) 0 2
dM ( x) FQ ( x) dx
上一页 返回目录 下一页
工程中使用的直梁，其横截面大多至少有一根对称 轴（y轴），如图。通过平面对称轴与梁轴线确定的平 面，称为梁的纵向对称面。如果作用于梁上的所有外 力（包括约束力）都作用于梁的纵向对称面内，则变 形后的轴线将是在纵向对称面内的一条平面曲线。这 种弯曲变形称为平面弯曲。
y y 如果作用于梁上的所
l
FQ
FB
FQ图
－ x
④复查。按本节所列FQ、M 图特征表进行复核。如在集中力F 作用处检查剪力图是否有突变， 突变值的大小；弯矩图是否成折 线等。 0 M 0
Fb/l +
Fa/l
Fab/l + M图
x
合集下载
第十章 弯曲内力讲解
M1 26kN m
8 kN
1
2
12 kN /m
A
2m
1.5 m B
1
2
RA 1. 5 m 1. 5 m
3m
RB
8 kN
1. 5 m 1
截面形心
A
RA
2 m 1 O M1 Fs1 M 2
2 12 kN /m
B
1.5 m
Fs22
RB
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY
弯曲的概念
1. 弯曲: 杆受垂直于轴线的外力或外力偶矩矢的作用时,轴 线变成了曲线，这种变形称为弯曲。 2. 梁：以弯曲变形为主的 构件通常称为梁。
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY
qa
Fy 0,
RB
1 4
qa
q1 2
3 4m=3qa2
A
B
C
D
a 12a 3 4 a
（2）求剪力
RB
RD
FS1 qa
FS 2
FS 3
qa RB qa
qa
RB
5 4
( qa
1 4
qa)
5 4
qa
M3
qa
3 2
a
RBa
3 qa2 ( 1 qa)a 7 qa2
A c1 AM A FA Fs A
0
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY
8 kN
1
2
12 kN /m
A
2m
1.5 m B
1
2
RA 1. 5 m 1. 5 m
3m
RB
8 kN
1. 5 m 1
截面形心
A
RA
2 m 1 O M1 Fs1 M 2
2 12 kN /m
B
1.5 m
Fs22
RB
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY
弯曲的概念
1. 弯曲: 杆受垂直于轴线的外力或外力偶矩矢的作用时,轴 线变成了曲线，这种变形称为弯曲。 2. 梁：以弯曲变形为主的 构件通常称为梁。
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY
qa
Fy 0,
RB
1 4
qa
q1 2
3 4m=3qa2
A
B
C
D
a 12a 3 4 a
（2）求剪力
RB
RD
FS1 qa
FS 2
FS 3
qa RB qa
qa
RB
5 4
( qa
1 4
qa)
5 4
qa
M3
qa
3 2
a
RBa
3 qa2 ( 1 qa)a 7 qa2
A c1 AM A FA Fs A
0
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY
梁的弯曲应力
Iz=πD4/64 Iz=π(D4-d4)/64 若设圆环的直径比d/D=α，则相
应的截面抗弯系数为
Wz
=
π D3 32
Wz
=
π D3 32
(1−α 4 )
y 第10章 梁的弯曲应力 C Dz
y
O
z
d D
工程力学
q=60kN/m
A
1m
C
l = 3m
FS 90kN
(+ ) (− )
M ql2 / 8 = 67.5kN⋅ m
