必修一指数函数及其性质第1课时教案

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高中数学指数函数及其性质教案必修一

指数函数及其性质教案[授课时间]2008年10月9日下午第一节[教材]高中数学必修〔一〕第二章第2节[课题]指数函数及其性质〔第1课时〕[授课地点]树兰实验学校高一〔1〕班[教学目标](一)知识目标使学生了解指数函数模型的实际背景，理解指数函数的概念、图象和性质．(二)能力目标从实际生活背景中获得指数函数的知识；类比以前讨论函数的性质时的思路,找出研究指数函数性质的方法；能根据函数图象研究函数的性质。

从而培养学生分析、类比、归纳、数形结合等数学能力．(三)素养目标注意发挥图象的作用，能够对多个指数函数图象进行观察、分类，使学生对指数函数的概念有较深刻的认识；设计函数性质探究活动，经历“由图象获得性质〞的过程，提高归纳、发现能力，理解指数函数的性质，感受数形结合和分类讨论的思维方法．[重点]在理解指数函数概念的基础上掌握指数函数的图象和性质[难点]底数a 对于函数的性质的影响[教学方法]问题引入，自主探索，合作完善[教具]多媒体课件[教学过程]一、新课引入1．通过两个实际问题引入指数函数模型的实际背景2．探究活动问题1：课本P52问题1、2中的对应关系以及今天见到的2xy =能否构成函数？问题2：这3个函数有什么共同特征？并提炼出函数模型。

二、指数函数的定义在学生基本得到指数函数模型之后，教师引导分析函数的定义域以及对底数a 有没有限制。

〔思考讨论，学生举例，教师引导大家判断，同时观察底数a 对于函数的值变化的影响〕三、指数函数的性质问题3：你能类比以前讨论函数的性质时的思路,提出研究指数函数性质的方法吗?〔引导学生回顾需要研究函数的哪些性质，讨论研究指数函数性质的方法，强调函数:,(0,1),.x y a a a x R =>≠定义一般地函数且叫做指数函数其中是自变量.函数的定义域是图象在在研究性质中的作用，注意从具体到一般的思想方法的应用，渗透概括能力的培养〕问题4：如何画指数函数2x y =和1()2x y =的图象?在同一坐标系下作出2x y =、3x y =、1()2x y =、1()3xy =的图象，从你画出的图象中你能发现什么？〔观察图象及表格，表述学生自己的发现并填表归纳性质〕四．课后练习课本第65页，习题：5、6五、小结[活动设计]提问、实验、课件演示、设问、归纳定义、讲解、板演、口答、重点讲解、小结．[教学核心]本课时的教学核心是：函数性质的探究活动，经历“由图象获得性质〞的过程，理解并归纳出指数函数的主要性质，感受数形结合和分类讨论的思维方法．§2.1.2 指数函数及其性质(一)问题1：P52问题1、2中的对应关系以及今天见到的2xy =能否构成函数？问题2：这3个函数有什么共同特征？并提炼出函数模型。

