场论与张量运算简介PPT课件
欧拉方法
着眼点：寻求空间中每个点上描述 流体运动随时间的变化状态
vv(r,t)
M
M’
5
流体力学基本概念
泰勒展开(Taylor Series)
一维：
f( x ) f( x 0 ) 1 1 ! ( x x 0 ) d d f x x x 0 2 1 ! ( x x 0 ) 2 d d 2 x f 2 3 1 ! ( x x 0 ) 3 d d 3 x f 3 ...
张量乘的阶数
乘法符号 无 x . :
结果的阶数 Σ
Σ-1 Σ-2 Σ-4
例子
v，vw
v×w, uv×uw v ·w, uv ·wv
uv : wv
标量—0阶张量； 矢量— 1阶张量； 张量—本课通指2阶张量
25
标量、矢量和张量乘结果的表示
标量、矢量和张量乘结果的表示
括号类型 （） [] {}
结果类型 标量 矢量 张量
τyx yy yzxy yy yz
zx
zy
z
z
xz
yz
zz
τxy:剪应力的 y 分量作用于 x 面上的力
16
场论
定义： 设在空间中的某个区域内定义标量函数或矢量 函数，则称定义在此空间内的函数为场
B
A
A
17
场论——场的分类
标量场（温度场、密度场） 矢量场（力场、电磁场、速度场）
均匀场 不均匀场
a v d d v t v t v x v x v y v y v z v z t v t ( v • ) v
7
流体力学基本概念
流体速度分解定律——速度类型
1. 平移速度 2. 旋转速度 3. 变形速度
例子： A. 速度均匀的平移流动 B. 平行剪流 C. 简单的环形流动 D. 流线是圆形的无旋流动
三维：
f(x,y,z)f(x0,y0,z0)1 1!(xx0) fx(yy0) fy(zz0) fz(x0,y0,z0)
j 21 j!(xx0)x(yy0)y(zz0)zj f(x0,y0,z0)
6
流体力学基本概念
欧拉方法表达加速度
lim dv v(M ,t t)v(M ,t)
dt t 0
t
矢量乘法——叉乘
两个矢量矢量积（叉乘、叉积）
[vw ]{vs wiv n} w n vw
几何意义？
交换率（NA）： [vw][wv] 结合率（NA）： [u [v w ] ][u [ v ] w ] 分配率（OK）： [u { v } w ] [u v ] [v w ]
[vv]?
24
张量乘的阶数计算
1. 空间尺度（microscope, mesoscope, macroscope)
2. 时间尺度（飞秒、皮秒 、纳秒、微秒、毫秒、秒）
3
流体力学基本概念
拉格朗日方法
着眼点：寻求质点位置变化规律
rr(x,y,z,t)
v r(x, y, z,t) t
avvt 2r(x,ty2,z,t)
4
流体力学基本概念
例子 ( v ·w ) [v×w] { uv + wv }
8
流体力学基本概念
流体速度分解定律——刚体运动
vv0ωr rovt2ω
vv0
1rovtr 2
v0 : 平移速度
rotv : 旋度
ω：角速度
9
流体力学基本概念
流体速度分解定律——旋度
旋度物理意义：刚体旋转时的2倍旋转角速度
旋度几何意义：设想一向量场,每一点都有一个向量,则在有旋度的点 处周围很小的空间里,会有向量绕成一个闭合的平面旋涡状,像水的旋 涡, 这一点的很小的一个空间里的平均的向量旋转角速度称为旋度。
22
矢量乘法——点乘
两个矢量标量积（点乘、点积）
(v•w)vw covsw
交换率（OK）： u ● v = v ● u 结合率（NA）： ( u ● v ) w ≠ u ( w ● v ) 分配率（OK）： u ● {v + w} = u ● v + u ● w
v ● v = ? 几何意义？
23
——传递过程
本章内容
1. 流体力学基本概念 2. 一点的应力状态——应力张量 3. 场论 4. 二阶张量运算 5. 流体力学本构方程 6. 小结
2
流体力学基本概念
连续介质假设和微团
真实流体所占有的空间可近似看作是由“流体质点”连续地无 空隙地充满着的。
10
流体力学基本概念
流体速度分解定律
vv01 2rov trS•r
S：变形速度张量
11
流体力学基本概念
涡量
Ω
