高等数学下册期末复习试题及答案
高等数学下册期末复习
试题及答案
Document number：PBGCG-0857-BTDO-0089-PTT1998
一、填空题（共21分 每小题3分）
1．曲线???=+=0
12x y z 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为12
2++=y x z ．
2．直线35422:1z y x L =--=-+与直线??
?
??+=+-==t
z t y t
x L 72313:2的夹角为
2π． 3．设函数2
2232),,(z y x z y x f ++=，则=
)1,1,1(grad f }6,4,2{．
4．设级数
∑∞
=1
n n u 收敛，则=∞
→n n u lim 0
．
5．设周期函数在一个周期内的表达式为???≤<+≤<-=,
0,10
,0)(ππx x x x f 则它的傅里叶级数在π=x 处
收敛于
2
1π+．
6．全微分方程0d d =+y x x y 的通解为
C
xy =．
7．写出微分方程x
e y y y =-'+''2的特解的形式
x
axe y =*．
二、解答题（共18分 每小题6分）
1．求过点)1,2,1(-且垂直于直线???=+-+=-+-0
20
32z y x z y x 的平面方程．
解：设所求平面的法向量为n
，则{}3,2,11
11121=--=k j i n
(4分)
所求平面方程为 032=++z y x (6分) 2．将积分
???Ω
v z y x f d ),,(化为柱面坐标系下的三次积分，其中Ω是曲面
)(22
2y x z +-=及22y x z +=所围成的区域．
解： πθ20 ,10 ,2 :2
≤≤≤≤-≤≤Ωr r z r (3分)
???
Ω
v z y x f d ),,(?
??-=2
210
20
d ),sin ,cos (d d r r
z z r r f r r θθθπ (6分)
3．计算二重积分??+-=
D
y x y x e
I d d )
(22，其中闭区域.4:22≤+y x D
解 ??-=
20
20
d d 2
r r e
I r π
θ??--
=-20220)(d d 212
r e r πθ?-?-=202
d 22
1r e π)1(4--=e π 三、解答题（共35分 每题7分）
1．设v
ue z =，而2
2y x u +=，xy v =，求z d ．
解：
)2(232y y x x e y ue x e x
v v z x u u z x z xy v v ++=?+?=?????+?????=?? (3分)
)2(223xy x y e x ue y e y
v v z y u u z y z xy v v ++=?+?=?????+?????=?? (6分) y xy x y e x y y x x e z xy xy d )2(d )2(d 2332+++++= (7分)
2．函数),(y x z z =由方程0=-xyz e z
所确定，求
y
z x z ????,． 解：令xyz e z y x F z
-=),,(， (2分)
则 ,yz F x -= ,xz F y -= ,xy e F z
z -= (5分)
xy
e yz
F F x z z
z x -=-=??， xy e xz F F y z z z y -=-=??． (7分) 3．计算曲线积分?+-L
y x x y d d ，其中L 是在圆周22x x y -=上由)0,2(A 到点)0,0(O 的有
向弧段．
解：添加有向辅助线段OA ，有向辅助线段OA 与有向弧段OA 围成的闭区域记为D ，根据格
林公式
????+--=+-OA D
L y x x y y x y x x y d d d d 2d d (5分)
ππ
=-?=02
2 (7分)
4．设曲线积分?++L
x y x f x y x f e d )(d )]([与路径无关，其中)(x f 是连续可微函数且满足1)0(=f ，
求)(x f ． 解： 由
x
Q y P ??=?? 得 )()(x f x f e x
'=+， 即x
e x
f x f =-')()( (3分)
所以 )d ()(d d )1(C x e e e x f x x x
+?=??
---?
)(C x e x +=， (6分) 代入初始条件，解得1=C ，所以)1()(+=x e x f x
． (7分)
5．判断级数∑∞
=12
)!
2()!(n n n 的敛散性．
解： 因为 )!
2()!()!22(])!1[(lim lim
2
2
1n n n n u u n n
n n ++=∞→+∞→ (3分) )12)(22()1(lim
2
+++=∞→n n n n 14
1<= (6分) 故该级数收敛． (7分)
四、（7分）计算曲面积分??∑
++y x z x z y z y x d d d d d d ，其中∑是上半球
面2
21z y x --=的上侧．
解：添加辅助曲面1,0:2
2
1≤+=∑y x z ，取下侧，则在由1∑和∑所围成的空间闭区域Ω上应用高斯公式得
??∑
++y x z x z y z y x d d d d d d ??∑+∑++=1
d d d d d d y x z x z y z y x
??∑++-
1
d d d d d d y x z x z y z y x (4分)
0d 3
-=???Ω
v (6分)
3
4213π
??
=π2=． (7分) 五、（6分）在半径为R 的圆的内接三角形中，求其面积为最大的三角形．
解：设三角形各边所对圆心角分别为z y x ,,，则π2=++z y x ， 且面积为)sin sin (sin 2
12
z y x R A ++=
， 令)2(sin sin sin πλ-+++++=z y x z y x F (3分)
由 ???????=++=+==+==+=π
λλλ20
cos 0
cos 0cos z y x z F y F x F z y
x (4分)得32π===z y x ．此时，其边长为
R R 32
3
2=?
． 由于实际问题存在最大值且驻点唯一，故当内接三角形为等边三角形时其面积最大． (6分)
六、（8分）求级数∑∞
=1n n
n
x 的收敛域，并求其和函数．
解： 1)
1(lim lim
1
=+==∞→+∞→n n a a R n n n n ，故收敛半径为1=R ． (2分) 当1-=x 时，根据莱布尼茨判别法，级数收敛； 当1=x 时， 级数为调和级数，发散．
故原级数的收敛域为)1,1[-． (5分)
设和为)(x S ，即∑∞
==1)(n n n
x x S ，求导得
∑∞
=-='1
1)(n n x x S x
-=
11
， (6分) 再积分得 ?'=
x
x x S x S 0d )()(
x x
x
d 11
0?
-=)1ln(x --=，)11(<≤-x (8分) 七、（5分）设函数)(x f 在正实轴上连续，且等式
???+=y
x x y
t t f x t t f y t t f 1
1
1
d )(d )(d )(
对任何0,0>>y x 成立．如果3)1(=f ，求)(x f ． 解：等式两边对y 求偏导得
)(d )()(1
y f x t t f y x f x x
+=? (2分)
上式对任何0,0>>y x 仍成立．令1=y ，且因3)1(=f ，故有
?+=x
x t t f x xf 1
3d )()(． (3分)
由于上式右边可导，所以左边也可导．两边求导，得
3)()()(+=+'x f x f x f x 即)0(3)(>=
'x x
x f ．
故通解为
C x x f +=ln 3)(．当1=x 时，3)1(=f ，故3=C ．
因此所求的函数为 )1(ln 3)(+=x x f ． (5分) 八． （5分）已知x x e xe y 21
+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23
是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求此微分方程． 解1：由线性微分方程解的结构定理知x
e
2与x
e
-是对应齐次方程的两个线性无
关的解，x
xe 是非齐次方程的一个特解，故可设此方程为 )(2x f y y y =-'-''
将x xe y
=代入上式，得x x xe e x f 2)(-=，因此所求的微分方程为
x x xe e y y y 22-=-'-''
解2：由线性微分方程解的结构定理知x
e
2与x
e
-是对应齐次方程的两个线性无
关的解，x
xe 是非齐次方程的一个特解，故x x x e C e C xe y -++=221是所
求微分方程的通解，从而有
x x x x e C e C xe e y --++='2212，
x x x x e C e C xe e y -+++=''22142
消去21,C C ，得所求的微分方程为 x x xe e y y y 22-=-'-''
06高数B
一、填空题（共30分 每小题3分）
1．xoy 坐标面上的双曲线36942
2
=-y x 绕x 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程为
36)(94222=+-z y x ．
2．设函数2
2),,(z yz x z y x f ++=，则=-)1,0,1(grad f )2,1,2(--．
3．直线35422:1z y x L =--=-+与直线??
