中考数学二轮复习习题解析版专题2方程组与不等式组
初三数学方程组与不等式组试题答案及解析
初三数学方程组与不等式组试题答案及解析1.方程组的实数解个数为A．0B．1C．2D．4【答案】A【解析】解：第二个方程整理得：，把第一个方程代入得到：，∴x=y=0而x=y=0又不满足第一个方程．故原方程组无解．故选A。
2. 8与12的最大公因数是_______________.【答案】4【解析】分析：根据题意先求出8和12的因数，然后从这些因数中找出它们的最大公因数．解：8的因数有：1、2、4、8；12的因数有：1、2、3、4、6、12；∴8与12的最大公因数是4，故答案为4．3.在中央电视台2套“开心辞典”节目中，有一期的某道题目是：如图所示，天平中放有苹果、香蕉、砝码，且两个天平都平衡，则一个苹果的重量是一个香蕉的重量的（）A．倍B．倍C．倍D．倍【答案】B【解析】设一个苹果的重量为x、一个香蕉的重量为y、一个砝码的重量为z，先用含z的代数式表示x，y，即解关于x，y的方程组，再求即可．解：设一个苹果的重量为x、一个香蕉的重量为y、一个砝码的重量为z，由题意得，解得x=2z，y=z，故=故选B．本题先通过解三元一次方程组，求得用z表示的x，y的值后而求解．4.已知456456=23´a´7´11´13´b，其中a、b均为质数。
若b>a，则b-a之值为何？A．12B．14C．16D．18【答案】C【解析】5.飞行中的炮弹经x秒后的高度为y米，且高度与时间的关系为y=ax2+bx+c（a≠0），若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则炮弹在最高处的时间是第秒．【答案】10.5【解析】依据题意可知当t=7,14时高度相等，则根据抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），的轴对称性可知其对称轴为直线且实际问题（飞行中的炮弹）a<0故当x=10.5时即抛物线最高，故填10.56.不等式的解集为（）A．B．C．D．【答案】B．【解析】根据解一元一次不等式的步骤进行求解即可．试题解析：∵2x-4＞0，∴2x＞4，∴x＞2，故选B．【考点】解一元一次不等式．7.对于实数a、b，定义一种新运算“”为：a b=，这里等式右边是通常的四则运算．例如：13=．（1）解方程；（2）若,均为自然数，且满足等式，求满足条件的所有数对（,）．【答案】x=；（3,4）（5,3）（7,2）（9,1）（11,0）．【解析】首先根据题意列出分式方向，然后进行求解；根据题意得出二元一次方程组，然后根据解的特殊性得出方程组的解．试题解析：（1）根据题意，得即：解得：经检验，是原方程的解且符合题意，∴原方程的解为．（2），∴即：∵,均为自然数，∴或或或或或，经检验，不是原方程的解，∴满足条件的所有数对（x,y）为（3,4）（5,3）（7,2）（9,1）（11,0），共五对．【考点】新定义、分式方程、二元一次方程组．8.（2015山东省德州市，8，3分）下列命题中，真命题的个数是（）①若-1<x< -，则-2<<-1；②若-1≤x≤2，则1≤x2≤4；③凸多边形的外角和为360°；④三角形中，若∠A+∠B=90°，则sinA=cosB．A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【解析】①③④正确，当x取0与-1之间的数时，结论错误，②不正确，故选B．【考点】解不等式；多边形的内角和；锐角三角函数间的关系．9.某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同，设原计划平均每天生产x台机器，根据题意，下面所列方程正确的是（）A．B．C．D．【答案】A．【解析】根据现在生产600台机器的时间与原计划生产450台机器的时间相同，所以可得等量关系为：现在生产600台机器时间=原计划生产450台时间．试题解析：设原计划每天生产x台机器，则现在可生产（x+50）台．依题意得：故选A．【考点】由实际问题抽象出分式方程．10.（本题满分10分）某工厂生产的某种产品按质量分为8个等级，第1等级（最低等级）的产品一天能生产85件，每件利润8元．每提高一个等级，每件利润增加2元，但一天产量减少5件．（1）若生产第x等级的产品一天的总利润为y元（其中x为正整数，且1≤x≤8），求出y关于x的函数关系式；（2）若生产第x等级的产品一天的总利润为900元，求该产品的质量等级．【答案】（1）y＝－10x2＋150x＋540（其中x是正整数，且1≤x≤8）；（2）第3等级．【解析】（1）根据总利润y=每件的利润×件数，即可求出y与x的函数关系式；（2）令y=900，然后解方程即可．试题解析：解：（1）∵第一等级的产品一天能生产85件，每件利润8元，每提高一个等级，每件利润加2元，但一天生产量减少5件．∴第x等级，提高的等级是x－1．∴y＝[8＋2（x－1）][85－5（x－1）]，即y＝－10x2＋150x＋540（其中x是正整数，且1≤x≤8）；（2）由题意可得：―10x2＋150x＋540＝900整理得：x2―15x＋36＝0解得：x1＝3，x2＝12（舍去）．答：该产品的质量等级为第3等级．【考点】1．函数的应用；2．函数与方程．11.设a，b，c，d为实数，现规定一种新的运算=ad-bc，则满足等式=1的x的值为．【答案】-10【解析】根据题中的新定义化简已知方程，求出方程的解即可得到x的值．试题解析：根据题中的新定义得：去分母得：3x-4x-4=6，移项合并得：-x=10，解得：x=-10【考点】解一元一次方程．12.（8分）（2015•佛山）某景点的门票价格如表：某校七年级（1）、（2）两班计划去游览该景点，其中（1）班人数少于50人，（2）班人数多于50人且少于100人，如果两班都以班为单位单独购票，则一共支付1118元；如果两班联合起来作为一个团体购票，则只需花费816元．（1）两个班各有多少名学生？（2）团体购票与单独购票相比较，两个班各节约了多少钱？【答案】（1）七年级（1）班有49人、七年级（2）班有53人；（2）196元，106元．【解析】（1）设七年级（1）班有x人、七年级（2）班有y人，根据如果两班都以班为单位单独购票，则一共支付1118元；如果两班联合起来作为一个团体购票，则只需花费816元建立方程组求出其解即可；（2）用一张票节省的费用×该班人数即可求解．试题解析：解：（1）设七年级（1）班有x人、七年级（2）班有y人，由题意，得，解得：．答：七年级（1）班有49人、七年级（2）班有53人；（2）七年级（1）班节省的费用为：（12﹣8）×49=196元，七年级（2）班节省的费用为：（12﹣10）×53=106元．【考点】一元一次方程的应用13.（6分）在上信息技术课时，张老师布置了一个练习计算机打字速度的学习任务，过了一段时间，张老师发现小聪打一篇1000字的文章与小明打一篇900字的文章所用的时间相同．已知小聪每分钟比小明每分钟多打5个字，请你求出小聪、小明两人每分钟各打多少个字？【答案】小聪每分钟打50个字，小明每分钟打45个字．【解析】设小明每分钟打x个字，则小聪每分钟打（x+5）个字，然后根据等量关系：小聪打一篇1000字的文章与小明打一篇900字的文章所用的时间相同，列分式方程可解决问题；（也可以列方程组解决问题）试题解析：解：设小明每分钟打x个字，则小聪每分钟打（x+5）个字，由题意得=，解得：x=45，经检验：x=45是原方程的解．答：小聪每分钟打50个字，小明每分钟打45个字．【考点】分式方程的应用．14.阅读材料：用配方法求最值．已知，为非负实数，，，当且仅当“”时，等号成立．示例：当时，求的最小值．解：，当，即时，的最小值为6．（1）尝试：当时，求的最小值．（2）问题解决：随着人们生活水平的快速提高，小轿车已成为越来越多家庭的交通工具，假设某种小轿车的购车费用为10万元，每年应缴保险费等各类费用共计0.4万元，年的保养、维护费用总和为万元．问这种小轿车使用多少年报废最合算（即：使用多少年的年平均费用最少，年平均费用=）？最少年平均费用为多少万元？【答案】（1）3；（2）10，2.5．【解析】（1）首先根据，可得，然后应用配方法，即可求出答案．（2）首先根据题意，求出年平均费用，然后应用配方法，求出这种小轿车使用多少年报废最合算，以及最少年平均费用为多少万元即可．试题解析：（1）=≥=3，∴当，即x=1时，y的最小值为3；（2）年平均费用==≥=2+0.5=2.5，∴当，即n=10时，最少年平均费用为2.5万元．【考点】1．配方法的应用；2．阅读型；3．最值问题；4．综合题．15.（10分）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6080元的利润，应将销售单价定为多少元？【答案】56．【解析】设降价x元，表示出售价和销售量，根据题意列出方程求解即可．试题解析：降价x元，则售价为（60﹣x）元，销售量为（300+20x）件，根据题意得，（60﹣x﹣40）（300+20x）=6080，解得x=1或x=4，又顾客得实惠，故取x=4，应定价为56元，答：应将销售单价定位56元．【考点】1．一元二次方程的应用；2．销售问题．16.（3分）某校要组织一次乒乓球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排2天，每天安排5场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的方程为．【答案】．【解析】每支球队都需要与其他球队赛（x﹣1）场，但2队之间只有1场比赛，所以可列方程为：．故答案为：．【考点】1．由实际问题抽象出一元二次方程；2．增长率问题．17.（5分）已知实数a，b是方程的两根，求的值．【答案】﹣3．【解析】由根与系数的关系得到，，再利用完全平方公式变形得到，然后利用整体代入的方法进行计算．试题解析：∵实数a，b是方程的两根，∴，，∴===﹣3．【考点】根与系数的关系．