高三数学一轮复习概率与统计

2009届一轮复习概率与统计高考要求:概率是高考的重点内容之一，尤其是新增的随机变量这部分内容.要充分注意一些重要概念的实际意义，理解概率处理问题的基本思想方法. 重难点归纳:本章内容分为概率初步和随机变量两部分.第一部分包括等可能事件的概率、互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率和独立重复实验.第二部分包括随机变量、离散型随机变量的期望与方差.涉及的思维方法:观察与试验、分析与综合、一般化与特殊化. 主要思维形式有:逻辑思维、聚合思维、形象思维和创造性思维. 典型题例示范讲解:例1有一容量为50的样本，数据的分组及各组的频率数如下: ［10，15］4 ［30，35)9 ［15，20)5 ［35，40)8 ［20，25)10 ［40，45)3 ［25，30)11(1)列出样本的频率分布表(含累积频率)； (2)画出频率分布直方图和累积频率的分布图.命题意图:本题主要考查频率分布表，频率分布直方图和累积频率的分布图的画法. 知识依托:频率、累积频率的概念以及频率分布表、直方图和累积频率分布图的画法. 错解分析:解答本题时，计算容易出现失误，且要注意频率分布与累积频率分布的区别. 技巧与方法:本题关键在于掌握三种表格的区别与联系. 解(2)例2袋子A 和B 中装有若干个均匀的红球和白球，从A 中摸出一个红球的概率是31，从B 中摸出一个红球的概率为p ．(Ⅰ)从A 中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止． (i )求恰好摸5次停止的概率；(ii )记5次之内(含5次)摸到红球的次数为ξ，求随机变量ξ的分布率及数学期望E ξ． (Ⅱ)若A 、B 两个袋子中的球数之比为12，将A 、B 中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是25，求p 的值． 命题意图:本题考查利用概率知识和期望的计算方法. 知识依托:概率的计算及期望的概念的有关知识.错解分析:在本题中，随机变量的确定，稍有不慎，就将产生失误. 技巧与方法:可借助n 次独立重复试验概率公式计算概率.解:(Ⅰ)（i ）2224121833381C ⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(ii)随机变量ξ的取值为0，1，2，3，；由n 次独立重复试验概率公式()()1n kkkn n P k C p p -=-，得()505132013243P C ξ⎛⎫==⨯-=⎪⎝⎭； ()41511801133243P C ξ⎛⎫==⨯⨯-=⎪⎝⎭ ()232511802133243P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()323511173133243P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （或()328021731243243P ξ+⨯==-=） 随机变量ξ的分布列是ξ的数学期望是:32808017131012324324324324381E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. (Ⅱ)设袋子A 中有m 个球，则袋子B 中有2m 个球.由122335m mpm +=，得1330p =.例3如图，用A 、B 、C 三类不同的元件连接成两个系统N 1、N 2，当元件A 、B 、C 都正常工作时，系统N 1正常工作；当元件A 正常工作且元件B 、C 至少有一个正常工作时，系统N 2正常工作.已知元件A 、B 、C 正常工作的概率依次为0.80,0.90,0.90，分别求系统N 1，N 2正常工作的概率P 1、P 2.(N 2)AB C(N 1)CB A解:记元件A 、B 、C 正常工作的事件分别为A 、B 、C ， 由已知条件P (A )=0.80,.P (B )=0.90,P (C )=0.90.(1)因为事件A 、B 、C 是相互独立的，所以，系统N 1正常工作的概率P 1=P (A ·B ·C )=P (A )P (B )P (C )=0.648,故系统N 1正常工作的概率为0.648.(2)系统N 2正常工作的概率P 2=P (A )·［1－P (C B ⋅)］ =P (A )·［1－P (B )P (C )］=0.80×［1－(1－0.90)(1－0.90)］=0.792 故系统N 2正常工作的概率为0.792. 学生巩固练习:1.甲射击命中目标的概率是21，乙命中目标的概率是31，丙命中目标的概率是41.现在三人同时射击目标，则目标被击中的概率为( )107 D. 54C. 32 B. 43A. 2.已知随机变量ζ的分布列为:P (ζ=k )=31,k =1,2,3,则P (3ζ+5)等于A 6B 9C 3D 43.1盒中有9个正品和3个废品，每次取1个产品，取出后不再放回，在取得正品前已取出的废品数ζ的期望E ζ=_________.4.