高考数学考点01集合的运算试题解读与变式

考点一：集合

【考纲要求】

（1）集合的含义与表示

①了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系．

②能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．

（2）集合间的基本关系

①理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．

②在具体情境中，了解全集与空集的含义．

（3）集合的基本运算．

①理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．

②理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．

③能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算．

【命题规律】

集合在高考中主要考查三方面内容:一是考查集合的概念、集合间的关系;二是考查集合的运算和集合语言的运用,常以集合为载体考查函数、不等式、解析几何等知识;三是以创新题型的形式考查考生分析、解决集合问题的能力.

预计2017年的高考将会继续保持稳定，坚持考查集合运算，命题形式会更加灵活、新颖．

【典型高考试题变式】

（一）判断集合间的关系

例1.【2015高考重庆】已知集合A ={}1,2,3,B ={}2,3，则（ ）

A.A B =

B.A B =?

C.A B ?

D.B A ?

【答案】D

【变式1】【例题中的集合A 、B 改变，选项不变】已知集合2{|20}A x x x =-≤，{|55}B x x =-<<，则（ ）

A.A B =?

B.A B R =

C.B A ?

D.A B ? 【答案】D

【解析】因为2{|20}A x x x =-≤{|02}x x =≤≤ , 而{|02}x x ≤≤{|x x ?,故选

D.

【变式2】【例题的条件不变，结论变为，题型变为填空题】已知集合A ={}a ，B ={}2|560x x x -+=，若A B ?，则实数a 的取值集合为_______.

【答案】{}2,3

【解析】因为B ={}2|560x x x -+={}2,3=，又A ={}a ，A B ?，所以实数a 的取值集合为{}2,3.

（二）集合运算问题

1.【2017新课标】已知集合}1|{<=x x A ，}13|{<=x x B ，则（ ）

A.{|0}A B x x =< B ．A B =R

C ．{|1}A B x x =>

D ．A B =?

【答案】A

【解析】由31x <可得033x <，则0x <，即{|0}B x x =<，

所以{|1}{|0}{|0}A B x x x x x x =<<=<，{|1}{|0}{|1}A B x x x x x x =<<=<，

故选A.

【方法技巧归纳】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再运算，常常借助数轴或韦恩图进行处理.

【变式1】【例题中集合B 中的指数不等式改为对数不等式】已知集合}1|{<=x x A ，{|lg 0}B x x =≥，则（ ）

A ．{|10}A

B x x =< B ．A B =R

C ．{|1}A B x x =>

D ．A B =?

【答案】B

【解析】由lg 0x ≥得1x ≥，所以{|1}B x x =≥，所以A B R =，故选B.

【变式2】【例题的条件不变，结论变为求()R A C B ，题型改为填空题】已知集合

}1|{<=x x A ，}13|{<=x x B ，则()R A C B =_______.

【答案】{|01}x x ≤<

【解析】由31x <可得033x <，则0x <，即{|0}B x x =<，所以{|0}R C B x x =≥， 因为}1|{<=x x A ，所以(){|01}R A C B x x =≤<.

（三）集合元素的个数问题

例 3.【2015新课标】已知集合{32,},{6,8,10,12,14}A x x n n N B ==+∈=，则集合A B 中的元素个数为( )

A. 5

B.4

C.3

D.2

【答案】D

【解析】由条件知，当2n =时，328n +=；当4n =时，3214n +=，故{8,14}A B =,故选D.

【方法技巧归纳】集合中元素具有：互异性、确定性、无序性.有限集合A 的子集个数是2n ；真子集个数是21n -；非空子集个数是21n -；非空真子集个数是22n -．

【变式1】【改变例题中的集合B ，结论不变】已知集合

{32,},{|10}A x x n n N B x x ==+∈=≤，则集合A B 中的元素个数为_______.

【答案】2

【解析】由条件知，当1n =时，325n +=；当2n =时，328n +=；当3n =时，3211n +=， 故{5,8}A B =,故集合A B 中的元素个数为2.

【变式2】【改例题中的条件和结论】已知集合{1,2,3}A =，{3,4,5}B =，则集合A B 中元素的个数为_______.

【答案】5

【解析】{123}{245}{12345}A B ==，，，，，，，，，则集合A B 中元素的个数为5个.

