曲面立体截切例题
第6章 曲面立体及截交线
投 影 图
六、圆球体切割
例5-11 圆球被一正垂面截切，完成其水平投影和侧 例5-11 求圆球被正垂面截切的截交线 面投影。 绘图步骤： (1)截交线的投影为椭圆，投 影椭圆上短轴的两个端点Ⅰ、 Ⅱ与长轴的两个端点Ⅲ 、 Ⅳ； (2)求截交线与轮廓线的交点 Ⅴ 、Ⅵ ； (3)求截交线与轮廓线的交点 Ⅶ 、Ⅷ ； (4)依次光滑连接各点； (5)检查并加粗可见轮廓线。 点击播放视频
c
a
例5-5 圆柱表面取点
a” (c”) b”
b
二、圆锥的投影及表面取点
圆锥的形成 圆锥是由一直母线绕与它相交的轴线旋转一周形 成的，具有一个底面和一个回转面（圆锥面）。 圆锥面上所有素线相交于锥顶，所有纬圆平行。
锥顶 圆锥面 母线 底面 轴线 素线 纬圆
(a) 圆锥面的形成 点击图片播放视频
(b) 圆锥的结构特征 圆锥的特征
s’
例5-6 圆锥表面取点
s”
a”
e’
e”
s
a e
素线法
二、圆锥的投影及表面取点
2、表面取点
例5-6 圆锥表面取点
例5-6 如图所示，已知点 A在圆锥表面上，并知它 的正面投影a’，可采用下 列两种方法求出点A的水 平投影a和侧面投影a” 。
s’
s”
a”
s a
纬圆法
三、圆球的投影及表面取点
圆球的形成 一圆周绕自身的一直径旋转一周即形成圆球， 形成的回转面称为圆球面。平面与球面的交线为 一个圆，称为纬圆。
(c) 圆锥面的结构特征
二、圆锥的投影及表面取点
1、投影分析 圆锥面的轮廓素线 圆锥的轴线垂直 SA、SB将圆柱面分成可 于H面。圆锥底圆为水 见的前半部分与不可见 平面，水平投影反映实 的后半部分。 形，其正面和侧面投影 轮廓素线SC、SD将 积聚为水平直线。 圆柱面分成可见的左半 圆锥面的水平投影 部分与不可见的右半部 为圆，其正面和侧面投 分。 影为三角形。
§4.2 平面与立体相交求截交线(1)
1
2 3
4．判别可见性，整理轮 廓线。
[例题]求圆球截交线
[例题] 分析并想象出圆球穿孔后的投影
立体的截交线
平面立体的截交线
◦ ◦ ◦
概念、性质、方法 单一平面与平面立体截交 多个平面与平面立体截交
曲面立体的截交线
◦ ◦
◦
圆柱截交线 圆锥截交线 圆球截交线
[综合题] 求出物体切割后投影
3'
1
s 2
3
(3)连接各点同面投影即等截交 线的三个投影
(4)补全棱线投影
求作四棱锥被截切后的水平投影和侧面投影。
分析：截平面为正垂面 截交线的正面投影积聚 为直线。截平面与四条 棱线相交，从正面可直 接找出交点。 作出各对应点的投影， 4• 1 2
•
1'
(4') 2'
3'
4"
3"
2"
1"
依次连接各点。 3 补全棱锥体的外形投影。
判别可见性整理轮例题求圆球截交线例题分析并想象出圆球穿孔后的投影平面立体的截交线平面立体的截交线概念性质方法概念性质方法单一平面与平面立体截交单一平面与平面立体截交多个平面与平面立体截交多个平面与平面立体截交曲面立体的截交线曲面立体的截交线圆柱截交线圆柱截交线圆锥截交线圆锥截交线圆球截交线圆球截交线综合题求出物体切割后投影
三.例题
例、求斜切圆柱体的投影，已知正面和水平面 的投影，完成侧面投影。
c'(d') 2' • d"• 3'(4') • 4"• • • b"• 1'• a'(b') 4 b• • 1• a• • 3 2" •
曲面切除练习题
曲面切除练习题在解析几何中，曲面切除是一个重要的概念。
它是指通过一条曲线将一个曲面分为两个部分，其中一个部分是通过将曲面上的点与曲线相连而得到的封闭曲面。
曲面切除问题对于数学学习者来说是一项基本练习。
在本篇文章中，我们将通过一些练习题来加深对曲面切除的理解。
练习题一：曲面切除已知曲面S的方程为：\[f(x, y, z) = 0\]其中，f(x, y, z)为连续函数。
设曲线C的参数方程为：\[\begin{cases}x = x(t)\\y = y(t)\\z = z(t)\end{cases}\]其中，t的取值范围为[a, b]。
