集合概念及表示方法(学生版)
集合的概念和运算
集合的概念和运算集合是数学中重要的基本概念，它可以理解为元素的组合。
在数学中，元素可以是数字、字母、单词等等。
本文将介绍集合的概念、集合的表示方法以及集合的运算。
一、集合的概念集合是由元素构成的，通常用大写字母表示。
假设A是一个集合，x是A的元素，我们可以表示为x∈A，表示x属于A。
相反地，如果x不属于A，我们可以表示为x∉A。
集合可以有有限个或者无限个元素。
如果集合A中的元素个数有限，并且可以一一列举出来，我们称之为有限集。
如果集合A中的元素个数是无穷的，我们称之为无限集。
二、集合的表示方法1. 列举法：我们可以直接将集合中的元素一一列举出来。
例如，集合A = {1, 2, 3}表示A是一个包含元素1、2、3的集合。
2. 描述法：我们可以使用一个条件来描述集合中的元素。
例如，集合B = {x | x是自然数，且x < 5}表示B是一个包含小于5的自然数的集合。
三、集合的运算1. 交集：给定两个集合A和B，它们的交集（记作A∩B）是包含同时属于A和B的所有元素的新集合。
例如，A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，则A∩B = {2, 3}。
2. 并集：给定两个集合A和B，它们的并集（记作A∪B）是包含属于A或者属于B的所有元素的新集合。
例如，A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，则A∪B = {1, 2, 3, 4}。
3. 差集：给定两个集合A和B，它们的差集（记作A-B）是包含属于A但不属于B的所有元素的新集合。
例如，A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，则A-B = {1}。
4. 互斥集：给定两个集合A和B，如果它们的交集为空集，则称它们为互斥集。
例如，A = {1, 2}，B = {3, 4}，则A∩B = ∅。
5. 补集：给定一个普通集合U和它的一个子集合A，A相对于U的补集（记作A'或者A^c）是包含U中所有不属于A的元素的集合。
集合的全部知识点总结
集合的全部知识点总结集合是数学中一个重要的概念，它是由一些确定的事物构成的整体。
在数学中，集合有着丰富的应用和理论基础，下面将从集合的定义、表示、运算等方面进行全面总结。
一、集合的定义集合是指具有某种特定性质的事物的总和。
用大写字母A、B、C等表示集合，小写字母a、b、c等表示集合中的元素。
如果元素x属于集合A，我们用x∈A来表示。
如果元素y不属于集合A，我们用y∉A 来表示。
二、集合的表示1. 列举法：直接列出集合中的元素，用花括号{}括起来。
例如，集合A={1,2,3,4}表示A为包含有元素1、2、3、4的集合。
2. 描述法：通过给出满足某个条件的元素来表示集合。
例如，集合B={x|x是正整数且x<5}表示B为包含小于5的正整数的集合。
三、集合的运算1. 交集：集合A和集合B的交集，表示为A∩B，表示共同属于A和B的元素组成的集合。
2. 并集：集合A和集合B的并集，表示为A∪B，表示A和B中所有元素组成的集合。
3. 差集：集合A和集合B的差集，表示为A-B，表示属于A但不属于B的元素组成的集合。
4. 互斥：如果集合A和集合B没有共同元素，则称A和B互斥。
5. 子集：如果集合A的所有元素都属于集合B，则称A是B的子集，表示为A⊆B。
6. 相等：如果集合A和集合B互为子集，则称A与B相等，表示为A=B。
四、集合的性质1. 空集：不含任何元素的集合称为空集，用符号∅表示。
2. 等价类：将集合中的元素划分为若干等价类，每个类都满足某个特定的条件。
3. 无穷集合：包含无限多个元素的集合，例如自然数集合N、整数集合Z等。
五、集合的应用集合在数学中广泛应用于各个领域，特别是在概率论、统计学和离散数学中有着重要的作用。
在实际生活中，集合也常用于对事物进行分类、归纳和分析。
六、集合的补充除了上述基本的集合概念和运算外，还有一些补充的概念：1. 有限集合：只包含有限个元素的集合。
2. 无限集合：包含无限个元素的集合。
集合的基本概念
集合的基本概念集合是数学中基础而重要的概念之一。
它被广泛应用于各个数学分支和其他科学领域。
本文将介绍集合的基本概念、符号表示法以及一些常见的集合运算。
1. 集合的定义在数学中，集合可以被定义为由确定的对象所构成的整体。
这些对象可以是任何事物，如数、字母、图形等。
一个集合可以包含零个或多个对象，而且每个对象在集合中只能出现一次。
2. 集合的符号表示法数学中，集合通常用大写字母表示，例如A、B、C等。
对于属于集合的对象，可以用小写字母表示，例如a、b、c等。
表示一个对象属于某个集合，可以使用符号“∈”。
例如，如果a属于集合A，我们可以写作a ∈ A。
相反地，如果一个对象不属于某个集合，可以使用符号“∉”。
例如，如果b不属于集合A，我们可以写作b ∉ A。
3. 集合的描述方法有时，我们需要对集合中的对象进行描述。
有两种常见方法可以描述集合：a. 列举法：通过列举集合中的所有对象来描述集合。
例如，如果集合A包含元素1、2和3，我们可以写作A = {1, 2, 3}。
b. 描述法：通过给出满足某个条件的对象来描述集合。
例如，如果集合B包含所有大于0的整数，我们可以写作B = {x | x > 0}，其中“|”表示“满足条件”。
4. 集合的基本运算集合之间可以进行一些常见的运算，包括并集、交集、差集和补集。
a. 并集：两个集合A和B的并集，表示为A ∪ B，包含了A和B中所有的元素。
例如，如果A = {1, 2, 3}，B = {3, 4, 5}，则A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}。
b. 交集：两个集合A和B的交集，表示为A ∩ B，包含了A和B共有的元素。
例如，如果A = {1, 2, 3}，B = {3, 4, 5}，则A ∩ B = {3}。
c. 差集：两个集合A和B的差集，表示为A - B，包含了属于A但不属于B的元素。
例如，如果A = {1, 2, 3}，B = {3, 4, 5}，则A - B= {1, 2}。
集合的含义及表示方法
确定性
集合中的元素具有确定性，即每个元素是否属于某个集合是明确的。对于任意一 个元素，如果它属于某个集合，则它只属于该集合；如果不属于该集合，则它与 该集合没有关系。
确定性的性质使得集合可以准确地描述事物的分类和归属问题，是数学和计算机 科学中基本的概念之一。
集合的含义及表示方法
• 集合的基本概念 • 集合的运算 • 集合的性质 • 集合的应用
01
集合的基本概念
集合的定义
01 集合是由确定的、不同的元素所组成的总体 。
02
集合中的元素具有确定性，即每一个对象是 否属于某个集合是确定的。
03
集合中的元素具有互异性，即集合中不会有 重复的元素。
04
集合中的元素具有无序性，即集合中元素的 排列顺序不影响集合本身。
数据库系统
数据库系统是计算机科学中用来存储和管理大量数据的重要工具。集合理论在数据库设计 中起着重要的作用，例如关系数据库中的表可以看作是集合的表示。
在日常生活中的应用
分类问题
在生活中，我们经常需要对事物进行分类。集合可以用来表示不同的类别，帮助我们更好地组织 和理解事物。
决策制定
在决策制定过程中，我们经常需要考虑多个因素或条件。集合可以帮助我们表示这些因素或条件 ，并分析它们之间的关系，从而做出更好的决策。
03
补集
补集是指全集中不属于某个集合的元素组成的集合。
补集的表示方法是在一个集合后面加上"′"，例如：A′。
补集运算满足反演律，即A′=(全集−A)∪(全集−B)。
03
集合的性质
无序性
集合中的元素没有固定的顺序，即元素的位置不影响集合的性质。例如，集合A={1,2,3}和集合B={3,2,1}是同一个集合，因为 元素的无序性，集合A和集合B具有相同的性质。
1.1集合的概念与表示方法课件(人教版)
{ X
| 1<X<5 , X∈z }
{ X∈z
| 1<X<5
}
二、描述法：一般地，设 A 是一个集合，把集合 A 中所有具
有共同特征 P(x)的元素 x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}．
例：
不等式x—1>0的整数解
{x|x > 1，n∈Z}
起来表示集合。
偶数集（合）：
｛0, 2, 4, 6, 8, 10
｝
集合的表示方法
一、列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号
“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．
例题：
元素之间逗号隔开
（1）大于 1 且小于 6 的整数组成的集合 A
A＝{2,3,4,5}
（2）方程 x2－9＝0 的实数根组成的集合 B
③将小于 10 的自然数按从小到大的顺序排列和按从大到小的
