组合数学-第十节：递推关系
组合数学例题和知识点总结
组合数学例题和知识点总结组合数学是一门研究离散对象的组合结构及其性质的数学分支。
它在计算机科学、统计学、物理学等领域都有着广泛的应用。
下面我们通过一些例题来深入理解组合数学中的重要知识点。
一、排列组合排列是指从给定的元素集合中取出若干个元素按照一定的顺序进行排列。
组合则是指从给定的元素集合中取出若干个元素组成一组，不考虑其顺序。
例题 1：从 5 个不同的元素中取出 3 个进行排列，有多少种不同的排列方式？解：根据排列的公式，＼（A_{5}＾3 ＝ 5×4×3 ＝ 60\）（种）例题 2：从 5 个不同的元素中取出 3 个进行组合，有多少种不同的组合方式？解：根据组合的公式，＼（C_{5}＾3 ＝＼frac{5×4×3}｛3×2×1} ＝10\）（种）知识点总结：1、排列数公式：＼（A_{n}＾m ＝ n×（n 1)×（n 2)××（n m ＋ 1)＼）2、组合数公式：＼（C_{n}＾m ＝＼frac{n!｝｛m!（n m)！｝＼）二、容斥原理容斥原理用于计算多个集合的并集的元素个数。
例题 3：在一个班级中，有 20 人喜欢数学，15 人喜欢语文，10 人既喜欢数学又喜欢语文，求喜欢数学或语文的人数。
解：设喜欢数学的集合为 A，喜欢语文的集合为 B，则喜欢数学或语文的人数为＼（｜A ∪ B| ＝｜A| ＋｜B| ｜A ∩ B| ＝ 20 ＋ 15 10＝ 25\）（人）知识点总结：容斥原理的一般形式：＼（｜＼cup_{i=1}＾｛n} A_i| ＝＼sum_{i=1}＾｛n} ｜A_i| ＼sum_{1\leq i ＜ j\leq n} ｜A_i ∩ A_j| ＋＼sum_{1\leq i ＜ j ＜ k\leq n} ｜A_i ∩ A_j∩ A_k| ＋（－1)＾｛n 1} ｜A_1 ∩ A_2 ∩ ∩ A_n|＼）三、鸽巢原理鸽巢原理也叫抽屉原理，如果有 n ＋ 1 个物体放入 n 个抽屉中，那么至少有一个抽屉中会放有两个或更多的物体。
递推关系知识点总结
递推关系知识点总结一、递推关系的基本概念1.1 递推关系的定义递推关系是一种反映事物发展变化规律的数学模型。
通常来说，递推关系是指数列的前项与后项之间的关系。
例如，斐波那契数列就是一个经典的递推关系，它的递推式是F(n)=F(n-1)+F(n-2)，其中F(n)表示第n个斐波那契数。
1.2 递推关系的元素递推关系一般包括以下几个元素：- 初始条件：递推关系的第一个数值，通常是已知的特定值。
- 递推公式：描述数列前后项之间关系的公式，用于计算数列后续项的值。
- 递推方程：将递推公式用代数方式表示的方程。
1.3 递推关系的类型根据递推公式的性质和形式，递推关系可以分为线性递推关系、非线性递推关系、齐次递推关系、非齐次递推关系等类型。
不同类型的递推关系有不同的性质和求解方法。
二、递推关系的性质2.1 线性递推关系的性质线性递推关系具有以下性质：- 线性组合性：若数列{an}与{bn}分别满足递推关系an=an-1+an-2和bn=bn-1+bn-2，则任意常数c1和c2的线性组合{c1an+c2bn}也满足递推关系an=an-1+an-2。
- 独立性：若数列{an}和{bn}都满足递推关系an=an-1+an-2，则其线性组合{an+bn}也满足该递推关系。
2.2 齐次递推关系的性质齐次递推关系是指递推关系的递推式中不包含任何常数项或者其他特殊项。
对于齐次递推关系，如果其通解为an=cn1^n+cn2^n2，其中c1和c2是任意常数，n1和n2是特征方程的两个不同实根，那么其特解为包含初始条件的实数数列。
2.3 非齐次递推关系的性质非齐次递推关系是指递推关系的递推式中包含有常数项或者其他特殊项。
对于非齐次递推关系，如果其通解为an=cn1^n+cn2^n2+fn，其中cn1^n+cn2^n2是其对应的齐次递推关系的通解，fn是递推式的非齐次项对应的特解。