人教课标版高中数学必修1《指数函数及其性质(第1课时)》教学设计

2.1 指数函数2.1.2 指数函数及其性质第一课时一、教学目标（一）学习目标1．掌握指数函数的概念（定义、解析式）．2．掌握指数函数的图像及其性质．3．灵活运用指数函数的图像及性质．（二）学习重点1．指数函数的定义和解析式．2．指数函数的图像及其性质．（三）学习难点1．指数函数的图像性质与底数a的关系．2．如何由图像、解析式归纳指数函数的性质．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务（1）读一读：阅读教材第54页至第58页，填空：一般地，函数0y x且)1a=a(>a叫做指数函数（exponential function），其中x是自变量，≠函数的定义域是R．指数函数的解析式x ay=中，x a的系数是1．指数函数0y x且)1a=a(>a的图象和性质：≠（2）写一写：指数函数x a y =中为什么要规定0>a 且1≠a 呢？ ①若0=a ，则当0>x 时，0=x a ；当0≤x 时，x a 无意义． ②若0<a ，则对于x 的某些数值，可使x a 无意义．③若1=a ，则对于任意的R ∈x ,1=x a 是一个常量，没有研究的必要性． 2．预习自测（1）下列函数中是指数函数的是（） A ．x y 32⋅=B ．x a y =C ．x y 2=D ．2x y =【知识点】指数函数的定义、解析式．【数学思想】【解题过程】只有选项C 符合0(>=a a y x 且)1≠a ．【思路点拨】理解指数函数满足的条件．【答案】C ．（2）已知函数x y 2=的图象经过点),1(0y -，那么=0y （） A ．21 B ．21-C ．2D ．2-【知识点】指数函数图像上点的坐标．【数学思想】【解题过程】点),1(0y -满足x y 2=，则102-=y ，解得210=y ．【思路点拨】根据指数函数图像上点的坐标特征，将点),1(0y -代入x y 2=即可求得0y ．【答案】A ．（3）函数x a a y 2)2(-=是指数函数，则a 的值是（） A ．1=a 或3=aB ．1=aC ．3=aD ．0>a 且1≠a【知识点】指数函数的定义、解析式．【数学思想】【解题过程】由⎩⎨⎧=-≠>1)2(102a a a 且解得3=a ．【思路点拨】理解指数函数的系数为1，底数范围为0>a 且1≠a ．【答案】C ． (二)课堂设计 1．知识回顾（1）一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根（n th root ），其中n >1，且*∈N n（2）当n 为奇数时，a a nn=；当n 为偶数时，⎩⎨⎧<-≥=0,0,a a a a a nn（3）有理数指数幂的运算性质：),,0(Q ∈>=+s r a a a a s r s r ),,0()(Q ∈>=s r a a a rs s r ),0,0()(Q ∈>>=r b a b a ab r r r2．问题探究探究一结合实例，认识指数函数 ●活动① 提炼概念（归纳指数函数模型）请你想一想，这两个函数的结构有什么共同特征？①设x 年后我国的GDP 为2000年的y 倍，那么： 1.073(N ,20)x y x x *=∈≤②生物体内碳14含量P 与死亡年数t 之间的关系：57301(0)2t P t ⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭在x y 073.1=，573021t P ⎪⎭⎫ ⎝⎛=中，x ，t 是自变量，底数是一个大于0且不等于1的常量．一般地，函数(01)x y a a a =>≠且叫做指数函数（exponential function ），其中x 是自变量，函数的定义域是R ．【设计意图】考虑到知识间的联系，以本章开篇的两个例子为出发点，找出两个函数表达形式上的共同特征——底数是常数而指数是自变量，进而提炼出指数函数模型x a y =． ●活动② 辨析概念（判定指数函数解析式）分析指数函数定义，你能判断下列哪些不是指数函数吗？22x y += (2)x y =- 2x y =- π=x y 2y x = 24y x =x y x = (1)(12)x y a a a =->≠且根据指数函数的定义来判断说明：若a >0，x 是任意一个实数时，x a 是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R .若a =0，⎪⎩⎪⎨⎧≤>=0,0x a x a x x无意义，．若a <0，如x y )2(-=，对于81,61==x x 等等，在实数范围内的函数值不存在．若a =1，11==x y 是一个常量，没有研究的意义．通过探究，你能否归纳出判断一个函数是否为指数函数的方法呢？（抢答）底数的值是否符合要求(01)a a >≠且；x a 前面的系数是否为1；指数是否符合要求．【设计意图】通过概念辨析，加深对指数函数概念（定义及解析式）的理解，掌握指数函数解析式中的隐藏条件．探究二探究指数函数的图像★▲ ●活动① 大胆操作累积经验★在直角坐标系下，请用描点法分别作出函数x y 2=和函数xy ⎪⎭⎫⎝⎛=21的图像，并探究图像分别位于哪几个象限？与x 轴的相对位置关系如何？图像中有哪些特殊的点？图像在y 轴左、右两侧的分布情况如何？函数x y 2=的图像如图所示：由该图像可知，函数x y 2=的图像位于第一、二象限；始终在x 轴上方，且有特殊点(0,1)，图像在y 轴左侧无限接近于-∞、在y 轴右侧无限接近于+∞．函数xy ⎪⎭⎫⎝⎛=21的图像如图所示：由该图像可知，函数xy ⎪⎭⎫⎝⎛=21的图像也位于第一、二象限；也始终在x 轴上方，且有特殊点(0,1)，但图像在y 轴左侧无限接近于+∞、在y 轴右侧无限接近于-∞．【设计意图】通过具体的动手操作，归纳出指数函数的图像特征，以及对比底数与1的大小，培养学生学会数形结合的思想． ●活动② 巩固理解发现性质★在同一坐标系下，你能画出函数a x y +-=和x a y =的大致图像吗？x y11O当a >1时，a x y +-=单调递增，x a y =也单调递增，且直线在y 轴交点为(0,1)上边．【设计意图】通过一次函数和指数函数的结合，深入认识指数函数中图像底数a 的特征，培养学生数学抽象、归类整理意识． ●活动③ 反思过程认识性质★▲在同一坐标系中，你能分别作出函数xy 2=，xy ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21，x y 10=，xy ⎪⎭⎫⎝⎛=101的图像吗？列表如下：指数函数的图像和性质透析：当底数a 大小不确定时，必须分a >1或0<a <1两种情况讨论函数的图像和性质，当a >1时，x 的值越小，函数的图像越接近x 轴，当0<a <1时，x 的值越大，函数的图像越接近x 轴，指数函数的图像都经过点(0,1)，且图像都只经过第一、第二象限．【设计意图】通过观察xy 2=，xy ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21，x y 10=，xy ⎪⎭⎫⎝⎛=101的图像特征，就可以得到xa y =的图像和特征，培养从特殊到一般的思想方法．从给出的例子到学生自行举出例子，检查反馈学生对指数函数图像的理解，加深对指数函数的认识，培养数形结合的思想方法． ●活动④ 发散思维重新认识如图是指数函数（1）x a y =，（2）x b y =，（3）x c y =，（4）x d y =的图像，你能判断出a,b,c,d 与1的大小关系吗？x y1（4）（3）（2）（1）O我们经过实际操作，会得到（2）＞（1）＞1＞（4）＞（3），也即b >a >1>d >c ．由指数函数图像特征判断指数函数底数大小的方法：由第一象限内“底大图高”的规律判断，取特殊值x =1得函数值的大小即底数大小进行判断．【设计意图】通过学生对图像的深化认识，并通过具体的操作，归纳指数函数中图像的特征，培养学生数学抽象、归类整理意识．探究三指数函数的概念、图像性质及其应用★▲ ●活动① 巩固基础检查反馈例1 下列函数中是指数函数的个数是（） ①x y 32-= ②13+=x y ③x y 3= ④3x y = A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【知识点】指数函数的定义．【数学思想】类比归纳思想．【解题过程】只有函数x y 3=和13+=x y 符合指数函数定义)1,0(≠>=a a a y x ，则上述函数中有2个是指数函数．【思路点拨】理解指数函数的定义形式，进行运用．【答案】C ．同类训练已知函数x a a a x f ⋅+-=)33()(2是指数函数，则a 的值为（） A ．1B ．2C ．1或2D ．0>a 且1≠a【知识点】指数函数的定义、解析式．【数学思想】【解题过程】由指数函数定义得⎩⎨⎧≠>=+-101332a a a a 且，故2=a ．【思路点拨】根据指数函数的定义进行求解待定系数即可．【答案】B ．例2 已知指数函数x a x f =)(的图像经过点(-1,3)，则f (2)=（）A ．31B ．91C ．3D ．9【知识点】指数函数的定义、解析式．【数学思想】【解题过程】由过点(-1,3)得xx f ⎪⎭⎫⎝⎛=31)(，则91)2(=f ．【思路点拨】通过指数函数的解析式形式求解．【答案】B ．同类训练已知函数b x x f b x ,42(3)(≤≤=-为常数)的图像经过点）（1,2，则)(x f 的取值范围为（） A ．[]81,9B ．[]9,3C ．[]9,1D ．[)∞+，1【知识点】指数函数的定义、解析式．【数学思想】【解题过程】23)(-=x x f ，且42≤≤x ，故9)(1≤≤x f ．【思路点拨】通过求得指数函数解析式，再求其定义域下的值域．【答案】C ．【设计意图】掌握指数函数的基本概念、定义，以及解析式的常规应用． ●活动② 强化提升灵活应用例3 要使t x g x +=+13)(的图像不经过第二象限，则t 的取值范围是（） A ．1-≤tB ．1-<tC ．3-≤tD ．3-≥t【知识点】指数函数的图像与性质．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】函数t x g x +=+13)(过定点)3,0t +（且为增函数，则03≤+t ，得到3-≤t ．【思路点拨】通过指数函数过定点和其图像特征列出不等式解得范围．【答案】C ．同类训练已知1,10-<<=a a x f x 的图像是（）xy1Oxy1Oxy 1Oxy1OA ．B ．C ．D ．【知识点】指数函数的图像和性质、奇偶性的函数图像．【数学思想】数形思想和分类讨论思想．【解题过程】去绝对值，可得(0)1(0)x x a x x a ⎧≥⎪⎨⎛⎫≤⎪ ⎪⎝⎭⎩，又因为a >1，由指数函数图像易知选A ．【思路点拨】通过指数函数图像和性质求解即可．【答案】A ．同类训练已知指数函数（1）x m x f =)(，（2）x n x g =)(满足不等式01>>>m n ，则它们的图像是（）xy （2）（1）1Oxy （2）（1）1Oxy（2）（1）1Oxy（2）（1）1OA ．B ．C ．D ．【知识点】指数函数的图像和性质．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】由01>>>m n 可知（1）（2）为两条单调递减曲线，再选特殊点x =1，（1）（2）对应的函数值分别为m 和n ，由n m <可知选C ．【思路点拨】首先根据底数的范围判断图像的升降性，再根据两个底数的大小比较判断对应的曲线．【答案】C ．【设计意图】通过对比指数函数图像的各种形式，从图像中探索指数函数的底数问题，体会到分类讨论和数形结合的思想，培养学生的思维转化能力，以及图像的运用能力． ●活动③ 深入探究实际应用例 5 若关于x 的方程)1,0(21≠>=-a a a a x 且有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是．【知识点】指数函数图像的应用．【数学思想】分类讨论思想和换元思想．【解题过程】由题得，函数1-=x a y 与a y 2=有两个交点；①当0<a <1时，又满足有两个交点，则0<2a <1，即102a <<，如图所示：k 无解？有一解？有两解？【知识点】指数函数的值域、图象．