18.2015年1月20日遵义市政府工作报告公布：2013年全市生产总值约为1585亿元，经过连续两年增长后，预计2015年将达到2180亿元．设平均每年增长的百分率为，可列方程为．【答案】．【解析】2014年的生产总值为1585（1+x）亿元，则2015年的生产总值为=，可得方程为．故答案为：．【考点】一元二次方程的应用．19.方程x2-3x=0的根为．【答案】x1=0，x2=3．【解析】因式分解得，x（x-3）=0，解得，x1=0，x2=3．【考点】解一元二次方程-因式分解法．20.某商场购进一品服装，每件进价为200元，由于换季滞销，商场决定将这种服装按标价的六折销售，若打折后每件服装仍能获利20%，则该服装的标价是元.【答案】400.【解析】设该服装的标价为x元，由题意得，0.6x-200=200×20%，解得：x=400．【考点】1.分式方程的应用；2.一元一次方程的应用．21.不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】此题考查了一元一次不等式组的解法和在数轴上表示不等式的解集，掌握不等式的解集在数轴上表示出来的方法：“＞”空心圆点向右画折线，“≥”实心圆点向右画折线，“＜”空心圆点向左画折线，“≤”实心圆点向左画折线是解题的关键.由①得：x≤1，由②得：x＞﹣3，则不等式组的解集是﹣3＜x≤1.【考点】在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组22.计算：；（2））解不等式组，并写出它的非负整数解．【答案】（1）7；（2），非负整数解为0，1，2，3【解析】（1）利用乘方的意义、绝对值的意义、二次根式的性质、特殊角的三角函数值分别运算，即可求得计算结果；（2）先求出不等式组的解集，然后在解集中求出非负整数即可．试题解析：（1）原式==7；（2）解不等式组，得，所以它的非负整数解为0，1，2，3．【考点】1．实数的运算；2．解一元一次不等式组；3．一元一次不等式组的整数解；4．特殊角的三角函数值．23.求不等式组的正整数解．【答案】1、2、3、4．【解析】先求出不等式组的解集，再从不等式组的解集中找出适合条件的正整数即可．试题解析：解不等式2x+1＞0，得：x＞-，解不等式x＞2x-5，得：x＜5，∴不等式组的解集为-＜x＜5，∵x是正整数，∴x=1、2、3、4．【考点】一元一次不等式组的整数解．24.（8分）已知关于x的方程（1）若该方程的一个根为，求的值及该方程的另一根；（2）求证：不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．【答案】（1）m=1；0 （2）见解析【解析】（1）把根代入方程可求得m，解方程或用根与系数的关系可求得另一根；（2）求方程的根的判别式，从判别式求证结果.试题解析：解：（1）将代入方程得，，解得；方程为，即另一根为0．（2）∵△=，∴不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．【考点】一元二次方程的根与系数的关系，根的判别式25.已知方程的一个根是1，则m的值是______,它的另一个根是________。
中考二轮专题复习试卷：方程组和不等式组含答案.docx
2014 年中考数学二轮专题复习试卷：方程组和不等式组一、选择题 ( 本大题共15 个小题，每小题 3 分 , 共 45 分)x 11. （ 2013 湖南张家界）把不等式组的解集在数轴上表示正确的是( ) 2x 152. （ 2013 四川雅安）已知x1， x2是一元二次方程x2-2x=0 的两根，则x1+x2的值是 ( )A． 0B．2C．-2D．4a2b4 3.(2012 山东德州 ) 已知2b ，则 a+b 等于 ( )3a88A.3B.C.2D.134.（ 2013 广东湛江）由于受 H7N9禽流感的影响，今年 4 月份鸡的价格两次大幅下降，由原来每斤 12 元连续两次降价a%后售价下调到每斤 5 元，下列所列方程中正确的是 ( )A． 12（ 1+a%）2=5B． 12（ 1-a%）2=5C． 12（ 1-2a%） =5D． 12（ 1-a2%） =55.(2012湖北随州 ) 分式方程10060的解是 ( )20 v20vA.v=-20B.v=5C.v=-5D.v=206.(2012山东东营 ) 方程(k1)x21kx10 有两个实数根，则k 的取值范围是4( )A.k ≥ 1B.k≤1C.k＞ 1D.k＜ 17. （2013 山东烟台）已知实数a，b 分别满足 a2 -6a+4=0 ，b2-6b+4=0 ，且 a≠b，则ba 的a b值是 ( )A． 7B． -7C． 11D．-118. （ 2013 广西玉林）方程130 的解是() x 1 x1A． x=2B． x=1C1D.x=-2．29.(2013山东滨州)对于任意实数k，关于 x 的方程 x2－ 2(k+1)x － k2+2k－ 1=0 的根的情况为( )A. 有两个相等的实数根B. 没有实数根C.有两个不相等的实数根D.无法确定10. （ 2013 辽宁营口）炎炎夏日，甲安装队为 A 小区安装 60 台空调，乙安装队为 B 小区安装 50 台空调，两队同时开工且恰好同时完工，甲队比乙队每天多安装 2 台．设乙队每天安装 x 台，根据题意，下面所列方程中正确的是( )A.60x 50 B. 6050 x2 x 2 x C.60x 50 D.60 50 x2x 2x11. 设 a,b 是方程 x 2+x-2 013=0的两个实数根，则 a 2+2a+b 的值为 ( )A.2 010B.2 011C.2 012D.2 01312. （ 2013x 的分式方程7 m有增根，则增根为 ( )湖南岳阳）关于x 13x 1A ． x=1B． x=-1C ． x=3D．x=-32 x3 13.(2013 山东滨州 ) 若把不等式组1的解集在数轴上表示出来， 则其对应的图形x2为( )A. 长方形B. 线段C. 射线D. 直线14.(2012 山东淄博 ) 篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜 1 场得 2 分，负1 场得 1分. 某队预计在2012—2013 赛季全部 32 场比赛中最少得到 48 分，才有希望进入季后赛. 假设这个队在将要举行的比赛中胜 x 场，要达到目标， x 应满足的关系式是 ( )A.2x+(32-x) ≥ 48B.2x-(32-x)≥48C.2x+(32-x) ≤ 48D.2x≥ 4815. 如图，在长方形 ABCD 中，放入 6 个形状、大小都相同的长方形，所标尺寸如图所示，则图中阴影部分面积是 ( )A.44 cm 2B.45 cm2C.46 cm2D.47 cm2二、填空题 ( 本大题共 6 个小题，每小题3 分 , 共 18 分)2 1 16. （ 2013 湖南长沙）方程的解为 x=.x 1x17.(2012 湖北随州 ) 设 a 2+2a-1=0,b 4-2b 2-1=0, 且 1-ab 2≠0, 则( ab 2 b 2 3a 1)5 =.a18.(2012 浙江杭州 ) 某企业向银行贷款 1 000 万元，一年后归还银行 1 065.6 多万元，则年利率高于%.19.(2012 四川凉山州 ) 某商品的售价528 元，商家售出一件这样的商品可获利润是进价的10%~20%，设进价为 x 元，则 x 的取值范围是 .20. （ 2013 湖南张家界） 若关于 x 的一元二次方程 kx 2+4x+3=0 有实数根， 则 k 的非负整数值 是．21.（2013 湖北宜宾） 某企业五月份的利润是 25 万元，预计七月份的利润将达到36 万元． 设平均月增长率为 x ，根据题意所列方程是 ．三、解答题 ( 本大题共 6 个小题，共 57 分 ) 22. （本小题满分 16 分）2(1) （ 2013 福建漳州）解方程： x -4x+1=0.x y 1①，(2)(2013 四川成都 ) 解方程组：2x y 5②.2（x 5） 6， (3) 解不等式组：5 2x 1 2x.(4)(2012 山东德州 ) 解方程：2 1211.xx 123.( 本小题满分5 分)3 ) x 21 x2 0, 先化简，再求代数式 (1的值 , 其中 x 是不等式组1 的整数解 .x 2 x 22x824.( 本小题满分 8 分)(2013 四川雅安 ) 甲、乙二人在一环形场地上从 A 点同时同向匀速跑步 , 甲的速度是乙的 2.5倍 ,4 分钟两人首次相遇 , 此时乙还需要跑 300 m 才跑完第一圈 , 求甲、乙二人的速度及环形场地的周长 .( 列方程 ( 组 ) 求解 )25.( 本小题满分 8 分)（2013 山东济宁）人教版教科书对分式方程验根的归纳如下：“解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原分式的分母为0，因此应进行如下检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解. ”请你根据对这段话的理解，解决下面问题：已知，关于 x 的方程m1x0 无解，方程x2+kx+6=0的一个根是m. x1x1(1)求 m和 k 的值；(2)求方程 x2+kx+6=0 的另一个根 .26.（本小题满分 10 分）（2013 湖南娄底）为了创建全国卫生城市，某社区要清理一个卫生死角内的垃圾，租用甲、乙两车运送，两车各运 12 趟可完成，需支付运费 4 800 元 . 已知甲、乙两车单独运完此垃圾，乙车所运趟数是甲车的 2 倍，且乙车每趟运费比甲车少200 元 .（1）求甲、乙两车单独运完此堆垃圾各需运多少趟？（2）若单独租用一台车，租用哪台车合算？27. （本小题满分10 分）“4· 20”雅安地震后，某商家为支援灾区人民，计划捐赠帐篷16 800顶，该商家备有2辆大货车、 8 辆小货车运送，计划大货车比小货车每辆每次多运帐篷200 顶，大、小货车每天均运送一次，两天恰好运完.