?
??+=+-==t
z t y t
x L 72313:2的夹角为
2π． 4. 设Ω是曲面222y x z --=
及22y x z +=所围成的区域积分，则
???Ω
v z y x f d ),,(化为柱
面坐标系下的三次积分形式是?
??-221
20d ),sin ,cos (d d r r
z z r r f r r θθθπ
．
5. 设L 是圆周22x x y -=，取正向，则曲线积分=+-?L
y x x y d d
π
2．
6. 幂级数∑∞
=--1
1)1(n n
n n x 的收敛半径
1=R ．
7．设级数
∑∞
=1
n n u 收敛，则=∞
→n n u lim 0
．
8．设周期函数在一个周期内的表达式为???≤<≤<-=,
0,0
,0)(ππx x x x f 则它的傅
里叶级数在π=x 处收敛于
2
π．
9．全微分方程0d d =+y y x x 的通解为
C
xy =．
10．写出微分方程x
e y y y =-'+''2的特解的形式
x
axe y =*．
二、解答题（共42分 每小题６分）
1．求过点)1,2,1(且垂直于直线???=+-+=-+-0
320
2z y x z y x 的平面方程．
解：设所求平面的法向量为n ，则{}3,2,11
11121=--=k
j i n
(4分)
所求平面方程为 032=++z y x (2分) 2．函数),(y x z z =由方程z y x z y x 32)32sin(-+=-+所确定，求
x
z ??． 解：令z y x z y x z y x F 32)32sin(),,(+---+=， (2分)
则,1)32cos(--+=z y x F x 3)32cos(3+-+-=z y x F z ． (2分)
)
32cos(33)
32cos(1z y x z y x F F x z z x -+--+-=
-=?? ． (2分) 3．计算
??D
xy σd ，其中D 是由直线2 ,1==x y 及x y =所围成的闭区域．
解法一： 原式??=
211d ]d [x
x y xy
(2分)
x y x x d ]2[2
112??=x x
x d )2
2(213?-= 8
1
1]48[2124=-=x x . (4分)
解法二： 原式??
=212
d ]d [y y x xy 8
11]8[2
14
2=-=y y .(同上类似分)
4．计算
??
--D
y x y x d d 122，其中D 是由122=+y x 即坐标轴所围成的在第一象限内的闭
区域． 解： 选极坐标系
原式?
?-=
20
1
2d 1π
θ
r r r d (3分)
)1(1)21(22
102r d r ---?=?π
6
π= (3分)
5．计算
?Γ
-+-z x y yz x z y d d 2d )(222，其中Γ是曲线,t x =,2t y =
3t z =上由01=t 到12=t 的一段弧．
解：原式??-?+-=
1
22564d ]322)[(t t t t t t t (3分)
?-=1
46d )23(t t t 1057]5273
[t t -
=35
1
= (3分) 6．判断级数∑∞
=-12
1
2n n
n 的敛散性． 解： 因为 n n n n
n n n n u u 21
22)12(lim lim
11-+=+∞→+∞→ (3分) 12
1
<=
， (2分) 故该级数收敛． (1分)
7．求微分方程043=-'-''y y y 满足初始条件,00==x y 50-='=x y 的特解． 解：特征方程 0432
=--r r ，特征根 1,421-==r r
通解为 x x
e C e C y -+=241， (3分)
x x
e C e
C y --='2414，代入初始条件得 1,121=-=C C ，
所以特解 x x e e y
-+-=4．
(3分)
三、（8分）计算曲面积分??∑
++y x z x z y z y x d d d d d d ，其中∑是上半球面221z y x --=的上
侧．
解：添加辅助曲面1,0:2
2
1≤+=∑y x z ，取下侧，则在由1∑和∑所围成的 空间闭区域Ω上应用高斯公式得
??∑
++y x z x z y z y x d d d d d d ??∑
+∑++=1
d d d d d d y x z x z y z y x ??∑++-
1
d d d d d d y x z x z y z y x
(4分)
0d 3
-=???Ω
v (2分)
3
4213π
??
=π2=． (2分) 四、（8分）设曲线积分?-+L
y x x xf x x yf d ])(2[d )(2在右半平面)0(>x 内
与路径无关，其中)(x f 可导，且满足1)1(=f ，求)(x f ．
解：由x
Q y P ??=??， 得x x f x x f x f 2)(2)(2)(-'+=， 即1)(21
)(=+
'x f x
x f ， (3分) 所以
)d (
)(d 21d 21C x
e
e
x f x x x x +=?
?-?
)
(
21
21C dx x x
+=?
-
)3
2
(2
321C x x
+=-， (3分)
代入初始条件，解得31
=C ，所以x
x x f 3132)(+=． (2分)
五、（6分）求函数xy y x y x f 3),(33-+=的极值．
解：?????=-==-=0
33),(033),(2
2
x y y x f y x y x f y x 得驻点 )1,1(),0,0( (3分)
,6),(x y x f xx = ,3),(-=y x f xy y y x f yy 6),(=
在点)0,0(处，,092
>=-AC B 故)0,0(f 非极值；
在点)1,1(处，,0272
<-=-AC B 故1)1,1(-=f 是极小值． (3分)
六、（6分）试证：曲面)(x
y xf z =上任一点处的切平面都过原点．
证：因
),
()(x y f x y x y f x z '-=?? )(1)(x y f x x y f x y
z
'=?'=?? (3分) 则取任意点),,(0000z y x M ，有)(00
00x y f x z =，得切平面方程为
))(())](()([)(
00
000000000000y y x y
f x x x y f x y x y f x y f x z -'+-'-=- 即 0)()]()([0
000000=-'+'-
z y x y f x x y f x y x y f 故切平面过原点． (3分) 07A
一、 填空题（每小题3分，共21分）
1．设向量}5,1,{},1,3,2{-==λb a ，已知a 与b
垂直，则=λ1
-
2．设3
),(,2,3π
===b a b a ，则=
-b a 6
-
3．yoz 坐标面上的曲线122
22=+b
z a y 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为
122
2
22=++b
z a y x
4．过点)0,4,2(且与直线???=--=-+0
230
12z y z x 垂直的平面方程0832=+--z y x
5．二元函数)ln(y x x z +=的定义域为}0,0,({>+≥=y x x y x D
6．函数)ln(),,(222z y x z y x f ++=，则=)1,0,1(gradf }
1,0,1{
7．设xy e z =，则=
dz )
(xdy ydx e xy +
8．设),(x y x xf u
=，f 具有连续偏导数，则=
??x
u
21f x
y
xf f -
+
9．曲线3
2
,,t z t y t x ===上点)1,1,1(处的切向量=
T
}
3,2,1{
10．交换积分顺序：??=
y
dx y x f dy 010),(??1
10
),(x
dy
y x f dx
11．闭区域Ω由曲面222
y x z
+=及平面1=z 所围成，将三重积分???Ω
dv z y x f ),,(化为柱
面坐标系下的三次积分为???πθθθ20
10
1
),sin ,cos (r
dz
z r r f rdr d 12．设L 为下半圆周2
1x y
--=，则=
+?ds y x
L )(22
π
13．设L 为取正向圆周922
=+y x
，则=-+-?dy x x dx y xy L )4()22(2π18-
14．设周期函数在一个周期内的表达式为
??