三、递推关系的求解方法3.1 通项公式法通项公式法是求解递推关系最直接的方法。
组合数学讲义3章递推关系
组合数学讲义3章递推关系递推关系§3.1 基本概念（一）递推关系定义3.1.1 （隐式）对数列aii 0 和任意自然数n，一个关系到an和某些个ai i n 的方程式，称为递推关系，记作F a0,a1, ,an 0 (3.1.1)__例an an 1 an 2 a0 n 0an 3an 1 2an 2 2a1 1 0定义3.1.1＇（显式）对数列aii 0 ，把an与其之前若干项联系起来的等式对所有n≥k均成立（k为某个给定的自然数），称该等式为ai 的递推关系，记为an F an 1,an 2, ,an k (3.1.1)＇例an 3an 1 2an 2 2a1 1 （二）分类（1）按常量部分：① 齐次递推关系：指常量＝0，如Fn Fn 1 Fn 2；② 非齐次递推关系，即常量≠0，如hn 2hn 1 1。
（2）按ai的运算关系：组合数学讲义① 线性关系，F是关于ai的线性函数，如（1）中的Fn与hn均是如此；② 非线性关系，F是ai的非线性函数，如hn h1hn 1 h2hn2 hn 1h1。
（3）按ai的系数：① 常系数递推关系，如（1）中的Fn与hn；② 变系数递推关系，如pn npn 1，pn 1之前的系数是随着n而变的。
（4）按数列的多少：① 一元递推关系，其中的方程只涉及一个数列，如(3.1.1)和(3.1.1)＇均为一元的；② 多元递推关系，方程中涉及多个数列，如an 7an 1 bn 1bn 7bn 1 an 1（5）显式与隐式：yn 1（三）定解问题xn 1yn h yn 1 2 yn 1定义3.1.2 （定解问题）称含有初始条件的递推关系为定解问题，其一般形式为F a0,a1, ,an 0,(3.1.2)a0 d0,a1 d1, ,ak 1 dk 1所谓解递推关系，就是指根据式(3.1.1)或(3.1.2)求an的与a0、a1、、an－1无关的解析表达式或数列{an}的母函数。
组合排列知识点总结图
组合排列知识点总结图组合和排列是组合数学中的两个基本概念，它们在数学和实际生活中都有着重要的应用。
本文将对组合和排列的基本概念、性质、计算方法和应用进行详细总结。
一、组合的基本概念1.1 定义组合是指从n个元素中任取m个元素的一个过程，即从n个元素中选出m个元素的不同子集的个数，记作C(n,m)。
1.2 性质（1）组合数的对称性: C(n,m)=C(n,n-m)；（2）组合数的递推关系: C(n,m)=C(n-1,m)+C(n-1,m-1)；（3）组合数的定理: C(n,m)=n!/(m!(n-m)!)。
1.3 计算方法（1）排列组合法: 通过从n个元素中选择m个元素，再对选出的元素进行排列，计算出不同子集的个数；（2）递推法: 利用组合数的递推关系计算组合数；（3）公式法: 利用组合数的定理计算组合数。
1.4 应用组合数在概率、统计、密码学、组合优化等领域有着广泛的应用，例如在概率中用于计算事件的发生可能性，在密码学中用于设计密码系统等。
二、排列的基本概念2.1 定义排列是指从n个元素中按照一定的顺序取出m个元素的一个过程，即从n个元素中选出m个元素的不同排列的个数，记作A(n,m)。
2.2 性质（1）排列数的递推关系: A(n,m)=n*A(n-1,m-1)；（2）排列数的定理: A(n,m)=n!/(n-m)!。
2.3 计算方法（1）递推法: 利用排列数的递推关系计算排列数；（2）公式法: 利用排列数的定理计算排列数；（3）循环法: 利用循环的方法计算排列数。
2.4 应用排列数在数学、经济学、计算机科学等领域有着广泛的应用，例如在计算机科学中用于设计算法和数据结构，在经济学中用于研究排列相关的问题等。
三、组合排列的应用3.1 组合排列的求解（1）组合排列的具体问题求解：如从10个不同的元素中取3个元素，求排列数和组合数等；（2）组合排列的问题求解方法: 利用组合数和排列数的定义、性质和计算方法进行具体问题的求解。