（1）求大、小货车原计划每辆每次各运送帐篷多少顶？（2）因地震导致路基受损，实际运送过程中，每辆大货车每次比原计划少运200m顶，每辆1小货车每次比原计划少运300 顶 . 为了尽快将帐篷运送到灾区，大货车每天比原计划多跑m2次，小货车每天比原计划多跑m次，一天刚好运送了帐篷14 400 顶，求 m的值 .参考答案1.C 2.B 3.A 4.B 5.B 6.D7.A 8.A 9.C 10.D 11.C12.A13.B 14.A 15.A16.1 17.-32 18.6.56 19.440≤x≤ 48020.121.25 （ 1+x）2=3622.(1)解：移项得：x2-4x=-1,配方得 :x 2-4x+4=-1+4,即（ x-2) 2=3,开方得： x-2= ± 3 ,∴原方程的解是：x13 2,x 2 3 2.(2)解：① +②得3x=6，∴ x=2.将 x=2 代入方程①得2+y=1，∴ y=-1.x2∴原方程组的解为.y12x56①(3) 解：2x12x ,5②由①得： x≥ -2,由②得： x<1.∴此不等式组的解集为：-2 ≤x<1.(4) 解：去分母得：2+(x-1)=x 2 -1,移项，合并同类项得：x2-x-2=0,解得： x1=2,x 2=-1.经检验， x=-1 是原方程的增根，∴原方程的解是x=2.23. 解：不等式组解集为 2 x 7, ∴取整数， x=3. 2原分式化简为1, 将x=3代入，得原式=1 . x1424. 解：设乙速为 x m/min,则甲速为 2.5x m/min, 设环形场地的周长为 y m.y 2.5x 4 4x 由题意知 :4x，y300x 150解得 :.y 900∴ 2.5x=2.5 × 150=375 m/min.答: 甲、乙二人的速度分别为375 m/min 、 150 m/min, 环形场地周长为 900 m.25.(1) 解：∵将分式方程m 1 x m-1） -x=0 ，解得：x 10 去分母化成整式方程得（x 1x=m-1.m 1 x0 无解，又∵关于 x 的方程1 xx1∴x=m-1 是增根 .∴m-1-1=0, 解得 m=2.∵方程 x 2+kx+6=0 的一个根是 m,即 x=2.∴ 22+2k+6=0. 解得： k=-5.(2) 解：将 k=-5 代入，得方程 x 2-5x+6=0. (x-2)(x-3)=0,∴方程的解为 x=2 或 3.∴方程的另一个根为x=3.26. 解：（ 1）设甲车单独运完此堆垃圾需运 x 趟，则乙车单独运完此堆垃圾需2x 趟，依题意得：12 12x2x1，解得： x=18.经检验 x=18 是原方程的解 .∴ 2x=36.答：甲车单独运完此堆垃圾需18 趟，乙车需 36 趟 .（2）设甲车每趟需运费 a 元，则乙车每趟需运费 (a-200) 元，依题得： 12a+12(a-200)=4800，解得： a=300，∴a-200=100.∴单独租用甲车的费用=300×18=5 400 （元），单独租用乙车的费用=100× 36=3 600 （元） .∵5 400 ＞ 3 600,∴单独租用乙车合算.答：单独租用乙车合算.27. 解：（ 1）设小货车原计划每辆每次运送帐篷x 顶，则大货车原计划每辆每次运送帐篷（x+200 ）顶，依题意得：2[8x+2 （ x+200） ]=16 800 ，解得： x=800.x+200=1 000.答：大、小货车原计划每辆每次分别运送帐篷 1 000 顶、 800 顶 .（2）由题意有： 2(1 000-200m)(1+1m)+8× (800-300) × (1+m)=14 400 ，21解得： m1=2，m2=21(m=10.5 为小数，舍去) ，故 m的值为 2.2。
备考2022年中考数学二轮复习-方程与不等式_二元一次方程组_解二元一次方程组-解答题专训及答案
备考2022年中考数学二轮复习-方程与不等式_二元一次方程组_解二元一次方程组-解答题专训及答案解二元一次方程组解答题专训1、(2014淮安.中考真卷) 解方程组：．2、(2013扬州.中考真卷) 已知关于x、y的方程组的解满足x＞0，y＞0，求实数a的取值范围．3、(2015宿迁.中考真卷) （1）解方程：x2+2x=3；（2）解方程组：4、(2015无锡.中考真卷) （1）解不等式：2（x﹣3）﹣2≤0（2）解方程组：5、(2018淮安.中考模拟) 《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开放术、正负术和方程术．其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两．问每头牛、每只羊各值金多少两？”6、(2017江苏.中考模拟) 解二元一次方程组．7、(2016金华.中考真卷) 解方程组．8、(2019江陵.中考模拟) 如果实数x、y满足方程组，求代数式（+2）÷ ．9、(2016黄石.中考模拟) 解方程组：．10、(2017桂林.中考真卷) 解二元一次方程组：．11、(2017琼山.中考模拟) 若不等式组的解集为1＜x＜6，求a，b的值．12、(2018井研.中考模拟) 当m、n为何值时，方程组与方程组同解？13、(2016新疆维吾尔自治区.中考真卷) 解方程组．14、(2020怀化.中考模拟) 解二元一次方程组：．15、(2020呼和浩特.中考真卷) “通过等价变换，化陌生为熟悉，化未知为已知”是数学学习中解决问题的基本思维方式，例如：解方程，就可以利用该思维方式，设，将原方程转化为：这个熟悉的关于y的一元二次方程，解出y，再求x，这种方法又叫“换元法”．请你用这种思维方式和换元法解决下面的问题．已知实数x，y满足，求的值．解二元一次方程组解答题答案1.答案：2.答案：3.答案：4.答案：5.答案：6.答案：7.答案：8.答案：9.答案：10.答案：11.答案：12.答案：13.答案：14.答案：15.答案：。
中考总复习第二单元 方程(组)与不等式(组)ppt、中考真题及模拟(附答案)
等式的概念与等式的性质
用“＝”号来表示相等关系的式子，叫做等式
等式两边加(或减)同一个数或同一个整式， 等 式仍然成立．如果 a＝b，那么 a±c＝b±c 等式两边都乘 ( 或除以 ) 同一个数 ( 除数不为 0) ， 等式仍然成立． 如果 a＝b， 那么 ac＝bc， a b ＝ (c≠0) c c
元一次方程
一般形式
ax＋b＝0(a≠0) ________________
(续表)
(1)去分母 方程两边都乘各分母的最小公倍数，注意别漏乘 解一 元方 程的 一般 步骤 (2)去括号 注意括号前的系数与符号 (3)移项 把含有未知数的项移到方程的一边，其他项移到另 一边，注意移项要改变符号 (4)合并同类项 (5)系数化为1
工程 问题Βιβλιοθήκη 二、京考真题【考情分析】
年份 题型 解答 2009
解一次 方程 (组)
2010
解一次 方程 (组)
2011
解一次 方程 (组)
2012
解一次 方程 (组)
2013
解一次 方程 (组)
2014
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解答 5分
列一次方 列一次方 程 (组) 解 程 (组) 解 应用题 应用题
【热考精讲】
► 考点一 方程的解 例 1 已知 x＝3 是关于 x 的方程 2(x－m)＝5x－3m 的解， 求 m 的值． 解： 解法一： 因为 x＝3 是方程的解， 所以 2(3－ m)＝5× 3 － 3m，解得 m＝9. 解法二： 解关于 x 的方程，得 m 2x－2m＝ 5x－ 3m，－3x＝－m，x＝ . 3 m 因为已知方程的解是 x＝ 3，所以 ＝ 3，即 m＝ 9. 3
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考点6
一次方程(组)的应用
2023年广东中考数学二轮专题复习——方程(组)与不等式(组)(含答案)
2023年广东中考数学专题复习——方程(组)与不等式(组)(时间：90分钟 满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)1．已知两数x，y之和是10，x比y的3倍大2，则下面所列方程组正确的是( )A.{x＋y＝10y＝3x＋2B.{x＋y＝10y＝3x－2C.{x＋y＝10x＝3y＋2 D.{x＋y＝10x＝3y－22．若把不等式组{2－x≥－3，x－1≥－2的解集在数轴上表示出来，则其对应的图形为A．长方形 B．线段 C．射线 D．直线3．用配方法解方程x2－2x－1＝0时，配方后所得的方程为( )A．(x－1)2＝2 B．(x－1)2＝0C．(x＋1)2＝2 D．(x＋1)2＝04．计算2x－2－xx－2的结果是( )A．0 B．1 C．x D．－15．已知关于x的方程x2－kx－6＝0的一个根为x＝3，则实数k的值为( ) A．1 B．－1 C．2 D．－26．不等式x≥2的解集在数轴上表示为( )A BC D7．已知方程组{2x＋y＝4，x＋2y＝5，则x＋y的值为( )A．－1 B．0 C．2 D．38．若关于x的一元二次方程kx2－2x－1＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是( )A．k>－1 B．k<1且k≠0C．k≥－1且k≠0D．k>－1且k≠09．小朱要到距家1 500米的学校上学，一天，小朱出发10分钟后，小朱的爸爸立即去追小朱，并且在距离学校60米的地方追上了他．已知爸爸比小朱的速度快100米/分，求小朱的速度．若设小朱的速度是x 米/分，则根据题意所列方程正确的是( )A .1 440x －100－1 440x ＝10B .1 440x ＝10＋1 440x ＋100C .1 440x ＝1 440x －100＋10D .1 440x ＋100－1 440x ＝1010．