顺序排列分别得到不同的两个集合．
练习2
若集合A={1,2m,-4}，且2 = 4，则m的值为（ D
）
A．4
B．-2
C．-2或2
D．2
常见数集
数集
非负整数集
(自然数集)
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*或 N＋
Z
Q
R
练习3
3、下列关系中正确的个数为（ B
4
6
习题：
能正确表示集合 M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合 N＝{x∈R|x2－x＝0}
关系的Venn 图是（B）。
总结
集合
THANK YOU
第1讲 集合的概念,集合的表示方法集合之间的关系(学生版)
第1讲集合的概念，集合的表示方法集合之间的关系【基础知识】一、集合的意义1.集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合（简称集）。
2.元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素。
3.属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈Aa∉4.不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作A5.有限集：含有有限个元素的集合。
6.无限集：含有无限个元素的集合。
7.集合相等：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，记作A=B。
8.数学上，常常需要用到数的集合．数的集合简称数集9.空集：我们把不含任何元素的集合，记作φ。
二、集合的表示方法1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合。
通常元素个数较少时用列举法。
2）描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法。
有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便于、不需要一一列举出来，常用描述法。
区间：在数学上，常常需要表示满足一些不等式的全部实数所组成的集合．为了方便起见，我们引入区间（ｉｎｔｅｒｖａｌ）的概念．闭区间在数轴上表示开区间在数轴上表示半开半闭区间在数轴上表示这里的实数a,b统称为这些区间的端点．三、集合之间的关系1、子集：定义：对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们就说集合A 包含于集合B ，或集合B 包含集合A ，此时我们称A 是B 的子集。
即：B A B x A x ⊆∈⇒∈，则若任意 记作：A B B A ⊇⊆或；读作：A 包含于B 或B 包含A ；注意:B A ⊆有两种可能：（1）A 是B 的一部分；（2）A 与B 是同一集合 2、真子集：【考点剖析】考点一：集合的意义例1．下列所给对象不能构成集合的是________． (1)高一数学课本中所有的难题； (2)某一班级16岁以下的学生； (3)某中学的大个子；(4)某学校身高超过1．80米的学生； (5)1，2，3，1．例2.已知x 、y 、z 为非零实数，代数式x |x |＋y |y |＋z |z |＋|xyz |xyz的值所组成的集合是M ，则下列判断正确的是( )A ．B ．C ．M ∉-4D ．M ∈4 例3.用“∈”或“∉”填空(1)－3______N ； (2)3．14______Q ； (3)13______Z ；(4)－12______R ； (5)1______N *； (6)0________N ．例4.已知集合},012{2R x x ax x A ∈=++=，且A 中只有一个元素，求x 的值．例5.已知},0,1{2x x ∈，求实数x 的值．例6.已知集合S 的三个元素a ．、b 、c 是△ABC 的三边长，那么△ABC 一定不是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形 例7.设A 为实数集，且满足条件：若a ．∈A ，则a-11∈A (a ．≠1)． 求证：(1)若2∈A ，则A 中必还有另外两个元素； (2)集合A 不可能是单元素集． 证明．例8.设P 、Q 为两个非空实数集合，P 中含有0，2，5三个元素，Q 中含有1，2，6三个元素，定义集合P ＋Q 中的元素是a ＋b ，其中a ∈P ，b ∈Q ，则P ＋Q 中元素的个数是多少？考点二：集合的表示方法例1．写出下列集合中的元素（并用列举法表示）：（1）既是质数又是偶数的整数组成的集合 （2）大于10而小于20的合数组成的集合例2.用描述法表示下列集合：（1）被5除余1的正整数所构成的集合（2）平面直角坐标系中第一、第三象限的点构成的集合 （3）函数122+-=x x y 的图像上所有的点 （4）例3.用列举法表示下列集合：（1）},,5),{(N y N x y x y x ∈∈=+（2）},032{2R x x x x ∈=--（3）},032{2R x x x x ∈=+-（4）},512{Z x N xx ∈∈-例4.用适当的方法表示下列集合（1）大于0且不超过6的全体偶数组成的集合A （2）被3除余2的自然数全体组成的集合B （3）直角坐标平面上第二象限的点组成的集合C例5.下列表示同一个集合的是（ ）A ．)}3,2{()},2,3{(==N MB ．}3,2{},2,3{==N MC ．)}3,2{(},2,3{==N MD ．φ==N M },0{ 例6.已知集合，用列举法分别表示集合B A 、例7.设∇是R 上的一个运算，A 是R 的非空子集，若对任意A b a ∈,，有A b a ∈∇，则称A 对运算∇封闭，下列数集对加法、减法、乘法和除法（除法不等于零）四则运算都封闭的是（）A ．自然数集B ．整数集C ．有理数集D ．无理数集例8.（2021·上海曹杨二中高一期末）已知集合{}{}2230,M x x x N x x a =--<=>，若M N ⊆，则实数a 的取值范围是__________． 考点三：集合之间的关系例1．已知A ＝{0，1}，B ＝{x |x ⊆A }，则A 与B 的关系正确的是( )A ．A ⊆B B ．A B =C ．B A ⊆D ．A ∈B例2.已知集合}2,,{b a b a a A ++=，集合},,{2ac ac a B =，若B A =，求实数c 的值例3.已知集合}01{},06{2=+==-+=ax x B x x x A 且A ≠⊂B ，求a 的值．例4.定义A *B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }，若A ＝{1，3，4，6}，B ＝{2，4，5，6}，则A *B 的子集个数为例5.设}2,1{B }4,3,2,1{A ==，，试求集合C ，使A C ≠⊂且C B ⊆例6.设集合A ＝{x |x 2＋4x ＝0，x ∈R }，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋2a －1＝0}，若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．例7.已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若B ⊆A ，求实数m 的取值范围．例8.若集合M ＝{x |x 2＋x －6＝0}，N ＝{x |(x －2)(x －a )＝0}，且N ⊆M ，求实数a 的值．例9.已知，则A 与B 之间的包含关系为 ；【难度】★★ 【答案】B ≠⊂A例10.已知集合}3{>=x x A ，集合}1{m x x B >+=，若A B ≠⊂，实数m 的取值范围是，若A B ⊆，实数m 的取值范围是【过关检测】一、单选题1．（2021·上海市实验学校高一期末）设Q 是有理数，集合{|,,0}X x x a a b x ==+∈≠Q ，在下列集合中；（1）{|2,}y y x x X =∈；（2）{|}y y x X =∈；（3）1{|,}y y x X x =∈；（4）2{|,}y y x x X =∈；与X 相同的集合有（ ） A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个2．（2021·上海高一期末）已知“非空集合M 的元素都是集合P 的元素”是假命题，给出下列四个命题： ①M 的元素不都是P 的元素；②M 的元素都不是P 的元素； ③存在x P ∈且x M ∈；④存在x M ∈且x P ∉； 这四个命题中，真命题的个数为（ ）． A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个3．（2020·上海高一专题练习）下列各对象可以组成集合的是（ ） A ．