集合的概念和表示法
集合的概念和运算
集合的概念和运算集合是数学中重要的基本概念，它可以理解为元素的组合。
在数学中，元素可以是数字、字母、单词等等。
本文将介绍集合的概念、集合的表示方法以及集合的运算。
一、集合的概念集合是由元素构成的，通常用大写字母表示。
假设A是一个集合，x是A的元素，我们可以表示为x∈A，表示x属于A。
相反地，如果x不属于A，我们可以表示为x∉A。
集合可以有有限个或者无限个元素。
如果集合A中的元素个数有限，并且可以一一列举出来，我们称之为有限集。
如果集合A中的元素个数是无穷的，我们称之为无限集。
二、集合的表示方法1. 列举法：我们可以直接将集合中的元素一一列举出来。
例如，集合A = {1, 2, 3}表示A是一个包含元素1、2、3的集合。
2. 描述法：我们可以使用一个条件来描述集合中的元素。
例如，集合B = {x | x是自然数，且x < 5}表示B是一个包含小于5的自然数的集合。
三、集合的运算1. 交集：给定两个集合A和B，它们的交集（记作A∩B）是包含同时属于A和B的所有元素的新集合。
例如，A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，则A∩B = {2, 3}。
2. 并集：给定两个集合A和B，它们的并集（记作A∪B）是包含属于A或者属于B的所有元素的新集合。
例如，A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，则A∪B = {1, 2, 3, 4}。
3. 差集：给定两个集合A和B，它们的差集（记作A-B）是包含属于A但不属于B的所有元素的新集合。
例如，A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，则A-B = {1}。
4. 互斥集：给定两个集合A和B，如果它们的交集为空集，则称它们为互斥集。
例如，A = {1, 2}，B = {3, 4}，则A∩B = ∅。
5. 补集：给定一个普通集合U和它的一个子集合A，A相对于U的补集（记作A'或者A^c）是包含U中所有不属于A的元素的集合。
集合的概念与表示方法
一、集合的概念 一般地, 一定范围内某 些确定的,不同的对象的全 体构成一个集合. 集合中每个对象称为这 个集合的元素.
一、集合的概念
1.集合：用大写字母表示,如A,B 2.元素：用小写字母表示,如a,b 3.元素与集合关系：
…
…
如果a是集合A的元素，就说a 属于集合A，记作a A； 如果a不是集合A的元素，就 说a不属于集合A，记作a A．
（2）平行四边形，四边形；
（3）直角三角形，等边三角形； （4）-3, 2，6，|3|，-6 ；
（5）（2,3），（3,2），（-2,3）；
3)无序性：集合中的元素是无先后 顺序的．集合中的任何两个元素都 可以交换位置．
5.集合的分类
⑴有限集：含有有限个元素的集合．
⑵无限集：含有无限个元素的集合．
(六）课堂小结： 1.集合的概念：一定范围内某些确定的、不同对象的 全体构成一个集合.集合通常用大写字母A.B.C……… 表示,如集合A.B集合中的对象称为元素,元素用小写 字母a.b.c表示。元素与集合的关系:从属关系 aA bA 2.集合中元素的性质：确定性 互异性 无序性 3.集合的表示方法 ：描述法、列举法、文恩图法 4.集合的分类：有限集、无限集、空集 5.特殊集合的表示：自然数集：Ｎ 整数集：Ｚ 有 理数集：Ｑ 实数集：Ｒ
例3.已知集合A={ a+2,(a+1)2 ,a2+3a+3}, 若1∈A,求实数a的值.