【数学思想】数形结合和分类讨论的思想．【解题过程】将方程分解成函数|13|-=x y 和k y =，首先画出|13|-=x y 的图象，如图所示：x y y=k1O由图可知，当函数0<=k y ，两函数无交点，方程k x =-|13|无解；当0==k y 时，两函数有一个交点，方程k x =-|13|有一解；当10<=<k y 时，两函数有两个交点，方程k x =-|13|有两解；当1≥=k y 时，两函数有一个交点，方程k x =-|13|有一解．【思路点拨】该类问题可将函数转化为常见的函数图像的交点问题，分类讨论交点个数，判断解的个数．【答案】当0<k 时，k x =-|13|无解；当0=k 和1≥k 时，k x =-|13|有一解；当10<<k 时，k x =-|13|有两解．例6 某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年剩留的这种物质是原来的84%，画出这种物质的剩留量随时间变化的图象，并从图象上求出经过多少年，剩量留是原来的一半（结果保留1个有效数字）．【知识点】指数函数的图象及其实际应用．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】设这种物质量初的质量是1，经过x 年，剩留量是y ．经过1年，剩留量()1184.0%841=⨯=y ；经过2年，剩留量()2284.0%841=⨯=y ；……一般地，经过x 年，剩留量x y 84.0=．根据这个函数关系式可以列表如下：用描点法画出指数函数x y 84.0=的图象．从图上看出y =0.5只需x ≈4.【思路点拨】通过恰当假设，将剩留量y 表示成经过年数x 的函数，并可列表、描点、作图，进而求得所求．【答案】4年．同类训练某环保小组发现某市生活垃圾年增长率为b ，2009年该市生活垃圾量为a 吨，由此可预测2019年垃圾量为（） A ．)101(b a +吨B ．)91(b a +吨C ．10)1(b a +吨D ．9)1(b a +吨【知识点】指数函数的实际应用．【数学思想】递推法．【解题过程】先逐年计算前几年的生活垃圾量，再递推可得．【思路点拨】关注指数函数的实际应用中的指数递增的特征．【答案】C ．【设计意图】从图像中发现性质并应用性质，体会方程和方程分解为函数的思想，数形结合的思想，培养学生的思维转化能力、分类讨论能力，以及图像的运用能力．从生活的具体到数学的数字抽象，体会指数函数的指数递增规律． 3.课堂总结知识梳理（1）定义：一般地，函数(01)x y a a a =>≠且叫做指数函数（exponential function ），其中x 是自变量，函数的定义域是R ．（2）指数函数的图象与性质：（3）指数函数的图像特征：（4）指数函数记忆口诀：指数增减要看清，抓住底数不放松；反正底数大于0，不等于1已表明；底数若是大于1，图像从下往上增，底数0到1之间，图像从上往下减，无论函数增或减，图像都过(0,1)点．重难点归纳（1）在解决指数函数有关问题时，如果底数a 大小不确定，那么必须分a >1和0<a <1两种情况讨论．（2）利用指数函数的性质（单调性）课比较两个数的大小：当x >0时，同底数幂，0<a <1时，幂大指数小，a >1时，幂大指数大．（三）课后作业基础型自主突破1．若函数x a a x f ⋅-=)321()(是指数函数，则=)21(f （）A ．2B ．2-C ．22-D ．22【知识点】指数函数的定义．【数学思想】【解题过程】由题意，131201a a a ⎧-=⎪⎨⎪>≠⎩且，得8=a ；则xx f 8)(=，即228)21(21==f ．【思路点拨】由指数函数的定义和解析式即可求解．【答案】D ．2．已知函数)(x f 是指数函数，且255)23(=-f ，则=)(x f ．【知识点】指数函数的定义、解析式．【数学思想】【解题过程】设)1,0()(≠>=a a a x f x且，由255)23(=-f 得232212355---==a ，解得5=a ．【思路点拨】利用指数函数的定义解未知数即可．【答案】x 5．3．下列函数中，随x 的增大，增长速度最快的是（）A ．)(50Z ∈=x yB ．x y 1000=C ．124.0-⋅=x yD ．x e y ⋅=1000001【知识点】指数函数的实际应用．【数学思想】【解题过程】指数函数增长速度最快，且2>e ，因而x e y ⋅=1000001增长最快．【思路点拨】直接根据幂函数、正比例函数、指数函数的增长差异得出结论．【答案】D ．4．函数xx f ⎪⎭⎫⎝⎛=31)(的图像是（）xy1Oxy1Oxy1Oxy1OA ．B ．C ．D ．【知识点】指数函数的解析式、图像．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】由于1310<<，所以指数函数单调递减，且函数过定点)1,0(．【思路点拨】熟练掌握关于指数函数底数不同时的函数图像问题．【答案】B ．5．设1212121<⎪⎭⎫⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛<ab，那么（）A ．10<<<a bB ．10<<>b aD ．1>>a b【知识点】指数函数的图像与性质．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】根据函数xx f ⎪⎭⎫⎝⎛=21)(在R 上是减函数，由1212121<⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛<ab得01>>>a b ．【思路点拨】掌握指数函数单调性这一基本性质．【答案】B ．6．已知()x f x a -=(0a >且1)a ≠，且(2)(3)f f ->-，则实数a 的取值范围是．【知识点】指数函数的解析式、单调性的应用．【数学思想】【解题过程】由xxa ax f ⎪⎭⎫⎝⎛==-1)(且(2)(3)f f ->-，则)(x f 单调递增，即11>a ．【思路点拨】．由指数函数的解析式和单调性可得．【答案】)1,0( 能力型师生共研7．某钢厂的年产量由1990年的40万吨增加到2000年的50吨，如果按照这样的年增长率计算，则该钢厂2010年的年产量约为（） A ．60万吨B ．61万吨C ．63万吨D ．64万吨【知识点】指数函数的实际应用．【数学思想】【解题过程】可设年增长率为x ，根据题意列方程得50)1(4010=+x ，解得45)1(10=+x ，如果按照这样的年增长率计算，则该钢厂2010年的年产量约为635.624540)1(40220≈=⎪⎭⎫⎝⎛⨯=+x ．【思路点拨】可设年增长率为x ，第一年（1990年）产量为)1(40x +，第二年（1991年）产量为2)1(40x +，...，列出指数函数方程求解x ，再解答该钢厂2010年的年产量即可两个集合相等，则两个集合的元素对应相等．【答案】C ．8．若函数b a y x +=的部分图像如图所示，则（）B ．10,10<<<b aD ．10,1<<>b a【知识点】指数函数的定义、解析式、图像及其性质．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】由图像可以看出，函数为减函数，故10<<a ，又由函数x a y =过定点)1,0(，则函数b a y x +=过定点)1,0(+b ，即01<<-b ．【思路点拨】根据指数函数的图像和性质即可判断．【答案】A ．探究型多维突破9．设函数)1,0()(≠>=a a a x f x 且在区间[]21，上的最大值比最小值大2a，求a 的值．【知识点】指数函数的图像与性质．【数学思想】数形结合、分类讨论的思想．【解题过程】当1>a 时，函数)(x f 在区间[]21，上单调递增，所以2)1()2(2aa a f f =-=-，解得23=a 或0=a （舍去）；当10<<a 时，函数)(x f 在区间[]21，上单调递减，所以2(1)(2)2a f f a a -=-=，解得21=a 或0=a （舍去）．【思路点拨】正确理解指数函数的图像和性质，注意指数函数底数的分情况讨论就不会漏掉部分答案．【答案】23=a 或21=a ． 10．在下列函数中，二次函数bx ax y +=2与指数函数xa b y ⎪⎭⎫⎝⎛=的图像只可能是（）【知识点】指数函数图像的应用．【数学思想】数形结合、分类讨论、排除法的思想．【解题过程】根据xa b y ⎪⎭⎫⎝⎛=可知b a ,同号且不相等，则二次函数bx ax y +=2的对称轴02<-a b 可排除 B 和D 选项；选项C 中，0,0<>-a b a ，所以1>ab，则指数函数单调递增，故选项C 不正确，因此选项D 正确．【思路点拨】分类讨论b a ,的取值排除错误图像即可．【答案】D ．自助餐1．若函数x a a a y )33(2+-=是指数函数，则（） A ．0>a 且1≠aB ．1=aC ．1=a 或2=aD ．2=a【知识点】指数函数的定义、解析式．【数学思想】【解题过程】若函数x a a a y )33(2+-=是指数函数，则1332=+-a a ，解得1=a 或2=a ；又∵指数函数的底数0>a 且1≠a ，故2=a ．【思路点拨】利用指数函数的定义和解析式底数的条件求解．【答案】D ．2．在同一坐标系下，函数a x y +-=和x a y =图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【知识点】指数函数的图象及其性质．【数学思想】数形结合、分类讨论的思想．【解题过程】当1>a ，易知a x y +-=单调递减，x a y =单调递增，且直线在y 轴交点为)1,0(上边，故选项D 是符合题意的．【思路点拨】分类讨论函数的单调性．【答案】D ．3．函数)1,0()(2≠>=-a a a x f x 的图象过定点（） A ．()1,0B ．()0,1C ．()0,2D ．()1,2【知识点】指数函数的定义、解析式和图象的平移．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】x a y =的图象沿着x 轴向右平移2个单位得到2-=x a y ，故过定点()1,2．【思路点拨】由指数函数的定义和解析式出发，探索图象的平移问题．【答案】D ．4．已知集合},24|{},|{2M x y y N x x x M x∈==>=，则=⋂N M （）A ．}210|{<<x xB ．}121|{<<x x C ．}10|{<<x x D ．}21|{<<x x【知识点】指数函数的定义、解析式．【数学思想】【解题过程】集合}10|{<<=x x M ，集合}221|{<<=y y N ，求其交集为}121|{<<x x ．【思路点拨】利用一元二次不等式的解法和指数函数的性质可化简集合N M ,，再利用交集的运算即可得出．【答案】B ．5．按复利计算利率的储蓄，存入银行2万元，如果年息3％，5年之后支取，本利和应为人民币（）元． A ．5)3.01(2+B ．5)03.01(2+C ．4)3.01(2+D ．4)03.01(2+【知识点】指数函数的实际应用．【数学思想】【解题过程】由题意，存入银行2万元后，每一年的本利和都是前一年的03.131=+％，故五年之后支取，本利和应为人民币5)03.01(2+⋅．【思路点拨】根据找出每一年的本利和和前一年的关系进行求解．【答案】B ．21 / 21 6．若函数1()(4)212xa x f x a x x ⎧>⎪=⎨-+≤⎪⎩是R 上的增函数，则实数a 的取值范围为（）A ．()∞+，1B ．）（8,1C ．）（8,4D ．[)8,4 【知识点】指数函数单调性的应用．【数学思想】数形结合以及分类讨论思想．【解题过程】因为)(x f 在R 上是增函数，故在(]1,∞-上和),1(+∞上都单调递增，即)1(>=x a y x 和(4)1(1)2a y x x =-+≤都是增函数，且(4)12a y x =-+在(]1,∞-上的最大值不大于x y a =在),1(+∞上的最小值．由此可得111408244122⎧⎪>>⎪⎧⎪⎪->⇒<⎨⎨⎪⎪≥⎩⎪⎛⎫-⋅+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩a a a a a a a ，解得48a ≤<．【思路点拨】由分段函数结合图象对参数进行讨论．【答案】D ．。