与1非常接近的全体实数B ．某校2015-2016学年度笫一学期全体高一学生C ．高一年级视力比较好的同学D ．与无理数π相差很小的全体实数4．（2020·上海高一专题练习）下面每一组的两个集合，相等的是（ ） A ．{(1,2)}M =，{(2,1)}N = B ．{1,2}M =，{(1,2)}N =C ．M =∅，{}N =∅D ．{}2|210M x x x =-+=，{1}N =5．（2020·上海高一专题练习）方程组的解构成的集合是 A ．{1}B ．(1,1)C ．{(1,1)}D ．{1,1}6．（2020·上海高一专题练习）下列命题中正确的（ ） ①0与{0}表示同一个集合；②由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}； ③方程(x －1)2(x －2)＝0的所有解的集合可表示为{1，1，2}；④集合{x |4<x <5}可以用列举法表示． A ．只有①和④ B ．只有②和③ C ．只有②D ．以上语句都不对7．（2020·上海高一课时练习）已知非零实数,,a b c ，则代数式a b ca b c++表示的所有的值的集合是（ ） A ．{3} B ．{3}- C ．{3,3}-D ．{3,3,1,1}--8．（2020·上海高一课时练习）集合是指（ ） A ．第二象限内的所有点B ．第四象限内的所有点C ．第二象限和第四象限内的所有点D ．不在第一、第三象限内的所有点9．（2020·上海高一专题练习）如果{}1A x x =>-，那么错误的结论是（ ） A ．0A ∈B ．C ．A φ∈D ．A φ⊆10．（2020·上海高一专题练习）以下六个关系式：{}00∈，{}0⊇∅，0.3Q ∉， ， ，是空集，错误的个数是（ ） A ．4 B ．3C ．2D ．1二、填空题11．（2021·上海高一期末）10的所有正因数组成的集合用列举法表示为__________. 12．（2021·上海市实验学校高一期末）集合6{|3P x x =∈-Z 且}x ∈Z ，用列举法表示集合P =________ 13．（2021·上海市西南位育中学高一期末）已知集合(){}21320A x m x x =-+-=有且仅有两个子集，则实数m =______.14．（2021·上海市南洋模范中学高一期末）已知集合(){}lg 4A x y x =∈=-N ，则A 的子集个数为______． 15．（2021·上海市西南位育中学高一期末）设，，则A ___________B .(填“⊂”､“”､“”或“”) 16．（2020·上海高一课时练习）已知集合A ={1，2，a 2-2a }，若3∈A ，则实数a =______． 17．（2020·上海高一专题练习）用符号“∈”或“∉”填空（1）0______N ，N ，N （2）12-_____,Q π______Q（3）________{}|,,x x a a Q b Q =+∈∈18．（2020·上海高一专题练习）集合2{|(6)20}A x ax a x =+-+=是单元素集合，则实数a =________ 19．（2020·上海高一专题练习）1∈{a 2−a −1，a ，−1}，则a 的值是_________．20．（2020·上海高一专题练习）已知集合{}2|320M x x x =-+=，集合{}2|220,N x x x k k R=++=∈非空，若M N ⋂=∅，则k 的取值范围是___； 21．（2020·上海高一专题练习）定义集合运算(){}|,,AB z z xy x y x A y B ==+∈∈，集合{}{}0,1,2,3A B ==，则集合AB 所有元素之和为________22．（2020·上海高一专题练习）集合{1，4，9，16，25}用描述法来表示为________.23．（2020·上海高一专题练习）已知集合2{|()(1)0}M x x a x ax a =--+-=各元素之和等于3，则实数a =___________.24．（2020·上海高一课时练习）定义“×”的运算法则为：集合{(,)|,}A B x y x A y B ⨯=∈∈，设集合{1,23}P =，，{2,4,6,8}Q =，则集合P Q ⨯中的元素个数为________.25．（2020·上海高一课时练习）已知集合{}2|1,||2,A y y x x x Z ==+∈，用列举法表示为________． 26．（2020·上海高一专题练习）满足的集合A 的个数为____________个. 27．（2020·上海高一专题练习）已知A ，B 是两个集合，下列四个命题： ①A 不包含于B ⇔对任意x ∈A ，有x ∉B ②A 不包含于B ⇔AB =∅③A 不包含于B ⇔A 不包含B ④A 不包含于B ⇔存在x ∈A ，x ∉B 其中真命题的序号是______28．（2020·上海高一专题练习）集合A={x |ax −6=0}，B={x |3x 2−2x=0}，且A ⊆B ，则实数a =____ 29．（2020·上海高一专题练习）满足的集合M 共有___________个.30．（2020·上海高一专题练习）已知集合A 中有n 个元素，则集合A 的子集个数有_____个，真子集有_____个，非空真子集_______个． 三、解答题31．（2020·上海高一课时练习）已知2{1,0,}x x ∈，求实数x 的值.32．（2020·上海高一课时练习）含有3个实数的集合可表示为，也可表示为{}2,,0a a b +，求20092010a b +的值．33．（2020·上海高一课时练习）用适当的方法表示下列集合，并判断它是有限集还是无限集. （1）第三象限内所有点组成的集合； （2）由大于－3而小于9的偶数组成的集合； （3）所有被5除余2的奇数组成的集合.34．（2020·上海高一课时练习）选择适当的方法表示下列集合. （1）Welcome 中的所有字母组成的集合； （2）所有正偶数组成的集合； （3）二元二次方程组的解集； （4）所有正三角形组成的集合.35．（2020·上海高一课时练习）用适当的方法表示下列集合 （1）大于0且不超过6的全体偶数组成的集合A （2）被3除余2的自然数全体组成的集合B （3）直角坐标平面上第二象限的点组成的集合C36．（2020·上海高一课时练习）用适当的方法表示下列集合. （1）由所有小于20的既是奇数又是质数的正整数组成的集合； （2）由所有非负偶数组成的集合；（3）直角坐标系内第三象限的点组成的集合.37．（2020·上海高一专题练习）A ={x |x <2或x >10}，B ={x |x <1－m 或x >1＋m }且BA ，求m 的范围．38．（2020·上海高一专题练习）已知A ={x |}，B ={x |25x -≤≤}，若AB ，求实数m 的取值范围．。
第1课时 初中数学集合的概念(学生版)
§1.1集合的概念第1课时集合的概念学习目标1.通过实例了解集合的含义.2.理解集合中元素的特征.3.体会元素与集合的“属于”关系，记住常用数集的表示符号并会应用．知识点一元素与集合的概念1．元素：一般地，把统称为元素(element)，常用小写拉丁字母表示．2．集合：把一些组成的总体叫做集合(set)(简称为集)，常用大写拉丁字母…表示．3．集合相等：指构成两个集合的元素是的．4．集合中元素的特性：给定的集合，它的元素必须是、．思考某班所有的“帅哥”能否构成一个集合？某班身高高于175厘米的男生能否构成一个集合？集合元素确定性的含义是什么？知识点二元素与集合的关系知识点关系概念记法读法元素与集合的关系属于如果，就说a 属于集合A “a 属于A ”不属于如果，就说a 不属于集合A“a 不属于A ”思考设集合A 表示“1～10以内的所有素数”，3,4这两个元素与集合A 有什么关系？如何用数学语言表示？知识点三常用数集及表示符号名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集记法1．接近于0的数可以组成集合．()2．分别由元素0,1,2和2,0,1组成的两个集合是相等的．()3．一个集合中可以找到两个相同的元素．()4．由方程x2－4＝0和x－2＝0的根组成的集合中有3个元素．()一、对集合概念的理解例1(1)下列对象能组成集合的是()A.2的所有近似值B．某个班级中学习好的所有同学C．2020年全国高考数学试卷中所有难题D．屠呦呦实验室的全体工作人员(2)下列说法中，正确的有________．(填序号)①单词book的所有字母组成的集合的元素共有4个；②集合M中有3个元素a，b，c，其中a，b，c是△ABC的三边长，则△ABC不可能是等腰三角形；③将小于10的自然数按从小到大的顺序排列和按从大到小的顺序排列分别得到不同的两个集合．跟踪训练1(多选)下列说法正确的有()A．花坛上色彩艳丽的花朵构成一个集合B．正方体的全体构成一个集合C．未来世界的高科技产品构成一个集合D．不大于3的所有自然数构成一个集合二、元素与集合的关系例2(1)设集合M是由不小于25的数组成的集合，a＝15，则下列关系中正确的是() A．