第九章膨胀波和激波

V 2 Ma2 a2 Ma2 RT
用总温代替静温
RTt Ma 2 V 1
2
1
2
Ma 2
dV 1 dMa V 1 1 Ma 2 Ma 2 代入普朗特－迈耶流控制 方程
Ma 2 1 dMa d 1 2 Ma 1 Ma 2
积分
对数微分 等熵流Tt=Const
• 如果超声速流在光滑无摩擦表面上遇到一个有限大小的尖 凸角，则同样可以将其看成连续的无限多个微小尖凸角， 每一个微小尖凸角产生一道膨胀波； • 由于所有膨胀波都是从同一个尖凸角发出的，所以无限多 道膨胀波形成一个扇形区，称为膨胀波扇。
9.1.5 膨胀波流动特点
• 气流每经过一道膨胀波，发生一次微小膨胀 p ↓ dp ， T ↓dT ， ρ↓dρ ， v↑dv ， Ma↑dMa • 气流经过膨胀波扇时，流动参数发生连续变化，压强、温 度和密度连续下降，速度和马赫数连续增加。在无黏性和 没有热交换时，这种膨胀是等熵的，沿每一道马赫波气流 参数不变，均匀来流条件下马赫波都是直线； • 由于膨胀波后Ma增大，马赫角变小，所以膨胀波相互之间 是发散的，不会相交到一起；
9.2.2 激波的产生
• 当超声速气体流过凹面时，可把凹面看成无限多个微小尖凹 角，每个凹角都产生一道微弱压缩波，这种波是马赫波。气 流经过每一道微弱压缩波，流动参数发生一个微小变化 p ↑dp ， T ↑dT ， ρ ↑dρ ， v↓dv ， Ma ↓ dMa 由于Ma↓→马赫角α ↑，所以随着压缩波的延伸，它们逐渐汇 聚，这与膨胀波的发散截然不同； 当所有压缩波汇聚到一起时， 便叠加成激波。
激波的产生
激波的产生
• 爆炸产生的球形激波，又称为冲击波或爆轰波。
汽车爆炸
激波的产生
在等截面直管中，由活塞的加速可以产生激波： 活塞一次次连续微小加速所产生的微弱压缩波，叠加后 产生激波； 活塞突然加速到有限速度，则立刻产生激波。
9.2.3 激波的分类
• 相对于来流方向 正激波——波前垂直于流动方向； 斜激波——波前与流动方向的夹角小于90°； • 相对于物体位置 附体激波——激波附着在超声速运动的物体上； 脱体激波——离开物体一段距离，不能附着在物体上。又称 为弓形激波； • 相对于观察者 静止激波； 运动激波。
9.2 激波
9.2.1 激波的性质
• 激波是超声速气流中出现的流动参数的强间断面。超声速 气流穿过激波时，速度突跃下降，压强、密度、温度突跃 上升。 • 所有激波都是压缩波，对流体产生压缩作用； • 由于激波是瞬态压缩，因而不可能是可逆过程。压缩流体 所需能量来自激波上游流体的动能，波后流体动能要比同 样压比的等熵压缩时小，额外损失的动能转化为热能，使 温度超过等熵压缩时的值。所以，波后熵增大，作功能力 降低； • 激波非常薄，只有几个分子自由程的厚度，内部变化非常 复杂。在数学上，假设激波是无限薄的几何面，称为间断 面，即流动参数在激波处发生间断。本课程只研究激波前 后参数变化，不涉及激波内部的变化过程。
激波的产生
• 以超声速飞行的飞行器对空气产生强烈压缩，形成激波。
附体斜激波 Ma1>1 ε 流线 脱体斜激波 Ma1>1 Ma<1 Ma=1 Ma>1

