量子力学的变分法
第九章变分法_量子力学
a
a
（9）
其中N为归一化常数，λ为变分参数。利用归一化条件
∫ <ψ |ψ >= a ψ 2dx = 1 −a
容易求得
N 2a = 315 /16(λ 2 + 8λ + 28)
由公式
∫ h 2
E =− 2m
aψ
−a
d 2ψ dx2
dx
求得
E (λ )
=
3 4
11λ 2 λ2
+ 36λ + 60 + 8λ + 28
J (α,
β
,L)
=
∫ψ *(r;α, β ,L)Hψ (r;α, β ,L)dτ ∫ψ *(r;α , β ,L)ψ (r;α, β ,L)dτ
的极值。 ∂J / ∂α = ∂J / ∂β = L = 0 （1）
α β, ,L 得到使积分取得最小值的参量 00 用它们按（1）式计算得结果就是基态能量的近似值，即近似的有
量子力学 第九章 变分法
李延芳 李忻忆 龚 陈蔚
变分法的基本步骤： 1、根据实际问题的物理分析，选择含有待定参量α，β，的尝试波函数
，然后计算积分
J (α, β ,L)
ψ (r;α , β,L)
=
∫ψ *(r;α , β ,L)Hψ (r;α, β ,L)dτ
∫ψ (r;α, β ,L)ψ (r;α, β ,L)dτ *
n
≥ (E2 − E1)(C2*C2 + C3*C3 +L)
≥ (E2 − E1)(1− C1*C1)
（6）
此式即为（2）式。
1
在看下一道题之前，这里我们先看一下无限深势阱波函数和能级的精确解是什么？
量子力学导论chap103
u(r)满足薛定谔方程
( 1 2 )u(r) 2 u(r)
2r
2
即一个1s（n = 1）电子在一个有效电荷为 的
原子核库仑势中的薛定谔方程。
对类氢原子，其能量本征值为
En
e4
22
Z2 n2
H
*(
1 2
12
Z r1
1 2
22
Z r2
1 r12
( , H ) ( , ) (H , ) ( , )
由于波函数是复函数， 和 *取任意值。
所以 H , H * * *
这就是薛定谔方程。
反过来，也可证明满足薛定谔方程的可归一化波 函数一定可使能量取极值。 这就证明了薛定谔方程与变分原理的等价性。 变分原理的重要性在于：根据具体物理问题，先 对波函数作某种限制，然后给出该试探波函数形 式下的能量平均值<H>，并让<H>取极值，从而定 出所取形式下的最佳波函数，作为严格解的一种 近似。
H E
§10.3 变分法
1、薛定谔方程与变分原理 1）薛定谔方程： 给定体系哈密顿量 H，体系能量本征值可以通 过薛定谔方程加以求解，当然对波函数有边界条 件的限制
H E
波函数还要满足正交归一化
( , ) 1
2）变分原理 从变分原理外加归一化条件可导出薛定谔方程 变分原理：设体系能量平均值为
2
ki (ri ) di 1,i 1, 2, , Z
求极值 H
2
i ki (ri ) d i 0
i
H
k*i hiki
* ki
hiki
变分量子算法
变分量子算法1. 引言量子计算是一种利用量子力学原理进行计算的新型计算方式。
相比传统的经典计算机，量子计算机在某些特定问题上具有超越经典计算机的优势。
变分量子算法（Variational Quantum Algorithm）是一种基于参数化量子电路的优化算法，被广泛应用于解决优化问题、模拟物理系统和机器学习等领域。
本文将逐步介绍变分量子算法的基本原理、应用场景以及未来发展方向。
2. 变分量子算法原理变分量子算法是一种基于参数化量子电路的优化方法，它通过调节参数来最小化或最大化一个目标函数。
在变分量子算法中，我们首先构造一个参数化的量子电路，并将其作为一个黑盒，然后使用经典优化方法来调节电路中的参数，使得目标函数达到最小值或最大值。
