数理逻辑复习题

一、选择题

1、 永真式的否定是( 2)

(1) 永真式 (2) 永假式 (3) 可满足式 2、 设 (1) P 3、

设 ⑴P 提示： (4) (1)--(3) 均有可能 P : 2X 2=5, Q 雪是黑的，R : 2X 4=8, S:太阳从东方升起，则下列真命题为

⑴

Q R (2) R P S (3) S Q R (4) (P P :我听课，Q 我看小说， Q ⑵ P R (P Q)

Q (3) P 则命题 R “我不能一边听课, P

Q PQ R) (Q S) 。 一边看小说” (P Q) 的符号化为⑵ 4、 ⑴ ⑶ 5、 ⑴ 6、 ⑴ 6、 下列表达式错误的有⑷ P (P Q) P

P ( P Q) P 下列表达式正确的有⑷ P P Q ⑵ (P P Q) Q) P PQ P 下列联接词运算不可交换的是 ⑵ (3)

设D:全总个体域，F (X ): x 是花, 人喜欢所有的花”的逻辑符号化为⑷ Q (3) ⑷ M(x) ： (P Q) ⑷ (P 是人， H(x,y) ：x 喜欢 Q) Q y ,则命题“有的 ⑴ x(M (x) y(F(y) (3) x(M (x) y(F(y) 7、设 L(x) ：x 是演员, J(x) 老 的逻辑符号化为⑵ x(L(x) A(x, y)) x y(L(x) J(y) H(x,y)) H (x, y)) ： x 是老师, ⑵ x(M (x) ⑷ x(M (x) A(x , y) ：

H(x, y)) H (x,y)) y(F(y) y(F(y) x 钦佩y ，命题“所有演员都钦佩某些 师” ⑴ (3) 8、 谓词公式 x(P(x) ⑴自由变元 ⑵约束变元 9、 下列表达式错误的有⑴ ⑴ x(A(x) B(x)) (3) x(A(x) B(x)) 10、 下列推导错在⑶ ① x y(x y) ② y(z y) ③ (z C z ) ④ x(x x) ⑴② ⑵③ ⑵ x(L(x) A(x,y)) ⑷ yR(y)) Q(x) 中的 x 是⑶ ⑶既是自由变元又是约束变元 ⑷既不是自由变元又不是约束变元 y(J(y) A( x, y))) x y(L(x) J(y) A(x,y)) xA(x)

xA(x)

xB(x) ⑵ x(A(x) B(x)) xB(x) ⑷ x(A(x) B(x))

xA(x) xA(x)

xB(x) xB(x)

⑶④ ⑷无

P USD ES ② UG ③

11 、下列推理步骤错在⑶ ① x yF(x,y) ② yF(z,y) ③ F(z,c) ④ xF(x,c)

⑤ y xF(x,y)

⑴①7② 12、设个体域为 ⑵②7③ {a,b} , P USD ES ② UG ③ EG ④

⑷④7⑤

⑴ R a,a R (3) R a,a a,b R a,b

⑶③7④

X yR X, y 去掉量词后，可表示为⑷ R b,a R b,b ⑵ R a,a R a,b

R b,a R b,b ⑷ R a,a R a,b

R b,a R b,a

R b,b

R b,b

9、 设P(X)： x 是大象，Q(x) : x 是老鼠，R(x,y) : x 比y 重，则命题“大象比老鼠重”的符 号化为 x y(P(x) Q(y) R(x, y))。

10、 令A (x ) :x 是自然数，B( x,y ): x 小于y ,则命题“存在最小的自然数”

为 x(A(x) y(A(y) B(y,x)。

三、 计算题

1、用真值表方法判断下列公式的类型，并求(

(1) ( P Q ) ( P V Q )；

(2)

( P Q A Q;

(3) ( P Q A R;

