第四章 膨胀波与激波(4次)
合集下载
燃烧学—第4章3
20
爆轰极限（体积％）
中国矿业大学能源学院安全与消防工程系
《燃烧学》--第四章
燃料空气弹
据报载，美国在对阿富汗的军事行动中使用了一种称为燃料空气 弹(fuel air explosive projectile，FAE)的新式武器，当被投掷或发 射到目标上空时，液体燃料连同雷管、定时器一起撒到地面，燃 料很快汽化成雾状，散布在空气中，经过预定的延迟时间，由雷 管引爆，产生威力强大的爆炸。燃料空气弹内装的炸药是容易汽 化的液态碳氢化合物，如环氧乙烷、环氧丙烷、甲基乙炔和丙二 烯等，本身不含氧或只含很少的氧，必须与空气混合才会爆炸。 由于它爆炸时几乎把附近空气中的氧消耗殆尽，在这个范围的人 即便不被炸死，也会因缺氧而窒息死，所以燃料空气弹又称窒息 弹。燃料空气弹爆炸时会产生2500℃左右的高温火球，并形成强 大的冲击波和热气浪，炸点附近的冲击波传播速度可达2200m/s， 超压达5~20MPa)。燃料空气弹的破坏威力较大，可使暴露的士 兵失去作战能力，使电子设备受到破坏，可大面积杀伤人员和摧 毁无防护的武器，如地面的和躲在普通工事或民房内的人员，停 机坪上的飞机，暴露的导弹、雷达和电台天线等。
dx V激 dt
2-2’ 截面间的距离为 质量守恒
2
2′
1
dx气＝Vdt
2
2′
1
1 Adx 2 Adx dx气
V激＝
dx气
2 2 1V源自dx中国矿业大学能源学院安全与消防工程系
12
1-2截面间气体的动量变化： 在激波通过前，气体的速度为0； 激波通过后，气体的速度由0增加到ΔV，所以1-2截面间在dt时间内的动 量变化为ρ1AdxΔV。 作用于这部分气体上的冲量为（p2-p1）Adt。 动量守恒定律
爆轰极限（体积％）
中国矿业大学能源学院安全与消防工程系
《燃烧学》--第四章
燃料空气弹
据报载，美国在对阿富汗的军事行动中使用了一种称为燃料空气 弹(fuel air explosive projectile，FAE)的新式武器，当被投掷或发 射到目标上空时，液体燃料连同雷管、定时器一起撒到地面，燃 料很快汽化成雾状，散布在空气中，经过预定的延迟时间，由雷 管引爆，产生威力强大的爆炸。燃料空气弹内装的炸药是容易汽 化的液态碳氢化合物，如环氧乙烷、环氧丙烷、甲基乙炔和丙二 烯等，本身不含氧或只含很少的氧，必须与空气混合才会爆炸。 由于它爆炸时几乎把附近空气中的氧消耗殆尽，在这个范围的人 即便不被炸死，也会因缺氧而窒息死，所以燃料空气弹又称窒息 弹。燃料空气弹爆炸时会产生2500℃左右的高温火球，并形成强 大的冲击波和热气浪，炸点附近的冲击波传播速度可达2200m/s， 超压达5~20MPa)。燃料空气弹的破坏威力较大，可使暴露的士 兵失去作战能力，使电子设备受到破坏，可大面积杀伤人员和摧 毁无防护的武器，如地面的和躲在普通工事或民房内的人员，停 机坪上的飞机，暴露的导弹、雷达和电台天线等。
dx V激 dt
2-2’ 截面间的距离为 质量守恒
2
2′
1
dx气＝Vdt
2
2′
1
1 Adx 2 Adx dx气
V激＝
dx气
2 2 1V源自dx中国矿业大学能源学院安全与消防工程系
12
1-2截面间气体的动量变化： 在激波通过前，气体的速度为0； 激波通过后，气体的速度由0增加到ΔV，所以1-2截面间在dt时间内的动 量变化为ρ1AdxΔV。 作用于这部分气体上的冲量为（p2-p1）Adt。 动量守恒定律
《膨胀波与激波》课件
数学模型
膨胀波的数学模型通常使用偏微分方程来描述，这些方程描述了流体的 压力、密度、速度等物理量的变化规律。
激波的理论模型
概述
