条件概率和全概率公式
B
A
A B
A
3 P BA P B AB
P B P AB 1 1 7 . 2 9 18
AB
B
A B
概率论
P AB P BC 0, P AC .求 A、B、C 至少有 8 一个发生的概率 .
概率论
四、概率的公理化定义
概率的公理化定义 设 E 是随机试验 , S 是它的
样本空间 , 对于 E 的每一个事件 A 赋予一个实数 PA ,
称之为事件 A 的概率 , 如果它满足下列三个条件 : 1 P A 0 ; 非负性
2 P S 1 ; 规范性 3 对于两两互斥事件 A1 , A2 ,, 有 P A1 A2 P A1 P A2
P ( B | A) 1 P ( B | A) 1 0.5 0.5
概率论
例2. 100件产品中有5件次品,现从中接连 任取两件而不放回,求在第一次取得正品的 条件下,第二次取得次品的概率.
概率论
P ( AB) 由条件概率的定义： P ( A | B) P ( B)
若已知P(B), P(A|B)时, 可以反求P(AB). 即 若P(B)>0, 则 P(AB)=P(B)P(A|B) (1)
P A1 A2 An1 0 , 则由条件概率的定义 , 可得
P A3 | A1 A2 P A2 | A1 P A1
乘法公式应用举例
例3 一批产品共有90件产品，其中有10件次品， 其余为正品. 现依次进行不放回抽取三次，求 第三次才取到正品的概率. 答案
10 9 80 10 90 89 88 979
解 1由于 A、B 互斥 , 所以
于是 所以
1 P BA P B . 2
B A BA B
A
B
A、B 互斥
概率论
2 因为 A B , 所以
P BA P B A P B P A 1 1 1 . 2 4 4
4. 乘法公式
P( AB) 同样,由 P( B | A) 可以反求P (AB) P( A)
即 若P(A)>0 , 则 P(AB)=P(A)P(B|A) (2)
(1)和(2)式都称为乘法公式, 利用 它们可计算两个事件同时发生的概率
概率论
乘法定理可以推广到多 个事件的积事件的情况.
设 A、B、C 为三个事件 , 且 P AB 0 , 则
于是由性质 2 , 可得 P A P B P A B
A B
也即 P A B P A P B ,
P A P B .
A B
又由概率的非负性, 有 P A B P A P B 0
n
n
1
n 1
P A1 A2 An
概率论
1 例1 设 A、B 为两个随机事件 , 且已知 P A , 4 1 P B , 就下列三种情况求概率 P BA . 2 1 1 A 与 B 互斥 ; 2 A B ; 3 P AB . 9
B={掷出偶数点}， )=1/6， P(A P(A|B)=？
已知事件B发生，此时试验所有可能 掷骰子 结果构成的集合就是B，
B中共有3个元素,它们的出现是等 可能的,其中只有1个在集A中. 于是 P(A|B)= 1/3.
容易看到
1 1 6 P ( AB) P(A|B) 3 36 P ( B)
甲厂生产40件 70件正品 乙厂生产30件 例1 一批产品100件 甲厂生产20件 30件次品 乙厂生产10件 从中任取1件,记A=“取到正品”,B=“取到甲厂产品”, 试计算P(A),P(B),P(AB),P(B|A),P(A|B).
解
70 P( A) 0.7 100 40 P( AB) 0.4 100
P ( AB) P ( B | A) P ( A)
( P ( A) 0)
为在事件A发生的条件下,事件B的条件概率.
2. 条件概率的性质(自行验证) 概率论 条件概率 P | A 具备概率定义的三个条 : 件 1 非负性 : 对于任意的事件 B , P B | A 0 ; 2 规范性: P | A 1 ; 3 可列可加性 : 设 B1 , B2 ,是两两互斥事件 , 则有
所以由可列可加性及性 1 , 有 质
P A1 A2 An P A1 A2 An P A1 P A2 P An 0 0 P A1 P A2 P An . P A1 P A2 P An P P
而且此结果 还可以推广 :
概率论
P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC P A B C D P A P B P C P D
概率论
性质 3 对于任何事件 A , 有
P A 1 P A .
证
所以 并且
因为
A A ,且 AA .
P A A P 1 . P A A P A P A P A 1 P A .
由以上两式可得, P A P A 1
即
概率论
性质 4 设 A、B 为两事件 , 且 A B , 则
P A B P A P B 并且 P A P B .
证 如图 ,因为 A B , 所以 A B A B 并且 B A B
条件概率P(A|B)与积事件概率P(AB) 的区别和联系
• 联系:事件A,B都发生了. • 区别: (1)条件概率P(A|B)是在实验E的条件下 增加条件B发生后,求此时事件A发生的概率. 而积事件P(AB)是在实验E的条件下AB同时 发生的概率。 • (2)样本空间不同,在P(A|B)中样本空间是缩减 样本空间 B ; 而P(AB)的样本空间还是 .
