2015届九年级数学中考复习课件：第六章24讲
个圆的内接三角形．锐角三角形的外心在三角形内 部；直角三角形的外心在斜边中点处；钝角三角形 的外心在三角形的外部．
要点梳理 (7)圆的内接四边形：
圆内接四边形的对角 互补
3．相关辅助线
．
一个防范
对垂径定理的理解，同学们往往把定理所需要的
条件遗漏，如容易漏掉经过圆心或者垂直，而这两
个条件必须同时具备．
系起来．
1．(2014·临沂)如图，在⊙O中，AC∥OB，∠BAO
＝25°，则∠BOC的度数为( B )
A．25° C．60° B．50° D．80°
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
【例2】 (2014·龙东)直径为10 cm的⊙O中，弦AB
＝5 cm，则弦AB所对的圆周角是 30°或150° ．
【点评】
在很多没有给定图形的问题中，常常不
能根据题目的条件把图形确定下来，因此会导致解 的不唯一性，这种题一题多解，必须分类讨论．本 题中，弦所对的圆周角不是唯一的，圆周角的顶点 可能在优弧上，也可能在劣弧上，依据“圆内接四 边形的对角互补”，这两个角互补．
2．(2013· 内江)如图，半圆 O 的直径 AB＝10 cm，弦 AC ＝6 cm，AD 平分∠BAC，则 AD 的长为( A ) A．4 5 cm B．3 5 cm
【点评】
本题考查了点与圆的位置关系的判定
，根据点与圆心之间的距离和圆的半径的大小关
C．60°
B．45°
D．70°
3．(2014·赤峰)如图，AB是⊙O的直径，C，D是
⊙O上两点，CD⊥AB.若∠DAB＝65°，则∠BOC
＝( C )
A．25°
C．130°
B．50°
D．155°
4．(2014· 济南)如图，⊙O 的半径为 1，△ABC 是⊙O 的内
接等边三角形，点 D，E 在圆上，四边形 BCDE 为矩形，
(B) 这个矩形的面积是 A．2 B. 3
3 C.2
3 D. 2
5．(2014· 凉山州)已知⊙O 的直径 CD＝10 cm，AB 是⊙O
的弦，AB⊥CD，垂足为 M，且 AB＝8 cm，则 AC 的长为
(C ) A．2 5 cm C．2 5 cm 或 4 5 cm B．4 5 cm D．2 3 cm 或 4 3 cm
圆周角与圆心角的关系 【例1】 (2014·山西)如图，⊙O是△ABC的外接
圆，连接OA，OB，∠OBA＝50°，则∠C的度数
为( B )
A．30°
C．50°
B．40°
D．80°
【点评】
当图中出现同弧或等弧时，常常考虑到
弧所对的圆周角或圆心角，一条弧所对的圆周角等
于该弧所对的圆心角的一半，通过相等的弧把角联
．
③旋转不变性，即圆绕着它的圆心旋转任意一个角
度，都能与原来的图形重合．
要点梳理 (2)垂径定理及推论：
垂径定理：垂直于弦的直径 __ 平分弦所对的两条弧
垂径定理的推论：
平分弦
，并且
． ， ；
①平分弦(不是直径)的直径 垂直于弦 并且 平分弦所对的两条弧
②弦的垂直平分线 经过圆心
分弦所对的两条弧；
人 教
数
学
第六章 图形的性质(二)
第24讲 圆的基本性质
要点梳理 1．主要概念 (1)圆：平面上到 定点 的距离等于 定长 的所有点 组成的图形叫做圆．定点 叫圆心， 定长 叫半
径，以O为圆心的圆记作⊙O. (2)弧和弦：圆上任意两点间的部分叫 接圆上任意两点的线段叫 弦叫直径，直径是最长的 弦 弦 弧 ． ，连
(2)有关直径的问题，常作直径所对的圆周角．
1．(2014·毕节)如图，已知⊙O的半径为13，弦AB
长为24，则点O到AB的距离是( B ) A．6 B．5 C．4 D．3
2．(2014·重庆)如图，△ABC的顶点A，B，C均在
⊙O上，若∠ABC＋∠AOC＝90°，则∠AOC的大
小是( C )
A．30°
一种思想
分类讨论思想：在很多没有给定图形的题目中， 常常不能根据题目的条件把图形确定下来，因此会 导致解的不唯一性．对于这种多解题必须要分类讨 论，分类时要注意标准一致，不重不漏．如：圆周 角所对的弦是唯一的，但是弦所对的圆周角不是唯 一的．
