第11章 压杆稳定(2016-1版)
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压杆稳定(工程力学课件)
压杆稳定的概念
桁架结构
在轴向压力作用下，
短粗压杆 只要满足杆受压时的强度
条件，就能正常工作
细长压杆
破坏形式呈现出与强度问题 截然不同的现象
FN [ ]
A
压杆失稳
细长压杆:
临界压力或临界力ห้องสมุดไป่ตู้Fcr
F Fcr F Fcr
稳定的平衡 不稳定的平衡
压杆失稳
在轴向压力 F 由小逐渐增大 的过程中，压杆由稳定的平衡 转变为不稳定平衡，这种现象 称为压杆失稳。
首先判断压杆的失稳方向
(1)两端约束 1
(2)截面形状
Fcr （2 El）I2
Iz
hb3 12
140 803 12
597.3104
mm4
Iy
bh3 12
80 1403 12
1829.3104
mm4
Fcr1
2 EImin
(l)2
2 10 103 MPa 597.3104 (1 3103 mm)2
mm4
65 435 N 65.44 kN
（N、mm、MPa）
【例 1】 细长压杆，两端为球形铰支，
矩形横截面, E 10 GPa ，求其临界力。
Fcr （2 El）I2
长度影响
【例 2】细长压杆，上端约束为球形铰支，
下端约束在 xOz平面内可视为两端铰支，
Fcr （2 El）I2
在 xOy 平面内可视为一端铰支、一端固定
M
Wz
[ ]
81.67
πD4 i I 64 D 40mm
A πD2 4 4
l 1 3103 75
i
40
查表： 0.54
81.67
桁架结构
在轴向压力作用下，
短粗压杆 只要满足杆受压时的强度
条件，就能正常工作
细长压杆
破坏形式呈现出与强度问题 截然不同的现象
FN [ ]
A
压杆失稳
细长压杆:
临界压力或临界力ห้องสมุดไป่ตู้Fcr
F Fcr F Fcr
稳定的平衡 不稳定的平衡
压杆失稳
在轴向压力 F 由小逐渐增大 的过程中，压杆由稳定的平衡 转变为不稳定平衡，这种现象 称为压杆失稳。
首先判断压杆的失稳方向
(1)两端约束 1
(2)截面形状
Fcr （2 El）I2
Iz
hb3 12
140 803 12
597.3104
mm4
Iy
bh3 12
80 1403 12
1829.3104
mm4
Fcr1
2 EImin
(l)2
2 10 103 MPa 597.3104 (1 3103 mm)2
mm4
65 435 N 65.44 kN
（N、mm、MPa）
【例 1】 细长压杆，两端为球形铰支，
矩形横截面, E 10 GPa ，求其临界力。
Fcr （2 El）I2
长度影响
【例 2】细长压杆，上端约束为球形铰支，
下端约束在 xOz平面内可视为两端铰支，
Fcr （2 El）I2
在 xOy 平面内可视为一端铰支、一端固定
M
Wz
[ ]
81.67
πD4 i I 64 D 40mm
A πD2 4 4
l 1 3103 75
i
40
查表： 0.54
81.67
压杆稳定1,同济大学材料力学课件
p
，称大柔度杆（细长压杆 ）
例：Q235钢， E 200 GPa , p 200 MPa.
