2019年中考数学试题分类汇编28：圆的基本性质
一、选择题1. （2019山东滨州，6，3分）如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，若∠BCD＝40°，则∠ABD的大小为（）A．60°B．50°C．40°D．20°【答案】B【解析】如图，连接AD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°．∵∠A和∠BCD都是弧BD所对的圆周角，∴∠A=∠BCD=40°，∴∠ABD=90°－40°=50°．故选B．【知识点】圆周角定理及其推论2. (2019山东聊城,8,3分)如图,BC是半圆O的直径,D,E是BC上两点,连接BD,CE并延长交于点A,连接OD,OE,如果∠A＝70°,那么∠DOE的度数为°°°°第8题图【答案】C【解析】∵∠A＝70°,∴∠B+∠C＝110°,∴∠BOE+∠COD＝220°,∴∠DOE＝∠BOE+∠COD－180°＝40°,【知识点】三角形内角和定理,圆周角定理3. （2019山东省潍坊市，11，3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，AD=CD．过点D作DE⊥AB于点E．连接AC交DE于点F．若sin∠CAB=35，DF=5，则BC的长为（）A．8 B．10 C．12 D．16【答案】C【思路分析】连接BD，先证明∠DAC=∠ACD=∠ABD=∠ADE，从而可得AF=DF=5，根据sin∠CAB=35，求得EF和AE的长度，再利用射影定理求出BE的长度从而得到直径AB，根据sin∠CAB=35求得BC的长度．【解题过程】连接BD．∵AD=CD，∴∠DAC=∠ACD．∵AB为直径，∴∠ADB=∠ACB=90°．∴∠DAB+∠ABD=90°．∵DE⊥AB，∴∠DAB+∠ADE=90°．∵∠ABD=∠ACD，∴∠DAC=∠ADE．∴AF=DF=5．在Rt△AEF中，sin∠CAB=35 EFAF=∴EF=3，AE=4．∴DE=3+5=8．由DE2=AE▪EB，得228164DEBEAE===．∴AB=16+4=20．在R t△ABC中，sin∠CAB=35 BC AB=∴BC=12．【知识点】圆周角，锐角三角比4. （2019四川省凉山市，7，4）下列命题：①直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；②两点之间线段最短；③相等的圆心角所对的弧相等；④平分弦的直径垂直于弦．其中，真命题的个数（▲）A． 1 B． 2 C． 3 D． 4【答案】A【解析】直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离；两点之间线段最短；在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，所以只有①是对的，故选A.【知识点】点到直线的距离概念；线段基本事实；在同圆或等圆中圆心角与弧的关系；垂径定理的推论5. （2019四川省眉山市，10，3分）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD．垂足是点E，∠CAO=22．5°，OC=6，则CD的长为【答案】A【思路分析】【解题过程】解：∵∠A=°，∴∠COE=45°，∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，OC=6，∴∠CEO=90°，∵∠COE=45°，∴CE=OE=2OC＝32，∴CD=2CE=62，故选：D.【知识点】三角形的外角的性质，垂径定理，锐角三角形函数6.（2019浙江省衢州市，8，3分）一块圆形宣传标志牌如图所示，点A，B，C在⊙O上，CD垂直平分AB于点D.现测得AB=8dm，DC=2dm，则圆形标志牌的半径为（A）【答案】B【解析】连接OD，OB，则O，C，D三点在一条直线上，因为CD垂直平分AB，AB=8dm，所以BD=4 dm,OD=（r-2）dm，由勾股定理得42+（r-2）2=r2，r=5dm，故选B。
【知识点】垂径定理勾股定理7. (2019山东泰安,9题,4分) 如图,△ABC 是O 的内接三角形,∠A ＝119°,过点C 的圆的切线交BO 于点P,则∠P 的度数为° ° ° °第9题图【答案】A【解析】连接CO,CF,∵∠A ＝119°,∴∠BFC ＝61°,∴∠BOC ＝122°,∴∠COP ＝58°,∵CP 与圆相切于点C,∴OC ⊥CP,∴在Rt △OCP 中,∠P ＝90°－∠COP ＝32°,故选A.【知识点】圆的内接四边形,圆周角定理,直角三角形两锐角互余8. （2019四川南充，6，4分）如图，四边形ABCD 内接于O ，若40A ∠=︒，则(C ∠= )A ．110︒B ．120︒C ．135︒D ．140︒【答案】D【解析】解：四边形ABCD 内接于O ，180C A ∴∠+∠=︒，18040140C ∴∠=︒-︒=︒．故选：D ．【知识点】圆内接四边形的性质9.（2019甘肃天水，9，4分）如图，四边形ABCD 是菱形，⊙O 经过点A 、C 、D ，与BC 相交于点E ，连接AC 、AE ．若∠D ＝80°，则∠EAC 的度数为（ ）A ．20°B ．25°C ．30°D ．35°【答案】C【解析】解：∵四边形ABCD 是菱形，∠D ＝80°，∴∠ACB ∠DCB （180°﹣∠D ）＝50°， ∵四边形AECD 是圆内接四边形，∴∠AEB ＝∠D ＝80°，∴∠EAC ＝∠AEB ﹣∠ACE ＝30°，故选：C ．【知识点】菱形的性质；圆周角定理10. （2019甘肃武威，9，3分）如图，点A ，B ，S 在圆上，若弦AB 的长度等于圆半径的2倍，则ASB ∠的度数是( )A ．22.5︒B ．30︒C ．45︒D ．60︒【答案】C【解析】解：设圆心为O ，连接OA 、OB ，如图，∵弦AB 2倍，即2AB OA =，∴222OA OB AB +=， ∴OAB ∆为等腰直角三角形，90AOB ∠=︒， ∴1452ASB AOB ∠=∠=︒，【知识点】圆周角定理11. （2019甘肃省，8，3分）如图，AB 是O 的直径，点C 、D 是圆上两点，且126AOC ∠=︒，则(CDB ∠= )A ．54︒B ．64︒C ．27︒D ．37︒【答案】C【解析】解：∵126AOC ∠=︒，∴18054BOC AOC ∠=︒-∠=︒，∴1272CDB BOC ∠=∠=︒，故选C ．【知识点】圆的有关概念及性质12. （2019湖北宜昌，12，3分）如图，点A ，B ，C 均在⊙O 上，当∠OBC ＝40°时，∠A 的度数是（）A ．50°B ．55°C ．60°D ．65°【答案】A【解析】解：∵OB ＝OC ，∴∠OCB ＝∠OBC ＝40°，∴∠BOC ＝180°﹣40°﹣40°＝100°，∴∠A ∠BOC ＝50°．故选：A ．13. （2019江苏连云港，8，3分）如图，在矩形ABCD 中，22AD AB =．将矩形ABCD 对折，得到折痕MN ；沿着CM 折叠，点D 的对应点为E ，ME 与BC 的交点为F ；再沿着MP 折叠，使得AM 与EM 重合，折痕为MP ，此时点B 的对应点为G ．下列结论：①CMP ∆是直角三角形；②点C 、E 、G 不在同一条直线上；③6PC MP =；④2BP AB =；⑤点F 是CMP ∆外接圆的圆心，其中正确的个数为( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】B【解析】解：∵沿着CM 折叠，点D 的对应点为E ，∴DMC EMC ∠=∠，∵再沿着MP 折叠，使得AM 与EM 重合，折痕为MP ，AMP EMP ∴∠=∠，180AMD ∠=︒， 1180902PME CME ∴∠+∠=⨯︒=︒，CMP ∴∆是直角三角形；故①正确；∵沿着CM 折叠，点D 的对应点为E ，90D MEC ∴∠=∠=︒，∵再沿着MP 折叠，使得AM 与EM 重合，折痕为MP ，90MEG A ∴∠=∠=︒，180GEC ∴∠=︒，∴点C 、E 、G 在同一条直线上，故②错误；22AD AB =，∴设AB x =，则22AD x =，∵将矩形对折，得到折痕；12DM AD ∴=，CM ∴==，90PMC ∠=︒，MN PC ⊥，2CM CN CP ∴=，2CP ∴==，PN CP CN ∴=-=，PM ∴==，∴PC PM ==PC ∴=，故③错误； 2PC =，PB ∴==，∴AB PB =PB AB ∴=，故④， CD CE =，EG AB =，AB CD =，CE EG ∴=，90CEM G ∠=∠=︒，//FE PG ∴，CF PF ∴=， 90PMC ∠=︒，∵CF PF MF ==，∴点F 是CMP ∆外接圆的圆心，故⑤正确；故选B ．【知识点】翻折变换（折叠问题）；三角形的外接圆与外心；矩形的性质；直角三角形的性质14.（2019山东德州，9，4分）如图，点O为线段BC的中点，点A，C，D到点O的距离相等，若40ABC∠=︒，则ADC∠的度数是()A．130︒B．140︒C．150︒D．160︒【答案】B【解析】解：由题意得到OA OB OC OD===，作出圆O，如图所示，∴四边形ABCD为圆O的内接四边形，180∴∠+∠=︒，ABC ADC∠=︒，40ABC∴∠=︒，140ADC故选B．【知识点】圆内接四边形的性质15.（2019山东菏泽，6，3分）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，且BC平分∠ABD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论不一定成立的是（）A ．OC ∥BDB ．AD ⊥OC C ．△CEF ≌△BED D ．AF ＝FD【答案】C 【解析】解：∵AB 是⊙O 的直径，BC 平分∠ABD ，∴∠ADB ＝90°，∠OBC ＝∠DBC ，∴AD ⊥BD ，∵OB ＝OC ，∴∠OCB ＝∠OBC ，∴∠DBC ＝∠OCB ，∴OC ∥BD ，选项A 成立；∴AD ⊥OC ，选项B 成立；∴AF ＝FD ，选项D 成立；∵△CEF 和△BED 中，没有相等的边，∴△CEF 与△BED 不全等，选项C 不成立，故选C ．【知识点】圆周角定理16.（2019台湾省，24，3分）如图表示A 、B 、C 、D 四点在O 上的位置，其中180AD =︒，且AB BD =，BC CD =．若阿超在AB 上取一点P ，在BD 上取一点Q ，使得130APQ ∠=︒，则下列叙述何者正确A ．Q 点在BC 上，且BQ QC >B ．Q 点在BC 上，且BQ QC <C ．Q 点在CD 上，且CQ QD >D ．Q 点在CD 上，且CQ QD < 【答案】B【解析】解：连接AD ，OB ，OC ，180AD =︒，且AB BD =，BC CD =， 45BOC DOC ∴∠=∠=︒，在圆周上取一点E 连接AE ，CE ， 167.52E AOC ∴∠=∠=︒， 122.5130ABC ∴∠=︒<︒，取BC 的中点F ，连接OF ，则67.5AOF ∠=︒，123.25130ABF ∴∠=︒<︒，Q ∴点在BC 上，且BQ QC <，故选：B ．【知识点】圆心角，弧，弦的关系；圆内接四边形的性质；圆周角定理二、填空题1. （2019四川省凉山市，15，4）如图所示，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于H ，∠A =30°， CD =23，则⊙O 的半径是 ．第15题图【答案】2【解析】连接OC ，则OA =OC ，∴∠A =∠ACO =30°，∴∠COH =60°，∵OB ⊥CD ，CD =23，∴CH =3，∴OH =1，∴OC =2.第15题答图【知识点】等腰三角形性质；三角形外角性质；垂径定理；勾股定理2.（2019天津市，18，3分）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A在格点上，B是小正方形边的中点，∠ABC=50°，∠BAC=30°，经过点A,B的圆的圆心在边AC上，（1）线段AB的长等于；（2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出一个点P，使其满足∠PAC=∠PBC=∠PCB，并简要说明点P的位置是如何找到的（不需要证明）【答案】（1）（2）如图，取圆与网格线的交点E,F连接EF与AC相交，得圆心O；AB与网格线相交于点D，连接DO并延长，交O于点Q，连接QC并延长，与点B,O的连线BO相交于点P，连接AP，则点P满足∠PAC=∠PBC=∠PCB【解析】(1)如图，Rt △ABD 中，AD=2，BD=21,由勾股定理可得AB=（2）由于点A 在格点上，可得直角，根据圆周角是直角所对的弦是直径可以作出直径，又因为圆心在AC 上，所以取圆与网格线的交点E,F 连接EF 与AC 相交，得圆心O ；AB 与网格线相交于点D ，则点D 为AB 的中点，连接DO 并延长，根据垂径定理可得则DO 垂直平分AB ，连接BO ，则∠OAB=∠OBA=30°，因为∠ABC=50°，所以∠OBC=20°，DO 的延长线交O 于点Q ，连接QC 并延长，与点B,O 的连线BO 相交于点P ，连接AP ，则点P 满足∠PAC=∠PBC=∠PCB【知识点】勾股定理，圆周角的性质，垂径定理3. （2019浙江湖州，12，4）已知一条弧所对的圆周角的度数为15°，则它所对的圆心角的度数是 ．【答案】30°．【解析】根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对圆心角的度数是该弧所对圆周角的度数的2倍，可知答案为30°．【知识点】圆周角定理．4. (2019浙江台州,14题,5分)如图,AC 是圆内接四边形ABCD 的一条对角线,点D 关于AC 的对称点E 在边BC 上,连接AE,若∠ABC ＝64°,则∠BAE 的度数为________.第14题图【答案】52°【解析】∵圆内接四边形ABCD,∴∠B+∠D ＝180°,∵∠B ＝64°,∴∠D ＝116°,又∵点D 关于AC 的对称点是点E,∴∠D ＝∠AEC ＝116°,又∵∠AEC ＝∠B+∠BAE,∴∠BAE ＝52°.【知识点】圆内接四边形,三角形外角定理,对称性5. （2019安徽省，13，5分）如图，ABC ∆内接于O ，30CAB ∠=︒，45CBA ∠=︒，CD AB ⊥于点D ，若O 的半径为2，则CD 的长为 ．【答案】2【解析】解：连接CO 并延长交O 于E ，连接BE ， 则30E A ∠=∠=︒，90EBC ∠=︒，O 的半径为2，4CE ∴=，122BC CE ∴==， CD AB ⊥，45CBA ∠=︒，22CD BC ∴==. 故答案为2．【知识点】圆周角定理6. （2019江苏连云港，13，3分）如图，点A 、B 、C 在O 上，6BC =，30BAC ∠=︒，则O 的半径为 ．【答案】6【解析】解：260=，BOC BAC∠=∠=︒，又OB OC∴∆是等边三角形BOC6∴==，OB BC故答案为6．【知识点】圆周角定理7.（2019江苏泰州，16，3分）如图，⊙O的半径为5，点P在⊙O上，点A在⊙O内，且AP＝3，过点A 作AP的垂线交⊙O于点B、C．设PB＝x，PC＝y，则y与x的函数表达式为．【答案】y x．【解析】解：连接PO并延长交⊙O于D，连接BD，则∠C＝∠D，∠PBD＝90°，∵PA⊥BC，∴∠PAC＝90°，∴∠PAC＝∠PBD，∴△PAC∽△PBD，∴，∵⊙O的半径为5，AP＝3，PB＝x，PC＝y，∴，∴y x ，故答案为：yx ．【知识点】圆周角定理；相似三角形的判定和性质8. （2019江苏盐城，14，3分）如图，点A 、B 、C 、D 、E 在O 上，且AB 为50︒，则E C ∠+∠= °．【答案】155【解析】解：连接EA ，AB 为50︒，25BEA ∴∠=︒，四边形DCAE 为O 的内接四边形，180DEA C ∴∠+∠=︒，18025155DEB C ∴∠+∠=︒-︒=︒，故答案为：155．【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质9.（2019山东德州，17，4分）如图，CD 为O 的直径，弦AB CD ⊥，垂足为E ，AB BF =，1CE =，6AB =，则弦AF 的长度为 ．【答案】485【解析】】解：连接OA 、OB ，OB 交AF 于G ，如图，AB CD ⊥，132AE BE AB ∴===， 设O 的半径为r ，则1OE r =-，OA r =，在Rt OAE ∆中，2223(1)r r +-=，解得5r =，AB BF =，OB AF ∴⊥，AG FG =，在Rt OAG ∆中，2225AG OG +=，①在Rt ABG ∆中，222(5)6AG OG +-=，②解由①②组成的方程组得到245AG =， 4825AF AG ∴==． 