Ω =rot v
M L
v
12
流体力学基本概念
体力 —— 单位体积流体上受到的力
ρg
g—矢量
面力 —— 流体单位面积上受到的力
与面有关，张量描述
13
一点的应力状态——应力张量
张量的物理概念（Tensor) 1. 是矢量 2. 是面力，与作用面有关
lim lim d v v ( M ,t t) v ( M ,t) v ( M ,t) v ( M ,t)
d t t 0
t
t 0 t
v 泰勒展开： v(M ,t)v(M xvxt,Myvyt,M zvzt,t) v(M x,My,M z,t) v xvxt v yvyt v zvzt
定态场（不随时间改变） 非定态场
无源场（管式场）——散度为零 无旋场（势场）—— 旋度为零
18
场论——标量、矢量和张量表示
s =标量（不加黑的斜体字母） v =矢量（加黑的斜体字母）
τ =张量（加黑的希腊字母）
19
矢量的定义
矢量定义：具有一定的量值和方向的量
v v
矢量相等：量值相等、方向相同（可以是 非共线、非同一作用原点)
20
矢量加减法
矢量加减法
交换率 v + w = w + v 结合率 ( v + w )+u = v + ( w +u )
21
矢量乘法——矢量和标量
矢量和标量的乘法 交换率（OK）： sv = vs 结合率（OK）： r (s v ) = ( r s ) v 分配率（OK）： ( q + r + s ) v = q v + r v + s v
标量、矢量、n 阶张量的关系
14
一点的应力状态——应力张量
压力张量
1. 面力 2. 各向同性
p 0 0 0 p 0 pE 0 0 p
p 0 0 nx pxn 压力： pn 0 p 0•nypynpn
0 0 p nz pzn
15
一点的应力状态——应力张量
剪应力张量
xx xy xz xx xy xz
着眼点：寻求空间中每个点上描述 流体运动随时间的变化状态
vv(r,t)
M
M’
5
流体力学基本概念
泰勒展开(Taylor Series)
一维：
f( x ) f( x 0 ) 1 1 ! ( x x 0 ) d d f x x x 0 2 1 ! ( x x 0 ) 2 d d 2 x f 2 3 1 ! ( x x 0 ) 3 d d 3 x f 3 ...
张量乘的阶数
乘法符号 无 x . :
结果的阶数 Σ
Σ-1 Σ-2 Σ-4
例子
v，vw
v×w, uv×uw v ·w, uv ·wv
uv : wv
标量—0阶张量； 矢量— 1阶张量； 张量—本课通指2阶张量
25
标量、矢量和张量乘结果的表示
标量、矢量和张量乘结果的表示
括号类型 （） [] {}
结果类型 标量 矢量 张量
τyx yy yzxy yy yz
zx
zy
z
z
xz
yz
zz
τxy:剪应力的 y 分量作用于 x 面上的力
16
场论
定义： 设在空间中的某个区域内定义标量函数或矢量 函数，则称定义在此空间内的函数为场
B
A
A
17
场论——场的分类
标量场（温度场、密度场） 矢量场（力场、电磁场、速度场）
均匀场 不均匀场
a v d d v t v t v x v x v y v y v z v z t v t ( v • ) v
7
流体力学基本概念
流体速度分解定律——速度类型
1. 平移速度 2. 旋转速度 3. 变形速度
例子： A. 速度均匀的平移流动 B. 平行剪流 C. 简单的环形流动 D. 流线是圆形的无旋流动
三维：
f(x,y,z)f(x0,y0,z0)1 1!(xx0) fx(yy0) fy(zz0) fz(x0,y0,z0)
j 21 j!(xx0)x(yy0)y(zz0)zj f(x0,y0,z0)
6
流体力学基本概念
欧拉方法表达加速度
lim dv v(M ,t t)v(M ,t)
dt t 0
t
矢量乘法——叉乘
两个矢量矢量积（叉乘、叉积）
[vw ]{vs wiv n} w n vw
几何意义？
交换率（NA）： [vw][wv] 结合率（NA）： [u [v w ] ][u [ v ] w ] 分配率（OK）： [u { v } w ] [u v ] [v w ]
[vv]?
