第5讲 立体的投影、平面立体截切
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3立体的投影
项目3 立体的投影
3.1 投影实例 3.2 平面立体、曲面立 体的投影 3.3 平面截割立体 3.4 立体的相贯线
3.2.1 平面立体
平面立体简称平面体； 平面立体的特点：
各个表面都是平面图形，各平面图形均由棱线围成， 棱线又由其端点确定。 因此，平面立体的投影是由围成它的各平面图形的 投影表示的，其实质是作各棱线与端点的投影。
圆柱体的投影分析（回转轴垂直于H面）
正面投影的左、右边 线分别是圆柱最左、最右 的两条轮廓素线的投影， 这两条素线把圆柱分为前、 后两半，他们在W面上的投 影与回转轴的投影重合。
侧面投影的左、右边 线分别是圆柱最前、最后 的两条轮廓素线的投影， 这两条素线把圆柱分为左、 右两半，他们在V面上的投 影与回转轴的投影重合。
回转轴 母线
回转曲面的有关概念
O
素线：母线在曲面上
的任意位置都称为素
纬 圆 线。
纬圆：母线上任意点 的运动轨迹都是一个 垂直于回转轴且中心 在回转轴上的圆，这 轮廓素线 种圆就称为纬圆。 O1
3.2.3.1 圆柱及其表面点
OO’ AA’
圆柱的形成： 圆柱面是由两条相互平行的 直线，其中一条直线AA’ （称为直母线）绕另一条直 线OO’（称为轴线）旋转一 周而形成。圆柱体由两个相 互平行的底平面和圆柱面围 成。圆柱面上的与OO’平行 的直线，称为柱面上的素线， 每根素线都与轴线平行且等 距,而且任两根素线都互相平 行，当用一垂直于轴线的平 面截断圆柱面时，每个截断 面都是等直径的圆。
m'
纬圆法
m
§3-3 切割体的投影
一、切割体及截交线的概念
• 切割体——基本体被平面截切后的部分 • 截平面——截切立体的平面 • 截断面——立体被截切后的断面 • 截交线——截平面与立体表面的交线
3.1 投影实例 3.2 平面立体、曲面立 体的投影 3.3 平面截割立体 3.4 立体的相贯线
3.2.1 平面立体
平面立体简称平面体； 平面立体的特点：
各个表面都是平面图形，各平面图形均由棱线围成， 棱线又由其端点确定。 因此，平面立体的投影是由围成它的各平面图形的 投影表示的，其实质是作各棱线与端点的投影。
圆柱体的投影分析（回转轴垂直于H面）
正面投影的左、右边 线分别是圆柱最左、最右 的两条轮廓素线的投影， 这两条素线把圆柱分为前、 后两半，他们在W面上的投 影与回转轴的投影重合。
侧面投影的左、右边 线分别是圆柱最前、最后 的两条轮廓素线的投影， 这两条素线把圆柱分为左、 右两半，他们在V面上的投 影与回转轴的投影重合。
回转轴 母线
回转曲面的有关概念
O
素线：母线在曲面上
的任意位置都称为素
纬 圆 线。
纬圆：母线上任意点 的运动轨迹都是一个 垂直于回转轴且中心 在回转轴上的圆，这 轮廓素线 种圆就称为纬圆。 O1
3.2.3.1 圆柱及其表面点
OO’ AA’
圆柱的形成： 圆柱面是由两条相互平行的 直线，其中一条直线AA’ （称为直母线）绕另一条直 线OO’（称为轴线）旋转一 周而形成。圆柱体由两个相 互平行的底平面和圆柱面围 成。圆柱面上的与OO’平行 的直线，称为柱面上的素线， 每根素线都与轴线平行且等 距,而且任两根素线都互相平 行，当用一垂直于轴线的平 面截断圆柱面时，每个截断 面都是等直径的圆。
m'
纬圆法
m
§3-3 切割体的投影
一、切割体及截交线的概念
• 切割体——基本体被平面截切后的部分 • 截平面——截切立体的平面 • 截断面——立体被截切后的断面 • 截交线——截平面与立体表面的交线
工程制图_05平面立体的投影与曲面立体的投影(含截交线和螺旋面)
截平面定位尺寸 60°
应标注立体的原形尺寸
和切口截平面的定位尺
寸，不注切口截交线的
Ø
定形尺寸。
JK系列
切 口 立 体 尺 寸 注 法
截平面定位尺 寸
截平面定位尺寸 SR
平面立体的截交线
截平面：截切立体的平面称为截平面。
JK系列
平 面 立 体 的 截 交 线
截交线：截平面与立体表面的交线称为截交线。
圆球的三个投影均为等径圆，并且是圆球上平行于相应 投影面的最大轮廓圆。H面投影的轮廓圆是上、下两半球的可 见性分界线，V面投影的轮廓圆是前、后两半球的可见性分界 线,W面投影的轮廓圆是左、右两半球的可见性分界线.