两条辅助线 (1)有关弦的问题，常作ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ弦心距，构造直角三角形；
，经过圆心的
要点梳理
(3)圆心角：顶点在
相交的角叫圆心角．
圆心
，角的两边与圆
(4)圆周角：顶点在
圆上
，角的两边与圆
相交的角叫圆周角． (5)等弧：在 同圆或等圆 全 重合 的弧．
中，能够完
要点梳理
2．圆的有关性质
(1)圆的对称性： 轴对称
①圆是
图形，其对称轴
．
是 过圆心的任意一条直线
②圆是 中心对称 图形，对称中心是 圆心
C．5 5 cm
D．4 cm
点与圆的位置关系
【例 3】 矩形 ABCD 中，AB＝8，BC＝3 5，P 点在边 AB 上，且 BP＝3AP，如果圆 P 是以点 P 为圆心，PD 为 (C ) 半径的圆，那么下列判断正确的是 A．点 B，C 均在圆 P 外 B．点 B 在圆 P 外，点 C 在圆 P 内 C．点 B 在圆 P 内，点 C 在圆 P 外 D．点 B，C 均在圆 P 内
中有一组量相等，那么它们
所对应的其余各组量都分别相等．
要点梳理
(4)圆周角定理及推论：
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所 一半
对圆心角的
．
圆周角定理的推论： ①同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等 圆中相等的圆周角所对的弧 相等 90°的圆周角所对的弦是 直径 ．
②半圆(或直径)所对的圆周角是 直角 ； ．
要点梳理 (5)点和圆的位置关系(设d为点P到圆心的距离，r 为圆的半径)： ①点P在圆上⇔ d＝r d<r d>r ；
②点P在圆内⇔
③点P在圆外⇔
；
．
要点梳理 (6)过三点的圆： ①经过不在同一直线上的三点，有且只有一个圆． ②经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆；外 接圆的圆心叫做三角形的外心；三角形的外心是三 边 垂直平分线 的交点，这个三角形叫做这
，并且平
③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦， 并且平分弦所对的另一条弧．
要点梳理 (3)弦、弧、圆心角的关系定理及推论： ①弦、弧、圆心角的关系：在同圆或等圆中， 相等 相等的圆心角所对的弧 ，所对的 弦 相等 ． 两条弧
②推论：在同圆或等圆中，如果两 个 、 圆心角 、 两条弦心距 、__两条弦__
【贵州中考面对面】2015届九年级数学总复习(课件 练习)：.
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2015届中考数学第一轮知识要点复习课件24
空间两个平面
复习目标：
掌握两个平面平行垂直的定义、判 定和性质定理，掌握两个平行平面 的距离、二面角的概念，并能作出 二面角，能灵活应用
空间两个平面
位置关系：
位置关系
两平面平 行 两平 两 面斜 平 交 面 不 平 两平 行 面垂 直 图 示 表示方法 ∥ 公共点个数 无
=l
空间两个平面
证法（二）：作一条直线l，使lγ ∵∥γ，∥γ ∴l，l ∴∥
证法（三）：（用反证法） 假设，有公共点P ∵∥γ，∥γ ∴过P点有两个平面，都与γ平行 这与过平面外一点有且只有一个平面与已知 平面平行矛盾。 ∴，没用公共点，即∥
空间两个平面
例3．已知正三棱柱ABC—A1B1C1，在 BB1上截取BD=AB，在CC1上截取CE=AB （1）求证：截面ADE⊥侧面ACC1A1 （2）求截面ADE与底面ABC所成的角。
(A). 1 种 (B). 2种 (C). 3种 (D). 4种
)
2. 如图,设AB、CD为夹在两个平行平面 、 之间
的线段，且直线AB、CD为异面直线，M、P 分别 为AB、CD 的中点， 求证： 直线MP // 平面
.
