有限差分法和变分法
有限差分法
有限差分法finite difference method用差分代替微分，是有限差分法的基本出发点。
是一种微分方程和积分微分方程数值解的方法。
把连续的定解区域用有限个离散点构成的网格来代替，这些离散点称作网格的节点；把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似；把原方程和定解条件中的微商用差商来近似，积分用积分和来近似，于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组，即有限差分方程组，解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。
然后再利用插值方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解。
如何根据问题的特点将定解区域作网格剖分；如何把原微分方程离散化为差分方程组以及如何解此代数方程组。
此外为了保证计算过程的可行和计算结果的正确，还需从理论上分析差分方程组的性态，包括解的唯一性、存在性和差分格式的相容性、收敛性和稳定性。
对于一个微分方程建立的各种差分格式，为了有实用意义，一个基本要求是它们能够任意逼近微分方程，这就是相容性要求。
另外，一个差分格式是否有用，最终要看差分方程的精确解能否任意逼近微分方程的解，这就是收敛性的概念。
此外，还有一个重要的概念必须考虑，即差分格式的稳定性。
因为差分格式的计算过程是逐层推进的，在计算第n＋1层的近似值时要用到第n层的近似值，直到与初始值有关。
前面各层若有舍入误差，必然影响到后面各层的值，如果误差的影响越来越大，以致差分格式的精确解的面貌完全被掩盖，这种格式是不稳定的，相反如果误差的传播是可以控制的，就认为格式是稳定的。
只有在这种情形，差分格式在实际计算中的近似解才可能任意逼近差分方程的精确解。
最常用的方法是数值微分法，比如用差商代替微商等。
另一方法叫积分插值法，因为在实际问题中得出的微分方程常常反映物理上的某种守恒原理，一般可以通过积分形式来表示。
此外还可以用待定系数法构造一些精度较高的差分格式。
龙格库塔龙格-库塔(Runge-Kutta)方法是一种在工程上应用广泛的高精度单步算法。
有限差分法
两端都要给定边界条件（双程坐标） 。
9
(C) 双曲型方程：适当的边界条件和初始条件，与波动传 播的性质有关 如：一维对流方程
∂u ∂u +c =0 ∂t ∂x u (x ,0) = f (x )
解为 u (x , t ) = f (x − ct ) ，代表一个向右(c > 0 时)或向左 ( c < 0 时)传播的波形。必须在波形传来的一侧提供边界条 件（单程坐标） 。
10
不适定的例子：
utt + u xx = 0 u (x ,0) = u t (x ,0) = 0
拉普拉斯方程＋非闭域边界条件，解为 u (x , t ) ≡ 0 。 然而，若定解条件为 u (x ,0) = 0, ut (x ,0) =
u (x , t ) = 1 sin nx ，解为 n
1 sinh nt sin nx n
(
)
n n um+1 = um −
cτ n n um +1 − um −1 2h
(
)
设计算到第 n 步时的累积误差
n ~n εn = 计算值um − 差分法精确解um m
反之
n ~n um = εn + um m
15
则第 n+1 步的计算值
~n ~ n cτ u n − u n ~ ~ um+1 = um − m +1 m −1 2h cτ n cτ n n n = um − um +1 − um −1 + εn − εm +1 − εn −1 m m 2h 2h n = um+1 + εn +1 m
uin +1 − uin −1 uin+1 − uin +1 − uin −1 − uin−1 −α =0 Lh u = τ h2 ατ 2 ⎛ ∂ 2u ⎞ τ 2 ⎛ ∂ 3u ⎞ Ti = Lh u − Lu (x i , t n ) = 2 ⎜ 2 ⎟ + ⎜ 3 ⎟ − L 截断误差 6 ⎜ ∂t ⎟i h ⎜ ∂t ⎟i ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
变分法——精选推荐
变分法综述1.变分法1.1.变分法起源变分法是17世纪末发展起来的一门数学分支，主要是古典变分法，它理论完整，在力学、光学、物理学、摩擦学、经济学、宇航理论、信息论和自动控制论等诸多方面有广泛应用。
20世纪中叶发展起来的有限元法，其数学基础之一就是变分法。