2 3 2E 200 10 p p 200
99.35 100
34 当≤p时，通过不同试样的试验测得临界压力，再回归处理。
1、大柔度杆（细长压杆）采用欧拉公式计算。 2 EI 2E cr 2 p ( p ) 临界压力：Fcr 2 临界压应力： ( l ) 2：中柔度杆（中长压杆）采用经验公式计算。
: : : :
＝ ＝ ＝ ＝
2.0 0.7 0.5 1.0
当压杆杆端的约束情况在最大和最小抗弯刚度平面内完全相同时， 则上式中的 I 应取压杆横截面的最小形心主惯性矩 Imin。
2 EI m in Fcr ( l ) 2
如果压杆在最大和最小抗弯刚度平面内的约束情况不相同时，则应 分别计算在两个形心主惯性平面内失稳时的临界力，然后再确定该压杆 的临界力。
2E 2 2E 2E 2 EI Fcr 2 i 2 2 l A ( l ) A ( l ) ( )2 i
一、临界应力与柔度
cr
l
i
I A
——临界应力的欧拉公式
——压杆的柔度（长细比）
综合反映杆长、支持方 式与截面几何性质对临界应 力的影响
柔度是影响压杆承载能力的综合指标。
y
L Fcr
2
Fcr (k ) EI
2
（二阶常系数线性齐次微分方程） 微分方程的解: y =Asinkx + Bcoskx 边界条件: y ( 0 ) = 0 , y ( l ) = 0 0•A+1•B=0 sinkl • A +coskl • B=0 B=0 sinkl • A =0
第11章压杆稳定
材料力学
第29页/共63页
二、折减因数法
s
F A
[s w ]
s cr
nst
scr、nst与压杆柔度有关，[sw]是的 函数。
[sw]=j [s ]
[s ]——强度许用应力 j —— 折减因数 j 1
稳定条件
与柔度有关
s FP j[s ] 工作应力不大于
A
稳定许用应力
注 不必由柔度判断压杆属何种性质的杆，简化计算。 意
强度 条件
sr
[s ]
s0
n
相当应力不大 于许用应力
极限应力
s0
s
{
s
sb
塑性材料 脆性材料
极限应力和安全因数只与材料有关，与实 际应力状态无关，即强度许用应力为常数。
材料力学
第27页/共63页
稳定 条件
s
F A
[s
w
]
s0
nst
s cr
nst
工作应力不大于稳定许用应力。
极限应力（临界应力）和稳定安全因数不仅 与材料有关，而且与实际压杆的长度、约束 条件、横截面尺寸和形状有关，即与实际压 杆的柔度有关，所以稳定许用应力不是常数。
z
ml
iz
1 940 14.43
65.1
第36页/共63页
F A
z
材料力学
l1 z
B l1
y Fx
z
h
b
F x
x-z 面内，两端固定
绕y轴发生失稳
m = 0.5
iy
b 23
20 23
5.77 mm
y
ml
iy
0.5 880 5.77
76.3
第11章压杆稳定
/webnew/
1、减小压杆的支承长度
2、选择合理的截面形状
/webnew/
小
• 压杆稳定的概念
结
在轴向压力作用下由于细长杆轴线不能维持原 有直线形状的平衡状态, 突然产生显著的弯曲, 有直线形状的平衡状态, 突然产生显著的弯曲, 致使杆件失去工作能力的现象称为失稳。 致使杆件失去工作能力的现象称为失稳。
（2）计算最小刚度平面内的临界力及临界应力。 ）计算最小刚度平面内的临界力及临界应力。
如图（ 如图（b）,截面的惯性矩为
20 × 12 = 2880cm 4 12
3
相应的惯性半径为 rz = Iz 2880 = = 3.46cm A 12 × 20
Iz =
两端固定时长度系数
柔度为 λ =
µ = 0.5
（1）计算柔度 ）
πd 4
r= I = A 64 = d = 4 = 1cm πd 2 4 4 4
2 × 37.5 = = 75 λ= r 1
查得45钢的 =60， =100， 属于中柔度杆。 查得45钢的λs=60，λp=100，λs<λ<λp，属于中柔度杆。 45
/webnew/
稳定平衡与不稳定平衡
考察一根细长压杆，当压力P 不大时，干扰力一旦撤去， 不大时，干扰力一旦撤去， 考察一根细长压杆， 杆经过若干次振动后，仍回复到原来的直线形状，如图9 杆经过若干次振动后，仍回复到原来的直线形状，如图9-2c, 稳定的平衡。 这种保持原有直线形状的平衡是稳定的平衡 这种保持原有直线形状的平衡是稳定的平衡。 当压力P 增大到某一数值 Pcr 时，稍受横向力的干 杆即变弯， 扰，杆即变弯，不再恢复 原有的直线形状， 原有的直线形状，而处于 弯曲平衡状态； 弯曲平衡状态；如P值再 稍有增加， 稍有增加，杆的弯曲变形 显著增大， 显著增大，甚至最后造成 破坏， 破坏，这种不能保持原有 直线形状的平衡是不稳定 直线形状的平衡是不稳定 的平衡。如图9 的平衡。如图9-2d.