T形截面外伸梁尺寸及受载如图，截面对形心轴z的惯性矩
Iz=86.8cm4，yl=3.8cm。求梁横截面上的最大拉应力和最大压应力。
解 1)由静力平衡
2kN
0.8kN
y1 y2 6cm
方程求出梁的支反力
FA=0.6kN，FB=2.2kN A
C
BD
zC
作弯矩图。 得最大正弯矩在截面
1m 1m 1m
FA
FB
=
−
E ρ
I
z
1 ρ
=
Mz EIz
重要公式 σ = − Mz y Iz
工程力学
σ = − My Iz
第10章 梁的弯曲应力
M AZ y
x
y 横截面上正应力分布规律: (1)中性轴是过横截面形心的一条直线。中性轴上，正应力为零。 (2)以中性轴为界，横截面上的一侧受拉，一侧受压。 (3)离中性轴越远，正应力的绝对值越大。在横截面上离中性轴 最远的边或点上有最大的拉应力和最大的压应力。
几何关系 ( 平截面假定 )
正应变与中性层曲率间的关系
物理关系 ( Hooke 定律 )
正应力与中性层曲率间的关系
建筑力学课件2
x
FN2
b
mn
y
1 dx 2
FN1
A* 1dA
M
M
A* I z y1dA I z
A* y1dA
M Iz
S
* z
FN2
A* 2dA
A*
(M
dM )
Iz
y1dA
M
dM Iz
Sz*
S y dA *
—面积A*对横截面中性轴的静矩z
z
A* 1
A*为横截面上距中性轴为y的 横线以外部分的面积
A
M z (F ) M
Mz
y dA M
A
z
x
dA
y z
E
y
y
Ey dA E
A
A
ydA
E
Sz
0
Sz
ydA 0
A
0
横截面对中性轴的静矩 中性轴z必通过横截面形心
横截面对y轴和z轴的惯性积
M y
z dA E
A
A
yzdA
E
I yz
0
y轴和z轴是横截面的主形心轴
M z
y dA E
M Iz
ymax
Wz
Iz ymax
max
M Wz
Wz 称为抗弯截面模量 单位：m3。
上述分析是在平面假设下建立的，对于横力弯曲，由于 横截面上还有剪力，变形后截面会发生翘曲，平面假设不再 成立。当截面尺寸与梁的跨度相比很小时，翘曲很小，仍可 按平面假设分析，上面公式仍可使用。
⑴矩形截面
⑵圆形截面
3、绘制剪力图和弯矩图
A
FA
a
Me
C
B
工程力学第10章 弯曲变形与简单超静定梁
简支梁。 根据原超静定梁A端横截面转角θA=0这一变形条件, 即可进而建立补 充方程以求解MeA。 建议读者按此自行算出全部结果。 以上解题的方法步骤也适用于解二次超静定梁。 此时可建立两个变形几何方程, 因而补充方程也就有两个。 这样, 解多余约束力时就需解二元一次联立方程组。 对于三次以上的超静定梁若仍用上述方法求解, 则将不够简便, 此时就宜采用其 他方法。
但弹性模量E值则是比较接近的。 2.调整跨度 梁的转角和挠度与梁的跨度的n次方成正比, 跨度减小时, 转角和挠度就会有更 大程度的减小。 例如均布载荷作用下的简支梁, 其最大挠度与跨度的四次方成 正比, 当其跨度减小为原跨度的1/2时, 则最大挠度将减小为原挠度的1/16。 故减小跨度是提高梁的刚度的一种有效措施。 在有些情况下, 可以增设梁的中 间支座, 以减小梁的跨度, 从而可显著地减小梁的挠度。 但这样就使梁成为超 静定梁。 图10-10a、 b分别画出了均布载荷作用下的简支梁与三支点的超静 定梁的挠曲线大致形状, 可以看出后者的挠度远较前者为小。 在有可能时, 还 可将简支梁改为两端外伸的梁。 这样, 既减小了跨度, 而且外伸端的自重与两 支座间向下的载荷将分别使轴线上每一点产生相反方向的挠度(图10-11a、 b), 从而相互抵消一部分。 这也就提高了梁的刚度。 例如桥式起重机的桁架钢梁 就常采用这种结构形式(图10-11c), 以达到上述效果。
下述关系