[1]变分法是处理泛函的数学领域，和处理函数的普通微积分相对。
譬如，这样的泛函可以通过未知函数的积分和它的导数来构造。
变分法最终寻求的是极值函数：它们使得泛函取得极大或极小值。
有些曲线上的经典问题采用这种形式表达：一个例子是最速降线，在重力作用下一个粒子沿着该路径可以在最短时间从点A 到达不直接在它底下的一点B 。
在所有从A 到B 的曲线中必须极小化代表下降时间的表达式。
变分法的关键定理是欧拉－拉格朗日方程。
它对应于泛函的临界点。
在寻找函数的极大和极小值时，在一个解附近的微小变化的分析给出一阶的一个近似。
它不能分辨是找到了最大值或者最小值（或者都不是）。
变分法在理论物理中非常重要：在拉格朗日力学中，以及在最小作用量原理在量子力学的应用中。
变分法提供了有限元方法的数学基础，它是求解边界值问题的强力工具。
它们也在材料学中研究材料平衡中大量使用。
而在纯数学中的例子有，黎曼在调和函数中使用狄力克雷原理。
最优控制的理论是变分法的一个推广。
[2]同样的材料可以出现在不同的标题中，例如希尔伯特空间技术，摩尔斯理论，或者辛几何。
变分一词用于所有极值泛函问题。
微分几何中的测地线的研究是很显然的变分性质的领域。
极小曲面（肥皂泡）上也有很多研究工作，称为Plateau 问题。
1.2变分问题类型固定边界的变分问题，可动边界的变分问题，条件极值变分问题和参数形式的变分问题。
[3]（1）古典变分问题举例 例1：最速降线或捷线问题（Brachistorone or curve of Steepest descent ）问题。
这是历史上出的第一个变分法问题，1696年约翰·伯努利提出的。
有限差分法的基本原理
f (x) ≈
2h
中心二阶差商
′′
f (x+h)−2f (x)+f (x−h)
f (x) ≈
h2
O(h) O(h)
2
O(h )
2
O(h )
其中，h表示网格间距，O(hn)表示截断误差与hn成正比。可以看出，中心差商比前向或后向差商具有更高的精度。
误差分析
有限差分法求得的数值解与真实解之间存在误差，这些误差主要来源于以下几个方面：
常用差分格式
有限差分法中最重要的步骤是构造合适的差分格式来近似微分项。根据泰勒展开式，可以得到以下常用的一阶和二阶差分格式：
差分格式
表达式
截断误差
前向一阶差商
′
f (x+h)−f (x)
f (x) ≈
h
后向一阶差商
′
f (x)−f (x−h)
f (x) ≈
h
中心一阶差商
′
f (x+h)−f (x−h)
截断误差：由于使用有限项级数来近似无穷级数而产生的误差； 舍入误差：由于计算机对小数进行四舍五入而产生的误差；
离散误差：由于对连续区域进行离散化而产生的误差； 稳定性误差：由于数值格式的稳定性不足而导致误差的累积或放大。
为了减小误差，一般可以采取以下措施：
选择更高阶或更精确的差分格式； 减小网格间距或时间步长； 选择合适的初始条件和边界条件； 选择稳定且收敛的数值格式。
+
。 2
h)
为了验证上述方法的正确性，我们取M = 10, N = 100，则原问题可以写为如下形式：
则该问题对应的递推关系式为：
⎧ut (x, t) − uxx (x, t) = 0,
有限差分法
我们现在考虑方程(4.2.1)中 p 为常数的二维的情况，我们可以得到下面的方程：
∂ 2φ + ∂ 2φ + f (x, y)φ = q(x, y). ∂x 2 ∂y 2
设函数φ 在区域 D 内满足方程（4.2.6）式(区域 D 的边界为 G)。
(4.2.6)
7
区域 D 的离散化：
即通过任意的网络划分方法把区域 D 离散为许许多多的小单元。原则上讲这种网格分割是可以任 意的，但是在实际应用中，常常是根据边界 G 的形状，采用最简单，最有规律，和边界的拟合程度最 佳的方法来分割。常用的有正方形分割法和矩形分割法（如图 4.2.1）。有时也用三角形分割法（见 图 4.2.2）。对圆形区域，应用图（4.2.3）所示的极网络格式也许更方便些。这些网络单元通常称 为元素，网络点称为节点。
第四章 有限差分方法
4.1 引言
有限差分法：数值求解常微分方程或偏微分方程的方法。
物理学和其他学科领域的许多问题在被分析研究之后, 往往可以归结为常微分方程或偏微分方 程的求解问题。一般说来，处理一个特定的物理问题，除了需要知道它满足的数学方程外，还应当同 时知道这个问题的定解条件，然后才能设计出行之有效的计算方法来求解。
φ |G = g(s).
(4.2.3)
（2）第二类边界条件，或称诺伊曼(Neumann)问题 (g1 ≠ 0, g2 = 0) 。
∂φ ∂n
|G
=
g ( s ).