故答案为485． 【知识点】垂径定理；勾股定理10. 15. （2019四川宜宾，15，3分）如图，O 的两条相交弦AC 、BD ，60ACB CDB ∠=∠=︒，23AC =则O 的面积是 ．【答案】16π【解析】】解：A BDC ∠=∠，而60ACB CDB ∠=∠=︒，60A ACB ∴∠=∠=︒，ACB ∴∆为等边三角形， 23AC =， ∴圆的半径为4，O ∴的面积是16π，故答案为：16π．【知识点】圆周角定理11. （2019浙江嘉兴，14，4分）如图，在O 中，弦1AB =，点C 在AB 上移动，连结OC ，过点C 作CD OC ⊥交O 于点D ，则CD 的最大值为 ．【答案】12【解析】解：连接OD ，如图，CD OC ⊥，90COD ∴∠=︒， 2222CD OD OC r OC ∴=-=-，当OC 的值最小时，CD 的值最大，而OC AB ⊥时，OC 最小，此时221()2OC r AB =-， CD ∴的最大值为2221111()14222r r AB AB --==⨯=， 故答案为：12． 【知识点】垂径定理；勾股定理三、解答题1. (2019浙江宁波,26,14分)如图1,O 经过等边三角形ABC 的顶点A,C(圆心O 在△ABC 内),分别与AB,CB 的延长线交于点D,E,连接DE,BF ⊥EC 交AE 于点F.(1)求证:BD ＝BE;(2)当AF:EF ＝3:2,AC ＝6时,求AE 的长;(3)设AF EF＝x,tan ∠DAE ＝y. ①求y 关于x 的函数表达式;②如图2,连接OF,OB,若△AEC 的面积是△OFB 面积的10倍,求y 的值.第26题图【思路分析】(1)利用等边三角形的性质和圆周角定理,得到∠BED ＝∠BDE,由等角对等边,得到结论;(2)由三线合一求出AG,BG 长,利用平行线分线段成比例,求得EB,进而通过勾股定理得到AE 的长;(3)①构造直角三角形,利用比例关系,写出EH,AH 的代数式,进而求得y 关于x 的表达式;②构造相似,得到比例式,表示出两个三角形的面积,根据10倍关系,得到方程,即可解得y 的值.【解题过程】(1)∵△ABC 为等边三角形,∴∠BAC ＝∠C ＝60°,∠DEB ＝∠BAC ＝60°,∠D ＝∠C ＝60°,∠DEB ＝∠D,BD ＝BE.(2)如图,过点A 作AG ⊥EC 于点G,∵△ABC 为等边三角形,AC ＝6,∴BG＝12BC ＝12AC ＝3,在Rt △ABG 中,AG＝3BG ＝33,∵BF ⊥EC,∴BF ∥AG,∴=AF BG EF EB ,∵AF:EF ＝3:2,∴BE ＝23BG ＝2,∴EG ＝BE+BG ＝3+2＝5,∴在Rt △AEG 中,AE ＝22213AG EG +=;第26题答图(1)(3)①如图,过点E 作EH ⊥AD 于点H,∵∠EBD ＝∠ABC ＝60,在Rt △BEH 中,EH EB＝sin60＝3,EH ＝3BE,BH＝12BE,=BG AF EB EF ＝x,BG ＝xBE,AB ＝BC ＝2BG ＝2xBE,AH ＝AB+BH ＝2xBE+12BE ＝(2x+12)BE,Rt △AHE 中,tanEAD ＝332=122BEEH AH x BE=⎛⎫+ ⎪⎝⎭,∴y ＝3;第26题答图(2)②如图,过点O 作OM ⊥EC 于点M,设BE ＝a,∵=BG AFEB EF＝x,∴CG ＝BG ＝xBE ＝ax,∴EC ＝CG+BG+BE ＝a+2ax,∴EM ＝12EC ＝12a+ax,∴BM ＝EM －BE ＝ax －12a,∵BF ∥AG,∴△EBF ∽△EGA,∴1===1BF BE a AG EG a ax x++,∵AG 33∴BF ＝11x+AG 3ax ,△OFB 的面积＝131222BF BM ax ax a ⋅⎫=-⎪⎝⎭,△AEC 的面积＝()13222EC AG ax a ax ⋅=+,∵△OFB 的面积是△AEC 的面积的10倍,∴1311022ax ax a ⎫⨯-⎪⎝⎭＝()1322ax a ax +,∴2x 2－7x+6＝0,解之,得x 1＝2,x 2＝32,y 33.第26题答图(3)【知识点】等边三角形的性质,圆周角定理,等角对等边,三线合一,平行线分线段成比例,勾股定理,三角函数,相似三角形,一元二次方程2.（2019四川省自贡市，21，8分）如图，⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB=CD，连接AD、BC，求证：（1）；（2）AE=CE.【思路分析】（1）连接AO，BO，CO，DO,由AB=CD得到∠AOB=∠COD，从而证明出∠AOD=∠BOC即可得到；（2）试判定△ADE≌△CBE即可得出结论.【解题过程】解：（1）连接AO，BO，CO，DO,∵AB=CD，∴∠AOB=∠COD，∴∠AOD=∠BOC，∴.（2）∵，∴AD=BC，∵，∴∠ADC =∠ABC ， 又∵∠AED =∠CEB ， ∴△ADE ≌△CBE ， ∴AE=CE .【知识点】圆的性质，圆周角定理，全等三角形判定.3. （2019四川攀枝花，24，12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知A （0，2），动点P 在y＝3x 的图象上运动（不与O 重合），连接AP ，过点P 作PQ ⊥AP ，交x 轴于点Q ，连接AQ 。
第18讲 圆的基本性质 2019各省市中考数学优选知识点题型汇编
第18讲 圆的基本性质一、考点知识梳理【考点1 圆的有关概念及性质】1.定义：在一个平面内，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆 圆是到定点的距离等于定长的所有点组成的图形2.弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦3.直径：直径是经过圆心的弦，是圆内最长的弦4.弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，弧有优弧、半圆、劣弧之分，能够完全重合的弧叫做等弧5.等圆：能够重合的两个圆叫做等圆6.同心圆：圆心相同的圆叫做同心圆7.圆的对称性圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条经过圆心的直线圆是中心对称图形，对称中心为圆心【考点2 三角形的外接圆】1.不在同一直线上的三个点确定一个圆。
2.三角形的外接圆经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，它到三角形的三个顶点的距离相等；【考点3 垂径定理】1.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧2.推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧【考点4 圆心角、圆周角、弧、弦之间的关系】1.圆心角、弧、弦之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧或两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也分别相等2.圆周角定义：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角3.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径推论3：圆内接四边形的对角互补【考点5 正多边形和圆及圆的计算】1.正多边形的外接圆：把一个圆分成n （n 是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．2.如果正多边形的边数为n ，外接圆半径为R ，那么边长a n ＝⑧2R sin 180°n周长C ＝⑨2nR sin 180°n边心距r n ＝⑩R cos 180°n3.正多边形的有关概念①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径．③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．4.圆的弧长及扇形面积公式：如果圆的半径是R ，弧所对的圆心角度数是n ，那么弧长公式弧长l ＝n πR 180扇形面积公式S 扇＝n πR 2360＝②12lR 二、考点分析【考点1 圆的有关概念及性质】【解题技巧】1．判断点与圆的位置关系时，比较点到圆心的距离与圆的半径即可．当点到圆心的距离大于圆的半径时，点在圆外；当点到圆心的距离等于圆的半径时，点在圆上；当点到圆心的距离小于圆的半径时，点在圆内．反之亦然．2.在解决与弦有关的问题时，作垂直于弦的直径可以构造直角三角形，从而将求解转化成解直角三角形的问题．【例1】（2019 辽宁沈阳中考）（2019•沈阳）如图，AB 是⊙O 的直径，点C 和点D 是⊙O 上位于直径AB 两侧的点，连接AC ，AD ，BD ，CD ，若⊙O 的半径是13，BD ＝24，则sin ∠ACD 的值是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D ．【分析】首先利用直径所对的圆周角为90°得到△ABD 是直角三角形，然后利用勾股定理求得AD 边的长，然后求得∠B 的正弦即可求得答案．【解答】解：∵AB 是直径，∴∠ADB＝90°，∵⊙O的半径是13，∴AB＝2×13＝26，由勾股定理得：AD＝10，∴sin∠B＝＝＝，∵∠ACD＝∠B，∴sin∠ACD＝sin∠B＝，故选：D．【一领三通1-1】（2019 山东济南中考模拟）Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于E，OD⊥BC交⊙O于D，DE交BC于F，点P为CB延长线上的一点，PE延长交AC于G，PE＝PF，下列结论：①PE为⊙O的切线；②G为AC的中点；③OG∥BE；④∠A＝∠P其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C．【分析】首先连接OE，CE，由OE＝OD，PE＝PF，易得∠OED+∠PEF＝∠ODE+∠PFE，又由OD⊥BC，可得OE ⊥PE，继而证得PE为⊙O的切线；又由BC是直径，可得OE⊥AB，由切线长定理可得GC＝GE，继而证得AG＝GE，则可得G为AC的中点；易证得OG是△ABC的中位线，则可得OG∥BE；由于在Rt△ABC中，∠A+∠ABC＝90°，在Rt△POE中，∠P+∠POE＝90°，而∠POE不一定等于∠ABC，则可得∠A不一定等于∠P．【解答】解：连接OE，CE，∵OE＝OD，PE＝PF，∴∠OED＝∠ODE，∠PEF＝∠PFE，∵OD⊥BC，∴∠ODE+∠OFD＝90°，∵∠OFD＝∠PFE，∴∠OED+∠PEF＝90°，即OE⊥PE，∵点E⊙O上，∴PE为⊙O的切线；故①正确；∵BC是直径，∴∠BEC＝90°，∴∠AEC＝90°，∵∠ACB＝90°，∴AC是⊙O的切线，∴EG＝CG，∴∠GCE＝∠GEC，∵∠GCE+∠A＝90°，∠GEC+∠AEG＝90°，∴∠A＝∠AEG，∴AG＝EG，∴AG＝CG，即G为AC的中点；故②正确；∵OC＝OB，∴OG是△ABC的中位线，∴OG∥AB，即OG∥BE，故③正确；在Rt△ABC中，∠A+∠ABC＝90°，在Rt△POE中，∠P+∠POE＝90°，∵OE＝OB，∴∠OBE＝∠OEB，但∠POE不一定等于∠ABC，∴∠A不一定等于∠P．故④错误．故选：C．【一领三通1-2】（2019 辽宁盘锦中考模拟）如图，边长为4的正方形ABCD内接于点O，点E是上的一动点（不与A、B重合），点F是上的一点，连接OE、OF，分别与AB、BC交于点G，H，且∠EOF＝90°，有以下结论：①＝；②△OGH是等腰三角形；③四边形OGBH的面积随着点E位置的变化而变化；④△GBH周长的最小值为4+．其中正确的是（把你认为正确结论的序号都填上）．【答案】①②．【分析】①根据ASA可证△BOE≌△COF，根据全等三角形的性质得到BE＝CF，根据等弦对等弧得到＝，可以判断①；②根据SAS可证△BOG≌△COH，根据全等三角形的性质得到∠GOH＝90°，OG＝OH，根据等腰直角三角形的判定得到△OGH是等腰直角三角形，可以判断②；③通过证明△HOM≌△GON，可得四边形OGBH的面积始终等于正方形ONBM的面积，可以判断③；④根据△BOG≌△COH可知BG＝CH，则BG+BH＝BC＝4，设BG＝x，则BH＝4﹣x，根据勾股定理得到GH＝＝，可以求得其最小值，可以判断④．【解答】解：①如图所示，∵∠BOE+∠BOF＝90°，∠COF+∠BOF＝90°，∴∠BOE＝∠COF，在△BOE与△COF中，，∴△BOE≌△COF，∴BE＝CF，∴＝，①正确；②∵OC＝OB，∠COH＝∠BOG，∠OCH＝∠OBG＝45°，∴△BOG≌△COH；∴OG＝OH，∵∠GOH＝90°，∴△OGH是等腰直角三角形，②正确．③如图所示，∵△HOM≌△GON，∴四边形OGBH的面积始终等于正方形ONBM的面积，③错误；④∵△BOG≌△COH，∴BG＝CH，∴BG+BH＝BC＝4，设BG＝x，则BH＝4﹣x，则GH＝＝，∴其最小值为4+2，D错误．故答案为：①②．【一领三通1-3】（2019 河北衡水中考模拟）已知半径为5的⊙O1过点O（0，0），A（8，0），与y轴的正半轴交于点B，OE为直径，点M为弧OBE上一动点（不与点O、E重合），连结MA，作NA⊥MA于点A交ME的延长线于点N，则线段AN最长为．【答案】．【分析】先判断出∠OAE＝90°，根据勾股定理得出AE＝10，再判断出△OAE∽△MAN得出AN＝＝AM，即AM是直径时AM最大即可得出结论．【解答】解：如图，连接AE，∵A（8，0），∴OA＝8，∵⊙O1的半径为5，OE是⊙O1的直径，∴OE＝10，∵OE是⊙O1的直径，∴∠OAE＝90°，在Rt△OAE中，根据勾股定理得，AE＝＝6，∵NA⊥MA，∴∠NAM＝∠OAE＝90°，∵∠AOE＝∠AMN，∴△OAE∽△MAN，∴，∴AN＝＝×AM＝AM，要AN最长，则有AM最长，而AM是⊙O1的弦，∴AM最大是直径为10，∴AN最大＝AM最大＝×10＝，故答案为．【考点2 三角形的外接圆】【解题技巧】①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．【例2】（2019 河北张家口中考模拟）如图，△ABC的顶点都在⊙O上，∠BAO＝50°，则∠C的度数为（）A．30°B．40°C．45°D．50°【答案】B．【分析】连接OB，由OA＝OB，根据等腰三角形的性质，可求得∠OBA的度数，继而求得∠AOB的度数，然后由圆周角定理，求得∠C的度数．【解答】解：连接OB，∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAB＝50°，∴∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠OBA＝80°，∴∠C＝∠AOB＝40°．故选：B．【一领三通2-1】（2019 山东烟台中考模拟）如图，若△ABC内接于半径为2的⊙O，且∠A＝60°，连接OB、OC，则边BC的长为（）A．B．C．2 D．2【答案D．【分析】过点O作OD⊥BC于点D，由垂径定理得出BD＝CD，由圆周角定理得出∠BOC＝120°，由等腰三角形的性质得出∠OBC＝∠OCB＝30°，再由直角三角形的性质求出BD的长，进而得出答案．【解答】解：过点O作OD⊥BC于点D，如图所示：则BD＝CD，∵△ABC内接于半径为2的⊙O，且∠A＝60°，∴∠BOC＝2∠A＝120°°，CO＝BO＝2，∴∠OBC＝∠OCB＝30°，∴OD＝OB＝1，BD＝OD＝，∴BC＝2BD＝2．故选：D．【一领三通2-2】（2019辽宁大连中考模拟）如图，O为锐角三角形ABC的外心，四边形OCDE为正方形，其中E点在△ABC的外部，判断下列叙述不正确的是（）A．O是△AEB的外心，O不是△AED的外心B．O是△BEC的外心，O不是△BCD的外心C．O是△AEC的外心，O不是△BCD的外心D．O是△ADB的外心，O不是△ADC的外心【答案D．【分析】根据三角形的外心得出OA＝OC＝OB，根据正方形的性质得出OA＝OC＜OD，求出OA＝OB＝OC＝OE ≠OD，再逐个判断即可．