解：①a+2=1时即a=-1时 Ａ=｛１,０,１｝不满足元素的互异性 ②1=(a+1)2时即a=0或a=-2经检 验a=0符合条件 ③1=a2+3a+3时即a=-1或a=-2 经检验都不符合条件 综上：a=0
集合的基本概念
集合的基本概念集合是数学中基础而重要的概念之一。
它被广泛应用于各个数学分支和其他科学领域。
本文将介绍集合的基本概念、符号表示法以及一些常见的集合运算。
1. 集合的定义在数学中，集合可以被定义为由确定的对象所构成的整体。
这些对象可以是任何事物，如数、字母、图形等。
一个集合可以包含零个或多个对象，而且每个对象在集合中只能出现一次。
2. 集合的符号表示法数学中，集合通常用大写字母表示，例如A、B、C等。
对于属于集合的对象，可以用小写字母表示，例如a、b、c等。
表示一个对象属于某个集合，可以使用符号“∈”。
例如，如果a属于集合A，我们可以写作a ∈ A。
相反地，如果一个对象不属于某个集合，可以使用符号“∉”。
例如，如果b不属于集合A，我们可以写作b ∉ A。
3. 集合的描述方法有时，我们需要对集合中的对象进行描述。
有两种常见方法可以描述集合：a. 列举法：通过列举集合中的所有对象来描述集合。
例如，如果集合A包含元素1、2和3，我们可以写作A = {1, 2, 3}。
b. 描述法：通过给出满足某个条件的对象来描述集合。
例如，如果集合B包含所有大于0的整数，我们可以写作B = {x | x > 0}，其中“|”表示“满足条件”。
4. 集合的基本运算集合之间可以进行一些常见的运算，包括并集、交集、差集和补集。
a. 并集：两个集合A和B的并集，表示为A ∪ B，包含了A和B中所有的元素。
例如，如果A = {1, 2, 3}，B = {3, 4, 5}，则A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}。
b. 交集：两个集合A和B的交集，表示为A ∩ B，包含了A和B共有的元素。
例如，如果A = {1, 2, 3}，B = {3, 4, 5}，则A ∩ B = {3}。
c. 差集：两个集合A和B的差集，表示为A - B，包含了属于A但不属于B的元素。
例如，如果A = {1, 2, 3}，B = {3, 4, 5}，则A - B= {1, 2}。
集合的概念及表示
第一节 集合相关概念集合的有关概念：由一些数、一些点、一些图形、一些整式、一些物体、一些人组成的.我们说，每一组对象的全体形成一个集合，或者说，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集.集合中的每个对象叫做这个集合的元素.定义：一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合．1、集合的概念（1）集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合（简称集）（2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素2、常用数集及记法（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合记作N ， {} ,2,1,0=N（2）正整数集：非负整数集内排除0的集记作N *或N + {} ,3,2,1*=N（3）整数集：全体整数的集合记作Z , {} ，，，210±±=Z （4）有理数集：全体有理数的集合记作Q , {}整数与分数=Q （5）实数集：全体实数的集合记作R {}数数轴上所有点所对应的=R注：（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0（2）非负整数集内排除0的集记作N *或N +Q 、Z 、R 等其它数集内排除0的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z *3、元素对于集合的隶属关系（1）属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a ∈A（2）不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作A a ∉4、集合中元素的特性（1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可（2）互异性：集合中的元素没有重复（3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）5、⑴集合通常用大写的拉丁字母表示，如A 、B 、C 、P 、Q ……元素通常用小写的拉丁字母表示，如a 、b 、c 、p 、q ……⑵“∈”的开口方向，不能把a ∈A 颠倒过来写练习、下列各组对象能确定一个集合吗？（1）所有很大的实数（2）好心的人（3）1，2，2，3，4，5．