?<≤≤<-=π
πx x
x x f 000)(则它的傅里叶级数在
π=x 处收敛于
2
π
15．若0lim ≠∞
→n
n u ，则级数∑∞=1
n n u 的敛散性是 发散
16．级数∑∞
=1!
2n n n n
n 的敛散性是 收敛
17．设一般项级数∑∞=1
n n u ，已知∑
∞
=1
n n u 收敛，则∑∞
=1
n n u 的敛散性是 绝对收敛
18．微分方程05)
(23
=+'-''xy y y x 是 2 阶微分方程
19．微分方程044=+'+''y y y 的通解=
y x
x xe C e C 2221--+
20．微分方程x xe y y y 223=+'-''的特解形式为x
e b ax x 2)(+
二、（共5分）
设xy v y x u v u z ===,,ln 2
，求y
z
x z ????,
解：
]1)ln(2[1ln 222
2+=?+?=?????+?????=??xy y x y v u y v u x v v z x u u z x z
]1)ln(2[)(ln 23222--=?+-?=?????+?????=??xy y
x x v u y x v u y v v z y u u z y z 三、（共5分）
设022=-++xyz z y x ，求
x
z ?? 解：令xyz z y x z y x F 22),,(-++=
xyz
yz
xyz F x
-=
xyz
xy
xyz F z -=
xy
xyz xyz yz F F x z
z x --=
-=?? 四、（共5分）
计算???Ω
xdxdydz ，其中Ω为三个坐标面及平面1=++
z y x 所围成的闭区域
解：y x z x y x --≤≤-≤≤≤≤Ω10,10,10:
???
?????----Ω
--==
x
y
x x dy y x x dx xdz dy dx xdxdydz 101010
10
10
)1(
241)2(21)1(213
1021
02=+-=-=
??dx x x x dx x x
五、（共6分） 计算?-+-L x x
dy y e dx y y e
)1cos ()sin (，其中L 为由点)0,(a A 到点)0,0(O 的上半圆周
ax y x =+22
解：添加有向辅助线段OA ,则有向辅助线段OA 和有向弧段OA 围成闭区域记为D ，根据格林 公式
?-+-L
x x dy y e dx y y e )1cos ()sin ( ???-+--=D
OA
x x dy y e dx y y e dxdy )1cos ()sin (
0)2
(212
-=a π 38
1a π= 六、（共6分）
求幂级数∑∞
=-13
)3(n n
n
n x 的收敛域 解：对绝对值级数，用比值判敛法
33
1
3131lim 333)1(3lim lim 1
1
1-=-?+=-+-=∞
→++∞
→+∞→x x n n n x n x u u n n n
n n n n n n 当
133
1
<-x 时，即60< 1 >-x 时，即60> ∞ =-1)1(n n n 收敛 当6=x 时，级数∑∞ =11 n n 发散，故收敛域为)6,0[ 七、（共5分） 计算dxdy z ??∑ 2 ，其中∑为球面1222=++z y x 在第一卦限的外侧 解：∑在xoy 面的投影xy D ：0,0,122 ≥≥≤+y x y x dxdy z ??∑ 2 dxdy y x xy D )1(2 2 --+=??rdr r d )1(201 02??-=π θ41 2? = π8 π = 八、（共7分） 设 0)1(=f ，求)(x f 使dy x f ydx x f x x )()](1 [ln ++ 为某二元函数),(y x u 的全微分，并求),(y x u 解：由 x Q y P ??= ??，得)()(1ln x f x f x x '=+，即x x f x x f ln )(1 )(=-' 所以 )ln 2 1 ()1ln ()ln ()(21 1 C x x C dx x x x C e x e x f dx x dx x +=+?=+=???? --- 带入初始条件，解得0=C ,所以x x x f 2ln 2 1 )(= ?++=),()0,0(22ln 2 1 )ln 21(ln ),(y x xdy x ydx x x y x u ??+=x y xdy x 002ln 210x xy 2 ln 2 1= 07高数B 一、（共60分 每题3分） 1. 设向量}4 ,2 ,6{-=a ，}2 ,1 ,{-=λb ，已知a 与b 平行,则=λ3-． 2. yoz 坐标面上的曲线12222=-c z a y 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为 122 222=-+b z a y x ． 3. 设3 ),(,1,2π ===∧b a b a ,则a b -=3． 4. 设一平面经过点)1,1,1(，且与直线???=+=--0 30 42z y y x 垂直，则此平面方程为032=-+z y x ． 5. 二元函数12ln 2+-=x y z 的定义域为{}012|),(2>+-x y y x ． 6. 设xy e z =，则=z d )d d (y x x y e xy +． 7. 函数)ln(),,(222z y x z y x f ++=，则=)1,0,1(grad f )1,0,1(． 8. 设(,)y u xf x x =，f 具有连续导数，则u x ?=?12 y f xf f x ''+-． 9. 曲面1222=++z y x 在点)2,0,1(-处的法向量=n {}4,0,2-． 10. 交换积分顺序： ??=1 d ),(d x y y x f x ??10 1 d ),(d y x y x f y ． 11.闭区域Ω由曲面22y x z +=及平面1=z 所围成，将三重积 ???Ω v z y x f d ),,(化为柱面坐标系下的三次积分为 ??? 1 1 20 2d ),sin ,cos (d d r z z r r f r r θθθπ ． 12. 设∑是闭区域Ω的整个边界曲面的外侧,V 是Ω的体积，则 ??∑ ++y x z x z y x y x d d d d d d =V 3． 13. 设L 为上半圆周21x y -=，则=+? L s y x d )(22π． 14. 设周期函数在一个周期内的表达式为???≤<≤<-=, 0,0 ,0)(ππx x x x f 则它的傅里叶级数在π=x 处收 敛于 2 π ． 15. 若lim 0n n u →∞ ≠，则级数 ∑∞ =1 n n u 的敛散性是 发散 ． 16. 级数∑∞ =1! 5n n n n n 的敛散性是 收敛 ． 17.级数 ∑∞ =12 sin n n n 的敛散性是 收敛 ． 18. 微分方程06)(542=+'+''y y y x 是 2 阶微分方程． 19. 微分方程02=+'-''y y y 的通解为) (21x C C e x +． 20. 微分方程x xe y y y 2365-=+'+''的特解的形式x e bx ax y 22*)(-+=． 三、（共5 函数),(y x z z =由方程04222=-++z z y x 所确定，求 x z ??． 解：令=),,(z y x F z z y x 42 2 2 -++， (1分) 则 ,2x F x = ,42-=z F z (2分) z x F F x z z x -= -=??2 (2分) 五、（共6分）计算曲线积分 ? +--L y y x x y x d )sin (d )2(22，其中L 为由点)0,2(A 到点)0,0(O 的上半圆周 x y x 222=+． 解：添加有向辅助线段，它与上半圆周围成的闭区域记为D ，根据格林公式 ?+--L y y x x y x d )sin (d )2(22 ? ??+---+-=OA D y y x x y x y x d )sin (d )2(d d )21(22 (3分) ??=D y x d d ? -2 2 d x x 3 823212132 -=-??=ππ (3分) 七、（共6 设0 )1(=f ，确定)(x f 使y x f x x y x f x d )(d )]([sin +-为某二元函数(,)u x y 的全微分． 解： 由 x Q y P ??= ?? 得 )()(sin x f x x f x '=-， 即 x x x f x x f sin )(1)(=+ ' (2分) 所以 )d sin ()(d x 1 d 1C x e x x e x f x x x +?=???- )d sin (ln ln C x e x x e x x +?=?- (2分) )cos (1 C x x +-= ， (1分) 代入初始条件，解得1cos =C ，所以)cos 1(cos 1 )(x x x f -= ． (1分) 八、(共6分) 计算 ?? ∑ y x z d d 2，其中∑是球面1222=++z y x 外侧在,0≥x 0≥y 的部分． 解： ??∑ y x z d d ??∑=1 d d y x z ??