高中数学必修1第2章第一节指数函数教案：指数函数及其性质

2.1.2指数函数及其性质教学设计（第1课时）一．教学目标：1、知识与技能：了解指数函数的定义，掌握指数函数的性质，并会用性质解决简单问题。

2、过程与方法：通过绘出函数图象、总结函数性质等教学过程，培养观察、总结，并综合运用数形结合思想解决问题的能力，并逐步形成善于与他人合作探究的团队意识。

3、情感、态度与价值观：通过观察、探究、讨论等思维活动，激发学习数学的兴趣，形成学数学、爱数学、用数学的良好习惯二．重、难点.教学重点：指数函数的图象和性质教学难点：利用探究方式得出函数性质三．学法与教具：①学法：观察法、讲授法及讨论法. ②教具：多媒体.[教学设想]1. 情境设计师：同学们先看两个问题（用幻灯分两屏放映）问题1、在2000年，专家预测，未来20年，我国GDP （国内生产总值）年平均增长率可望达到7.3%，那么，在2001~2020年，各年的GDP 可望为2000年的多少倍？如果把我国2000年GDP 看成是1个单位，2001年为第一年，那么： 1年后（即2001年），我国的GDP 可望为2000年的_______倍。

2年后呢？，……，x 年后呢？问题2、一种放射性物质不断衰变为其他物质，每经过一年，剩留的质量约是原来的84%，求出这种物质的剩留量y 随时间x （单位：年）变化的函数关系。

师：请同学们朗读例题，并给出答案。

生1：经过x 年后，GDP 可望为2000年的x %)3.71(+倍。

生2：物质的剩留量y 随时间x 变化的函数关系是：x y 84.0=师：我们看到，例题中的两个函数是一种新的函数，函数的形式是指数幂的形式，它的底数是常数，而未知数x 却出现在指数位置，我们称这样的函数为指数函数。

从今天开始，我们来研究指数函数（板书：指数函数）师：那么，指数函数是怎样定义的呢？（板书指数函数定义：一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R 。

课件4：2.1.2 指数函数及其性质第1课时　

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解析由图象可知③④的底数必大于 1，①②的底数必小于 1. 过点(1,0)作直线 x＝1，在第一象限内分别与各曲线相交，可知 1<d<c，b<a<1，从而可知 a，b，c，d 与 1 的大小关系为 b<a<1<d<c. 答案 B
规律方法指数函数的图象随底数变化的规律可归纳为： (1)无论指数函数的底数 a 如何变化，指数函数 y＝ax(a＞0，a≠1) 的图象与直线 x＝1 相交于点(1，a)，由图象可知：在 y 轴右侧，图象从下到上相应的底数由小变大． (2)指数函数的底数与图象间的关系可概括记忆为：在第一象限内，底数自下而上依次增大．
名师点睛 1．对指数函数的定义的理解 (1)因为 a>0，x 是任意一个实数时，ax 是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集 R. (2)规定底数 a 大于零且不等于 1. (3)指数函数解析式的特征：ax 的系数是 1，a 为常量，x 为自变量，有些函数貌似指数函数，实际上却不是，例如 y＝ax＋1(a>0，a≠1)；有些函数看起来不象指数函数，实际上却是，例如 y＝a－x(a>0， a≠1)，因为这可等价化归为 y＝1ax其中1a>0且1a≠1.
[正解] ∵函数 y＝(a2－4a＋4)ax 是指数函数， ∴由指数函数的定义得aa2>－0且4aa＋≠41＝，1， ∴aa＝ >01且或aa≠＝13，. ∴a＝3.
指数函数要求形如：f(x)＝ax(a>0 且 a≠1)，即指数式前面系数为 1，另外 a>0 且 a≠1.
课堂总结 1．判断一个函数是否为指数函数只需判定其解析式是否符合y＝ax(a>0且 a≠1)这一结构形式． 2．指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系．在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小，即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大． 3．由于指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的定义域为R，所以函数y＝af(x)(a>0且 a≠1)与函数f(x)的定义域相同，求与指数函数有关的函数的值域时，要考虑并利用指数函数本身的要求，并利用好指数函数的单调性.