【解答】解：连接OB、OD、OA，∵O为锐角三角形ABC的外心，∴OA＝OC＝OB，∵四边形OCDE为正方形，∴OA＝OC＜OD，∴OA＝OB＝OC＝OE≠OD，∴OA＝OE≠OD，即O不是△AED的外心，OA＝OE＝OB，即O是△AEB的外心，OA＝OC＝OE，即O是△ACE的外心，OB＝OA≠OD，即O不是△ABD的外心，故选：D．【一领三通2-3】（2019 安徽中考）如图，△ABC内接于⊙O，∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，CD⊥AB于点D，若⊙O的半径为2，则CD的长为．【答案】．【分析】连接CO并延长交⊙O于E，连接BE，于是得到∠E＝∠A＝30°，∠EBC＝90°，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：连接CO并延长交⊙O于E，连接BE，则∠E＝∠A＝30°，∠EBC＝90°，∵⊙O的半径为2，∴CE＝4，∴BC＝CE＝2，∵CD⊥AB，∠CBA＝45°，∴CD＝BC＝，故答案为：．【考点3 垂径定理】【解题技巧】垂径定理的应用很广泛，常见的有：（1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．【例3】（2019 河南开封中考模拟）如图，AB是⊙O的直径，AB＝10，P是半径OA上的一动点，PC⊥AB交⊙O于点C，在半径OB上取点Q，使得OQ＝CP，DQ⊥AB交⊙O于点D，点C，D位于AB两侧，连接CD交AB 于点F，点P从点A出发沿AO向终点O运动，在整个运动过程中，△CFP与△DFQ的面积和的变化情况是（）A．一直减小B．一直不变C．先变大后变小D．先变小后变大【答案】B．【分析】连接OC，OD，PD，CQ．设PC＝x，OP＝y，OF＝a，利用分割法求出阴影部分的面积，再求出a＝y ﹣x即可判断；【解答】解：连接OC，OD，PD，CQ．设PC＝x，OP＝y，OF＝a，∵PC⊥AB，QD⊥AB，∴∠CPO＝∠OQD＝90°，∵PC＝OQ，OC＝OD，∴Rt△OPC≌Rt△DQO，∴OP＝DQ＝y，∴S阴＝S四边形PCQD﹣S△PFD﹣S△CFQ＝（x+y）2﹣•（y﹣a）y﹣（x+a）x＝xy+a（y﹣x），∵PC∥DQ，∴＝，∴＝，∴a＝y﹣x，∴S阴＝xy+（y﹣x）（y﹣x）＝（x2+y2）＝故选：B．【一领三通3-1】（2019 宁夏中考）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足为点C，将劣弧沿弦AB折叠交于OC的中点D，若AB＝2，则⊙O的半径为．【答案】3．【分析】连接OA，设半径为x，用x表示OC，根据勾股定理建立x的方程，便可求得结果．【解答】解：连接OA，设半径为x，∵将劣弧沿弦AB折叠交于OC的中点D，∴OC＝，OC⊥AB，∴AC＝＝，∵OA2﹣OC2＝AC2，∴，解得，x＝3．故答案为：3．【一领三通3-2】（2019 广西南宁中考）《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道AB＝1尺（1尺＝10寸），则该圆材的直径为寸．【答案】26．【分析】设⊙O的半径为r．在Rt△ADO中，AD＝5，OD＝r﹣1，OA＝r，则有r2＝52+（r﹣1）2，解方程即可．【解答】解：设⊙O的半径为r．在Rt△ADO中，AD＝5，OD＝r﹣1，OA＝r，则有r2＝52+（r﹣1）2，解得r＝13，∴⊙O的直径为26寸，故答案为：26．【一领三通3-3】（2019安徽中考）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图1，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理．如图2，筒车盛水桶的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆．已知圆心在水面上方，且圆被水面截得的弦AB长为6米，∠OAB＝41.3°，若点C为运行轨道的最高点（C，O的连线垂直于AB），求点C到弦AB所在直线的距离．（参考数据：sin41.3°≈0.66，cos41.3°≈0.75，tan41.3°≈0.88）【分析】连接CO并延长，与AB交于点D，由CD与AB垂直，利用垂径定理得到D为AB的中点，在直角三角形AOD中，利用锐角三角函数定义求出OA，进而求出OD，由CO+OD求出CD的长即可．【解答】解：连接CO并延长，与AB交于点D，∵CD⊥AB，∴AD＝BD＝AB＝3（米），在Rt△AOD中，∠OAB＝41.3°，∴cos41.3°＝，即OA＝＝＝4（米），tan41.3°＝，即OD＝AD•tan41.3°＝3×0.88＝2.64（米），则CD＝CO+OD＝4+2.64＝6.64（米）．【考点4 圆心角、圆周角、弧、弦之间的关系】【解题技巧】1.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两个圆周角、两条弧有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等．一般辅助线有：连半径、作垂直、构造直径所对的圆周角等．2.正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．3.注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．【例4】（2019 甘肃中考）如图，AB是⊙O的直径，点C、D是圆上两点，且∠AOC＝126°，则∠CDB＝（）A．54°B．64°C．27°D．37°【答案】C．【分析】由∠AOC＝126°，可求得∠BOC的度数，然后由圆周角定理，求得∠CDB的度数．【解答】解：∵∠AOC＝126°，∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝54°，∵∠CDB＝∠BOC＝27°．故选：C．【一领三通4-1】（2019 福建中考）如图，PA、PB是⊙O切线，A、B为切点，点C在⊙O上，且∠ACB＝55°，则∠APB等于（）A．55°B．70°C．110°D．125°【答案】B．【分析】根据圆周角定理构造它所对的弧所对的圆心角，即连接OA，OB，求得∠AOB＝110°，再根据切线的性质以及四边形的内角和定理即可求解．【解答】解：连接OA，OB，∵PA，PB是⊙O的切线，∴PA⊥OA，PB⊥OB，∵∠ACB＝55°，∴∠AOB＝110°，∴∠APB＝360°﹣90°﹣90°﹣110°＝70°．故选：B．【一领三通4-2】（2019吉林中考）如图，在⊙O中，所对的圆周角∠ACB＝50°，若P为上一点，∠AOP＝55°，则∠POB的度数为（）A．30°B．45°C．55°D．60°【答案】B．【分析】根据圆心角与圆周角关系定理求出∠AOB的度数，进而由角的和差求得结果．【解答】解：∵∠ACB＝50°，∴∠AOB＝2∠ACB＝100°，∵∠AOP＝55°，∴∠POB＝45°，故选：B．【一领三通4-3】（2019 陕西中考）如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，且EF＝EB，EF与AB交于点C，连接OF，若∠AOF＝40°，则∠F的度数是（）A．20°B．35°C．40°D．55°【答案】B．【分析】连接FB，得到∠FOB＝140°，求出∠EFB，∠OFB即可．【解答】解：连接FB．∵∠AOF＝40°，∴∠FOB＝180°﹣40°＝140°，∴∠FEB＝∠FOB＝70°∵EF＝EB∴∠EFB＝∠EBF＝55°，∵FO＝BO，∴∠OFB＝∠OBF＝20°，∴∠EFO＝∠EBO，∠EFO＝∠EFB﹣∠OFB＝35°，故选：B．【一领三通4-4】（2019•台湾）如图所示A、B、C、D四点在⊙O上的位置，其中＝180°，且＝，＝．若阿超在上取一点P，在上取一点Q，使得∠APQ＝130°，则下列叙述何者正确？（）A．Q点在上，且＞B．Q点在上，且＜C．Q点在上，且＞D．Q点在上，且＜【答案】B．【分析】连接AD，OB，OC，根据题意得到∠BOC＝∠DOC＝45°，在圆周上取一点E连接AE，CE，由圆周角定理得到∠E＝AOC＝67.5°，求得∠ABC＝122.5°＜130°，取的中点F，连接OF，得到∠ABF＝123.25°＜130°，于是得到结论．【解答】解：连接AD，OB，OC，∵＝180°，且＝，＝，∴∠BOC＝∠DOC＝45°，在圆周上取一点E连接AE，CE，∴∠E＝AOC＝67.5°，∴∠ABC＝112.5°＜130°，取的中点F，连接OF，则∠AOF＝∠AOB+∠BOF＝90°+22.5°＝112.5°，∴∠ABF＝123.75°＜130°，∴Q点在上，且＜，故选：B．【一领三通4-5】（2019 江苏南京中考）如图，⊙O的弦AB、CD的延长线相交于点P，且AB＝CD．求证：PA＝PC．【分析】连接AC，由圆心角、弧、弦的关系得出＝，进而得出＝，根据等弧所对的圆周角相等得出∠C＝∠A，根据等角对等边证得结论．【解答】证明：连接AC，∵AB＝CD，∴＝，∴+＝+，即＝，∴∠C＝∠A，∴PA＝PC．【考点5 正多边形和圆及圆的计算】【解题技巧】1.圆内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。
人教版九年级数学《圆》全册知识梳理和经典中考复习题(含答案)
人教版九年级数学《圆》全册知识梳理和经典中考复习题(含答案)
一、圆的定义
圆是一种特殊的平面图形，它是由一个点和一个半径组成的，半径是从圆心到圆周的距离。
二、圆的性质
1、圆的圆心到圆周的距离都是相等的，即半径r是相等的；
2、圆的圆周上任意两点之间的距离都是相等的；
3、圆的圆周上任意一点到圆心的距离都是相等的；
4、圆的圆周上任意一点到圆心的距离都是半径r；
5、圆的圆周上任意一点到圆心的角度都是相等的；
6、圆的圆周上任意一点到圆心的角度都是360°；
7、圆的圆周上任意一点到圆心的弧长都是相等的；
8、圆的圆周上任意一点到圆心的弧长都是2πr；
9、圆的面积是πr2；
10、圆的周长是2πr。
三、经典中考复习题
1、已知圆的圆心坐标为（2，3），半径为5，则该圆的方程是（）
A．（x-2）2+(y-3)2=25 B．（x-2）2+(y-3)2=5
C．（x-2）2+(y-3)2=125 D．（x-2）2+(y-3)2=1
答案：A
2、已知圆的圆心坐标为（2，3），半径为5，则该圆的面积是（）
A．25π B．5π
C．125π D．50π答案：C。
2019届人教版中考数学复习《圆》课件(共13张PPT)高品质版
∠BAC=40°，则
∠BOC=_8_0_°
5.如图，已知⊙O中，弧AD= D
O
弧BC，∠DCA=30°
则∠BAC= __3_0_°___.
若⊙O的直径AB=4，则
C
B
AD=___2____.
点与圆的 位置关系
O C
A B
点A在圆上 点B在圆外 点C在圆内
d ＝r d＞r d＜r
6、根据点与圆的关系解决下列问题：
（1）经过一点A的圆有（ 无数 ）个，经过A、B两
点的圆（ 无数 ）个，若AB=6则经过A、B两点的
圆的半径r的取 值范围是（ R≥3
）
（2）经过三角形的三个顶点有且只有（ 一） 个
圆 ，若AB=3，AC=5，BC=4则三角形的外接圆的
圆心在（ AC的中点 ），半径是（ 2.5 ）。
直线与圆 相交
PA=PB ∠APO= ∠BPO ∠AOP= ∠BOP
圆与圆的 位置关系
相交 相切 （外切、内切） 相离（外离、内含）
R+r>d>R-r R+r=d d =R-r d<R-r d>R+r 10.（1）已知⊙O1和⊙O2的半径分别为3cm和5cm， 两圆的圆心距是6cm，则这两圆的位置关系是 相交 。
3、如图，在⊙O中，弦EF∥直径AB，若弧AE的度数为50°，则 弧BF的度数为 50° ，弧EF的度数为 80°，∠EOF= 80° ， ∠EFO= 50° 。 弦AE与BF是什么关系？
相等
E
F
A
O
B
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，
都等于这条弧所对的圆心角的一半。
A
4.如图，在⊙O中，若已知
2019中考数学高频考点剖析专题23平面几何之圆的性质问题—解析卷
备考2019中考数学高频考点剖析专题二十三平面几何之圆的性质问题考点扫描☆聚焦中考圆的性质，是每年中考的必考内容之一，考查的知识点包括垂径定理、圆心角和圆周角等关系，总体来看，难度系数低，以选择填空为主。
也有少量的解析题。
解析题主要以关于圆的综合性问题为主。
结合2018年全国各地中考的实例，我们从三方面进行圆的基本性质问题的探讨：（1）垂径典例相关问题；（2）圆心角相关问题；（3）圆周角相关问题．考点剖析☆典型例题2018·湖北荆州·3分）如图，平面直角坐标系中，⊙P经过三点A（8，0），O（0，0），B （0，6），点D是⊙P上的一动点．当点D到弦OB的距离最大时，tan∠BOD的值是（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：连接AB，过点P作PE⊥BO，并延长EP交⊙P于点D，此时点D到弦OB的距离最大，∵A（8，0），B（0，6），∴AO=8，BO=6，∵∠BOA=90°，∴AB==10，则⊙P的半径为5，∵PE⊥BO，∴BE=EO=3，∴PE==4，∴ED=9，∴tan∠BOD==3．故选：B．3分）《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就．它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用．书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1寸（ED=1寸），锯道长1尺（AB=1尺=10寸）”，问这块圆形木材的直径是多少？”如图所示，请根据所学知识计算：圆形木材的直径AC是（）A．13寸B．20寸C．26寸D．28寸解：设⊙O的半径为r．在Rt△ADO中，AD=5，OD=r﹣1，OA=r，则有r2=52+（r﹣1）2，解得r=13，∴⊙O的直径为26寸．故选C．2018·四川自贡·4分）如图，若△ABC内接于半径为R的⊙O，且∠A=60°，连接OB、OC，则边BC的长为（）A． B． C． D．【分析】延长BO交圆于D，连接CD，则∠BCD=90°，∠D=∠A=60°；又BD=2R，根据锐角三角函数的定义得BC=R．【解答】解：延长BO交⊙O于D，连接CD，则∠BCD=90°，∠D=∠A=60°，∴∠CBD=30°，∵BD=2R，∴DC=R，∴BC=R，故选：D．【点评】此题综合运用了圆周角定理、直角三角形30°角的性质、勾股定理，注意：作直径构造直角三角形是解决本题的关键．2018•江苏扬州•3分）如图，已知⊙O的半径为2，△ABC内接于⊙O，∠ACB=135°，则AB= 2．【分析】根据圆内接四边形对边互补和同弧所对的圆心角是圆周角的二倍，可以求得∠AOB的度数，然后根据勾股定理即可求得AB的长．【解答】解：连接AD、AE、OA、OB，∵⊙O的半径为2，△ABC内接于⊙O，∠ACB=135°，∴∠ADB=45°，∴∠AOB=90°，∵OA=OB=2，∴AB=2，故答案为：2．【点评】本题考查三角形的外接圆和外心，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．2018·天津·10分）已知是的直径，弦与相交，.（Ⅰ）如图①，若为的中点，求和的大小；（Ⅱ）如图②，过点作的切线，与的延长线交于点，若，求的大小.【答案】（1）52°，45°；（2）26°【解析】分析：（Ⅰ）运用直径所对的圆周角是直角以及圆周角的度数等于它所对弧的度数求解即可；（Ⅱ）运用圆周角定理求解即可.详解：（Ⅰ）∵是的直径，∴.∴.又∴，∴.由为的中点，得.∴.∴.（Ⅱ）如图，连接.∵切于点，∴，即.由，又，∴是的外角，∴.∴.又，得.∴.点睛：本题考查了圆周角定理，切线的性质以及等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．考点过关☆专项突破类型一垂径定理相关问题1. （2018•张家界）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC=5cm，CD=8cm，则AE=（）A．8cm B．5cm C．3cm D．2cm【分析】根据垂径定理可得出CE的长度，在Rt△OCE中，利用勾股定理可得出OE的长度，再利用AE=AO+OE即可得出AE的长度．【解答】解：∵弦CD⊥AB于点E，CD=8cm，∴CE=CD=4cm．在Rt△OCE中，OC=5cm，CE=4cm，∴OE==3cm，∴AE=AO+OE=5+3=8cm．