激波是另一种物理现象，通常出现在流体动力学中。它描述了流体在某个区域内的压力和 密度突然跃升的过程。
形成机制
激波的形成与流体的压缩性和速度变化有关。当流体的速度增加时，流体的压力和密度会 相应地减小。当流体的速度减小时，流体的压力和密度会相应地增加。
膨胀波的形成
当流体流经一个障碍物时 ，流速减缓，压力升高， 形成一个压力波向下游传 播。
膨胀波的特点
压力波向下游传播，流速 逐点
当流体流速增加到超过声速时，会产 生一个突然的、强烈的压力和速度的 跳跃，形成一个向前传播的冲击波。
冲击波向前传播，流体压力和速度发 生突然变化。
膨胀波与激波的不同之处
膨胀波是压力波，流速逐渐恢复；激波是冲 击波，流速和压力发生突然变化。
02
膨胀波与激波的形成机制
膨胀波的形成过程
总结词
描述膨胀波的形成过程
详细描述
当气体在高压下迅速扩张时，会形成膨胀波。在形成过程中，气体的压力和密 度迅速降低，而速度增加。这种波在传播过程中会对周围气体产生压缩效应， 使气体温度升高。
在某些条件下，膨胀波和激波可以相互转化。当膨胀波传播到障碍物时，可能会转化为激波；反之，当激波遇到 合适的条件时，也可能转化为膨胀波。这种相互转化过程取决于多种因素，如气体的性质、障碍物的形状和位置 等。
03
膨胀波与激波的应用
膨胀波在燃烧学中的应用
燃烧学中，膨胀波的应用主要在于提高燃烧效率和控制污染物排放。通过利用膨胀波的特性，可以促进燃料与 空气的混合，提高燃烧速度，降低不完全燃烧的可能性，从而减少有害物质的产生。
膨胀波的数学模型通常使用偏微分方程来描述，这些方程描述了流体的 压力、密度、速度等物理量的变化规律。
激波的理论模型
概述
激波是另一种物理现象，通常出现在流体动力学中。它描述了流体在某个区域内的压力和 密度突然跃升的过程。
形成机制
激波的形成与流体的压缩性和速度变化有关。当流体的速度增加时，流体的压力和密度会 相应地减小。当流体的速度减小时，流体的压力和密度会相应地增加。
膨胀波的形成
当流体流经一个障碍物时 ，流速减缓，压力升高， 形成一个压力波向下游传 播。
膨胀波的特点
压力波向下游传播，流速 逐点
当流体流速增加到超过声速时，会产 生一个突然的、强烈的压力和速度的 跳跃，形成一个向前传播的冲击波。
冲击波向前传播，流体压力和速度发 生突然变化。
膨胀波与激波的不同之处
膨胀波是压力波，流速逐渐恢复；激波是冲 击波，流速和压力发生突然变化。
02
膨胀波与激波的形成机制
膨胀波的形成过程
总结词
描述膨胀波的形成过程
详细描述
当气体在高压下迅速扩张时，会形成膨胀波。在形成过程中，气体的压力和密 度迅速降低，而速度增加。这种波在传播过程中会对周围气体产生压缩效应， 使气体温度升高。
在某些条件下，膨胀波和激波可以相互转化。当膨胀波传播到障碍物时，可能会转化为激波；反之，当激波遇到 合适的条件时，也可能转化为膨胀波。这种相互转化过程取决于多种因素，如气体的性质、障碍物的形状和位置 等。
03
膨胀波与激波的应用
膨胀波在燃烧学中的应用
燃烧学中，膨胀波的应用主要在于提高燃烧效率和控制污染物排放。通过利用膨胀波的特性，可以促进燃料与 空气的混合，提高燃烧速度，降低不完全燃烧的可能性，从而减少有害物质的产生。
第四章膨胀波与激波1
arcsin 1 π <β < M 2
基本方程式
连续方程： ρ1V1n = ρ 2V2 n 动量方程：
( ρ1V1n )V1t = ( ρ 2V2 n )V2 t
p1 − p2 = ρ 2V22n − ρ1V12 n
能量方程： V12 V22n n c p T1 + = c p T2 + 2 2 经过斜激波，气流平行于波面 的速度分量不变，而法向速度 分量减小，气流向着波面转折 激波前后参数关系用图
波阻分析