解 (1 )、( 2)和

(3)的真值表如表

3

R a,a yR a, y yR b,y 二、 填充题

1、 一个命题含有n 个原子命题，则对其所有可能赋值有

2、 n 个命题变元可产生 2n 个互不等价的极小项，其中， 提示：原式 R a,b R b,a R b,b

2n

种。 任意两个不同极小项的合取式为矛 _ ，n 个命题变元可构造包括 F 的 盾式(永假式)，而全体极小项的析取式为重言式(永真式) 不同的主析取范式类别为兰。 3、 n 个命题变元可产生 2n 个互不等价的极大项，其中，任意两个不同极大项的析取式为重 言式(永真式)，而全体极小项的合取式为矛盾式(永假式) ，n 个命题变元可构造包括 T 的 不同的主合取范式类别为 22

"。

5、 公式 (P Q) (P —(Q S))的对偶公式为 (P Q) (P (Q S))。

6、 设P :它占据空间，Q 它有质量，R :它不断运动，S:它叫做物质。命题“占据空间的, 有质量的而且不断运动的叫做物质”的逻辑符号可化为 S P Q R 。

7、 P :你努力，Q:你失败。 “虽然你努力了，但还是失败了”

8、

令 A(x) : x 会叫，B(x): 的

符号化为 x(A(x) B(x) “除非你努力，否则你将失败”的翻译为 的翻译为

x 是狗，C(x) : x 会咬人，则命题“会叫的狗未必会咬人”

C(x))。 的符号化

3)的主析取范式与主合取范式

1、表2和表3所示: 表1

由上述真值表可知，(1)

(3)的主析取范式为： 2、给定解释 I : D=｛2, 3｝，L (3,2)=0 , 解：

(1 0) 求谓词合式公式 y xL(x, y) (0 1) 0 0 0。 为永真式，(2)为永假式，(3)为可满足式。

(0,2,6);其主合取范式为 (1,3,4,5,7)。

(x,y )为 L( 2,2 ) = L ( 3,3 ) = 1 , L ( 2,3 ) =

L y xL(x, y)的真值。 y(L(2,y) L(3, y)) (L(2,2) L(3,2)) (L(2,3) L(3,3))

3、个体域为｛1 , 2｝，求 解： y (x+y=4 )的真值。 x ((x+1=4)V( x+2=4)) x x y (x+y=4) ((1 + 1=4)V( 1+2=4)) A( ( 2+1=4)V( 2+2=4)) (0V 0 )A( 0 V 1) 0A 1 0。 四、证明题

1、证明下列逻辑恒等式：

(1 )P Q ( P Q) (Q P) 证明、用真值表法证明 P Q 1 P Q (P

Q

(Q

P )

F F T T

F T F F

T F F F

T T T T

由定义可

知， 这两个公式是等价的<

(2) P (Q P) P (P Q)

证明、P 1 (Q P) P ( Q P) P

(P

Q)

P ( P Q) P (P

Q)

P (P Q)

(3) (P Q) (R Q) ((P R) Q)

证明：左

((P Q) ( R Q)) (( P R) Q) ((P R) Q) (P R Q) 右

(4)求证： x(A(x) B(x)) xA(x) xB(x)

证明 : x(A(x) B(x)) x( A(x) V B(x)) x A (x) V xB(x) xA(x)

xB(x) (5) 求证： 证明：左 右 (6) 求证： 证明： x x ( Rx) yQy ) (7) 求证：

xA(x) xB(x) x(P(x) Q(x)) A

x(( P(x) xP(x) Q(x) A P(x))

x y (R x ) Qy)) y(Rx ) V

xP (x )

F Qy)) x yQy )) yQ y )

G x y ( 证明：左 (F xF x(P(x) A Q(x)) x(( P(X)V Q(x)) A P(x)) xR x ) yQ y ) P (x ) V Qy )) x P (x ) xG x xG x 2、用推理规则证明下列各结论是各前提的有效结论: (1) P T Q

Q R, R, S P=> S 证明：(1) R P

xG xF

xF

yQy ) x(P(x) A Q(x))

xRx )

(xF x x G x