高中数学2.1.2指数函数及其性质教案新人教A版必修1

指数函数及其性质一、【教学目标】1.知识与技能：理解指数函数的概念，画出具体指数函数图象，能经过观察图象得出两类指数函数图象的地位关系；在理解函数概念的基础上，能运用所学知识解决简单的数学成绩；2.过程与方法：在教学过程中，利用画板作图加深对指数函数的认识，让先生在数学活动中感受数学思想方法之美、领会数学思想方法之重要；3.情感、态度、价值观：经过本节课自主探求研讨式教学，使先生获得研讨函数的规律和方法；培养先生自动学习、合作交流的认识。

二、【学情分析】指数函数式在先生零碎学习了函数概念，基本掌握函数性质的基础上进行研讨的，是先生对函数概念及其性质的第一次运用．教材在之前的学习中给出链各个理论的例子（GDP的增长成绩和碳14的衰减成绩），曾经让先生感遭到了指数函数的理论背景，但这两个例子的背景对于先生来说有些陌生．本节课先设计两个看似简单的成绩，但能经过得到超出想象的结果来激发先生学习新知的兴味和愿望。

三、【教材分析】本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学1》（人教A版）第二章第一节第二课【（2．1．2）《指数函数及其性质》．根据理论情况，将《指数函数及其性质》划分为三节课指数函数及其性质、指数函数及其性质的运用（1）、指数函数及其性质的运用（2）】，这是第一节“指数函数及其性质”．指数函数是重要的基本初等函数之一，作为常见函数，它不仅是今后学习对数函数和幂函数的基础，同时在生活及消费理论中有着广泛的运用，所以指数函数应重点研讨。

四、【教学重难点】1.教学重点：指数函数的概念、底数互为倒数的指数函数的图象关于y轴对称。

2.教学难点:底数a的范围讨论，自变量的取值范围和由函数的图象归纳指数函数的性质。

五、【教学方法】自主预习、合作探求、体验践行。

六、【教学装备】多媒体装备。

七、【课时安排】第一课时(新知课)。

八、【教学过程】(一) 创设情境，引出成绩（约3分钟）师：观察图片，你能说出这是甚么吗？生：国际象棋师：这盘象棋隐含了这么一个故事？生：．．．．师：国王为了奖励发明者达依尔特许愿满足他提的任意一个请求，那么达伊尔提出如下要求在棋盘第一格放2粒大米，第二格放4粒大米，第三格放8粒大米，…按这个规律．最初一格棋盘上的大米数就是我要的．请问：最初一格的大米数是多少呢？生：642师：那么国王能否满足他的要求呢？【学情预设】先生会说能．也有说不能的．教师公布数据领会指数函数的爆炸增长，642粒大米是每年全世界粮食产量的1000多倍，明显国王是满足不了他的请求．师：请写出米粒数与棋盘格数的函数关系式．生：{}2,1,2,,64x y x =∈师： “一尺之棰，日取其半，万世不竭．”这句话来自著名的《庄子·天下篇》，哪位同学能用数学言语来表述它的含义？生：。

高中数学人教A版必修1第一章指数函数及其性质教学设计案例

教学设计案例《§2.1.2 指数函数及其性质》教学设计课题§2.1.2 指数函数及其性质（第一课时）教材版本人民教育出版社普通高中课程标准实验教科书数学必修1 A版教学目标1. 通过实例引入指数函数，激发学生的学习兴趣，体会指数函数是一类重要的函数模型，体会数学的应用价值；2. 通过牛肉面的实例，激发学生对家乡的热爱之情；3. 通过探究指数函数的底数a的条件，明确数学概念的严谨性和科学性，并领会分类讨论的思想方法；4. 掌握指数函数的概念，并能根据定义判断一个函数是否为指数函数；5. 通过现代信息技术的合理利用，让学生体会到现代信息技术是认识世界的有效手段；6. 通过观察指数函数的图象，分析、归纳、总结、自主建构指数函数的性质；7. 体会数形结合的思想，培养学生发现、分析、解决问题的能力；8. 在探究过程中，让学生体会从特殊到一般的数学方法；9. 会用指数函数及其性质解决指数函数相关问题.教学重点指数函数的概念和性质.教学难点用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质.授课类型新授课课时安排第一课时（40分钟）教学方法引导启发式、参与发现式教学用具多媒体课件、坐标纸、性质列表.教学过程活动一体会身边的指数模型1．教师请学生展示牛肉面的拉面过程，让学生抽象出拉面师两手之间的面的根数与对折次数之间的关系.（设计牛肉面的情境，旨在激起学生学习数学的热情，调动学生主体参与学习活动的积极性，并让学生体会身边的指数模型，同时感受家乡美.）2．庄子在《天下篇》中说：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”请学生写出截取第x 次后，木棰的剩留量y 与x 的关系式.（设计这个情境，旨在渗透数学史.）3.回顾两个情境，教师提问情境中涉及到的两个关系式*2,x y x N =∈和*1,2xy x N ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭是不是函数，为指数函数定义的探究做好铺垫. 活动二探究指数函数的定义1．将活动一得到的关系式*2,x y x N =∈中的定义域扩充到实数集范围，即2,x y x R =∈.提问学生上述关系式是否为函数？2．如果将2,x y x R =∈中的底数2替换为常数a ，它还是函数吗？学生分小组讨论，教师引导学生对参数a 的限定条件进行讨论，得出0>a 且1≠a 的结论. 教师也参与到学生的讨论中，对有困难的小组进行启发.（采用小组合作这种方式，一方面是考虑到小组合作这种特殊的学习模式具有信息密度大、传递速度快等特点，另一方面是为了培养学生的合作意识和语言表达能力，让学生尝试“说数学”.）3．讨论结束后，小组派代表向全班同学展示讨论结果.（学生发表观点，教师及时实施多元评价.）交流后，教师完善定义并用多媒体展示指数函数定义，并指出指数函数的定义是形式化的定义，我们必须严格依照它的形式来判断一个函数是否为指数函数.并用多媒体展示形式中的三个要求.一般地，函数y=a x (a >0,且a ≠1)叫做指数函数（exponential function ），其中x 是自变量，函数的定义域是R.想一想下列四个函数是不是指数函数？21223;;3;3.x x x y y x y y +=⨯===教师随机提问.（这个环节是为了让学生进一步理解指数函数的形式化定义.）活动三探究指数函数的图象分小组在事先准备好的坐标纸上用描点法作出下面几个指数函数的图象.○12x y =与12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭；○24x y =与14x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭；○35x y =与15xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 要求：每位同学从上述三组函数中选择一组底数互为倒数的指数函数作出函数的图象.（设置这个环节是为了让学生尝试“做数学”，体会知识的生成过程，教师对有困难的同学进行个别指导.）选代表展示自己画出的图象.教师给予及时评价.（教师鼓励性的及时评价有利于学生建立学习数学、探索知识的自信心.）展示交流后，教师用几何画板作出第一组的两个图象，再用EXCEL 画出第二组和第三组的4个函数图象.并请学生对比自己画出的图象.教师进一步用几何画板展示当底数0a且)1a为任意常数时对应的指≠a(>数函数的图象.（EXCEL和几何画板的加入，有利于学生更准确地认识指数函数的图象，节省课堂有效教学时间，同时也体现了信息技术的有效整合.）活动四探究指数函数的性质1.教师结合几何画板，动态呈现底数a变化时的一系列函数图象，让学生仔细观察图象特征，进而归纳相应性质.学生积极发言.学情预设(1).定义域是R ；(2).图象恒过（0，1）点；(3).值域是（0，＋∞）；(4).不是奇函数，也不是偶函数；(5).当a ＞1时，函数在R 上单调递增；当0＜a ＜1时，函数在R 上单调递减；(6).函数图象无限靠近x 轴；(7).当a ＞1时，随着a 的增大，函数图象在第一象限越来越靠近y 轴；当0＜a ＜1时，随着a 的减小，函数图象在第二象限越来越靠近y 轴.学生发言的同时，教师及时板书.2. 教师引导学生回忆并观察自己画出的2x y =与12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭、4x y =与14x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭或 5x y =与15xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象，说说底数互为倒数的两个函数图象间有没有什么关系.学生发表自己的观点后，教师动态展示2x y =与12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的函数图象关于y 轴对称.教师引导学生猜想=x y a 与1(0⎛⎫=> ⎪⎝⎭xy a a 且1)≠a 的图象是否关于y 轴对称？板书上述性质，并鼓励学有余力的学生课后做出严格证明.（这正体现了新课标中不同的学生在数学上得到不同的发展这一理念）活动五新知应用○例已知指数函数f (x )=a x (a >0且a ≠1)的图象过点()π,3,求f (0), f (1), f (-3)的值. 学生独立练习，教师个别指导.结束后，请一位学生口述解题过程，教师实施评价并展示解题过程.解：因为()x f x a =的图象过点(3,)π，所以(3)f π=，即3a π=，解得13a π=，于是 3()x f x π=.所以，10131(0)1,(1)(3).f f f ππππ-====-==活动六小结归纳布置作业教师提问：通过这节课的学习，你有哪些收获呢？1.知识：2.数学史：（教师在本环节先引导学生从知识层面对指数函数及其性质进行梳理，深化知识与技能，回顾课堂中认识到的数学人物庄子和华罗庚，旨在渗透数学史并且增强学生的民族自豪感.）●必做:习题2.1 A组5、6题●选做:查阅关于“富兰克林的遗嘱和拿破仑的诺言”相关资料，写一篇不少于300字的小论文,体会并与同伴交流指数函数在生活中的应用.（选做题的加入，一方面是让学生体会数学的应用价值，提高资料检索的能力，另一方面体现了不同的学生在数学上得到不同的发展这一理念.）板书设计。