设x 1，x 2是方程x 2＋3x －3＝0的两个实数根，则x 2x 1＋x 1x 2的值为( )A ．5 B ．－5 C ．1 D ．－1二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)11．要使分式5x －1有意义，则x 的取值范围是 ．12．一元二次方程x 2－3x ＝0的根是 ．13．已知a|a |＋b|b |＝0，则ab|ab |的值为 ．14．如果4x a ＋2b －5－2y 3a －b －3＝8是二元一次方程，那么a －b ＝ ．15．对于实数a ，b ，定义运算“*”：a*b ＝{a 2－ab （a ≥b ），ab －b 2（a <b ）.例如：4*2，因为4＞2，所以4*2＝42－4×2＝8.若x 1，x 2是一元二次方程x 2－5x ＋6＝0的两个根，则x 1*x 2＝ ．三、解答题(一)(本大题共3小题，每小题8分，共24分)16．解方程：x 2－10x ＋9＝0.17.解不等式组：{9x ＋5<8x ＋7，43x ＋2>1－23x ，并写出其整数解．18．解方程：2xx－2＝1－12－x.四、解答题(二)(本大题共3小题，每小题9分，共27分)19．先化简，再求值：x－2x－1÷(x＋1－3x－1)，其中x＝3－2.20．某条高速的建设正在紧张地进行，现有大量的沙石需要运输．某车队有载重为8吨和10吨的卡车共12辆，全部车辆一次能运输110吨沙石．(1)该车队载重为8吨和10吨的卡车各有多少辆？(2)随着工程的进展，该车队需要一次运输沙石165吨以上，为了完成任务，准备新增购这两种卡车共6辆，车队有多少种购买方案，请你一一写出．21.已知关于x的一元二次方程x2－(2k＋1)x＋k2＋k＝0.(1)求证：该方程有两个不相等的实数根；(2)若△ABC的两边AB，AC的长是方程的两个实数根，第三边BC的长为5.当△ABC是等腰三角形时，求k的值．五、解答题(三)(本大题共2小题，每小题12分，共24分)22．“低碳生活，绿色出行”，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某运动商城的自行车销售量自2013年起逐月增加，据统计，该商城1月份销售自行车64辆，3月份销售了100辆．(1)若该商城前4个月的自行车销量的月平均增长率相同，该商城4月份卖出多少辆自行车？(2)考虑到自行车需求不断增加，该商城准备投入3万元再购进一批两种规格的自行车，已知A型车的进价为500元/辆，售价为700元/辆，B型车的进价为1 000元/辆，售价为1 300元/辆．根据销售经验，A型车不少于B型车的2倍，但不超过B型车的2.8倍．假设所进车辆全部售完，为使利润最大，该商城应如何进货？23．关于x的一元二次方程(m－1)x2－2mx＋m＋1＝0.(1)求方程的根；(2)m为何整数时，此方程的两个根都为正整数？2023年广东中考数学专题复习——方程(组)与不等式(组) 答案版(时间：90分钟 满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)1．已知两数x，y之和是10，x比y的3倍大2，则下面所列方程组正确的是(C)A.{x＋y＝10y＝3x＋2B.{x＋y＝10y＝3x－2C.{x＋y＝10x＝3y＋2 D.{x＋y＝10x＝3y－22．若把不等式组{2－x≥－3，x－1≥－2的解集在数轴上表示出来，则其对应的图形为(B)A．长方形 B．线段 C．射线 D．直线3．用配方法解方程x2－2x－1＝0时，配方后所得的方程为(A)A．(x－1)2＝2 B．(x－1)2＝0C．(x＋1)2＝2 D．(x＋1)2＝04．计算2x －2－xx －2的结果是(D )A ．0B ．1C ．xD ．－15．已知关于x 的方程x 2－kx －6＝0的一个根为x ＝3，则实数k 的值为(A )A ．1B ．－1C ．2D ．－26．不等式x≥2的解集在数轴上表示为(C )AB CD 7．已知方程组{2x ＋y ＝4，x ＋2y ＝5，则x ＋y 的值为(D )A ．－1 B ．0 C ．2 D ．38．若关于x 的一元二次方程kx 2－2x －1＝0有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是(D )A ．k>－1B ．k<1且k≠0C ．k≥－1且k≠0D ．k>－1且k≠09．小朱要到距家1 500米的学校上学，一天，小朱出发10分钟后，小朱的爸爸立即去追小朱，并且在距离学校60米的地方追上了他．已知爸爸比小朱的速度快100米/分，求小朱的速度．若设小朱的速度是x 米/分，则根据题意所列方程正确的是(B )A .1 440x －100－1 440x＝10 B .1 440x ＝10＋1 440x ＋100C .1 440x ＝1 440x －100＋10 D .1 440x ＋100－1 440x ＝1010．设x 1，x 2是方程x 2＋3x －3＝0的两个实数根，则x 2x 1＋x 1x 2的值为(B )A ．5 B ．－5 C ．1 D ．－1二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)11．要使分式5x －1有意义，则x 的取值范围是x≠1．12．一元二次方程x 2－3x ＝0的根是x 1＝0，x 2＝3．13．已知a|a |＋b|b |＝0，则ab|ab |的值为－1．14．如果4x a ＋2b －5－2y 3a －b －3＝8是二元一次方程，那么a －b ＝0．15．对于实数a ，b ，定义运算“*”：a*b ＝{a 2－ab （a ≥b ），ab －b 2（a <b ）.例如：4*2，因为4＞2，所以4*2＝42－4×2＝8.若x 1，x 2是一元二次方程x 2－5x ＋6＝0的两个根，则x 1*x 2＝3或－3．三、解答题(一)(本大题共3小题，每小题8分，共24分)16．解方程：x 2－10x ＋9＝0.解：方法一(配方法)：将方程x 2－10x ＋9＝0变形为x 2－10x ＝－9，配方，得x 2－10x ＋25＝－9＋25，整理，得(x －5)2＝16，解得x 1＝1，x 2＝9.方法二(求根公式法)：因为a ＝1，b ＝－10，c ＝9，Δ＝100－36＝64>0，由求根公式解得x 1＝1，x 2＝9.方法三(因式分解法)：将方程x 2－10x ＋9＝0变形为(x －1)(x －9)＝0，解得x 1＝1，x 2＝9.17.解不等式组：{9x ＋5<8x ＋7，43x ＋2>1－23x ，并写出其整数解．解：{9x ＋5<8x ＋7， ①43x ＋2>1－23x ， ②解不等式①得x<2，解不等式②得x>－12.把①②的解集表示在数轴上，如图．故原不等式组的解集是－12<x<2.其整数解是0和1.18．解方程：2x x －2＝1－12－x.解：方程的两边同时乘(x －2)，得2x ＝x －2＋1，解得x ＝－1.检验：当x ＝－1时，x －2≠0，故x ＝－1是原方程的解．四、解答题(二)(本大题共3小题，每小题9分，共27分)19．先化简，再求值：x －2x －1÷(x ＋1－3x －1)，其中x ＝3－2.解：原式＝x －2x －1÷(x 2－1x －1－3x －1)＝x －2x －1×x －1（x ＋2）（x －2）＝1x ＋2.当x ＝3－2时，原式＝33.20．某条高速的建设正在紧张地进行，现有大量的沙石需要运输．某车队有载重为8吨和10吨的卡车共12辆，全部车辆一次能运输110吨沙石．(1)该车队载重为8吨和10吨的卡车各有多少辆？(2)随着工程的进展，该车队需要一次运输沙石165吨以上，为了完成任务，准备新增购这两种卡车共6辆，车队有多少种购买方案，请你一一写出．解：(1)设该车队载重为8吨和10吨的卡车分别有x 辆、y 辆，根据题意得{x ＋y ＝12，8x ＋10y ＝110，解得{x ＝5，y ＝7.故该车队载重为8吨的卡车有5辆，载重为10吨的卡车有7辆；(2)设载重为8吨的卡车增加了z 辆，依题意得8(5＋z)＋10(7＋6－z)>165，解得z<52.∵z≥0且为整数，∴z ＝0，1，2；∴6－z ＝6，5，4，∴车队共有3种购车方案：①载重为8吨的卡车不购买，载重为10吨的卡车购买6辆；②载重为8吨的卡车购买1辆，载重为10吨的卡车购买5辆；③载重为8吨的卡车购买2辆，载重为10吨的卡车购买4辆．21.已知关于x的一元二次方程x2－(2k＋1)x＋k2＋k＝0.(1)求证：该方程有两个不相等的实数根；(2)若△ABC的两边AB，AC的长是方程的两个实数根，第三边BC的长为5.当△ABC是等腰三角形时，求k的值．(1)证明：∵Δ＝[－(2k＋1)]2－4×1×(k2＋k)＝1＞0，∴方程有两个不相等的实数根；(2)解：∵由x2－(2k＋1)x＋k2＋k＝0，得(x－k)[x－(k＋1)]＝0，∴x1＝k，x2＝k＋1.即AB，AC的长为k，k＋1，当AB＝BC时，即k＝5，满足三角形构成条件；当AC＝BC时，k＋1＝5，解得k＝4，满足三角形构成条件．综上所述，k＝4或k＝5.五、解答题(三)(本大题共2小题，每小题12分，共24分)22．“低碳生活，绿色出行”，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某运动商城的自行车销售量自2013年起逐月增加，据统计，该商城1月份销售自行车64辆，3月份销售了100辆．(1)若该商城前4个月的自行车销量的月平均增长率相同，该商城4月份卖出多少辆自行车？(2)考虑到自行车需求不断增加，该商城准备投入3万元再购进一批两种规格的自行车，已知A型车的进价为500元/辆，售价为700元/辆，B型车的进价为1 000元/辆，售价为1 300元/辆．根据销售经验，A型车不少于B型车的2倍，但不超过B型车的2.8倍．假设所进车辆全部售完，为使利润最大，该商城应如何进货？解：(1)设前4个月自行车销量的月平均增长率为x，根据题意列方程，得64(1＋x)2＝100，解得x1＝－225%(不合题意，舍去)，x2＝25%，100×(1＋25%)＝125(辆)．故该商城4月份卖出125辆自行车．(2)设购进B 型车x 辆，则购进A 型车30 000－1 000x 500辆，根据题意得不等式组2x≤30 000－1 000x 500≤2.8x ，解得12.5≤x≤15，因为自行车辆数为整数，所以13≤x≤15，销售利润W ＝(700－500)×30 000－1 000x 500＋(1 300－1 000)x.整理得W ＝－100x ＋12 000，因为W 随着x 的增大而减小，所以当x ＝13时，销售利润W 有最大值，此时，30 000－1 000×13500＝34，所以该商城应购进A 型车34辆，B 型车13辆．23．关于x 的一元二次方程(m －1)x 2－2mx ＋m ＋1＝0.(1)求方程的根；(2)m 为何整数时，此方程的两个根都为正整数？解：(1)方法一：根据题意得m≠1.Δ＝(－2m)2－4(m －1)(m ＋1)＝4.∴x 1＝2m ＋22（m －1）＝m ＋1m －1，x 2＝2m －22（m －1）＝1.方法二：根据题意得m≠1.原方程可化为(x －1)[（m －1）x －（m ＋1）]＝0，∴x 1＝m ＋1m －1，x 2＝1.(2)由(1)知x 1＝m ＋1m －1＝1＋2m －1，∵方程的两个根都是正整数，∴2m －1是正整数，∴m －1＝1或2.∴m ＝2或3.。