材料力学-第十一章-压杆稳定
＝
π2
×
206 52
×109
×
π
×
160 ×10-3 64
4
= 2.6 ×106 N = 2.60 ×103 kN
材料力学－第11章 压杆稳定
§11-3 两端非铰支细长压杆的临界载荷
2.已知： d =160 mm， Q235钢， E =206 GPa ，确定两根杆的临 界载荷
对于两端固定的压杆，就有
F
d2w + k2w = 0 k2 = F
dx 2
EI
M
F
F
w
微分方程的解: w =Asinkx + Bcoskx
边界条件:=x 0= , w 0 :
B=0
=x l= , w 0 :
Asin kl = 0
系数A，B不能全为0：sin kl = 0
= kl nπ , =n 1, 2,⋅ ⋅ ⋅
k=2
F n2π 2
EI l2
屈曲位移函数： w = Asin nπ x l
弯曲幅值A取决于弯曲程度，与压力F有关。
分叉点 F
Fcr
材料力学－第11章 压杆稳定
§11-2 两端铰支细长压杆的临界载荷
压杆稳定平衡路径
F
平衡路径
F<Fcr 时，直线平衡态为稳定且唯一的
平衡路径
F>Fcr 时，直线平衡态不稳定，一旦有 扰动，杆将转为弯曲平衡态
=
, =n 1, 2,⋅ ⋅ ⋅
EI l2
临界载荷： F=cr
n2π 2EI , =n
l2
1, 2,⋅ ⋅ ⋅
最小临界载荷：
Fcr
=
π 2EI
l2
压杆稳定
178第二十三章 压杆稳定一、 内容提要1、稳定的概念压杆的稳定性：压杆保持初始直线平衡状态的能力。
压杆的失稳：压杆丧失直线形状的平衡状态。
临界载荷：保持压杆稳定平衡时杆件所能承受的最大外力。
2、临界应力的计算大柔度杆（ ）中柔度杆（ ）小柔度杆（ ） 说明：(1)压杆的临界应力在稳定问题中相当于强度问题中的极限应力，是确定稳定许用应力的依据。
(2)一种材料的极限应力是由材料本身的性质决定的。
压杆的临界应力除决定于材料外，还与杆的柔度有关，(3)根据 的值判断压杆的类别（大柔度杆、中柔度杆或小柔度杆），选用相应的计算临界力的公式。
3、压杆的稳定计算压杆的稳定性条件其中 安全系数法折减系数法说明(1)与强度问题类似，稳定计算也存在三方面的问题：稳定校核、截面设计、计算许可载荷。
（2）杆件丧失稳定是一种整体性行为，横截面的局部削弱对稳定的临界应力影响不大，因此在稳定计算时采用横截面的毛面积。
二、 基本要求1. 明确稳定平衡、不稳定平衡和临界载荷的概念，理解两端铰支压杆临界载荷公式的推导过程。
2. 理解长度系数的力学意义，熟练掌握四种常见的约束形式下细长压杆的临界载荷的计算。
p s λλλ≤≤p λλ>s λλ<22λπσE cr =λσb a cr -=scr σσ=λ[]crA N σσ≤=[]w crcr n σσ=[][]σϕσ=cr1793. 明确压杆柔度、临界应力和临界应力总图的概念，熟练掌握大柔度、中柔度和小柔度三类压杆的判别方法及其临界载荷的计算和稳定性的校核方法。
4. 了解根据压杆稳定性条件设计杆件截面的折减系数法。
5. 了解提高压杆稳定性的主要措施。
三、 典型例题分析例1 三根圆截面压杆直径均为 ，材料为 钢， MPa b 12.1=)， ， ， , 两端均为铰支，长度分别为 且 , 试计算各杆的临界力。
解 （1）有关数据（2）计算各杆的临界力1杆 属大柔度杆2杆 属中柔度杆3杆属小柔度杆mm d 160=MPa E5102⨯=MPa p 200=σMPa s 240=σ,,,321l l l m l l l 542321===,304(MPa a =3A 2222210202.016.044mm d A -⨯==⨯==ππ45441022.316.06464md I -⨯=⨯==ππm d i 04.0416.04===1=μ10010200102611=⨯⨯==πσπλpp E5712.1240304=-=-=ba ss σλ10012504.05111=>=⨯==p il λμλKNl EIP cr 2540)(212==μπ5.6204.05.2122=⨯==il μλMPab a cr 2342=-=λσKNA P cr cr 46801021023426=⨯⨯⨯=⋅=-σ2.3104.025.1133=⨯==il μλ180例2 截面为 的矩形木柱，长 ， 。
工程力学压杆稳定ppt课件
解 （1）圆形截面
直径 惯性半径
D 4 A 4 90 3 0 .8 3 m 5 m 3.8 3 5 1 3 0 m
iI A
D D 4 2 //6 4 4 D 4 3.8 3 4 1 5 3 0 8 .4 1 6 3 0 m
柔度
l 11.2 142
i 8.461 03
P
E P
200190 9.93
200160
因为 14 2 P9.3 9，所以属细长压杆，用欧拉公式计算临界力
F cr 2 lE 2 I 2 20 1精0 9 选1 0 p6 p1 t课.2 件4 2 23 021.8 3 5 1 3 0 48.3 8 KN 35
（2） 正方形截面
截面边长 aA 90 3 0 0 1 3 0 m
p, crp cr22Ep.