24
张量乘的阶数计算
1. 空间尺度（microscope, mesoscope, macroscope)
2. 时间尺度（飞秒、皮秒 、纳秒、微秒、毫秒、秒）
3
流体力学基本概念
拉格朗日方法
着眼点：寻求质点位置变化规律
rr(x,y,z,t)
v r(x, y, z,t) t
avvt 2r(x,ty2,z,t)
4
流体力学基本概念
例子 ( v ·w ) [v×w] { uv + wv }
8
流体力学基本概念
流体速度分解定律——刚体运动
vv0ωr rovt2ω
vv0
1rovtr 2
v0 : 平移速度
rotv : 旋度
ω：角速度
9
流体力学基本概念
流体速度分解定律——旋度
旋度物理意义：刚体旋转时的2倍旋转角速度
旋度几何意义：设想一向量场,每一点都有一个向量,则在有旋度的点 处周围很小的空间里,会有向量绕成一个闭合的平面旋涡状,像水的旋 涡, 这一点的很小的一个空间里的平均的向量旋转角速度称为旋度。
22
矢量乘法——点乘
两个矢量标量积（点乘、点积）
(v•w)vw covsw
交换率（OK）： u ● v = v ● u 结合率（NA）： ( u ● v ) w ≠ u ( w ● v ) 分配率（OK）： u ● {v + w} = u ● v + u ● w
v ● v = ? 几何意义？
23
——传递过程
本章内容
1. 流体力学基本概念 2. 一点的应力状态——应力张量 3. 场论 4. 二阶张量运算 5. 流体力学本构方程 6. 小结
2
流体力学基本概念
连续介质假设和微团
真实流体所占有的空间可近似看作是由“流体质点”连续地无 空隙地充满着的。
10
流体力学基本概念
流体速度分解定律
vv01 2rov trS•r
S：变形速度张量
11
流体力学基本概念
涡量
Ω
Ω =rot v
M L
v
12
流体力学基本概念
体力 —— 单位体积流体上受到的力
ρg
g—矢量
面力 —— 流体单位面积上受到的力
与面有关，张量描述
13
一点的应力状态——应力张量
张量的物理概念（Tensor) 1. 是矢量 2. 是面力，与作用面有关
lim lim d v v ( M ,t t) v ( M ,t) v ( M ,t) v ( M ,t)
d t t 0
t
t 0 t
v 泰勒展开： v(M ,t)v(M xvxt,Myvyt,M zvzt,t) v(M x,My,M z,t) v xvxt v yvyt v zvzt
定态场（不随时间改变） 非定态场
无源场（管式场）——散度为零 无旋场（势场）—— 旋度为零
18
场论——标量、矢量和张量表示
s =标量（不加黑的斜体字母） v =矢量（加黑的斜体字母）
τ =张量（加黑的希腊字母）
19
矢量的定义
矢量定义：具有一定的量值和方向的量
v v
矢量相等：量值相等、方向相同（可以是 非共线、非同一作用原点)
20
矢量加减法
矢量加减法
交换率 v + w = w + v 结合率 ( v + w )+u = v + ( w +u )
21
矢量乘法——矢量和标量
矢量和标量的乘法 交换率（OK）： sv = vs 结合率（OK）： r (s v ) = ( r s ) v 分配率（OK）： ( q + r + s ) v = q v + r v + s v
标量、矢量、n 阶张量的关系
14
一点的应力状态——应力张量
压力张量
1. 面力 2. 各向同性
p 0 0 0 p 0 pE 0 0 p
p 0 0 nx pxn 压力： pn 0 p 0•nypynpn
0 0 p nz pzn
15
一点的应力状态——应力张量
剪应力张量
xx xy xz xx xy xz
合集下载
1_场论与张量基础
2.张量表示法
张量表示法
张量表示法具有书写简洁，运算方便的优点。 在张量表示法中我们将坐标改写成 x1，x2，x3。 并引进以下 几种符号。 （1）ai 表示一个矢量， i 是自由指标，可取1，2，3，符号
a 可任取。
例如的 grad 张量表示法为
xi
18/72
第二节 张量
张量表示法
（2）约定求和法则。为书写简便，我们约定在同一
张量表示法
ijk
例如：
0 1
两个以上（含两个）下标相同 下标为偶排列或奇排列