试证明：通过曲线C将曲面S切除的两个部分是封闭曲面。
解答：我们首先需要证明通过曲线C将曲面S切除的两个部分是曲面。
设曲线C上任意一点的参数为t，其对应的坐标为(x, y, z)。
由曲线C的参数方程可知，曲线C上的点满足方程组：\[\begin{cases}x = x(t)\\y = y(t)\\z = z(t)\end{cases}\]在曲线C上，将方程f(x, y, z) = 0代入上述方程组中，得到：\[f(x(t), y(t), z(t)) = 0\]因此，曲线C上的点也满足曲面S的方程。
由此可知，通过曲线C将曲面S切除的两个部分分别满足曲面S的方程，因此它们都是曲面。
其次，我们需要证明通过曲线C将曲面S切除的两个部分是封闭曲面。
设曲线C有两个参数方程：\[\begin{cases}x = x_1(t)\\y = y_1(t)\\z = z_1(t)\end{cases}\]\[\begin{cases}x = x_2(t)\\y = y_2(t)\\z = z_2(t)\end{cases}\]其中，t的取值范围分别为[a, b]和[c, d]。
我们分别考虑曲线C上两个参数方程对应的点序列{x_1(t), y_1(t), z_1(t)}和{x_2(t), y_2(t), z_2(t)}。
机械绘图——曲面立体截切
二、圆锥体
1、圆锥的形成
圆锥表面由圆锥面和底圆组成。它是一母线绕与它相交 的轴线回转而成。
机械绘图——曲面立体截切
2、圆锥的投影
如图所示，圆锥
轴线垂直H面，底面
Z
为水平面，它的水平 投影反映实形，正面 和侧面投影积聚为一
s’
V S
s” W
直线。
b’
对于圆锥面，要
a’ c’d’
机械绘图——曲面立体截切
二、回转体的截交线
• 截交线是截平面与回转体表面的共有线。
• 截交线的形状取决于回转体表面的形状及 截平面与回转体轴线的相对位置。
⒈ 求截交线的方法：
求截平面与回转体表面的共有点。
⒉ 求截交线的步骤：
• 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线的 相对位置，以确定截交线的形状。
例7 求截切圆柱截交线的投影。
1'
4'
5'
3' 2'
4" 1" 5" 3"
2"
12 3
4
5
机械绘图——曲面立体截切
㈡ 圆锥体表面的截交线
根据截平面与圆锥轴线的相对位置不同，截平 面与圆锥面的交线有五种形状。
α
α
α
α
θ
θ
θ
过锥顶 θ=90° 90°＞θ＞α θ＝α
两相交直线
圆
椭圆 机械绘图——曲面立体截切 抛物线
例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两水个平侧面平与面圆与球圆面球的面 的交交线线的的投投影影，，在在俯侧视视图上 为上部为分部圆分弧圆，弧在，俯在视侧图视上 积图聚上为积直聚线为。直线。
工程制图习题集标准答案
百度文库11-1 标注下列尺寸（尺寸数值由图中量取整数）1. 补全尺寸数字和箭头。
60°51φ3. 标注下列小间距尺寸。
332. 标注直径和半径尺寸。
1-4 比例，尺寸注法，斜度和锥度。
1. 参照所示图形，用1∶4在指定位置处画出图形，并标注尺寸。
1∶42002. 参照所示图形，用1∶1在指定位置处4.尺寸注法改错，将改正后的尺寸标注在右边空白图上。
R1550503. 参照所示图形，用1∶2在指定位置处画出图形，并标注尺寸。
09°18φ 241φ90°1φ2φ1φ5. 在下面图形上用1∶1度量后标注尺寸（取整数）2422.已知点A在H面之上20，点B在V面之前15，点C在V面上，点D在H面上，点E在投影轴上，补全诸点的两面投影。
第二章投影法基础3.已知点B在点A的左方15，前方10，上方5，又知点C与点B同高，且其坐标X=Y=Z，请作出点B和点C的投影。
4.判断下列各对重影点的相对位置，并填空。