（3）第三类边界条件，或称混合问题 (g1 ≠ 0, g2 ≠ 0) 。
对于算符 L 为斯杜-刘维尔(Sturm-Liouville)算符的特定情况，即
1
有限差分法的具体操作分为两个部分：
(1)用差分代替微分方程中的微分，将连续变化的变量离散化，从而得到差分方程组的数学形式； (2)求解差分方程组。 在第一步中，我们通过所谓的网络分割法，将函数定义域分成大量相邻而不重合的子区域。通 常采用的是规则的分割方式。这样可以便于计算机自动实现和减少计算的复杂性。网络线划分的交点 称为节点。若与某个节点 P 相邻的节点都是定义在场域内的节点，则 P 点称为正则节点；反之，若节 点 P 有处在定义域外的相邻节点，则 P 点称为非正则节点。 在第二步中，数值求解的关键就是要应 用适当的计算方法，求得特定问题在所有这些节点上的离散近似值。
(完整版)偏微分方程的MATLAB解法
引言偏微分方程定解问题有着广泛的应用背景。
人们用偏微分方程来描述、解释或者预见各种自然现象，并用于科学和工程技术的各个领域fll。
然而，对于广大应用工作者来说，从偏微分方程模型出发，使用有限元法或有限差分法求解都要耗费很大的工作量，才能得到数值解。
现在，MATLAB PDEToolbox已实现对于空间二维问题高速、准确的求解过程。
偏微分方程如果一个微分方程中出现的未知函数只含一个自变量，这个方程叫做常微分方程，也简称微分方程；如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数，或者说如果未知函数和几个变量有关，而且方程中出现未知函数对几个变量的导数，那么这种微分方程就是偏微分方程。
常用的方法有变分法和有限差分法。
变分法是把定解问题转化成变分问题，再求变分问题的近似解；有限差分法是把定解问题转化成代数方程，然后用计算机进行计算；还有一种更有意义的模拟法，它用另一个物理的问题实验研究来代替所研究某个物理问题的定解。
虽然物理现象本质不同，但是抽象地表示在数学上是同一个定解问题，如研究某个不规则形状的物体里的稳定温度分布问题，由于求解比较困难，可作相应的静电场或稳恒电流场实验研究，测定场中各处的电势，从而也解决了所研究的稳定温度场中的温度分布问题。
随着物理科学所研究的现象在广度和深度两方面的扩展，偏微分方程的应用范围更广泛。
从数学自身的角度看，偏微分方程的求解促使数学在函数论、变分法、级数展开、常微分方程、代数、微分几何等各方面进行发展。
从这个角度说，偏微分方程变成了数学的中心。
一、MATLAB方法简介及应用1.1 MATLAB简介MATLAB是美国MathWorks公司出品的商业数学软件，用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境，主要包括MATLAB和Simulink两大部分。
1.2 Matlab主要功能数值分析数值和符号计算工程与科学绘图控制系统的设计与仿真数字图像处理数字信号处理通讯系统设计与仿真财务与金融工程1.3 优势特点1) 高效的数值计算及符号计算功能，能使用户从繁杂的数学运算分析中解脱出来；2) 具有完备的图形处理功能，实现计算结果和编程的可视化；3) 友好的用户界面及接近数学表达式的自然化语言，使学者易于学习和掌握；4) 功能丰富的应用工具箱(如信号处理工具箱、通信工具箱等) ，为用户提供了大量方便实用的处理工具。
计算电磁学-第4章-有限差分法
同样对微分方程的解y(x)在点(xn,yn)进行泰勒展开
yn1 yn hf ( xn , yn )
1 ' 2 1 '' 3 y ( xn 1 ) y ( xn ) f n h f n h f n h 2! 3!