a b ijk a j bk ak rota ijk x j
ijk ist js kt jt ks
20/72
第二节 张量
3. 二阶张量
二阶张量性质
(1)二阶张量的主值、主轴及不变量
场论中的奥高公式可以推广到张量中去。设 P 是 n 阶张量，则张量情形下的奥高公式可写为：
rotn a lim
S 0
a d r
L
S
11/72
第一节 场论
8.无旋场及其性质
环量与旋度
rota 0 的矢量场称为无旋场。
无旋场最重要的性质是无旋场和位势场的等价性。
即若 a 是位势场，则 a 必为无旋场。
a grad rota 0
反之，若矢量 a 是无旋场，则 a 必为位势场。
（ 1） P的反对称性不因坐标转化而改变；
（2）反对称张量的三个分量 1 ,2 , 3 组成一矢量 ；
（3）反对称张量 P 和矢量 b 的内积等于矢量 和 b 的矢积，即:
P b aij bj ijk b jk ikjkb j b
张量表示法
张量表示法具有书写简洁，运算方便的优点。 在张量表示法中我们将坐标改写成 x1，x2，x3。 并引进以下 几种符号。 （1）ai 表示一个矢量， i 是自由指标，可取1，2，3，符号
a 可任取。
例如的 grad 张量表示法为
xi
18/72
第二节 张量
张量表示法
（2）约定求和法则。为书写简便，我们约定在同一
张量表示法
ijk
例如：
0 1
两个以上（含两个）下标相同 下标为偶排列或奇排列
a b ijk a j bk ak rota ijk x j
ijk ist js kt jt ks
20/72
第二节 张量
3. 二阶张量
二阶张量性质
(1)二阶张量的主值、主轴及不变量
场论中的奥高公式可以推广到张量中去。设 P 是 n 阶张量，则张量情形下的奥高公式可写为：
rotn a lim
S 0
a d r
L
S
11/72
第一节 场论
8.无旋场及其性质
环量与旋度
rota 0 的矢量场称为无旋场。
无旋场最重要的性质是无旋场和位势场的等价性。
即若 a 是位势场，则 a 必为无旋场。
a grad rota 0
反之，若矢量 a 是无旋场，则 a 必为位势场。
（ 1） P的反对称性不因坐标转化而改变；
（2）反对称张量的三个分量 1 ,2 , 3 组成一矢量 ；
（3）反对称张量 P 和矢量 b 的内积等于矢量 和 b 的矢积，即:
P b aij bj ijk b jk ikjkb j b
0-场论与张量(数学基础)
（1）指标表示法和符号约定
哈密顿算子
利用哈密顿算子进行运算时，需分别进行微分和矢量两 种运算。
梯度
散度
ei ( ) ei xi xi
a j ai a j a ei x a j e j ei e j x ij x x i i i i
i j k （2） v w 1 2 5 i (2 1 1 5) j ( 3 5 1 1) k ( 1 1 2 3) 3 1 1 3 i 16 j 7 k
e1 e2 e3 a b a1 b1 a2 b2 a3 b3
26
ij ji
12 21, 31 13
ij a j ai
1 j a j 11a1 12a2 13a3 a1 , 2 j a j a2 , 3 j a j a3
ij 与 a j 相乘，相当于把 a j 的下标 j 置换为 i。
18
（2）笛卡尔张量
共轭张量、对称张量、反对称张量和张量的分解 张量分解定理 一个二阶张量可以唯一地分解为一个对称张量和一个反对 称张量之和
P 1 1 P Pc P Pc 2 2
容易验证上式右边第一项是对称张量，第二项是反对称张 量。
19
梯度、散度和旋度 2.1 哈密尔顿（Hamilton）算子 哈密尔顿（Hamilton）算子是矢量微分算子，其定义如下：
i, j, k 奇排列， 213，321，132
9
（1）指标表示法和符号约定
置换符号
ijk
ijk 有以下重要性质：
ijk ist js kt jt ks
【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章 张量代数
按§2.5节三中（g）式面积矢量记法有：
dH 0 r u(r ) (r )dV
试证明物体 Ω 对o点的动量矩为：
H0 J ω
Ω