A
M
C
P
N
D
B
E
3. 空间四边形ABCD中，M、E、F 分别为
空间两个平面
例4．三棱锥V—ABC （1） VA⊥BC，VC⊥AB (VB⊥AC) V在底面ABC射影为ΔABC的垂心 VA、VB、VC两两垂直 （2） VA=VB=VC V在底面ABC的射影为ΔABC的外心 侧棱与底面成等角 V （3）斜高VE=VF V在底面ABC的射影 A O 为ΔABC的内心 E B 侧面与底面成等角
2015年中考数学总复习解题指导课件含2几何共210张PPT77
∴∠BOM＝180°－∠AOM＝180°－38°＝142°.故选 C.
第15讲┃图形的初步认识
5．[2014·邵阳] 已知∠α＝13°，则∠α的余角的大 小是___7_7_°___．
6．若∠α的补角为76°28′，则∠α＝__1_0_3_°__3_2．′
第15讲┃图形的初步认识
核心考点二 相交线
第15讲┃图形的初步认识
图15－7 第15讲┃图形的初步认识平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直
垂直的 基本性
质
线． (2)在连接直线外一点与直线上各点的线段中，___垂_线__段__最 短
直线外一点到这条直线的__垂__线_段___的长度叫做点到直线的
距离
线段的 垂直平
第15讲┃图形的初步认识
4．角的平分线
(1)如图 15－2，若 OC 是∠AOB 的平分线，则__∠__A_O_C__＝ __∠__B_O_C__＝12∠AOB.
图 15－2 第15讲┃图形的初步认识
(2) 定 理 ： 角 平 分 线 上 的 点 到 这 个 角 两 边 的 距 离 __相__等____．
第15讲┃图形的初步认识
[解析] ∵OB 是∠AOC 的平分线， ∴∠BOC＝∠AOB. 又∵∠AOB＝40°， ∴∠BOC＝40°. ∵∠COE＝60°，OD 是∠COE 的平分线， ∴∠COD＝30°， ∴∠BOD＝40°＋30°＝70°.
第15讲┃图形的初步认识
核心练习
1．经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且
图 15－9
A．对顶角 B．同位角 C．内错角 D．同旁内角 第15讲┃图形的初步认识
9．[2014·厦门] 已知直线 AB，CB，l 在同一平面内，若 AB⊥l，
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第六章 圆 第24讲 圆的基本性质
高分突破在手
中考高分无忧
★中考导航★
⊙考纲要求⊙
1.理解圆及其有关概念，了解弧、弦、圆心角的关系. 2.了解圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征. ⊙命题趋势⊙
2010～2013 年广东省中考题型及分值统计
年份 试题类型 知识点 分值
2010
注意：轴对称性是圆的又一条基本性质，垂径定理及其推论就是根据圆的轴对称性 总结出来的．它们是证明线段相等、角相等、垂直关系、弧相等和一条弦是直径的 重要依据，遇弦作弦心距是圆中常用的辅助线．
3．与圆有关的角及其性质 (1)圆心角：顶点在圆心，角的两边和圆相交的角叫做圆心角． 圆周角：顶点在圆上且角的两边和圆相交的角叫做圆周角． 弦切角：顶点在圆上，角的一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角． （2）圆周角定理 定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 一半 ． 所
2011 2012 2013
解答题
填空题 填空题 解答题
垂径定理
圆周角定理 圆周角定理 圆周角定理
6分
4分 4分 9分
1.从近几年广东省命题地区的考试内容来看，本讲内容命题难度适中，是中考命题 的热点，考查的重点是圆心角和圆周角性质的运用，垂径定理的运用. 2．题型以填空题、解答题为主． 3.2014 年考查重点可能是圆的基本概念、基本定理等的理解应用；利用垂径定理及 其推论，圆周角、圆心角的性质等有关圆的基础知识来论证角相等、弧相等及计算线段 的长度等．