即
概率论
性质 5 对于任一事件 A , 都有 P A 1 .
证 因为对于任一事件A , 都有 A 故由性质 4 , 可得
P A P 1 .
性质 6 设 A, B 为任意两个事件 , 则
P A B P A P B P AB
60 P( B) 0.6 100
40 4 P( B | A) 70 7
40 2 P( A | B) 60 3
概率论
1. 条件概率的定义 设A、B是两个事件，则称
P ( AB) P( A | B) P( B)
( P ( B ) 0)
为在事件B发生的条件下,事件A的条件概率.
解
设A={能活20年以上}，B={能活25年以上}
பைடு நூலகம்
所求为 P(B|A) . 依题意， P(A)=0.8, P(B)=0.4
P ( AB) P ( B) 0.4 P ( B | A) 0.5 P ( A) P ( A) 0.8
思考：现年20岁的这种动物，它不能活25年 以上的概率呢？？？
P Bi A P Bi A i 1 i 1 不难验证，条件概率同 样满足概率的公理化
定义及其导出的有关性 . 质
(4) P ( A1 A2 | B ) P ( A1 | B ) P ( A2 | B ) P ( A1 A2 | B ) (5) P( A | B) 1 P( A | B) (6) P( A C | B) P( AC | B) P( A | B) P( AC | B)
概率论
条件概率的计算方法
P( AB) • 由定义 P( B | A) ，计算P(B|A). P( A)
概率论
• 在事件A 发生的条件下将原样本空间 缩 减为事件A所包含的样本点的集合 A ,然后 在缩减的样本空间中计算事件B发生的概率,从 而求得P(B|A).
概率论
例2 设某种动物由出生算起活到20年以上的概 率为0.8，活到25年以上的概率为0.4. 问现年20岁的 这种动物，它能活到25岁以上的概率是多少？
可列可加性
概率论
性质 2 设有限个事件 A1 , A2 ,, An 两两互斥 , 则
P A1 A2 An P A1 P A2 P An .
证 因为
A1 A2 An A1 A2 An
乘法公式应用举例 例4
某人忘记电话号码最后一位数字，因而任意地按 最后一个数．试求： （1）不超过4次能打通电话的概率
（2）若已知最后一位数字是偶数．则不超过3次能 打通电话的概率是多少？
P ABC P C | AB P B | AP A.
一般地 , 设有 n 个事件 A1 , A2 , , An , n 2 , 并且
P A1 A2 An P An | A1 A2 An-1 P An1 | A1 A2 An-2
条件概率与乘法公式
全概率公式与贝叶斯(Bayes)公式
小结
概率论
一、条件概率与乘法公式
在解决许多概率问题时，往往需要在有某 些附加信息(条件)下求事件的概率.
如在事件B发生的条件下求事件A发生的概率， 将此概率记作P(A|B).
一般地 P(A|B) ≠ P(A)
概率论
例如，掷一颗均匀骰子，A={掷出2点}，
A
A B
A
3 P BA P B AB
P B P AB 1 1 7 . 2 9 18
AB
B
A B
概率论
P AB P BC 0, P AC .求 A、B、C 至少有 8 一个发生的概率 .
概率论
四、概率的公理化定义
概率的公理化定义 设 E 是随机试验 , S 是它的
样本空间 , 对于 E 的每一个事件 A 赋予一个实数 PA ,
称之为事件 A 的概率 , 如果它满足下列三个条件 : 1 P A 0 ; 非负性
2 P S 1 ; 规范性 3 对于两两互斥事件 A1 , A2 ,, 有 P A1 A2 P A1 P A2
P ( B | A) 1 P ( B | A) 1 0.5 0.5
概率论
例2. 100件产品中有5件次品,现从中接连 任取两件而不放回,求在第一次取得正品的 条件下,第二次取得次品的概率.
概率论
P ( AB) 由条件概率的定义： P ( A | B) P ( B)
若已知P(B), P(A|B)时, 可以反求P(AB). 即 若P(B)>0, 则 P(AB)=P(B)P(A|B) (1)
P A1 A2 An1 0 , 则由条件概率的定义 , 可得
P A3 | A1 A2 P A2 | A1 P A1
乘法公式应用举例
例3 一批产品共有90件产品，其中有10件次品， 其余为正品. 现依次进行不放回抽取三次，求 第三次才取到正品的概率. 答案
10 9 80 10 90 89 88 979
解 1由于 A、B 互斥 , 所以
于是 所以
1 P BA P B . 2
B A BA B
A
B
A、B 互斥
概率论
2 因为 A B , 所以
P BA P B A P B P A 1 1 1 . 2 4 4
4. 乘法公式
P( AB) 同样,由 P( B | A) 可以反求P (AB) P( A)
即 若P(A)>0 , 则 P(AB)=P(A)P(B|A) (2)
(1)和(2)式都称为乘法公式, 利用 它们可计算两个事件同时发生的概率
概率论
乘法定理可以推广到多 个事件的积事件的情况.