因为挠曲线为一平坦的曲线, θ值很小, 故有 tanθ≈θ(c) 由式(b)、式(c)两式可见, 梁横截面的转角应为
式(d)表明转角θ可以足够精确地从挠曲线方程(a)对x求一次导数得到。 它表 示梁横截面位置的x与该截面的转角θ之间的关系, 通常称为转角方程。 在图10-2所示的坐标系统中, 挠度w以向上为正, 向下为负; 转角θ则以逆时针 转向为正, 顺时针转向为负。
材料力学-弯曲应力
对于宽为b高为h的矩形截面：
W
bh3 12
bh2
h
6
2
对于直径为d的圆形截面：
W d 4 64 d 3
d
32
2
限定最大弯曲正应力不得超过许用应力，于是强度条件为：
max
M max W
设σt 表示拉应力，σc 表示压应力，则：
t max t
cmax c
塑性材料， [σt]= [σc]= [σ]；
所以由（1）式：
A
d
A
A E
y
d
A
E
A y d
A
E
Sz
0
由（2）式：
说明中性轴过形心
A z
d
A
A zE
y
d
A
E
A
yz d
A
E
I yz
0
由于y轴是对称轴，此 式自然满足。
由（3）式：
A
y
d
A
A
yE
y
d
A
E
A
y2
d
A
E
Iz
M
1 M
EI z
1 为梁轴线变形后的曲率 ；
由变形几何关系得到 y
由物理关系得到
bh2 2b3 W
63
故： b 121.6 mm
h 2b 243.2 mm
选取截面为： 125 250 mm 2
e.g.3 已知：l=1.2m，[σ]=170MPa， 18号工字钢，不计自重。
求：P 的最大许可值。
P A
解：作弯矩图， 由图可得：
M
| M |max Pl 1.2P N m
第十章弯曲强度和刚度
试设计木梁不同截面的尺寸。
截h/面b=设3b/2计应尽可h 能使 h/b=1
b
材料远离中性b 轴。
b
Wz =bh 2/6 =3b 3/8
Wz=b3/6
强度条件：
强度条件：
3 b3 M max
8 [s ]
b3 Mmax
6 [s ]
M
h/b=2/3 h O
sbmax
W z=2b 3/27
强度条件：
2b 3 Mmax
M
o_
x
Fl
弯矩图
3) 画内力图。 悬臂梁在固定端A处弯矩值最大。
5
例2 求外伸梁AB的内力。y F FAy 3F
解：1）求约束反力： 受力如图。
0
A
FAx
aa
FB 45 B x
a
有平衡方程：
SMA(F)=2aFBcos45+Fa-3Fa=0 SFx=FAx-FBsin45=0 SFy=FAy+FBcos45-F-3F=0
d
M
AB aa bb AB
变形后
中性轴
中性层与横截面的交线称为中性
轴。
中性层(面)
15
y
M
z
中性轴 x
smax压
smax拉
横截面上各点的正应力s 的大小与该点到中性
轴的距离y成正比。
中性轴以上，s为负，是压应力，纤维缩短。 中性轴以下， s为正，是拉应力，纤维伸长。
到中性轴距离相同各处，应力相等。
Fa +
M=F(3a-x)
-
x
Fa
8
作梁的内力图的 一般步骤
y F
FAy
3F
0
A
截h/面b=设3b/2计应尽可h 能使 h/b=1
b
材料远离中性b 轴。
b
Wz =bh 2/6 =3b 3/8
Wz=b3/6
强度条件：
强度条件：
3 b3 M max
8 [s ]
b3 Mmax
6 [s ]
M
h/b=2/3 h O
sbmax
W z=2b 3/27
强度条件：
2b 3 Mmax
M
o_
x
Fl
弯矩图
3) 画内力图。 悬臂梁在固定端A处弯矩值最大。
5
例2 求外伸梁AB的内力。y F FAy 3F
解：1）求约束反力： 受力如图。
0
A
FAx
aa
FB 45 B x
a
有平衡方程：
SMA(F)=2aFBcos45+Fa-3Fa=0 SFx=FAx-FBsin45=0 SFy=FAy+FBcos45-F-3F=0