（四）集合中的创新题

例4.【2015·湖北】已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤1，x ，y ∈Z }，B ＝{(x ，y )||x |≤2，|y |≤2，x ，y ∈Z }，定义集合A ⊕B ＝{(x 1＋x 2，y 1＋y 2)|(x 1，y 1)∈A ，(x 2，y 2)∈B }，则A ⊕B 中元素的个数为( )

A．77 B．49

C．45 D．30

【答案】C

【解析】如图，集合A表示如图所示的所有圆点“”，集合B表示如图所示的所有圆点“”＋所有圆点“”，集合A⊕B显然是集合{(x，y)||x|≤3，|y|≤3，x，y∈Z}中除去四个点{(－3，－3)，(－3,3)，(3，－3)，(3,3)}之外的所有整点(即横坐标与纵坐标都为整数的点)，即集合A⊕B表示如图所示的所有圆点“”＋所有圆点“”＋所有圆点“”，共45个．故A⊕B中元素的个数为45.故选C.

【方法技巧归纳】解决集合创新型问题的方法：

①紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在．

②用好集合的性质．集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质．

【变式1】对于任意两个正整数m，n，定义运算(用⊕表示运算符号)：当m，n都是正偶数或都是正奇数时，m⊕n＝m＋n；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m⊕n＝m×n.例如4⊕6＝4＋6＝10,3⊕7＝3＋7＝10,3⊕4＝3×4＝12.在上述定义中，集合M＝{(a，b)|a ⊕b＝12，a，b∈N*}的元素有________个．

【答案】15

【解析】m，n同奇同偶时有11组：(1,11)，(2,10)，…，(11,1)；m，n一奇一偶时有4组：(1,12)，(12,1)，(3,4)，(4,3)，所以集合M的元素共有15个．

【变式2】如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义集合A#B为阴影部分表示的集合．若x，y∈R，A＝{x|y＝2x－x2}，B＝{y|y＝3x，x>0}，则A#B为( ) A．{x|0

C．{x|0≤x≤1或x≥2} D．{x|0≤x≤1或x>2}

【答案】D

【解析】因为A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y>1}，A∪B＝{x|x≥0}，A∩B＝{x|1

所以A #B ＝?A ∪B (A ∩B )＝{x |0≤x ≤1或x >2}，故选D.

【数学思想】

1.数形结合思想

数轴和Venn 图是进行交、并、补集运算的有力工具，数形结合是解集合问题的常用方法，解题时要先把集合中各种形式的元素化简，使之明确化，尽可能地借助数轴、直角坐标系或Venn 图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解题．

2.转化与化归思想

在集合的运算关系和两个集合的包含关系之间往往存在一定的联系，在一定的情况下可以相互转化，如A ?B ?A ∩B ＝A ?A ∪B ＝B ??U A ??U B ?A ∩(?U B )＝?，在解题中运用这种转化能有效地简化解题过程．

【处理集合问题注意点】

1.认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．

2.要注意区分元素与集合的从属关系；以及集合与集合的包含关系．

3.易忘空集的特殊性，在写集合的子集时不要忘了空集和它本身．

4.运用数轴图示法易忽视端点是实心还是空心．

5.在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误．

【典例试题演练】

1.【2017云南、四川、贵州百校大联考】设集合2{|20}M x x x =-≥，

{|N x y ==

，则M N 等于（ ）

A ．(1,0]-

B ．[1,0]-

C ．[0,1)

D ．[0,1]

【答案】C

【解析】 {|02}M x x =≤≤，{|11}N x x =-<<，[0,1)M N =.故选C.

2.【2017湖北省黄石市调研】已知集合{}{}2|31,|20A x x B x x x =-<<=-≤，则A B =（ ）

A ．{}|01x x <<

B ．{}|01x x ≤<

C ．{}|32x x -<<

D ．{}|32x x -<≤

【答案】D

【解析】A B ={}{}|31|02=x x x x -<<≤≤{}|32x x -<≤，故选D.

3.【2017江西南昌市模拟】集合{|(1)(2)0}A x x x =+-≥，3{|log (2)1}B x x =-≤，则()R A C B =（ ）

A ．{|2}x x <

B ．{|12}x x x <-≥或

C ．{|2}x x ≥

D ．{|12}x x x ≤->或

【答案】B

【解析】{|(1)(2)0}[2,)(,1]A x x x =+-≥=+∞-∞-，

3{|log (2)1}[1,2)B x x =-≤=-，所以(,1)[2,)R C B =-∞-+∞，

()R A C B ={|12}x x x <-≥或，故选B.