设 A、B、C 为三个事件 , 且 P AB 0 , 则
于是由性质 2 , 可得 P A P B P A B
A B
也即 P A B P A P B ,
P A P B .
A B
又由概率的非负性, 有 P A B P A P B 0
n
n
1
n 1
P A1 A2 An
概率论
1 例1 设 A、B 为两个随机事件 , 且已知 P A , 4 1 P B , 就下列三种情况求概率 P BA . 2 1 1 A 与 B 互斥 ; 2 A B ; 3 P AB . 9
B={掷出偶数点}， )=1/6， P(A P(A|B)=？
已知事件B发生，此时试验所有可能 掷骰子 结果构成的集合就是B，
B中共有3个元素,它们的出现是等 可能的,其中只有1个在集A中. 于是 P(A|B)= 1/3.
容易看到
1 1 6 P ( AB) P(A|B) 3 36 P ( B)
甲厂生产40件 70件正品 乙厂生产30件 例1 一批产品100件 甲厂生产20件 30件次品 乙厂生产10件 从中任取1件,记A=“取到正品”,B=“取到甲厂产品”, 试计算P(A),P(B),P(AB),P(B|A),P(A|B).
解
70 P( A) 0.7 100 40 P( AB) 0.4 100
P ( AB) P ( B | A) P ( A)
( P ( A) 0)
为在事件A发生的条件下,事件B的条件概率.
2. 条件概率的性质(自行验证) 概率论 条件概率 P | A 具备概率定义的三个条 : 件 1 非负性 : 对于任意的事件 B , P B | A 0 ; 2 规范性: P | A 1 ; 3 可列可加性 : 设 B1 , B2 ,是两两互斥事件 , 则有
所以由可列可加性及性 1 , 有 质
P A1 A2 An P A1 A2 An P A1 P A2 P An 0 0 P A1 P A2 P An . P A1 P A2 P An P P
而且此结果 还可以推广 :
概率论
P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC P A B C D P A P B P C P D
概率论
性质 3 对于任何事件 A , 有
P A 1 P A .
证
所以 并且
因为
A A ,且 AA .
P A A P 1 . P A A P A P A P A 1 P A .
由以上两式可得, P A P A 1
即
概率论
性质 4 设 A、B 为两事件 , 且 A B , 则
P A B P A P B 并且 P A P B .
证 如图 ,因为 A B , 所以 A B A B 并且 B A B
条件概率P(A|B)与积事件概率P(AB) 的区别和联系
• 联系:事件A,B都发生了. • 区别: (1)条件概率P(A|B)是在实验E的条件下 增加条件B发生后,求此时事件A发生的概率. 而积事件P(AB)是在实验E的条件下AB同时 发生的概率。 • (2)样本空间不同,在P(A|B)中样本空间是缩减 样本空间 B ; 而P(AB)的样本空间还是 .
即
概率论
性质 5 对于任一事件 A , 都有 P A 1 .
证 因为对于任一事件A , 都有 A 故由性质 4 , 可得
P A P 1 .
性质 6 设 A, B 为任意两个事件 , 则
P A B P A P B P AB
60 P( B) 0.6 100
40 4 P( B | A) 70 7
40 2 P( A | B) 60 3
概率论
1. 条件概率的定义 设A、B是两个事件，则称
P ( AB) P( A | B) P( B)
( P ( B ) 0)
为在事件B发生的条件下,事件A的条件概率.
解
设A={能活20年以上}，B={能活25年以上}
பைடு நூலகம்
所求为 P(B|A) . 依题意， P(A)=0.8, P(B)=0.4
P ( AB) P ( B) 0.4 P ( B | A) 0.5 P ( A) P ( A) 0.8
思考：现年20岁的这种动物，它不能活25年 以上的概率呢？？？
P Bi A P Bi A i 1 i 1 不难验证，条件概率同 样满足概率的公理化
定义及其导出的有关性 . 质
(4) P ( A1 A2 | B ) P ( A1 | B ) P ( A2 | B ) P ( A1 A2 | B ) (5) P( A | B) 1 P( A | B) (6) P( A C | B) P( AC | B) P( A | B) P( AC | B)
概率论
条件概率的计算方法
P( AB) • 由定义 P( B | A) ，计算P(B|A). P( A)
概率论
• 在事件A 发生的条件下将原样本空间 缩 减为事件A所包含的样本点的集合 A ,然后 在缩减的样本空间中计算事件B发生的概率,从 而求得P(B|A).
概率论
例2 设某种动物由出生算起活到20年以上的概 率为0.8，活到25年以上的概率为0.4. 问现年20岁的 这种动物，它能活到25岁以上的概率是多少？
可列可加性
概率论
性质 2 设有限个事件 A1 , A2 ,, An 两两互斥 , 则
P A1 A2 An P A1 P A2 P An .