d
M
AB aa bb AB
变形后
中性轴
中性层与横截面的交线称为中性
轴。
中性层(面)
15
y
M
z
中性轴 x
smax压
smax拉
横截面上各点的正应力s 的大小与该点到中性
轴的距离y成正比。
中性轴以上，s为负，是压应力，纤维缩短。 中性轴以下， s为正，是拉应力，纤维伸长。
到中性轴距离相同各处，应力相等。
Fa +
M=F(3a-x)
-
x
Fa
8
作梁的内力图的 一般步骤
y F
FAy
3F
0
A
弯曲内力
（2）求剪力
5 1 qa Q2 qa RB qa ( qa) 4 4 5 Q3 qa RB qa 4
5 Q4 qa RB RD qa 4 （3）求弯矩 1 1 M 1 qa a qa 2 2 2 1 1 M 2 qa a RB 0 qa 2 2 2 3 M 3 qa a R a B 2
弯矩 —— 作用面与梁截面垂直的内力偶矩，用“ M ”表示。 剪力、弯矩的数值：
Q
RB
剪力 —— 在数值上等于截面以左（或以右）所有外力在y轴上投影代数和；
弯矩 —— 在数值上等于截面以左（或以右）所有外力对截面形心矩的代数和；
二、剪力和弯矩的正负号规定
—— 按截面处的梁微段的变形规定 1. 剪力的正负 使梁微段发生顺时针转动的剪 力Q为正，反之为负。 截面左侧：向下的Q为正，向上的Q为负； 截面右侧：向上的Q为正，向下的Q为负。
剪力： 弯矩： 取左半部分 顺时针转向的外力偶引起正的弯矩 逆时针转向的外力偶引起负的弯矩 取右半部分 逆时针转向的外力偶引起正的弯矩 顺时针转向的外力偶引起负的弯矩
M2
RA
Q2
M1
Q1
RB
例： 图示外伸梁，试求指定截面的弯矩。
解： （1）先求约束反力
M B 0, Y 0,
1 2 qa m RD 2a 0 2 qa RB RD 0
杆件的轴线由直线变成曲线， 任意两相邻截面绕垂直于轴线的 直线发生转动。 —— 杆件的这种变形称为弯曲变形。 梁：—— 以弯曲变形为主的杆件
P
P
P
(3) 平面弯曲概念 梁的截面对称轴与轴线构成的平面 —— 称为纵向对称平面。 若梁上的外载都作用在此对称平面内， 则梁弯曲变形后的轴线为纵向对称平面内 的平面曲线。 —— 这种弯曲称为平面弯曲或对称弯曲。 发生平面弯曲的条件： 截面具有纵向对称平面； 外力作用于纵向对称平面内。
材料力学第六版答案第10章
第十章 组合变形的强度计算10-1图示为梁的各种截面形状，设横向力P 的作用线如图示虚线位置，试问哪些为平面弯曲？哪些为斜弯曲？并指出截面上危险点的位置。
（a ） (b) (c) (d) 斜弯曲 平面弯曲 平面弯曲 斜弯曲弯心（）（）弯心弯心（）（）斜弯曲 弯扭组合 平面弯曲 斜弯曲“×”为危险点位置。
10-2矩形截面木制简支梁AB ，在跨度中点C 承受一与垂直方向成ϕ＝15°的集中力P ＝10 kN 作用如图示，已知木材的弹性模量MPa 100.14⨯=E 。
试确定①截面上中性轴的位置；②危险截面上的最大正应力；③C 点的总挠度的大小和方向。
解：66.915cos 10cos =⨯==οϕP P y KN59.215sin 10sin =⨯==οϕP P z KN4310122015=⨯=z J 4cm 3310cm W z =335625121520cm J y =⨯=3750cm W y =25.74366.94max =⨯==l P M y z KN-M 94.14359.24m ax =⨯==l P M z y KN-MMPaW M W M yy z z 84.9107501094.110101025.763633maxmax max=⨯⨯+⨯⨯=+=--σ 中性轴：οο47.2515tan 562510tan tan tan 411=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=--ϕαy