第二节 集合的表示1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合例如，由方程012=-x 的所有解组成的集合，可以表示为{-1，1}注：（1）有些集合亦可如下表示：从51到100的所有整数组成的集合：{51，52，53， (100)所有正奇数组成的集合：{1，3，5，7，…}（2）a 与{a}不同：a 表示一个元素，{a}表示一个集合，该集合只有一个元素2、描述法： 用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法格式：{x ∈A| P （x ）} 含义：在集合A 中满足条件P （x ）的x 的集合 例如，不等式23>-x 的解集可以表示为：}23|{>-∈x R x 或 }23|{>-x x所有直角三角形的集合可以表示为：}|{是直角三角形x x注：（1）在不致混淆的情况下，可以省去竖线及左边部分 如：{直角三角形}；{大于104的实数}（2）错误表示法：{实数集}；{全体实数}3、文氏图（韦恩图）：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法4、何时用列举法？何时用描述法？⑴有些集合的公共属性不明显，难以概括，不便用描述法表示，只能用列举法 如：集合},5,23,{2232y x x y x x +-+⑵有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便于、不需要一一列举出来，常用描述法如：集合}1|),{(2+=x y y x ； 集合{1000以内的质数}例 集合}1|),{(2+=x y y x 与集合}1|{2+=x y y 是同一个集合吗？答：不是因为集合}1|),{(2+=x y y x 是抛物线12+=x y 上所有的点构成的集合， 集合}1|{2+=x y y =}1|{≥y y 是函数12+=x y 的所有函数值构成的数集 有限集与无限集1、 有限集：含有有限个元素的集合2、 无限集：含有无限个元素的集合3、 空集：不含任何元素的集合记作Φ，如：}01|{2=+∈x R x练习题、用列举法表示下列集合①{x ∈N|x 是15的约数} ②{（x ，y ）|x ∈{1，2}，y ∈{1，2}}③⎩⎨⎧=-=+}422|),{(y x y x y x ④},)1(|{N n x x n ∈-=⑤},,1623|),{(N y N x y x y x ∈∈=+ ⑥}4,|),{(的正整数约数分别是y x y x。
集合的含义及表示方法
确定性
集合中的元素具有确定性，即每个元素是否属于某个集合是明确的。对于任意一 个元素，如果它属于某个集合，则它只属于该集合；如果不属于该集合，则它与 该集合没有关系。
确定性的性质使得集合可以准确地描述事物的分类和归属问题，是数学和计算机 科学中基本的概念之一。
集合的含义及表示方法
• 集合的基本概念 • 集合的运算 • 集合的性质 • 集合的应用
01
集合的基本概念
集合的定义
01 集合是由确定的、不同的元素所组成的总体 。
02
集合中的元素具有确定性，即每一个对象是 否属于某个集合是确定的。
03
集合中的元素具有互异性，即集合中不会有 重复的元素。
04
集合中的元素具有无序性，即集合中元素的 排列顺序不影响集合本身。
数据库系统
数据库系统是计算机科学中用来存储和管理大量数据的重要工具。集合理论在数据库设计 中起着重要的作用，例如关系数据库中的表可以看作是集合的表示。
在日常生活中的应用
分类问题
在生活中，我们经常需要对事物进行分类。集合可以用来表示不同的类别，帮助我们更好地组织 和理解事物。
决策制定
在决策制定过程中，我们经常需要考虑多个因素或条件。集合可以帮助我们表示这些因素或条件 ，并分析它们之间的关系，从而做出更好的决策。
03
补集
补集是指全集中不属于某个集合的元素组成的集合。
补集的表示方法是在一个集合后面加上"′"，例如：A′。
补集运算满足反演律，即A′=(全集−A)∪(全集−B)。
03
集合的性质
无序性
集合中的元素没有固定的顺序，即元素的位置不影响集合的性质。例如，集合A={1,2,3}和集合B={3,2,1}是同一个集合，因为 元素的无序性，集合A和集合B具有相同的性质。
1.1集合的概念与表示方法课件(人教版)
{ X
| 1<X<5 , X∈z }
{ X∈z
| 1<X<5
}
二、描述法：一般地，设 A 是一个集合，把集合 A 中所有具
有共同特征 P(x)的元素 x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}．
例：
不等式x—1>0的整数解
{x|x > 1，n∈Z}
起来表示集合。
偶数集（合）：
｛0, 2, 4, 6, 8, 10
｝
集合的表示方法
一、列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号
“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．
例题：
元素之间逗号隔开
（1）大于 1 且小于 6 的整数组成的集合 A
A＝{2,3,4,5}
（2）方程 x2－9＝0 的实数根组成的集合 B
③将小于 10 的自然数按从小到大的顺序排列和按从大到小的
顺序排列分别得到不同的两个集合．
练习2
若集合A={1,2m,-4}，且2 = 4，则m的值为（ D
）
A．4
B．-2
C．-2或2
D．2
常见数集
数集
非负整数集
(自然数集)
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*或 N＋
Z
Q
R
练习3
3、下列关系中正确的个数为（ B
4
6
习题：
能正确表示集合 M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合 N＝{x∈R|x2－x＝0}
关系的Venn 图是（B）。
总结
集合
THANK YOU
