集合概念及表示方法(学生版)

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1.1集合的概念及表示方法

一、教学目标：

1、了解集合、元素的概念；掌握集合中元素的三大特征；

2、理解元素与集合的“属于”与“不属于”的关系；

3、了解集合的表示方法并能选择恰当的方法表示集合。 二、教学重难点：

教学重点：集合的基本概念与表示方法。

教学难点：集合的表示方法并选择恰当的表示方法。

三、新课引入

引入：接下来的课程要坐很久，老师建议我们整个小班同学集合起来，小小的运动一下，简单的头部运动、伸展运动； 提出问题：要求运动的对象是？

四、知识呈现

1、集合概念：一些研究对象的总体.一般地，我们把研究对象统称为元素（element ），一些元素组成的总体叫集合（set ），也简称集。

2、关于集合的元素的特征

（1）确定性：设A 是一个给定的集合，x 是某一个具体对象，则或者是A 的元素，或者不是A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。 （2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。

（3）无序性：给定一个集合与集合里面元素的顺序无关。

3、元素与集合的关系

集合与元素的字母表示： 集合通常用大写的拉丁字母A ，B ，C …表示，集合的元素用

小写的拉丁字母a,b,c,…表示。

（1）如果a 是集合A 的元素，就说a 属于（belong to ）A ，记作：a ∈A

（2）如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于（not belong to ）A ，记作：a ?A 集合相等：构成两个集合的元素完全一样。 4、集合分类

含有 个元素的集合叫做有限集 按集合元素个数分类 含有 个元素的集合叫做无限集

不含有任何元素的集合称为空集（empty set ），记作：?。

5、常用数集及记法

数集 自然数集 正整数集

整数集 有理数集

实数集 复数集

符号 N

*N 或+N

Z Q

R C

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6、集合的表示方法

（1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内{}表示集合的方法.

特点：1．集合中的元素具有无序性，所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺

序。

2．各个元素之间要用逗号隔开； 3．元素不能重复；

4．集合中的元素可以数，点，代数式等；

5．对于含有较多元素的集合，用列举法表示时，必须把元素间的规律显示

清楚后方能用省略号，象自然数集Ｎ用列举法表示为{}1,2,3,4,5,......

（2）描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在花括号{}内。

具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。 一般格式：{}()

x A p x ∈

数学里最常用的一类集合（数集）叫区间；假设两个实数a

③满足不等式a ≤x

这里的实数a 和b 叫做相应区间的端点.

在数轴上，这些区间都可以用一条以a 和b 为端点的线段来表示，在图中，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点：

定 义 名 称 符 号 数 轴 表 示

{x|a ≤x ≤b} 闭区间 [a ，b]

{x|a

{x|a ≤x

{x|a

{ x | a≤x }

[a, +∞ ) { x | a

( a,+ ∞ ) { x | x≤b } ( -∞, b ] { x | x

( -∞, b )

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注意：书写区间记号时：

①有完整的区间外围记号（上述四者之一）； ②有两个区间端点，且左端点小于右端点； ③两个端点之间用“，”隔开.

描述法表示集合应注意集合的代表元素，如{(x,y)|y= x 2+3x+2}与 {y|y= x 2

+3x+2}是不同的两个集合；这里的{ }已包含“所有”的意思，所以不必写{全体整数}。如{实数集}，{R}的写法也是错误的，直接写R 或（+∞∞-,），这里∞读作“无穷大”或“无穷”。

（3）Venn 图 五、典型例题 考点一：集合的有关概念

例1 下列说法正确的是（ ） A ．某个村子里的年青人组成一个集合 B ．所有小正数组成的集合

C ．集合{1，2，3，4，5}与集合{5，4，3，2，1}表示同一个集合

D ．0.5，1，3，

21，23，4

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这些数组成的集合有5个元素 变式练习：下列条件能形成集合的是( )

A.充分小的负数全体

B.爱好足球的人

C.中国的富翁

D.某公司的全体员工

考点二：元素与集合的关系

例2 当x ∈R ，下列四个集合中是空集的是（ ） A. {x|x 2

-3x+2=0} B. {x|x 2

＜x} C. {x|x 2-2x+3=0} C. {x|sinx=

2

1} 例3 由2

2,25,12x x x -+三个实数构成一个集合，若3-是集合中元素，则x = .

变式练习：已知数集A=}

{

A a a ∈+16,7,3,2

且，求实数a 的值。

例4 在数集{2x,x 2

-x}中,实数x 的取值范围是。

4

变式练习：数集{3,x,x 2

-2x}中,实数x 满足什么条件?

例5 集合A 中的元素由关于x 的方程kx 2

-3x+2=0的解构成,其中k∈R,若A 中仅有一个元素,求k 的值.

变式练习：方程ax 2

+5x+c=0的解集是{

21,3

1

},则a=________,c=_______.

考点三：集合的表示方法

例6 集合{5|<∈+

x N x }的另一种表示法是（ ） A ．{0，1，2，3，4} B.{1，2，3，4} C. {0，1，2，3，4，5} D.{1，2，3，4，5}

例7 用列举法表示下列集合:

(1)方程x 2

=x 的所有实数根组成的集合; (2)由1～20以内的所有质数组成的集合. (3)?

???

??∈-∈=N x N

x A 916

(4)()??

??????

?????=-=+=24,y x y x y x B

例8 用描述法表示下列集合

(1)二次函数y=x 2

图象上的点组成的集合; (2)坐标平面内数轴上的点集合; (3)不等式x-7<3的解集.