故选：A．2. （2018•通辽）已知⊙O的半径为10，圆心O到弦AB的距离为5，则弦AB所对的圆周角的度数是（）A．30° B．60°C．30°或150°D．60°或120°【分析】由图可知，OA=10，OD=5．根据特殊角的三角函数值求角度即可．【解答】解：由图可知，OA=10，OD=5，在Rt△OAD中，∵OA=10，OD=5，AD=，∴tan∠1=，∠1=60°，同理可得∠2=60°，∴∠AOB=∠1+∠2=60°+60°=120°，∴圆周角的度数是60°或120°．故选：D．3. （2018•安顺）已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB=8cm，则AC的长为（）A．2cm B．4cm C．2cm或4cm D．2cm或4cm【分析】先根据题意画出图形，由于点C的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论．【解答】解：连接AC，AO，∵⊙O的直径CD=10cm，AB⊥CD，AB=8cm，∴AM=AB=×8=4cm，OD=OC=5cm，当C点位置如图1所示时，∵OA=5cm，AM=4cm，CD⊥AB，∴OM===3cm，∴CM=OC+OM=5+3=8cm，∴AC===4cm；当C点位置如图2所示时，同理可得OM=3cm，∵OC=5cm，∴MC=5﹣3=2cm，在Rt△AMC中，AC===2cm．故选：C．4. （2016海南4分）如图，AB是⊙O的直径，AC、BC是⊙O的弦，直径DE⊥AC于点P．若点D在优弧上，AB=8，BC=3，则DP= 5.5 ．【考点】圆周角定理；垂径定理．【分析】解：由AB和DE是⊙O的直径，可推出OA=OB=OD=4，∠C=90°，又有DE⊥AC，得到OP∥BC，于是有△AOP∽△ABC，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵AB和DE是⊙O的直径，∴OA=OB=OD=4，∠C=90°，又∵DE⊥AC，∴OP∥BC，∴△AOP∽△ABC，∴，即，∴OP=1.5．∴DP=OP+OP=5.5，故答案为：5.5．【点评】本题主要考查了圆周角定理，平行线的判定，相似三角形的判定和性质，熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键．5. （2018•孝感）已知⊙O的半径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB=16cm，CD=12cm，则弦AB和CD之间的距离是2或14 cm．【分析】分两种情况进行讨论：①弦AB和CD在圆心同侧；②弦AB和CD在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可，小心别漏解．【解答】解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图，∵AB=16cm，CD=12cm，∴AE=8cm，CF=6cm，∵OA=OC=10cm，∴EO=6cm，OF=8cm，∴EF=OF﹣OE=2cm；②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图，∵AB=16cm，CD=12cm，∴AF=8cm，CE=6cm，∵OA=OC=10cm，∴OF=6cm，OE=8cm，∴EF=OF+OE=14cm．∴AB与CD之间的距离为14cm或2cm．故答案为：2或14．6. （2018•杭州）如图，AB是⊙O的直轻，点C是半径OA的中点，过点C作DE⊥AB，交⊙O于D，E 两点，过点D作直径DF，连结AF，则∠DFA= 30°．【分析】利用垂径定理和三角函数得出∠CDO=30°，进而得出∠DOA=60°，利用圆周角定理得出∠DFA=30°即可．【解答】解：∵点C是半径OA的中点，∴OC=OD，∵DE⊥AB，∴∠CDO=30°，∴∠DOA=60°，∴∠DFA=30°，故答案为：30°7. （2018•宜昌）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆交AC于点D，交BC于点E，延长AE 至点F，使EF=AE，连接FB，FC．（1）求证：四边形ABFC是菱形；（2）若AD=7，BE=2，求半圆和菱形ABFC的面积．【分析】（1）根据对角线相互平分的四边形是平行四边形，证明是平行四边形，再根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明；（2）设CD=x，连接BD．利用勾股定理构建方程即可解决问题；【解答】（1）证明：∵AB是直径，∴∠AEB=90°，∴AE⊥BC，∵AB=AC，∴BE=CE，∵AE=EF，∴四边形ABFC是平行四边形，∵AC=AB，∴四边形ABFC是菱形．（2）设CD=x．连接BD．∵AB是直径，∴∠ADB=∠BDC=90°，∴AB2﹣AD2=CB2﹣CD2，∴（7+x）2﹣72=42﹣x2，解得x=1或﹣8（舍弃）∴AC=8，BD==，∴S菱形ABFC=8．∴S半圆=•π•42=8π．类型二圆心角相关问题1. （2018•四川凉州•3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ABO=50°，则∠ACB的大小为（）A．40° B．30°C．45°D．50°【分析】首先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠AOB的度数，再利用圆周角与圆心角的关系求出∠ACB的度数．【解答】解：△AOB中，OA=OB，∠ABO=50°，∴∠AOB=180°﹣2∠ABO=80°，∴∠ACB=∠AOB=40°，故选：A．【点评】本题主要考查了圆周角定理的应用，涉及到的知识点还有：等腰三角形的性质以及三角形内角和定理．2．（2018·山东青岛·3分）如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠AOC=140°，点B是的中点，则∠D的度数是（）A．70° B．55° C．35.5° D．35°【分析】根据圆心角、弧、弦的关系定理得到∠AOB=∠AOC，再根据圆周角定理解答．【解答】解：连接OB，∵点B是的中点，∴∠AOB=∠AOC=70°，由圆周角定理得，∠D=∠AOB=35°，故选：D．【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理、圆周角定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．3．（2018·浙江衢州·3分）如图，点A，B，C在⊙O上，∠ACB=35°，则∠AOB的度数是（）A．75°B．70°C．65°D．35°【考点】圆周角定理【分析】直接根据圆周角定理求解．【解答】解：∵∠ACB=35°，∴∠AOB=2∠ACB=70°．故选B．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．4. （2018·广东·3分）同圆中，已知弧AB所对的圆心角是100°，则弧AB所对的圆周角是50°．【分析】直接利用圆周角定理求解．【解答】解：弧AB所对的圆心角是100°，则弧AB所对的圆周角为50°．故答案为50°．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．类型三圆周角相关问题1．（2018•铜仁市）如图，已知圆心角∠AOB=110°，则圆周角∠ACB=（）A．55° B．110°C．120°D．125°【分析】根据圆周角定理进行求解．一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．【解答】解：根据圆周角定理，得∠ACB=（360°﹣∠AOB）=×250°=125°．故选：D．2．（2018•南充）如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上的一点，∠OAC=32°，则∠B的度数是（）A．58° B．60° C．64° D．68°【分析】根据半径相等，得出OC=OA，进而得出∠C=32°，利用直径和圆周角定理解答即可．【解答】解：∵OA=OC，∴∠C=∠OAC=32°，∵BC是直径，∴∠B=90°﹣32°=58°，故选：A．3．（2017广西河池）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，∠CAB=36°，则∠BCD的大小是（）A．18°B．36° C．54° D．72°【考点】M5：圆周角定理；M2：垂径定理．【分析】根据垂径定理推出=，推出∠CAB=∠BAD=36°，再由∠BCD=∠BAD即可解决问题．【解答】解：∵AB是直径，AB⊥CD，∴=，∴∠CAB=∠BAD=36°，∵∠BCD=∠BAD，∴∠BCD=36°，故选B．4. （2017山东泰安）如图，△ABC内接于⊙O，若∠A=α，则∠OBC等于（）A．180°﹣2αB．2αC．90°+αD．90°﹣α【考点】M5：圆周角定理．【分析】首先连接OC，由圆周角定理，可求得∠BOC的度数，又由等腰三角形的性质，即可求得∠OBC 的度数．【解答】解：∵连接OC，∵△ABC内接于⊙O，∠A=α，∴∠BOC=2∠A=2α，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB==90°﹣α．故选D．5. （2017•新疆）如图，⊙O的半径OD垂直于弦AB，垂足为点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接BE，CE．若AB=8，CD=2，则△BCE的面积为（）A．12 B．15 C．16 D．18【考点】M5：圆周角定理；M2：垂径定理．【分析】先根据垂径定理求出AC的长，再设OA=r，则OC=r﹣2，在Rt△AOC中利用勾股定理求出r 的值，再求出BE的长，利用三角形的面积公式即可得出结论．【解答】解：∵⊙O的半径OD垂直于弦AB，垂足为点C，AB=8，∴AC=BC=AB=4．设OA=r，则OC=r﹣2，在Rt△AOC中，∵AC2+OC2=OA2，即42+（r﹣2）2=r2，解得r=5，∴AE=10，∴BE===6，∴△BCE的面积=BC•BE=×4×6=12．故选A．【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知直径所对的圆周角是直角是解答此题的关键．6. （2018·湖北咸宁·3分）如图，已知⊙O的半径为5，弦AB，CD所对的圆心角分别是∠AOB，COD，若∠AOB与∠COD互补，弦CD=6，则弦AB的长为（）A. 6B. 8C. 5D. 5【答案】B【解析】【分析】延长AO交⊙O于点E，连接BE，由∠AOB+∠BOE=∠AOB+∠COD知∠BOE=∠COD，据此可得BE=CD=6，在Rt△ABE中利用勾股定理求解可得．【详解】如图，延长AO交⊙O于点E，连接BE，则∠AOB+∠BOE=180°，又∵∠AOB+∠COD=180°，∴∠BOE=∠COD，∴BE=CD=6，∵AE为⊙O的直径，∴∠ABE=90°，∴AB==8，故选B．【点睛】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，圆周角定理等，正确添加辅助线以及熟练应用相关的性质与定理是解题的关键.7. （2018·新疆生产建设兵团·5分）如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，⊙O的半径为2，则图中阴影部的面积是．【分析】根据等边三角形性质及圆周角定理可得扇形对应的圆心角度数，再根据扇形面积公式计算即可．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠C=60°，根据圆周角定理可得∠AOB=2∠C=120°，∴阴影部分的面积是=π，故答案为：【点评】本题主要考查扇形面积的计算和圆周角定理，根据等边三角形性质和圆周角定理求得圆心角度数是解题的关键．8. （2018·广西梧州·3分）如图，已知在⊙O中，半径OA=，弦AB=2，∠BAD=18°，OD与AB 交于点C，则∠ACO=81 度．【分析】根据勾股定理的逆定理可以判断△AOB的形状，由圆周角定理可以求得∠BOD的度数，再根据三角形的外角和不相邻的内角的关系，即可求得∠AOC的度数．【解答】解：∵OA=，OB=，AB=2，∴OA2+OB2=AB2，OA=OB，∴△AOB是等腰直角三角形，∠AOB=90°，∴∠OBA=45°，∵∠BAD=18°，∴∠BOD=36°，∴∠ACO=∠OBA+∠BOD=45°+36°=81°，故答案为：81．【点评】本题考查圆周角定理、勾股定理的逆定理、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．。
2019年全国各地中考数学试题分类汇编(第二期)专题30圆的有关性质(含解析)
圆的有关性质.选择题1. （2019?江苏无锡?3分）如图，PA是O O的切线，切点为A, PO的延长线交O O于点B,若/ P= 40°则/ B的度数为（A. 20 ° B . 25 °C. 40 °D. 50 °【分析】连接0A,如图，根据切线的性质得 / PAO = 90°,再利用互余计算出 / AOP = 50°, 然后根据等腰三角形的性质和三角形外角性质计算/B的度数.【解答】解：连接OA，如图,•/ PA是O O的切线，••• 0A丄AP,:丄 FAO= 90°•••/ F= 40°•••/ AOF= 50°•/ OA= OB,•••/ B= / OAB,•••/ AOF= / B+ / OAB ,•••/ B= 1 / AOP = 1烦。
=25°2 2故选：B.【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径•若出现圆的切线, 必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系.2. （2019?浙江杭州?3分）如图，P为圆O外一点，PA, PB分别切圆O于A, B两点，若FA= 3，贝U PB =( )A . 2B . 3 C. 4 D. 5【分析】连接OA、OB、OF，根据切线的性质得出OA丄FA , OB丄PB，然后证得Rt△ AOP B Rt△ BOP，即可求得PB= PA= 3.【解答】解：连接OA、OB、OP ,••• PA, PB分别切圆O于A, B两点，••• OA丄PA, OB 丄PB,在Rt △ AOP 和Rt △ BOP 中，二OB〔OPRP’• Rt △ AOP 也Rt △ BOP （HL ）,PB= PA= 3,故选：B.【点评】本题考查了切线长定理，三角形全等的判定和性质，作出辅助线根据全等三角形是解题的关键.3. （2019?浙江湖州?4分）已知一条弧所对的圆周角的度数是15 °则它所对的圆心角的度数是30°.【分析】直接根据圆周角定理求解.【解答】解：：•一条弧所对的圆周角的度数是15°•它所对的圆心角的度数为2X15°= 30°故答案为30°【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半..填空题1. （2019?铜仁凶分）如图，四边形ABCD为O O的内接四边形，/ A= 100 °则/ DCE的【解答】解：•/四边形ABCD为O O的内接四边形，•••/ DCE = / A= 100°故答案为：100°2. （201 9?江苏宿迁？3分）直角三角形的两条直角边分别是5和12,则它的内切圆半径为2 .【分析】先利用勾股定理计算出斜边的长，然后利用直角三角形的内切圆的半径为'2（其中a、b为直角边，c为斜边）求解.【解答】解：直角三角形的斜边=｛八」「13,所以它的内切圆半径== 2.2故答案为2.【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角；直角三角形的内切圆的半径为_，'2（其中a、b为直角边，c为斜边）.3. （2 019江苏盐城3分）如图，点A、B、C、D、E在O O上，且弧AB为50 °则/ E +Z C = _________【答案】155【解析】如图，因为弧AB为50°则弧AB所对的圆周角为25° Z E+ Z C=180° -25 °=155° .4. （2019?广西北部湾经济区？