2024年中考数学二轮复习模块专练—二次函数与方程、不等式综合(含答案)
2024年中考数学二轮复习模块专练—二次函数与方程、不等式综合（含答案）一、二次函数与一元二次方程1．抛物线与x 轴交点的横坐标抛物线2y ax bx c =++，令y =0，则20ax bx c ++=，方程的解就是抛物线与x 轴交点的横坐标；2．抛物线与x 轴交点情况（1）抛物线2y ax bx c =++与x 轴的交点个数由判别式24b ac ∆=-的值的正负确定；（2）当240b ac ∆=->时，抛物线与x 轴有两个交点；当240b ac ∆=-=时，抛物线与x 轴只有一个交点；当24<0b ac ∆=-时，抛物线与x 轴没有交点；3．利用二次函数求一元二次方程的近似根对于一元二次方程20ax bx c ++=，令2y ax bx c =++，画出函数的图像，抛物线与x 轴的交点的横坐标就是方程的解；二、二次函数与不等式1．二次函数与一元二次不等式20ax bx c ++>的解集就是抛物线2y ax bx c =++在x 轴上方的那部分图像对应的自变量的取值范围．《义务教育数学课程标准》2022年版，学业质量要求：1．知道二次函数和一元二次方程之间的关系；2．会根据二次函数的求其图像与坐标轴的交点坐标；试卷第2页，共12页3．会利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解；【例1】（2023·四川巴中·统考中考真题）1．规定：如果两个函数的图象关于y 轴对称，那么称这两个函数互为“Y 函数”．例如：函数3y x =+与3y x =-+互为“Y 函数”．若函数2(1)34k y x k x k =+-+-的图象与x 轴只有一个交点，则它的“Y 函数”图象与x 轴的交点坐标为．【变1】（2023·河南鹤壁·统考三模）2．已知抛物线233(0)y mx mx m m --=>与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 左侧）．(1)抛物线对称轴为，A 点坐标为．(2)当0m >时，不等式232m mx mx ≤-的解集为．(3)已知点(2,4)M -、1(,4)2N -，连接MN 所得的线段与该抛物线有一个交点，求m 的取值范围．【例1】（2023·四川成都·校考三模）3．在探究关于x 的二次三项式21215x x +-的值时，小明计算了如下四组值：x1.1 1.2 1.3 1.421215x x +-0.59-0.842.293.76小明说，他通过这四组值能得到方程212150x x +-=的一个近似根，这个近似根的个位是，十分位是．【变1】（2023·河南商丘·统考二模）4．为解方程31212x x -=，小舟根据学习函数的经验对其进行了探究，下面是其探究的过程，请补充完整：(1)先研究函数3122y x x =-，列表如表：x 2-1-0121252y32m324516表格中，m 的值为__________．(2)如图，在平面直角坐标系xOy 中，描出了以上表中各组对应值为坐标的点，根据描出的点，画出了函数3122y x x =-图象的一部分，请根据剩余的点补全此函数图象．(3)观察图象，当31202x x ->时，满足条件的x 的取值范围是__________．(4)在第（2）问的平面直角坐标系中画出直线1y =．根据图象直接写出方程31212x x -=的近似根（结果保留一位小数）试卷第4页，共12页【例1】（2021·广西贺州·统考中考真题）5．如图，已知抛物线2y ax c =+与直线y kx m =+交于1(3,)A y -，2(1,)B y 两点，则关于x 的不等式2ax c kx m +≥-+的解集是（）A ．3x ≤-或1x ≥B ．1x ≤-或3x ≥C ．31x -≤≤D ．13x -≤≤【变1】（2023·山西太原·校联考二模）6．请仔细阅读下面的材料，并完成相应的任务．利用二次函数图象解不等式数学活动课上，老师提出这样一个问题：我们曾经利用一次函数的图象解一元一次不等式，类比前面的学习经验，我们能否利用二次函数的图象解相应的不等式呢？例如解不等式2233x x -->-，同学们以小组为单位展开了讨论．善思小组展示了他们的方法：将不等式进一步变形为220x x ->，如图1，画出函数22y x x =-的图象，抛物线与x 轴相交于()0,0和()2,0两点，这两个点将x 轴分为三段，当0x <或2x >时，二次函数的图象位于x 轴上方，此时0y >，所以220x x ->，即2233x x -->-，所以此不等式的解集为0x <或2x >．勤学小组受善思小组的启发，画出函数2=23y x x --的图象和直线=3y -．如图2所示，它们相交于()0,3-和()2,3-两点，当0x <或2x >时，二次函数的图象位于直线=3y -的上方，此时3y >-，即2233x x -->-，所以不等式的解集为0x <或2x >．任务：(1)两个小组的方法主要运用的数学思想是______（从下面的选项中选择一个即可）．A ．数形结合思想B ．分类讨论思想C ．公理化思想(2)请你选择阅读材料中的一个方法解不等式243x x -<-．请将函数图象画在图3的平面直角坐标系中，并参照材料中的分析过程写出你的分析过程．【例1】（2023·青海西宁·统考中考真题）7．直线1y ax b =+和抛物线22y ax bx =+（a ，b 是常数，且0a ≠）在同一平面直角坐标系中，直线1y ax b =+经过点()4,0-．下列结论：试卷第6页，共12页①抛物线22y ax bx =+的对称轴是直线2x =-②抛物线22y ax bx =+与x 轴一定有两个交点③关于x 的方程2ax bx ax b +=+有两个根14x =-，21x =④若0a >，当<4x -或1x >时，12y y >其中正确的结论是（）A ．①②③④B ．①②③C ．②③D ．①④【变1】（2023·江苏·统考中考真题）8．已知二次函数23y xbx =+-（b 为常数）．(1)该函数图像与x 轴交于A B 、两点，若点A 坐标为()3,0，①则b 的值是_________，点B 的坐标是_________；②当<<0y 5时，借助图像，求自变量x 的取值范围；(2)对于一切实数x ，若函数值y t >总成立，求t 的取值范围（用含b 的式子表示）；(3)当m y n <<时（其中m n 、为实数，m n <），自变量x 的取值范围是12x <<，求n 和b 的值以及m的取值范围．一、选择题（2023·湖北恩施·统考中考真题）9．如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，抛物线()20y ax bx c a =++≠的对称轴为1x =，与x 轴的一个交点位于()2,0，()3,0两点之间．下列结论：①20a b +>；②0bc <；③13a c <-；④若1x ，2x 为方程20ax bx c ++=的两个根，则1230x x ⋅-<<．其中正确的有（）个．A ．1B ．2C ．3D ．4（2023·河北·统考中考真题）10．已知二次函数22y x m x =-+和22y x m =-（m 是常数）的图象与x 轴都有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则这两个函数图象对称轴之间的距离为（）A ．2B ．2m C ．4D ．22m （2023·湖南·统考中考真题）11．已知0m n >>，若关于x 的方程2230x x m +--=的解为()1212,x x x x <．关于x 的方程2230x x n +--=的解为3434,()x x x x <．则下列结论正确的是（）A ．3124x x x x <<<B ．1342x x x x <<<C ．1234x x x x <<<D ．3412x x x x <<<（2023·四川自贡·统考中考真题）12．经过23,()41,),(A b m B b c m -+-两点的抛物线22122y x bx b c =-+-+（x 为自变量）与x 轴有交点，则线段AB 长为（）A ．10B ．12C ．13D ．15（2023·浙江衢州·统考中考真题）13．已知二次函数24y ax ax =-（a 是常数，a<0）的图象上有()1,A m y 和()22,B m y 两点．若点A ，B 都在直线3y a =-的上方，且12y y >，则m 的取值范围是（）A ．312m <<B ．423m <<C ．4332m <<D ．