证 因为
A1 A2 An A1 A2 An
乘法公式应用举例 例4
某人忘记电话号码最后一位数字，因而任意地按 最后一个数．试求： （1）不超过4次能打通电话的概率
（2）若已知最后一位数字是偶数．则不超过3次能 打通电话的概率是多少？
P ABC P C | AB P B | AP A.
一般地 , 设有 n 个事件 A1 , A2 , , An , n 2 , 并且
P A1 A2 An P An | A1 A2 An-1 P An1 | A1 A2 An-2
条件概率与乘法公式
全概率公式与贝叶斯(Bayes)公式
小结
概率论
一、条件概率与乘法公式
在解决许多概率问题时，往往需要在有某 些附加信息(条件)下求事件的概率.
如在事件B发生的条件下求事件A发生的概率， 将此概率记作P(A|B).
一般地 P(A|B) ≠ P(A)
概率论
例如，掷一颗均匀骰子，A={掷出2点}，
合集下载
条件概率全概公式
B ABA
例如，掷一颗均匀骰子A＝{掷出2点}，
B={掷出偶数点}，P(A )=1/6，P(A|B)=？
已知事件B发生，此时试验所
有可能结果构成的集合就是B，
掷骰子
B中共有3个元素，它们的出现是
等可能的，其中只有1个在集A中，
于是P(A|B)= 1/3. 容易看到：
P(A B)116P(AB ) 3 36 P(B)
A与B , A 与 B , A与 都B 是相互独立的。
例 3 一个均匀的正四面体,将第一面染成
红色,第二面染成白色,第三面染成黑色,第四
面同时染上红、白、黑三种颜色，如果以A、
B、C分别表示投掷一次正四面体时红、白、
黑颜色着地的事件，由于在四个面中两面上
着红色，故 同理可知
PA 1
2
PBPC1
其 中 P ( F G ) 1 - P ( F ) P ( G ) 0 .9 3 7 5
代入得
P(W)0.782
二 、全概率公式 贝叶斯公式
全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算 比较复杂事件的概率,它们实质上是加法公 式和乘法公式的综合运用.
综合运用
加法公式
P(A+B)=P(A)+P(B)
95 94 5 0.046 100 99 98
3、 事件的相互独立性 对乘法公式 P(AB)=P(A)P(B|A) ，有的
问题中事件B发生的概率与事件A发生的条 件下事件B发生的概率是相等的，即
PB|APB,
相当于无条件概率，B是否发生与A无关，从 而
P ( A B ) P ( A ) P ( B |A ) P ( A ) P ( B )
2
P A B P A C P B C 1 P AB 1C
例如，掷一颗均匀骰子A＝{掷出2点}，
B={掷出偶数点}，P(A )=1/6，P(A|B)=？
已知事件B发生，此时试验所
有可能结果构成的集合就是B，
掷骰子
B中共有3个元素，它们的出现是
等可能的，其中只有1个在集A中，
于是P(A|B)= 1/3. 容易看到：
P(A B)116P(AB ) 3 36 P(B)
A与B , A 与 B , A与 都B 是相互独立的。
例 3 一个均匀的正四面体,将第一面染成
红色,第二面染成白色,第三面染成黑色,第四
面同时染上红、白、黑三种颜色，如果以A、
B、C分别表示投掷一次正四面体时红、白、
黑颜色着地的事件，由于在四个面中两面上
着红色，故 同理可知
PA 1
2
PBPC1
其 中 P ( F G ) 1 - P ( F ) P ( G ) 0 .9 3 7 5
代入得
P(W)0.782
二 、全概率公式 贝叶斯公式
全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算 比较复杂事件的概率,它们实质上是加法公 式和乘法公式的综合运用.
综合运用
加法公式
P(A+B)=P(A)+P(B)
95 94 5 0.046 100 99 98
3、 事件的相互独立性 对乘法公式 P(AB)=P(A)P(B|A) ，有的
问题中事件B发生的概率与事件A发生的条 件下事件B发生的概率是相等的，即
PB|APB,
相当于无条件概率，B是否发生与A无关，从 而
P ( A B ) P ( A ) P ( B |A ) P ( A ) P ( B )
2
P A B P A C P B C 1 P AB 1C
条件概率与全概率公式_课件
概率是多少？
知道第一名同学的结
果会影响最后一名同
学中奖事件A “最后一名同学抽到中奖奖券”为事件B
第一名同学没有抽到中奖奖券的条件下，最后一名 同学抽到中 奖奖券的概率记为P(B|A）
已知第一名同学的抽奖结果为什么会影响最后一名同学抽到中奖 奖券的概率呢？
精品 课件
高中数学选择性必修3
第七章 随机变量及其分布
条件概率与全概率公式
新人教版
特级教师优秀课件精选
学习目标
理解条件概率的定义
掌握条件概率的计算方 法利用条件概率公式解决一些简单的实际问 题
教学重点
条件概率的概念，条件概率公式的简单应 用
教学难点 正确理解条件概率公式，并能灵活运用条件概率公式解决 简单实际问题
条件概率的计算
【解答】
条件概率的计算 3.袋子中有10个大小相同的小球，其中7个白球，3个黑球.每 次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回，求： （1）在第1次摸到白球的条件下，第2次摸到白球的概率； （2）两次都摸到白球的概率.