近似正激波 （a）附体斜激波

近似斜激波 （b）脱体斜激波
若飞行器头部是二维楔形，则产生附体或脱体的斜激波； 若飞行器头部是旋成体，则产生附体或脱体的锥形激波。
联立
沿马赫线切向应用动量方程，可得： 展开并忽略高阶项
dVT 0
V cos V dV cos d
cos d cos cos d sin sin d cos d 1 , sin d d
dV tan d V
(a)运动正激波
p1 p2
v1=vs
v1
p1
非 定 常 流 动
2 T2
p
1
T1
vs
2 T2
v2
1 T1
p
(c)静止的正激波
v
x
x
v
定 常 流 动
x (b)压强和速度分布
x (d)压强和速度分布
采用相对坐标系，使激波静止下来，流动变成定常流动；
激波使流动参数间断，即参数不连续，因此不能用微分方法 推导控制方程组； 取图示控制体， 1 2 控制体 应用连续方程和动量方程
9.2.4 激波的传播速度
• 激波相对于波前流动永远是超声速的； 以等截面直管中活塞加速产生 的激波为例，推导激波传播速 度； 基本假设： ①初始时管中充满静止气体； ②一维流动，激波垂直于流线， 即正激波； ③流动绝热、无外功，忽略摩擦 和质量力；
流动模型
p2
v2=vs-v2R
v2R vs v1R=0
1 2
2 1
1 1 1 1 2 1 2 2 tan Ma 1 tan Ma 1 tan 1 Ma2 1 tan 1 Ma12 1 2 1 1 1 1
讨论
• 亚声速飞机的头部是圆的，而超声速飞机 的头部多是尖的，试分析其原因？ • 答：降低激波阻力。
讨论
• 飞机在湿度大的空气中接近声速飞行时，会出现“ 凝结云”，试分析其原因。 • 答：跨音速飞行常常伴随的一个效应称为普朗特-格 劳厄脱凝结云（Prandtl-Glauert condensation clouds ），表现为以飞机为中心轴、从机翼前段开始向四 周均匀扩散的圆锥状云团。这是由于气流经机翼的 膨胀后导致了温度降低，引起水蒸气凝结导致的。 这个低温带会随着离机身的距离增加而迅速消失。 此外，普朗特-格劳厄脱凝结云并非只能在跨音速飞 行中看到，与激波也没有必然的联系。在合适的条 件下，尚未接近音速的飞机也能在自己周围产生普 朗特-格劳厄脱凝结云。详细内容可参考网址： /web/20041216141404/www.flu /tutorials/sonic/prandtl-glauert-clouds.htm 。
无摩擦表面
赫角一样是超声速流的特
征参数。
初始声速流Ma0=1膨胀到马赫数Ma
9.1.8 普朗特—迈耶流动的计算
利用普朗特－迈耶角可以方便地进行膨胀流动的计算。
设初始流动马赫数为Ma1，与其对应的普朗特－迈耶角为 1 ； 膨胀后流动马赫数为Ma2，与其对应的普朗特－迈耶角为 2 ； 则流动偏转角δ为：
v2
初始超声速流的膨胀 对逆时针偏转，只需改变流动偏转角符号。综合两种情况
1 1 1 tan Ma2 1 tan 1 Ma 2 1 1 1
“＋”逆时针偏转 “－”顺时针偏转
9.1.9 普朗特—迈耶角的最大值
马赫数↑→普朗特－迈耶角↑ 当Ma→∞，即从初始声速流绕尖凸角膨胀到马赫数无穷大时，普朗特－ 迈耶角达到其最大值
工程流体力学基础
第九章 膨胀波和激波
膨胀波 激波 正激波前后的参数关系 斜激波 激波的反射与相交 拉瓦尔喷管内的正激波
• 超声速流与亚声速流有很大不同。超声速流中通常 会出现膨胀波和激波，这是超声速流的基本特征； • 膨胀波——使流体发生膨胀，即通过膨胀波后，流 体的压强、温度和密度均降低，流速增大； • 激波——使气体流动状态突然改变，只出现在超声 速流动中，或者说激波相对于其上游流体的速度永 远是超声速的。穿过激波后产生很大的压强突升， 密度和温度等参数也发生突变。 • 流动状态的突变：速度的大小和/或方向发生突变。
A2 A 1 =A 2 n2 n1 p1
连续方程
A1vs A2 vs v2 R
v1 v2
p2
2
v2
1
v1
动量方程
A p1 p2 A1vs vs v2 R vs
2 x
1
解得：
激波传播速度
vs
1 1 1 2
p1

p2 1 p1
越大激波越强，激波传播 速度越大； 激波无限微弱时： p2/p1→1，ρ2/ρ1→1
－称为普朗特－迈耶角。
物理意义：初始为声速的
C
流动膨胀到马赫数Ma时所
必须偏转的角度，如右图 所示。
马赫线 (均匀流)
Ma*=1
膨胀扇形区
1=90°
D 马赫线 <90° O δ= Ma> 1 p< p* B
任何流动都可以假想是由
声速流经过偏转而来的， 所以普朗特－迈耶角与马
A
δ*=0 p= p *
9.1 膨胀波
9.1.1 微弱扰动
• 第六章推导的声速是微弱压强扰动以波的形式传播的速度 →微弱扰动波→使流动参数发生微小变化； • 在超声速流动中，微弱扰动被限制在马赫锥之内→微弱扰 动传播范围有限，不能传遍整个流场，特别是不能向上游 传播→ 超声速流与亚声速流的重要区别； • 马赫锥锥面称为马赫波，二维时是马赫线，流速在马赫波 垂直方向上的分速度是声速c； • 马赫锥半角称为马赫角
1 1 1 tan Ma12 1 tan 1 Ma12 1 1 1 1 1 1 2 2 tan Ma2 1 tan 1 Ma2 1 1 1


以上求解过程相当于下图所示的膨胀流动。
A区 B区 C区 Ma1>1 v1 δ=v2- v1 Ma1>1
• 这种波称为普朗特—迈耶波，它是马赫线或叫马赫波。
9.1.3 微小凸角和凸面上的膨胀波
• 如果超声速流在光滑无摩擦表面上遇到多个微小的尖凸角， 则每一个微小尖凸角都会产生膨胀波； • 对于光滑凸面，可以将其看成连续的多个微小尖凸角，于 是每一个微小尖凸角产生一道膨胀波；
9.1.4 有限大小凸角上的膨胀波