2E p
p
2E p
cr
无效
（细长压杆临界柔度）
p
欧拉公式的适用围: p，
有效
cr
2E 2
称大柔度杆（细长压杆 ）
例：Q235钢，E20G0P ,p a20M o 0.Pa p
l i
p
2 E 2200103 99 .35100
p
20精0选ppt课件2021
kln （n = 0、1、2、3……）
由 k2 Fcr 可 得 EI
Fcr
n2 2EI
l2
精选ppt课件2021
17
临界载荷:
Fcr
n2 2EI
l2
屈曲位移函数 :y(x)Asinnx
l
临界力 F c r 是微弯下的最小压 力，故取 n = 1。且杆将绕惯性矩最小
的轴弯曲。
最小临界载荷:
11-压杆稳定
3
10
12
4.1710
9
m
4
10 50
z
y
Fcr
2IminE (1l)2
2 4.17 200
(0.7 0.5)2
67.14kN
图(b)
L L
图(a)
(4545 6)
等边角钢
图(b)
IminI z 3.8910 8 m4
Fcr
2Im (2l
i)n2E
l 2l l 0.5l
Pcr
Pcr
Pcr
Pcr
Pcr
失
稳 时
B
B
B
挠
D
曲
线 形
C
C
状
A
A
A
C— 挠曲 C、D— 挠
线拐点 曲线拐点
临界力Pcr 欧拉公式
Pcr
2Leabharlann lEI2Pcr
(0.27El)I2Pcr
2EI
(0.5l ) 2
Pcr
2EI
(2l ) 2
长度系数μ μ=1 μ0.7 μ=0.5 μ=2
kL2n
为求最小临界力，“k”应取除零以外的最小值，即取：
kL2
所以，临界力为：
Fcr
4 2EI
L2
2EI
(L / 2)2
= 0.5
11.3 不同约束条件下压杆的欧拉公式
支承情况
两端铰支
一端固定 另端铰支
两端固定
一端固定 两端固定但可沿 另端自由 横向相对移动
l l 0.7 l l 0.5 l
《压杆稳定教学》课件
临界载荷法：通过临界载荷 计算，判断系统稳定性
稳定性图解法：通过稳定性 图解，判断系统稳定性
压杆稳定实验方法
第五章
实验目的
验证压杆稳定理论 掌握压杆稳定实验的基本操作 学习压杆稳定实验数据分析方法 提高压杆稳定实验的实践能力
实验原理
压杆稳定实验是研究压杆在受力作用下的稳定性问题
实验原理基于欧拉-伯努利梁理论，通过测量压杆在不同载荷下的变形和应力分布，分析 压杆的稳定性
第二章
课件背景
压杆稳定是工程力学中的重要概念 课件旨在帮助学生理解压杆稳定的原理和应用 课件包括理论讲解、实例分析、习题练习等环节 课件适用于工程力学、土木工程等专业的学生
教学目标
掌握压杆稳定的 基本概念和原理
学会分析压杆稳 定问题
掌握压杆稳定计 算的基本方法
提高学生的工程 实践能力
适用对象
工程力学专业的学生
结构工程专业的学生
土木工程专业的学生
机械工程专业的学生
相关领域的研究人员 和工程师
内容结构
压杆稳定理 论基础
压杆稳定设 计方法
压杆稳定分 析方法
压杆稳定实 验与验证
压杆稳定实 例分析
压杆稳定发 展趋势
压杆稳定基本概念
第三章
压杆定义
压杆：承受轴向压力的杆件 压杆的种类：直杆、曲杆、斜杆等 压杆的受力：轴向压力、剪切力、弯矩等 压杆的稳定性：压杆在受力作用下的稳定性能，包括临界载荷、临界应力等。
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汇报人：PPT
案例总结与启示
案例背景：某建筑工程中，压杆稳定性问题 案例分析：通过理论分析和实验验证，确定压杆稳定性的影响因素 案例启示：在实际工程中，应充分考虑压杆稳定性的影响因素，确保工程安全 案例应用：在工程设计中，采用压杆稳定性分析方法，提高工程安全性能
工程力学压杆稳定ppt课件
.