JK系列
圆球面上取点
A点在右前上方 B、C点在球面
的球面上
的赤道圆上
VW
a
(a")
a
( a)"
面 的 圆
dc
d"(c")
D
C
例 1 0
R2
a"(b")
B
ab
A
JK系列
[例11] 补绘四分之一圆球被切割后的H、W投影。
例
1
1
圆球的截交线
都是圆
JK系列
圆柱螺旋线 形成：一动点沿一直线等速移动，而该直线同时绕 螺旋面
螺 线旋
与它平行的一轴线等速旋转时动点的轨迹。
投影：H面投影为圆周，V面投影为正曲线。注意后半圆柱的 螺旋线不可见，
圆
截平面与柱轴平行 截平面与柱轴斜交
矩形
椭圆
投 影 图 与 立 体 图
截平面
截平面
截平面
[例1] 带凸截口圆柱的画法.
截切立体的投影
Ⅵ
Ⅶ Ⅲ
7 湖 8 6 北 5 工1 程 学 2 4 院 3 生 平面与圆柱相交 科 院
Ⅴ
Ⅳ
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
32
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
湖 北 工 程 学 院 生 科 院
﹥45°
（与H面的倾角）
﹤45° 平面与圆柱相交
=45°
33
例：
b‟ o‟,a‟,c‟ 1‟ d‟ a”
b” o” 1“ c”
3
(3) 连接各点的同面投 影即等截交线的三个投 影。 (4) 补全棱线的投影。
13
截交线为三角形 截平面为正垂面，在v面上具有积聚性
s 2 1
湖 北 工 程 学 院 生 科 院
a b
3
c
14
例2：求四棱锥被截切后的水平投影和侧面投影。
s'
(4) 3 a' 湖 北 工 程 学 院 生 科 院 b' （d„） d 4
●
s" 1 4
● ●
1
●
2
2
●
3
c' d" a" （c“） b"
a
3
●
s
●
●
1
c
2
b
15
例3：求四棱锥被截切后的水平投影和侧面投影。
s' s"
a' 湖 北 工 程 学 院 生 科 院
1(2) b' （d′ ） c' d d" 2
2
●
1 b"
●
a" （c“）
a
1
c
三面共点： 当平面体只有局部被截切 Ⅰ、Ⅱ两点分别 时，先假想为整体被截切， 同时位于三个面 求出截交线后再取局部。 上。
Ⅶ Ⅲ
7 湖 8 6 北 5 工1 程 学 2 4 院 3 生 平面与圆柱相交 科 院
Ⅴ
Ⅳ
Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
32
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
湖 北 工 程 学 院 生 科 院
﹥45°
（与H面的倾角）
﹤45° 平面与圆柱相交
=45°
33
例：
b‟ o‟,a‟,c‟ 1‟ d‟ a”
b” o” 1“ c”
3
(3) 连接各点的同面投 影即等截交线的三个投 影。 (4) 补全棱线的投影。
13
截交线为三角形 截平面为正垂面，在v面上具有积聚性
s 2 1
湖 北 工 程 学 院 生 科 院
a b
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例2：求四棱锥被截切后的水平投影和侧面投影。
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(4) 3 a' 湖 北 工 程 学 院 生 科 院 b' （d„） d 4
●
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c' d" a" （c“） b"
