函数图像变换公式大全

蕾博士函数图像变换公式大全

一、点的变换.设),(00y x P ，则它

（1）关于x 轴对称的点为),(00y x -；

（2）关于y 轴对称的点为),(00y x -；

（3）关于原点对称的点为),(00y x --；

（4）关于直线x y =对称的点为),(00x y ；

（5）关于直线x y -=对称的点为),(00x y --；

（6）关于直线b y =对称的点为)2,(00y b x -；

（7）关于直线a x =对称的点为),2(00y x a -；

（8）关于直线a x y +=对称的点为),(00a x a y +-;

（9）关于直线a x y +-=对称的点为),(00x a a y -+-;

（10）关于点),(b a 对称的点为)2,2(00y b x a --；

（11）按向量),(b a 平移得到的点为),(00b y a x ++.

二、曲线的变换.曲线0),(=y x F 按下列变换后所得的方程：

(1)按向量),(b a 平移，得到0),(=--b y a x F ；

(2)关于x 轴对称，得到0),(=-y x F ；

(3)关于y 轴对称，得到0),(=-y x F ；

(4)关于原点对称，得到0),(=--y x F ；

(5)关于直线a x =对称，得到0),2(=-y x a F ；

(6)关于直线b y =对称，得到0)2,(=-y b x F ；

(7)关于点),(b a 对称，得到0)2,2(=--y b x a F ；

(8)关于直线x y =对称，得到0),(=x y F ；

(9)关于直线a x y +=对称，得到0),(=+-a x a y F ；

(10)关于直线a x y +-=对称，得到0),(=-+-y a a x F ；

(11)纵坐标不变横坐标变为原来的a 倍，得到方程0),(=y a

x F ； (12)横坐标不变纵坐标变为原来的b 倍，得到方程0),(=b

y x F

三、两个函数的图象对称性

1:左右平移:)(a x f y ±=（0>a ）的图像可由)(x f y =的图像向左（+）或向右（—）平移a 个单位而得到；)(a mx f y ±=（0,0>>a m ）的图像可由)(mx f y =的图像向左（+）或向右（—）平移m

a 个单位而得到; 2.上下平移：）（0)(>±=

b b x f y 的图像可由)(x f y =的图像向上（+）或向下（—）

平移b 个单位而得到；

3. )(x f y -=的图像与)(x f y =的图像关于y 轴对称；换句话说：)(x f y =与)(x g y =若满足)()(x g x f -=，即它们关于0=x 对称。

4. )(x f y -=的图像与)(x f y =的图像关于x 轴对称；换句话说：)(x f y =与)(x g y =若满足)()(x g x f -=，即它们关于0=y 对称。

5. )(x f y --=的图像与)(x f y =的图像关于原点对称；

6. |)(|x f y =的图像可如此得到：)(x f y =的图像在x 轴下方的部分以x 轴为对称轴翻折到x 轴的上方，其余不变；

7. )||(x f y =的图像：保留)(x f y =的图像在y 轴右侧的部分，并沿y 轴翻折到y 轴左边部分代替原y 轴左边部分；

8.)(a x f y +=与)(x b f y -=关于直线2

a b x -=对称(在函数()y f a x =+上任取一点11(,)x y ，则11()y f a x =+，点11(,)x y 关于直线2b a x -=

对称点（1b a x --，y 1）。由于1111[()][]()f b b a x f b b a x f a x y ---=-++=+=,故点（1b a x --，y 1）在函数()y f b x =-上。由点11(,)x y 是函数()y f a x =+图象上任一点因此()y f a x =+与()y f b x =-关于直线2

b a x -=对称。)；换句话说,)(x a f y -=与)(b x f y -=关于

直线2b a x +=对称; 换句话说, )(x f y -=与)(b x f y -=关于直线2b x =对称.

9. )(x f y =与)(2x f a y -=关于直线a y =对称。换种说法：)(x f y =与)(x g y =若满足a x g x f 2)()(=+，即它们关于a y =对称；

10. )2(2)(x a f b y x f y --==与关于点(,)a b 对称。 换种说法：)(x f y =与)(x g y =若满足b x a g x f 2)2()(=-+，即它们关于点(,)a b 对称。 特别提醒

①函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称. ②函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a b x m +=对称. 特殊地: ()y f x a =-与函数()y f a x =-的图象关于直线x a =对称 ③函数()y f x =的图象关于直线x a =对称的解析式为(2)y f a x =- ④函数()y f x =的图象关于点(,0)a 对称的解析式为(2)y f a x =-- ⑤函数()y f x =与()a x f a y -=-的图像关于直线x y a +=成轴对称。