式中 称为物体 Ω 对o点的二阶惯性矩张量（注：J 不是四阶单位张量。但 J表达式中的 I是二阶单位张量）。 u (r ) ω r 证： H (r u) dV r (ω r ) dV (r r )ω (r ω)r ) dV
I u (ii ii ) (u j i j ) u j iiij ui ii u
设存在另一二阶张量 I ，且满足 u I I u 。则： u I u I o ; uo ∵ I I O ; I I （唯一性） ∴ 3．
A : J ( Amn imin ) : (ii i j ii i j ) Amnmi jn ii i j Amn imin A
二阶张量与二阶张量的（一）点乘：
A B （Aij ii i j） （ Bmn imin） （Aij Bmn )ii (i j im )in Aij Bjn ii in
二阶张量与二阶张量的（双）点乘：
A : B ( Aij ii i j ) : ( Bmn imin ) ( Aij Bmn )(ii im )(i j in ) Aij Bij
A P2 A P2
A0 P2 Φ0 P4
Φ0 P4
（3.1-11）
A : Φ0 A
0 0
的 n ; A ; A ; ; 分别称为一阶单位张量、二阶单位张量和四 阶单位张量。 上式定义的一阶、二阶和四阶单位张量具有性质： u u V n 1． u A0 A0 ii ii ij ii i j （3.1-12） 2． I 为单位二阶张量。 ii i j 且记 A ; A 为 I 。即 I ii ii ij。并称
流体力学-第一讲 场论与张量分析初步ppt精选课件
•
标量场（scalar
field）：f
(r,t)
• 向量场（vector field）：g (r,t) g=f(r,t)
• 均匀场（homogeneous field）：f c
• •
非 定均常匀流场场（（nstoen-adhyomfoigeelndou）s：ffi(erl)d）： field)：f(r,t)
a x b x a yb y a zb z 标量
18.06.2021
ppt精选版
9
1
如a、b正交 ，则
abab0
2
如a、b平行 ，则
aba b
3 4
如 分a在 配b正 律交 ab投 c影 aba表 用 b示 ac
m a b a m b m a b
a
ax2ay 2az2
散度是标量，而不是向量。
diav l
im sa dsaxayaz a
v 0 v x y z
于是Gauss定理可以写作：
sa n d s sa d s v( a x x a y y a z z)d v v( a )dv
18.06.2021
ppt精选版
28
div A 0 的场称为无源场。其性质：
运动学 动力学
以实际流体为主
18.06.2021
ppt精选版
2
主要内容：
第一章 场论与张量分析初步
第二章 流体运动学
第三章 流体力学基本方程组
第四章 粘性流动基础
第五章 Navier-Stokes 方程的解
第六章 边界层理论
第七章 流体的旋涡运动
第八章 湍流理论
18.06.2021
ppt精选版
3
流体力学-第一讲 场论与张量分析初步
ax ay az
10.01.2021
18
所以有： （向量线方程）
dx dy dz
ax ay az
向量管：在场内取任一非向量的封闭曲线C，通过C上每一点 作矢（向）量线，则这些矢量曲线的区域为向量管。
流线方程 迹线方程
dx dy dz ux uy uz dx dy dz dt ux uy uz
迹线的描述 是从欧拉法
15
二、场的几何表示
变化快
变化慢
1、scalar field：
(1)用等值线（面）表示
令：
t0 f(r,t0)f0
t1 f(r,t1 )f1
等值线（等位面）图
(2)它的疏密反映了标量函数的变化情况
10.01.2021
16
二、场的几何表示
2、 vector field： 大小：标量. 可以用上述等位线(等位面)的概念来几何表示。
10.01.2021
12
数量三重积： c ab
ax ay az
a bc abc abc bx by bz
cx cy cz
a b c c a b b c a
abcacb
循环置换向量次序, 结果不变.