数列的递推关系知识点
数列的递推关系知识点数列是指按照一定顺序排列的一系列数值的集合。
在数学中，我们经常会遇到数列，并且常常需要研究数列之间的关系。
递推关系就是描述数列中各项之间的依赖关系，通过递推关系我们可以推导出数列的后续项。
一、定义和表示数列可以用以下形式来表示：{a1, a2, a3, ... , an, ...}，其中a1, a2,a3, ...表示数列的各项，an表示数列中第n项。
我们可以根据数列的递推关系来计算数列的任意一项。
二、常见数列的递推关系下面我们将介绍一些常见数列的递推关系及其特点。
1.等差数列等差数列是指数列中每一项与它的前一项之间的差值是一个常数d （公差）的数列。
等差数列的递推关系可以表示为：an = a1 + (n - 1)d。
其中a1是等差数列的首项，d是公差。
例如，对于等差数列{1, 3, 5, 7, ...}，其首项a1为1，公差d为2，递推关系为an = 1 + (n - 1) * 2。
2.等比数列等比数列是指数列中每一项与它的前一项之间的比值是一个常数q （公比）的数列。
等比数列的递推关系可以表示为：an = a1 * q^(n - 1)。
其中a1是等比数列的首项，q是公比。
例如，对于等比数列{2, 6, 18, 54, ...}，其首项a1为2，公比q为3，递推关系为an = 2 * 3^(n - 1)。
3.斐波那契数列斐波那契数列是指数列中每一项等于前两项之和的数列。
斐波那契数列的递推关系可以表示为：an = an-1 + an-2。
其中a1和a2是斐波那契数列的前两项。
例如，斐波那契数列的前几项为{1, 1, 2, 3, 5, 8, ...}，其递推关系为an = an-1 + an-2。
三、递推关系的应用递推关系在数学中有着广泛的应用，下面我们将介绍一些常见的应用场景。
1.求数列的第n项通过递推关系，我们可以计算数列的任意一项。
以等差数列为例，假设我们想要计算等差数列{3, 5, 7, 9, ...}的第100项。
组合专题组合递推模型成立
组合专题：组合递推模型的成立 梁久阳前言：递推模型是组合数学中一个独特的分支，它让人感觉既漂亮又神奇，将前一项与后一项之间难以言说的关系用一个简单的式子就能够表现出来，能够说是十分奇异。
一．什么是递推递推关系的概念是：给定一个数的序列H(0),H(1),…, H(n),…假设存在正整数n0，使适当n ≥n0时，能够用等号(或小于，大于号)把H(n)和前面某些项H(i)，0≤ i <n ，联系起来，如此的式子叫做递推关系。
递推关系也称递归关系，递归方程。
从本质上讲，递推关系是研究整变量函数的或说是研究数列的，与此对应的是持续论域中的微分方程。
因此，咱们能够类似的方式对它们进行研究。
利用递推关系和初值在某些情形下能够求出序列的通项表示式H(n) 。
可是关于大多数递推关系，目前还解不出H(n)的显式来， 即便如此，关于给定的n 也能够从初值开始，一步一步地计算出H(n)的值或范围，而H(n)一样代表了某个组合计数问题的解，因此递推关系是组合计数的重要工具，同时也是算法分析的重要手腕。
咱们需要研究的，只限于高中讲义和竞赛书上的内容，其他的大学再说。
二．经典例题分析（按类型划分）（1）a n =p ·a n －1+q 型【例1】某种电路开关闭合后，会显现红灯或绿灯闪动，已知开关第一次闭合后，显现红灯和绿灯的概率都是12，从开关第二次闭合起，假设前次显现红灯的概率是13，显现绿灯的概率是23；假设前次显现绿灯，那么下次显现红灯的概率是35，显现绿灯的概率是25，记开关第n 次闭合后显现红灯的概率为P n .(1)求：P 2；(2)求证：P n <12(n ≥2)；(3)求lim n n P .解：(1)第二次闭合后显现红灯的概率P 2的大小决定于两个互斥事件：即第一次红灯后第二次又是红灯；第一次绿灯后第二次才是红灯.于是P 2=P 1·13+(1－P 1)·35=715.