具体而言，我们可以将变分量子算法分为以下几个步骤：步骤1：构造参数化量子电路首先，我们需要选择一个适当的参数化量子电路结构。
这个结构通常由一系列可调节的旋转门和受控门组成。
通过调节这些门的参数，我们可以改变量子态的表示能力。
步骤2：定义目标函数在变分量子算法中，我们需要定义一个目标函数，它可以是任意一个我们希望优化的函数。
例如，在解决优化问题时，目标函数可以是一个损失函数；在模拟物理系统时，目标函数可以是能量期望值；在机器学习中，目标函数可以是分类准确率等。
步骤3：量子态演化在这一步中，我们将构造的参数化量子电路作用于初始态上，并得到一个输出态。
这个输出态不一定是我们想要的最终结果，因此需要进一步进行优化。
步骤4：经典优化通过经典优化算法（如梯度下降、共轭梯度等），我们调节参数化量子电路中的参数，使得目标函数达到最小值或最大值。
这个过程通常涉及到计算目标函数关于参数的梯度，并根据梯度来更新参数。
步骤5：重复迭代为了得到更好的结果，通常需要多次重复步骤3和步骤4直至收敛。
每次迭代都会产生一个新的输出态，并进一步优化参数。
当满足一定的停止准则时，算法停止并输出最终结果。
3. 变分量子算法应用场景变分量子算法具有广泛的应用场景，在优化问题、模拟物理系统和机器学习等领域都有重要的作用。
变分法在量子力学的应用
变分法在量子力学的应用变分法在量子力学的应用变分法在量子力学的应用【1】摘要在处理物理问题及量子力学问题时，通常会应用到变分法。
变分法与处理数的函数普通微积分保持着相对立关系，属于处理函数的一种方式。
欧拉-拉格朗日方程式是变分法最为重要的定理。
通过变分法，可以实现泛函临界点对应。
变分法的出现推动了理论物理的进一步发展，在量子力学及相应最小作用量原理中发挥着十分重要的作用。
在概述变分法的基础上，对变分法在量子力学物理领域的应用进行研究与分析。
实践证明，在处理量子力学问题中，变分法发挥着重要作用。
关键词变分法;量子力学;最优控制20世纪二三十年代，奥地利物理学家薛定谔提出一种可以进行微观粒子体系运动行为的一波方程，被人称之为薛定谔方程。
通过进行薛定谔方程求解，可以获得体系波函数，应用体系波函数，可以确定体系性质，此后有学者对相对论效应狄拉克方程的确定进行了研究。
这些研究成果的出现，让人们认为量子力学其普遍理论似乎已经基本完成，人类已经基本知晓了绝大部分物理学及物理定律。
解决问题困难及关键仅在于如何将这些定律进行现实应用。
狄拉克认为，随着体系的不断增加，薛定谔方程或狄拉克方程几乎是不可解的。
针对这种现象，求解其方程的近似方法不断被研究。
在物理量子学领域，进行薛定谔法方程求解，其主要方法包括微扰法及变分法。
束缚定态是建立于不含时间的薛定谔方程，即在能量变分原理的等价性基础上，能量本征值方程解是通过对能量极值的求解来完成的。
在进行具体问题处理的过程中，通过波函数中一些特殊变化将最普遍任意变分进行替代，通过这种方法可以获得依赖于波函数特殊形式的一种近似解，这种解决问题的方法被称之变分法。
变分法用在解决如量子力学等物理问题领域。
变分法的应用，其优势在于运用变分法进行方程求解并不会受到限制，在保证变分函数良好的基础上，即可实现对体系基态性质的研究。
1 变分法概述变分法与处理数函数普通微积分表现出相对立关系。
泛函是通过位置函数导数及相应位置函数积分来实现相应构造。
变分法在量子力学中的应用
便、 简单 和物理 意 义 明确 的 优 势 。本 文 将 主 要研 究 变 分法在 量子 力学 中 的应 用 。为 与求解 量 子体 系 的 基 态性质 相关 的科研 和教学 活动 提供 一个参 考 。
１ 变 分 法 概 要
得到 的式 子加 上 （ ６ ） 式， 可 得 到
可算 出
Ｅ 一 ＋ （ １ ２ ）
Ｅ为一极 小 的条件 为
ｄ Ｅ