∑ +2 d d y x (2分) ??--= xy D y x y x d d )1(22?? ----xy D y x y x d )d 1()1(22 (2分) ??--=xy D y x y x d )d 1(222 r r r d )1(d 21 220 ?-=??π θ 4 π = (2分) 08高数A 一、选择题（共24分 每小题3分） 1．设{}1111,,p n m s =，{}2221,,p n m s =分别为直线1L ，2L 的方向向量，则1L 与2L 垂直的充要条件是 （A ） （A ）0212121=++p p n n m m （B ） 21 2121p p n n m m ==（C ）1212121=++p p n n m m （D ） 12 1 2121=++p p n n m m 2．Yoz 平面上曲线12+=y z 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为 ( C ) （A ）12+=y z （B ）22x y z +=（C ）122++=x y z （D ）x y z +=2 3．二元函数12ln 2+-=x y z 的定义域为 （B ） （A ）{}02|),(2>-x y y x （B ）{}012|),(2>+-x y y x （C ）{}012|),(2≤+-x y y x （D ）{}0,0|),(≥>y x y x 4．交换积分顺序： 1 d (,)d y y f x y x =?? （ A ） （A ）dy y x f dx x ??1 1 0),(（B ）dx y x f dy y ??1 1 0),(（C ）dx y x f dy y ??1 1 0),(（D ）dy y x f dx x ??1 10 ),( 5．空间闭区域Ω由曲面1=r 所围成，则三重积分???Ω v d 2= （ C ） （A ）2 （B ）2π （C ） 38π （D ）3 4π 6．函数),(y x z z =由方程04222=-++z z y x 所确定，则 x z ??= （ D ） （A ） z y -2 （B ） y x -2 （C ）z z -2 （D ） z x -2 7．幂级数∑∞ =13 n n n n x 的收敛域是 （ C ） （A ） ][3,3- （B ）](3,0（C ） [)3,3- （D ）()3,3- 8．已知微分方程x e y y y =-'+''2的一个特解为x xe y =*，则它的通解是（ B ） （A ）x xe x C x C ++221（B ）x x x xe e C e C ++-221（C ）x e x C x C ++221（D ）x x x xe e C e C ++-21 二、填空题（共15分 每小题3分） 1．曲面z y x =+22在点)1,0,1(处的切平面的方程是012=--z x ． 2．若lim 0n n u →∞ ≠，则级数 ∑∞ =1 n n u 的敛散性是 发散 ． 3．级数∑ ∞ =1 2 cos n n n 的敛散性是 绝对收敛 ． 4．二元函数2 221 sin )(),(x y x y x f +=，当()()0,0,→y x 时的极限等于 0 。 5．全微分方程0d d =+y x x y 的通解为_____c xy =____________． 三、解答题（共54分 每小题6分） 1．用对称式方程及参数方程表示直线 ???=++-=+++04320z y x i z y x ?? ?=++-=+++0 43201z y x z y x 解：因所求直线与两平面的法向量都垂直，于是该直线的方向向量为 {}3,1,43 12111--=-=k j i s (4分) 在直线上找出一点，例如，取10=x 代入题设方程组得直线上一点 ()2,0,1- （5分） 故题设直线的对称式方程为 3 2 1041-+= --=-z y x (6分) 参数方程为 ??? ??--=-=+=t z t y t x 3241 （7分） 4．计算三重积分???Ω +v y x d 22，其中Ω是平面2=z 及曲面22y x z +=所围成的区域（提示：利用柱面坐标计算）． 解：πθ20 ,20 ,2 :≤≤≤≤≤≤Ωr z r (3分) ??? Ω +v y x d 22???=2 20 20 d d d r z r r r πθ （6分） 3 8π = （7分） 5．计算曲线积分?+-L y x x y d 2d ，其中L 是在圆周22x x y -=上由)0,2(A 到点)0,0(O 的有向 弧段． 解法1：添加有向辅助线段OA ，有向辅助线段OA 与有向弧段AO 围成的闭区域记为D ，根据格林公式 （2分） ???? +--=+-OA D L y x x y y x y x x y d 2d d d 3d 2d (4分) 2 02 3π π = -? = (6分) 解法2：直接求曲线积分 6．求表面积为2a 而体积为最大的长方体的体积。 解法1：设长方体的长、宽、高分别为z y x ,,，则题设问题归结为约束条件 0222),,(2=-++=a xz yz xy z y x ? 下，求函数xyz V =（z y x ,,均大于0）的最大值。 （2分） 作拉格朗日函数 )222(),,,(2a xz yz xy xyz z y x L -+++=λλ （4分） 由方程组 ? ?? ??=++==++==++=0 )(20)(20)(2x y xy L z x xz L z y yz L z y X λλλ （5分） 进而解得唯一可能的极值点 6 6a z y x = == 由问题的本身意义知，该点就是所求的最大值点。故该问题的最大体积为 高等数学A(下册)期末考试试题【A 卷】 考试日期：2009年 一、A 填空题：（本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上） 1、已知向量a 、b 满足0a b +=，2a =，2b =，则a b ?= -4 ． 2、设ln()z x xy =，则 32 z x y ?=?? -1/（y*y ） ． 3、曲面2 2 9x y z ++=在点(1,2,4)处的切平面方程为 2x+4y+z-14=0 ． 4、设()f x 是周期为2π的周期函数，它在[,)ππ-上的表达式为()f x x =，则()f x 的傅里叶级数 在3x =处收敛于 ，在x π=处收敛于 ． 5、设L 为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，则 ()L x y ds +=? 1.414 ． ※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级． 二、解下列各题：（本题共5小题，每小题7分，满分35分） 1、求曲线222 222 239 3x y z z x y ?++=??=+??在点0M (1,1,2)-处的切线及法平面方程． 解：两边同时对x 求导并移项。 2、求由曲面2 2 22z x y =+及2 2 6z x y =--所围成的立体体积． 3、判定级数 1 1 (1)ln n n n n ∞ =+-∑是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ 条件收敛 4、设(,)sin x z f xy y y =+，其中f 具有二阶连续偏导数，求2,z z x x y ?????． 5、计算曲面积分 ,dS z ∑ ??其中∑是球面2222 x y z a ++=被平面(0)z h h a =<<截出的顶部． 北京邮电大学2009-2010学年第二学期《高等数学》（下）期末试题（A2） 1．极限2 221lim 1x x y x y x +→∞→??+= ? ? ?2e ． 2．设()2y z x y x ?=++，其中?具有连续二阶偏导数， 则2z x y ???=2x ()''21()ln 1y x y x y x ?-+++． 3．曲面arctan()z xy =在点(1,1,)4 P π处的法线方程为 4112 2 1 1 1 z x y π ---= = -． 4．函数z (,,)21f x y z z e xy =-++在点（2,1,0 ）处的方向导数的最大值为 5．设2x u v z y u vz ?=-++?=+? 确定u=u(x,y,z),v=(x,y,z),则u x ?=?12z zu -+． 6．幂函数21 (1)9n n n x ∞ =-∑的收敛区域是 (2,4)- ． 7．设2 ,10 ()1,01x x f x x x --<≤?=?-<≤?，是周期为2的周期函数，则其傅里叶级数 在点x=4处收敛于 12 ． 8．设2222y z R ++=∑：x 外侧，则2223/2 ()xdydz ydzdx zdxdy x y z ++=++∑ ??4π． 9．已知22A=y +2z +xy ,=x +y +z ,i j k B i j k ，则div (A )B ? =3224x y z x z ---． 10．设L 为取正向的圆周x 2+y 2=9，则曲线积分 2 (22)(4)L xy y dx x x dy -+-?= 18π- ．