a∈M B．a∉MC．a＝M D．a≠M(2)集合A中的元素x满足63－x∈N，x∈N，则集合A中的元素为________．跟踪训练2用符号“∈”或“∉”填空：(1)设集合B是小于11的所有实数的集合，则23________B,1＋2________B；(2)设集合C是满足方程x＝n2＋1(其中n为正整数)的实数x的集合，则3________C,5________C；(3)设集合D是满足方程y＝x2的有序实数对(x，y)组成的集合，则－1________D，(－1,1)________D.三、元素特性的应用例3已知集合A是由a－2,2a2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A，求实数a.跟踪训练3设集合A中含有三个元素3，x，x2－2x.(1)求实数x应满足的条件；(2)若－2∈A，求实数x的值．1．下列各组对象能构成集合的有()①接近于1的所有正整数；②小于0的实数；③(2020,1)与(1,2020)．A．1组B．2组C．3组D．0组2．若a是R中的元素，但不是Q中的元素，则a可以是()D.7A．3.14B．－5 C.373．已知集合A中的元素x满足x－1<3，则下列各式正确的是()A．3∈A且－3∉A B．3∈A且－3∈AC．3∉A且－3∉A D．3∉A且－3∈A4．由方程x2－2x－3＝0和x2－1＝0的根组成的集合中的元素的个数为________．5．设集合A是由1，k2为元素构成的集合，则实数k的取值范围是________．1．知识清单：(1)元素与集合的概念、元素与集合的关系．(2)常用数集的表示．(3)集合中元素的特性及应用．2．方法归纳：分类讨论．3．常见误区：忽视集合中元素的互异性．1．(多选)下列选项中能构成集合的是()A．高一年级跑得快的同学B．中国的大河C．3的倍数D．大于6的有理数2．给出下列关系：①13∈R；②5∈Q；③－3∉Z；④－3∉N，其中正确的个数为() A．1B．2C．3D．43．集合M是由大于－2且小于1的实数构成的，则下列关系式正确的是()A.5∈M B．0∉MC．1∈M D．－π2∈M4．若以集合A的四个元素a，b，c，d为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是() A．梯形B．平行四边形C．菱形D．矩形5．集合A中有三个元素2,3,4，集合B中有三个元素2,4,6，若x∈A且x∉B，则x等于() A．2B．3C．4D．66．已知集合P中元素x满足：x∈N，且2<x<a，又集合P中恰有三个元素，则整数a＝________.7．设由2,4,6构成的集合为A，若实数a∈A时，6－a∈A，则a＝________.8．若由a，b2，a＋b,0组成的集合相等，则a2020＋b2020的值为________．a，1组成的集合与由a9．设A 是由满足不等式x <6的自然数组成的集合，若a ∈A 且3a ∈A ，求a 的值．10．已知集合A 含有两个元素1和a 2，若a ∈A ，求实数a 的值．11．(多选)由a 2，2－a,4组成一个集合A ，且集合A 中含有3个元素，则实数a 的取值不可能是()A ．1B ．－2C ．－1D ．212．已知a ，b 是非零实数，代数式|a |a ＋|b |b ＋|ab |ab 的值组成的集合是M ，则下列判断正确的是()A ．0∈MB ．－1∈MC ．3∉MD ．1∈M13．已知集合M 中的元素x 满足x ＝a ＋2b ，其中a ，b ∈Z ，则下列实数中不属于集合M 中元素的个数是()①0；②－1；③32－1；④23－22；⑤8；⑥11－2.A ．0B ．1C ．2D ．314．已知集合A 含有两个元素1和2，集合B 表示方程x 2＋ax ＋b ＝0的解组成的集合，且集合A 与集合B 相等，则a ＝________；b ＝________.15．已知集合M有2个元素x,2－x，若－1∉M，则下列说法一定错误的是________．(填序号)①2∈M；②1∈M；③x≠3.16．设集合A中的元素均为实数，且满足条件：若a∈A，则11－a∈A(a≠1，且a≠0)．求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素；(2)集合A不可能是单元素集．。
1.1集合的概念7题型分类(学生版) 2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识人教版必修一
1.1集合的概念7题型分类知识点1 元素与集合的概念1.元素与集合的概念(1)一般地，我们把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示，把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示．(2)集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性.①确定性给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”．②互异性一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”．③无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”．(3)只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的.知识点2 元素与集合的关系1.元素与集合的关系 2.元素与集合的关系只能是属于或不属于，有且仅有一种情况成立.知识点3 常用数集及表示符号名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集Q R记法N N*或N＋Z知识点4 集合的表示方法1列举法把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法，一般可将集合表示为{a，b，c，…}.注：列举法表示的集合的结构：2.描述法一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法，有时也用冒号或分号代替竖线，写成{x∈A：P(x)}或{x∈A；P(x)}.注：描述法表示的集合的结构：（一）1、集合概念的理解(1)含义:集合是一个原始的不加定义的数学术语，像初中学过的点、直线一样，只能描述性说明.(2)对象:集合中的“对象”所指的范围非常广泛，现实生活中我们看到的听到的、触摸到的想到的各种各样的事物或一些抽象的符号等，都可以看作“对象”，即集合中的元素.(3)整体:集合是一个整体，即暗含“所有”“全部”“全体”的含义,因此一些对象一旦组成集合，那么这个集合就是这些对象的全体，而非个别对象.2、判断一组对象是否为集合的三依据(1)确定性：负责判断这组元素是否构成集合．(2)互异性：负责判断构成集合的元素的个数．(3)无序性：表示只要一个集合的元素确定，则这个集合也随之确定，与元素之间的排列顺序无关．题型1：判断对象是否能构成集合1-1．（2024高一上·贵州铜仁·阶段练习）下列各组对象中，能组成集合的有（填序号）．①所有的好人；②平面上到原点的距离等于2的点；③正三角形；④比较小的正整数；x+>的x的取值．⑤满足不等式101-2．（2024高一下·云南·阶段练习）下列各对象可以组成集合的是（）A．与1非常接近的全体实数-学年度第二学期全体高一学生B．北大附中云南实验学校20202021C．高一年级视力比较好的同学D．高一年级很有才华的老师1-3．（2024高一·全国·课后作业）下列各组对象的全体能构成集合的有（）（1）正方形的全体；（2）高一数学书中所有的难题；（3）平方后等于负数的数；（4）某校高一年级学生身高在1.7米的学生；（5）平面内到线段AB两端点距离相等的点的全体.A．2个B．3个C．4个D．5个（二）1、集合中的元素的性质及应用元素与集合的关系有属于与不属于两种:元素a属于集合A,记作a∈A,读作“a属于集合A";元素a不属于集合A.记作a∉A,读作“a不属于集合A".(1)a∈A与aÏA取决于a是不是集合A中的元素，根据集合中元素的确定性，可知对任何a与A.在a∈A与aÏA这两种情况中必有一种且只有一种成立.(2)符号“∈”，“在”是表示元素与集合之间的关系的，不能用来表示集合与集合之间的关系，这一点千万要记准.(3)a与{a}的区别和联系:a表示一个元素,{a}表示一个集合，该集合只有一个元素a;它们之间的联系为{}a aÎ.2、元素与集合关系的判断（1）直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可．（2）推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征．3、根据元素与集合的关系求参数由集合中元素的特性求解字母取值(范围)的步骤③3-ÎN ；④3Q -Î．