苏教版高中数学必修一指数函数及其性质教案第一课时

2.1.2 指数函数及其性质整体设计教学分析有了前面的知识储备,我们就可以顺理成章地学习指数函数的概念,作指数函数的图象以及研究指数函数的性质.教材为了让学生在学习之外就感受到指数函数的实际背景,先给出两个具体例子:GDP 的增长问题和碳14的衰减问题.前一个问题,既让学生回顾了初中学过的整数指数幂,也让学生感受到其中的函数模型,并且还有思想教育价值.后一个问题让学生体会其中的函数模型的同时,激发学生探究分数指数幂、无理数指数幂的兴趣与欲望,为新知识的学习作了铺垫.本节安排的内容蕴涵了许多重要的数学思想方法,如推广的思想(指数幂运算律的推广)、类比的思想、逼近的思想(有理数指数幂逼近无理数指数幂)、数形结合的思想(用指数函数的图象研究指数函数的性质)等,同时,编写时充分关注与实际问题的结合,体现数学的应用价值. 根据本节内容的特点,教学中要注意发挥信息技术的力量,尽量利用计算器和计算机创设教学情景,为学生的数学探究与数学思维提供支持. 三维目标1.通过实际问题了解指数函数的实际背景,理解指数函数的概念和意义,根据图象理解和掌握指数函数的性质,体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想.2.让学生了解数学来自生活,数学又服务于生活的哲理.培养学生观察问题、分析问题的能力,培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力.3.通过训练点评,让学生更能熟练指数幂运算性质.展示函数图象,让学生通过观察,进而研究指数函数的性质,让学生体验数学的简洁美和统一美. 重点难点教学重点：指数函数的概念和性质及其应用. 教学难点：指数函数性质的归纳、概括及其应用. 课时安排 3课时教学过程第1课时指数函数及其性质(1)导入新课思路1.用清水漂洗衣服,若每次能洗去污垢的43,写出存留污垢y 与漂洗次数x 的关系式,它是函数关系式吗？若是,请计算若要使存留的污垢不超过原有的641,则至少要漂洗几次？教师引导学生分析,列出关系式y=(41)x ,发现这个关系式是个函数关系且它的自变量在指数的位置上,这样的函数叫指数函数,引出本节课题.思路2.教师复习提问指数幂的运算性质,并要求学生计算23,20,2-2,1641,2732,4921 .再提问怎样画函数的图象,学生思考,分组交流,写出自己的答案8,1, 41,2,9,71,先建立平面直角坐标系,再描点,最后连线.点出本节课题.思路3.在本章的开头,问题（2）中时间t 和碳14含量P 的对应关系P=［(21)57301］t ,如果我们用x 表示时间,y 表示碳14的含量,则上述关系可表示为y=［(21)57301］x ,这是我们习惯上的函数形式,像这种自变量在指数的位置上的函数,我们称为指数函数,下面我们给出指数函数的确切概念,从而引出课题. 推进新课新知探究提出问题1.一种放射性物质不断衰减为其他物质,每经过一年剩留量约是原来的84%,求出这种物质经过x 年后的剩留量y 与x 的关系式是_________.(y=0.84x )2.某种细胞分裂时,由一个分裂成两个,两个分裂成四个,四个分裂成十六个,依次类推,一个这样的细胞分裂x 次后,得到的细胞个数y 与x 的关系式是_________.(y=2x ) 提出问题(1)你能说出函数y=0.84x 与函数y=2x 的共同特征吗?(2)你是否能根据上面两个函数关系式给出一个一般性的概念? (3)为什么指数函数的概念中明确规定a>0,a≠1? (4)为什么指数函数的定义域是实数集?(5)如何根据指数函数的定义判断一个函数是否是一个指数函数？请你说出它的步骤. 活动：先让学生仔细观察,交流讨论,然后回答,教师提示点拨,及时鼓励表扬给出正确结论的学生,引导学生在不断探索中提高自己的应用知识的能力,教师巡视,个别辅导,针对学生共性的问题集中解决.问题(1)看这两个函数的共同特征,主要是看底数和自变量以及函数值. 问题(2)一般性的概念是指用字母表示不变化的量即常量. 问题(3)为了使运算有意义,同时也为了问题研究的必要性.问题(4)在(3)的规定下,我们可以把a x 看成一个幂值,一个正数的任何次幂都有意义.问题(5)使学生回想指数函数的定义,根据指数函数的定义判断一个函数是否是一个指数函数,紧扣指数函数的形式.讨论结果：(1)对于两个解析式我们看到每给自变量x 一个值,y 都有唯一确定的值和它对应,再就是它们的自变量x 都在指数的位置上,它们的底数都大于0,但一个大于1,一个小于1.0.84与2虽然不同,但它们是两个函数关系中的常量,因为变量只有x 和y.(2)对于两个解析式y=0.84x 和y=2x ,我们把两个函数关系中的常量用一个字母a 来表示,这样我们得到指数函数的定义:一般地,函数y=a x (a>0,a≠1)叫做指数函数,其中x 叫自变量,函数的定义域是实数集R. (3)a=0时,x>0时,a x 总为0;x≤0时,a x 没有意义.a<0时,如a=-2,x=21,a x =(-2)21=2-显然是没有意义的.a=1时,a x 恒等于1,没有研究的必要.因此规定a>0,a≠1.此解释只要能说明即可,不要深化.(4)因为a>0,x 可以取任意的实数,所以指数函数的定义域是实数集R.(5)判断一个函数是否是一个指数函数,一是看底数是否是一个常数,再就是看自变量是否是一个x 且在指数位置上,满足这两个条件的函数才是指数函数. 提出问题(1)前面我们学习函数的时候,根据什么思路研究函数的性质,对指数函数呢?(2)前面我们学习函数的时候,如何作函数的图象?说明它的步骤. (3)利用上面的步骤,作函数y=2x 的图象. (4)利用上面的步骤,作函数y=(21)x的图象. (5)观察上面两个函数的图象各有什么特点,再画几个类似的函数图象,看是否也有类似的特点?(6)根据上述几个函数图象的特点,你能归纳出指数函数的性质吗? (7)把y=2x 和y=(21)x的图象,放在同一坐标系中,你能发现这两个图象的关系吗? (8)你能证明上述结论吗? (9)能否用y=2x 的图象画y=(21)x的图象?请说明画法的理由. 活动：教师引导学生回顾需要研究的函数的那些性质,共同讨论研究指数函数的性质的方法,强调数形结合,强调函数图象在研究函数性质中的作用,注意从具体到一般的思想方法的运用,渗透概括能力的培养,进行课堂巡视,个别辅导,投影展示画得好的部分学生的图象,同时投影展示课本表21,22及图2.12,2.13及2.14,及时评价学生,补充学生回答中的不足.学生独立思考,提出研究指数函数性质的思路,独立画图,观察图象及表格,表述自己的发现,同学们相互交流,形成对指数函数性质的认识,推荐代表发表本组的集体的认识. 讨论结果：(1)我们研究函数时,根据图象研究函数的性质,由具体到一般,一般要考虑函数的定义域、值域、单调性、奇偶性,有时也通过画函数图象,从图象的变化情况来看函数的性质. (2)一般是列表,描点,连线,借助多媒体手段画出图象,用计算机作函数的图象. (3)列表. x -3.00-2.50 -2.00-1.50 -1.000.00 0.50 1.00 1.50 2.00 y=2x814121 124作图如图2-1-2-1图2-1-2-1x -2.50 -2.00-1.50 -1.000.00 1.00 1.50 2.00 2.50 y=(21)x4121 124图2-1-2-2(5)通过观察图2121,可知图象左右延伸,无止境说明定义域是实数.图象自左至右是上升的,说明是增函数,图象位于x 轴上方,说明值域大于0.图象经过点（0,1）,且y 值分布有以下特点,x<0时0<y<1,x>0时y>1.图象不关于x 轴对称,也不关于y 轴对称,说明函数既不是奇函数也不是偶函数.通过观察图2122,可知图象左右延伸,无止境说明定义域是实数.图象自左至右是下降的,说明是减函数,图象位于x 轴上方,说明值域大于0.图象经过点（0,1）,x<0时y>1,x>0时0<y<1.图象不关于x 轴对称,也不关于y 轴对称,说明函数既不是奇函数也不是偶函数. 可以再画下列函数的图象以作比较,y=3x ,y=6x ,y=(31)x ,y=(61)x .重新观察函数图象的特点,推广到一般的情形.（6）一般地,指数函数y=a x 在a>1和0<a<1的情况下,它的图象特征和函数性质如下表所示.图象特征函数性质 a ＞10＜a ＜1a ＞10＜a ＜1向x 轴正负方向无限延伸函数的定义域为R图象关于原点和y 轴不对称非奇非偶函数函数图象都在x 轴上方函数的值域为R +函数图象都过定点（0,1）a 0=1自左向右,图象逐渐上升自左向右,图象逐渐下降增函数减函数在第一象限内的图象纵坐标都大于1 在第一象限内的图象纵坐标都小于 1x ＞0,a x ＞1 x ＞0,a x ＜1 在第二象限内的图象纵坐标都小于1在第二象限内的图象纵坐标都大于1 x ＜0,a x ＜1x ＜0,a x ＞1 一般地,指数函数y=a x 在底数a ＞1及0＜a ＜1这两种情况下的图象和性质如下表所示：a ＞10＜a ＜1图象性质①定义域：R ②值域：（0,+∞）③过点（0,1）,即x=0时y=1④在R 上是增函数,当x ＜0时,0＜y ＜1;当x ＞0时,y ＞1④在R 上是减函数,当x ＜0时,y ＞1;当x ＞0时,0＜y ＜1（7）在同一坐标系中作出y=2x 和y=(2)x两个函数的图象,如图2-1-2-3.经过仔细研究发现,它们的图象关于y 轴对称.图2-1-2-3(8)证明:设点p(x 1,y 1)是y=2x 上的任意一点,它关于y 轴的对称点是p 1(-x 1,y 1),它满足方程y=(21)x =2-x ,即点p 1(-x 1,y 1)在y=(21)x 的图象上,反之亦然,所以y=2x 和y=(21)x 两个函数的图象关于y 轴对称. (9)因为y=2x 和y=(21)x两个函数的图象关于y 轴对称,所以可以先画其中一个函数的图象,利用轴对称的性质可以得到另一个函数的图象,同学们一定要掌握这种作图的方法,对以后的学习非常有好处. 应用示例思路1例1判断下列函数是否是一个指数函数？ y=x 2,y=8x ,y=2·4x ,y=(2a-1)x (a>21,a≠1),y=(-4)x ,y=πx ,y=6x 3+2. 活动：学生观察,小组讨论,尝试解决以上题目,学生紧扣指数函数的定义解题,因为y=x 2,y=2·4x ,y=6x 3+2都不符合y=a x 的形式,教师强调y=a x 的形式的重要性,即a 前面的系数为1,a 是一个正常数（也可是一个表示正常数的代数式）,指数必须是x 的形式或通过转化后能化为x 的形式. 解：y=8x ,y=(2a-1)x (a>21,a≠1),y=(-4)x ,y=πx 是指数函数;y=x 2,y=2·4x ,y=6x 3+2不是指数函数. 变式训练函数y=23x ,y=a x +k,y=a -x ,y=(a 2)-2x(a>0,a≠1)中是指数函数的有哪些? 答案：y=23x =(23)x ,y=a -x =(a 1)x ,y=(a 2)-2x=［(a2)-2］x 是指数函数.例2比较下列各题中的两个值的大小:（1）1.72.5与1.73;(2)0.8-0.1与0.8-0.2;(3)1.70.3与0.93.1. 活动：学生自己思考或讨论,回忆比较数的大小的方法,结合题目实际,选择合理的,再写出（最好用实物投影仪展示写得正确的答案）,比较数的大小,一是作差,看两个数差的符号,若为正,则前面的数大;二是作商,但必须是同号数,看商与1的大小,再决定两个数的大小;三是计算出每个数的值,再比较大小;四是利用图象;五是利用函数的单调性.教师在学生中巡视其他学生的解答,发现问题及时纠正并及时评价.解法一：用数形结合的方法,如第（1）小题,用图形计算器或计算机画出y=1.7x 的图象,如图2-1-2-4.图2-1-2-4在图象上找出横坐标分别为2.5、3的点,显然,图象上横坐标为3的点在横坐标为2.5的点的上方,所以1.72.5<1.73,同理0.8-0.1<0.8-0.2,1.70.3>0.93.1. 解法二：用计算器直接计算：1.72.5≈3.77,1.73≈4.91, 所以1.72.5<1.73.同理0.8-0.1<0.8-0.2,1.70.3>0.93.1. 解法三：利用函数单调性,①1.72.5与1.73的底数是1.7,它们可以看成函数y=1.7x ,当x=2.5和3时的函数值；因为1.7>1,所以函数y=1.7x 在R 上是增函数,而2.5<3,所以1.72.5<1.73；②0.8-0.1与0.8-0.2的底数是0.8,它们可以看成函数y=0.8x ,当x=-0.1和-0.2时的函数值；因为0<0.8<1,所以函数y=0.8x 在R 上是减函数,而-0.1>-0.2,所以0.8-0.1<0.8-0.2； ③因为1.70.3>1,0.93.1<1,所以1.70.3>0.93.1.点评：在第（3）小题中,可以用解法一、解法二解决,但解法三不适合.由于1.70.3与0.93.1不能直接看成某个函数的两个值,因此,在这两个数值间找到1,把这两数值分别与1比较大小,进而比较1.70.3与0.93.1的大小,这里的1是中间值. 思考在上面的解法中你认为哪种方法更实用? 活动：学生对上面的三种解法作比较,解题有法但无定法,我们要采取多种解法,在多种解法中选择最优解法,这要通过反复练习,强化来实现. 变式训练1.已知a=0.80.7,b=0.80.9,c=1.20.8,按大小顺序排列a,b,c.答案：b<a<c(a 、b 可利用指数函数的性质比较,而c 是大于1的). 2.比较a 31与a 21的大小（a ＞0且a≠0）.答案：分a ＞1和0<a<1两种情况讨论.当0<a<1时,a 31>a 21;当a>1时,a 31<a 21. 例3求下列函数的定义域和值域: (1)y=241-x ;(2)y=(32)||x -;(3)y=10112-+x x .活动：学生先思考,再回答,由于指数函数y=a x ,(a ＞0且a≠1)的定义域是R,所以这类类似指数函数的函数的定义域要借助指数函数的定义域来求,教师适时点拨和提示,求定义域,只需使指数有意义即可,转化为解不等式. 解：(1)令x-4≠0,则x≠4,所以函数y=241-x 的定义域是｛x ∈R ∣x≠4｝,又因为41-x ≠0,所以241-x ≠1,即函数y=241-x 的值域是｛y|y>0且y≠1｝.(2)因为-|x|≥0,所以只有x=0. 因此函数y=(32)||x -的定义域是｛x ∣x=0｝.而y=(32)||x -=(32)0=1,即函数y=(32)||x -的值域是｛y ∣y=1｝.(3)令12+x x ≥0,得12+x x ≥0,即11+-x x ≥0,解得x<-1或x≥1, 因此函数y=10112-+x x 的定义域是｛x ∣x<-1或x≥1｝.由于12+x x -1≥0,且12+x x≠2,所以112-+x x ≥0且112-+x x ≠1. 故函数y=10112-+x x的值域是｛y ∣y≥1,y≠10｝.点评：求与指数函数有关的定义域和值域时,要注意到充分考虑并利用指数函数本身的要求,并利用好指数函数的单调性,特别是第(1)题千万不能漏掉y>0. 变式训练求下列函数的定义域和值域:(1)y=(21)22x x -;(2)y=91312--x ;(3)y=a x -1(a>0,a≠1). 答案：(1)函数y=(21)22x x -的定义域是R ,值域是［21,+∞）;(2)函数y=91312--x 的定义域是［21-,+∞）,值域是［0,+∞）;(3)当a>1时,定义域是{x|x≥0},当0<a<1时,定义域是{x|x≤0},值域是［0,+∞）.思路2例1一种放射性物质不断衰减为其他物质,每经过一年剩留量约是原来的84%,求出这种物质的剩留量随时间（年）变化的函数关系式,作出它的图象,并从图象上求出经过多少年剩留量是原来的一半？（结果保留一个有效数字）活动：师生共同分析,先求出解析式,列出数值对应表,再描点,画出图象后,利用图象求解,由学生回答,学生有困难,教师可以提示,仔细审题,利用代数式分别表示出经过1年,2年,3年…,的剩留量,归纳出关系式,取几个关键点,作出函数图象,在纵轴上取表示0.5的点,作纵轴的垂线交图象于一点,过这一点作横轴的垂线,横轴与垂线交点的横坐标即为所求的年数. 解：设最初的质量为1,时间用变量x 表示,剩留量用y 表示,则经过1年,y=1×84%=0.841；经2x *x 0 1 2 3 4 5 6 y10.840.710.590.500.420.35图2-1-2-5答：约经过4年,剩留量是原来的一半.点评：实际问题中要注意自变量的取值范围. 例2比较下列两个数的大小:(1)30.8,30.7;(2)0.75-0.1,0.750.1;(3)1.80.6,0.81.6;(4)(31)32-,253-.活动：教师提示学生指数函数的性质,根据学生的解题情况及时评价学生. 解法一：直接用科学计算器计算各数的值,再对两个数进行大小的比较: 对(1)因为30.8=2.408225,30.7=2.157669,所以30.8>30.7;对(2)因为0.75-0.1=1.029186,0.750.1=0.971642,所以0.75-0.1>0.750.1; 对(3)因为1.80.6=1.422864,0.81.6=0.699752,所以1.80.6>0.81.6;对(4)因为(31)32-=2.080084,253-=0.659754,所以(31)32->253-.解法二：利用指数函数的性质对两个数进行大小的比较:对(1)因为函数y=3x 在R 上是增函数,0.8＞0.7,所以30.8>30.7;对(2)因为函数y=0.75x 在R 上是减函数,0.1＞-0.1,所以0.75-0.1>0.750.1; 对(3)由指数函数的性质知1.80.6>1.80=1=0.80>0.81.6,所以1.80.6>0.81.6;对(4)由指数函数的性质知(31)32->(31)0=1=20>253-,所以(31)32->253-.解法三:利用图象法来解,具体解法略.点评：在利用指数函数的性质对两个数进行大小比较时,首先把这两个数看作指数函数的两个函数值,利用指数函数的单调性比较.若两个数不是同一函数的两个函数值,则寻求一个中间量,两个数都与这个中间量进行比较,这是常用的比较数的大小的方法,然后得两个数的大小,数学上称这种方法为“中间量法”. 变式训练比较1-n n a 与n n a 1+(a>0,a≠1,n ∈N *,n>2)的大小关系. 解：因为1-n na =a1-n n ,n n a1+=a1+n n ,而n ∈N *，n>2,所以n n n n 11+--=)1(1-n n >0,即nn n n 11+>-. 因此：当a>1时a 1-n n >a1+n n ，即1-n n a >n n a1+；当0<a<1时a1-n n <a1+n n ,即1-n n a <n n a 1+.知能训练课本P 58练习 1、2. 【补充练习】1.下列关系中正确的是( )A.(21)32<(51)12<(21)31B.(21)31<(21)32<(51)32C.(51)32<(21)31<(21)32D.(51)32<(21)32<(21)31答案：D2.函数y=a x (a>0,a≠1)对任意的实数x,y 都有( ) A.f(xy)=f(x)·f(y) B.f(xy)=f(x)+f(y) C.f(x+y)=f(x)·f(y) D.f(x+y)=f(x)+f(y) 答案：C3.函数y=a x +5+1(a>0,a≠1)恒过定点________. 答案：（-5,2）拓展提升探究一：在同一坐标系中作出函数y=2x,y=3x,y=10x的图象,比较这三个函数增长的快慢.活动：学生深刻回顾作函数图象的方法,交流作图的体会.列表、描点、连线,作出函数x x xx -2 -1 0 1 2 3 10y=2x0.25 0.5 1 2 4 8 1024y=3x0.11 0.33 1 3 9 27 59049y=10x0.01 0.1 1 10 100 1000 1010图2-1-2-6从表格或图象可以看出:(1)x<0时,有2x>3x>10x;(2)x>0时,有2x<3x<10x;(3)当x从0增长到10,函数y=2x的值从1增加到1 024,而函数y=3x的值从1增加到59 049.这说明x>0时y=3x比y=2x的函数值增长得快.同理y=10x比y=3x的函数值增长得快.因此得：一般地,a>b>1时,(1)x<0时,有a x0时,有a x>b x>1;(4)指数函数的底数越大,x>0时其函数值增长就越快.探究二：分别画出底数为0.2、0.3、0.5的指数函数的图象(图2-1-2-7),对照底数为2、3、5的指数函数的图象,研究指数函数y=a x(0<a<1)中a对函数的图象变化的影响.图2-1-2-7由此得：一般地,0<a<b<1时,(1)x>0时,有a xb x>1;(4)指数函数的底数越小,x>0时,其函数值减少就越快.课堂小结1.指数函数的定义.2.指数函数的图象和性质.3.利用函数的图象说出函数的性质,即数形结合的思想(方法),它是一种非常重要的数学思想和研究方法.4.利用指数函数的单调性比较几个数的大小,特别是中间变量法.作业课本P59习题2.1A组5、6、8、10.设计感想本节课是在前面研究了函数性质的基础上,研究具体的初等函数,它是重要的初等函数,它有着丰富的内涵,且和我们的实际生活联系密切,也是以后学习对数函数的基础,在指数函数的概念讲解过程中,既要向学生说明定义域是什么,又要向学生交代，为什么规定底数a是大于0而不等于1的,本节内容课堂容量大,要提高课堂的效率和节奏,多运用信息化的教学手段,顺利完成本堂课的任务.。