1）点A在点B的正上方m2m22）点D在点C的正后方m2m22-1 点的投影。
1.按照立体图作诸点的三面投影3百度文库42.按已知条件画出下列直线的三投影1）画水平线 AB ，距 H 面20mm 与, V 面 成30°角，实长 25mm 。
2）画侧平线 EF ，距 W 面20mm ，与V 面 成30°夹角，实长 25mm 。
3. 分别在图（ a ）.（b ）.（c ） 中，由点A 作直线AB 与CD 相交，交点 B距离V 面25mm 。
4. 根据轴测图，在三视图中标出线段 AB 和CD 的三投影 （点的三投影用小写字母标出） 并填写它们的名称和对各投影面的相对位置。
AB 是 正 平 线； CD 是 侧垂线。
AB: ∥ V,H, ∠ W ∠ 。
CD: V, ∥ H2-2 直线的投影 （ 一） 。
1. 判断下列直线对投影面的相对位置，并填写名称。
AB 是正 平线； EF 是侧平线； CD是 侧 垂 线； KM 是正垂线；百度文库2-2 直线的投影 （ 二）2. 已知线段AB 为正平线,C 为该线段上的一点 ,根据给出的投影 ,画出线段AB 和点C 的 水平投影和侧面投影。
8截切-圆球(完结)解析
1
圆锥
圆球
第三章 立体的表面交线
第一节 截交线 第二节 相贯线
2018/10/15
2
二、曲面立体的截交线
回转体的基本形式
2018/10/15
3
1. 圆柱的截交线
PV
PV PV
P
P
P
垂直 圆
2018/10/15
倾斜 椭圆
平行 两平行直线
4
2. 圆锥体的截交线
α θ
α θ
12
小 结
第三章 立体表面的交线 第一节 截交线
二、曲面立体的截交线
3. 圆球的截交线 （1）单一平面截切圆球的截交线的画法： （2）多体截切圆球的截交线的画法： 4.复合回转体被截切截交线的画法：
2018/10/15
13
8
4. 复合回转体的截切
例2：求作顶尖的俯视图
(1)截平面为水平面 空间分析
圆锥被截截切 投影分析 小圆柱被截切
求截交线
大圆柱被截切
注意：
（1）要逐个截平面分析和 绘制截交线。 （2）要逐个分析被截切的 几何体和绘制截交线。
(2)截平面为正垂面 (3)截平面的交线 (4)素线的投影
2018/10/15
α
θ
α
两相交直线
2018/10/15
圆
椭圆
抛物线
双曲线பைடு நூலகம்
5
3.圆球体的截切
平面与圆球相交，截交线的形状都是圆，但根 据截平面与投影面的相对位置不同，其截交线的投 影可能为圆、椭圆或积聚成一条直线。
Ph
平行于某一投影面
2018/10/15
垂直于某一投影面
曲面立体切割体
●
（5) 整理圆柱体转向轮廓线的投影。
曲面立体的切割体
选出正确的左视图
分析回转体的截交 线，画出俯视图。
P135
2-9 已知四分之一圆台的左视图，其长度为50 mm，补画主 、俯视图， 并完成四分之一圆台上线CD 的投影。
答案 立体 返回
2-9 已知四分之一圆台的左视图，其长度为50 mm，补画主 、俯视图， 并完成四分之一圆台上线CD 的投影。
c
s d b
例2
根据轴测图，画被切圆锥的三视图。
3. 圆球体的截交线
根据截平面与圆球轴线的相对位置不同，截交线 有？？种形状。
3. 圆球体的截交线
3. 圆球体的截交线
3. 圆球体的截交线
a’(b’)
c’(d’)
b
d
a
c
3. 圆球体的截交线
a’(b’)
c’(d’)
b
d
a
c
3. 圆球体的截交线
解题动画：
<45°
椭圆长轴方向？ 短轴方向？
45°
截平面与圆柱轴 线成45°时。
例2
求圆筒截交线。
解题动画：
例3
已知主、俯视图，求作左视图。 同一立体被多个 平面截切，要逐一进 行截交线的分析和作 图。
●
解题步骤：
（1）补全基本体的投影； （2）分析截平面与投影面的相对位置； （3）分析截平面与体的相对位置； （4）求截交线；
3. 圆球体的截交线
半球的中心有一个圆柱孔
P15
（ 5）
椭圆长短轴的确定； 一般位置点： 纬圆法
P15
（ 5）