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例3：求四棱锥被截切后的水平投影和侧面投影。
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a' 湖 北 工 程 学 院 生 科 院
1(2) b' （d′ ） c' d d" 2
2
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1 b"
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1
c
三面共点： 当平面体只有局部被截切 Ⅰ、Ⅱ两点分别 时，先假想为整体被截切， 同时位于三个面 求出截交线后再取局部。 上。
机械制图 第五讲 形体切割后的投影
2≡3≡6≡7 1≡8 8
7
3 1 2
4
截交线的投影 检查截交 分析棱线的 截交线的形状？ 求截交线 特性？ 投影 线的投影
颜克春系列教学课件
工业设计制图
industrial design drawing
第五讲
颜克春系列教学课件
工业设计制图
industrial design drawing
分 析： 该立体是在圆柱筒的上部 开出一个方槽后形成的。构 成方槽的平面为垂直于轴线 的水平P和两个平行于轴线 的侧平面Q 。它们与圆柱体 和孔的表面都有交线，平面 P与圆柱的交线为圆弧，平 面Q与圆柱的交线为直线， 平面Ｐ和Q彼此相交于直线 段。
第五讲
平面与圆柱相交
颜克春系列教学课件
工业设计制图
第五讲
三、 回转截切体的投影
求平面与回转体的截交线的一般步骤 ⒈ 空间及投影分析 ☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线的相对位置， 以便确定截交线的形状。 ☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交线的投影特 性，如积聚性、类似性等。找出截交线的已知投影，予见未 知投影。 ⒉ 画出截交线的投影 当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为： ☆ 先找特殊点，补充中间点。 ☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可见性。
第五讲
我们采用的是 棱线法！ 哪种解题方 法？
颜克春系列教学课件
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
工业设计制图
industrial design drawing
第五讲
1(2)
2
●
1
●
2 1
注意： 三面共点： 要逐个截平面分析和 Ⅰ、Ⅱ两点分别 绘制截交线。当平面体只 有局部被截切时，先假想 同时位于三个面 为整体被截切，求出截交 上。
工程制图第五章立体的投影
投影的分类
01
02
03
正投影
光线与投影面垂直，物体 的投影与原物体形状、大 小一致。
斜投影
光线与投影面形成一定角 度，物体的投影与原物体 形状、大小可能存在差异。
中心投影
光线通过一点投影到投影 面上，物体的投影与原物 体形状、大小可能存在较 大差异。
投影法在工程中的应用
建筑设计
通过正投影法绘制建筑物 的平面图、立面图和剖面 图，以表达建筑物的外观 和内部结构。
圆锥体的投影
1 2
圆锥体的投影特性
圆锥体在三面投影体系中分别形成圆、椭圆和抛 物线。
圆锥体的三视图