(2)受(1)的启发，研究开关第N 次闭合后显现红灯的概率P n ，要考虑第n －1次闭合后显现绿灯的情形，有P n =P n －1·13+(1－P n －1)·35=－415P n －1+35，再利用待定系数法：令P n +x =－415(P n －1+x )整理可得x =－919∴{P n －919}为首项为(P 1－919)、公比为(－415)的等比数列 P n －919=(P 1－919)(－415)n －1=138(－415)n －1，P n =919+138(－415)n －1∴当n ≥2时，P n <919+138=12(3)由(2)得lim n n P=919. 【例2】A 、B 两人拿两颗骰子做抛掷游戏，规那么如下:假设掷出的点数之和为3的倍数时，那么由原掷骰子的人继续掷；假设掷出的点数不是3的倍数时，由对方接着掷.第一次由A 开始掷.设第n 次由A 掷的概率为P n ，(1)求P n ；⑵求前4次抛掷中甲恰好掷3次的概率.解：第n 次由A 掷有两种情形：① 第n －1次由A 掷，第n 次继续由A 掷，现在概率为1236P n －1；② 第n －1次由B 掷，第n 次由A 掷，现在概率为(1－1236)(1－P n －1).∵两种情形是互斥的∴P n =1236P n －1+(1－1236)(1－P n －1)(n ≥2)，即P n =－13P n －1+23(n ≥2)∴P n －12=－13(P n －1－12)，(n ≥2)，又P 1=1∴{P n －12}是以12为首项，－13为公比的等比数列.∴P n －12=12(－13)n －1，即P n =12+12(－13)n －1.⑵2881. （2）a n +1=p ·a n +f (n )型【例3】(传球问题)A 、B 、C 、D 4人相互传球，由A 开始发球，并作为第一次传球，通过5次传球后，球仍回到A 手中，那么不同的传球方式有多少种？假设有n 个人彼此传球k 次后又回到发球人A 手中的不同传球方式有多少种？分析：这种问题人数、次数较少时经常使用树形图法求解，直观形象，但假设人数、次数较多时树形图法那么力不从心，而成立递推数列模型那么可深切问题本质.解：4人传球时，传球k 次共有3k种传法.设第k 次将球传给A 的方式数共有a k (k ∈N *)种传法，那么不传给A 的有3k－a k 种，故a 1=0，且不传给A 的下次都可传给A ，即a k +1=3k －a k 。
递推法知识点总结
递推法知识点总结递推法是数学中一个重要的工具，它在证明定理、解决问题和计算数值等方面都有广泛的应用。
递推法的基本思想是通过建立递推关系来求解问题，利用已知的前一项或前几项推导出后一项，是一种逐步推进的方法。
本文将介绍递推法的基本概念、应用场景和解决问题的方法，并总结了一些常见的递推法知识点。
一、基本概念递推法的基本概念包括递推关系、初始条件和递推式等。
1. 递推关系递推关系是指数列或函数中相邻项之间的关系，它描述了数列或函数中每一项与前一项之间的联系。
一般来说，递推关系可以用递推式来表示，是解决问题的基础。
2. 初始条件初始条件是指递推关系中的起始条件，也就是递推序列或函数中的第一项或前几项的值。
在解决递推问题时，初始条件的确定是非常重要的，它可以唯一确定递推序列或函数。
3. 递推式递推式是递推关系的具体表示，通过递推式可以确定数列或函数中每一项的值。
递推式通常是由递推关系和初始条件联合确定的，它可以用于求解递推序列或函数的任意项。
二、应用场景递推法在数学中有着广泛的应用，它可以用于解决各种不定式、等差数列、等比数列、斐波那契数列、组合数学、数值计算等问题。
1. 不定式在解决不定式问题时，递推法通常可以用来寻找递推关系和递推式，通过递推关系和初始条件可以求解不定式的解集。
2. 等差数列和等比数列递推法是求解等差数列和等比数列的常用方法，通过建立递推关系和初始条件可以确定数列中的每一项的值，从而求解数列的和、通项公式等。