经过斜激波气流的转折角
V1t = V2 t
V2 n tg ( β − δ ) ρ1 = = V1n tg β ρ2
M 12 sin 2 β − 1 tgδ = k +1 − sin 2 β ) + 1]tgβ [ M 12 ( 2
tgβ − tgδ tg ( β − δ ) = 1 + tgβtgδ
A = OD sin μ A + dA = OD sin( μ − dθ )
各压缩波的波角是逐渐加大； M1 > M 2 > M 3 >
μ1 < μ 2 < μ 3 <
各压缩波将会相交； 在压缩波未相交之前，气流穿过弱 压缩波系的流动为等熵压缩过程； 激波：熵增加 应用：扩压进气道内壁；压气机超 音速级的叶栅剖面
激波前后的密度比、压强比、温度比的关系式
ρ2 (k + 1) M 12 sin 2 β = ρ1 2 + (k − 1) M 12 sin 2 β
T2 = T1 (1 +
p2 k −1 2k = M 12 sin 2 β − k +1 p1 k + 1
基本方程式
连续方程： ρ1V1n = ρ 2V2 n 动量方程：
( ρ1V1n )V1t = ( ρ 2V2 n )V2 t
p1 − p2 = ρ 2V22n − ρ1V12 n
能量方程： V12 V22n n c p T1 + = c p T2 + 2 2 经过斜激波，气流平行于波面 的速度分量不变，而法向速度 分量减小，气流向着波面转折 激波前后参数关系用图
波阻分析
经过斜激波气流的转折角
V1t = V2 t
V2 n tg ( β − δ ) ρ1 = = V1n tg β ρ2
M 12 sin 2 β − 1 tgδ = k +1 − sin 2 β ) + 1]tgβ [ M 12 ( 2
tgβ − tgδ tg ( β − δ ) = 1 + tgβtgδ
A = OD sin μ A + dA = OD sin( μ − dθ )
各压缩波的波角是逐渐加大； M1 > M 2 > M 3 >
μ1 < μ 2 < μ 3 <
各压缩波将会相交； 在压缩波未相交之前，气流穿过弱 压缩波系的流动为等熵压缩过程； 激波：熵增加 应用：扩压进气道内壁；压气机超 音速级的叶栅剖面
激波前后的密度比、压强比、温度比的关系式
ρ2 (k + 1) M 12 sin 2 β = ρ1 2 + (k − 1) M 12 sin 2 β
T2 = T1 (1 +
p2 k −1 2k = M 12 sin 2 β − k +1 p1 k + 1
第四章膨胀波与激波(4次)
因为v<a，所以弱扰动波仍能逆流 传播，也就是说，在亚声速气流中 ，弱扰动波可以传遍整个流场，这 是弱扰动在亚声速气流中传播的主 要特点。
（3）v=a，（下图）在逆流方向上，弱扰动波相对气流 的传播速度a恰与气流速度v相抵消，使弱扰动波不能逆流传 播，即，o点上游的流场不受扰动的影响。只有o点下游的流 场才受扰动的影响。受扰动与未扰动气体的分界面将是一个 以o为共切点的各球面波的公切平面。
4）下面再分析一个特殊的情形。设想把上图中的曲壁段
O1 、O2逐渐缩短，在极限的情况下， O与1 重O2合，曲壁就变成一
个具有一定的折角的折壁AOB，这时候由曲壁发出的一系列
膨胀波就变成从转折处发出的扇形膨胀波 O、1K 、O1…a' O，1b'
超声O速1L气流穿过这些膨胀波时，流动方向就逐渐转折，最后 沿着 壁面流动O1，B 如下图所示。这样的平面流动常称为超声 速气流绕外钝角流动或者称普朗特—迈耶流动。
第四章 膨胀波与激波