（用格林公式易） 二（8分）．将函数f(x)= 2 12565x x x ---在点x 0=2处展开成泰勒级数，并指出其收敛域． 解：若用泰勒级数 2() 0000 000''()()()()()()'()()2! ! n n f x x x f x x x f x f x f x x x n --=+-++++ 高等数学A(下册)期末考试试题 一、填空题：（本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上） 1、已知向量a 、b 满足0a b +=，2a =，2b =，则a b ?= ． 2、设ln()z x xy =，则32 z x y ?=?? ． 3、曲面2 2 9x y z ++=在点(1,2,4)处的切平面方程为 ． 4、设()f x 是周期为2π的周期函数，它在[,)ππ-上的表达式为()f x x =，则()f x 的傅里叶级数 在3x =处收敛于 ，在x π=处收敛于 ． 5、设L 为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，则 ()L x y ds +=? ． ※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级． 二、解下列各题：（本题共5小题，每小题7分，满分35分） 1、求曲线222 222 239 3x y z z x y ?++=??=+??在点0M (1,1,2)-处的切线及法平面方程． 2、求由曲面2222z x y =+及22 6z x y =--所围成的立体体积． 3、判定级数 1 1 (1)ln n n n n ∞ =+-∑是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ 4、设(,)sin x z f xy y y =+，其中f 具有二阶连续偏导数，求2, z z x x y ?????． 5、计算曲面积分 ,dS z ∑ ??其中∑是球面2222x y z a ++=被平面(0)z h h a =<<截出的顶部． 三、（本题满分9分） 抛物面22z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离 的最大值与最小值． （本题满分10分） 计算曲线积分 (sin )(cos )x x L e y m dx e y mx dy -+-? ， 其中m 为常数，L 为由点(,0)A a 至原点(0,0)O 的上半圆周2 2 (0)x y ax a +=>． 四、（本题满分10分） 求幂级数1 3n n n x n ∞ =?∑的收敛域及和函数． 一.选择题（3分?10） 1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （ ）. A.3 B.4 C.5 D.6 2.向量j i b k j i a ρρρ ρρ??+=++-=2,2，则有（ ）. A.a ρ∥b ρ B.a ρ⊥b ρ C.3,π=b a ρρ D.4 ,π=b a ρρ 3.函数1 122 2 22-++ --= y x y x y 的定义域是（ ）. A.(){ }21,22≤+≤y x y x B.( ){} 21,22<+ 10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（ ）. A.x ce y = B.x e y = C.x cxe y = D.cx e y = 二.填空题（4分?5） 1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________. 2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________. 3.设133 2 3 +--=xy xy y x z ，则 =???y x z 2_____________________________. 4. x +21 的麦克劳林级数是___________________________. 5.微分方程044=+'+''y y y 的通解为_________________________________. 三.计算题（5分?6） 1.设v e z u sin =，而y x v xy u +==,，求 .,y z x z ???? 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程052422 2 2 =-+-+-z x z y x 确定，求 .,y z x z ???? 3.计算 σd y x D ?? +2 2sin ，其中22224:ππ≤+≤y x D . 4.如图，求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径）. 5.求微分方程x e y y 23=-'在00 ==x y 条件下的特解. 四.应用题（10分?2） 《 高等数学》 一.选择题 1.当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的（） A)、x y =B)、x y sin =C)、x y cos 1-=D)、1-=x e y 2.函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（） A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3.下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、 (( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4.下列各式正确的是（） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、 2arctan 1dx dx x x =+?D ）、2 11 ()dx C x x -=-+? 5.下列等式不正确的是（）. A ）、 ()()x f dx x f dx d b a =???????B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=???? ??? C ）、()()x f dx x f dx d x a =???????D ）、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6.0 ln(1)lim x x t dt x →+=?（） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7.设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（） 模拟试卷一 一、单项选择题（每题3分，共24分） 1、已知平面π：042=-+-z y x 与直线1 1 1231: -+=+=-z y x L 的位置关系是（ ） （A ）垂直 （B ）平行但直线不在平面上 （C ）不平行也不垂直 （D ）直线在平面上 2、=-+→→1 123lim 0xy xy y x （ ） （A ）不存在 （B ）3 （C ）6 （D ）∞ 3、函数),(y x f z =的两个二阶混合偏导数y x z ???2及x y z ???2在区域D 内连续是这两个二阶混合 偏导数在D 内相等的（ ）条件. （A ）必要条件 （B ）充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）非充分且非必要条件 4、设 ??≤+=a y x d 224πσ，这里0 a ，则a =（ ） （A ）4 （B ）2 （C ）1 （D ）0 5、已知 ()()2 y x ydy dx ay x +++为某函数的全微分，则=a （ ） （A ）-1 （B ）0 （C ）2 （D ）1 6、曲线积分=++?L z y x ds 2 22（ ），其中.1 10:222???==++z z y x L （A ） 5 π （B ）52π （C ）53π （D ）54π 7、数项级数 ∑∞ =1 n n a 发散，则级数 ∑∞ =1 n n ka （k 为常数）（ ） （A ）发散 （B ）可能收敛也可能发散 （C ）收敛 （D ）无界 8、微分方程y y x '=''的通解是（ ） （A ）21C x C y += （B ）C x y +=2 （C ）22 1C x C y += （D ）C x y += 2 2 1 二、填空题（每空4分，共20分） 1、设xy e z sin =，则=dz 。 高等数学 A( 下册 ) 期末考试试题 大题一二三四五六七 小题 1 2 3 4 5 得分 一、填空题：（本题共 5 小题，每小题 4 分，满分 20 分，把答案直接填在题中 横线上） 1 、已知向量、满足，，，则． 2 、设，则． 3 、曲面在点处的切平面方程为． 4 、设是周期为的周期函数，它在上的表达式为，则 的傅里叶级数 在处收敛于，在处收敛于． 