改变循环向量次序, 符号改变.
10.01.2021
③在任一方向的变形等于该方向的方向导数。
④梯度的方向是标量变化最快的方向。
10.01.2021
25
梯度的基本运算法则有：
C C
C( 为 常 数 )
1 2 1 2
1 2 1 2 2 1
f f
10.01.2021
26
四、向量的散度(divergence)
a ba xi a yj a zkb xi b yj b zk
流体力学-第一讲,场论与张量分析初步
x2 y2
方向导数
f l
li m 0 f(xx,yy)f(x,y)
方向 f导 fc 数 o sfsin
运动学 动力学
以实际流体为主
24.11.2020
h
2
主要内容：
第一章 场论与张量分析初步
第二章 流体运动学
第三章 流体力学基本方程组
第四章 粘性流动基础
第五章 Navier-Stokes 方程的解
第六章 边界层理论
第七章 流体的旋涡运动
第八章 湍流理论
24.11.2020
h
3
第一章 场论与张量分析初步
h
8
矢量的标量积(数量积)（点积）(内积)：
功:当力F作用在质点上使之移动一无限小位移 ds,此力所做功定义为力在位移方向的投影乘以
位移的大小.
a b a b co a ,b s
coa ,sb axbxa yb yazbz ab
a ba xi a yj a zkb xi b yj b zk
cx cy cz
a a b b c c c a c a b b b c a
循环置换向量次序, 结果不变.
改变循环向量次序, 符号改变.
24.11.2020
h
13
数量三重积几何意义：作为平行六面体的体积 。
a b c
c a b = 0 ， 是 a ,b ,c 共 面 的 充 分 条 件
矢量线的描述是从欧拉法引出
矢量线方程：
设
dr
是矢量线的切向元素，
则据矢量线的定义有
a d r0
直角坐标：
d r id x jd k y d z a ia x ja y k a z
则有：
第一章-场论及张量初步分析
全国范围内温度场分布
速度场
速度场
速度场
电场
磁场
均匀场：同一时刻场内各点 函数值都相等
定常场：场内函数值不随时 间t改变
均匀场
定常场
1.2 场的几何表示
等高线
等高线
根据等高线的相对位置、疏密程度 看出标量函数-高度的变化状况
矢量场的几何表示
矢量的大小是一个标量，可以用等位 面的概念来几何表示，矢量的方向则 采用矢量线来表示。
rotxa
az y
a y z
rot y a
ax z
az x
rot z a
a y x
ax y
1.6 环量. 旋度. 斯托克斯定理
极限存在的证明： Stockes公式：线积分与面积分的关系 中值公式：面积分与函数值的关系
i jk
rota
x y z
ax ay az
1.6 环量. 旋度. 斯托克斯定理
矢量线：线上每一点的切线方向与该 点的矢量方向重合
dr
r r
根据矢量定义有： a dr 0
直角坐标形式：
1.3 梯度-标量场不均匀性的量度
对于给定标量场 (r,t)，用它的梯度
来表明在任一时刻标量场中每点邻域 内的函数变化。
函数在M点上沿曲线S方 向的方向导数：
表明函数φ(r,t)在M点上 沿曲线S方向的变化率
p31
p13
1 2
p23
p32
0
二阶反对称张量
2 1
0
张量分解定理
二阶张量可以唯一地分解成为一个对称张 量和一个反对称张量之和。
P
1 2
P
Pc
1 2
P
Pc
张量分析及场论
示作用在该点上的力，则该力对物体质点所做的功为
u
w
v
图 1.1、矢量加法的平行四边形法则
W | F || u | cos
其中 F 、| u |分别表示矢量 F 、 u 的大小，θ表示矢量 F 与矢量 u 之间的夹角，这就 定义了一种称为点积的运算。
点积的定义： 设 u ，v 为两个任意不为零的矢量， 设| u |， | v |分别为其大小 （也称为模） 。 θ为这两个矢量之间的夹角，则 u 与 v 的点积为
张 量 分 析 及 场 论 Tensor Analysis and Field Theory
刘长根第一章 张量代数 ..................................................................................................................... 1 §1.1 点积、矢量分量及记号 ij .......................................................................................... 1 1.2 记号 ijk 、矢积（叉乘）、 关系 ........................................................................ 5 1.3、坐标变换 ...................................................................................................................... 9 1.4、并矢、张量 ................................................................................................................ 12 1.5 张量的代数运算 ........................................................................................................... 14 1.6 张量识别定理（商判则） ........................................................................................... 16 1.7、二阶张量 .................................................................................................................... 17 1.8、张量举例 .................................................................................................................... 21 习题一 ................................................................................................................................. 36 第二章 正交曲线坐标系中的张量分析与场论 ................................................................. 