膨胀波和激波是超声速气流特有的重要现象。超声速气 流在加速时要产生膨胀波，减速时一般会出现激波。随着飞 行器和航空发动机性能的提高，超声速进气道、超声速压气 机和超声速喷管均已被广泛地采用。超声速燃烧以及超声速 涡轮等部件也正在研制与发展。另外，高超声速飞行器再入 大气层的飞行，要产生脱体强激波，这使得波后高温区气流 的研究更为重要。显然，在分析和涉及上述这些部件的气流 绕流规律时，首先就要遇到膨胀波和激波的问题。
（2）v<a (Ma<1)，①扰动源发出的弱扰动波仍然是一系 列球面，但是，②因为气体在流动,就带着扰动波向下游移动 ，因而扰动波的中心不是固定在扰动源o点，而是随着气体 在移动。经过一秒钟，扰动波中心移至o1。点o和o1间的距 离为V。经过两秒钟，扰动波中移至o2点。点o和点o2间的 距离为2V，以此类推。③因为v<a，(下图）弱扰动波在各方 向上传播的绝对速度不再是声速 ，顺流方向传播速度为a+v ，逆流方向传播速度为a-v，其他方向上的传播速度则介于 a+v和 a-v之间。
（3）v=a，（下图）在逆流方向上，弱扰动波相对气流 的传播速度a恰与气流速度v相抵消，使弱扰动波不能逆流传 播，即，o点上游的流场不受扰动的影响。只有o点下游的流 场才受扰动的影响。受扰动与未扰动气体的分界面将是一个 以o为共切点的各球面波的公切平面。
4）下面再分析一个特殊的情形。设想把上图中的曲壁段
O1 、O2逐渐缩短，在极限的情况下， O与1 重O2合，曲壁就变成一
个具有一定的折角的折壁AOB，这时候由曲壁发出的一系列
膨胀波就变成从转折处发出的扇形膨胀波 O、1K 、O1…a' O，1b'
超声O速1L气流穿过这些膨胀波时，流动方向就逐渐转折，最后 沿着 壁面流动O1，B 如下图所示。这样的平面流动常称为超声 速气流绕外钝角流动或者称普朗特—迈耶流动。
第四章 膨胀波与激波
膨胀波和激波是超声速气流特有的重要现象。超声速气 流在加速时要产生膨胀波，减速时一般会出现激波。随着飞 行器和航空发动机性能的提高，超声速进气道、超声速压气 机和超声速喷管均已被广泛地采用。超声速燃烧以及超声速 涡轮等部件也正在研制与发展。另外，高超声速飞行器再入 大气层的飞行，要产生脱体强激波，这使得波后高温区气流 的研究更为重要。显然，在分析和涉及上述这些部件的气流 绕流规律时，首先就要遇到膨胀波和激波的问题。
（2）v<a (Ma<1)，①扰动源发出的弱扰动波仍然是一系 列球面，但是，②因为气体在流动,就带着扰动波向下游移动 ，因而扰动波的中心不是固定在扰动源o点，而是随着气体 在移动。经过一秒钟，扰动波中心移至o1。点o和o1间的距 离为V。经过两秒钟，扰动波中移至o2点。点o和点o2间的 距离为2V，以此类推。③因为v<a，(下图）弱扰动波在各方 向上传播的绝对速度不再是声速 ，顺流方向传播速度为a+v ，逆流方向传播速度为a-v，其他方向上的传播速度则介于 a+v和 a-v之间。
飞行速度范围—高速气流特性和激波、膨胀波
正激波和斜激波 β
β
β 90 β 90
正激波 斜激波
正激波的波阻大，空气 被压缩很厉害，激波后 的空气压强、温度和密 度急剧上升，气流通过 时，空气微团受到的阻 滞强烈，速度大大降低， 动能消耗很大，这表明 产生的波阻很大。
斜激波波阻较小，倾斜 的越厉害，波阻就越小。
3.气流通过正激波后,压力、密度和温度都突然升高,且流速()
1.飞机飞行时对周围大气产生的扰动情况是( )
A.扰动产生的波面是以扰动源为中心的同心圆。 B.产生的小扰动以音速向外传播。 C.只有马赫锥内的空气才会受到扰动。
D.如果不考虑扰动波的衰减,只要时间足够长周围的空气都会受到扰动。
答案：B
超音速气流经过凹曲面的情况
激波
激波是气流以超音速流过带有内折角物体表面时， 受到强烈压缩而形成的强扰动波
声速的定义 小扰动在空气中的传播速度