Fcr 0.7l
F 0.5l
l l
一端固定，一端铰支 EI 2
Fcr (0.7l) 2
.
两端固定 EI 2
Fcr (0.5l) 2
不同约束情况下，细长杆的临 界压力欧拉公式可统一写成：
EI 2 Fcr (l )2
：长度系数 l：相当长度
.
两端铰支 一端固定，一端自由 一端固定，一端铰支 两端固定
[FN]156k N [F]52[FN]62.4k N
.
二、压杆稳定计算 ––– 折减系数法
工程中为了简便起见，对压杆的稳定计 算还常采用折减系数法。即将材料的压缩许 用应力[ ]乘上一个小于1的折减系数 作为 压杆的许用临界应力，即：
[ cr] = [ ]
< 1，称为折减系数
[ cr ] [ ]
L
v F v 0
EI
记k 2 F EI
F
x vM F x
y
v + k2v = 0
––– 二阶常系数齐次线性微分方程
.
通解： v = c1sinkx + c2coskx 边界条件：
x = 0 v( 0 ) = 0 x = l v( l ) = 0 v(0) = c1sin(k* 0) + c2cos(k* 0) = c2 = 0 v = c1sinkx v(l) = c1sinkl = 0
F：工作压力
Fcr：临界压力
nst：额定安全系数
nst
Fcr F
n
nFcr：工作安(实 全际 系安 数全 ) 系数
F
.
稳定计算的一般步骤：
① 分别计算各个弯曲平面内的柔度 y 、 z ，从而得到 max；
Fcr 0.7l
F 0.5l
l l
一端固定，一端铰支 EI 2
Fcr (0.7l) 2
.
两端固定 EI 2
Fcr (0.5l) 2
不同约束情况下，细长杆的临 界压力欧拉公式可统一写成：
EI 2 Fcr (l )2
：长度系数 l：相当长度
.
两端铰支 一端固定，一端自由 一端固定，一端铰支 两端固定
[FN]156k N [F]52[FN]62.4k N
.
二、压杆稳定计算 ––– 折减系数法
工程中为了简便起见，对压杆的稳定计 算还常采用折减系数法。即将材料的压缩许 用应力[ ]乘上一个小于1的折减系数 作为 压杆的许用临界应力，即：
[ cr] = [ ]
< 1，称为折减系数
[ cr ] [ ]
L
v F v 0
EI
记k 2 F EI
F
x vM F x
y
v + k2v = 0
––– 二阶常系数齐次线性微分方程
.
通解： v = c1sinkx + c2coskx 边界条件：
x = 0 v( 0 ) = 0 x = l v( l ) = 0 v(0) = c1sin(k* 0) + c2cos(k* 0) = c2 = 0 v = c1sinkx v(l) = c1sinkl = 0
F：工作压力
Fcr：临界压力
nst：额定安全系数
nst
Fcr F
n
nFcr：工作安(实 全际 系安 数全 ) 系数
F
.