39 2.1、矢量函数、及其导数与微分 .................................................................................... 39 2.2 场 ................................................................................................................................... 43 2.3、曲线坐标 .................................................................................................................... 45 2.4、标量场的方向导数、梯度 ........................................................................................ 49 2.5、矢量场的通量、散度、奥高定理 ............................................................................ 53 2.6、矢量场的环量、旋度、斯托克斯公式 .................................................................... 56 2.7、哈密顿算子 ................................................................................................................ 58 2.8、基矢量对坐标的导数及其应用 ................................................................................ 62 2.9、几种重要的场 ............................................................................................................ 69 习题二 ................................................................................................................................. 75 第三章 一般曲线坐标系中的张量分析初步 ....................................................................... 77 3.1、曲线坐标，基矢量，度量张量 ................................................................................ 77 3.2、克里斯托弗尔符号及其性质 .................................................................................... 80 3.3、协变导数，逆变导数 ................................................................................................ 82
u
w
v
图 1.1、矢量加法的平行四边形法则
W | F || u | cos
其中 F 、| u |分别表示矢量 F 、 u 的大小，θ表示矢量 F 与矢量 u 之间的夹角，这就 定义了一种称为点积的运算。
点积的定义： 设 u ，v 为两个任意不为零的矢量， 设| u |， | v |分别为其大小 （也称为模） 。 θ为这两个矢量之间的夹角，则 u 与 v 的点积为
张 量 分 析 及 场 论 Tensor Analysis and Field Theory
刘长根第一章 张量代数 ..................................................................................................................... 1 §1.1 点积、矢量分量及记号 ij .......................................................................................... 1 1.2 记号 ijk 、矢积（叉乘）、 关系 ........................................................................ 5 1.3、坐标变换 ...................................................................................................................... 9 1.4、并矢、张量 ................................................................................................................ 12 1.5 张量的代数运算 ........................................................................................................... 14 1.6 张量识别定理（商判则） ........................................................................................... 16 1.7、二阶张量 .................................................................................................................... 17 1.8、张量举例 .................................................................................................................... 21 习题一 ................................................................................................................................. 