空气压缩性与音速a的关系
音速大小唯一取决于空气的温度 温度越低，空气越易压缩，音速越小。
a ΔP Δρ
a 20.1 t 273 米/秒
2 马赫数M
M
a
马赫数M是真速与音速之比。
M数越大，空气被压缩得越厉害。
低速飞行(马赫数M<0.3) 可忽略压缩性的影响
由压力变化带来的密度变化小于5%，从工程角度来 看，对结果影响小于5%的因素可以被忽略。
高速飞行(马赫数M>0.3) 必须考虑空气压缩性的影响
二、高速飞行中，空气状态参数的变化
速度增加时，压力、密度、温度、声速都减小， Ma增加；部分压力能和内能转变为动能
速度减小时，压力、密度、温度、声速都增大， Ma减小；部分动能转换为压力能和内能
John Gay拍摄
膨胀波与激波
p2 p3 pa p4 pa
p5 p6 pa
On the evening of July 24, 2021
膨胀波与压缩波的相交
Courseware template
膨胀波A ′ B和压缩波AB 膨胀波BC和压缩波BC ′ 4区：方向一致，压强相等
a b
p3 p2
On the evening of July 24, 2021
On the evening of July 24, 2021
Courseware template
亚音速直匀流流过机翼
无限小的折角
压缩波
膨胀波
超音速直匀流流过锥体和楔形物
n 弱压缩波：压强 ；密度 ；速度 n 膨胀波：压强 ；密度 ；速度
与亚声速有何不同？
On the evening of July 24, 2021
'Vn'Vt' VnVt 0
Vt Vt' V t V co (V s d)c Vo d s)(
dV d
V
M2 1
基本微分方程
On the evening of July 24, 2021
dV tgd
V
普朗特-迈耶函数
Courseware template
n 普朗特-迈耶角：由普朗特－迈 耶函数表示的声速气流膨胀到 Ｍ数大于1时的气流折转角。
n 各压缩波的波角是逐渐加大； M 1M 2M 3
123
n 各压缩波将会相交； n 在压缩波未相交之前，气流穿过弱
压缩波系的流动为等熵压缩过程； n 激波：熵增加 n 应用：扩压进气道内壁；压气机超
音速级的叶栅剖面
On the evening of July 24, 2021
9_膨胀波和激波
流动。
v2=vs-v
v1=vs
非
p2 2
v
vs
T2
运动正激波
v =0
p11 T1
vs
定p
常
流v
x
动
x
压强和速度分布
p2 2
v2
T2
v1
p1 1
T1
静止的正激波
定
p常
流
x
v动
x
压强和速度分布
§9-2 激 波
正激波的传播速度
取控制体，应用连续方程和动量方程。
连续方程 A1vs A2 vs v
§9-1 膨胀波
普朗特-迈耶关系式
超声速气流穿过膨胀波束时参数的变化关系可 由普朗特-迈耶关系式表示。
1 tan 1 1 Ma2 1 tan 1 Ma2 1 C
1
1
Ma C
对于已知的壁面折转角δ，可以求出超音速气 流穿过膨胀波束前后的马赫数的关系。
工程流体力学基础
第九章 膨胀波和激波
主要内容
膨胀波 激波 正激波前后的参数关系 斜激波 激波的反射与相交 拉瓦尔喷管与激波
膨胀波和激波
超声速流与亚声速流有很大不同。超声速流中 通常会出现膨胀波和激波，这是其基本特征。
膨胀波：流体发生膨胀，通过膨胀波后，流 体的压强、温度和密度降低，流速增大。
激波：气体流动状态的突然改变。
1v1 2v2 p2 p1 1v12 2v22
v12 p1 v22 p2 2 1 1 2 1 2
v12 c12 v22 c22 1 ccr2 2 1 2 1 1 2