其中正确的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4题型3：根据元素与集合的关系求参数3-1．（2024高一上·上海虹口·期中）集合()(){}2140,A x x x ax x R =-++=Î中所有元素之和为3，则实数a =．3-2．（2024高一上·四川泸州·期末）已知{}(1,2)(,)230x y x ay Î+-=，则a 的值为 ．3-3．（2024·河南·模拟预测）已知{}210A xx ax =-+<∣，若2A Î，且3A Ï，则a 的取值范围是（ ）A ．5,2æö+¥ç÷èøB ．510,23æùçúèûC ．510,23öé÷êëøD ．03,1æù-¥çúèû题型4：利用集合元素的互异性求参数4-1．（2024·北京海淀·模拟预测）设集合{}21,3M m m =--，若3M -Î，则实数m =（ ）A ．0B ．1-C ．0或1-D ．0或14-2．（2024·北京海淀·模拟预测）设集合{}22,2,1A a a a =-+-，若4A Î，则a 的值为（ ）．A ．1-，2B ．3-C ．1-，3-，2D ．3-，24-3．（2024高一上·安徽滁州·阶段练习）已知集合A 中的元素1，4，a ，且实数a 满足2a A Î，求实数a 的值.4-4．（2024高三·全国·专题练习）已知{}222,(1),33A a a a a =++++，若1A Î，则实数a 构成的集合B 的元素个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．34-5．（2024高一上·山东聊城·期中）若{}21,3,a aÎ，则a 的可能取值有（ ）A ．0B ．0，1C ．0，3D ．0，1，34-6．（2024高一上·四川自贡·期末）若{}22,a a a Î-，则a 的值为（ ）A ．0B ．2C ．0或2D ．2-（三）用列举法表示集合1.列举法表示的集合的种类(1)元素个数少且有限时.全部列举:如1,2,3,4;(2)元素个数多且有限时，可以列举部分,中间用省略号表示，如“从1到1000的所有自然数”可以表示为1,2,3,...,1 000} ;(3)元素个数无限但有规律时，可类似于(2),如自然数集N 可以表示为10,1,2,3....2.使用列举法表示集合时需注意(1)元素之间用“,”而不用“、"隔开;(2)元素不重复，满足元素的互异性;(3)元素无顺序，满足元素的无序性;(4)对于含较多元素的集合，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法.但是必须把元索间的规律表述清楚后才能用省略号.注意（1）用列举法表示集合，要注意是数集还是点集.（2）列举法适合表示有限集，当集合中元素个数较少时，用列举法表示一目了然.题型5：用列举法表示集合5-1．（2024高一·全国·专题练习）方程组13x y x y +=ìí-=î的解集是（ ）A ．{}2,1-B ．{}2,1x y ==-C ．(){},2,1x y -D ．(){}2,1-5-2．（2024高一上·北京海淀·期中）已知集合12{|N 7A x x=Î-，Z}x Î，用列举法表示集合A = ．5-3．（2024高一上·四川·阶段练习）设集合6ZN 2A x x ìü=ÎÎíý+îþ，则用列举法表示集合A 为 .5-4．（2024高一·全国·课后作业）集合{}41x N x Î-<用列举法表示为（ ）A ．{}0,1,2,3,4B ．{}1,2,3,4C ．{}0,1,2,3,4,5D ．{}1,2,3,4,5（四）用描述法表示集合1.描述法的一般形式是(){}x I p x Î,其中“x ”是集合中元素的代表形式.例如用描述法表示方程2 320x x -+=的实数根为{}2320x x x Î-+=R .如果从上下文的关系来看,x I Î是明确的，那么x I Î也可省略，只写其元素x .例如集合}5{A x x =Î>R 也可表示为}5{A x x =>.2.描述法表示集合的条件对于元素个数不确定且元素间无明显规律的集合，不能将它们一一列举出来，可以将集合中元素的共同特征描述出来，即采用描述法.3.使用描述法时应注意以下几点(1)写清楚该集合的代表元素，如数或点等;(2)说明该集合中元素的共同属性;(3)不能出现未被说明的字母;(4)所有描述的内容都要写在花括号内，用于描述的内容力求简洁、准确.注：(1)用描述法表示集合时，一定要体现描述法的形式，不要漏写集合的代表元素及元素所具有的性质,且用“|”隔开.(2)当描述部分出现集合的代表元素以外的字母时，要对新字母说明其含义或指出其取值范围.题型6：用描述法表示集合6-1．（2024高一上·全国·课后作业）用适当的方法表示下列集合：（1）大于2且小于5的有理数组成的集合．（2）24的正因数组成的集合．（3）自然数的平方组成的集合．（4）由0，1，2这三个数字抽出一部分或全部数字(没有重复)所组成的自然数组成的集合．6-2．（2024高一·全国·专题练习）用描述法表示下列集合：（1）被3除余1的正整数的集合．（2）坐标平面内第一象限内的点的集合．（3）大于4的所有偶数．6-3．（2024高一·全国·课后作业）选择适当的方法表示下列集合:（1）被5除余1的正整数组成的集合；（2）由直线y ＝－x ＋4上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合；（五）集合表示法的综合应用(1)若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键，如集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}中的元素就是所给方程的根，由此便把集合的元素个数问题转化为方程的根的个数问题．(2)在学习过程中要注意数学素养的培养，如等价转化思想和分类讨论的思想．一、单选题1．（2024高一·全国·课后作业）方程组2210x yx y+=ìí-+=î的解集可以表示为（）A ．{1,1}x y ==B ．{1}C ．{(1,1)}D ．{1,1}2．（2024高二下·河南焦作·阶段练习）已知集合{}21,,3M m m =+，且4M Î，则m 取值构成的集合为（ ）A ．{}1,4B ．{}1,4-C ．{}1,1,4-D ．Æ3．（2024高一上·四川成都·阶段练习）已知{}22,25,12A a a a =-+其3A -Î，则由a 的值构成的集合是（ ）A ．ÆB ．31,2ìü--íýîþC ．{}-1D ．32ìü-íýîþ4．（2024高一上·北京·阶段练习）已知集合2{2,4,10}A a a a =-+，若3A -Î，则实数a 的值为（ ）A ．-1B ．-3C ．-3或-1D ．无解5．（2024高一上·浙江·课后作业）下面四个命题正确的个数是（ ）.①集合*N 中最小的数是1；②若*N a -Î，则*N a Î；③若**N ,N a b ÎÎ，则a b +的最小值是2；④296+=x x 的解集是{}3,3.A ．0B ．1C ．2D ．36．（2024高一·全国·单元测试）若关于x 的方程()22140ax a x +++=的解集为单元素集合，则（ ）A ．0a =B ．1a =C ．0a =或1a =D ．0a ¹且1a ¹7．（2024高一上·湖北·期末）已知集合{}{}{}1,0,1,2,,,A B C x x ab a A b B =-===-ÎÎ，则C 集合中元素的个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．58．（2024高一上·山东泰安·阶段练习）已知集合M=6*,5a N a ìÎí-î且}a Z Î，则M 等于（ ）A ．{2，3}B ．{1，2，3，4}C ．{1，2，3，6}D ．{1-，2，3，4}9．（2024高一上·广东茂名·期中）若22{1,1,1}a a Î++，则a =（ ）A ．2B ．1或－1C ．1D ．－110．（2024高一·全国·假期作业）方程x 2＝x 的所有实数根组成的集合为A ．()0,1B ．(){}0,1C ．{}0,1D ．{}2x x =11．（2024高三上·安徽芜湖·期末）集合{}50A x x *=Î-<N 中的元素个数是（ ）A ．0B ．4C ．5D ．612．（2024高一·全国·课后作业）设有下列关系：R ；②4Q Î；③0N Î；④{}00,1Î．其中正确的个数为．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个13．（2024高二下·浙江宁波·学业考试）已知集合{}()(){}3,4,30,M N xx x a a ==-+=ÎR ∣， 若M N =， 则a = （ ）A ．3B ．4C ．3-D ．4-14．（2024高三下·河南新乡·开学考试）已知集合{}4,,2A x y =，{}22,,1B x y =--，若A B =，则实数x 的取值集合为（ ）A ．