4.【2017江西九江地区联考】已知集合2{|1}A x x =≤，{|}B x x a =<，若A

B B =，则实数a 的取值范围是（ ）

A ．(,1)-∞

B ．(,1)-∞-

C ．(1,)+∞

D ．[1,)+∞

【答案】C

【解析】因为2{|1}[1,1]A x x =≤=-，A

B B A B =??,所以1a >，故选C. 5.【2017广东海珠区测试】已知集合2{|16}A x x =<，{|}B x x m =<，若A

B A =，则

实数m 的取值范围是（ ） A ．[4,)-+∞ B ．[4,)+∞

C ．(,4]-∞-

D ．(,4]-∞

【答案】B

6.【2017河北省衡水中学第三次调】已知集合{}2|1log A x N x k =∈<<，集合A 中至少有3个元素，则（ ）

A ．8k >

B ．8k ≥

C ．16k >

D ．16k ≥

【答案】C

【解析】因为集合A 中至少有3个元素，所以2log 4k >，所以4216k >=，故选C ．

7.【湖北2017届百所重点校高三联考】已知集合{}{}

21,,|540,A a B x x x x Z ==-+<∈，若Φ≠B A ，则a 等于（ ）

A ．2

B ．3

C ．2或3

D ．2或4

【答案】C

【解析】因为}3,2{},41|{=∈<<=Z x x x B 且Φ≠B A ，故3,2=a ,故选C.

8.【2017四川巴中“零诊”】已知全集R U =，集合}5,4,3,2,1,0{=A ，}2|{≥∈=x R x B ，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）

A.1}{0， B ．{1}

C ．2}{1，

D ．2}1{0，，

【答案】A

【解析】由图可知，{0,1}U A C R =，故选A.

9.已知全集U ，集合M ，N 是U 的子集，且U N C M ?，则必有（ ）

A. U M C N ?

B.M U C N

C. U U C N C M =

D.M N =

【答案】A

10.已知集合2

{|320,}A x x x x R =-+=∈，{|05,}B x x x N =<<∈则满足条件A C B ??的集合C 的个数为（ ）

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

【答案】D

11.【2017湖北百所重点校高三联考】已知集合(){}22,|,,1A x y x y R x y =∈+=， (){}2,|,,41B x y x y R y x =∈=-，则A B 的元素个数是___________．

【答案】3

【解析】由于集合A 是圆心在坐标原点，半径为1的圆周，集合是开口向上顶点在圆上的点)1,0(-上的抛物线，结合图象可知两个曲线的交点有三个.故应填3.

12.【2017河北唐山模拟】已知集合{}{}22,1,0,2,3,|1,A B y y x x A =--==-∈，则A B 中元素的个数是（ ）

【答案】3

【解析】当2x =±时，3y =；当1x =-时，0y =；当0x =时，1y =-；当3x =时，8y =，所以{1,0,3,8}B =-，所以{1,0,3}A B =-，故A B 中元素的个数是3．

13.已知集合}1|{<=x x A ，}13|{<=x x B ，则=)B (R C A .

【答案】}10|{<≤x x

【解析】由31x <可得0

33x <，则0x <，即{|0}B x x =<，因为}1|{<=x x A ，

所以}0|{R ≥=x x B C ，所以=)B (R C A }10|{<≤x x .

14.【2017江西九江地区联考】设A ，B 是非空集合，定义{|A B x x A B ?=∈且}x A B ?，已知2{|2,02}M y y x x x ==-+<<，1{|2,0}x N y y x -==>，则M N ?=_________. 【答案】1(0,](1,)2+∞

【解析】2{|2,02}(0,1]M y y x x x ==-+<<=，11{|2,0}(,)2

x N y y x -==>=+∞，1(0,),(,1]2M N M N =+∞=，所以1(0,](1,)2

M N ?=+∞. 15.设集合{|26}A x x =≤≤，{|23}B x m x m =≤≤+，若B A ?，则实数m 的取值范围是 .

【答案】[1,)+∞