半球体被 两正交 圆柱孔 相贯
• 基本体：半球 • 垂直方向的圆柱孔 • 水平方向的半圆柱孔
北师大七年级上学期数学《截一个几何体》题型例析
1.3截一个几何体基础经典全析题型1截正方体问题【题型典例1】如图1-3-9，用一个平面去截一个正方体，截面相同的是（ ）A.①与②B.③与④C.①与③④D.①与②，③与④思路导引：据图形可知①②都是截面与正方体的面平行，而③④的截面都是长为正方体的一个面的对角线的长，宽为正方体的棱长的长方形．答案：由图形可知截面相同的是①与②，③与④．故选D ．方法：正方体截面的形状与截面的角度和方向有关，要认真观察和思考，这里最好是动手切截．题型2截圆柱问题【题型典例2】如图1-3-10，圆柱体被一个平面所截，其截面的形状不可能的是（ ）思路导引：根据从不同角度截得几何体的形状判断出正确选项．答案：当截面与轴截面平行时，得到的形状为长方形；当截面与轴截面斜交时，得到的截面的形状是椭圆；当截面与轴截面垂直时，得到的截面形状是圆；所以截面的形状不可能是A ．故选A ．方法：可从截面与轴截面的不同位置关系得到截面的不同形状．题型3截圆锥问题【题型典例3】如图1-3-11，一平面经过圆锥的顶点截圆锥所得到的截面形状是（ ）A BD C 图1-3-10 图1-3-9 ① ②③ ④思路导引：经过圆锥顶点的平面与圆锥的侧面和底面截得的都是一条线，由图可知经过圆锥顶点的平面截圆锥所得的截面应该是个等腰三角形．答案：经过圆锥顶点的平面与圆锥的侧面和底面截得的都是一条线，由图可知经过圆锥顶点的平面截圆锥所得的截面应该是个等腰三角形，故选B ．方法：判断几何体的截面，关键要理解面与面相交得到线．题型4由截面判断几何体的形状【题型典例4】用一个平面截一个几何体，所截出的面出现了如图1-3-12所示的四种形式，试猜想，该几何体可能是 .思路导引：根据当截面的角度和方向不同时，截面不相同可判断几何体的形状． 答案：圆柱．平面倾斜竖截圆柱侧面和底面截圆柱截得到图①；平面倾斜圆柱底面截圆柱截得到椭圆；平面竖截圆柱得到长方形；平面平行圆柱底面截圆柱可以得到一个圆．故该几何体可能是圆柱．方法：由截面①②④可以推断几何体不是多面体，可能是圆柱、圆锥或圆台，由截面③可以推断该几何体可能是圆柱．综合创新探究题型5判断截后剩余图形的顶点数、棱数、面数【题型典例5】如图1-3-13，一正方体截去一角后，剩下的几何体有____个面，____条棱（ ）① ② ③④ 图1-3-12 A B CD图1-3-11 图1-3-13A ．6，14 B.7，14 C.7，15 D.6，15思路导引：由图可知：截取一角后，剩下的几何体多了一个面，多了3条棱，即可求得．答案：截取一角后，剩下的几何体多了一个面，多了3条棱，即剩下的几何体由7个面，15条棱，故选C ．方法：本题结合截面来判断多面体的顶点数、棱数、面数，这里一般可利用欧拉公式．题型６复杂的正方体的切截问题【题型典例６】如图1-3-14，是正方体被分割后的一部分，它的另一部分是（ ）思路导引：解答此类问题要从正方体分割后的一部分入手来观察分析，我们会发现截口呈“F”形，因此只要在四个选项中寻找相应的“F”即可．答案：B方法：解决正方体的切截问题，应利用认知的角度来感知三维世界的“空间”，最好是动手制作切截模型来验证.题型7截面知识在生产、生活中的应用【题型典例7】某车间要切割一些外形是长方体的物体，但该种物体的内部构造不详．于是工人师傅决定用一组水平的平面切截这个物体，得到了一组（自下而上）的截面，截面形状如图所示1-3-15，这个长方体的内部构造可能是什么？思路导引：通过观察可以发现：在正方体内部的圆自下而上由大圆逐渐变成小圆和点．答案：这个长方体的内部构造为：长方体中间有一圆锥状空洞．图1-3-14 A B D C 图1-3-15方法：由截面形状去想象几何体与给一个几何体想象它的截面是一个互逆的思维过程，要根据所给截面形状仔细分析，展开想象．