36 第二章 正交曲线坐标系中的张量分析与场论 ................................................................. 39 2.1、矢量函数、及其导数与微分 .................................................................................... 39 2.2 场 ................................................................................................................................... 43 2.3、曲线坐标 .................................................................................................................... 45 2.4、标量场的方向导数、梯度 ........................................................................................ 49 2.5、矢量场的通量、散度、奥高定理 ............................................................................ 53 2.6、矢量场的环量、旋度、斯托克斯公式 .................................................................... 56 2.7、哈密顿算子 ................................................................................................................ 58 2.8、基矢量对坐标的导数及其应用 ................................................................................ 62 2.9、几种重要的场 ............................................................................................................ 69 习题二 ................................................................................................................................. 75 第三章 一般曲线坐标系中的张量分析初步 ....................................................................... 77 3.1、曲线坐标，基矢量，度量张量 ................................................................................ 77 3.2、克里斯托弗尔符号及其性质 .................................................................................... 80 3.3、协变导数，逆变导数 ................................................................................................ 82
高等流体力学—场论及张量初步67页PPT
Than心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
33、如果惧怕前面跌宕的山岩，生命 就永远 只能是 死水一 潭。 34、当你眼泪忍不住要流出来的时候 ，睁大 眼睛， 千万别 眨眼!你会看到 世界由 清晰变 模糊的 全过程 ，心会 在你泪 水落下 的那一 刻变得 清澈明 晰。盐 。注定 要融化 的，也 许是用 眼泪的 方式。
35、不要以为自己成功一次就可以了 ，也不 要以为 过去的 光荣可 以被永 远肯定 。
高等流体力学—场论及张量 初步
31、别人笑我太疯癫，我笑他人看不 穿。(名 言网) 32、我不想听失意者的哭泣，抱怨者 的牢骚 ，这是 羊群中 的瘟疫 ，我不 能被它 传染。 我要尽 量避免 绝望， 辛勤耕 耘，忍 受苦楚 。我一 试再试 ，争取 每天的 成功， 避免以 失败收 常在别 人停滞 不前时 ，我继 续拼搏 。
33、如果惧怕前面跌宕的山岩，生命 就永远 只能是 死水一 潭。 34、当你眼泪忍不住要流出来的时候 ，睁大 眼睛， 千万别 眨眼!你会看到 世界由 清晰变 模糊的 全过程 ，心会 在你泪 水落下 的那一 刻变得 清澈明 晰。盐 。注定 要融化 的，也 许是用 眼泪的 方式。
35、不要以为自己成功一次就可以了 ，也不 要以为 过去的 光荣可 以被永 远肯定 。
高等流体力学—场论及张量 初步
31、别人笑我太疯癫，我笑他人看不 穿。(名 言网) 32、我不想听失意者的哭泣，抱怨者 的牢骚 ，这是 羊群中 的瘟疫 ，我不 能被它 传染。 我要尽 量避免 绝望， 辛勤耕 耘，忍 受苦楚 。我一 试再试 ，争取 每天的 成功， 避免以 失败收 常在别 人停滞 不前时 ，我继 续拼搏 。
第一章场论及张量初步知识分享
证明：其他方向的方向导数可以由过M点的法 线方向上的方向导数来表示
lim(M1)(M)
n MM 1 0
MM 1
lim (M)(M)
s M M 0 M M
当M1无限接近M时，近 似为过M1点的切线
(M)(M 1)
M1 M M M co n,s s)(
MM MM1 cosn(,s)
(M)(M 1)
对于给定的矢量场a(r,t) ,在场内取一点M， 围绕M取无限小封闭曲线L，张于L上的曲面 为S，按右手螺旋法则定义S的法线方向n。
速度场
速度场
电场
磁场
均匀场：同一时刻场内各点 函数值都相等
定常场：场内函数值不随时 间t改变
均匀场
定常场
1.1 场的几何表示
等高线
等高线
根据等高线的相对位置、疏密程度 看出标量函数-高度的变化状况
矢量场的几何表示
矢量的大小是一个标量，可以用等位 面的概念来几何表示，矢量的方向则 采用矢量线来表示。
V a xx a yy a zz d V V a xx a yy a zz Q
函数在体积V上的积分
在积分体上Q点处的函数值
注意：Q点是积分体上的一个确定点
sandSVaxx
ay y
az z
Q
1.4 矢量的通量.散度.奥高定理
sandSVaxx
ay y
az z
Q
它来描述M点邻域内函数的变化状况，是标量 场不均匀性的量度。
g rad n
n
其他方向的方向导数可以由过M点的梯度 的大小来表示
g rad n
n
cosn,(s)
s
n
s•grad
梯度在直角坐标系中的表达式