{1,0,2}-B ．{2,2}-C ．{}1,0,2-D ．{2,1,2}-15．（2024高一·全国·课后作业）已知集合{}2|1A x x =<，且a A Î，则a 的值可能为（ ）A ．2-B ．1-C ．0D ．116．（2024高一上·广东江门·期中）已知集合(){}|10M x x x =-=,那么（ ）A ．0MÎB ．1MÏC ．1M-ÎD ．0MÏ17．（2024高一上·海南·期中）下列表示正确的是（ ）A ．*3N -ÎB ．0NÎC ．2Z7ÎD ．πQÎ18．（2024·辽宁·模拟预测）设集合{},0M a =，{}2,N a b =，若M N =，则a b +=（ ）A ．0B ．1C ．2D ．1-19．（2024高一上·云南西双版纳·期末）若不等式3-2x<0的解集为M ,则下列结论正确的是 ( )A ．0∈M ,2∈MB ．0∉M ,2∈MC ．0∈M ,2∉MD ．0∉M ,2∉M20．（2024·贵州黔东南·三模）已知集合{}{}2|1,(,)|0,S y y x T x y x y ==-=+=下列关系正确的是（ ）A ．2S-ÎB ．()2,2T-ÏC ．1S-ÏD ．()1,1T-Î21．（2024高一上·浙江·课后作业）下列四组对象中能构成集合的是（ ）A ．宜春市第一中学高一学习好的学生B ．在数轴上与原点非常近的点C ．很小的实数D ．倒数等于本身的数22．（陕西省榆林市府谷中学2023-2024学年高一上学期第一次月考数学试题）下列各组对象不能构成集合的是（ ）A ．上课迟到的学生B ．2022年高考数学难题C ．所有有理数D ．小于x 的正整数23．（2024高一上·全国·课后作业）下列集合中，不同于另外三个集合的是（ ）A ．{}2020x x =B ．(){}220200y y -=C ．{}2020x =D ．{}202024．（2024高一·全国·课后作业）已知关于x 的方程2230x mx m -+-=的解集只有一个元素，则m 的值为（ ）A ．2B ．2-C ．2±D ．不存在25．（2024高一·全国·课后作业）由a 2，2a -，3组成的一个集合A ，若A 中元素个数不是2，则实数a 的取值可以是（ ）A ．1-B ．1C D ．226．（2024高一上·江苏南京·阶段练习）下列说法正确的是（ ）A 30+=的解集是1,12ìü-íýîþB ．方程260x x --=的解集为{(-2，3)}C ．集合M ={y |y =x 2+1，x ∈R }与集合P ={(x ，y )|y =x 2+1，x ∈R }表示同一个集合D ．方程组2030x y x y +=ìí-+=î的解集是{(x ，y )|x =-1且y =2}27．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知集合{2,1,0,1,2,3}A =--，{}B x A x A =Î-Ï，则B =（ ）A ．{1,2}B ．{2,1}--C ．{0,3}D ．{3}28．（2024高一·全国·课后作业）下列语句中，正确的个数是（ ）（1）0ÎN ；（2）πÎQ ；（3）由3、4、5、5、6构成的集合含有5个元素；（4）数轴上由1到1.01间的线段的点集是有限集；（5）方程20x =的解能构成集合.A ．2B ．3C ．4D ．529．（2024·湖南岳阳·一模）定义集合,A B 的一种运算：2{|,,}A B x x a b a A b B Ä==-ÎÎ，若{}1,0A =-，{}1,2B =，则A B Ä中的元素个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．430．（2024高三·山西·阶段练习）设A 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意,a b A Î，都有,,,aa b a b ab A b+-Î(除数0b ¹)，则称A 是一个数域，则下列集合为数域的是（ ）A ．NB ．ZC ．QD ．{}|0,R x x x ¹Î31．（2024·全国）已知集合(){}22,3Z Z A x y xy x y =+£ÎÎ，，，则A 中元素的个数为（ ）A ．9B ．8C ．5D ．432．（2024高一·全国·课前预习）已知集合A ＝{x |x 2＋px ＋q ＝x }，B ＝{x |(x －1)2＋p (x －1)＋q ＝x ＋3}，当A ＝{2}时，集合B ＝（ ）A ．{1}B ．{1，2}C ．{2，5}D ．{1，5}33．（2024高一下·广西·阶段练习）若集合2{|320}A x R ax x =Î-+=中只有一个元素，则(a = )A ．92B ．98C ．0D ．0或9834．（2024高一·全国·专题练习）由实数x ，x -，||x ，（ ）A ．2B ．3C ．4D ．535．（2024高一·全国·课后作业）集合{}2|0,A x x px q x R =++=Î{}2=，则p q +=（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．236．（2024高一上·河北邯郸·阶段练习）下列集合中表示同一集合的是（ ）A ．{(3,2)}M =，{(2,3)}N =B ．{2,3}M =，{3,2}N =C ．{(,)1}M x y x y =+=∣，{1}N y x y =+=∣D ．{2,3}M =，{(2,3)}N =37．（2024高一上·北京海淀·阶段练习）若{}21,,0,,b a a a b a ìü=+íýîþ，则a 2020+b 2020的值为（ ）A ．0B ．﹣1C ．1D ．1或﹣138．（2024高一上·重庆北碚·期末）定义|,,,m A B x x m A n B n ìü==ÎÎíýîþÄ若{}{}1,2,4,2,4,8A B ==则A BÄ中元素个数为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．539．（2024高一上·陕西西安·阶段练习）下列关系中，正确的个数为（ ）R ②1Q 3Î③0N Ï④p ÎQ ⑤3-ÎZA ．5B ．4C ．3D ．240．（江西省五市九校协作体2023届高三第二次联考数学（文）试题）已知集合{}1,,A a b =，{}2,,B a a ab =，若A B =，则20232022a b +=（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．241．（2024高一上·山西运城·阶段练习）集合{}2320A x x x =-+=，用列举法表示为（ ）A ．1B ．2C ．{}1,2D ．{}242．（江苏省南京市栖霞区南京师范大学附属实验学校2023-2024学年高一上学期10月月考数学试题）已知集合{}20,,32A m m m =-+，且2A Î，则实数m 为（ ）A ．2B ．3C ．0或3D ．0,2,343．（2024高一上·上海浦东新·期末）设Q 是有理数，集合{|,,0}X x x a a b x ==+ιQ ，在下列集合中；（1）{|2,}y y x x X =Î；（2）{|}y y x X =Î；（3）1{|,}y y x X x =Î；（4）2{|,}y y x x X =Î；与X 相同的集合有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个44．（2024高一·全国·课后作业）下列说法正确的是（ ）A ．由1，2，3组成的集合可表示为{}1,2,3或{}3,2,1B ．Æ与{}0是同一个集合C ．集合{}21x y x =-与集合{}21y y x =-是同一个集合D ．集合{}2560x x x ++=与集合{}2560x x ++=是同一个集合45．（2024高一上·上海黄浦·阶段练习）直角坐标平面中除去两点(1,1)A ､(2,2)B -可用集合表示为（ ）A ．{(,)|1,1,2,2}x y x y x y ¹¹¹¹-B ．1{(,)|1x x y y ¹ìí¹î或2}2x y ¹ìí¹-îC ．2222{(,)|[(1)(1)][(2)(2)]0}x y x y x y -+--++¹D ．2222{(,)|[(1)(1)][(2)(2)]0}x y x y x y -+-+-++¹二、多选题46．（2024高一上·福建莆田·阶段练习）下列说法中不正确的是（ ）A ．0与{}0表示同一个集合B ．集合M ＝{}3,4与N ＝(){}3,4表示同一个集合C ．方程()2(1)2x x --＝0的所有解的集合可表示为{}1,1,2D ．集合{|45}x x <<不能用列举法表示47．（2024高一上·广东佛山·期中）下列关系式正确的是（ ）A ．1R2ÎB ．|3|-ÏNC．QD ．0{0}Î48．（2024高一上·广西百色·阶段练习）已知集合{}N 6A x x =Î<，则下列关系式成立的是（ ）A ．0AÎB ．