稳定计算的一般步骤：
① 分别计算各个弯曲平面内的柔度 y 、 z ，从而得到 max；
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B
z y No.28a A
σ cr = a − bλ = 304 − 1.12 × 70 MPa = 226 MPa Fcr = σ cr A = 226 × 55.4 × 102 N = 1252 kN
第十一章 压杆稳定
§11.4 压杆的稳定条件及设计准则
一、稳定条件 二、稳定计算的三类问题
§11.4 压杆的稳定条件及设计准则
一、工程中的压杆： 压力机的压杆
二、压杆的失效形式
§11.1 压杆稳定的概念
强度不足 ——粗短压杆 σ = FN > [σ ]
A
失 稳 ——细长压杆
三、压杆失稳的实例
§11.1 压杆稳定的概念
1.1907年加拿大圣劳伦斯河(St. Lawrence) 在架魁北克桥(Quebec Bridge)时，由于悬臂桁 架中的一根压杆失稳，造成桥梁倒塌，9000吨 钢材变成一堆废墟。
λp = π
203 ×109 200 ×106
= 100
§11.3 欧拉公式的使用范围 临界应力总图
二、中柔度压杆的临界应力
1.临界应力
当σp≤σcr≤σs时，也有理论分析结果
通常采用建立在试验基础上的经验公式： σ cr = a − bλ
a、b——与材料的力学性能有关的常数， 单位：MPa
§11.3 欧拉公式的使用范围 临界应力总图
2
第十一章 压杆稳定
§11.3 欧拉公式的使用范围 临界应力总图
一、欧拉临界应力公式及其使用范围 二、中柔度压杆的临界应力 三、小柔度压杆的临界应力 四、临界应力总图
§11.3 欧拉公式的使用范围 临界应力总图
一、欧拉临界应力公式及其使用范围
1.临界应力 临界应力——单位横截面面积上的临界压力 (临界压力除以横截面面积)
二、中柔度压杆的临界应力
2.适用范围
即：
σ p ≤ a − bλ = σ cr ≤ σ s
λ ≥ a−σs
b
= λ0
记：
λ0
=
a
−σ
b
s
与材料的力学性能有关
中柔度压杆(中长压杆)—— 满足λ0≤λ≤λp的压杆
例如：Q235钢：σs=235MPa，a=304MPa，b=1.12MPa
λ0
=
304 − 235 1.12
F
查表：i = imin = i y = 2.50 cm, A = 55.4 cm2
λ = μl = 0.5 × 3.5 ×102 = 70
i
2.50
查表：Q235钢 λp = 100, λ0 = 62
3.5m
λ0 < λ < λp 属于中柔度压杆 2.求Fcr 查表：a = 304 MPa b = 1.12 MPa
Fcr
Fcr
Fcr
=
π 2 EI
(2l )2
l
l
l
Fcr
§11.2 细长压杆临界压力的欧拉公式
二、其他约束下细长压杆的临界压力
解法：比较变形法
2.两端固定
Fcr
Fcr
Fcr
=
π
⎜⎛
2 EI l ⎟⎞2
⎝ 2⎠
FNcr= Fcr
l 4
l 2
FNcr
FNcr=Fcr FNcr
l 4
l 4
l l2
l 4
μl——相当长度
μ——长度系数，反映不同杆端约束对临界压力的影响
§11.2 细长压杆临界压力的欧拉公式
三、欧拉公式的统一形式
Fcr
=
π 2 EI (μl )2
压杆的长度系数
压杆的约束条件
长度系数
一端固定，另一端自由 两端铰支
μ =2 μ =1
一端固定，另一端铰支
μ = 2 ≈ 0.7
3
两端固定
μ = 1 = 0.5
且σ ≤ σp 由 EIy′′ = −M(x)
和 M( x)= Fy
得到 EIy′′ + Fy = 0
令
k2 = F
EI
则有 y′′ + k 2 y = 0
x
x
F
FN
M(x) l
y
y
x
x
y
y
F
F
§11.2 细长压杆临界压力的欧拉公式
一、两端铰支细长压杆的临界压力
微分方程： y′′ + k 2 y = 0
第十一章 压杆稳定
材料力学
§11.1 §11.2 §11.3
§11.4 §11.5
压杆稳定的概念 细长压杆临界压力的欧拉公式 欧拉公式的使用范围 临界应力总图 压杆的稳定条件及设计准则 提高压杆稳定性的措施
第十一章 压杆稳定