思路点拨：过点 P 作 PD⊥x 轴于点 D，连接 OP，先由垂径定 理求出 OD 的长，再根据勾股定理求出 PD 的长，故可得出答 案．
2．（2013 绍兴）绍兴是著名的桥乡，如图，石拱桥的桥顶到水面的距离 CD 为 8m，桥拱半径 OC 为 5m，则水面宽 AB 为（ D ） A．4m B．5m C．6m D．8m
第1部分第24讲与圆有关的位置关系3～9分市公开课一等奖课件名师大赛获奖课件
例3 如图，AB是⊙O的直径，C是弧BE的中点，AE⊥CD于点D，延长DC，AB交 于点F.判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由．
解：CD与⊙O相切．理由如下：
如解图，连接OC．
∵C是弧BE的中点，
∴∠DAC＝∠OAC． ∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC． ∴∠DAC＝∠OCA．∴DA∥OC． 又∵AD⊥DC，∴OC⊥DC．
(3)若以点C为圆心作圆，使A，O，B三点至少有一点在圆内，至少有一点在圆外， 求⊙C的半径r的取值范围．
解：∵AC＝6，OC＝5，BC＝8，
∴OC＜AC＜BC．
∴当5＜r＜8时，A，O，B三点至少有一点在圆内，至少有一点在圆外．
学霸笔记 构成圆的基本要素是圆心和半径，因此，这两种位置关系都转化成圆心到点的 距离与半径之间的数量关系．
本节内容主要包括点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系，其中 直线与圆的位置关系为山西近年中考的必考内容．考查的重点是切线与过切点的半径 的关系，通常会与圆周角定理、尺规作图、线段计算等结合进行考查，填空、选择、 解答三种题型都时有出现，有一定难度．
考点一 点与圆的位置关系 1．点与圆有 三三 种位置关系：点在 圆圆内内 、点在 圆圆上上 、点在 圆圆外外 ， 可转化为 点点到圆到心圆的心距离的距离 与 圆圆的的半半径径 之间的数量关系． 2．点与圆的位置关系的判定和性质：如果圆的半径是r，点与圆心的距离为d，那 么点在圆外⇔ dd>>r r ；点在圆上⇔ dd＝＝r r ；点在圆内⇔ dd<<rr .
任务： (1)观察发现：IM＝R＋d，IN＝ R－d
(用含R，d的代数式表示)；
(2)请判断BD和ID的数量关系，并说明理由；
解：BD＝ID．
北师大版(贵阳专版)九年级数学教学课件：第六章反比例函数复习 (共25张PPT)
点B作y轴垂线，垂足为D，连结AD，DC，CB
．
（1）若⊿ABD的面积为4，求点B的坐标；
（2）求直线AB的函数解析y 式．
A
D
B
x OC
8.已知点AA((-x21,yy11)),,BB((x-21,y,y2)2且) x1＜0＜x2
都在反比例函数
y
y
k4 xx
(k＜0)的图象上,
则y1与y2的大小关系(从大到小)为
1,4,6比例系数 k分别是3，
1
，3
，2、已知， y(2m)xm4
是反比例函数
则m =3 ，此函数图象在第 二，四 象限。
3、已知点（1，-2）在反比例函数 y
k x
的图象上，则k= -2 .
4、反比例函数 y 4 x的图象大致是（ D ）
5、如果反比例函数 y 14m的图象位于第
x
二、四象限，那么m的范围为
③对称性__关__于__原_点__对__称________
④增减性
y
6 5 4 3 2 1 0 1 23
y
1
x - - - -3- - 0 1 23 4 5 6
6 54 21
(1)K_>_0_时_，__在__图__象_所__在__的_每__一__象_限__内__,_y_随__x_的__增_大__而__减小
(1)药物燃烧时,y关于x 的函数关系式为: _y____43__x_, 自变量x 的取值
范围是:_0____x___8__,药物燃烧后y关于x的函数关系式为_y____4_8__(x____8_).