集合的概念与表示方法
集合的概念与表示方法集合是数学中一个基本概念，它是将具有共同特征的对象组合在一起形成的整体。
在实际生活中，我们经常会接触到各种各样的集合，比如家庭成员的集合、学生的集合、数字的集合等等。
本文将介绍集合的概念以及常见的表示方法。
一、集合的概念集合是由一些元素组成的整体，这些元素可以是任何事物，可以是数字、字母、符号或者其他对象。
集合中的元素没有顺序之分，每个元素只能出现一次。
集合可以用大括号{}括起来表示，元素之间用逗号隔开。
例如，集合{1, 2, 3, 4, 5}表示由数字1、2、3、4、5组成的集合。
集合的表示还可以使用描述法或特征法。
描述法是通过描述集合的元素属性或条件来表示集合。
例如，表示由奇数组成的集合可以写为{ x | x∈N, x是奇数 }，其中符号“|”表示“属于”，“∈”表示“是集合”的元素，N表示自然数集。
特征法是通过列举出集合的元素来表示集合。
例如，表示由元音字母组成的集合可以写为{ a, e, i, o, u }。
二、集合的表示方法在数学中，常见的集合表示方法包括列表法、描述法、数学公式表示法等。
1. 列表法列表法是一种简单直观的表示方法，在其中直接列举出集合的元素。
例如，表示所有人的集合可以写为{ 张三, 李四, 王五 }，表示由自然数组成的集合可以写为{ 1, 2, 3, ... }。
2. 描述法描述法是通过描述集合中元素的特征或满足的条件来表示集合。
例如，表示大于0且小于10的整数集合可以写为{ x | 0 < x < 10 }，表示由英文字母组成的集合可以写为{ x | x 是英文字母 }。
3. 数学公式表示法数学公式表示法是一种更具抽象性的表示方法，可以用数学符号和公式来表示集合。
例如，表示由数字1和2组成的集合可以写为{ x ∈N | x ≤ 2 }，表示由正整数构成的集合可以写为{ x ∈ Z+ | x > 0 }。
三、集合的运算在集合论中，还存在着一些常见的集合运算，包括并集、交集、补集和差集。
集合的概念、表示方法和运算
特定的一些集合的表示符号
（1）自然数集 N={0，1，2，…}
（2）整数集合 I={…-2，-1，0，1，2，…}
（3）正整数集合 I＋={1,2,3,4…} （4）有理数集合 Q={xx=Pq，p,qI}
P（{{a,{b,c}}}）＝｛，{{a,{b,c}}}｝
一、集合的概念、表示方法及集合的运算
5、注意点：
• 和
• ，
例题：A={a, {b}, c} 则a A, b A, c A {a} A, {b}A, {c} A
• A= {},则有 A, A，{ }A, {} A
作业：P86
第二篇 集 合 论
集合论是现代各科数学的基础。在数学发展 中，集合理论一方面扩充了数学研究的对象，另 一方面集合理论又为数学奠定了基础。
本章介绍集合论的基础知识如： 集合运算、性质、序偶、关系等。
第 三 章： 集合与关系
3－1、集合的概念、表示方法
1、集合定义：具有共同性质的东西汇集成的一个整体。
= E， A A＝E
A A＝
(3) 集合的补集
定理3-2.4德∙摩根律 (AB)= AB (AB)= AB
例题：求证A-B=AB 证明： A-B={xxAx B}
=AB
定理： A，B，C为三个集合，则A(B-C)=(AB)-(AC)
证明： A(B-C) = A(B C) = A B C
•定理： A B＝A B
•定理：C(AB) = (CA)(CB)
注： C (A B) ≠ (C A)(C B) C (A B) ≠ (C A) (C B)
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二、集合的表示法
离散数学 3.1 集合的概念及表示法
2、描述集合中元素的方法
2) 描述法 (谓词表示法) 把集合元素的共同属性描述出来。即用谓词概括
集合中元素的属性。P(x)表示任何谓词，则
集合的元 素
A={ x | P(x) }
离散数学 3.1 集合的概念及表示法
一 集合的概念 二 集合的表示法 三 元素和集合之间的关系 四 集合间的包含关系 五 特殊集合 六 小结
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离散数学 3.1 集合的概念及表示法
一、集合的基本概念
1、集合的定义
具有某种共同属性的事物的全体 称为集合。 例如：计算机网络是计算机之间以信息传输为主要
著名理发师问题就属于模糊论的研究范畴。
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二、集合的表示法
离散数学 3.1 集合的概念及表示法
2、描述集合中元素的方法
1) 列举法
a、全部列举法： 以任意顺序写出集合的所有元素, 元素间用逗号 隔开，并将其放在花括号内。
例如“所有小于5的正整数”这，个集合的元素为 1, 2, 3, 4, 再没有别的元素了。
目的而连接起来的计算机系统的集合。 如今流行的WWW(World Wide Web)环球网。 计算机内存的全体单元构成一集合。
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2 2
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离散数学 3.1 集合的概念及表示法
一、集合的基本概念
2、集合的元素
集合里含有的对象或客体 称为集合的元素。