人教版高中数学必修一《指数函数及其性质》教案

指数函数及其性质教案一、教学目的1、使学生掌握指数函数的概念、图象和性质；能初步简单应用。

2、使学生理解数形结合的基本数学思想方法，培养学生观察、联想、类比、猜测、归纳的能力。

3、使学生体验从特殊到一般的学习规律，认识事物之间的普遍联系与相互转化，培养学生用联系的观点看问题。

4、通过教学互动促进师生情感，激发学生的学习兴趣，提高学生抽象、概括、分析、综合的能力。

二、教学重点、难点教学重点：指数函数的定义、图象、性质.教学难点：指数函数的定义理解，指数函数的图象特征及指数函数性质的归纳、概括。

三、教具、学具准备：多媒体课件：使用多媒体教学手段，增大教学容量和直观性，提高教学效率与质量。

四、教学方法遵循“以学生为主体、教师是数学课堂活动的组织者、引导者和参与者”的现代教育原则。

依据本节为概念学习的特点，探究发现式教学法、类比学习法，并利用多媒体辅助教学，以问题的提出、问题的解决为主线，始终在学生知识的“最近发展区”设置问题，倡导学生主动参与，通过不断探究、发现，在师生互动、生生互动中，让学习过程成为学生心灵愉悦的主动认知过程。

五、学法指导1.再现原有认知结构。

在引入两个实例后，请学生回忆有关指数的概念，帮助学生再现原有认知结构，为理解指数函数的概念做好准备。

2.领会常见数学思想方法。

在借助图象研究指数函数的性质时会遇到分类讨论、数形结合等基本数学思想方法，这些方法将会贯穿整个高中的数学学习。

3.在互相交流和自主探究中获得发展。

在实例的课堂导入、指数函数的性质研究、例题与训练、课内小结等教学环节中都安排了学生的讨论、分组、交流等活动，让学生变被动的接受和记忆知识为在合作学习的乐趣中主动地建构新知识的框架和体系，从而完成知识的内化过程。

4.注意学习过程的循序渐进。

在概念、图象、性质、应用的过程中按照先易后难的顺序层层递进，让学生感到有挑战、有收获，跳一跳，够得着，不同难度的题目设计将尽可能照顾到课堂学生的个体差异。

指数函数及其性质第一课时教学设计

《指数函数及其性质》（第一课时）教学设计教材版本：人教A版授课时间：11月21日【授课内容】人教A版必修一P54-57页，指数函数及其性质一、教材、学情分析本节课是（人教A版必修1）《指数函数及其性质》的第一课时，指数函数是重要的基本初等函数之一，它不仅是今后学习对数函数和幂函数的基础，同时其在生活和生产实际中的应用十分广泛，所以指数函数不仅是教学的重点，同时也是学生体会数学之美和数学在实际生活中的意义的重要课程.初中阶段学生通过对一次函数、二次函数、反比例函数的学习，对函数已经有了一些感性的认知，并初步了解了通过图像研究函数性质的基本方法，在本书第一节学生又系统学习了函数概念，加深了对函数性质的理解，在此基础上本节课第一次对一个函数进行全面、系统的研究，学生有一些基本的思路但尚需教师具体合作引导.1.教学目标：（1）.通过具体实例，经过合作交流活动得到指数函数的概念，由学生自主归纳总结并对指数函数的概念进行分析；（2）.借助图形计算器画出具体指数函数的图象，探索、归纳、猜想指数函数的单调性与特殊点；（3）.学生在数学活动中感受数学思想之美、体会数学方法之重要，培养学生主动学习、合作交流的集体意识.2.教学重难点与突破方式教学重点：指数函数的概念的产生过程；教学难点：用数形结合的方法，从具体到一般地探索概括指数函数性质；突破方式：采用初中研究函数的列表法、图象法与图形计算器的实际操作相结合，让学生从不同的角度去研究指数函数，对其有一个全方位的认识，从而达到知识的迁移运用；在教学过程中通过自主探究、合作交流，培养学生“体会－总结－反思”的数学思维习惯，提高数学素养，激发学生勇于探索的精神.3.教学方法讲练结合法；合作学习和探究教学法.4.多媒体手段PPT、投影仪、图形计算器、几何画板二、教学过程1、创设情境，归纳概念问题情境1：细胞分裂的实际模型师：看了实际模型，能用分裂次数表示每次分裂之后的细胞个数吗？并完成下表问题情境2：名言警句“一尺之棰，日取其半，万世不竭”.师：看了实际模型，能用分裂次数表示每次分裂之后的细胞个数吗？并完成下表【学生回答，教师评价引导，重点提醒学生探究发现由特殊到一般时不要急于算出结果，重视刻画两个变量之间的对应关系】引入：比较2x y = 与12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭这两个解析式的共同特征，类比、归纳指数函数的概念. PPT 展示概念思考：通过上一节的学习我们知道，当指数推到有理数时，底数 a ＞0才能保证有意义，底数函数概念中为什么要规定 a 不等于1呢?学生小组合作后回答，教师评价引导，类比、归纳指数函数的概念，探究出指数函数中底数的限制条件，从而加深对概念的理解PPT 展示辨析题学生回答，教师评价引导，加深认知【设计意图：通过小组间相互PK 的教学活动，激发学生探求新知的主动性；教师在小组讨论交流中发现学生的优点并予以表扬，在学生总结归纳概念的过程中对学生加以肯定，培养学生的观察能力、表达能力和归纳能力.】分裂次数x 1 2 3 4 … 细胞个数y 截取次数x 1 2 3 4 … 剩余长度y2、发现问题，探求新知师：请回顾研究初等函数性质的基本方法和步骤？学生回答，教师评价引导师：心动不如行动，分组（四人一组）在坐标纸与图形计算器上画出课件展示的四个函数图象，并观察所作出的函数图象，小组讨论总结特征.【让每个小组分工明确，一方面用最基本的列表、描点、连线画出图象研究指数函数，另一方面借助图形计算器的操作直接绘制出上例中的四个指数函数图象，并让学生上台展示成果.通过组内交流归纳指数函数图象特点，由此得到指数函数性质，从而解决提出的第三个问题】教师课件展示集体研究成果【设计意图：通过合作学习不仅体现学生的主体地位，而且可以让学生在探索过程中体会到利用数形结合这一思想方法，借助图象分析问题，同时感受到从具体到一般的思想方法的应用，渗透概括能力的培养.】3、随堂练习、巩固提高师：课件展示例题请学生黑板做题，教师巡视指导评价，并板演示范【设计意图：利用新知解决刚才的实际问题，不仅达到学以致用的效果，同时进一步巩固所学知识，也有助于学生掌握逻辑推理的方法】4、师生交流，总结升华学生2分钟的小组交流，然后谈谈这节课的收获师：有哪组同学展示下成果？学生作答，教师鼓励其他同学补充并形成一致认知，PPT 展示思考：计算3651.01 与3650.99的大小，你能联想出什么生活哲理？学生作答，教师鼓励引导，形成共识希望学生们通过这节课的学习，不仅充分认识指数函数及其性质，而且学习到了要珍惜时间，注意积累，积少成多的观念.【设计意图：培养学生及时复习的习惯.小结的形式符合学生的认知规律，能优化认知结构】5、作业布置:教材P59 A组第5题（1）、（4）；第7题（1）、（2）、（4）；第8题（1）、（4）6、板书设计。