3. 斐波那契数列递推法是求解斐波那契数列的重要方法，通过递推关系和初始条件可以确定斐波那契数列中每一项的值，从而求解斐波那契数列的性质和特点。
4. 组合数学在组合数学中，递推法常常用于求解排列组合、图论、概率论等问题，通过递推关系和初始条件可以确定组合数学中的各种组合数量、排列数量等。
5. 数值计算递推法在数值计算中也有着广泛的应用，通过递推关系和初始条件可以确定数值序列或函数中每一项的值，从而实现对数值问题的求解。
组合数学知识点总结
组合数学知识点总结组合数学是一门研究离散对象的计数、排列、组合和优化等问题的数学分支。
它在计算机科学、统计学、物理学、化学等众多领域都有着广泛的应用。
下面我们来详细总结一下组合数学的一些重要知识点。
一、基本计数原理1、加法原理如果完成一件事情有 n 类办法，在第一类办法中有 m1 种不同的方法，在第二类办法中有 m2 种不同的方法，……，在第 n 类办法中有mn 种不同的方法，那么完成这件事情共有 N ＝ m1 ＋ m2 ＋… ＋ mn种不同的方法。
2、乘法原理如果完成一件事情需要 n 个步骤，做第一步有 m1 种不同的方法，做第二步有 m2 种不同的方法，……，做第 n 步有 mn 种不同的方法，那么完成这件事情共有 N ＝m1 × m2 × … × mn 种不同的方法。
这两个原理是组合数学中最基本的原理，许多计数问题都可以通过这两个原理来解决。
二、排列与组合1、排列从 n 个不同元素中取出 m（m ≤ n）个元素的排列数，记为 A(n, m)，其计算公式为：A(n, m) ＝ n! ／（n m)！例如，从 5 个不同的元素中取出 3 个元素进行排列，排列数为 A(5, 3) ＝ 5! ／（5 3)！＝ 602、组合从 n 个不同元素中取出 m（m ≤ n）个元素的组合数，记为 C(n, m)，其计算公式为：C(n, m) ＝ n! ／ m! （n m)！例如，从 5 个不同的元素中取出 3 个元素的组合数为 C(5, 3) ＝ 5!／ 3! （5 3)！＝ 10组合与排列的区别在于，排列考虑元素的顺序，而组合不考虑元素的顺序。
三、容斥原理容斥原理用于计算多个集合的并集中元素的个数。
设A1, A2, …， An 是有限集合，其元素个数分别为｜A1|，｜A2|，…，｜An|，则它们的并集的元素个数为：｜A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An| ＝∑｜Ai| ∑｜Ai ∩ Aj| ＋∑｜Ai ∩ Aj ∩Ak| … ＋（－1)＾（n 1) ｜A1 ∩ A2 ∩ … ∩ An|容斥原理在解决包含与排除问题时非常有用。
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解该递推关系的特征方程为
其特征根为
由定理4.2.2，对应于 的解为
对应于 的解为
因此，递推关系的通解为
代入初始值，得到方程组
解这个方程组，得
所以，原递推关系的解为
4.3常系数线性非齐次递推关系的求解
k阶常系数线性齐次递推关系的一般形式为
（4.3.1）
其中， 为常数， 。递推关系（4.3.1）对应的齐次递推关系为
解记 为n个圆盘从A柱搬到C柱所需的最小次数。整个搬动过程可以分成三个阶段：
（1）将套在A柱上面的 个圆盘从A柱按要求搬到B柱，搬动次数为 ；
（2）把A柱上最下面的那个圆盘搬到C柱上，搬动次数为1；
（3）把B柱上的 个圆盘按要求搬到C柱上，搬动次数为 。
由加法原则知
又显然 ，所以有如下带有初值的递推关系：
设递推关系
的特征方程为
令
如果 是 的二重根，则q也是 的二重根，那么q也是 的根。其中 是 的微商，即
因此，q是 的根。而
代入 ，得
这说明 是原递推关系的解。
类似地可以证明，如果 是 的三重根，那么q就是 的二重根，即q是 和 的根，从而证明 也是原递推关系的解。
一般地，可以证明以下的结论：如果q是 的e重根，则 都是原递推关系的解。
定理4.2.2设 是递推关系（4.2.2）的全部不同的特征根，其重数分别为 ，那么递推关系（4.2.2）的通解为