p1 p2 1T1 2T2
《气体动力学》课件-膨胀波与激波
及波AB、BC、A’B、B’C 的波角
气体动力学基础_1
29
3.5 弱波的反射与相交
膨胀波在自由边界的反射
自由边界：运动介质和其它介质之间的切向交界面
边界特性：接触面两边的压强相等
C’
A’
⑤
p2 p3 pa p4 pa p5 p6 pa
Ma1
②
max
()
2
k k
1 1
1
Ma=1 O
k 1.4, max 13027
气体动力学基础_1
20
13027
3.3 弱波的普朗特-迈耶流动解
Prandtl-Meyer 流动——超声速气流流过外凸壁
右伸波： (Ma) C2
(Ma) 1 (Ma1 ) C2
➢ 对于任意两个马赫数Ma1和Ma2 的膨胀过程，有
➢ 超声速气流每经过一步微弱的膨胀，气流的流动方向、马赫 数和压强等诸气流参数都将产生微小的变化
➢ 把原来的连续膨胀分得愈细，数目愈多，计算出来的结果就
气体愈动准力学确基础_1
27
3.5 弱波的反射与相交
膨胀波在直固壁上的反射
B
①
i
②
Ma1
Ma2
1 2
③
Ma3
3
A
C
➢ 膨胀波在固壁上反射为膨胀波，一般反射角 γ 并不等于入射角i
7
3.1 弱扰动的传播规律
4. 气流运动——超声速
➢马赫角 μ 的大小，反映了受扰
4c
动区域的大小
V>c
3c 2c c
sin1 1
Ma
O
O1
O2
O3
O4
Vn Vt
V
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
（1）先讨论弱扰动在静止气体中的传播情况（v=0（
Ma=0)）。假定有一个静止的弱扰动源位于O点（如下图） ，它在气体中所造成的弱扰动是以球面波的形式向周围传播 的。如果不考虑气体粘性的耗散，而且认为气体参数分布均 匀的话，随着时间的推移，这个扰动可以传遍整个流场，而 且其传播速度在各个方向上均等于声速 。
图4- 2 亚声速直均流流过机翼
下图表示超声速直匀流流过一个微锥体时的情形。物体 所造成的弱扰动不能逆流传播，仅限于马赫锥范围以内，在 马赫锥以外，气流参数不发生任何变化，当穿过马赫波时， 气流参数发生无限小的变化。
上面讨论的是三维超声速流动的情况。如果弱扰动源(下 图）是一个半无限展长（展长与z轴相平行）的微楔形物， 则当超声速直匀流流过此物体时，受扰动区域和未扰动区 域的分界面（即马赫波）是个楔面。显然，这是一个二维 超声速流动的问题。
A OD sin
此流管经过波OL后，截面积为
A dA OD sin( d )
式中：d是流线方向角的变化（即气流转折角），并规定
逆时针方向转折为正，顺时针方向转折为负，在图所示的
情况下， d，故0角
sin( d ) 故sin
BO。L因 为 d
A dA A
O2
AO1B
O2B
超声速气流绕外钝角流动的主要5个特点是： （1）超声速来流为平行于AO1壁面（上图）的定常直匀流
，在壁面转折处必定产生一扇形膨胀波束，此扇形膨胀波束 是由无限多的马赫波所组成。
（2）气流每经过一道马赫波，参数只有无限小的变化，因 而经过膨胀波束时，气流参数是连续的变化（例如速度增大 、压强、温度、密度相应的减小）。显然，在不考虑气体粘 性和与外界的热交换时，气流穿过膨胀波束的流动过程为绝 热等熵的膨胀过程。
折一个微小的角度 d，气流通过由无限多道膨胀波所组成的
膨胀波区后，参数发生一个有限值的变化，并且转折一个有
限的角度 （下图）。
第一道波的马赫角 为1 马赫线与
来流方向的夹角。最终一道波的马赫
角 为2 马赫线与气流最终流动方向的
夹角，于是在下图中，可以用有限道 波来表示无限多道膨胀波来描述超声 速气流绕外凸曲壁流动的问题。