11.伸缩变换:)0)((>=A x Af y 的图像，可将)(x f y =的图像上每一个点的横坐标不变，纵坐标变为原来的A 倍而得到；

12. )0)((>=k kx f y 的图像，可将)(x f y =的图像上每一个点的纵坐标不变，横坐标变为原来的k

1倍而得到； 13.)(1x f y -=与)(x f y =关于直线x y =对称；

14. )(1x f y --=-的图像与)(x f y =的图像关于直线x y -=对称；

15. 函数)(mx a f y +=的图像与)(mx b f y -=的图象关于直线m

a b x 2-=对称。

四.单个函数的图象

1. 若对任意,x )()(x b f a x f -=+，则)(x f y =的图像关于直线x =2

b a +对称；反之亦然;若对任意x ，)()(x

c f x f -=，则)(x f y =的图像关于直线x =2c 对称，反之亦然；若)(a x f +是偶函数，则)(x f y =关于a x =对称。（在()y f x =上

任取一点11(,)x y ，则11()y f x =，点11(,)x y 关于直线2a b x +=的对称点11(,)a b x y +-，当1x a b =+-

时11111()[()][()]()f a b x f a b x f b b x f x y +-=+-=--==，故点11(,)a b x y +-也在函数()y f x =图象上。由于点11(,)x y 是图象上任意一点，因此，函数的图象关于直线2

a b x +=对称（特别地，0==b a 时，该函数为偶函数））. 2. 对任意x ，)()(x a f a x f -=+-（或)2()(x a f x f --=的充分必要条件是

)(x f y =的图像关于点)0,(a 对称；

3. 若)(x f 有两条对称轴a x =和)(b a b x <=(证明：∵()()f a x f a x

+=-得()(2)f x f a x =-,()()f b x f b x +=-得()(2)f x f b x =-

∴(2)(2)f a x f b x -=-, ∴()(22)f x f b a x =-+

∴函数()y f x =是周期函数，且22b a -是一个周期。),或有两个对称点)0,(a 和)0,(b （b a <）,则)(2a b -是)(x f 的一个周期；

4. 若)(x f 以a x =为对称轴，且以)0,(b 为对称中心，则)(4a b -是)(x f 的一个周期；

5.)(x f y =的图像关于点),(b a 对称的充分必要条件是对任意,x b x a f x a f 2)()(=-++成立（更一般地，若c x b f x a f =-++)()(，则)(x f y =的图像关于点(2b a +,2

c )对称(在函数()y f x =上任取一点11(,)x y ，则11()y f x =，点11(,)x y 关于点（

2a b +，2c ）的对称点（1a b x +-，c －y 1），当1x a b x =+-时，1111()[()]()f a b x c f b b x c f x c y +-=---=-=-,即点（1a b x +-，c －y 1）在函数()y f x =的图象上。

由于点11(,)x y 为函数()y f x =图象上的任意一点可知函数()y f x =的图象关于点（2

a b +，2c ）对称。（注：当a =b =c =0时，函数为奇函数。） 特别提醒：

①函数()y f x =的图象关于点(,0)a 对称()(2)f x f a x ?=--。

②函数()y f x =的图象关于原点对称（奇函数）)()(x f x f -=-?。 ③函数)(a x f y +=是奇函数)(x f ?关于点()0,a 对称。

6.若)()(b x f a x f +=+，则)(x f 是周期函数，a b -是它的一个周期

7. 对于非零常数A ，若函数()y f x =满足(A)()f x f x +=-，则函数()y f x =必有一个周期为2A 。

8.对于非零常数A ，函数()y f x =满足1(A)()

f x f x +=

，则函数()y f x =的一个周期为2A 。

9.对于非零常数A ，函数()y f x =满足1()()f x A f x +=-

，则函数()y f x =的一个周期为2A 。

10. 已知函数()x f y =对任意实数x ,都有()()b x f x a f =++，则()x f y =是以 2a 为周期的函数 11. 若函数)(x f y =对定义域中的任意x 的值，都满足 )()(mx b f mx a f -=+， 则函数)(x f y =的图象关于直线2

b a x +=对称. 12. 对于非零常数A ，函数()y f x =满足1()()21()A f x f x f x ++=-或1()()21()

A f x f x f x -+=+则函数()y f x =的一个周期为2A 。

13.若函数()x f y =对任意实数x ,都有()()b x f x a f =++，则()x f y =是以 2a 为周期的函数（()()f a x b f x +=-，

(2)(())()(())()f x a f x a a b f x a b b f x f x +=++=-+=--=；或者:)()2()()()()()()(x f a x f a x f a x f b

x f a x f b a x f x f =+?-=+????=+-=++）