主视图、俯视图和左视图。
3
圆锥体投影的作图方法
根据圆锥体的轴线位置，确定其在三面投影体系 中的位置，然后根据投影规律画出其三视图。
曲面立体投影的作图方法
曲面立体投影的作图步骤
曲面立体投影的应用
首先确定曲面立体的形状和尺寸，然 后根据其在三面投影体系中的位置， 按照投影规律画出其三视图。
曲面立体投影在工程制图、建筑设计、 机械制造等领域有着广泛的应用，是 工程技术人员必须掌握的基本技能之 一。
曲面立体投影的注意事项
在作图过程中，需要注意曲面的曲率、 方向和投影角度等因素，以确保绘制 的图形准确无误。
04 组合体的投影
组合体的构成方式
叠加型
由基本几何体按一定方式叠加而成，各基本体之间相 对位置关系明确。
对于截断立体和相贯立体，尺寸标注更为复杂。需要明确截断和相贯的位置，以及各个部分的大小。这涉及到对立体结构的 深入理解，以确保标注的尺寸能够准确反映立体的实际结构和形状。
Hale Waihona Puke 组合体的尺寸标注全面反映组合体的结构和功能
5 第五单元 立体的投影
m' m"
X
s
m
O
YW M
YH
六、圆球体
1.圆球体的形体特征
圆球的表面是球面，球面可看作是一条圆母线绕着通过其圆心的轴线回 转而成。
回转轴线
素线圆
母线圆
2.圆球的投影
（1）投影分析。 圆球在三个视图 都是直径相等的圆。 三个圆表示三个不 主视轮廓圆 平行V面 Z 左视轮廓圆 平行W面
同方向轮廓素线的投影
底面和矩形的棱面组成，棱线互相
V
w
平行。
2.棱柱体的投影
(1)投影分析 正六棱柱的两底面 为正六边形，其水平投影反映实形；
前、后两个面为正平面，正面投影反
映实形；其他四个棱面均为铅垂面，
H
水平投影均积聚为倾斜的直线，正面
主视图投射方向
投影和侧面投影均为类似形(矩形)。
(2)作图步骤
3.棱柱体的投影特征
1.切割圆柱体
根据截平面与圆柱轴线的位置不同，平面切割圆柱体产生的截交线有三种 情况，见表5-3。
表5-3
截平面位置 截交线 垂直于轴线 圆
圆柱的截交线
倾斜于轴线 椭圆 平行于轴线 矩形
轴测图
PV
PV
投影图 PH
【例5-9】
根据圆柱切肩的主、俯视图，补画出左视图。
分析 圆柱左上角的切口是由互相垂直的两个平面切割而形成的。 水平面P与圆柱的轴线垂直，所产生的 交线是一段圆弧，正面投影与P面的正面投 影p'重合，水平投影反映实形，并与圆柱的 水平投影重合。
【例5-6】如左图所示，完成三棱锥被正垂面P切割后的三视图。
f' e' d' d f e
f" d"
3-5 平面立体-平面切割体的三视图
§3-5 平面切割体的三视图
工程中可以看到不少像下面这样的形体。
这类形体的三视 图如何绘制？
一、平面切割体、截交线
平面切割体——平面立体被截平面切去某些部分后的形体。
名词术语： 截平面：用于截切立体的平面。 截交线：截平面与立体表面的交线。 截断面（断面）：由截交线围成的平面 图形。
Ⅲ
Ⅱ
截平面 截交线
Ⅰ
截断面
基本体被平面截切后，在表面上出现了新的表面(截断面)和交线(截交线) §3-5 平面切割体的三视图
一、平面切割体、截交线
平面切割体截交线具有的特点： 为截平面与立体表面的共有 线、且均为直线 绘制平面切割体三视图的基本思路： 绘制基本形体 绘制每个截断面 擦除被切除的表面及边
侧平面B的H面投 影积聚为一直线
§3-5 平面切割体的三视图
举例
水平面C的V面投 影积聚为一直线 在左视图中画水 平面C和正平面D 的W面投影
正平面D的V面 投影反映实形
水平面C和正平面D的W面 投影分别积聚为一直线
根据投影关系， 在主、俯视图中 各增加一个线框 正平面D的H面投 影积聚为一直线