备战中考用一个平面去截一个几何体后判断截面的形状是本节的考点，但中考中考查的量不大，主要目的是考查同学们的空间想象能力，题型一般以填空题、选择题为主，分值为3~6分，难度较小.考法1几何体的切截问题中考典例1用一个平面去截一个几何体，不能截得三角形截面的几何体是（）A.圆柱 B.圆锥 C.三棱柱 D.正方形思路导引：看所给选项的截面能否得到三角形即可．答案：A选项中圆柱的截面可能是圆，长方形，符合题意；B选项中圆锥的截面可能是圆，三角形，不符合题意；C选项中三棱柱的截面可能是三角形，长方形，不符合题意；D选项中正方体的截面可能是三角形，或四边形，或五边形，或六边形，不符合题意.故选A．点拨：本题考查常见几何体的截面的形状，注意正方体的截面经过几个面就可得到几边形．变式练习1用平面去截下列几何体，截面的形状不可能是圆的几何体是（）A．球 B.圆锥 C.圆柱 D.正方体思路导引：根据圆锥、圆柱、球、正方体的形状特点判断即可．答案:正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形．故选D．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
截交线的侧面投影
7
5
3
3、将点的投影光滑连线
4、加粗可见的轮廓线
〔例4-1〕求作圆锥被Q与P平面截切以后，所截交线的投影
p
7' 6"
7"
q
5' 3' (6') (4') 1' (2')
4"
2"
5" 3"
1"
Q
Ⅺ
Ⅻ Ⅹ Ⅲ Ⅰ
2 4
P
6 7
Ⅳ
Ⅱ
1 3
5
〔例4-2〕 求作圆锥被截切以后，截交线的投影
1'
4' 2' 5'
1" 4" 5"
3'
2"3"
24
1
5 3
三、平面与球相交
圆
〔例5〕 作出半圆球被切口以后交线的投影
1' (2') 2
2"
1"
1
〔例6〕 完成圆球被正垂面P截切以后的水平投影
2' 3' (4')
p'
1'
5' 7' (6') (8')
形状，及其三面正面投影。 2、找一般点（至少一对）
2 3 4
3、将点的投影光滑连线 4、整理轮廓线。
〔例2〕完成圆柱体左边被切凹槽，右边被切凸台后的水平投影
a'
b'
a"( b" )
A
B
a
b
〔例3〕由空心缺口圆柱的正面投影和水平投影，作出被切后的侧面投影。
1' (2') 3 ' (4')
Ⅰ Ⅲ
Ⅱ
Ⅳ
P
5 4 3 2 6
7 8
Q
1 10
9
〔例8 〕 完成组合立体被截切后的投影
(5')2' (3') 1' 4'
3" 5" 1"
4" 2"
3
5 1 4 2
r' q' P
8
6
4
1 7 5 3
2
〔例7 〕 求作圆锥被Q与P平面截切以后，所截交线的投影 四、立体组合截切
有两个以上的基本体便可构成组合体，平面与组合体截 切一般会产生几段不同的交线，相邻两段交线的分界点必在 8' 8" 9' 7" 9" 组合体的分界线上。因此，作组合截切时应先确定各立体的 10' 3' 2' 1' 5" 1" (7') (6") 4" 3" 2" (10") (4') (5') (6') 形状，及确定相邻立体间的分界线，然后分别作出各自的截 交线。
4
2
31
二、平面与圆锥相交
截交线的形状有几种？
圆
三角形
椭圆
双曲线
抛物线
二、平面与圆锥相交
5' 7' (8')
(4') (6')
3'
4'' 6'' 8''
3'' 5'' 7''
8
6
4
是什么立体？属于截切的那种 分析：截交线的正面投影 1、找截交线的特殊点：最高点、最低点、 情况？ 最前点、最后点、最左点、最右点、转向 截交线的水平投影
一、平面与圆柱相交
几种基本的截切形式
矩形
圆
椭圆
〔例1〕作出立体被正垂面P截切以后的侧面投影
5'
6' 7' 8' 1' 2' 3' 8 '' 1 '' 2 '' 4' 6 '' 7 '' 5''
4'' 3''
7 8 1
6
5
1、找截交线的特殊点：最高点、 最低点、最前点、最后点、最 左点、最右点、即转向轮廓线 分析：立体基本形状，切 上的点。 平面位置，截交线的空间