全概率公式定义
我们称上面的公式为全概率公式 .
例题
某学校有A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果第1 天去A餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅，那么第2天 去A餐厅的概率为0.8.计算王同学第2天去A餐厅用餐的概率.
例题
在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再 放回.求： （1）第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率； （2）在第一次抽到几何题的条件下，第2次抽打几何体的概率.
解法1:设A=“第1次抽到代数题”，B=“第2次抽到几何 题”.
例题
4条件概率和全概率公式
石家庄铁道大学
= 0.0038
练习：
第一章 随机事件与概率
16
10个考签中有4个难签, 今有3人按甲先、乙次、丙最后的次序 参加抽签（不放回）. 求甲、乙、丙分别抽到难签的概率. 解：设A、B、C分别表示甲、乙、丙分别抽到难签. 4 P (A) = ; P (B) P ( A) P ( B | A) + P ( A) P ( B | A) = 10 4 3 6 4 4 = ⋅ + ⋅ = 10 9 10 9 10
第一章 随机事件与概率
1
第四节 条件概率与全概率公式
条件概率 乘法公式 全概率公式 贝叶斯公式
石家庄铁道大学
第一章 随机事件与概率
2
一 条件概率
引例 某批产品共100件, 其中40件是甲厂生产的（35 件正品，5件次品）， 60件是乙厂生产的（45件正 品，15件次品），任取一件，已知它是甲厂生产， 问取出的是次品的概率。 定义1.8 设A, B为两个事件, 且 P(A)>0, 称
石家庄铁道大学
第一章 随机事件与概率
7
例4 第一个袋中有黑、白球各 2 只, 第二个袋中有黑、 白球各 3 只. 先从第一个袋中任取一球放入第二个袋 中,再从第二个袋中任取一球.求第一、二次均取到白 球的概率. 记 Ai {= 第 i 次取到白球 } , (i 1, 2) 则
P ( A1) = 1 2 P ( A2 | A1) = 4 7
i =1 i =1
P ( B A )= 1 − P ( B A)
P ( B1 B2 A ) = P ( B1 A ) + P ( B2 A) − P ( B1 B2 A)
石家庄铁道大学
第一章 随机事件与概率
= 0.0038
练习：
第一章 随机事件与概率
16
10个考签中有4个难签, 今有3人按甲先、乙次、丙最后的次序 参加抽签（不放回）. 求甲、乙、丙分别抽到难签的概率. 解：设A、B、C分别表示甲、乙、丙分别抽到难签. 4 P (A) = ; P (B) P ( A) P ( B | A) + P ( A) P ( B | A) = 10 4 3 6 4 4 = ⋅ + ⋅ = 10 9 10 9 10
第一章 随机事件与概率
1
第四节 条件概率与全概率公式
条件概率 乘法公式 全概率公式 贝叶斯公式
石家庄铁道大学
第一章 随机事件与概率
2
一 条件概率
引例 某批产品共100件, 其中40件是甲厂生产的（35 件正品，5件次品）， 60件是乙厂生产的（45件正 品，15件次品），任取一件，已知它是甲厂生产， 问取出的是次品的概率。 定义1.8 设A, B为两个事件, 且 P(A)>0, 称
石家庄铁道大学
第一章 随机事件与概率
7
例4 第一个袋中有黑、白球各 2 只, 第二个袋中有黑、 白球各 3 只. 先从第一个袋中任取一球放入第二个袋 中,再从第二个袋中任取一球.求第一、二次均取到白 球的概率. 记 Ai {= 第 i 次取到白球 } , (i 1, 2) 则
P ( A1) = 1 2 P ( A2 | A1) = 4 7
i =1 i =1
P ( B A )= 1 − P ( B A)
P ( B1 B2 A ) = P ( B1 A ) + P ( B2 A) − P ( B1 B2 A)
石家庄铁道大学
第一章 随机事件与概率
条件概率公式与全概率公式
2021/3/27
CHENLI
9
推论2 在 A 与 B, A 与 B,A 与 B ， A 与 B这四对事件中,若 有一对独立,则另外三对也相互独立。
证明 不妨设A.B独立,则
P (A B ) P (A B ) P (A ) P (A) B P (A ) P (A )P (B ) P (A )1 ( P (B ) )P (A )P (B )