根据图像，设函式数为 y解 k析 x(k 0)
y(mg) x
将点8， （ 6）代入，y求 3x出 根据图像，设式 函4为 数 y解 k(k析 0) 将点 8， 6） （代入y， 4求 8(xx8出 )
九年级数学上册(北师大版)课件：第六章 单元复习 (共28张PPT)
设加热过程中一次函数表达式y=k2x+b， 由图象知y=k2x+b过点（0，4）与（6，28），
∴y=4x+4，此时x的范围是0≤x≤6. 此时x的范围是x＞6；
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•17
课堂精讲
（2）当y=12时，由y=4x+4， 得x=2. 由
得x=14， 所以对该材料进行特殊处理所用的时间为 14﹣2=12（分钟）.
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•22
能力提升
解：（1）由题意，设点P的坐标为（m，2）
∵点P在正比例函数
的图象上，
∴2=m，即m=2.
∴点P的坐标为（2，2）.
∵点P在反比例函数y=的图象上，
∴
，解得k=5.
（2）∵在反比例函数 随x的增大而减小， ∴k﹣1＞0，解得k＞1.
图象的每一支上，y
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系数法可得两个函数的关系式；
（2）把y=12代入y=4x+4得x=2，代入 得x=14，则
对该材料进行特殊处理所用的时间为14-2=12（分钟
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•16
课堂精讲
解：（1）设加热停止后反比例函数表达式为
∵ 过（12，14），得k1=12×14=168，
则
；当y=28时，28=
，得x=6.
求
课堂精讲
【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式， 根据图象上的点满足函数解析式，可得D点坐标， 根据三角形的面积公式，可得答案； （2）根据BE的长，可得B点的纵坐标，根据点在 函数图象上，可得B点横坐标，根据两点间的距 离公式，可得答案.
解；（1） （x＞0）的图象经过点A（1，2），
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2015届湘教版中考数学复习课件(第24课时_矩形、菱形、正方形)
第24课时┃ 矩形、菱形、正方形
考点2 菱形
邻边 相等的平行四边形叫作菱形 菱形的定义 一组________
菱形是轴对称图形， 两条对角线所在的直线 菱 形 的 性 质 定理 对称性 是它的对称轴 菱形是中心对称图形， 它的对称中心是两条 对角线的交点
相等 ． (1)菱形的四条边________ 垂直 平分， (2) 菱形的两条对角线互相 ________ 一组对角 并且每条对角线平分______________
考点聚焦
归类探究
回归教材
第24课时┃ 矩形、菱形、正方形
(1)定义法．
相等 的四边形是菱形． 菱形的 (2)四条边________
判定
垂直 的平行四边形是 (3) 对角线互相 ________
菱形 (1)菱形的面积＝底×高 (2) 菱形的面积等于两条对角线长度乘积
菱形的 面积
一半 的________
回归教材
第24课时┃ 矩形、菱形、正方形
1 1 (2)∵∠BAD＝60°，∴∠DAO＝ ∠BAD＝ ×60°＝30°. 2 2 ∵∠EOD＝30°，∴∠AOE＝90°－30°＝60°， ∴∠ AEF ＝∠CFE ＝ 180 °－∠OAE －∠AOE ＝ 180 °－ 30 ° －60°＝90°. 1 1 ∵菱形的边长为 2，∠DAO＝30°，∴OD＝ AD＝ ×2＝1， 2 2 3 ∴AO＝ AD －OD ＝ 3，∴OE＝ ， 2
考点聚焦 归类探究 回归教材
第24课时┃ 矩形、菱形、正方形