5 、设为连接与两点的直线段，则． ※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题 纸写上：姓名、学号、班级． 二、解下列各题：（本题共 5 小题，每小题 7 分，满分 35 分） 1 、求曲线在点处的切线及法平面方程． 2 、求由曲面及所围成的立体体积． 3 、判定级数是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ 4 、设，其中具有二阶连续偏导数，求． 5 、计算曲面积分其中是球面被平面截出的顶部． 三、（本题满分 9 分）抛物面被平面截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值． （本题满分 10 分） 计算曲线积分， 其中为常数，为由点至原点的上半圆周． 四、（本题满分 10 分） 求幂级数的收敛域及和函数． 五、（本题满分 10 分） 计算曲面积分， 其中为曲面的上侧． 六、（本题满分 6 分） 设为连续函数，，，其中是由曲 面与所围成的闭区域，求． ------------------------------------- 备注：①考试时间为 2 小时； ②考试结束时，请每位考生按卷面答题纸草稿纸由表及里依序对折上交；不得带走试卷。 高等数学 A( 下册 ) 期末考试试题【 A 卷】 参考解答与评分标准 2009 年 6 月 ( 大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ） 时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是 等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. … 4. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 5. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 6. , 7. = +→x x x sin 20 ) 31(lim . 8. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 9. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 10. = -+? 2 12 1 2 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 11. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 《高等数学》 一.选择题 1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的 （ ） A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（ ） A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（ ）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（ ） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、 2arctan 1dx dx x x =+? D ）、2 11 ()dx C x x -=-+? 5. 下列等式不正确的是（ ）. A ）、()()x f dx x f dx d b a =??????? B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=??????? C ）、()()x f dx x f dx d x a =??????? D ）、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6. ln(1)lim x x t dt x →+=?（ ） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7. 设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（ ） A ）、 C bx bx b x +-sin cos B ） 、C bx bx b x +-cos cos C ）、C bx bx bx +-sin cos D ）、C bx b bx bx +-cos sin 《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ()2g x x = （C ）()f x x = 和 ()()2 g x x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数()()sin 42 0ln 10x x f x x a x ?+-≠? =+?? =? 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4 y x =的（ ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 8． x x dx e e -+?的结果是（ ）. （A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （ D ）ln()x x e e C -++ 9．下列定积分为零的是（ ）. 2019最新高等数学（下册）期末考试试题（含答 案） 一、解答题 1．已知过去几年产量和利润的数据如下： 解：在直角坐标系下描点，从图可以看出，这些点大致接近一条直线，因此可设f (x )=ax +b ，求[] 621()i i i u y ax b ==-+∑的最小值，即求解方程组 6662111661 1,6.i i i i i i i i i i i a x b x y x a x b y =====?+=????+=??∑∑∑∑∑ 把(x i ,y i )代入方程组，得 29834402240034026320a b a b +=??+=? 解得 a =0.884, b =-5.894 即 y =0.884x -5.894, 当x =120时，y =100.186(310元). 2．求下列伯努利方程的通解： 2(1)(cos sin );y y y x x '+=- 解：令121z y y --==，则有 d d (12)(12)(cos sin )sin cos d d z z z x x z x x x x +-=--?-=- (1)d (1)d e (sin cos )e d e e (sin cos )d e sin x x x x x z x x x c x x x c c x ----????=-+???? ??=-+=-???? 1e sin x c x y ?=- 即为原方程通解. 411(2)(12)33 y y x y '+=-. 解：令3d 21d z z y z x x -=?-=-. d d e 21e (21)e d x x x z x c x x c -????==--+-+???? ? 3(e 21)1x y c x ?--= 即为原方程通解. 3．证明：22 d d x x y y x y ++在整个xOy 平面内除y 轴的负半轴及原点外的开区域G 内是某个二元函数的全微分，并求出这样的一个二元函数． 证：22x P x y =+，22 y Q x y =+，显然G 是单连通的，P 和Q 在G 内具有一阶连续偏导数，并且． ()2 222??-==??+P Q xy y x x y ，(x ,y )∈G 因此22 d d x x y y x y ++在开区域G 内是某个二元函数u (x ,y )的全微分． 由()()22222222d d 11ln 22d x y x x y y d x y x y x y ++??==+??++?? 知()()221ln ,2 u x y x y =+． 4．应用格林公式计算下列积分： (1)()()d d 24356+-++-?x y x y x y Γ， 其中 L 为三顶点分别为(0,0)，(3,0)和(3,2)的三角形正向边界； (2)()()222d d cos 2sin e sin 2e x x L x y x y x xy x y x x y ++--?，其中L 为正向星形线()22 23330x y a a +=>； 大一高数试题及答案 一、填空题（每小题１分，共１０分） １．函数 2 2 111arcsin x x y -+ -=的定义域为______________________。 ２．函数 2e x y += 上点（ ０，１ ）处的切线方程是______________。 ３．设ｆ（X ）在0x 可导,且A (x)f'=，则h h x f h x f h ) 3()2(l i m 000--+→ ＝ _____________。 ４．设曲线过（０，１），且其上任意点（x ，y ）的切线斜率为2x ，则该曲线的方程是 ____________。 ５．