20课上练习小王忘了朋友家电话号码的最后一位故只能随意拨最后一个号求他至多拨三次由乘法公式设事件表示三次拨号至少一次拨通表示第i次拨通他只能随意拨最后一个号他连拨三次由乘法公式表示第i次拨通10件产品中有3件次品从中任取2在所取2件中有一件是次品的条件下设事件表示所取2件中有一件次品事件表示另一件也是次品
3
14 1 10 10 10
3. 5
2021/3/27
CHENLI
16
一般 B 1, ： ,B n为 设 的一个 A 为划 一分 事， 件
P(Bi
|
A)
P( P
AB (A
i
)
)
P(Bi )P(A| Bi ) P( A)
P(Bi )P(A | Bi )
n
P(BK )P(A | BK )
❖——贝叶斯(Bayes)公式
2021/3/27
CHENLI
2
例2 10个人为两张球票抽签，依次抽取，取后不 放回，若已知第一个人抽到球票，求第2个人也 抽到球票的概率。
解1：设A=“第一个人抽到球票”。 B=“第二个人抽到球票”。
1
则所求为
9
记为 P ( B A)
2021/3/27
CHENLI
3
定义P(： B| A)P(AB) P(A)
1.3,1.4条件概率,全概率公式
解 设 A表示抽到的为男子，B表示抽到的是女子。
C表示抽到的人有色盲症。
则
1 P( A) P( B) , P(C | A) 0.05, P(C | B) 0.0025 2
由Bayes公式有
P( A) P(C | A) 0.5 0.05 P( A | C ) P( A) P(C | A) P( B) P(C | B) 0.5 0.05 0.5 0.0025
2 1 3 2 2 , 5 4 5 4 5
P( A3 ) P( A3) P( A3 ( A1 A2 A1 A2 A1 A2 ))
P ( A1 A2 A3 ) P ( A1 A2 A3 ) P ( A1 A2 A3 )
P ( A1 ) P ( A2 A1 ) P ( A3 A1 A2 ) P ( A1 ) P ( A2 A1 ) P ( A3 A1 A2 ) P ( A1 ) P ( A2 A1 ) P ( A3 A1 A2 )
i 1 n
全概率公式
证明 B B B ( A A A ) 1 2 n
BA1 BA2 BAn .
由 Ai A j ( BAi )( BAj ) P( B) P( BA1 ) P( BA2 ) P( BAn ) P( B) P( A1 ) P( B | A1 ) P( A2 ) P( B | A2 )
解
设Ａ表示取得一等品，Ｂ表示取得合格品，则
（1）因为100 件产品中有 70 件一等品，所以 70 P( A) 0.7 100 因为95 件合格品中有 70 件一等品，所以 （2）方法1： 70 P( A B) 0.7368 95 方法2：
C表示抽到的人有色盲症。
则
1 P( A) P( B) , P(C | A) 0.05, P(C | B) 0.0025 2
由Bayes公式有
P( A) P(C | A) 0.5 0.05 P( A | C ) P( A) P(C | A) P( B) P(C | B) 0.5 0.05 0.5 0.0025
2 1 3 2 2 , 5 4 5 4 5
P( A3 ) P( A3) P( A3 ( A1 A2 A1 A2 A1 A2 ))
P ( A1 A2 A3 ) P ( A1 A2 A3 ) P ( A1 A2 A3 )
P ( A1 ) P ( A2 A1 ) P ( A3 A1 A2 ) P ( A1 ) P ( A2 A1 ) P ( A3 A1 A2 ) P ( A1 ) P ( A2 A1 ) P ( A3 A1 A2 )
i 1 n
全概率公式
证明 B B B ( A A A ) 1 2 n
BA1 BA2 BAn .
由 Ai A j ( BAi )( BAj ) P( B) P( BA1 ) P( BA2 ) P( BAn ) P( B) P( A1 ) P( B | A1 ) P( A2 ) P( B | A2 )
解
设Ａ表示取得一等品，Ｂ表示取得合格品，则
（1）因为100 件产品中有 70 件一等品，所以 70 P( A) 0.7 100 因为95 件合格品中有 70 件一等品，所以 （2）方法1： 70 P( A B) 0.7368 95 方法2：
新人教版高中数学选择性必修第三册7.1 条件概率与全概率公式
.
解析 (1)从这批产品中随便地取一件,则这件产品恰好是次品的概率是 81 = 27 .
1 200 400
(2)设A:取出的产品是甲厂生产的,B:取出的产品为次品,
则由已知可得P(A)= 500 ,P(AB)= 25 ,所以这件产品恰好是甲厂生产的次品的概
1 200
1 200
率是P(B|A)= P(AB) = 1 .