3分）《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉•在《九章算术》中记载有一问题今有圆材埋在壁中，不知大小•以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道AB=1尺(1尺=10寸)，则该圆材的直径为______________ 寸. 【答案】26【解析】解：设O O的半径为r.在Rt A ADO 中，AD=5 , OD = r-1, OA=r, 则有r2=52+ (r-1) 2,解得r=13,•••O O的直径为26寸，故答案为：26.设O O 的半径为r .在Rt A ADO 中，AD=5 , OD=r-1, OA=r，则有r2=52+ (r-1) 2,解方程即可.本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型.5. (2019?广西贺州?10分)如图，BD是O O的直径，弦BC与OA相交于点E, AF与O O相切于点A,交DB的延长线于点F, / F = 30° / BAC= 120° BC = &(1)求/ ADB的度数;AF丄OA,由圆周角定理好已知条件得出/ F = Z DBC , 证出AF // BC,得出OA丄BC,求出Z BOA = 90°- 30°= 60°由圆周角定理即可得出结果;(2)由垂径定理得出BE = CE = —BC = 4，得出AB = AC,证明△ AOB是等边三角形，2得出AB = OB ,由直角三角形的性质得出OE = —OB , BE= 「OE= 4,求出OE =丄」,2 3即可得出AC= AB = OB= 2OE = ….3【解答】解：(1) ••• AF与O O相切于点A,• AF 丄OA,•/ BD是O O的直径,•••/ BAD = 90°•••/ BAC= 120°,•••/ DAC = 30°•••/ DBC = / DAC = 30°•••/ F = 30°•••/ F = / DBC ,• AF // BC,• OA丄BC,•••/ BOA= 90° - 30°= 60°•••/ ADB = --Z AOB = 30°2（2）•/ OA丄BC,• BE= CE =丄BC = 4,2• AB= AC,•••/ AOB= 60° OA = OB,•△ AOB是等边三角形，• AB= OB,•••/ OBE= 30°• OE= 1OB, BE = 7OE = 4,2• OE「",3• AC= AB= OB = 2OE =:3【点评】本题考查了切线的性质、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、垂径定理、直角三角形的性质等知识；熟练掌握切线的性质和圆周角定理，证出OA丄BC是解题的关键.6. （2019?广东省广州市？12分）如图，O O的直径AB = 10,弦AC = 8,连接BC .（1 ）尺规作图：作弦CD,使CD = BC （点D不与B重合），连接AD ;（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）所作的图中，求四边形ABCD的周长.CB 为半径画弧，交 O O 于D ，线段CD 即为所求.（2）连接BD , OC 交于点E ,设0E = x ,构建方程求出x 即可解决问题.【解答】解：（1）如图，线段 CD 即为所求.(2)连接BD , 0C 交于点E ,设0E = x.•/ AB 是直径，•••/ ACB = 90°••• BC =「_6，•/ BC = CD , • :,= H, • 0C 丄 BD 于 E .• BE = DE ,2 2 2 2 2••• BE 2= BC 2- EC 2= OB 2-OE 2,^2 2 「2 2• 6 -( 5 - x )= 5 - x ,7 解得x =, 5•/ BE = DE , BO = OA ,14• AD = 2OE = ,5 14124 •四边形ABCD 的周长=6+6+10+ '. 55 【点评】本题考查作图-复杂作图，圆周角定理，解直角三角形等知识，解题的关键是c【分析】（1 ）以C 为圆心,学会利用参数，构建方程解决问题.7. ( 2019?贵州省安顺市?12分)如图，在厶ABC中，AB = AC,以AB为直径的O O与边BC,AC分别交于D, E两点，过点D作DH丄AC于点H .(1)判断DH与O O的位置关系，并说明理由；(2)求证：H为CE的中点;【解答】(1)解：DH与O O相切.理由如下:连结OD、AD，如图,•/ AB为直径，•••/ ADB = 90° 即AD 丄BC ,•/ AB= AC,• BD = CD ,而AO = BO,• OD ABC的中位线,• OD // AC,•/ DH 丄AC,• OD 丄DH ,• DH为O O的切线；(2)证明：连结DE,如图，•••四边形ABDE为O O的内接四边形,• / DEC = / B,•/ AB= AC,• / B= / C,• / DEC = / C,•/ DH 丄CE ,••• CH = EH ，即H 为CE 的中点;(3)解：在 Rt A ADC 中，CD = _BC = 5,2•/ COSC = =^-L ,AC 5• - AC = 5 ~,• CE = 2CH = 2 匸,• - AE = AC — CE = 5■甘 3 — 2”;..：门j = 3 7.8. 如图，△ ABC 是O O 的内接三角形，AB 为O O 直径，AB = 6, AD 平分/ BAC ,交BC 于 点E ,交O O 于点D ，连接BD .【分析】（1）根据角平分线的定义和圆周角定理即可得到结论；（2）连接OD ，根据平角定义得到/ AEC = 55°,根据圆周角定理得到/ ACE = 90°,求得/ CAE = 35°，得到/ BOD = 2/ BAD = 70°,根据弧长公式即可得到结论.【解答】（1）证明：T AD 平分/ BAC ,•••/ CAD = Z CBD ,在 Rt A CDH 中,• CH =.,:cosC 「=I (1 )求证：/ BAD = Z CBD ;•••/ BAD = Z CBD ;(2 )解：连接OD ,•••/ AEB = 125° ,•••/ AEC= 55 ° ,••• AB为O O直径，•••/ ACE= 90 ° ,•••/ CAE= 35 ° ,•••/ DAB = Z CAE = 35°,•••/ BOD = 2/BAD = 70°,7=—n.69. （2019?广东省广州市?3分）平面内，O O的半径为1,点P到O的距离为2，过点P可作O O的切线条数为（）A. 0条 B . 1条C. 2条 D .无数条【分析】先确定点与圆的位置关系，再根据切线的定义即可直接得出答案.【解答】解：vO O的半径为1,点P到圆心O的距离为2,• d > r,•••点P与O O的位置关系是：P在O O夕卜，•/过圆外一点可以作圆的2条切线，故选：C.【点评】此题主要考查了对点与圆的位置关系，切线的定义，切线就是与圆有且只有1个公共点的直线，理解定义是关键.三•解答题1. (2019?江苏宿迁？10 分)在Rt A ABC 中，/ C = 90 °(1)如图①，点0在斜边AB上，以点0为圆心，0B长为半径的圆交AB于点D,交BC于点E,与边AC相切于点F .求证：/ 1=7 2;(2)在图②中作O M,使它满足以下条件：①圆心在边AB上；②经过点B;③与边AC相切.(尺规作图，只保留作图痕迹，不要求写出作法)【分析】(1)连接OF ,可证得OF // BC,结合平行线的性质和圆的特性可求得7 1=7 OFB =7 2,可得出结论；(2)由(1)可知切点是7 ABC的角平分线和AC的交点，圆心在BF的垂直平分线上，由此即可作出O M .【解答】解：(1)证明：如图①，连接OF ,••• OE丄AC,•••7 C= 90°• OE / BC,•7 1= 7 OFB ,•/ OF = OB,•7 OFB = 7 2,•7 1= 7 2.(2)如图②所示O M为所求.①②作BF的垂直平分线交AB于M，以MB为半径作圆，即O M为所求.证明：•/ M在BF的垂直平分线上，••• MF = MB ,•••/ MBF = / MFB ,又••• BF 平分/ ABC,•••/ MBF = / CBF ,•••/ CBF = / MFB ,• MF // BC,•••/ C= 90°• FM 丄AC,•O M与边AC相切.【点评】本题主要考查圆和切线的性质和基本作图的综合应用.掌握连接圆心和切点的半径与切线垂直是解题的关键，2. (2019?贵阳?10分)如图，已知AB是O O的直径，点P是O O上一点，连接OP，点A 关于OP的对称点C恰好落在O O 上.(1)求证：OP // BC;(2)过点C作O O的切线CD，交AP的延长线于点 D .如果/ D= 90° DP = 1,求O O的直径.二/AOC ,再根据同弧所对的圆心角和圆周角的关系得出/ ABC = 2_/AOC ,利用同位角2 2相等两直线平行，可得出 PO 与BC 平行；(2)由CD 为圆O 的切线，利用切线的性质得到 OC 垂直于CD ，又AD 垂直于CD ，利 用平面内垂直于同一条直线的两直线平行得到OC 与AD 平行，根据两直线平行内错角相等得到/ APO = Z COP ，由/AOP = Z COP ,等量代换可得出 / APO = Z AOP ，再由OA =OP ，利用等边对等角可得出一对角相等，等量代换可得出三角形 AOP 三内角相等，确定出三角形 AOP 为等边三角形，根据等边三角形的内角为 60°得到Z AOP 为60°,由OP 平行于BC ,利用两直线平行同位角相等可得出Z OBC =Z AOP = 60。
中考数学复习《圆》经典题型及测试题(含答案)
中考数学复习《圆》经典题型及测试题（含答案）【专题分析】圆在中考中的常见考点有圆的性质及定理，圆周角定理及其推论，圆心角、圆周角、弧、弦之间的“等推”关系；切线的判定，切线的性质，切线长定理，弧长及扇形面积的计算，求阴影部分的面积等．对圆的考查在中考中以客观题为主，考查题型多样，关于圆的基本性质一般以选择题或填空题的形式进行考查，切线的判定等综合性强的问题一般以解答题的形式进行考查；圆在中考中的比重约为10%～15%.【解题方法】解决圆的有关问题常用的数学思想就是转化思想，方程思想和数形结合思想；常用的数学方法有分类讨论法，设参数法等．【知识结构】【典例精选】如图，⊙O的半径是3，点P是弦AB延长线上的一点，连结OP，若OP ＝4，∠APO＝30°，则弦AB的长为( )A．2 5 B. 5C．213 D. 13【思路点拨】先过点O作OC⊥AP，连结OB，根据OP＝4，∠APO＝30°，求出OC的值，在Rt△BCO中，根据勾股定理求出BC的值，进而得出AB的值．【解析】如图，过点O作OC⊥AP于点C，连结OB，∵OP＝4，∠APO＝30°，∴OC＝4×sin 30°＝2.∵OB＝3，∴BC＝OB2－OC2＝32－22＝5，∴AB＝2 5.故选A.答案：A规律方法：利用垂径定理进行证明或计算，通常是在半径、圆心距和弦的一半所组成的直角三角形中，利用勾股定理构建方程求出未知线段的长.如图，从一块直径是8 m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，将剪下的扇形围成一个圆锥，圆锥的高是( )A．4 2 m B．5 m C. 30 m D．215 m【思路点拨】首先连结AO，求出AB，然后求出扇形的弧长BC，进而求出扇形围成的圆锥的底面半径，最后应用勾股定理求出圆锥的高即可．【解析】如图，连结AO，∵AB＝AC，点O是BC的中点，∴AO⊥BC.又∵∠BAC＝90°，∴∠ABO＝∠ACO＝45°，∴AB＝2OB＝2×(8÷2)＝42(m)．∴l BC＝90π×42180＝22π(m)．∴将剪下的扇形围成的圆锥形的半径是22π÷2π＝2(m)．∴圆锥的高是422－22＝30(m)．故选C.答案：C规律方法：解决圆锥的相关问题，可以利用圆的周长等于扇形的弧长建立方程，利用方程解决问题.如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是AB的中点，以E为圆心、ED 为半径作半圆，交A，B所在的直线于M，N两点，分别以MD，ND为直径作半圆，则阴影部分的面积为( )A．9 5 B．18 5 C．36 5 D．72 5【思路点拨】根据图形可知阴影部分的面积＝两个小的半圆的面积＋△DMN 的面积－大半圆的面积，MN为半圆的直径，从而可知∠MDN＝90°，在Rt△MDN 中，由勾股定理可知MN2＝MD2＋DN2，从而可得到两个小半圆的面积＝大半圆的面积，故此阴影部分的面积＝△DMN的面积，在Rt△AED中，ED＝AD2＋AE2＝62＋32＝35，所以MN＝65，然后利用三角形的面积公式求解即可．【解析】根据图形可知阴影部分的面积＝两个小的半圆的面积＋△DMN的面积－大半圆的面积．∵MN为大半圆的直径，∴∠MDN＝90°.在Rt△MDN中，MN2＝MD2＋DN2，∴两个小半圆的面积和＝大半圆的面积．∴阴影部分的面积＝△DMN 的面积．在Rt△AED中，ED＝AD2＋AE2＝62＋32＝35，∴阴影部分的面积＝△DMN的面积＝12MN·AD＝12×65×6＝18 5.故选B.答案：B规律方法：求阴影部分的面积，一般是将所求阴影部分进行分割组合，转化为规则图形的和或差.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D，连结CD.(1)求证：∠A＝∠BCD.(2)若M为线段BC上一点，试问当点M在什么位置时，直线DM与⊙O相切？并说明理由．【思路点拨】(1)根据圆周角定理可得∠ADC＝90°，根据直角三角形的性质可得∠A＋∠ACD＝90°，再由∠DCB＋∠ACD＝90°，可得∠A＝∠BCD；(2)当点M是BC的中点时，直线DM与⊙O相切．连结DO，证明∠ODM ＝90°，进而证得直线DM与⊙O相切．【自主解答】(1)证明：∵AC为直径，∴∠ADC＝90°，∴∠A＋∠ACD＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠BCD＋∠ACD＝90°，∴∠A＝∠BCD.(2)解：当点M是BC的中点时，直线DM与⊙O相切．理由如下：如图，连结DO，∵DO＝CO，∴∠1＝∠2.∵∠BDC＝90°，点M是BC的中点，∴DM＝CM，∴∠4＝∠3.∵∠2＋∠4＝90°，∴∠1＋∠3＝90°，∴直线DM与⊙O相切．规律方法：在判定一条直线是圆的切线时，如果这条直线和圆有公共点，常作出经过公共点的半径，证明这条直线与经过公共点的半径垂直，概括为“连半径，证垂直，得切线”.【能力评估检测】一、选择题1．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AE是⊙O的切线，A为切点，连结BC并延长交AE于点D.若∠AOC＝80°，则∠ADB的度数为( B )A．40° B．50° C．60° D．20°2．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB＝60°，AB＝AC＝2，则弦BC的长为( C )A. 3 B．3 C．2 3 D．43．如图，在⊙O中，弦AC∥半径OB，∠BOC＝50°，则∠OAB的度数为( A )A．25° B．50° C．60° D．30°4.如图，直线CD与以线段AB为直径的圆相切于点D并交BA的延长线于点C，且AB＝2，AD＝1，P点在切线CD上移动．当∠APB的度数最大时，则∠ABP 的度数为( B )A．15° B．30° C．60° D．90°5．如图，某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心、AB长为半径的扇形(忽略铁丝的粗细)，则所得扇形DAB的面积为( D )A．6 B．7 C．8 D．96．如图，已知AB为⊙O的直径，AD切⊙O于点A，EC＝CB.则下列结论中不一定正确的是( D )A．BA⊥DA B．OC∥AEC．∠COE＝2∠CAE D．OD⊥AC7．如图，菱形ABCD的对角线BD，AC分别为2，23，以B为圆心的弧与AD，DC相切，则阴影部分的面积是( D )A．23－33π B．43－33πC．43－π D．23－π8．如图，正六边形ABCDEF是边长为2 cm的螺母，点P是FA延长线上的点，在A，P之间拉一条长为12 cm的无伸缩性细线，一端固定在点A，握住另一端点P拉直细线，把它全部紧紧缠绕在螺母上(缠绕时螺母不动)，则点P运动的路径长为( B )A ．13π cmB ．14π cmC ．15π cmD ．16π cm9．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝5，AD ，AB ，BC 分别与⊙O 相切于E ，F ，G 三点，过点D 作⊙O 的切线交BC 于点M ，切点为N ，则DM 的长为( )A. 133B. 92C. 4313 D ．