一
８
ｈｚ
一
一
丌。
８
０
（ １ ３ ）
…
可 解 得
＝ ＿
｛
８ ７ ￣ ｚ （
—
（ ） ＋ （ ） ＋ （ ） 。 ］ ＋
变分 法 。
Ｎ 去 Ｖ － ｖ 。 － （ ｗ — Ｖ ）
其 中波 函数满 足归一 化条 件
（ ４ ）
（ ５ ）
ｆ ｘ ｔ ， ｘ Ｉ ｔ ｄ ｒ 一１
把（ ４ ） 式 代入 （ ３ ） 式， 施 行部分 积分得 到
变分 法 的优点 在 于运 用 它 求解 不 受 什 么 限制 ，
只要选取 好 的变分 函 数 ， 就 能很 好 地 得 到体 系 的 基 态性 质 。因此 利 用 变 分 法 来 求 解 量 子 体 系 具 有 方 １ ９ ２ ６年 ，奥 地 利 物 理 学 家 薛 定 谔 提 出用 一 个 波方 程来描 述微 观粒子 体系 的运 动行 为 ，即薛定 谔 方程口 ］ 。求解 此方 程 ，就 可得 到 体 系 的波 函数 ，那 么体 系的一 切性 质都能 被确 定ｌ ２ ］ 。随后 的考 虑 了相 对论 效应 的狄拉 克方程 的确 立ｌ ３ ］ ， 让 人 们似 乎看 到 “ 现在 量 子力 学 的 普遍 理 论 业 已完 成 ， 作 为 大 部 分 物理 学与全 部化 学 的物 理 定律 业 已完 全 知 晓 ， 而 困 难仅 在于 把 这 些 定 律 确 切 应用 将 导 致 方 程 式 太 繁 杂而 难 以求 解 。 ” 。 正 如 狄拉 克所 说 ，随 着体 系 的增
第四章-变分法和微扰法
ˆ d H aa a H a
ˆ d H bb b H b
ˆ d H H ab a H b ba
ˆ d 2c c H ˆ d c 2 H ˆ c12 a H 1 2 a 2 b b d a b
(0) ˆ (0) E (0) (1) d (0) H ˆ (1) E (1) (0) d H n n n n n n
(0) (1) (0) (0) ˆ (1) (0) n En n d n H n d (1) (0) (0) (0) ˆ (1) (0) En d n n n H n d (1) (0) ˆ (1) (0) En n H n d
ˆ (0) (0) E (0) (0) 0 : H n n n ˆ (0) (1) H ˆ (1) (0) E (0) (1) E (1) (0) 1 : H n n n n n n ˆ (0) (2) H ˆ (1) (1) E (0) (2) E (1) (1) E (2) (0) 2 : H n n n n n n n n 整理后得：
其中E n(0), λE n(1), λ2 E n(1), ... 分别是能量的 0 级近似 ，能量的一级修正和二级修正等； 而ψn(0), λψn(1), λ2ψn(2), ... 分别是状态波函数的 0 级近似，一级修正和二级修正等。
ˆ 代入定态Schrodinger方程 H n r E n r 得：
2 2 ˆ H r V r r E r 2
变分法计算h2+的基态能级
变分法计算h2+的基态能级
变分法是一种常用的量子化学计算方法，它是基于构建出一个有限空间的基组（即选择一组可能的基态来表示原子），然后对这些基态用变分原理进行考虑，以解决原子核势能面上的多体原子波函数的问题。
H2+是氢分子的正离子，它只有一个电子，所以其基态能量可以用变分法计算得到。
在变分法中，我们需要先计算出一组可能的基态，并将它们组合在一起形成一个有限空间的系统。
然后，可以使用变分原理来解决多体原子波函数的问题，确定H2+的基态能级。
变分法数值求解
(2)相应于本征态的本征能量取极小值
薛定谔方程
H n E n (７)
在归一化条件下 * d 1 (8)
对波函数作一微小的变动
n
n
n
,
* n