第七章 随机变量及其散布
1 |利用定义求条件概率 农历五月初五是我国的传统节日——端午节,这一天,馨馨的妈妈煮了9个粽子,其 中4个大枣馅、3个腊肉馅、2个豆沙馅,馨馨随机选取两个粽子.
第七章 随机变量及其散布
1.若已知馨馨取到的两个粽子的馅不同,则取到的两个粽子分别是大枣馅和豆沙馅
的概率是多少?
P(A) P(D)
+
P(B) P(D)
=
C620 12 180
+
C620 12 180
=
13 58
.
C620
C620
所以他获得优秀的概率是 13 .
58
第七章 随机变量及其散布
4 |乘法公式及其应用 乘法公式的特点及注意事项 1.知二求一:若P(A)>0,则已知P(A),P(B|A),P(AB)中的两个值就可以求得第三个值; 若P(B)>0,则已知P(B),P(A|B),P(AB)中的两个值就可以求得第三个值. 2.P(B)与P(B|A)的区分在于两者产生的条件不同,它们是两个不同的概念,在数值上 一般也不同.
多少?
提示:用C表示事件“取到的两个粽子为同一种馅”,D表示事件“取到的两个粽子
都为腊肉馅”,
则P(C)=
C24
C32 C92
第十章 第四节 事件的独立性、条件概率与全概率公式
6．(全概率公式应用致误)在 A，B，C 三地爆发了流感，这三个地区分别有 6%，5%，4%的人患了流感．设这三个地区人口数的比为 3∶1∶1，现从这三个地 区中任选一人，这个人患流感的概率是__________．
答案：52070 解析：由全概率公式可得，现从这三个地区中任选一人，这个 人患流感的概率为 6%×3＋31＋1 ＋5%×3＋11＋1 ＋4%×3＋11＋1 ＝52070 .
2．事件 A 与事件 B 相互独立性
若事件 A 与事件 B 相互独立，则事件 A 的发生不会影响事件 B 发生的概率，
即有
P(B|A) ＝ P(B). 反 之 ， 若
P(B|A) ＝ P(B) 成 立 ， 则
P(AB)
＝ P(A)
P（AB） P（A）
＝
P(A)P(B|A)＝P(A)P(B).
3．n 个事件的相互独立
答案：25 解析：设事件 A 为“解题成功”，即甲乙两个小组至少有一个小 组解题成功，
其概率为 P(A)＝1－1－23 ·1－12 ＝56 ，
事件 B 为“乙小组解题失败”，则 P(AB)＝23 ×1－12 ＝13 ， 所以在解题成功的条件下，乙小组解题失败的概率为
1 P(B|A)＝PP（（AAB）） ＝35 ＝25 .
5．天气预报，在元旦假期甲地降雨概率是 0.2，乙地降雨概率是 0.3.假设在这 段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率 为________．
答案：0.38 解析：设甲地降雨为事件 A，乙地降雨为事件 B，则两地恰有一 地降雨为 A－B ∪－A B，
所以 P(A－B ∪－A B)＝P(A－B )＋P(－A B)＝ P(A)P(－B )＋P(－A )P(B)＝0.2×0.7＋0.8×0.3＝0.38.
条件概率、全概率、贝叶斯公式
杨鑫的数学课堂条件概率、全概率、贝叶斯公式、p(A|B)=P(A∩B)P(B)⇒p(A∩B)=p(A|B)×p(B)⇒p(A∩B)=P(B|A)×P(A)(1)p(A|B)=P(A∩B)P(B)=p(B|A)×P(A)p(B)(2)先举个例子，小张从家到公司上班总共有三条路可以直达（如下图），但是每条路每天拥堵的可能性不太一样，由于路的远近不同，选择每条路的概率如下：p(L1)=0.5,p(L2)=0.3,p(L3)=0.2(3)每天上述三条路不拥堵的概率分别为：p(C1)=0.2,p(C2)=0.4,p(C3)=0.7(4)其实不迟到就是对应着不拥堵，设事件Ｃ为到公司不迟到，事件Li为选择第i 条路，则：p(C)=p(L1)×p(C|L1)+p(L2)×p(C|L)+p(L3)×p(C|L3) p(C)=p(L1)×p(C1)+p(L2)×p(C2)+p(L3)×p(C3)p(C)=0.5×0.2+0.3×0.4+0.2×0.7=0.36(5)全概率计算公式p(C)=p(L1)p(C|L1)······p(L n)p(C|L n)=n∑i=1p(L i)p(C|L i)(6)三、贝叶斯公式仍旧借用上述的例子，但是问题发生了改变，问题修改为：到达公司未迟到选择第１条路的概率是多少？0.5这个概率表示的是，选择第一条路的时候并没有靠考虑是不是迟到，只是因为距离公司近才知道选择它的概率，而现在我们是知道未迟到这个结果，是在这个基础上问你选择第一条路的概率，所以并不是直接就可以得出的。