水平面C的H面投 影反映实形
§3-5 平面切割体的三视图
举例
描深
§3-5 平面切割体的三视图
举例
例2、切割体的三维图如图2所示，试画出其三视图。
（1）形体分析：切割体的基本体是长方体。 （2）位置分析：长方体的前上方被侧垂面 A切去一角，在前面中间用两个 侧平面B和一个正平面C上下开一个通槽。 （3）截交线、截断面及其投影分析： 侧垂面A与长方体的上面和前面的交线皆为侧垂线，与左右两侧面的交线 为侧平线，交线的W面投影与侧平面A的W面投影积聚在一起。 通槽的左右侧平面 B 与侧垂面 A的交线为侧平线，正平面 C 与侧平面 A的交 线为侧垂线。B与 A的交线、C与A的交线在H面的投影分别与平面 B、 C的H面 投影积聚在一起，在W面的投影与侧垂面A的W面投影积聚在一起。 如何画三 视图？
工程中可以看到不少像下面这样的形体。
这类形体的三视 图如何绘制？
一、平面切割体、截交线
平面切割体——平面立体被截平面切去某些部分后的形体。
名词术语： 截平面：用于截切立体的平面。 截交线：截平面与立体表面的交线。 截断面（断面）：由截交线围成的平面 图形。
Ⅲ
Ⅱ
截平面 截交线
Ⅰ
截断面
基本体被平面截切后，在表面上出现了新的表面(截断面)和交线(截交线) §3-5 平面切割体的三视图
一、平面切割体、截交线
平面切割体截交线具有的特点： 为截平面与立体表面的共有 线、且均为直线 绘制平面切割体三视图的基本思路： 绘制基本形体 绘制每个截断面 擦除被切除的表面及边
侧平面B的H面投 影积聚为一直线
§3-5 平面切割体的三视图
举例
水平面C的V面投 影积聚为一直线 在左视图中画水 平面C和正平面D 的W面投影
正平面D的V面 投影反映实形
水平面C和正平面D的W面 投影分别积聚为一直线
根据投影关系， 在主、俯视图中 各增加一个线框 正平面D的H面投 影积聚为一直线
水平面C的H面投 影反映实形
§3-5 平面切割体的三视图
举例
描深
§3-5 平面切割体的三视图
举例
例2、切割体的三维图如图2所示，试画出其三视图。
（1）形体分析：切割体的基本体是长方体。 （2）位置分析：长方体的前上方被侧垂面 A切去一角，在前面中间用两个 侧平面B和一个正平面C上下开一个通槽。 （3）截交线、截断面及其投影分析： 侧垂面A与长方体的上面和前面的交线皆为侧垂线，与左右两侧面的交线 为侧平线，交线的W面投影与侧平面A的W面投影积聚在一起。 通槽的左右侧平面 B 与侧垂面 A的交线为侧平线，正平面 C 与侧平面 A的交 线为侧垂线。B与 A的交线、C与A的交线在H面的投影分别与平面 B、 C的H面 投影积聚在一起，在W面的投影与侧垂面A的W面投影积聚在一起。 如何画三 视图？
平面体及截切
3．求相贯线的方法 求两平面立体相贯线的方法通常有两种 ：一种是求各侧棱对另一形体表面的交点，然后把位于 甲形体同一侧面又位于乙形体同一侧面上的两点，依次 连接起来。另一种是求一形体各侧面与另一形体各侧面 的交线。
4．判别相贯线可见性的原则 只有位于两形体都可见的侧 面上的交线，是可见的。只要有一个侧面不可见，面上 的交线就不可见。
因此在看图或画图时，一般应先从反映平面立体特 征视图的多边形线框出发，想象出完整的平面立体 形状并画出其投影，然后再根据截平面的空间位置， 想象出截断面的形状并画出其投影。 平面立体上切口（截交线）的画法，常利用平面特 性中“类似形”这一投影特征来作图。
1 棱柱上截交线的求法
（1）求出截平面与棱线上若干条棱线的交点；如立体 被多个平面截割，应求出截平面间的交线。 （2）依次连线各点。 （3）判断可见性。