2 5 解：如图，连接OE ，OF ，ON ，OG .∵AD ，AB ，BC 分别与⊙O 相切于E ，F ，G 三点，∴∠AEO ＝∠AFO ＝∠OFB ＝∠BGO ＝90°.∴四边形AFOE ，FBGO 都是正方形．∴AF ＝BF ＝AE ＝BG ＝2.∴DE ＝3.∵DM 是⊙O 的切线，∴DN ＝DE ＝3，MN ＝MG . ∴CM ＝5－2－MN ＝3－MN .在Rt △DMC 中，DM 2＝CD 2＋CM 2，∴(3＋MN )2＝(3－MN )2＋42.∴NM ＝43.∴DM ＝3＋43＝133.故选A. 答案：A二、填空题10．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，则直线y ＝x ＋2与以O 点为圆心，1为半径的圆的位置关系为 相切．11．如图，圆内接四边形ABCD 两组对边的延长线分别相交于点E ，F ，且∠A ＝55°，∠E ＝30°，则∠F ＝40° .12．如图，正三角形ABC 的边长为2，点A ，B 在半径为2的圆上，点C 在圆内，将正三角形ABC 绕点A 逆时针旋转，当点C 第一次落在圆上时，点C 运动的路线长为 .【解析】设点C 落在圆上的点为C ′，连结OA ，OB ，OC ′，则OA ＝OB ＝ 2.又∵AB ＝2，∴OA 2＋OB 2＝AB 2，∴∠AOB ＝90°，∴∠OAB ＝45°，同理∠OAC ′＝45°，∴∠BAC ′＝90°.∵△ABC 为等边三角形，∴∠CAB ＝60°，∴∠CAC ′＝30°，∴点C 运动的路线长为30π×2180＝π3.故答案为π3. 答案：π3 13．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝5 cm ，AC ＝2 cm ，将△ABC 绕顶点C按顺时针方向旋转45°至△A 1B 1C 的位置，则线段AB 扫过区域(图中的阴影部分)的面积为 cm 2.【解析】在Rt△ABC 中，BC ＝AC 2＋AB 2＝29(cm)，S 扇形BCB 1＝45π×292360＝29π8(cm 2)，S △CB 1A 1＝12×5×2＝5(cm 2)，S 扇形CAA 1＝45π×22360＝π2(cm 2)，故S 阴影部分＝S 扇形BCB 1＋S △CB 1A 1－S △ABC －S 扇形CAA 1＝29π8＋5－5－π2＝25π8(cm 2). 答案：25π8三、解答题14．如图，AB 是⊙O 的直径，BC 切⊙O于点B ，OC 平行于弦AD ，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，连结AC ，与DE 交于点P .求证：(1)PE ＝PD ；(2)AC ·PD ＝AP ·BC .证明：(1)∵AB 是⊙O 的直径，BC 是切线，∴AB ⊥BC ，∵DE ⊥AB ，∴DE ∥BC ，∴△AEP ∽△ABC ，∴EP BC ＝AE AB .又∵AD ∥OC ，∴∠DAE ＝∠COB ，∴△AED ∽△OBC ，∴ED BC ＝AE OB ＝AE 12AB ＝2AE AB .∴ED ＝2EP ，∴PE ＝PD . (2)∵AB 是⊙O 的直径，BC 是切线，∴AB ⊥BC ，∵DE ⊥AB ，∴DE ∥BC ，∴△AEP ∽△ABC ，∴AP AC ＝PE BC .∵PE ＝PD ，∴AP AC ＝PD BC，∴AC ·PD ＝AP ·BC . 15．如图，在△OAB 中，OA ＝OB ＝10，∠AOB ＝80°，以点O 为圆心，6为半径的优弧MN 分别交OA ，OB 于点M ，N .(1)点P 在右半弧上(∠BOP 是锐角)，将OP 绕点O 逆时针旋转80°得OP ′，求证：AP ＝BP ′；(2)点T 在左半弧上，若AT 与弧相切，求点T 到OA 的距离；(3)设点Q 在优弧MN 上，当△AOQ 的面积最大时，直接写出∠BOQ 的度数．(1)证明：如图，∵∠AOP＝∠AOB＋∠BOP＝80°＋∠BOP，∠BOP′＝∠POP′＋∠BOP＝80°＋∠BOP，∴∠AOP＝∠BOP′.又∵OA＝OB，OP＝OP′，∴△AOP≌△BOP′.∴AP＝BP′.(2)解：如图，连结OT，过点T作TH⊥OA于点H.∵AT与MN相切，∴∠ATO＝90°.∴AT＝OA2－OT2＝102－62＝8.∵12OA·TH＝12AT·OT，即12×10×TH＝12×8×6，∴TH＝245，即点T到OA的距离为245.(3)10°，170°.16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线AD交BC边于点D.以AB上一点O为圆心作⊙O，使⊙O经过点A和点D.(1)判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若AC＝3，∠B＝30°.①求⊙O的半径；②设⊙O与AB边的另一个交点为E，求线段BD，BE与劣弧DE所围成的阴影部分的面积(结果保留根号和π)．解：(1)直线BC与⊙O相切．理由如下：如图，连结OD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵∠BAC的角平分线AD交BC边于点D，∴∠CAD＝∠OAD，∴∠CAD＝∠ODA，∴OD∥AC，∴∠ODB＝∠C＝90°，即OD⊥BC.∴直线BC与⊙O相切．(2)①设OA＝OD＝r，∵在Rt△BDO中，∠B＝30°，∴OB＝2r，∴在Rt△ACB中，∠B＝30°，∴AB＝2AC＝6，∴3r＝6，解得r＝2.②∵在Rt△ODB中，∠B＝30°，∴∠BOD＝60°，∴S扇形ODE＝60π×22360＝23π，∴阴影部分面积为S△BOD－S扇形ODE＝23－23π.11。
《圆的基本性质》各节知识点
圆（帆的自豪，是能在风浪中挺起胸膛;你的自豪，是在中考中崭露头角）考点一、与圆相关的命题的说法正确的个数，绝大多数是选择题，也有少部分是填空题（填序号）1、有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧。
其中正确的有（）A.4个B.3个C.3个D.2个2、下列四个命题：①经过任意三点可以作一个圆；②三角形的外心在三角形的内部；③等腰三角形的外心必在底边的中线上；④菱形一定有外接圆，圆心是对角线的交点。
其中真命题的个数（）A.4个 B.3个 C.3个 D.2个3、下列命题中，正确的是（）A.相等的圆心角所对弦的弦心距相等B.相等的圆心角所对的弦相等C.同圆或等圆中，两弦相等，所对的弧相等D.同圆或等圆中，相等的弦所对的弦心距也相等考点二、求旋转图形中某一点移动的距离，这就要利用弧长公式4、如图，菱形ABCD中，AB=2，∠C=60°，菱形ABCD在直线l上向右作无滑动的翻滚，每绕着一个顶点旋转60°叫一次操作，则经过36次这样的操作菱形中心O所经过的路径总长为考点三、求半径、弦长、弦心距，这就要利用勾股定理和垂径定理及逆定理5、⊙O的直径为10cm，弦AB为8cm，P是弦AB上一点，若OP的长是整数，则满足条件的点P 有（ ）个A.2 B.3 C.4 D.56、工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径，假设钢珠的直径是10mm ，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm ，如图所示，则这个小孔的直径AB 是7、如图，半径为5的⊙P 与y 轴交于点M （0，-4）、N（0，-10），函数y=k x （x<0）的图象过点P ，则k= 8、如图所示，AB 是⊙O 的一条弦，OD ⊥AB ，垂足为C ，交⊙O 于点D ，点E 在⊙O 上。
（1）若∠AOD=52°，求∠DEB 的度数；（2）若OA=5，OC=3，求AB 的长考点四、求圆心角、圆周角9、将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C 在半圆上，点A 、B 的读数分别为86°，30°，则∠ACB 的大小为10、如图所示，在△ABC 中，∠A=70°，⊙O 截△ABC的三边所得的弦长相等，则∠BOC 等于（ ）A.140°B.135°C.130°D.125°11.如图，AB 为⊙O 的直径，CD 为⊙O 的弦，AB 、CD的延长线交于点E ，已知AB=2DE ，∠E=18°，求∠AOC的度数考点五、求阴影部分面积一般遵循“四步曲”，即：一套，二分，三补，四换.一套：直接套用基本几何图形面积公式计算；二分：将其分割成规则图形面积的和或差；三补：用补形法拼凑成规则图形计算；四换：将图形等积变换后计算。
2019年中考数学试题分类汇编28：圆的基本性质[1]
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一、选择题1. （2019山东滨州，6，3分）如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，若∠BCD＝40°，则∠ABD的大小为( ）A．60°B．50°C．40°D．20°【答案】B【解析】如图，连接AD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°．∵∠A和∠BCD都是弧BD所对的圆周角,∴∠A=∠BCD=40°，∴∠ABD=90°－40°=50°．故选B．【知识点】圆周角定理及其推论2。
（2019山东聊城,8，3分）如图,BC是半圆O的直径,D,E是BC上两点,连接BD,CE并延长交于点A，连接OD，OE，如果∠A＝70°，那么∠DOE的度数为A。
35° B.38°C。
40°D。
42°第8题图【答案】C【解析】∵∠A＝70°,∴∠B+∠C＝110°，∴∠BOE+∠COD＝220°,∴∠DOE＝∠BOE+∠COD－180°＝40°,故选C.【知识点】三角形内角和定理，圆周角定理3。
（2019山东省潍坊市,11，3分)如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，AD=CD．过点D作DE⊥AB于点E．连接AC交DE于点F．若sin∠CAB=35，DF=5，则BC的长为( ）A．8 B．10 C．12 D．16【答案】C【思路分析】连接BD，先证明∠DAC=∠ACD=∠ABD=∠ADE，从而可得AF=DF=5，根据sin∠CAB=3 5 ,求得EF和AE的长度，再利用射影定理求出BE的长度从而得到直径AB，根据sin∠CAB=35求得BC的长度．【解题过程】连接BD．∵AD=CD,∴∠DAC=∠ACD．∵AB为直径，∴∠ADB=∠ACB=90°．∴∠DAB+∠ABD=90°．∵DE⊥AB，∴∠DAB+∠ADE=90°．∴∠ADE=∠ABD．∵∠ABD=∠ACD，∴∠DAC=∠ADE．∴AF=DF=5．在Rt△AEF中，sin∠CAB=35 EFAF=∴EF=3,AE=4．∴DE=3+5=8．由DE2=AE▪EB，得228164DEBEAE===．∴AB=16+4=20．在R t△ABC中，sin∠CAB=35 BC AB=∴BC=12．【知识点】圆周角，锐角三角比4。
全国专卷2019年中考数学真题分类解析汇编 31圆的有关性质
圆的有关性质一、选择题1. （2014•珠海，第5题3分）如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∠CAB=20°，则∠AOD等于（）A．160°B．150°C．140°D．120°考点：圆周角定理；垂径定理．分析：利用垂径定理得出=，进而求出∠BOD=40°，再利用邻补角的性质得出答案．解答：解：∵线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∴=，∵∠CAB=20°，∴∠BOD=40°，∴∠AOD=140°．故选：C．点评：此题主要考查了圆周角定理以及垂径定理等知识，得出∠BOD的度数是解题关键．2. （2014•广西贺州，第11题3分）如图，以AB为直径的⊙O与弦CD相交于点E，且AC=2，AE=，CE=1．则弧BD的长是（）A．B．C．D．考点：垂径定理；勾股定理；勾股定理的逆定理；弧长的计算．分析：连接OC，先根据勾股定理判断出△ACE的形状，再由垂径定理得出CE=DE，故=，由锐角三角函数的定义求出∠A的度数，故可得出∠BOC的度数，求出OC的长，再根据弧长公式即可得出结论．解答：解：连接OC，∵△ACE中，AC=2，AE=，CE=1，∴AE2+CE2=AC2，∴△ACE是直角三角形，即AE⊥CD，∵sinA==，∴∠A=30°，∴∠COE=60°，∴=sin∠COE，即=，解得OC=，∵AE⊥CD，∴=，∴===．故选B．点评：本题考查的是垂径定理，涉及到直角三角形的性质、弧长公式等知识，难度适中．3．（2014•温州，第8题4分）如图，已知A，B，C在⊙O上，为优弧，下列选项中与∠AOB相等的是（）A．2∠C B．4∠B C．4∠A D．∠B+∠C考点：圆周角定理．分析：根据圆周角定理，可得∠AOB=2∠C．解答：解：如图，由圆周角定理可得：∠AOB=2∠C．故选A．点评：此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．4.（2014•毕节地区，第5题3分）下列叙述正确的是（）A．方差越大，说明数据就越稳定B．在不等式两边同乘或同除以一个不为0的数时，不等号的方向不变C．不在同一直线上的三点确定一个圆D．两边及其一边的对角对应相等的两个三角形全等考点：方差；不等式的性质；全等三角形的判定；确定圆的条件分析：利用方差的意义、不等号的性质、全等三角形的判定及确定圆的条件对每个选项逐一判断后即可确定正确的选项．解答：解：A、方差越大，越不稳定，故选项错误；B、在不等式的两边同时乘以或除以一个负数，不等号方向改变，故选项错误；C、正确；D、两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，故选项错误．故选C．点评：本题考查了方差的意义、不等号的性质、全等三角形的判定及确定圆的条件，属于基本定理的应用，较为简单．5.（2014•毕节地区，第6题3分）如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是（）A．6B．5C．4D．3考点：垂径定理；勾股定理分析：过O作OC⊥AB于C，根据垂径定理求出AC，根据勾股定理求出OC即可．解答：解：过O作OC⊥AB于C，∵OC过O，∴AC=BC=AB=12，在Rt△AOC中，由勾股定理得：OC==5．故选：B．点评：本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，关键是求出OC的长．6.（2014•毕节地区，第15题3分）如图是以△ABC的边AB为直径的半圆O，点C恰好在半圆上，过C作CD⊥AB交AB于D．已知cos∠ACD=，BC=4，则AC的长为（）A．1B．C．3D．考点：圆周角定理；解直角三角形分析：由以△ABC的边AB为直径的半圆O，点C恰好在半圆上，过C作CD⊥AB交AB于D．易得∠ACD=∠B，又由cos∠ACD=，BC=4，即可求得答案．解答：解：∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCD=90°，∵CD⊥AB，∴∠BCD+∠B=90°，∴∠B=∠ACD，∵cos∠ACD=，∴cos∠B=，∴tan∠B=，∵BC=4，∴tan∠B===，∴AC=．故选D．点评：此题考查了圆周角定理以及三角函数的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．7.（2014•武汉，第10题3分）如图，PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D．若⊙O的半径为r，△PCD的周长等于3r，则tan∠APB的值是（）A．B．C．D．考点：切线的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义分析：（1）连接OA、OB、OP，延长BO交PA的延长线于点F．利用切线求得CA=CE，DB=DE，PA=PB再得出PA=PB=．利用Rt△BFP∽RT△OAF得出AF=FB，在RT△FBP中，利用勾股定理求出BF，再求tan∠APB的值即可．解答：解：连接OA、OB、OP，延长BO交PA的延长线于点F．