故有：p(L1|C)=p(C|L1)×p(L1)p(C)p(L1|C)=p(C|L1)×p(L1)P(L1)×p(C|L1)+P(L2)×p(C|L2)+P(L3)×p(C|L3)p(L1|C)=0.2×0.50.2×0.5+0.3×0.4+0.2×0.7=0.28(7)1。
条件概率与全概率公式
条件概率与全概率公式
全概率公式定义
全概率公式是求解其中一事件发生的概率的一种统计技术。
全概率公
式又称为贝叶斯概率定理，是比较常见的概率公式之一、全概率公式表述为：设事件B1,B2,...Bn在样本空间S的一致性事件，事件A在样本空间
S中发生的概率为：
P(A)=∑P(A，Bi)P(Bi)
其中P（Bi）是事件B1,B2,...Bn发生的概率；P（A，Bi）是在事件
Bi发生的条件下，事件A发生的概率。
条件概率定义
条件概率是指在其中一条件下事件A发生的概率，它的计算方法是：
在该条件下，事件A发生的概率为：P(A，B)＝P(A,B)/P(B)。
其中P（B）是事件B发生的概率；P（A,B）是事件A和B同时发生的概率。
由此可见，条件概率是指在条件B出现的情况下的概率事件A发生的
概率，而全概率公式则是求解其中一事件A的发生概率，即P(A)的值，
以上是全概率公式与条件概率的定义。
全概率公式与条件概率的关系
P(A)＝∑P(A，Bi)P(Bi)
＝P(A，B1)P(B1)+P(A，B2)P(B2)+···+P(A，Bn)P(Bn)
根据上面的表达式，可以看出，全概率公式实际上是将多个不相关的
结果。
条件概率及全概率公式
? 解: 设A={掷出点数之和不小于10}
B={第一颗掷出6点}
应用定义
解法1:
P(A|
B)
P(AB) P(B)
3 6
36 36
1 2
解法2: P(A|B)31 62
在B发生后的 缩减样本空间 中计算
.
例2 设某种动物由出生算起活到20岁以上的概率为 0.8，活到25岁以上的概率为0.4。如果现在有一个20 岁的这种动物，问它能活到25岁以上的概率是多少？
(2)
A 1A 2 A n . B=B1A B2A BnA
则称
A1, A2,An
为样本空间 Ω的一个划分。 BA1 BA2 …... BAn
A1 A2 …... An
Ω
.
1.全概率公式: 定理1.2
设 A1,A2,…,An 是 两 两 互 斥 的 事 件 ， 且
PA(1A, Ai)2>,0…，,Ai n=之1,一2,…同,时n, 发另生有，一即事件B B,n它A总i ，是与
综合运用
加法公式 P(A+B)=P(A)+P(B)
A、B互斥
.
乘法公式 P(AB)= P(A)P(B|A)
P(A)>0
例1 有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装 有1个红球4个白球，2号箱装有2红3白球，3 号箱装有3红球. 某人从三箱中任取一箱，从 中任意摸出一球，求取得红球的概率.
解：记 Ai={球取自i号箱},
.
多个事件的乘法公式
设A1，A2，，An为n个随机事件，且
PA 1A 2 A n 1 0
则有
P A 1A 2 A n P A 1 P A 2A 1 P A 3A 1 A 2P A nA 1 A 2 A n 1
B={第一颗掷出6点}
应用定义
解法1:
P(A|
B)
P(AB) P(B)
3 6
36 36
1 2
解法2: P(A|B)31 62
在B发生后的 缩减样本空间 中计算
.
例2 设某种动物由出生算起活到20岁以上的概率为 0.8，活到25岁以上的概率为0.4。如果现在有一个20 岁的这种动物，问它能活到25岁以上的概率是多少？
(2)
A 1A 2 A n . B=B1A B2A BnA
则称
A1, A2,An
为样本空间 Ω的一个划分。 BA1 BA2 …... BAn
A1 A2 …... An
Ω
.
1.全概率公式: 定理1.2
设 A1,A2,…,An 是 两 两 互 斥 的 事 件 ， 且
PA(1A, Ai)2>,0…，,Ai n=之1,一2,…同,时n, 发另生有，一即事件B B,n它A总i ，是与
综合运用
加法公式 P(A+B)=P(A)+P(B)
A、B互斥
.
乘法公式 P(AB)= P(A)P(B|A)
P(A)>0
例1 有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装 有1个红球4个白球，2号箱装有2红3白球，3 号箱装有3红球. 某人从三箱中任取一箱，从 中任意摸出一球，求取得红球的概率.
解：记 Ai={球取自i号箱},
.
多个事件的乘法公式
设A1，A2，，An为n个随机事件，且
PA 1A 2 A n 1 0
则有
P A 1A 2 A n P A 1 P A 2A 1 P A 3A 1 A 2P A nA 1 A 2 A n 1