【方法点析】 矩形是特殊的平行四边形 ， 具有平行四边形的所有性 质．判定一个四边形是不是矩形，首先要看这个四边形是不是 平行四边形，再看它是否有一个内角是直角．如果这个四边形 不能确定是平行四边形，那么可以通过判断能否在该四边形中 找到三个内角是直角或对角线平分且相等来进行判定．
2015届九年级数学中考复习课件：第六章27讲
要点梳理 3．利用基本作图作三角形 (1)已知三边作三角形； (2)已知两边及其夹角作三角形； (3)已知两角及其夹边作三角形； (4)已知底边及底边上的高作等腰三角形； (5)已知一直角边和斜边作直角三角形．
要点梳理 4．与圆有关的尺规作图
(1)过不在同一直线上的三点作圆(即三角形的外接
圆) ；
(2)作三角形的内切圆；
(3)作圆的内接正方形和正六边形．
要点梳理 5．有关中心对称或轴对称的作图以及设计图案是 中考的常见类型 6．作图的一般步骤 (1)已知；(2)求作；(3)分析；(4)作法；(5)证明； (6)讨论． 步骤(5)(6)常不作要求，步骤(3)一般不要求，但作 图中一定要保留作图痕迹．
1．(2014·安顺)用直尺和圆规作一个角等于已知角 ，如图，能得出∠A′O′B′＝∠AOB的依据是( B )
A．SAS
C．ASA
B．SSS
D．AAS
2．(2013· 曲靖 )如图 ，以∠AOB 的顶点 O 为圆心 ，适当长为半 径画弧 ，交 OA 于点 C，交 OB 于点 D.再分别以点 C，D 为圆 1 心，大于 2CD 的长为半径画弧 ，两弧在∠AOB 内部交于点 E， 过点 E 作射线 OE，连接 CD.则下列说法错误的是 ( A．射线 OE 是∠AOB 的平分线 B．△COD 是等腰三角形 C．C，D 两点关于 OE 所在直线对称 D．O，E 两点关于 CD 所在直线对称
(2)作 CD⊥MN 于点 D，由题意得：∠CMN＝30°，∠CND＝45°，∵在 Rt△CMD CD 中，MD＝
N 的北偏西 45°方向，求点 C 到公路 ME 的距离．
tan∠CMN， ∴MD＝
CD CD CD ＝ 3CD； ∵在 Rt△CND 中，DN＝tan∠CNM，∴ND＝ 1 3 3
2015届九年级数学中考一轮复习教学案：第24课时圆的有关计算
第24课时圆的有关计算【课时目标】1．了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系，能将正多边形问题转化为直角三角形问题．2．会计算圆的弧长、扇形的面积以及组合图形的周长与面积．3．理解圆柱、圆锥的侧面展开图，掌握圆柱、圆锥的侧面积和全面积的计算．【知识梳理】1．各边_______，各角_______的多边形叫做正多边形，正多边形的外接圆（或内切圆）的圆心叫做正多边形的_______．2．正多边形都是_______对称图形，一个正n边形共有_______条对称轴．如果正n边形的边数为偶数，它又是_______对称图形，那么它的中心就是_______中心．3．圆的有关计算公式（设半径为R，圆心角的度数为n°）：(1)圆周长C＝，弧长l＝________．(2)圆面积S＝________，S扇形＝________＝_______．4．圆锥：(1)连接圆锥的顶点和底面圆上任意一点的_______都叫做圆锥的母线，圆锥的母线长_______；连接顶点与_______的线段叫做圆锥的高．(2)圆锥的侧面展开图是一个________，这个扇形的_______是圆锥的母线长，_______是圆锥底面圆的周长．(3)设圆锥底面圆的半径为r，母线长为l，则S圆锥侧＝________，S圆锥全＝________．【考点例析】考点一与正多边形有关的运算例1正多边形的一个外角等于30°，则这个多边形的边数为( )A．6 B．9 C．12 D．15提示方法一：根据多边形内角和公式表示出内角和，另外根据正多边形的每个外角都相等也可以求出该多边形的内角和，从而列出方程求出方程的解即可；方法二：根据多边形的外角和为360°，正多边形的每个外角都相等，用360÷30即可求出边数．