∵PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E∴∠OAP=∠OBP=90°，CA=CE，DB=DE，PA=PB，∵△PCD的周长=PC+CE+DE+PD=PC+AC+PD+DB=PA+PB=3r，∴PA=PB=．在Rt△BFP和Rt△OAF中，，∴Rt△BFP∽RT△OAF．∴===，∴AF=FB，在Rt△FBP中，∵PF2﹣PB2=FB2∴（PA+AF）2﹣PB2=FB2∴（r+BF）2﹣（）2=BF2，解得BF =r ，∴tan ∠APB ===，故选：B ．点评：本题主要考查了切线的性质，相似三角形及三角函数的定义，解决本题的关键是切线与相似三角形相结合，找准线段及角的关系．8．（2014·台湾，第10题3分）如图，有一圆通过△ABC 的三个顶点，且的中垂线与相交于D 点．若∠B ＝74°，∠C ＝46°，则的度数为何？( )A ．23B ．28C ．30D ．37分析：由有一圆通过△ABC 的三个顶点，且的中垂线与相交于D 点．若∠B ＝74°，∠C ＝46°，可求得与的度数，继而求得答案．解：∵有一圆通过△ABC 的三个顶点，且的中垂线与相交于D 点，∴＝2×∠C ＝2×46°═92°，＝2×∠B ＝2×74°＝148°＝＋＝＋＝＋＋， ∴＝12(148﹣92)＝28°．故选B ．点评：此题考查了圆周角定理以及弧与圆心角的关系．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．9．（2014·台湾，第21题3分）如图，G 为△ABC 的重心．若圆G 分别与AC 、BC 相切，且与AB 相交于两点，则关于△ABC 三边长的大小关系，下列何者正确？( )A．BC＜AC B．BC＞AC C．AB＜AC D．AB＞AC分析：G为△ABC的重心，则△ABG面积＝△BCG面积＝△ACG面积，根据三角形的面积公式即可判断．解：∵G为△ABC的重心，∴△ABG面积＝△BCG面积＝△ACG面积，又∵GH a＝GH b＞GH c，∴BC＝AC＜A B．故选D．点评：本题考查了三角形的重心的性质以及三角形的面积公式，理解重心的性质是关键．10．（2014•浙江湖州，第4题3分）如图，已知AB是△ABC外接圆的直径，∠A=35°，则∠B的度数是（）A．35°B．45°C．55°D．65°分析：由AB是△ABC外接圆的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠C=90°，又由∠A=35°，即可求得∠B的度数．解：∵AB是△ABC外接圆的直径，∴∠C=90°，∵∠A=35°，∴∠B=90°﹣∠A=55°．故选C．点评：此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．11.（2014•孝感，第10题3分）如图，在半径为6cm的⊙O中，点A是劣弧的中点，点D是优弧上一点，且∠D=30°，下列四个结论：①OA⊥BC；②BC=6；③sin∠AOB=；④四边形ABOC是菱形．其中正确结论的序号是（）A．①③B．①②③④C．②③④D．①③④考点：垂径定理；菱形的判定；圆周角定理；解直角三角形．分析：分别根据垂径定理、菱形的判定定理、锐角三角函数的定义对各选项进行逐一判断即可．解答：解：∵点A是劣弧的中点，OA过圆心，∴OA⊥BC，故①正确；∵∠D=30°，∴∠ABC=∠D=30°，∴∠AOB=60°，∵点A是点A是劣弧的中点，∴BC=2CE，∵OA=OB，∴OB=OB=AB=6cm，∴BE=AB•cos30°=6×=3cm，∴BC=2BE=6cm，故B正确；∵∠AOB=60°，∴sin∠AOB=sin60°=，故③正确；∵∠AOB=60°，∴AB=OB，∵点A是劣弧的中点，∴AC=OC，∴AB=BO=OC=CA，∴四边形ABOC是菱形，故④正确．故选B．点评：本题考查了垂径定理、菱形的判定、圆周角定理、解直角三角形，综合性较强，是一道好题．12.（2014•呼和浩特，第6题3分）已知⊙O的面积为2π，则其内接正三角形的面积为（）A．3B．3C．D．考点：垂径定理；等边三角形的性质．分析：先求出正三角形的外接圆的半径，再求出正三角形的边长，最后求其面积即可．解答：解：如图所示，连接OB、OC，过O作OD⊥BC于D，∵⊙O的面积为2π∴⊙O的半径为∵△ABC为正三角形，∴∠BOC==120°，∠BOD=∠BOC=60°，OB=，∴BD=OB•sin∠BOD==，∴BC=2BD=，∴OD=OB•cos∠BOD=•cos60°=，∴△BOC 的面积=•BC •OD =××=，∴△ABC 的面积=3S △BOC =3×=．故选C ．点评： 本题考查的是三角形的外接圆与外心，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．二.填空题1．（2014•舟山，第16题4分）如图，点C 在以AB 为直径的半圆上，AB =8，∠CBA =30°，点D 在线段AB 上运动，点E 与点D 关于AC 对称，DF ⊥DE 于点D ，并交EC 的延长线于点F ．下列结论：①CE =CF ；②线段EF 的最小值为2；③当AD =2时，EF 与半圆相切；④若点F恰好落在上，则AD =2；⑤当点D 从点A 运动到点B 时，线段EF 扫过的面积是16．其中正确结论的序号是 ①③⑤ ．考点： 圆的综合题；垂线段最短；平行线的判定与性质；等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；切线的判定；轴对称的性质；相似三角形的判定与性质． 专题：推理填空题． 分析： （1）由点E 与点D 关于AC 对称可得CE =CD ，再根据DF ⊥DE 即可证到CE =CF ． （2）根据“点到直线之间，垂线段最短”可得CD ⊥AB 时CD 最小，由于EF =2CD ，求出CD 的最小值就可求出EF 的最小值．（3）连接OC ，易证△AOC 是等边三角形，AD =OD ，根据等腰三角形的“三线合一”可求出∠ACD ，进而可求出∠ECO =90°，从而得到EF 与半圆相切．（4）利用相似三角形的判定与性质可证到△DBF 是等边三角形，只需求出BF 就可求出DB ，进而求出AD 长．（5）首先根据对称性确定线段EF 扫过的图形，然后探究出该图形与△ABC 的关系，就可求出线段EF 扫过的面积． 解答： 解：①连接CD ，如图1所示． ∵点E 与点D 关于AC 对称，∴CE =C D ． ∴∠E =∠CDE ． ∵DF ⊥DE ， ∴∠EDF =90°．∴∠E +∠F =90°，∠CDE +∠CDF =90°． ∴∠F =∠CDF ． ∴CD =CF ． ∴CE =CD =CF ．∴结论“CE =CF ”正确． ②当CD ⊥AB 时，如图2所示． ∵AB 是半圆的直径， ∴∠ACB =90°． ∵AB =8，∠CBA =30°， ∴∠CAB =60°，AC =4，BC =4．∵CD ⊥AB ，∠CBA =30°， ∴CD =BC =2．根据“点到直线之间，垂线段最短”可得： 点D 在线段AB 上运动时，CD 的最小值为2．∵CE =CD =CF ， ∴EF =2C D ．∴线段EF 的最小值为4．∴结论“线段EF 的最小值为2”错误．（3）当AD=2时，连接OC，如图3所示．∵OA=OC，∠CAB=60°，∴△OAC是等边三角形．∴CA=CO，∠ACO=60°．∵AO=4，AD=2，∴DO=2．∴AD=DO．∴∠ACD=∠OCD=30°．∵点E与点D关于AC对称，∴∠ECA=∠DC A．∴∠ECA=30°．∴∠ECO=90°．∴OC⊥EF．∵EF经过半径OC的外端，且OC⊥EF，∴EF与半圆相切．∴结论“EF与半圆相切”正确．④当点F恰好落在上时，连接FB、AF，如图4所示．∵点E与点D关于AC对称，∴ED⊥A C．∴∠AGD=90°．∴∠AGD=∠AC B．∴ED∥B C．∴△FHC∽△FDE．∴=．∵FC=EF，∴FH=F D．∴FH=DH．∵DE∥BC，∴∠FHC=∠FDE=90°．∴BF=B D．∴∠FBH=∠DBH=30°．∴∠FBD=60°．∵AB是半圆的直径，∴∠AFB=90°．∴∠FAB=30°．∴FB=AB=4．∴DB=4．∴AD=AB﹣DB=4．∴结论“AD=2”错误．⑤∵点D与点E关于AC对称，点D与点F关于BC对称，∴当点D从点A运动到点B时，点E的运动路径AM与AB关于AC对称，点F的运动路径NB与AB关于BC对称．∴EF扫过的图形就是图5中阴影部分．∴S阴影=2S△ABC=2×AC•BC=AC•BC=4×4=16．∴EF扫过的面积为16．∴结论“EF扫过的面积为16”正确．故答案为：①、③、⑤．点评：本题考查了等边三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、切线的判定、轴对称的性质、含30°角的直角三角形、垂线段最短等知识，综合性强，有一定的难度．2. （2014•福建泉州，第17题4分）如图，有一直径是米的圆形铁皮，现从中剪出一个圆周角是90°的最大扇形ABC，则：（1）AB的长为 1 米；（2）用该扇形铁皮围成一个圆锥，所得圆锥的底面圆的半径为米．考点：圆锥的计算；圆周角定理专题：计算题．分析：（1）根据圆周角定理由∠BAC=90°得BC为⊙O的直径，即BC=，根据等腰直角三角形的性质得AB=1；（2）由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，则2πr=，然后解方程即可．解答：解：（1）∵∠BAC=90°，∴BC为⊙O的直径，即BC=，∴AB=BC=1；（2）设所得圆锥的底面圆的半径为r，根据题意得2πr=，解得r=．故答案为1，．点评：本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了圆周角定理．3. （2014•广东，第14题4分）如图，在⊙O中，已知半径为5，弦AB的长为8，那么圆心O到AB的距离为 3 ．考点：垂径定理；勾股定理．分析：作OC⊥AB于C，连结OA，根据垂径定理得到AC=BC=AB=3，然后在Rt△AOC中利用勾股定理计算OC即可．解答：解：作OC⊥AB于C，连结OA，如图，∵OC⊥AB，∴AC=BC=AB=×8=4，在Rt△AOC中，OA=5，∴OC===3，即圆心O到AB的距离为3．故答案为：3．点评：本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．4．（2014•四川自贡，第14题4分）一个边长为4cm的等边三角形ABC与⊙O等高，如图放置，⊙O与BC相切于点C，⊙O与AC相交于点E，则CE的长为 3 cm．考点：切线的性质；垂径定理；圆周角定理；弦切角定理分析：连接OC，并过点O作OF⊥CE于F，根据等边三角形的性质，等边三角形的高等于底边高的倍．题目中一个边长为4cm的等边三角形ABC与⊙O等高，说明⊙O的半径为，即OC=，又∠ACB=60°，故有∠OCF=30°，在Rt△OFC中，可得出FC的长，利用垂径定理即可得出CE的长．解答：解：连接OC，并过点O作OF⊥CE于F，且△ABC为等边三角形，边长为4，故高为2，即OC=，又∠ACB=60°，故有∠OCF=30°，在Rt△OFC中，可得FC=，即CE=3．故答案为：3．点评：本题主要考查了切线的性质和等边三角形的性质和解直角三角形的有关知识．题目不是太难，属于基础性题目．5. （2014•株洲，第11题，3分）如图，点A、B、C都在圆O上，如果∠AOB+∠ACB=84°，那么∠ACB的大小是28°．（第1题图）考点：圆周角定理．分析：根据圆周角定理即可推出∠AOB=2∠ACB，再代入∠AOB+∠ACB=84°通过计算即可得出结果．解答：解：∵∠AOB=2∠ACB，∠AOB+∠ACB=84°∴3∠ACB=84°∴∠ACB=28°．故答案为：28°．点评：此题主要考查圆周角定理，关键在于找出两个角之间的关系，利用代换的方法结论．6. （2014年江苏南京，第13题，2分）如图，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为E，连接BC，若AB=2cm，∠BCD=22°30′，则⊙O的半径为cm．（第2题图）考点：垂径定理、圆周角定理．分析：先根据圆周角定理得到∠BOD=2∠BCD=45°，再根据垂径定理得到BE=AB=，且△BOE为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求解．解答：连结OB，如图，∵∠BCD=22°30′，∴∠BOD=2∠BCD=45°，∵AB⊥CD，∴BE=AE=AB=×2=，△BOE为等腰直角三角形，∴OB=BE=2（cm）．故答案为2．点评：本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了等腰直角三角形的性质和圆周角定理．7. （2014•泰州，第15题，3分）如图，A、B、C、D依次为一直线上4个点，BC=2，△BCE 为等边三角形，⊙O过A、D、E3点，且∠AOD=120°．设AB=x，CD=y，则y与x的函数关系式为y=（x＞0）．（第3题图）考点：相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质；圆周角定理．分析：连接AE，DE，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，求得∠AED=120°，然后求得△ABE∽△EC D．根据相似三角形的对应边对应成比例即可表示出x与y的关系，从而不难求解．解答：解：连接AE，DE，∵∠AOD=120°，∴为240°，∴∠AED=120°，∵△BCE为等边三角形，∴∠BEC=60°；∴∠AEB+∠CED=60°；又∵∠EAB+∠AEB=60°，∴∠EAB=∠CED，∵∠ABE=∠ECD=120°；∴=，即=，∴y=（x＞0）．点评：此题主要考查学生圆周角定理以及对相似三角形的判定与性质及反比例函数的实际运用能力．8．（2014•菏泽，第10题3分）如图，在△ABC中∠A=25°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，则的度数为50° ．考点：圆心角、弧、弦的关系；直角三角形的性质．分析：连接CD，求出∠B=65°，再根据CB=CD，求出∠BCD的度数即可．解答：解：连接CD，∵∠A=25°，∴∠B=65°，∵CB=CD，∴∠B=∠CDB=65°，∴∠BCD=50°，∴的度数为50°．故答案为：50°．点评：此题考查了圆心角、弧之间的关系，用到的知识点是三角形内角和定理、圆心角与弧的关系，关键是做出辅助线求出∠BCD的度数．9．（2014年山东泰安，第23题4分）如图，AB是半圆的直径，点O为圆心，OA=5，弦AC=8，OD⊥AC，垂足为E，交⊙O于D，连接BE．设∠BEC=α，则s inα的值为．分析：连结BC，根据圆周角定理由AB是半圆的直径得∠ACB=90°，在Rt△ABC中，根据勾股定理计算出BC=6，再根据垂径定理由OD⊥AC得到AE=CE=AC=4，然后在Rt△BCE中，根据勾股定理计算出BE=2，则可根据正弦的定义求解．解：连结BC，如图，∵AB是半圆的直径，∴∠ACB=90°，在Rt△ABC中，AC=8，AB=10，∴BC==6，∵OD⊥AC，∴AE=CE=AC=4，在Rt△BCE中，BE==2，∴sinα===．故答案为．点评：本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理和圆周角定理．三.解答题1. （2014•福建泉州，第26题14分）如图，直线y=﹣x+3与x，y轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点P（2，1）．（1）求该反比例函数的关系式；（2）设PC⊥y轴于点C，点A关于y轴的对称点为A′；①求△A′BC的周长和sin∠BA′C的值；②对大于1的常数m，求x轴上的点M的坐标，使得sin∠BMC=．考点：反比例函数综合题；待定系数法求反比例函数解析式；勾股定理；矩形的判定与性质；垂径定理；直线与圆的位置关系；锐角三角函数的定义专题：压轴题；探究型．分析：（1）设反比例函数的关系式y=，然后把点P的坐标（2，1）代入即可．（2）①先求出直线y=﹣x+3与x、y轴交点坐标，然后运用勾股定理即可求出△A′BC 的周长；过点C作CD⊥AB，垂足为D，运用面积法可以求出CD长，从而求出sin∠BA′C 的值．②由于BC=2，sin∠BMC=，因此点M在以BC为弦，半径为m的⊙E上，因而点M应是⊙E与x轴的交点．然后对⊙E与x轴的位置关系进行讨论，只需运用矩形的判定与性质、勾股定理等知识就可求出满足要求的点M的坐标．解答：解：（1）设反比例函数的关系式y=．∵点P（2，1）在反比例函数y=的图象上，∴k=2×1=2．