其中
证明由前面的讨论知
是递推关系（4.2.2）的解。再由初值 ，得到关于 的联立方程组，其系数行列式的值（证明略）为
故可由初值唯一地确定 ，这说明递推关系（4.2.2）的任意解均可写成
的形式，其中， 如前所示。
又由 可求得 ，故
例3求解递推关系
解由于2是特征方程的二重根，所以该递推关系的特解为
将它代入递推关系，并比较等号两边n的系数及常数项，得到
解得
而相应齐次递推关系的通解为 ，从而非齐次递推关系的通解为
再由初值 ，求得 。于是
例4求解Hanoi塔问题满足的递推关系
解相应的特征方程为 ，故齐次解为 。设非齐次特解为b，代入原递推关系，得
比较等式两边 的系数，得
从而
而相应齐次推递关系的通解为 ，由定理4.3.1知，非齐次递推关系的通解为
由初值 ，得
从而
故
例2求和 。
解令
它满足递推关系
因为1是特征方程的一重根，所以该递推关系的特解为
将其代入递推关系，并比较等号两边 的系数，得到
解得
即非齐次特解为
而相应齐次递推关系的通解为
由定理4.3.1知，非齐次通解为
第4章 递推关系
递推关系几乎在所有的数学分支中都有重要作用，对于组合数学更是如此，这是因为每个组合问题都有它的组合结构，而在许多情况下递推关系是刻画组合结构的最合适的工具。如何建立递推关系，已给的递推关系有何性质，以及如何求解递推关系等，是递推关系中的几个基本问题。
本章首先讨论递推关系的建立问题，然后对一些常见的递推关系作比较深入的讨论，并给出其解法。
定义4.1.1给定一个数的序列 ，若存在整数 ，使当 时，可以用等号（或大于号，小于号）将 与其前面的某些项 联系起来，这样的式子就叫做递推关系。
下面通过几个例子来看看如何建立递推关系，至于递推关系的求解，将在后面的几节中讨论。
例1（Hanoi塔问题）现有A，B，C三根立柱以及n个大小不等的中空圆盘，这些圆盘自小到大套在A柱上形成塔形，如图4.1.1所示。要把n个从A柱上搬到C柱上，并保持原来的顺序不变，要求每次只能从一根立柱上拿下一个圆盘放在另一根立柱上，且不允许大盘压在小盘上。问至少要搬多少次？
所以特解为 。根据前面的分析，可知该递推关系的通解为
代入初值 ，得 。所以
4.4用迭代归纳法求解递推关系
迭代归纳法也是求解递推关系的一种方法，尤其对于某些非线性的递推关系，不存在求解的公式，不妨用这种方法来试一试。下面通过几个例子来说明。
例1求解递推关系
解先用迭代法解该递推关系，得
能否找到 的一个简单表达式呢？为此，我们考察该数列的前5项，得
（4.3.2）
定理4.3.1 k阶常系数线性非齐次递推关系（4.3.1）的通解是递推关系（4.3.1）的特解加上其相应的齐次递推关系（4.3.2）的通解。
证明设 是递推关系（4.3.1）的特解， 是递推关系（4.3.2）的通解，则
所以， 是递推关系（4.3.1）的解。
反之，任给递推关系（4.3.1）的一个解 ，与上类似，可以证明 是递推关系（4.3.2）的解，从而 可以表示成 与递推关系（4.3.2）的解之和。
解将所有满足要求的着色方案分成两类 ：
（i） 与 同色。此时， 有 种着色方案。可将 与 看成相邻区域， 的着色方案数为 。故此类着色方案数为 。
（ii） 与 异色。此时， 有 种着色方案。又 用k种颜色着色的方案数为 ，故此类着色方案数为 。
而容易求得 从而有
例5设X是一具有乘法运算的代数系统，乘法不满足结合律，用 表示 对 之积。如果
解先求这个递推关系的通解。它的特征方程为
解这个方程，得
所以，通解为
代入初值来确定 和 ，得
求解这个方程组，得
因此，所求的字符串个数为
例2核反应堆中有 和 两种粒子，每秒钟内一个 粒子可反应产生三个 粒子，而一个 粒子又可反应产生一个 粒子和两个 粒子，而一个 粒子又可反应产生一个 粒子和两个 粒子。若在时刻 时反应堆中只有一个 粒子，问 秒时反应堆中将有多少个 粒子？多少个 粒子？共有多少个粒子？