§11.1 压杆稳定的概念
一、工程中的压杆 二、压杆的失效形式 三、压杆失稳的实例 四、压杆稳定的概念
σ cr
σ cr= a −bλ
σ σ
s p
σ cr=σ s
σ
cr=
π 2E λ2
O 小 λ0 中 λp 大 λ
柔柔
柔
度度
度
压压
压
杆杆
杆
可见：压杆的临界应力随着其柔度的增大而减小
§11.3 欧拉公式的使用范围 临界应力总图
例1 图示用No.28a工字钢制成的立柱，两端固定，
试求立柱的临界压力。
解：1.求λ
§11.5 提高压杆稳定性的措施
工程中的压杆： 灯杆和广告牌的立柱
注意： 临界压力是压杆所具有的维持稳定平 衡能力的一个力学指标。
第十一章 压杆稳定
§11.2 细长压杆临界压力的欧拉公式
一、两端铰支细长压杆的临界压力 二、其他约束下细长压杆的临界压力 三、欧拉公式的统一形式
§11.2 细长压杆临界压力的欧拉公式
一、两端铰支细长压杆的临界压力
设： 压杆处于微弯状态，
=
62
§11.3 欧拉公式的使用范围 临界应力总图
三、小柔度压杆的临界应力
小柔度压杆(粗短压杆)—— 满足λ≤λ0的压杆
这类压杆不会出现失稳现象，应按强度问题计算。 临界应力
σcr = σs
§11.3 欧拉公式的使用范围 临界应力总图
四、临界应力总图
临界应力总图——压杆的临界应力随柔度的变化情况
y = Asin πx
l
——半正弦波曲线
A = y x= l = ymax 2
——是微小的、不却确定的量
l y x
y F
§11.2 细长压杆临界压力的欧拉公式
一、两端铰支细长压杆的临界压力
讨论：2.临界压力的精确解
− y′′ = M(x) EI
Fcr
=
π
2 EI l2
(近似解) 欧拉解
精确失稳挠曲线微分方程？
一、稳定条件
F ≤ Fcr nst
或
n=
Fcr F
≥ nst
F ——压杆的工作压力
Fcr——压杆的临界压力
n ——压杆的工作安全因数 (即实际的安全因数)
nst ——规定的稳定安全因数
§11.4 压杆的稳定条件及设计准则
二、稳定计算的三类问题
1.校核稳定性 2.选择截面尺寸 3.确定许用载荷
§11.4 压杆的稳定条件及设计准则
5.2008年8月21日上午，甬台温铁路浙江 黄岩金寺堂特大桥工程项目38号墩0号块梁板 发生坍塌事故，240多吨的梁板掉落，埋住4 人，其中2人死亡。
据“8.21”事故情况通报，现初步查明事 故系施工人员擅自拆除翼板部位支撑钢管时 支架失稳导致。
三、压杆失稳的实例
§11.1 压杆稳定的概念
四、压杆稳定的概念
−(1 +
y′′ 1
y′2 )ρ3/2
= M(x) EI
精确解
§11.2 细长压杆临界压力的欧拉公式
一、两端铰支细长压杆的临界压力
F Fcr
O
精确解 欧拉解
ymax
欧拉公式适用于小变形情况
§11.2 细长压杆临界压力的欧拉公式
二、其他约束下细长压杆的临界压力
解法：比较变形法
1.一端固定、另一端自由
I =?
I = Imin
§11.2 细长压杆临界压力的欧拉公压杆 一、 式
的两
一、两端铰支细长压杆的临界压力
临端 界铰 压支
力细
长
讨论：1.失稳挠曲线
x
⎧ 0⋅ A+ 1⋅B = 0 ⎩⎨sin kl ⋅ A + cos kl ⋅ B = 0
F
因为
B = 0 且 sin kl = 0
所以
A≠0
故有
拐点 拐点
§11.2 细长压杆临界压力的欧拉公式
二、其他约束下细长压杆的临界压力
解法：比较变形法
3.一端固定、另一端铰支
Fcr
Fcr
Fcr
=
π 2 EI
⎜⎛ 2l ⎟⎞2
⎝3⎠
拐点
Fc'r
2l 3
l
拐点
§11.2 细长压杆临界压力的欧拉公式
三、欧拉公式的统一形式
Fcr
=
π 2 EI (μl )2
三、压杆失稳的实例
§11.1 压杆稳定的概念
2.1922年冬天下大雪，美国华盛顿尼克 尔卜克尔剧院由于屋顶结构中的一根压杆超 载失稳，造成剧院倒塌，死98人，伤100余 人。
三、压杆失稳的实例
§11.1 压杆稳定的概念
3.1983年10月4日，高54.2m、长17.25m、 总重565.4kN大型脚手架失稳坍塌，造成5人死 亡、7人受伤。
形状等因素对临界应力的综合影响
§11.3 欧拉公式的使用范围 临界应力总图