∴反比例函数的关系式y=．（2）①过点C作CD⊥AB，垂足为D，如图1所示．当x=0时，y=0+3=3，则点B的坐标为（0，3）．OB=3．当y=0时，0=﹣x+3，解得x=3，则点A的坐标为（3，0），OA=3．∵点A关于y轴的对称点为A′，∴OA′=OA=3．∵PC⊥y轴，点P（2，1），∴OC=1，PC=2．∴BC=2．∵∠AOB=90°，OA′=OB=3，OC=1，∴A′B=3，A′C=．∴△A′BC的周长为3++2．∵S△ABC=BC•A′O=A′B•CD，∴BC•A′O=A′B•C D．∴2×3=3×C D．∴CD=．∵CD⊥A′B，∴sin∠BA′C===．∴△A′BC的周长为3++2，sin∠BA′C的值为．②当1＜m＜2时，作经过点B、C且半径为m的⊙E，连接CE并延长，交⊙E于点P，连接BP，过点E作EG⊥OB，垂足为G，过点E作EH⊥x轴，垂足为H，如图2①所示．∵CP是⊙E的直径，∴∠PBC=90°．∴sin∠BPC===．∵sin∠BMC=，∴∠BMC=∠BP C．∴点M在⊙E上．∵点M在x轴上∴点M是⊙E与x轴的交点．∵EG⊥BC，∴BG=GC=1．∴OG=2．∵∠EHO=∠GOH=∠OGE=90°，∴四边形OGEH是矩形．∴EH=OG=2，EG=OH．∵1＜m＜2，∴EH＞E C．∴⊙E与x轴相离．∴x轴上不存在点M，使得sin∠BMC=．②当m=2时，EH=E C．∴⊙E与x轴相切．Ⅰ．切点在x轴的正半轴上时，如图2②所示．∴点M与点H重合．∵EG⊥OG，GC=1，EC=m，∴EG==．∴OM=OH=EG=．∴点M的坐标为（，0）．Ⅱ．切点在x轴的负半轴上时，同理可得：点M的坐标为（﹣，0）．③当m＞2时，EH＜E C．∴⊙E与x轴相交．Ⅰ．交点在x轴的正半轴上时，设交点为M、M′，连接EM，如图2③所示．∵∠EHM=90°，EM=m，EH=2，∴MH===．∵EH⊥MM′，∴MH=M′H．∴M′H═．∵∠EGC=90°，GC=1，EC=m，∴EG===．∴OH=EG=．∴OM=OH﹣MH=﹣，∴OM′=OH+HM′=+，∴M（﹣，0）、M′（+，0）．Ⅱ．交点在x轴的负半轴上时，同理可得：M（﹣+，0）、M′（﹣﹣，0）．综上所述：当1＜m＜2时，满足要求的点M不存在；当m=2时，满足要求的点M的坐标为（，0）和（﹣，0）；当m＞2时，满足要求的点M的坐标为（﹣，0）、（+，0）、（﹣+，0）、（﹣﹣，0）．点评：本题考查了用待定系数法求反比例函数的关系式、勾股定理、三角函数的定义、矩形的判定与性质、直线与圆的位置关系、垂径定理等知识，考查了用面积法求三角形的高，考查了通过构造辅助圆解决问题，综合性比较强，难度系数比较大．由BC=2，sin∠BMC=联想到点M在以BC为弦，半径为m的⊙E上是解决本题的关键．2．（2014•安徽省,第19题10分）如图，在⊙O中，半径OC与弦AB垂直，垂足为E，以OC为直径的圆与弦AB的一个交点为F，D是CF延长线与⊙O的交点．若OE=4，OF=6，求⊙O 的半径和CD的长．考点：垂径定理；勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．专题：计算题．分析：由OE⊥AB得到∠OEF=90°，再根据圆周角定理由OC为小圆的直径得到∠OFC=90°，则可证明Rt△OEF∽Rt△OFC，然后利用相似比可计算出⊙O的半径OC=9；接着在Rt△OCF 中，根据勾股定理可计算出C=3，由于OF⊥CD，根据垂径定理得CF=DF，所以CD=2CF=6．解答：解：∵OE⊥AB，∴∠OEF=90°，∵OC为小圆的直径，∴∠OFC=90°，而∠EOF=∠FOC，∴Rt△OEF∽Rt△OFC，∴OE：OF=OF：OC，即4：6=6：OC，∴⊙O的半径OC=9；在Rt△OCF中，OF=6，OC=9，∴CF==3，∵OF⊥CD，∴CF=DF，∴CD=2CF=6．点评：本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理、圆周角定理和相似三角形的判定与性质．3．(2014年天津市，第21题10分)已知⊙O的直径为10，点A，点B，点C在⊙O上，∠CAB 的平分线交⊙O于点D．（Ⅰ）如图①，若BC为⊙O的直径，AB=6，求AC，BD，CD的长；（Ⅱ）如图②，若∠CAB=60°，求BD的长．考点：圆周角定理；等边三角形的判定与性质；勾股定理．分析：（Ⅰ）利用圆周角定理可以判定△CAB和△DCB是直角三角形，利用勾股定理可以求得AC的长度；利用圆心角、弧、弦的关系推知△DCB也是等腰三角形，所以利用勾股定理同样得到BD=CD=5；（Ⅱ）如图②，连接OB，O D．由圆周角定理、角平分线的性质以及等边三角形的判定推知△OBD是等边三角形，则BD=OB=OD=5．解答：解：（Ⅰ）如图①，∵BC是⊙O的直径，∴∠CAB=∠BDC=90°．∵在直角△CAB中，BC=10，AB=6，∴由勾股定理得到：AC===8．∵AD平分∠CAB，∴=，∴CD=B D．在直角△BDC中，BC=10，CD2+BD2=BC2，∴易求BD=CD=5；（Ⅱ）如图②，连接OB，O D．∵AD平分∠CAB，且∠CAB=60°，∴∠DAB=∠CAB=30°，∴∠DOB=2∠DAB=60°．又∵OB=OD，∴△OBD是等边三角形，∴BD=OB=O D．∵⊙O的直径为10，则OB=5，∴BD=5．点评：本题综合考查了圆周角定理，勾股定理以及等边三角形的判定与性质．此题利用了圆的定义、有一内角为60度的等腰三角形为等边三角形证得△OBD是等边三角形．4．（2014•新疆，第21题10分）如图，AB是⊙O的直径，点F，C是⊙O上两点，且==，连接AC，AF，过点C作CD⊥AF交AF延长线于点D，垂足为D．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若CD=2，求⊙O的半径．考点：切线的判定．专题：证明题．分析：（1）连结OC，由=，根据圆周角定理得∠FAC=∠BAC，而∠OAC=∠OCA，则∠FAC=∠OCA，可判断OC∥AF，由于CD⊥AF，所以OC⊥CD，然后根据切线的判定定理得到CD是⊙O的切线；（2）连结BC，由AB为直径得∠ACB=90°，由==得∠BOC=60°，则∠BAC=30°，所以∠DAC=30°，在Rt△ADC中，利用含30度的直角三角形三边的关系得AC=2CD=4，在Rt△ACB中，利用含30度的直角三角形三边的关系得BC=AC=4，AB=2BC=4，所以⊙O的半径为4．解答：（1）证明：连结OC，如图，∵=，∴∠FAC=∠BAC，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠FAC=∠OCA，∴OC∥AF，∵CD⊥AF，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线；（2）解：连结BC，如图，∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∵==，∴∠BOC=×180°=60°，∴∠BAC=30°，∴∠DAC=30°，在Rt△ADC中，CD=2，∴AC=2CD=4，在Rt△ACB中，BC=AC=×4=4，∴AB=2BC=4，∴⊙O的半径为4．点评：本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理和含30度的直角三角形三边的关系．5．（2014年云南省，第23题9分）已知如图平面直角坐标系中，点O是坐标原点，矩形ABCD 是顶点坐标分别为A（3，0）、B（3，4）、C（0，4）．点D在y轴上，且点D的坐标为（0，﹣5），点P是直线AC上的一动点．（1）当点P运动到线段AC的中点时，求直线DP的解析式（关系式）；（2）当点P沿直线AC移动时，过点D、P的直线与x轴交于点M．问在x轴的正半轴上是否存在使△DOM与△ABC相似的点M？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当点P沿直线AC移动时，以点P为圆心、R（R＞0）为半径长画圆．得到的圆称为动圆P．若设动圆P的半径长为，过点D作动圆P的两条切线与动圆P分别相切于点E、F．请探求在动圆P中是否存在面积最小的四边形DEPF？若存在，请求出最小面积S的值；若不存在，请说明理由．2考点：圆的综合题；待定系数法求一次函数解析式；垂线段最短；勾股定理；切线长定理；相似三角形的判定与性质．专题：综合题；存在型；分类讨论．分析：（1）只需先求出AC中点P的坐标，然后用待定系数法即可求出直线DP的解析式．（2）由于△DOM与△ABC相似，对应关系不确定，可分两种情况进行讨论，利用三角形相似求出OM的长，即可求出点M的坐标．（3）易证S△PED=S△PF D．从而有S四边形DEPF=2S△PED=DE．由∠DEP=90°得DE2=DP2﹣PE2=DP2﹣．根据“点到直线之间，垂线段最短”可得：当DP⊥AC时，DP最短，此时DE也最短，对应的四边形DEPF的面积最小．借助于三角形相似，即可求出DP⊥AC时DP的值，就可求出四边形DEPF面积的最小值．解答：解：（1）过点P作PH∥OA，交OC于点H，如图1所示．∵PH∥OA，∴△CHP∽△CO A．∴==．∵点P是AC中点，∴CP=C A．∴HP=OA，CH=CO．∵A（3，0）、C（0，4），∴OA=3，OC=4．2 ∴HP=，CH=2．∴OH=2．∵PH∥OA，∠COA=90°，∴∠CHP=∠COA=90°．∴点P的坐标为（，2）．设直线DP的解析式为y=kx+b，∵D（0，﹣5），P（，2）在直线DP上，∴∴∴直线DP的解析式为y=x﹣5．（2）①若△DOM∽△ABC，图2（1）所示，∵△DOM∽△ABC，∴=．∵点B坐标为（3，4），点D的坐标为（0．﹣5），∴BC=3，AB=4，OD=5．∴=．∴OM=．∵点M在x轴的正半轴上，∴点M的坐标为（，0）②若△DOM∽△CBA，如图2（2）所示，∵△DOM∽△CBA，∴=．∵BC=3，AB=4，OD=5，∴=．∵点M在x轴的正半轴上，∴点M的坐标为（，0）．综上所述：若△DOM与△CBA相似，则点M的坐标为（，0）或（，0）．（3）∵OA=3，OC=4，∠AOC=90°，∴AC=5．∴PE=PF=AC=．∵DE、DF都与⊙P相切，∴DE=DF，∠DEP=∠DFP=90°．∴S△PED=S△PF D．∴S四边形DEPF=2S△PED=2×PE•DE=PE•DE=DE．∵∠DEP=90°，∴DE2=DP2﹣PE2．=DP2﹣．根据“点到直线之间，垂线段最短”可得：当DP⊥AC时，DP最短，此时DE取到最小值，四边形DEPF的面积最小．∵DP⊥AC，∴∠DPC=90°．∴∠AOC=∠DP C．∵∠OCA=∠PCD，∠AOC=∠DPC，∴△AOC∽△DP C．∴=．∵AO=3，AC=5，DC=4﹣（﹣5）=9，∴DP=．∴DE2=DP2﹣=（）2﹣=．∴DE=，∴S四边形DEPF=DE=．∴四边形DEPF面积的最小值为．点评：本题考查了相似三角形的判定与性质、用待定系数法求直线的解析式、切线长定理、勾股定理、垂线段最短等知识，考查了分类讨论的思想．将求DE的最小值转化为求DP的最小值是解决第3小题的关键．另外，要注意“△DOM与△ABC相似”与“△DOM∽△ABC“之间的区别．6.（2014年广东汕尾，第20题11分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线，交BC于E．（1）求证：点E是边BC的中点；（2）求证：BC2=BD•BA；（3）当以点O、D、E、C为顶点的四边形是正方形时，求证：△ABC是等腰直角三角形．分析：（1）利用切线的性质及圆周角定理证明；（2）利用相似三角形证明；（3）利用正方形的性质证明．证明：（1）如图，连接O D．∵DE为切线，∴∠EDC+∠ODC=90°；∵∠ACB=90°，∴∠ECD+∠OCD=90°．又∵OD=OC，∴∠ODC=∠OCD，∴∠EDC=∠ECD，∴ED=EC；∵AC为直径，∴∠ADC=90°，∴∠BDE+∠EDC=90°，∠B+∠ECD=90°，∴∠B=∠BDE，∴ED=D B．∴EB=EC，即点E为边BC的中点；（2）∵AC为直径，∴∠ADC=∠ACB=90°，又∵∠B=∠B∴△ABC∽△CDB，∴，∴BC2=BD•BA；（3）当四边形ODEC为正方形时，∠OCD=45°；∵AC为直径，∴∠ADC=90°，∴∠CAD=∠ADC﹣∠OCD=90°﹣45°=45°∴Rt△ABC为等腰直角三角形．点评：本题是几何证明题，综合考查了切线性质、圆周角定理、相似三角形、正方形、等腰直角三角形等知识点．试题着重对基础知识的考查，难度不大．7.（2014•毕节地区，第26题14分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D，连接C D．（1）求证：∠A=∠BCD；（2）若M为线段BC上一点，试问当点M在什么位置时，直线DM与⊙O相切？并说明理由．考点：切线的判定分析：（1）根据圆周角定理可得∠ADC=90°，再根据直角三角形的性质可得∠A+∠DCA=90°，再由∠DCB+∠ACD=90°，可得∠DCB=∠A；（2）当MC=MD时，直线DM与⊙O相切，连接DO，根据等等边对等角可得∠1=∠2，∠4=∠3，再根据∠ACB=90°可得∠1+∠3=90°，进而证得直线DM与⊙O相切．解答：（1）证明：∵AC为直径，∴∠ADC=90°，∴∠A+∠DCA=90°，∵∠ACB=90°，∴∠DCB+∠ACD=90°，∴∠DCB=∠A；（2）当MC=MD（或点M是BC的中点）时，直线DM与⊙O相切；解：连接DO，∵DO=CO，∴∠1=∠2，∵DM=CM，∴∠4=∠3，∵∠2+∠4=90°，∴∠1+∠3=90°，∴直线DM与⊙O相切．点评：此题主要考查了切线的判定，以及圆周角定理，关键是掌握切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．8.（2014•武汉2014•武汉，第22题8分）如图，AB是⊙O的直径，C，P是上两点，AB=13，AC=5．（1）如图（1），若点P是的中点，求PA的长；（2）如图（2），若点P是的中点，求PA的长．考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理分析：（1）根据圆周角的定理，∠APB=90°，p是弧AB的中点，所以三角形APB是等腰三角形，利用勾股定理即可求得．（2）根据垂径定理得出OP垂直平分BC，得出OP∥AC，从而得出△ACB∽△0NP，根据对应边成比例求得ON、AN的长，利用勾股定理求得NP的长，进而求得P A．解答：解：（1）如图（1）所示，连接PB，∵AB是⊙O的直径且P是的中点，∴∠PAB=∠PBA=45°，∠APB=90°，又∵在等腰三角形△ABC中有AB=13，∴PA===．（2）如图（2）所示：连接B C．OP相交于M点，作PN⊥AB于点N，∵P点为弧BC的中点，∴OP⊥BC，∠OMB=90°，。
2019年中考真题 圆的基本性质分类汇编(PDF版含解析)
所以 DAC ACO 60 ， 所以 ACD 90 DAC 30 ，
所以 AC 2AD 2 3 ，
所以△AOC 是等边三角形，
所以 OA AC 2 3 ， AOC 60 ，
所以 AC 的长为 60 2 3 2 3 ．
2
2019 中考试题分类汇编
∴∠ PAB＝∠ PBA＝30°.
∵PF⊥AB ，
∴AF＝ BF＝ 3.
∴PE＝ OF＝ 2.
∵tan30 °＝ PF ,cos30°＝ AF ，
AF
AP
∴PF＝ 3 ,AP＝ 2 3 .
∴OE＝ 3 ,PC＝ 2 3 .
在 RT△PEC 中，CE＝
PC 2 PE2 ＝ 2 2 ，
所以△ADC∽△CED,
所以 BC CE 3 3 AC AD 3
在 Rt△ACB 中， sin BAC BC 3 ， AC
所以 BAC 60 ， 又因为 OA OC ，
所以△AOC 是等边三角形，
所以 ACO 60 ， 因为直线 DE 与 O 相切于点 C， 所以 OC DE ， 因为 A来自 DE ， OC DE ，
D.42°
【答案】C 【解析】∵∠A＝70°,∴∠B+∠C＝110°,∴∠BOE+∠COD＝220°,∴∠DOE＝∠BOE+∠COD－180°＝ 40°,故选 C.
.（2019·潍坊）如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，AB 为直径，AD=CD．过点 D 作 DE⊥AB 于点 E．连
3
接 AC 交 DE 于点 F．若 sin∠CAB= ，DF=5，则 BC 的长为（）
．（2019·陇南）如图，点 A，B，S 在圆上，若弦 AB 的长度等于圆半径的 倍，则∠ASB 的度数是（ ）