某班有52人，男女各半，男女各自平均分成两组，从这个班中选出4人参加某项活动，这4人恰好来自不同组别的概率是_________.5.甲、乙两人各进行一次射击，如果两人击中目标的概率都是0.6，计算: (1)两人都击中目标的概率；(2)其中恰有一人击中目标的概率； (3)至少有一人击中目标的概率.6.已知连续型随机变量ζ的概率密度函数f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤-≤2 021 1 0x x a x x(1)求常数a 的值，并画出ζ的概率密度曲线；(2)求P (1＜ζ＜23＝. 7.设P 在［0,5］上随机地取值，求方程x 2+px +214+p =0有实根的概率. 8.设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作.若一周5个工作日里均无故障，可获利润10万元；发生一次故障可获利润5万元，只发生两次故障可获利润0万元，发生三次或三次以上故障就要亏损2万元。

求一周内期望利润是多少？参考答案:1.解析:设甲命中目标为事件A ，乙命中目标为事件B ，丙命中目标为事件C ，则目标被击中的事件可以表示为A+B+C ，即击中目标表示事件A 、B 、C 中至少有一个发生..41)411)(311)(211()](1[)](1[)](1[)()()()(=---=-⋅-⋅-=⋅⋅=⋅⋅∴C P B P A P C P B P A P C B A P 故目标被击中的概率为1－P (A ·B ·C )=1－4341= 答案:A2.解析:E ξ=(1+2+3)·31=2，E ξ2=(12+22+32)·31=314 ∴D ξ=E ξ2－(E ξ)2=314－22=32.∴D (3ξ+5)=9E ξ=6. 答案:A3.解析:由条件知，ξ的取值为0，1，2，3，并且有P (ξ=0)=43C C 11219=,112131393939234121212C C C C C C 991(1),(2),(3)442202202C 2C 2C P P P ξξξ⋅========= 399101230.3444220220E ξ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=答案:0.34.解析:因为每组人数为13，因此，每组选1人有C 113种方法，所以所求概率为P =4524113C )C (. 答案:4524113C )C ( 5.解:(1)我们把“甲射击一次击中目标”叫做事件A ，“乙射击一次击中目标”叫做事件B .显然事件A 、B 相互独立，所以两人各射击一次都击中目标的概率是P (A ·B )=P (A )·P (B )=0.6×0.6=0.36答:两人都击中目标的概率是0.36(2)同理，两人各射击一次，甲击中、乙未击中的概率是 P (A ·B )=P (A )·P (B )=0.6×(1－0.6)=0.6×0.4=0.24甲未击中、乙击中的概率是P (A ·B)=P (A )P (B )=0.24，显然，“甲击中、乙未击中”和“甲未击中、乙击中”是不可能同时发生，即事件A ·B 与A ·B 互斥，所以恰有一人击中目标的概率是P (A ·B )+P (A ·B )=0.24+0.24=0.48 答:其中恰有一人击中目标的概率是0.48.(2)两人各射击一次，至少有一人击中目标的概率P =P (A ·B )+［P (A ·B )+P (A )·B ］=0.36+0.48=0.84答:至少有一人击中目标的概率是0.84.6.解:(1)因为ξ所在区间上的概率总和为1，所以21(1－a +2－a )·1=1, ∴a =21概率密度曲线如图:(2)P (1＜ξ＜23＝=9323)121(21=⋅+⋅7.解:一元二次方程有实数根⇔Δ≥0而Δ=P 2－4(214+P )=P 2－P －2=(P +1)(P －2) 解得P ≤－1或P ≥2故所求概率为P =53]5,0[)},2[]1,{(]5.0[=+∞--∞的长度的长度 8.解:以X 表示一周5天内机器发生故障的天数，则X －B (5，0.2)，于是X 有概率分布P (X =k )=C k50.2k 0.85－k ,k =0,1,2,3,4,5.以Y 表示一周内所获利润，则Y =g (X )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-===3 22 015010X X X X 若若若若Y 的概率分布为:P (Y =10)=P (X =0)=0.85=0.328P (Y =5)=P (X =1)=C 150.2·0.84=0.410 P (Y =0)=P (X =2)=C 25·0.22·0.83=0.205P(Y=－2)=P(X≥3)=1－P(X=0)－P(X=1)－P(X=2)=0.057故一周内的期望利润为:EY=10×0.328+5×0.410+0×0.205－2×0.057=5.216(万元) 课前后备注:。