* n
* n
(9)
则归一化条件变为
(
* n
* n
)(
n
n )d
1
即
[ n* n
n
* n
]d
n
2
d
(10)
(2)相应于本征态的本征能量取极小值
那么具体是怎样选择试探波函数了？下面我们来分 析一下。
首先题中给出的势场V（x)=g|x|，满足
V(x)=V(-x),这样哈密顿量
H
2
2m
d2 dx2
|
x|
在宇称变换P下不变，一维定态问题的束缚态并不简
并，应有确定的宇称，其中基态无节点必为偶宇称
态。
再根据节点交错定理和宇称交错定理，第一激发态有一个节 点为奇宇称态。此外，由于势函数没有奇异性，束缚定态的 波函数还应该满足波函数以及一阶导数连续的条件。
2
E 2m
a
a
d 2
dx2
dx (7)
得
E()
3 4
112 36 60 2 8 28
2 ma 2
(8)
例题—无限深势阱
变分法求解
3、取极值 E() 0 ( 9)
得两根 1 1.2207500 , 2 8.317712
代入E得
E(1) 1.233719
2 ma 2
1.0000147
(1)薛定谔方程的变分原理
经典力学中
变分原理 => 哈密顿方程 S 0
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量子力学的变分法-量子力学的变分法
解薛定谔方程的一种应用范围极广的近似方法。
对于束缚定态，它是基于能量本征值方程（即不含时间的薛定谔方程）与能量变分原理的等价性，通过求能量的极值得到能量本征值方程的解。
在处理具体问题时，总是采用波函数某种特殊的变化去代替最普遍的任意变分，这样就可得到依赖于波函数特殊形式的近似解。
这种方法称为变分法。
若体系的哈密顿量算符为彑，其能量本征值方程为
, (1)
该体系的能量平均值
(2)
是波函数φ的泛函。
式中表示对体系全部坐标积分。
可以证明，求彑的本征值方程，等价于求解
(3)
也就是满足变分原理(3)的φ为彑的本征函数,唕的极值为所对应的本征值，即
(4)
这样，如果能猜测到一个φ正好满足式(1),则由式(2)所得的唕【φ】等于E，如果猜测的φ与ψ略有不同,则唕【φ】必定大于E，因而唕【φ】总是给出唕的一个上限。
当做了多次猜测之后,其中最小的唕一定是这些猜测中最好的，这样就把最小的唕取作E的近似值。
应用以上手续可得到一种通过猜测去计算能量近似值的方法。
改善波函数通常是通过一个含连续参数的特殊形式的波函数φ(q,α1,α2,α3,…)来实现的，这样唕也就是这些参数的函数。
式中q代表体系的全部坐标，所猜测的波函数φ(q, α1,α2,α3,…)称为尝试波函数,变分参数(α1,α2,α3,…)是待定的。
根据变分原理，由唕取极值，则有
(5)
通过以上方程组可解得(i=1,2,3,…)，于是φ(q,α嬼, α嬽, α嬿,…)和E(α嬼, α嬽, α嬿,…)分别是ψ和E在φ(q,α1,α2,α3,…)形式下最好的近似。
它的近似性来源于用参数的变化代替了普遍形式的任意变分、显然，参数愈多,尝试波函数的变化愈普遍,所得结果愈好。
在选取尝试波函数时,要注意使其与ψ满足相同的边界条件。
如果尝试波函数φ与精确解的差为Δ量级,则唕与精确解的差为｜Δ｜2量级，因而即使用粗糙的尝试波函数也可得到近似性很好的能量本征值。
通常用这种方法求体系基态能量的近似值。
考虑到不同能量的本征函数彼此正交,也可以由低至高逐级求激发态能量的近似值,其近似性较基态为差。
变分法的优点在于运用它求解不受什么限制，但是由于结果的好坏完全取决于尝试波函数的选择，致使结果的任意性大。
以上是解束缚定态的变分法。
对于散射问题，如将决定能量的变分原理改为决定相移的变分原理，以上方法的基本思想仍适用。
变分法也常与量子力学的微扰论结合起来使用。