Ma数（或 数）的函数，而Ma数又与气流的转折有关。下
面首先导出气流的方向角（ ）和Ma数（或 数）之间 的关
系，然后再确定波后其他气流的参数。
导出过程略，只写公式
(Ma) C1
式中：为气体流动的方向角，即气流速度方向对于x轴正向
的倾角，并规定反时针方向为正，顺时针方向为负。
A、B相当于两个扰源，产生两束扇形膨胀波，
气流穿过膨胀波后，压强降为 P1=Pa，相应的马赫数增大到Ma2
，且气流方向向外折转一个 角
度，这种现象在喷管射流中常会 遇到。
二、膨胀波的计算
气流通过膨胀波是绝热等熵过程，所以在膨胀波前后，气
流总参数（ 、p0 、T0）不变0 ，静参数（P、T、 ….）只是
气流流经微楔形物之后，气流 受到了极微弱的压缩，在om和om’ 两道马赫波之后，压强增加了dp， 密度增加了dρ，速度则减小了dV。 因此om和om 称为弱压缩波。
如果气流通过马赫波之后是膨胀的，因而压强下降dp，密 度下降dρ，速度则增大了dV，这类马赫波便称为膨胀波。
二、马赫波
1、在二维超声速流场中，马赫波在xy平面上的投影为两 条相交的直线，称为马赫线，如下图所示。位于ox轴上方的 一条马赫线om称作左伸马赫线，位于ox轴下方的一条马赫线 om 称作右伸马赫线。所谓左伸马赫线就是相对于一个面向 下游的观察者来说，它是以向左的方向奔向下游；而右伸马 赫线则是以向右的方向奔向下游。
微弱扰动指的是气体参数发生微小变化的扰动，又称为 小扰动。小扰动的传播速度只取决于气体的性质及状态参数 ，而与何种扰源及其成因无关。由于声波是最易被人感觉到 的一种微弱扰动的传播，习惯上就将小扰动相对于气体的传 播速度称为声速。
由流体力学基础知识，弱扰动相对于气体是以声速向周 围传播的。本节将研究弱扰动在气流中的传播规律，特别是 在超声气流中的传播规律。
最后还要指出的是，在超声速气流中除了上述讨论的 弱压缩波外，在某种条件下，还会出现突跃的压缩波-激 波。气流经过一道这样的突跃压缩波，速度、压强等参数 的变化不再是一个无限小量，而是个有限量。这属于强扰 动在超声速或者高超声速流动中的传播问题，是一类非常 重要的问题。
4.2 普朗特_迈耶流动
一、膨胀波的形成及其特点
三、普朗特-迈耶函数
1、函数
上式中
(Ma) k 1 arctan k 1 (Ma 2 1) arctan Ma 2 1
k 1
稳定不动，关于这一特点很重要。
弱扰动在超声速气流中不能传遍整个流场，这是超声速 气流与亚声速气流的一个重要差别，这种差别使两种气流的 流动图形有本质的不同。图4-2表示亚声速直匀流流过机翼 时的情形，物体放在气流中就造成了扰动，在亚声速流中， 物体所造成的扰动能逆流传播，影响到物体前方的气流，使 流线偏转，气流参数相应地有所变化。
（2）v<a (Ma<1)，①扰动源发出的弱扰动波仍然是一系 列球面，但是，②因为气体在流动,就带着扰动波向下游移动 ，因而扰动波的中心不是固定在扰动源o点，而是随着气体 在移动。经过一秒钟，扰动波中心移至o1。点o和o1间的距 离为V。经过两秒钟，扰动波中移至o2点。点o和点o2间的 距离为2V，以此类推。③因为v<a，(下图）弱扰动波在各方 向上传播的绝对速度不再是声速 ，顺流方向传播速度为a+v ，逆流方向传播速度为a-v，其他方向上的传播速度则介于 a+v和 a-v之间。
圆锥的母线与来流速度方向之间的夹角成为马赫角，用 符号μ来表示。马赫角μ的大小，反映了受扰动区域的大小 。如图d所示的几何关系中可以看出马赫角μ与马赫数Ma间 的关系
sin
a V
或M1a
arcsin 1
Ma
因此，马赫角μ是由气流的Ma数决定的，Ma数越大，