平面立体的投影
根据立体表面的几何性质，可以分为平面立体和曲面立体。 表面都是平面的立体，称为平面立体，如棱柱、棱锥等； 表面是曲面或曲面和平面的立体，称为曲面立体。 若曲面立体的表面是回转曲面称为回转体，如圆柱、圆锥、 球、环等。
平面立体的投影
平面立体的投影就是将组成它的平面和 棱线的投影画出，并判别可见性，不可 见的棱线投影用虚线画出。
（2）由于平面立体的表面都具有一定的范围，所以截交线通 常是封闭的平面多边形。 （3）多边形的各顶点是平面立体的各棱线或边与截平面的交 点，多边形的各边是平面立体的棱面与截平面的交线，或是 截平面与截平面的交线。
三、平面立体截交线的求法
平面立体被单个或多个平面切割后，既具有平面立 体的形状特征，又具有截平面的平面特征。
一、棱柱表面上取点 二、棱锥表面上取点
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平面体 回转体
平面体的截交线： 封闭多边形 曲面体的截交线： 曲线 曲线与直线围成 封闭多边形
截平面 截断面 截交线
9
例:求四棱柱被截切后的三面投影图。
d'(e') (c') e" d" b"
b'
c"
a' c
a"
步骤：
e
a
d
1.补全左视图 2.分析截交线为几边形 3. 求截交线的顶点 4. 连线—同一表面点相连 5.完成立体轮廓线的投影
立体的投影
P99—112
(重点P108-110)
立体的三视图
基 本 几 何 体
平 面 立 体
棱柱
棱锥
曲 面 立 体
（ 回 转 体 ）
圆柱
圆锥
圆球
4
棱柱的投影
“三等”关系
主、俯视图长对正 主、左视图高平齐 左、俯视图宽相等
5
棱锥的投影
V
s
s
W b’ b
a’
c’ c
b”c”
a”
s
H a
7
平面与立体相交
5.三棱锥切口 涂色
6.四棱锥切口
15
16
10
b
完成五棱柱截切后的水平和侧面投影。
截交线分析：几边形？各投影特点？
11
补全切口三棱锥的水平和侧面投影。
12
作业：
P25 1，2，3，4，5切平面涂色
复习：P108-110
13
3.开槽立体 涂色
4.四棱柱截切 涂色
14
1.五棱柱截切 涂色
2.穿孔三棱柱 书P110
3.开槽立体 涂色
4.四棱柱截切 涂色
平面体的截交线： 封闭多边形 曲面体的截交线： 曲线 曲线与直线围成 封闭多边形
截平面 截断面 截交线
9
例:求四棱柱被截切后的三面投影图。
d'(e') (c') e" d" b"
b'
c"
a' c
a"
步骤：
e
a
d
1.补全左视图 2.分析截交线为几边形 3. 求截交线的顶点 4. 连线—同一表面点相连 5.完成立体轮廓线的投影
立体的投影
P99—112
(重点P108-110)
立体的三视图
基 本 几 何 体
平 面 立 体
棱柱
棱锥
曲 面 立 体
（ 回 转 体 ）
圆柱
圆锥
圆球
4
棱柱的投影
“三等”关系
主、俯视图长对正 主、左视图高平齐 左、俯视图宽相等
5
棱锥的投影
V
s
s
W b’ b
a’
c’ c
b”c”
a”
s
H a
7
平面与立体相交
5.三棱锥切口 涂色
6.四棱锥切口
15
16
10
b
完成五棱柱截切后的水平和侧面投影。
截交线分析：几边形？各投影特点？
11
补全切口三棱锥的水平和侧面投影。
12
作业：
P25 1，2，3，4，5切平面涂色
复习：P108-110
13
3.开槽立体 涂色
4.四棱柱截切 涂色
14
1.五棱柱截切 涂色
2.穿孔三棱柱 书P110
3.开槽立体 涂色
4.四棱柱截切 涂色