当 或 时，通常简记为
在前一个括号中有 种加括号的方法，在后一个括号中又有 种加括号的方法，当 遍1，2，……， 时，就得到
初始值为
4.2常系数线性齐次递推关系的求解
定义4.2.1设k是给定的正整数，若数列 的相邻 项间满足关系
（4.2.1）
对 成立，其中 ，则称该关系为 的k阶线性递推关系。如果 都是常数，则称之为k阶常系数线性递推关系。如果 ，则称之为齐次的。
如图4.1.2所示，前两类字符串分别有 个，后两类字符串分别有 个。容易求出 ，从而得到
例3考虑0，1字符串中“010”子串的相继出现问题。例如，在110101010101中，我们说“010”在第5位和第9位出现，而不是在第7位和第11位出现，在整个字符串中“010”共出现两次。计算n位0，1字符串中“010”子串在第n位出现的字符串有多少？
也是递推关系（4.2.2）的解。
定义4.2.3如果对于递推关系（4.2.2）的每个解 ，都可以选择一组常数 ，使得
成立，则称 是递推关系（4.2.2）的通解，其中， 为任意常数。
定理4.2.1设 是递推关系（4.2.2）的k个互不相等的特征根，则
是递推关系（4.2.2）的通解。
证明由前面的分析可知 是递推关系（4.2.2）的解。设 是这个递推关系的任意一个解，则 由k个初值 唯一地确定，所以有
（4.4.1）
解由递推关系（4.4.1）可以到
将上式乘以 后再与（4.4.1）式相加，得
（4.4.2）
如此我们得到了二阶齐次递推关系（4.4.2），它需要两个初值才能确定解。将 代入递推关系（4.4.1），得
所以有
它的特征方程为
解得两个特征根为
于是，通解为
由初值 ，求得 。故
（2）将变系数的一阶线性递推关系化为常系数线性递推关系。
证明设 是递推关系（4.2.2）的解，即
因为 ，所以
即q是递推关系（4.2.2）的特征根。反之亦然。
引理4.2.2如果 都是递推关系（4.2.2）的解， 是常数，则 也是递推关系（4.2.2）的解。
证明因为 都是递推关系（4.2.2）的解，所以
从而 也是递推关系（4.2.2）的解。
由引理4.2.1和引理4.2.2知，若 是递推关系（4.2.2）的特征根， 是常数，那么
例3求解递推关系
解令
代入上述递推关系并化简，即得到关于 的递推关系
解得
从而
一般地，若
则有
它把变系数化为常系数。
（3）将一阶高次递推关系通过变量代换化为一阶线性递推关系。
例4求解递推关系
（4.4.3）
解对递推关系（4.4.3）两边取对数，得
令 ，得
解得
从而
最后，作为一个应用，我们来讨论快速排序算法的平均复杂度。关于快速排序算法在最佳情况下和最坏情况下的复杂度，一般的《数据结构》教材中都有讨论，请参阅有关内容。
例3求解递推关系
（4.2.8）
解递推关系（4.2.8）的特征方程为
其特征根为
由定理4.2.1，可知 是递推关系（4.2.8）的解（不考虑初值）。我们不妨试试 ，把它代入（4.2.8）式，得
这说明 也是递推关系（4.2.8）的解。易知 与 线性无关，所以原递推关系的通解为
代入初值 ，得
所以，原递推关系的解为
例2在信道上传输由 三个字母组成的长为n的字符串，若字符串中有两个 连续出现，则信道就不能传输。令 表示信道可以传输的长为n的字符串的个数，求 满足的递推关系。
解信道上能够传输的长度为 的字符串可分成如下四类：
（1）最左字符为b；（2）最左字符为c；
（3）最左两个字符为ab；（4）最左两个字符为ac。
4.1递推关系的建立
在3.3节中讨论集合 的错排数 时，我们建立了关于 的递推关系
（4.1.1）
并由此推出了
（4.1.2）
等式（4.1.1）和等式（4.1.2）都是递推关系的例子，等式（4.1.1）给出了n元错排数 同 元错排数及 元错排数 之间的关系，这样，由初值 和 就可以计算出 ，由 和 又可以计算出 ，如此可以逐次计算出错排数序列 。而等式（4.1.2）给出了n元错排数 同 元错数 之间的关系，这样由初始值 就唯一地确定了错排数序列。