=-?dx x x 4 1_____________。 ６．=∞→x x x 1 sin lim __________。 ７．设f(x,y)=sin(xy),则fx(x,y)=____________。 ９．微分方程 22 233)(3dx y d x dx y d +的阶数为____________。 ∞ ∞ １０．设级数 ∑ ａn 发散，则级数 ∑ ａn _______________。 n=1 n=1000 二、单项选择题。(１～１０每小题１分，１１～２０每小题２分，共３０分） １．设函数 x x g x x f -== 1)(,1 )(则ｆ［ｇ（ｘ）］＝ （ ） ①x 1 1- ②x 1 1- ③ x -11 ④x ２．11 sin +x x 是 （ ） ①无穷大量 ②无穷小量 ③有界变量 ④无界变量 ３．下列说法正确的是 （ ） ①若ｆ（ X ）在 X ＝Xo 连续， 则ｆ（ X ）在X ＝Xo 可导 ②若ｆ（ X ）在 X ＝Xo 不可导，则ｆ（ X ）在X ＝Xo 不连续 ③若ｆ（ X ）在 X ＝Xo 不可微，则ｆ（ X ）在X ＝Xo 极限不存在 ④若ｆ（ X ）在 X ＝Xo 不连续，则ｆ（ X ）在X ＝Xo 不可导 ４．若在区间（ａ，ｂ）内恒有 0)(",0)('> 高等数学（下册）考试试卷（一） 一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、 z =)0()(log 2 2>+a y x a 的定义域为D= 。 2、二重积分 ?? ≤++1 ||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 。 3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示为 ，其值为 。 4、设曲线L 的参数方程表示为),() () (βαψ?≤≤?? ?==x t y t x 则弧长元素=ds 。 5、设曲面∑为92 2 =+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则=++?? ∑ ds y x )12 2（ 。 6、微分方程x y x y dx dy tan +=的通解为 。 7、方程04) 4(=-y y 的通解为 。 8、级数 ∑∞ =+1 )1(1 n n n 的和为 。 二、选择题（每小题2分，共计16分） 1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（ ） （A ）),(y x f 在),(00y x 处连续； （B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在； （C ） y y x f x y x f z y x ?'-?'-?),(),(0000当0)()(2 2→?+?y x 时，是无穷小； （D ）0) ()(),(),(lim 2 2 00000 =?+??'-?'-?→?→?y x y y x f x y x f z y x y x 。 2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222y u y x u x ??+??等于（ ） （A ）y x +； （B ）x ； (C)y ； (D)0 。 3、设Ω：,0,12 2 2 ≥≤++z z y x 则三重积分???Ω = zdV I 等于（ ） （A ）4 ? ??2 201 3 cos sin π π ???θdr r d d ；（B ）???20 1 2 sin π π??θdr r d d ； 四川理工学院试卷（2007至2008学年第一学期） 课程名称： 高等数学(上)(A 卷) 命题教师： 杨 勇 适用班级： 理工科本科 考试(考查)： 考试 2008年 1 月 10日 共 6 页 注意事项： 1、 满分100分。要求卷面整洁、字迹工整、无错别字。 2、 考生必须将姓名、班级、学号完整、准确、清楚地填写在试卷规定的地方，否 则视为废卷。 3、 考生必须在签到单上签到，若出现遗漏，后果自负。 4、 如有答题纸，答案请全部写在答题纸上，否则不给分；考完请将试卷和答题卷 分别一同交回，否则不给分。 试 题 一、单选题（请将正确的答案填在对应括号内，每题3分，共15分） 1. =--→1 ) 1sin(lim 21x x x ( C ) (A) 1； (B) 0； (C) 2； (D) 2 1 2.若)(x f 的一个原函数为)(x F ，则dx e f e x x )(? --为( B ) (A) c e F x +)(； (B) c e F x +--)(； (C) c e F x +-)(； (D ) c x e F x +-) ( 3.下列广义积分中 ( D )是收敛的. (A) ? +∞ ∞ -xdx sin ； (B)dx x ? -111 ； (C) dx x x ?+∞ ∞-+2 1； (D)?∞-0dx e x 。 4. )(x f 为定义在[]b a ,上的函数，则下列结论错误的是( B ) (A) )(x f 可导，则)(x f 一定连续； (B) )(x f 可微，则)(x f 不一定可导； (C) )(x f 可积（常义），则)(x f 一定有界； (D) 函数)(x f 连续，则? x a dt t f )(在[]b a ,上一定可导。 5. 设函数=)(x f n n x x 211lim ++∞→ ，则下列结论正确的为( D ) (A) 不存在间断点； (B) 存在间断点1=x ； (C) 存在间断点0=x ； (D) 存在间断点1-=x 二、填空题（请将正确的结果填在横线上.每题3分，共18分） 1. 极限=-+→x x x 1 1lim 20 _0____. 2. 曲线? ??=+=3 2 1t y t x 在2=t 处的切线方程为______. 3. 已知方程x xe y y y 265=+'-''的一个特解为x e x x 22 )2(2 1+- ，则该方程的通解为 . 4. 设)(x f 在2=x 处连续，且22 ) (lim 2=-→x x f x ，则_____)2(='f 5．由实验知道，弹簧在拉伸过程中需要的力F （牛顿）与伸长量s 成正比，即ks F =（k 为比例系数），当把弹簧由原长拉伸6cm 时，所作的功为_________焦耳。 6．曲线23 3 2 x y =上相应于x 从3到8的一段弧长为 . 三、设0→x 时，)(22 c bx ax e x ++-是比2 x 高阶的无穷小，求常数c b a ,,的值（6分） 《高等数学A 》(下）期末试卷A 答案及评分标准 一、选择题（本大题分5小题，每题3分，共15分） 1、交换二次积分 ? ? x e dy y x f dx ln 0 1 ),(的积分次序为 （ c ） (A ) ? ? x e dx y x f dy ln 0 1 ),( (B ) ?? 1 ),(dx y x f dy e e y (C ) ? ? e e y dx y x f dy ),(10 (D ) ?? e x dx y x f dy 1 ln 0 ),( 2、锥面22y x z +=在柱面x y x 22 2≤+内的那部分面 积为 （D ） (A ) ? ? - θπ π ρρθcos 20 22 d d (B ) ? ? - θπ π ρ ρθcos 20 222 d d (C ) ? ? - θπ π ρρθcos 20 2 22 2d d (D ) ? ? - θπ π ρρθcos 20 22 2d d 3、若级数∑∞ =-1 )2(n n n x a 在2-=x 处收敛，则级数 ∑∞ =--1 1 )2(n n n x na 在5=x （B ） (A ) 条件收敛 (B ) 绝对收敛 (C ) 发散(D ) 收敛性不确定 4、下列级数中收敛的级数为 （ A ） (A ) ∑∞ =-1 )13(n n n n (B ) ∑∞ =+1 21n n n (C ) ∑∞ =+1 11 sin n n (D ) ∑∞ =1 3!n n n 5、若函数 )()2()(2 222x axy y i xy y x z f -+++-=在复平面上处处解析，则实常数a 的值 为 （ c ） (A ) 0 (B ) 1 (C ) 2 (D ) -2 高等数学（下）模拟试卷一 一、填空题（每空3分，共15分） （1）函数 11z x y x y =+ +-的定义域为 （2）已知函数 arctan y z x =，则z x ?= ? （3）交换积分次序， 2 220 (,)y y dy f x y dx ? ? ＝ （4）已知L 是连接(0,1),(1,0)两点的直线段，则 ()L x y ds +=? （5）已知微分方程230y y y '''+-=，则其通解为 二、选择题（每空3分，共15分） （1）设直线L 为321021030x y z x y z +++=?? --+=?，平面π为4220x y z -+-=，则（） A.L 平行于πB.L 在π上C.L 垂直于πD.L 与π斜交 （2）设是由方程 222 2xyz x y z +++=确定，则在点(1,0,1)-处的dz =（） dx dy +2dx dy +22dx dy +2dx dy -（3）已知Ω是由曲面222425()z x y =+及平面5 z =所围成的闭区域，将 2 2()x y dv Ω +???