1.5AÏC ．1A-ÏD ．6AÎ49．（2024高一上·江苏常州·期中）已知集合{},,A x x m m n Z ==Î，则下列说法中正确的是（ ）A ．0A Î但2(1A-ÏB．若111222,x m x m ==，其中1122,,,m n m n Z Î，则12x x A ±ÎC．若111222,x m x m ==，其中1122,,,m n m n Z Î，则12x x A ×ÎD．若111222,x m x m =+=，其中1122,,,m n m n Z Î，则12x A x Î50．（2024高一上·江苏镇江·开学考试）已知Z a Î，{(,)|3}A x y ax y =-£且，(2,1)A Î，(1,4)A -Ï，则a 取值可能为（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．251．（2024高一上·甘肃庆阳·期中）已知集合{N |A x x =Σ£，则有（ ）A ．1A -ÏB ．0A ÎC AD ．2AÎ52．（2024高一下·湖南邵阳·开学考试）若对任意x A Î，1A x Î，则称A 为“影子关系”集合，下列集合为“影子关系”集合的是（ ）A ．{}1,1-B ．1,22ìüíýîþC ．{}21x x >D ．{}0x x >53．（2024高一上·辽宁大连·阶段练习）关于x 的方程221x k xx x x-=--的解集中只含有一个元素，则k 的值可能是（ ）A ．0B ．1-C ．1D ．3三、填空题54．（2024高三下·上海浦东新·阶段练习）已知集合{}{}21,,a a a =，则实数a = ．55．（2024高一上·江苏淮安·期中）集合{}{}23,12,1A B m m ==+，，且A B =，则实数m =.56．（2024高一上·全国·课后作业）已知R ；②1Q 3Î；③0={0}；④0N Ï；⑤πQ Î；⑥3Z -Î，其中正确的个数为 .57．（2024高一上·广东汕头·期中）在整数集Z 中，被4除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[k ]，即[k ] ={4n + k ︱n ∈Z } ，k =0，1，2，3.给出下列四个论①2025∈[1] ；②-2025∈[1] ； ③若a ∈[1]，b ∈[2]，则3a +b ∈[3] ；④若a ∈[1]，b ∈[3]，则a -3b ∈[0].其中正确的结论是.58．（2024高一上·全国·专题练习）集合12ZZ 3A x y y x ìü=Î=Îíý+îþ∣的元素个数为 ．59．（2023-2024学年河北成安一中高一上月考一数学试卷（带解析））已知集合{}223,2,A m m m A =++Î，则m 的值为．60．（2.1.2集合间的基本关系（分层练习）-2022年初升高数学无忧衔接）含有三个实数的集合可表示为,,1ba a ìüíýîþ，也可以示为{}2,,0a a b +，则20132014a b +的值为 .61．（2024高一上·上海浦东新·期末）请将下列各组对象能组成集合的序号填在后面的横线上 .①上海市2022年入学的全体高一年级新生；②在平面直角坐标系中，到定点(00)，的距离等于1的所有点；③影响力比较大的中国数学家；④不等式3100x -<的所有正整数解.62．（2024高一上·吉林·期末）设,a b ÎR ，{}1,P a =，{}23,Q a b =+，若P Q =，则a b -= ．63．（2024高一上·天津东丽·期中）若集合{}23,21,4A a a a =---，且3A -Î，则实数a =.四、解答题64．（2024高一·江苏·课后作业）用适当方法表示下列集合：（1）从1，2，3这三个数字中抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的自然数的集合；（2+|y ﹣2|＝0的解集；（3）由二次函数y ＝3x 2+1图象上所有点组成的集合.65．（2024高一·全国·专题练习）把下列集合用适当方法表示出来：（1）{2,4,6,8,10}；（2）{|37}x N x Î<<；（3）{}2|9A x x ==；（4）{}|12B x N x =Σ£；（5）{}2|320C x x x =-+=.66．（2024高一上·陕西咸阳·阶段练习）已知集合{}2410C x ax x =-+=.(1)若C 是空集，求a 的取值范围；(2)若C 中至多有一个元素，求a 的取值范围.67．（2024高一·湖南·课后作业）用自然语言描述下列集合：(1){}1,3,5,7,9；(2){}32x R x Î；(3){}3,5,7,11,13,17,19.68．（2024高一上·上海·课后作业）已知集合A ={x|x 为小于6的正整数}，B ={x|x 为小于10的素数}，集合{|C x x =为24和36的正公因数}．（1）试用列举法表示集合{|M x x A =Î且}x C Î；（2）试用列举法表示集合{|N x x B =Î且}x C Ï．69．（2024高一上·湖南岳阳·阶段练习）已知集合{}2|210A x R ax x =Î++=，其中a ∈R .（1）1是A 中的一个元素，用列举法表示A ；（2）若A 中至多有一个元素，试求a 的取值范围.70．（2024高一·全国·课后作业）定义满足“如果a ∈A ，b ∈A ，那么a ±b ∈A ，且ab ∈A ，且ab∈A (b ≠0)”的集合A 为“闭集”．试问数集N ，Z ，Q ，R 是否分别为“闭集”？若是，请说明理由；若不是，请举反例说明．71．（2024高一·全国·课后作业）（1）如果集合{|}(,)A x x m m n Z ==Î，12,x x A Î，证明：12x x A Î．（2）如果集合{}B x x m ==+，整数,m n 互素，那么是否存在x ，使得x 和1x都属于B ？若存在，请写出一个；若不存在，请说明理由．注：x 的取值不唯一．）72．（2024高一上·上海虹口·阶段练习）设关于x 的不等式21241x x k k +-³+的解集为A .(1)求A ；(2)若2A Î，求实数k 的取值范围.73．（2024高一上·上海奉贤·阶段练习）已知集合{}2|440,,A x ax x a R x R =+=ÎÎ+.（1）若A 中只有一个元素，求a 及A ；（2）若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围.74．（2024高一·全国·课后作业）已知集合}{2340A x ax x =--=.（1）若A 中有两个元素，求实数a 的取值范围；（2）若A 中至多有一个元素，求实数的a 取值范围.。
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1
1.1集合的概念及表示方法
一、教学目标：
1、了解集合、元素的概念；掌握集合中元素的三大特征；
2、理解元素与集合的“属于”与“不属于”的关系；
3、了解集合的表示方法并能选择恰当的方法表示集合。
二、教学重难点：
教学重点：集合的基本概念与表示方法。
教学难点：集合的表示方法并选择恰当的表示方法。
三、新课引入
引入：接下来的课程要坐很久，老师建议我们整个小班同学集合起来，小小的运动一下，简单的头部运动、伸展运动； 提出问题：要求运动的对象是？
四、知识呈现
1、集合概念：一些研究对象的总体.一般地，我们把研究对象统称为元素（element ），一些元素组成的总体叫集合（set ），也简称集。
2、关于集合的元素的特征
（1）确定性：设A 是一个给定的集合，x 是某一个具体对象，则或者是A 的元素，或者不是A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。
（2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。
（3）无序性：给定一个集合与集合里面元素的顺序无关。
3、元素与集合的关系
集合与元素的字母表示： 集合通常用大写的拉丁字母A ，B ，C …表示，集合的元素用
小写的拉丁字母a,b,c,…表示。
（1）如果a 是集合A 的元素，就说a 属于（belong to ）A ，记作：a ∈A
（2）如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于（not belong to ）A ，记作：a ∉A 集合相等：构成两个集合的元素完全一样。
4、集合分类
含有 个元素的集合叫做有限集 按集合元素个数分类 含有 个元素的集合叫做无限集
不含有任何元素的集合称为空集（empty set ），记作：∅。
5、常用数集及记法
数集 自然数集 正整数集
整数集 有理数集
实数集 复数集
符号 N
*N 或+N
Z Q
R C
2
6、集合的表示方法
（1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内{}表示集合的方法.