则μ角越小；反之，Ma数越小，则μ越大。Ma=1时，μ=90° ，这就是图4-1（c）所示的情况。因为 ，因si此n当M1 a<1
本章主要研究膨胀波和激波的产生、性质和它们的计算 方法，给出膨胀波和激波前后气流参数的关系式；讨论膨胀 波之间、激波之间以及膨胀波与激波之间的相交和反射等规 律。
4.1 弱扰动在气流中的传播
一、小扰动与马赫锥
由于物体的存在或运动（称为扰源）而使流场诸参数发 生了变化，则说流场受到了扰动。由于气体是可压的，在某 处受到的扰动就要以有限速度向四面八方传播。
2、应该指出，如果超声速来流速度沿y方向为不均匀的 分布，由于当地马赫角μ随当地Ma数是变化的，故马赫线为 曲线形状。如图所示。如果由直壁起，沿y方向气流速度渐 增，那么马赫线必定凸向未经扰动区域（图a）；反之，如 果由直壁起，沿y方向气流速度是渐减的，那么马赫线就凸 向扰动区域（图b）。如果流场中流速是更复杂些的非均一 的分布，那么马赫线也必是更复杂的形状。
因为v<a，所以弱扰动波仍能逆流 传播，也就是说，在亚声速气流中 ，弱扰动波可以传遍整个流场，这 是弱扰动在亚声速气流中传播的主 要特点。
（3）v=a，（下图）在逆流方向上，弱扰动波相对气流 的传播速度a恰与气流速度v相抵消，使弱扰动波不能逆流传 播，即，o点上游的流场不受扰动的影响。只有o点下游的流 场才受扰动的影响。受扰动与未扰动气体的分界面将是一个 以o为共切点的各球面波的公切平面。
假设超声速气流流经马赫波OL为绝热等熵流动，于是在 绝热等熵流动的条件下，超声速气流在流管截面积增大时， 气流速度（或Ma数）增大，压强、密度相应地降低。因此， 超声速气流流经由微小外折角所引起的马赫波OL，气流加速 ，压强和密度下降，这种马赫波为膨胀波。
2）现在设想超声速气流在图4-7上的O点外折了一个微
小的角度d1 之后，在 O2、 O等3 一系列点，继续外折一系列微 小的角度 、d2 、d…3，各膨胀波与该波前气流方向的夹角为 、 、1 、…2 。由3式（4-1）
1
arcsin
1 Ma1
2
arcsin
1 Ma2
注意到气流每经过一道膨胀波，
3
arcsin
1 Ma3
…
Ma数都有所增加，
（4）v>a，此时扰动不仅不能逆流前传，并且被限制在 一定的区域内传播。从o点发出的扰动波在第一秒末、第二 秒末、第三秒末……所达到的位置如下图所示：
o1o2o3o4它们与点o的距离， 分别为V、2V、3V…。因此，弱 扰动在超声速气流中的传播区域 被限制在以扰动源O为，也就是 说，受扰动和未受扰动气体的分 界面是一个圆锥面。这个圆锥称 为弱扰动锥，又称为马赫锥。圆 锥面成为弱扰动边界波或称马赫 波。
时则上式没有意义。
由图（d）看出，将气流速度V分解为垂直于马赫锥面和
平行马赫锥面的两个分量Vn和Vt，则
Vn
V
sin
V
a V
a
即垂直于马赫锥面的气流分速等
于声速。而马赫波（即弱扰动边界
波）在气体中沿垂直波方向以声速
向外传播，这个传播速度正好与气
流在该方向上的分速Vn大小相等， 方向相反，所以马赫波能在气流中
1）假设超声速直匀流沿外凸壁AOB流动，壁面在O点向
外转折一个微小的角度 d（如右图所示）。由于壁面的微小
转折，使原来平行于AO壁的超声速气流的参数发生了微小的 变化，即受到微弱的扰动。
因此，在壁的转折处（即扰动源 ）必产生一道马赫波OL，与来流方 向的夹角为
arcsin 1
Ma
由于壁面转折产生的扰动，只能传播到波OL以后的区域 ，而不能传到波OL之前，因此在波OL之前的气流参数不变， 而在气流流经波OL之后，参数值发生一个微小的变化，这一 点从图中可以很容易看出来。设来流流管截面积为A，从图中 的几何关系可知（设垂直于xOy平面的宽度为单位长度）