在柱面坐标系下化成三次积分为（） 22 5 3 d r dr dz πθ? ??. 24 5 3 d r dr dz πθ? ?? 22 5 3 50 2r d r dr dz πθ? ??. 22 5 20 d r dr dz π θ? ?? （4）已知幂级数，则其收敛半径（） 2112 2（5）微分方程3232x y y y x e '''-+=-的特解y *的形式为y * =（） ()x ax b xe +()x ax b ce ++()x ax b cxe ++ 三、计算题（每题8分，共48分） 1、 求过直线1L :1231 01x y z ---==-且平行于直线2L ：21211x y z +-==的平面方程 2、 已知 22 (,)z f xy x y =，求z x ??，z y ?? 3、 设 22{(,)4}D x y x y =+≤，利用极坐标求 2 D x dxdy ?? 4、 求函数 22 (,)(2)x f x y e x y y =++的极值 得分 阅卷人 课程名称 高等数学I （A ）解答 一 选择题（4小题，每题4分，共16分） 1． 下列数列收敛的是（ C ）。 (A) n n x n n 1] 1)1[(++-= (B) n n n x )1(-= (C) n x n n 1)1(-= (D) n n x n 1-= 2．已知函数231)(22+--=x x x x f 下列说法正确的是（ B ）。 (A) )(x f 有2个无穷间断点 (B) )(x f 有1个可去间断点，1个无穷间断点 (C) )(x f 有2个第一类间断点 (D) )(x f 有1个无穷间断点，1个跳跃间断点 3．设 ?????>≤=1,1,3 2)(23x x x x x f ，则)(x f 在x =1处的（ B ）。 (A) 左右导数都存在 (B) 左导数存在，右导数不存在 (C) 左导数不存在，右导数存在 (D) 左、右导数都不存在 4．函数 2)4(121++ =x x y 的图形（ B ） (A) 只有水平渐近线 (B) 有一条水平渐近线和一条铅直渐近线 (C) 只有铅直渐近线 (D) 无渐近线 二 填空题（4小题，每题4分，共16分） 1．x x x 23sin lim 0→＝__3/2_________ 2. x x e y x sin ln 2-+=则='y _2e x +1/x －cos x _ 3． 已知隐函数方程：024=-+y xe x 则='y －(4+e y ) / （x e y ） 4． 曲线332x x y +=在 x = 1 处对应的切线方程为： y =11x -6 . 三 解答题（5小题,每题6分，共30分） 高等数学(下册)期末考试试题 考试日期：2012年 院（系）别 班级 学号姓名 成绩 一、填空题：（本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上） 1、已知向量a 、b 满足0a b +=，2a =，2b =，则a b ?=-4． 2、设ln()z x xy =，则32 z x y ?=??-(1/y2)． 3、曲面2 2 9x y z ++=在点(1,2,4)处的切平面方程为 2 (x-1)+4(y-2)+z-4=0． 4、设()f x 是周期为2π的周期函数，它在[,)ππ-上的表达式为()f x x =，则()f x 的傅里叶级数 在3x =处收敛于，在x π=处收敛于． 5、设L 为连接(1,0) 与(0,1)两点的直线段，则 ()L x y ds +=?√2． ※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级． 二、解下列各题：（本题共5小题，每小题7分，满分35分） 1、求曲线222 222 239 3x y z z x y ?++=??=+??在点0M (1,1,2)-处的切线及法平面方程． 2、求由曲面2222z x y =+及22 6z x y =--所围成的立体体积． 故所求的体积为V dv Ω =???22 2620 20 2(63)6d d dz d πρρθρπρρπ-==-=?? (7) 3、判定级数 1 1 (1) ln n n n n ∞ =+-∑是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ 4、设(,)sin x z f xy y y =+，其中f 具有二阶连续偏导数，求2,z z x x y ?????． 《高等数学》试题30 考试日期：2004年7月14日 星期三 考试时间：120 分钟 一.选择题 1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的 （ ） A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（ ） A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（ ）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（ ） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、 2arctan 1dx dx x x =+? D ）、2 11 ()dx C x x -=-+? 5. 下列等式不正确的是（ ）. A ）、 ()()x f dx x f dx d b a =??????? B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=??????? C ）、()()x f dx x f dx d x a =??????? D ）、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6. 0 ln(1)lim x x t dt x →+=?（ ） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7. 设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（ ） A ）、 C bx bx b x +-sin cos B ） 、C bx bx b x +-cos cos C ）、C bx bx bx +-sin cos D ）、C bx b bx bx +-cos sin 范文范例参考 《高数》试卷1（上）一．选择题（将答案代号填入括号内，每题 3 分，共 30 分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（）. （A ）f x ln x2和 g x2ln x（ B） （C ）f x x 和g x 2 x（D ） f x| x | 和 g x x2 f x | x | g x1 和 x sin x 4 2 x0 2．函数f x ln 1x在 x 0 处连续，则a（） . a x0 （A ）0（ B）1 （D）2 （C）1 4 3．曲线y x ln x 的平行于直线 x y 1 0 的切线方程为（） . （A ）y x 1（ B）y( x 1)（C ）y ln x 1x 1（D）y x 4．设函数f x| x |，则函数在点x0 处（） . （A ）连续且可导（ B）连续且可微（ C ）连续不可导（ D）不连续不可微 5．点x0 是函数y x4的（）. （A ）驻点但非极值点（B）拐点（C）驻点且是拐点（D）驻点且是极值点 6．曲线y 1 ） . 的渐近线情况是（ | x | （A ）只有水平渐近线（ B）只有垂直渐近线（ C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线（D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7．f 11 ）. x x2 dx 的结果是（ （A ） 1 C 1 C 1 C （D） f 1 f（ B）f（ C ）f C x x x x 8． dx x e e x 的结果是（）. （A ）arctan e x C （） arctan e x C （ C ）x e x C （ D ）x e x )C B e ln( e 9．下列定积分为零的是（） . （A ）4arctanx dx （B）4x arcsin x dx （C） 1 e x e x 1x2x sin x dx 1x212 dx （D） 44 1 10 ．设f x为连续函数，则1 f 2x dx 等于（） . 0 （A ）f 2f0（B）1 f 11 f 0 （C） 1 f 2 f 0 （D） f 1 f 0 22 二．填空题（每题 4 分，共 20 分） f x e 2x1 x0 在 x 0处连续，则 a 1．设函数x.高等数学下册期末考试试题及答案
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