注：1、集合的元素表示的事物可以是具体的，也可 以是抽象的。
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离散数学 3.1 集合的概念及表示法
三、元素和集合之间的关系
元素和集合之间的关系, 是隶属关系，即属于
或不属于，属于记作∈，不属于记作。
例如：A={1，{1，2}，3，{{3}}}
A
1∈A，{1，2}∈A， 3∈A，{{3}}∈A，
2 A，2∈{1，2}，{3} A。
集合的元素 必须满足的
条件
表示所有使谓词P(x)成立的元素x所组成的集合。
如果P(a)为真，则a∈A，否则 a∈A,
例：{x | x2-3x+2=0}、{x | x=2n-1∧n∈N}
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二、集合的表示法
离散数学 3.1 集合的概念及表示法
注：1、有些集合可以用两种方法表示，但是有些
注：任一元素, 对某一集合而言, 或属于该集合,
或不属于该集合, 二者必居其一, 且只居其一。
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二、集合的表示法
离散数学 3.1 集合的概念及表示法
1、符号表示法
注：绝不容许界限不分明或含糊不清的情况存在。 离散数学中，只讨论界限清楚、无二义性的描述， 不清晰的对象构成的集合 属于模糊论的研究范畴。
集合不可以用列元素法表示，如实数集合。 2、集合的元素是彼此不同的，如果同一个元
素在集合中多次出现 应该认为是一个元素。 3、集合的元素是无序的。
如:{3,4,4,4,5}、{3,4,5}、{5,4,3} 是同一个集合。 4、集合的元素可以是一个集合，但不允许以
集合自身为其元素。
如:S={a,{b}}, a∈S，b∈S, S={a,b,S},
2)判断
定理 若A和B相等 当且仅当 A⊆B 且 B⊆A。
即 A与B互为子集。
证明：A=B
(x) ( x∈A x∈B )
(x) (( x∈A→ x∈B ) ∧ ( x∈B →x∈A))
(x) (x∈A→ x∈B )∧ (x)(x∈B →x∈A)
A⊆B ∧ B⊆A
证毕。
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如果把这个集合命名为A, 就可记为
A={1, 2, 3, 4}
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二、集合的表示法
离散数学 3.1 集合的概念及表示法
2、描述集合中元素的方法
1) 列举法
b、部分列举法： 列举集合的部分元素，其他元素可从列举的元
素归纳出来 ，用省略号代替。
例如A表示“全体小写英文字母”的集合， 则 A={a, b, … , y, z} 注： 列举法仅适用于描述元素个数有限的集合 或
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2、集合的元素是任意的，但必须是确定的 和可 以区分的。
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离散数学 3.1 集合的概念及表示法
一、集合的基本概念
3、集合的分类
1) 有限集合 集合的元素个数是有限的。
2) 无限集合 集合的元素个数是无限的。
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1 {1,2} 3 {{3}}
可以用一种树形图表示 集合与元素的隶属关系。
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{3}
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离散数学 3.1 集合的概念及表示法
四、集合间的包含关系
1、子集
ห้องสมุดไป่ตู้
如果集合A中每个元素 都是集合B中的元素， 则称A是B的 子集，或A包含于B，或者B包含A， 记作A⊆B 或 B⊇A。
2、集合相等
1)定义 (外延性原理)
两个集合相等当且仅当 它们有相同的元素。 若A和B相等，记作 A=B。
A=B (x) ( x∈A x∈B )
两个集合不相等，记作A B。
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离散数学 3.1 集合的概念及表示法
四、集合间的包含关系
2、集合相等
A⊆B (x) ( x∈A→ x∈B )
如果A不是B的子集，则在A中至少有一个元素
不属于B时，称B不包含A，记作A⊆B 或 B⊇A。 注： 1) A⊆A，
2) A⊆B， B⊆C， 则A⊆C。
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离散数学 3.1 集合的概念及表示法
四、集合间的包含关系
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二、集合的表示法
离散数学 3.1 集合的概念及表示法
1、符号表示法
通常用大写字母A, B, C, …代表集合; 用小写字母a, b, c, …代表元素。
1)如果a是集合A的一个元素, 则记为 a∈A,
读做“a属于A”或, “a在集合A中”。
2)如果a不是集合A的一个元素, 则记为 a∈A, 读做“a不属于A”,或 “a不在集合A中”。