比较上面两式，只要它们前面项的系数尽可能多的相等，就 保证了截断精度。
1、差分与差商
用差分代替微分，是有限差分法的基本出发点。 这一点由微分原理保证的，当自变量的差分趋于 零时，差分变成微分
f ( x) f ( x h) f ( x)， h x
df f ( x) f ( x) lim dx x 0 x
'
f ( x) f ( x h) f ( x) f ( x) x h
龙格-库塔法
选取α、β、ω系数，使两式项的系数相等
1 fn , 2 f , 3 f , 4 f ,
' n '' n ''' n
如果该关系式能够一直维持到第m阶仍能成立， 但m＋1阶不再成立，就称为m阶龙格-库塔法
cem@
cem@
cem@
cem@
cem@
cem@
cem@
CST粒子仿真
Pierce Gun
ＭＡＧＩＣ
cem@
dy f ( x, y ) dx y x x 0 y0
y( x) y0 f (t , y(t )dt
x0
x
欧拉近似法在函数图上用阶梯的折线代替曲线
f(x) y(x)
yn+1 yn y(x n+1)1) f(n+
空气动力学数学知识点总结
空气动力学数学知识点总结1. 流体力学基础知识流体是一种连续的物质，可以流动并适应它所处的容器的形状。
在空气动力学中，我们关注的是气体流体，它遵循流体力学的基本原理。
这些原理包括连续方程、动量方程和能量方程。
这些方程描述了流体的运动和行为，并且可以通过数学模型来描述。
1.1 连续方程连续方程描述了流体中的质量守恒。
在欧拉描述中，连续方程可以用以下形式表示：∂ρ/∂t + ∇•(ρv) = 0其中ρ是流体的密度，t是时间，v是速度矢量。
这个方程表达了流体在空间和时间上的密度变化。
解决这种类型的偏微分方程需要深入的数学知识，如微分方程、变分法和复杂的数值计算技术。
1.2 动量方程动量方程描述了流体中的运动和力的作用。
在欧拉描述中，动量方程可以写成：∂(ρv)/∂t + ∇•(ρv⊗v) = -∇p + ∇•τ + ρg其中p是静压力，τ是应力张量，g是重力加速度。
这个方程描述了流体在外力下的运动。
解决这个方程需要运用向量微积分、非线性偏微分方程和数值方法等数学知识。
特别是应力张量的计算和解析是非常复杂的数学问题。
1.3 能量方程能量方程描述了流体内部的热力学过程。
在欧拉描述中，能量方程可以写成:∂(ρe)/∂t + ∇•(ρev) = ∇•(k∇T) + σ其中e是单位质量的内能，k是导热系数，T是温度，σ是能量源项。
解决这个方程需要运用热力学、热传导方程和数值计算技术等数学知识。
2. 边界层理论在空气动力学中，边界层理论是一个重要的概念。
边界层是指流体靠近固体物体表面的区域，流体在这里受到了物体表面的影响，速度变化很大。
边界层理论涉及到流体力学、热力学和数学物理等多个领域的知识。
2.1 边界层方程边界层方程描述了边界层中流体速度和温度的变化。
这些方程通常是非定常的、非线性的偏微分方程，包括动量方程、能量方程以及质量守恒方程。
解决这些方程需要运用复杂的数学方法和数值模拟技术。
2.2 边界层控制边界层控制是指通过改变固体表面的形状或表面条件，来控制边界层的性质，从而影响流体的运动。
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2
x2
fy
（b）
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§5－2应力函数的差分解
由图（5－2）可见
l cos n, x cos dy
ds
m cos n, y sin dx
ds 因此，式（b）可以改写成
d y 2
d
s
y 2
d d
x s
2
xy
fx
d d
§5－1差分公式的推导
混合二阶导数的差分公式
2 f xy
0
x
f y
0
f y
1
2h
f y
3 ＝
f6 f5 2h 2h
f7 f8 2h
1 4h2
f6
f8
f5
f7
四阶导数的差分公式
（5－5）
4f
x4
0
1 h4
6 f0
4
f1
f3
f9
f11
4f x 2 y2
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§5－2应力函数的差分解
1、应力分量（不计体力）
一旦求得弹性体全部节点的 值后，就可按应力分量差分公式（对
节点0）算得弹性体各节点的应力。
0
•12 •8 •4 •5
h
x
x
0
2
y 2
0
1 h2
[(2
4 )
20 ]
• 11
•3
•0 •1
U1
1 2
x x y y xy xy
整个弹性体内的变形能
U
AU1dxdy
1 2
A x x y y xy xy dxdy
把物理方程代入微元的应变能，分别得到用应力应变表示方程
U1
2
E
1 2
2 x
2 y
2 x
y
1
2
2 xy
对 x , y , xy 求导
U1 x
x,
h2 2
2 f
x2
0
h3 6
3 f
x3
0
L
f1
f0
h
f x
0
h2 2
2 f
x2
0
h3 6
3 f
x3
0
L
（b） （c）
假定网格间距 h 充分小，二阶项以后的项可以忽略，（b），（c）可变为
f3
f0
h
f x
0
h2 2
2 f
x2
0
f1
f0
h
f x
0
h2 2
B
，对
s
x
积分得到：
y
y
B A
B
A fx d s
；
x
B
A
B
A fy ds
y
B
y
A
B
A fx d s
；
x
B
x
A
B
A fy ds
（d）
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§5－2应力函数的差分解
由高等数学可知，
d . d x . d y
2 f
x2
0
（d） （e）
把（d）和（e）看成关于
f x
和
0
2 f x2
0
的二元一次方程组
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§5－1差分公式的推导
把（d）和（e）看成关于
f x
0
和
2 f x2
0
的二元一次方程组
f
x
0
f1 f3 2h
（5－1）
2 f x2
x x0 2
0
1 3 f
3!