指数函数教案第一课时

2．1.2指数函数及其性质(第一课时)一、教学目标：知识与技能：理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象和性质，培养学生实际应用函数的能力.过程与方法：通过观察图象，分析、归纳、总结、自主建构指数函数的性质.领会数形结合的数学思想方法，培养学生发现、分析、解决问题的能力.情感态度与价值观：在指数函数的学习过程中,体验数学的科学价值和应用价值,培养学生善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度.二、教学重点、难点：教学重点：指数函数的概念、图象和性质.教学难点：对底数的分类，如何由图象、解析式归纳指数函数的性质.三、教学过程：课前回顾：将指数运算推广到R上.（一）创设情景问题1：素描纸整张的原纸称为“全开”，对折1次并裁开，就称为2张“对开”的纸张；同理，对折2次并裁开，就变成了4张“4开”的纸张，也就是我们通常美术课用到的纸；对折3次并裁开，就变成了8张“8开”的纸……设对折次数为x，得到纸的张数y与x构成一个函数关系，你能写出x与y之间的函数关系式吗？学生回答: y与x之间的关系式,可以表示为y＝2x（）.师：引导学生得到结论，并将数值写成表格形式.问题2：若记全开纸张的面积为1个单位，对折1次得到的对开的纸张面积就为，对折2次得到的纸张面积为.设对折次数为x，得到纸的面积y 与x构成一个函数关系，你能写出x与y之间的函数关系式吗？学生回答: y与x之间的关系式,可以表示为（）.师：引导学生得出结论，并把表格并列的写在问题1的表格下面.设计意图：用学生熟悉的例子，引出两个函数关系式，并且把后面做图要用到的表格提前做好.（二）引出定义观察上面得到的两个函数关系之间的共同点，发现自变量x都在指数位置上，这不同于我们初中曾经学习过的任何一种函数，根据这种函数的特点，我们称之为指数函数.在上一节中，我们把指数的取值范围推广到了全体实数，所以，我们将指数函数的自变量也定义在R上.于是有：一般地，函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.现在同学们思考一下，要使得定义域满足R，底数要有什么样的要求？(1)若<0会有什么问题？（如则在实数范围内相应的函数值不存在）(2)若=0会有什么问题？（对于,无意义）(3)若=1又会怎么样？（1x无论x取何值,它总是1,对它没有研究的必要.）师：为了避免上述各种情况的发生,所以规定且 .一般地，函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是.练1：指出下列函数那些是指数函数：并求出（5）（6）的定义域.【可以结合优化设计P32左下角例1、右上角例2】练2：若函数是指数函数，则=？（三）探究性质1、提出2个问题①目前研究函数一般可以包括哪些方面？设计意图：让学生在研究指数函数时有明确的目标：函数三要素（对应法则、定义域、值域）和函数的基本性质（单调性、奇偶性、最值）.②研究函数可以用什么方法、什么角度研究？可以从图象和解析式这两个不同的角度进行研究；可以从具体函数入手（即底数取一些数值）；当然也可以用列表法研究函数，只是我们今天所学的函数用列表法不易得出此函数的性质，可见具体问题要选择适当的方法来研究才能事半功倍.设计意图:对学生进行数学方法（从一般到特殊再到一般、数形结合、分类讨论）的有机渗透.2、在同一坐标系中画出指数函数与的图象（画图步骤：列表、描点、连线），让学生感受描点的过程.………………思考：函数图象有什么关系？可否利用图象画出的图像？学生猜想.老师用几何画板展示、的图像.带领学生对这个猜想进行代数证明.点（x,y ）与点(-x,y )关于y 轴对称，所以，上任意一点P (x,y )关于y 轴的对称点P 1(-x,y )都在的图像上.同时提醒学生这个性质和偶函数的性质区分开，偶函数指的是同一个函数的不同区间的性质，而这个性质针对的是两个函数.3、结合图像，分两类讨论指数函数的性质.图象性质函数的定义域为R 非奇非偶函数函数的值域为过定点（0，1），即x =0时,y =1在R 上增函数在R 上减函数y=a x(a >1)y =1xyy=a x(0<a <1)y=1yxO（四）巩固练习例1：比较下列各题中两值的大小教师引导学生观察这些指数值的特征，思考比较大小的方法（结合图像）.设计意图：这是指数函数性质的简单应用，使学生在解题过程中加深对指数函数的图像及性质的理解和记忆.（五）课堂小结本节课主要内容：指数函数的定义指数函数的图象和性质数形结合、分类讨论等数学思想设计意图：让学生在小结中明确本节课的学习内容，强化本节课的学习重点，并为后续学习打下基础.（六）课后作业习题1.2 A 5、7、8思考：比较和的大小.补充：用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的，写出存留污垢与漂洗次数的函数关系式，若要使存留的污垢，不超过原有的1%，则至少要漂洗几次（此题为人教社B版101页第6题）.（七）、板书设计屏幕投影 2.1.2 指数函数及其性质定义指数函数x是自变量，函数的定义域是.指数型函数表格对称性的证明学生练习。

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2.1.1（1）指数函数及性质（教案）
邢蕾
一、教学目标
1. 理解指数函数的定义,初步掌握指数函数的图象,性质及其简单应用.
2. 通过指数函数的图象和性质的学习,培养学生观察,分析,归纳的能力,进一步体会数形结合的思想方法.
3. 通过对指数函数的研究,使学生能把握函数研究的基本方法,激发学生的学习兴趣.
二、教学重点和难点
重点是理解指数函数的定义,把握图象和性质.
难点是认识底数对函数值影响的认识.
三、教学过程
一、新课引入
有一天，小明去公司应聘，试用期十天，老板说：一天给10元。

小明说：要不这样吧，你第一天给我两角，第二天给我两角的二次方，第三天给我两角的三次方，以此类推，到第十天。

老板犹豫了一下同意了。

请同学们一次写出这十天内小明每天获得的报酬。

在以上实例中我们可以看到这个函数与我们前面研究的函数有所区别,从形式上幂的形式,且自变量均在指数的位置上,那么就把形如这样的函数称为指数函数.
二、师生互动，新课讲解：
1.定义:形如的函数称为指数函数.
2.几点说明
(1) 关于对的规定:
教师首先提出问题:为什么要规定底数大于0且不等于1呢?(若学生感到有困难,可将问
题分解为若会有什么问题?如 ,此时 , 等在实数范围内相应的函
数值不存在.
若x a 对于
都无意义,若则无论取何值,它总是1,对它没有研究的
必要.为了避免上述各种情况的发生,所以规定
且
.
(2)关于指数函数的定义域
教师引导学生回顾指数范围,发现指数可以取有理数.此时教师可指出,其实当指数为无
理数时,
也是一个确定的实数,对于无理指数幂,学过的有理指数幂的性质和运算法则它
都适用,所以将指数范围扩充为实数范围,所以指数函数的定义域为 .扩充的另一个原因
是因为使它更具代表更有应用价值.
(3)关于是否是指数函数的判断
指数函数的定义是形式定义,就必须在形式上一模一样才行，三点：系数为一，底数为常数，指数是自变量
学生课堂练习1：根据指数函数的定义判断下面函数是否是指数函数.
(1)
, (2)
, (3)
32x y =
(4)32x y ∙=, (5) .
解：指出只有(1)和(3)是指数函数 ,
然后把问题引向深入,有了定义域和初步研究的函数的性质,此时研究的关键在于画出它的图象,再细致归纳性质.
3.归纳性质
（1）在同一坐标系中分别作出函数y=x
2，y=x
⎪⎭
⎫ ⎝⎛21的图象.
列表如下：
（2）一般地，指数函数(0,1)x
y a a a =>≠且的图象和性质如下表所示．
（3）指数函数的图象的特征与性质
例1 已知指数函数(0,1)x
y a a a =>≠且的图象经过点（3，π），求)0(f ，)1(f ，)3(-f 的值．
例2：比较下列各题中两个值的大小：（1）35
.27.1,7
.1 （2）2.01.08.0,8.0-- （3）1.70.3，0.93.1
解：利用函数单调性
①5.27.1与37.1的底数是1.7，它们可以看成函数 y=x 7.1，当x=1.7和3时的函数值；
因为1.7>1，所以函数y=x 7.1在R 是增函数，而2.5<3，所以，5.27.1<37.1；
②1.08.0-与2.08.0-的底数是0.8，它们可以看成函数 y=x 8.0，当x=-0.1和-0.2时的函数值；因为0<0.8<1，所以函数y=x 8.0在R 是减函数，而-0.1>-0.2，所以，1.08.0-<2.08.0-；
③在下面个数之间的横线上填上适当的不等号或等号：3.07.1>1；1.39.0<1；3.07.1>1.39.0 小结：对同底数幂大小的比较用的是指数函数的单调性，必须要明确所给的两个值是哪个指数函数的两个函数值；对不同底数是幂的大小的比较可以与中间值进行比较.
三、课堂小结，巩固反思：
1、理解并掌握指数函数的图像与性质。

2、会根据指数函数的单调性比较两个数（式）的大小。

四、布置作业：。