z J J 2849333105434.0101010104831066.948--⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯==z y y EJ l P f m28933310259.010562510104831059.248--⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯==y z z EJ l P f m 602.0259.05434.022=+=f cm方向⊥中性轴：ο47.25=α10-3 矩形截面木材悬臂梁受力如图示，P 1＝800 N ，P 2＝1600 N 。
材料力学 第10章 弯曲应力及强度
a
Φ14
30 工件
Fa x
10.4 弯曲强度条件
例10-5 梁的载荷及截面尺寸如图所示，材料的容许拉应力
[t]=40MPa、容许压应力[c] =100MPa，试校核该梁的强度。
q=10kN/m
F=20kN
AB 2m
CD 3m 1m
q=10kN/m
A
B
FB M
F=20kN
C
D
FD
10kN.m
x
157.5 200 30
10.3 横力弯曲时梁的切应力
三、其它形状截面
T型截面
圆形截面
环形截面
max
z
max
FSS
* z,m
ax
I zb1
z
max
z
max
max
4 3
FS A
max
2
FS A
10.3 横力弯曲时梁的切应力
21 560
例10-2 56a号工字钢制成的简支梁如图所示，F=150kN，求最大 切应力及最大切应力所在截面上K点处的切应力。
ad bc
a
d
b
c
σσ
M
ττ
10.2 纯弯曲时梁的正应力
3. 变形几何关系
o1o2 dx ρdθ
k1k2 (ρ y)dθ Δl=k1k2 k1k2 ( ρ y)dθ ρdθ ydθ
dx 中性层
y o1
o2
k1
k2
dx 变形前
o
d
o1
o2
k1
k 2
变形后
10.2 纯弯曲时梁的正应力
第10章 弯曲应力及弯曲强度
10.1 引言 10.2 纯弯曲时梁的正应力 10.3 横力弯曲时梁的切应力 10.4 弯曲强度条件 10.5 提高梁弯曲强度的措施
工程力学梁的变形教学PPT
Fbl 2 16 EI
0.0625
Fbl 2 EI
26
可见在集中荷载作用于右支座附近这种极端情况下，跨中
挠度与最大挠度也只相差不到3%。因此在工程计算中，只要 简支梁的挠曲线上没有拐点都可以跨中挠度代替最大挠度。
当集中荷载F作用于简支梁的跨中时(b=l/2)，最大转角
qmax和最大挠度wmax为
A
B 即选择A端固定B端自由的悬臂梁
L
FBy 作为基本静定梁。
MA
q
A
L
(2)解除A端阻止转动的支座反力
B
矩 M作A 为多余约束,即选择两端简
支的梁作为基本静定梁。
39
基本静定基选取可遵循的原则： (1) 基本静定基必须能维持静力平衡，且为几何不变 系统； (2) 基本静定基要便于计算，即要有利于建立变形协 调条件。一般来说，求解变形时，悬臂梁最为简单， 其次是简支梁，最后为外伸梁。
x3 6
C1x
C2
该梁的边界条件为：在 x=0 处 w 0，w =0
于是得
C1 0，C2 0
16
从而有 转角方程 q w Fxl Fx2
EI 2EI 挠曲线方程 w Fx2l Fx3
2EI 6EI
当x=L时：
qmax q
|xl
Fl 2 EI
Fl 2 2EI
Fl 2 2EI
静定梁(基本静定基) — 将超静定梁的多余约束解除，得到
相应的静定系统，该系统仅用静力平衡方程就可解出所有反力
以及内力。
多余约束 — 杆系在维持平衡的必要约束外所存在的多余约
束或多余杆件。
q
多余约束的数目=超静定次数
B 多余约束的数目=1