x3
x
0
x0 3
1 4 f
4!
x4
x
0
x0 4
L
（a）
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§5－1差分公式的推导
节点3的坐标 x0 h,0 ，节点1的坐标 x0 h,0 ，带入（a）
f3
f0
h
f x
0
y s
2
xy
d d
x s
2
x2
fy
0
yB
xB
dx S dy ds
fx
B
fy
n
x
y 图5-2
A
yx
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§5－2应力函数的差分解
约去 dy、dx 得：
d
ds
y
fx
；
d ds
x
fy
（c）
关于边界上任一点处 、 的值，可将上式从基点 A 到 任意点
0
1 h4
4 f0
2
f1
f2
f3
f4
f5
f6
f7
f8
4f
y 4
0
1 h4
6 f0
4
f2
f4
f10
f12
（5－6） （5－7） （5－8）
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§5－1差分公式的推导
讨论：
（1）差分公式是微分方程在数学上的近似； （2）在推导（5－1）－－（5－4）时，略去了三阶项及更高阶项；
相容方程的差分公式
对于弹性体边界以内的每一结点，都可以建立这样一个差分方程。 应力函数在域内应该满足上式。
问题：边界上的点（边界外的点）怎么办？？？？？？
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§5－2应力函数的差分解
当对于边界内一行的（距边界为h的）结点，建立的差分方程还将涉及
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§5－4弹性体的变形势能和外力势能
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§5－4弹性体的变形势能和外力势能
变分法：主要是研究泛函及其极值的求解方法。 泛函：函数是函数的函数； 能量法：弹性力学中的变分法； 形变势能与弹性体的受力次序无关，也与受力的历史无关完全由应力 和变形的最终大小确定－－保守场。
0
•12
x 设：f f x, y 为弹性体的某一连续函数
h
•8
•4
• 5
•11 •3 •0 •1 •9 A • 13
在平行与 x 轴的一根网线上函数只随 x
• 7
• 2
•6
坐标的变化而变化。
•10
B
h
• 14
y
图5－1
在节点0 的近处将函数 f 展成泰勒级数
f
f0
f x
0
x
x0
1 2!
（1）在边界上任意选定一个结点作为基点A，
取
A
x
A
y
A
0
然后由面力的矩及面力之和算出边界上所有各结点处 的值，以
及所必需的一些 及 值，即垂直于边界方向的导数值。
x
y
（2）应用公式（5－14），将边界外一行虚结点处的 值用边界内的相
应结点处的 值来表示。
（3）对边界内的各结点建立差分方程（5－10），联立求解这些结点处的
U1
1 2
( x x
y y
z z
yz
yz
zx
zx
xy
xy
)
或
U1
ij
0
dij ij
1 2
ij
ij
整个弹性体内的变形能
U
U1dxdydz
1 2
ijij d x d y d z
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§5－4弹性体的变形势能和外力势能
对应于平面问题，微元的应变能（应变比能）
U1 y
y,
U1 xy
xy
（5－15）
x
E 1 2
x y
y
E 1 2
y x
xy
E
2 1
xy
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§5－2应力函数的差分解
2、差分方程（相容方程） 双调和方程
4
x 4
2
4
x2y
2
4
y 4
0
0
y
x
•12
h
•8
•4
• 5
• 11
•3
•0 •1
• 9
A
• 13
•7
• 2
•6
•10
B
h
• 14
整理即得
图5－1
200 8(1 2 3 4) 2(5 6 7 8) (9 10 11 12) 0 （5－10）
§5－2应力函数的差分解
于是式(d)，式(e) 简化为：
B
y
B
A
f xds
x B
B A
f
y ds
B
B
B A ( yB y) f x d s A (x xB ) f y d s
（5－11） （5－12） （5－13）
讨论：
（1）（5－11）右边积分式表示A－B之间， x 方向的面力之和；
d s x d s y d s
将此式亦从 A 点到 B 点沿 s 进 行积分，就得到边界上任一点 B 处的
0
yB
xB
dx S dy ds