特点：1．集合中的元素具有无序性，所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺
序。
2．各个元素之间要用逗号隔开； 3．元素不能重复；
4．集合中的元素可以数，点，代数式等；
5．对于含有较多元素的集合，用列举法表示时，必须把元素间的规律显示
清楚后方能用省略号，象自然数集Ｎ用列举法表示为{}1,2,3,4,5,......
（2）描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在花括号{}内。
具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。
一般格式：{}()
x A p x ∈
数学里最常用的一类集合（数集）叫区间；假设两个实数a<b ，我们规定： ①满足不等式a ≤x ≤b 的实数x 的集合叫做闭区间，表示为[a,b]； ②满足不等式a<x<b 的实数x 的集合叫做开区间，表示为（a,b ）；
③满足不等式a ≤x<b 或a<x ≤b 的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a ，b) ,(a ，b].
这里的实数a 和b 叫做相应区间的端点.
在数轴上，这些区间都可以用一条以a 和b 为端点的线段来表示，在图中，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点：
定 义 名 称 符 号 数 轴 表 示
{x|a ≤x ≤b} 闭区间 [a ，b]
{x|a<x<b} 开区间 (a ，b)
{x|a ≤x<b} 左闭右开区间 [a ，b)
{x|a<x ≤b} 左开右闭区间 (a ，b]
{ x | a≤x }
[a, +∞ ) { x | a<x }
( a,+ ∞ ) { x | x≤b } ( -∞, b ] { x | x<b }
( -∞, b )
3
注意：书写区间记号时：
①有完整的区间外围记号（上述四者之一）； ②有两个区间端点，且左端点小于右端点； ③两个端点之间用“，”隔开.
描述法表示集合应注意集合的代表元素，如{(x,y)|y= x 2+3x+2}与 {y|y= x 2
+3x+2}是不同的两个集合；这里的{ }已包含“所有”的意思，所以不必写{全体整数}。
如{实数集}，{R}的写法也是错误的，直接写R 或（+∞∞-,），这里∞读作“无穷大”或“无穷”。
（3）Venn 图 五、典型例题 考点一：集合的有关概念
例1 下列说法正确的是（ ） A ．某个村子里的年青人组成一个集合 B ．所有小正数组成的集合
C ．集合{1，2，3，4，5}与集合{5，4，3，2，1}表示同一个集合
D ．0.5，1，3，
21，23，4
6
这些数组成的集合有5个元素 变式练习：下列条件能形成集合的是( )
A.充分小的负数全体
B.爱好足球的人
C.中国的富翁
D.某公司的全体员工
考点二：元素与集合的关系
例2 当x ∈R ，下列四个集合中是空集的是（ ） A. {x|x 2
-3x+2=0} B. {x|x 2
＜x} C. {x|x 2-2x+3=0} C. {x|sinx=
2
1} 例3 由2
2,25,12x x x -+三个实数构成一个集合，若3-是集合中元素，则x = .
变式练习：已知数集A=}
{
A a a ∈+16,7,3,2
且，求实数a 的值。
例4 在数集{2x,x 2
-x}中,实数x 的取值范围是。
4
变式练习：数集{3,x,x 2
-2x}中,实数x 满足什么条件?
例5 集合A 中的元素由关于x 的方程kx 2
-3x+2=0的解构成,其中k∈R,若A 中仅有一个元素,求k 的值.
变式练习：方程ax 2
+5x+c=0的解集是{
21,3
1
},则a=________,c=_______.
考点三：集合的表示方法
例6 集合{5|<∈+
x N x }的另一种表示法是（ ） A ．{0，1，2，3，4} B.{1，2，3，4} C. {0，1，2，3，4，5} D.{1，2，3，4，5}
例7 用列举法表示下列集合:
(1)方程x 2
=x 的所有实数根组成的集合; (2)由1～20以内的所有质数组成的集合. (3)⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫∈-∈=N x N
x A 916
(4)()⎪⎩
⎪⎨⎧⎪⎭⎪
⎬⎫⎩⎨⎧=-=+=24,y x y x y x B
例8 用描述法表示下列集合
(1)二次函数y=x 2
图象上的点组成的集合; (2)坐标平面内数轴上的点集合; (3)不等式x-7<3的解集.
5
考点四：元素与集合关系的综合运用
例8：定义集合运算:A⊙B={z|z=xy(x+y),x∈A,y∈B},设集合A={0,1},B={2,3},则集合A⊙B 的所有元素之和为…( )
A.0
B.6
C.12
D.18
六、课后习题
1、用“∈”或“∉”符号填空：
（1）8 N ； （2）0 N ； （3）-3 Z ； （4）2 Q ；
2、下列四个集合中，是空集的是（ ）
A ．}33|{=+x x
B ．},,|),{(22R y x x y y x ∈-=
C ．}0|{2
≤x x D ．}01|{2
=+-x x x
3、若}4,3,2,2{-=A ，},|{2
A t t x x
B ∈==，用列举法表示B .
4、用列举法表示下列各个集合
（1）{}的对角线五边形ABCDE （2）{}
的正约数60
（3）方程组20;
20.x y x y +=⎧⎨
-=⎩
的解组成的集合。
5、用描述法写出下面这些区间的含义
[]7,2-； [)b a ,； ()+∞,123； (]9,∞-； ()5,2-； [)+∞-,4； ()1,∞-
6、集合A={x|x=a+2b,a∈Z ,b∈Z },判断下列元素x=0、
1
21-、
2
31
-与集合A 之
间的关系.
6。