例2为增加绿化面积，某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖．更换后，图中阴影部分为植草区域，设正八边形与其内部小正方形的边长都为a ，则阴影部分的面积为 ( )A ．2a 2B ．3a 2C ．4a 2D ．5a 2提示 图中阴影部分的面积由一个正方形和四个等腰直角三角形组成，根据正八边形的边长相等知四个等腰直角三角形可拼接成边长为a 的正方形，从而得到阴影部分的面积等于2个边长为a 的正方形的面积．考点二 与弧长有关的运算例3如图，AB 与⊙O 相切于点B ，AO 的延长线交⊙O 于点C ，连接BC ．若∠ABC ＝120°，OC ＝3，则BC 的长为 ( )A ．πB ．2πC ．3πD ．5π 提示 连接OB ，由于AB 是切线，那么∠ABO ＝90°，而∠ABC ＝120°，易求∠OBC ，而OB ＝OC ，那么∠OBC ＝∠OCB ，进而求出∠BO C 的度数，再利用弧长公式即可求出BC 的长．例4如图，在由边长为1的正方形组成的网格中，△ABC 的顶点都在格点上，将△ABC 绕点C 顺时针旋转60°，则顶点A 所经过的路径长为 ( ) A ．10πB ．103C ．103π D ．π 提示 由题意得点A 所经过的路径是以C 为圆心，CA 长为半径，圆心角为60°的弧，而要求顶点A 所经过的路径长就是求该孤的长，利用弧长公式180n r l π=计算可得．考点三 与扇形面积有关的计算例5如图，四边形OABC 为菱形，点A ，B 在以O 为圆心的弧上．若OA ＝2，∠1＝∠2，则扇形ODE的面积为 ( )A ．43π B ．53π C ．2πD ．3π提示 连接OB ．根据等边三角形的性质可以求得∠AOC ＝120°，再结合∠1＝∠2，即可求得扇形所在的圆心角的度数，从而根据扇形的面积公式进行求解．考点四 与圆锥的侧面展开图有关的运算例6 如图，在⊙O 中，半径OA ＝4，∠AOB ＝120°，用阴影部分的扇形围成的圆锥底面圆的半径长是 ( )A ．1B ．43C ．53D ．2提示 设出圆锥的底面圆的半径，利用圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长列方程求解． 考点五 求阴影部分的面积例7如图，在△ABC 中，BC ＝4，以点A为圆心，2为半径的⊙A 与BC 相切于点D ，交AB 于点E ，交AC 于点F ，P 是⊙A 上的一点，且∠EPF ＝45°，则图中阴影部分的面积为 ( )A ．4－πB ．4－2πC ．8＋πD ．8－2π提示 连接AD ，根据圆周角定理可以求得∠A 的度数，进而求得扇形EAF 的面积，根据阴影部分的面积＝△ABC 的面积－扇形EAF 的面积即可求解．【反馈练习】1．已知正n 边形的一个内角为135°，则边数n 的值是 ( )A ．6B ．7C ．8D ．102．(2012．湛江)一个扇形的圆心角为60°，它所对的弧长为2πcm ，则这个扇形的半径为( )A ．6 cmB ．12 cmC ．23 cmD ．6cm3．如图，E 是BC 的中点，AB 是⊙O 的直径，AB ＝4，∠BED ＝120°，则图中阴影部分的面积之和为 ( ) A ．1 B ．32 C ．3 D ．234．(1)在半径为1 cm ．的圆中，圆心角为120°的扇形的弧长是_______cm(结果保留π)；(2)一个扇形的圆心角为120°，半径为3，则这个扇形的面积为_______（结果保留π）．5．如图，SO 、SA 分别是圆锥的高和母线．若SA ＝12 cm ，∠ASO ＝30°，则这个圆锥的侧面积是_______cm 2（结果保留π）．6．如图，在扇形OAB 中，∠AOB ＝90°，半径OA ＝6．将扇形OAB 沿过点B 的直线折叠，点O 恰好落在AB 上的点D 处，折痕交OA 于点C ，求整个阴影部分的周长和面积．。