m>2二、填空题试卷第8页，共12页（2023·广东深圳·深圳市石岩公学校考模拟预测）14．如图，二次函数与x 轴交点坐标为()10-，，()20，，当0y <时，x的取值范围是（2023·江苏镇江·统考二模）15．已知一次函数()10y kx m k =+≠和二次函数()220y ax bx c a =++≠的自变量和对应函数值如表：x…1-047 (1)y (01)58 (x)…2-1-04 (2)y …503-5…21y y>当时，自变量x 的取值范围是（2023·云南昆明·统考二模）16．如图，在平面直角坐标中，抛物线()20y ax bx a =+>和直线()0y kx k =>交于点O和点A ，则不等式2ax bx kx +<的解集为．（2023·江苏南京·统考二模）17．二次函数2y ax bx c =++（0,a a b c ≠、、是常数）的图象如图所示，则不等式()220ax b x c +-+>的解集是．（2023·湖南永州·统考二模）18．我们学习了一元二次方程和二次函数，综合利用它们的性质解决问题，阅读下列材料，回答问题：例：已知关于x 的方程2(2)40tx t x t +-+=有实数根，求t 的最大值？解：由题意可知，当t =0时，方程有实数解当0t ≠时，240b ac ∆=-≥即()22440t t t --⋅⋅≥∴215440t t +-≤设函数()21544f t t t =+-当()0f t ≤时，2235t -≤≤综上max 25t =(1)已知关于x 的方程2252214x mx x m m -++-=有实数根，则m 的最大值为；(2)已知方程22221x xy y -+=有实数根，则x -2y 的最大值为．三、解答题（2022·山东青岛·统考中考真题）19．已知二次函数y =x 2+mx +m 2−3（m 为常数，m >0）的图象经过点P (2，4)．(1)求m 的值；(2)判断二次函数y =x 2+mx +m 2−3的图象与x 轴交点的个数，并说明理由．试卷第10页，共12页（2023·广东广州·统考模拟预测）20．如图，抛物线2y x mx =+与直线y x b =-+交于点A (2，0)和点B．（1）求m 和b 的值；（2）求点B 的坐标，并结合图象写出不等式2x mx x b +>-+的解集；（3）点M 是直线AB 上的一个动点，将点M 向左平移3个单位长度得到点N ，若线段MN 与抛物线只有一个公共点，直接写出点M 的横坐标M x 的取值范围．（2023·河南南阳·统考三模）21．如图，抛物线23y x mx =-++与直线2y x b =-+交于点()4,5A -和点B．(1)求抛物线和直线的解析式；(2)请结合图象直接写出不等式232x mx x b -++<-+的解集；(3)点N 是抛物线对称轴上一动点，且点N 纵坐标为n ，记抛物线在A ，B 之间的部分为图象G （包含A ，B 两点）．若点1,2P t ⎛⎫- ⎪⎝⎭在直线2y x b =-+上，且直线PN 与图象G有公共点，结合函数图象，直接写出点N 纵坐标n 的取值范围．（2023·云南·统考中考真题）22．数和形是数学研究客观物体的两个方面，数（代数）侧重研究物体数量方面，具有精确性、形（几何）侧重研究物体形的方面，具有直观性．数和形相互联系，可用数来反映空间形式，也可用形来说明数量关系．数形结合就是把两者结合起来考虑问题，充分利用代数、几何各自的优势，数形互化，共同解决问题．同学们，请你结合所学的数学解决下列问题．在平面直角坐标系中，若点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点．设函数2(42)(96)44y a x a x a =++--+（实数a 为常数）的图象为图象T ．(1)求证：无论a 取什么实数，图象T 与x 轴总有公共点；(2)是否存在整数a ，使图象T 与x 轴的公共点中有整点？若存在，求所有整数a 的值；若不存在，请说明理由．（2023·江苏盐城·统考中考真题）23．定义：若一次函数的图象与二次函数的图象有两个交点，并且都在坐标轴上，则称二次函数为一次函数的轴点函数．【初步理解】（1）现有以下两个函数：①21y x =-；②2y x x =-，其中，_________为函数1y x =-的轴点函数．（填序号）【尝试应用】（2）函数y x c =+（c 为常数，0c >）的图象与x 轴交于点A ，其轴点函数2y ax bx c=++与x 轴的另一交点为点B .若14OB OA =，求b 的值．【拓展延伸】（3）如图，函数12y x t =+（t 为常数，0t >）的图象与x 轴、y 轴分别交于M ，C 两点，在x 轴的正半轴上取一点N ，使得ON OC =.以线段MN 的长度为长、线段MO 的长度为宽，在x 轴的上方作矩形MNDE .若函数12y x t =+（t 为常数，0t >）的轴点函数2y mx nx t =++的顶点P 在矩形MNDE 的边上，求n 的值．试卷第12页，共12页参考答案：1．(3,0)C 或(4,0)C 【分析】根据题意2(1)34k y x k x k =+-+-与x 轴的交点坐标和它的“Y 函数”图象与x 轴的交点坐标关于y 轴对称，再进行分类讨论，即0k =和0k ≠两种情况，求出2(1)34k y x k x k =+-+-与x 轴的交点坐标，即可解答．【详解】解：①当0k =时，函数的解析式为3y x =--，此时函数的图象与x 轴只有一个交点成立，当0y =时，可得03x =--，解得3x =-，∴3y x =--与x 轴的交点坐标为()3,0-，根据题意可得，它的“Y 函数”图象与x 轴的交点坐标为()3,0；①当0k ≠时，函数2(1)34k y x k x k =+-+-的图象与x 轴只有一个交点，240∴-=b ac ，即()()214304k k k --⨯⨯-=，解得1k =-，∴函数的解析式为21244y x x =---，当0y =时，可得210244x x =---，解得4x =-，根据题意可得，它的“Y 函数”图象与x 轴的交点坐标为()4,0，综上所述，它的“Y 函数”图象与x 轴的交点坐标为(3,0)C 或()4,0C ，故答案为：(3,0)C 或(4,0)C ．【点睛】本题考查了轴对称，一次函数与坐标轴的交点，抛物线与x 轴的交点问题，理解题意，进行分类讨论是解题的关键．答案第2页，共28页2．(1)32x =；3(2(2)1x ≤-或3x ≥(3)m 的取值范围为416517m ≤<或1621m =【分析】（1）根据抛物线的对称轴方程可得答案；令0y =，求出x 的值，即可得出答案．（2）由题意得，2230x x --≥，求出方程2230x x --=的解，进而可得答案．（3）分别求出抛物线顶点在线段MN 上、抛物线经过点M 或点N 时m 的值，进而可得答案．【详解】（1）解：抛物线的对称轴为3322m x m -=-=，令0y =，得2330mx mx m --=，解得12x x ==A 在B的左侧，33,,022A B ⎛⎫⎛⎫+∴ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故答案为：32x =；；（2）232m mx mx -≤ ，0m >2230x x --∴≥，解方程223=0x x --，得1213x x ，=-=，2230x x --∴≥的解集为1x ≤-或3x ≥，即不等式232m mx mx ≤-的解集为1x ≤-或3x ≥，故答案为：1x ≤-或3x ≥；（3）当抛物线233(0)y mx mx m m --=>的顶点在MN 上时，即2334mx mx m --=-有两个相等的实数根，()294340m m m ∴∆=--+=，解得10m =（舍去），21621m =；当抛物线经过线段MN 的左端点N 时，把1(,4)2N -代入233y mx mx m -=-，得133442m m m --=-，解得1617m =，当抛物线经过线段MN 的右端点M 时，把(2,4)M -代入233y mx mx m -=-，得4634m m m --=-，解得45m =；综上所述，m 的取值范围为416517m ≤<或1621m =．【点睛】本题考查了二次函数与不等式（组）：利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．也考查了二次函数图象与系数的关系和抛物线与x 轴的交点问题．3．11【分析】根据表格可得0.5900.84-<<，则方程212150x x +-=的一个近似根取值范围为：1.1 1.2x <<，即可进行解答．【详解】解：根据题意可得：0.5900.84-<<，∴方程212150x x +-=的一个近似根取值范围为：1.1 1.2x <<，∴这个近似根的个位是1，十分为是1，故答案为：1，1．【点睛】本题主要考查了求一元二次方程的近似根，解题的关键是掌握正确理解表格中的数答案第4页，共28页据，根据表格得出近似根的取值范围．4．(1)1516-(2)见解析(3)20x -<<或2x >(4)231.7,0.5, 2.2x x x =-=-=【分析】（1）将12x =代入函数解析式进行求解即可；（2）根据表格，描点，连线画出函数图象即可；（3）结合图象即可得出结果；（4）图象法解方程即可．【详解】（1）解：当12x =时，311115222216y ⎛⎫=⨯-⨯=- ⎪⎝⎭，∴1516m =-，故答案为：1516-；（2）根据（1）中表格数据，描点，连线，如图，（3）解：由图象可知，当20x -<<或2x >时，图象在x 轴上方，即：31202x x ->，故答案为：20x -<<或2x >；（4）解：作图如下：由图象可得：方程的解为231.7,0.5, 2.2x x x =-=-=．【点睛】本题考查函数的图象和性质．熟练掌握函数图象的画法，利用图象法解不等式和方程，是解题的关键．5．D【分析】将要求的不等式抽象成两个函数的函数关系问题，根据二次函数图象的对称性，以及两一次函数图象的关系，求出新的一次函数与二次函数的交点，从而写出抛物线在直线上方部分的x 的取值范围即可．【详解】y kx m =+ 与y kx m =-+关于y 轴对称抛物线2y ax c =+的对称轴为y 轴，因此抛物线2y ax c =+与直线y kx m =+的交点和与直线y kx m =-+的交点也关于y 轴对称设y kx m =-+与2y ax c =+交点为A B ''、，则A '2(1,)y -，B '1(3,)y 2ax c kx m+≥-+即在点A B ''、之间的函数图像满足题意2ax c kx m ∴+≥-+的解集为：13x -≤≤故选D ．【点睛】本题考查了轴对称，二次函数与不等式，数形结合是数学中的重要思想之一，解决答案第6页，共28页函数问题更是如此．理解y kx m =+与y kx m =-+关于y 轴对称是解题的关键．6．(1)A(2)见解析【分析】（1）根据材料中两个小组的做法进行判别即可；（2）根据材料中两个小组的解题步骤进行解答即可．【详解】（1）两个小组都是画出了坐标系函数图象，通过观察图象得出的结论，∴主要运用的是数形结合的思想，故答案为：A ；（2）①选择善思小组的方法：将不等式进一步变形为2430x x -+<，画出函数243y x x =-+的图象，观察图象可知：抛物线与x 轴相交于()1,0和()3,0两点，这两个点将x 轴分为三段，当13x <<时，二次函数的图象位于x 轴下方，此时0y <，即2430x x -+<，∴不等式243x x -<-的解集为13x <<．②选择勤学小组的方法：画出函数24y x x =-的图象和直线=3y -，观察图象可知：函数24y x x =-的图象和直线=3y -相交于()1,3-和()3,3-两点，当13x <<时，二次函数的图象位于直线=3y -的下方，此时3y <-，即243x x -<-，∴不等式的解集为13x <<．【点睛】本题考查了二次函数与不等式的综合，熟练运用数形结合的思想方法是解题的关键．7．B【分析】①可得40a b -+=，从而可求4b a =，即可求解；②可得2240b ac b ∆=-=≥，由0a ≠，可得20b ∆=>，即可求解；③可判断抛物线也过()4,0-，从而可得方程()20ax b a x b +--=的一个根为4x =-，可求抛物线()23y ax b a x b =+--的对称轴为直线32x =-，从而可得抛物线()23y ax b a x b =+--与x 轴的另一个交点为()1,0，即可求解；④当0a >，当41x -<<时，12y y <，即可求解．【详解】解：① 直线1y ax b =+经过点()4,0-，40a b ∴-+=，4b a ∴=，抛物线的对称轴为直线4222b a x a a=-=-=-，故①正确；答案第8页，共28页②2240b ac b ∆=-=≥，由①得4b a =，0a ≠ ，0b ∴≠，∴20b ∆=>，∴抛物线22y ax bx =+与x 轴一定有两个交点，故②正确；③当4x =-时，164y a b=-16160a a =-=，∴抛物线也过()4,0-，由2ax bx ax b +=+得∴方程()20ax b a x b +--=，∴方程的一个根为4x =-，抛物线()23y ax b a x b =+--， 43222b a a a x a a --=-=-=-，∴抛物线()23y ax b a x b =+--的对称轴为直线32x =-，与x 轴的一个交点为()4,0-，()33422x ⎛⎫∴--=--- ⎪⎝⎭，解得：1x =，∴抛物线()23y ax b a x b =+--与x 轴的另一个交点为()1,0，∴关于x 的方程2ax bx ax b +=+有两个根14x =-，21x =，故③正确；④当0a >，当41x -<<时，12y y <，故④错误；故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数的基本性质，二次函数与一次函数交点，二次函数与不等式等，理解性质，掌握解法是解题的关键．8．(1)①()2,1,0--②2<<1x --或34x <<(2)234b t <--(3)213,5,4b n m =-=-<-【分析】（1）①待定系数法求出函数解析式，令0y =，求出点B 的坐标即可；②画出函数图像，图像法求出x 的取值范围即可；（2）求出二次函数的最小值，即可得解；（3）根据当m y n <<时（其中m n 、为实数，m n <），自变量x 的取值范围是12x <<，得到1x =和2x =关于对称轴对称，进而求出b 的值，得到n 为1x =的函数值，求出n ，推出直线y m =过抛物线顶点或在抛物线的下方，即可得出结论．【详解】（1）解：①∵函数图像与x 轴交于A B 、两点，点A 坐标为()3,0，∴20333b =+-，∴2b =-，∴2=23y x x --，∴当0y =时，2230x x --=，∴121,3x x =-=，答案第10页，共28页∴点B 的坐标是()1,0-；故答案为：()21,0--，；②2=23y x x --，列表如下：xL 2-1-134L y L 504-05L画出函数图像如下：由图可知：当<<0y 5时，2<<1x --或34x <<；（2）∵2223324b b y x bx x ⎛⎫=+-=+-- ⎪⎝⎭，∴当2b x =-时，y 有最小值为234b --；∵对于一切实数x ，若函数值y t >总成立，∴234b t <--；（3）∵2223324b b y x bx x ⎛⎫=+-=+-- ⎪⎝⎭，∴抛物线的开口向上，对称轴为2b x =-，又当m y n <<时（其中m n 、为实数，m n <），自变量x 的取值范围是12x <<，∴直线y n =与抛物线的两个交点为()()1,,2,n n ，直线y m =在抛物线的下方，∴()()1,,2,n n 关于对称轴对称，∴1222b +-=，∴3b =-，∴223932132424y x x ⎛⎫⎛⎫=---=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴23211524n ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭，当32x =时，y 有最小值214-，∴214m <-．答案第12页，共28页【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．本题的综合性较强，属于中考压轴题．9．B【分析】由图象得a<0，0c >，由对称轴12b x a=-=得20b a =->，20a b +=，0bc >；抛物线与x 轴的一个交点位于()2,0，()3,0两点之间，由对称性知另一个交点在(1,0)-，(0,0)之间，得0y a b c =-+<，于是13a c <-，进一步推知30c a -<<，由根与系数关系知1230x x -<< ；【详解】解：开口向下，得a<0，与y 轴交于正半轴，0c >，对称轴12b x a=-=，20b a =->，20a b +=，故①20a b +>错误；0bc >故②0bc <错误；抛物线与x 轴的一个交点位于()2,0，()3,0两点之间，对称轴为1x =，故知另一个交点在(1,0)-，(0,0)之间，故=1x -时，0y a b c =-+<∴(2)0a a c --+<，得13a c <-，故③13a c <-正确；由13a c <-，a<0，0c >知30c a -<<，∵1x ，2x 为方程20ax bx c ++=的两个根，∴12cx x a= ∴1230x x -<< ，故④正确；故选：B【点睛】本题考查二次函数图象性质，一元二次方程根与系数关系，不等式变形，掌握函数图象性质，注意利用特殊点是解题的关键．10．A【分析】先求得两个抛物线与x 轴的交点坐标，据此求解即可．【详解】解：令0y =，则220x m x -+=和220x m -=，解得0x =或2x m =或x m =-或x m =，不妨设0m >，∵()0m ，和()0m -，关于原点对称，又这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，∴()20m ，与原点关于点()0m ，对称，∴22m m =，∴2m =或0m =（舍去），答案第14页，共28页∵抛物线22y x m =-的对称轴为0x =，抛物线22y x m x =-+的对称轴为222m x ==，∴这两个函数图象对称轴之间的距离为2，故选：A ．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点问题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．11．B【分析】把12x x ，看做是直线y m =与抛物线223y x x =+-交点的横坐标，把34x x ，看做是直线y n =与抛物线223y x x =+-交点的横坐标，画出对应的函数图象即可得到答案．【详解】解：如图所示，设直线y m =与抛物线223y x x =+-交于A 、B 两点，直线y n =与抛物线223y x x =+-交于C 、D 两点，∵0m n >>，关于x 的方程2230x x m +--=的解为()1212,x x x x <，关于x 的方程2230x x n +--=的解为3434,()x x x x <，∴1234，，，x x x x 分别是A 、B 、C 、D 的横坐标，∴1342x x x x <<<，故选B．【点睛】本题主要考查了抛物线与一元二次方程的关系，正确把一元二次方程的解转换成直线与抛物线交点的横坐标是解题的关键．12．B【分析】根据题意，求得对称轴，进而得出1c b =-，求得抛物线解析式，根据抛物线与x 轴有交点得出240b ac ∆=-≥，进而得出2b =，则1c =，求得,A B 的横坐标，即可求解．【详解】解：∵抛物线22122y x bx b c =-+-+的对称轴为直线1222b b x b a =-=-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭∵抛物线经过23,()41,),(A b m B b c m -+-两点∴23412b bc b -++-=，即1c b =-，∴22221122222y x bx b c x bx b b =-+-+=-+-+-，∵抛物线与x 轴有交点，∴240b ac ∆=-≥，即()22142202b b b ⎛⎫-⨯-⨯-+-≥ ⎪⎝⎭，即2440b b -+≤，即()220b -≤，∴2b =，1211c b =-=-=，∴23264,418118b b c -=-=-+-=+-=，∴()()41238412AB b c b =+---=--=，故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数的对称性，与x 轴交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．13．C【分析】根据已知条件列出不等式，利用二次函数与x 轴的交点和二次函数的性质，即可解答．答案第16页，共28页【详解】解：0a < ，30y a ∴=->，点A ，B 都在直线3y a =-的上方，且12y y >，可列不等式：2483am am a ->-，0a < ，可得24830m m -+<，设抛物线21483y m m =-+，直线10x =，∴24830m m -+<可看作抛物线21483y m m =-+在直线10x =下方的取值范围，当10y =时，可得20483m m =-+，解得1213,22m m ==，40> ，21483y m m ∴=-+的开口向上，24830m m ∴-+<的解为1322m <<，根据题意还可列不等式：22448am am am am ->-，0a < ，∴可得22448m m m m -<-，整理得2340m m -+<，设抛物线2234y m m =-+，直线20x =，∴2340m m -+<可看作抛物线2234y m m =-+在直线20x =下方的取值范围，当20y =时，可得2034m m =-+，解得1240,3m m ==，30-<Q ，∴抛物线2234y m m =-+开口向下，2340m m ∴-+<的解为0m <或43m >，综上所述，可得4332m <<，故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，正确列出不等式是解题的关键．14．12x -<<##21x >>-【分析】写出图象在x 轴下方所对应的自变量的范围即可．【详解】解：由图象可知，当0y <时，12x -<<．故答案为：12x -<<．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点问题，二次函数与不等式的关系，利用了转化及数形结合的数学思想．15．1x <-或4x >##4x >或1x <-【分析】利用表中数据得到直线与抛物线的交点为()10-，和()45，，画出草图，从而得到当21y y >时，自变量x 的取值范围．【详解】解：∵当=1x -时，120y y ==；当4x =时，125y y ==；∴直线与抛物线的交点为()10-，和()45，，画出草图如图所示，答案第18页，共28页当21y y >时，1x <-或>4x ，故答案为：1x <-或>4x ．【点睛】本题考查了二次函数与不等式，对于二次函数2y ax bx c =++（a 、b 、c 是常数，0a ≠）与不等式的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．16．03x <<【分析】根据已知图象，确定交点横坐标,再找出直线在抛物线上方的部分，即可得到答案．【详解】解：由图象可知，抛物线与直线交点的横坐标分别为0、3，当03x <<时，直线在抛物线上方，∴不等式2ax bx kx +<的解集为03x <<，故答案为：03x <<．【点睛】本题考查了二次函数与不等式的关系，利用数形结合的思想解决问题是解题关键．17．1x <或3x >【分析】利用图象法解不等式即可．【详解】解：∵()220ax b x c +-+>，∴22ax bx c x ++>，将不等式转化为两个函数：2y ax bx c =++与2y x =的交点问题，由图可知：点()()1,2,3,6在抛物线2y ax bx c =++，又∵()()1,2,3,6满足直线2y x =的解析式，∴两个函数的交点坐标为：()()1,2,3,6，由图象可知：当1x <或3x >时，22ax bx c x ++>，∴不等式()220ax b x c +-+>的解集是1x <或3x >；故答案为：1x <或3x >．【点睛】本题考查图象法求不等式的解集．解题的关键是将不等式转化为二个函数图象交点的问题，利用数形结合的思想进行求解．18．5【分析】（1）仿照例题得出()2252142104m m m ⎛⎫-+---≥ ⎪⎝⎭，进而根据二次函数的性质即可求解．（2）令2x y t -=，则2x t y =+，将2x t y =+代入，得()()2222221t y t y y y +-++=，根据题意得出222Δ43640+200b ac t t =-=-≥，进而根据二次函数的性质即可求解．【详解】解：（1）∵关于x 的方程2252214x mx x m m -++-=，即22522104x mx x m m -++--=有实数根，∴240b ac ∆=-≥，1,21a b m ==-+，25214c m m =--，即()2252142104m m m ⎛⎫-+---≥ ⎪⎝⎭答案第20页，共28页∴2540m m +-≥设函数()245f m m m =-++当()0f m ≥时，15m -≤≤综上max 5m =，故答案为：5．（2）令2x y t -=，则2x t y =+，将2x t y =+代入，()()2222221t y t y y y +-++=整理得2256210y ty t ++-=，该方程有实数根，∴222Δ43640+200b ac t t =-=-≥∴t ≤≤t即2x y -【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．19．(1)m =1(2)二次函数22y x x =+-的图象与x 轴有两个交点，理由见解析．【分析】（1）把P (2，4)代入y =x 2+mx +m 2−3即可求得m 的值；（2）首先求出Δ=b 2-4ac 的值，进而得出答案．【详解】（1）解：∵二次函数y =x 2+mx +m 2−3图象经过点P (2，4)，∴4=4+2m +m 2−3，即m 2+2m −3=0，解得：m 1=1，m 2=−3，又∵m >0，∴m =1；（2）解：由（1）知二次函数y =x 2+x −2，∵Δ=b 2−4ac =12+8=9>0，∴二次函数y =x 2+x −2的图象与x 轴有两个交点．【点睛】此题主要考查了抛物线与x 轴的交点以及一元二次方程的解法，得出△的值是解题关键．20．（1）2m =-，2b =；（2）不等式2x mx +>x b -+的解集为1x <-或2x >；（3）点M 的横坐标M x 的取值范围是：12M x -≤<或3M x =．【分析】（1）把A (2，0)分别代入两个解析式，即可求得m 和b 的值；（2）解方程222x x x -=-+求得点B 的坐标为(-1，3)，数形结合即可求解；（3）画出图形，利用数形结合思想求解即可．【详解】解：（1）∵点A (2，0)同时在2y x mx =+与y x b =-+上，∴2022m =+，02b =-+，解得：2m =-，2b =；（2）由（1）得抛物线的解析式为22y x x =-，直线的解析式为2y x =-+，解方程222x x x -=-+，得：1221x x ==-，．∴点B 的横坐标为1-，纵坐标为23y x =-+=，∴点B 的坐标为(-1，3)，观察图形知，当1x <-或2x >时，抛物线在直线的上方，答案第22页，共28页∴不等式2x mx +>x b -+的解集为1x <-或2x >；（3）如图，设A 、B 向左移3个单位得到A 1、B 1，∵点A (2，0)，点B (-1，3)，∴点A 1(-1，0)，点B 1(-4，3)，∴A A 1=BB 1=3，且A A 1∥BB 1，即MN 为A A 1、BB 1相互平行的线段，对于抛物线()22211y x x x =-=--，∴顶点为(1，-1)，如图，当点M 在线段AB 上时，线段MN 与抛物线22y x x =-只有一个公共点，此时12M x -≤<，当线段MN 经过抛物线的顶点(1，-1)时，线段MN 与抛物线22y x x =-也只有一个公共点，此时点M 1的纵坐标为-1，则12M x -=-+，解得3M x =，综上，点M 的横坐标M x 的取值范围是：12M x -≤<或3M x =．．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质；能够画出图形，结合函数图象，运用二次函数的性质求解是关键．21．(1)223y x x =-++和23y x =-+(2)0x <或4x >(3)14n ≤≤【分析】（1）将点A 的坐标代入23y x mx =-++，2y x b =-+求出m 、b 的值即可；（2）求出点B 的坐标，根据图象得出不等式的解集即可；（3）求出点P 的坐标为1,42⎛⎫- ⎪⎝⎭，直线AB 与抛物线对称轴的交点为()1,1，结合图象即可得出答案．【详解】（1）解：将点()4,5A -代入23y x mx =-++得：25443m -=-++，解得：2m =，将点()4,5A -代入2y x b =-+得：524b -=-⨯+，解得：3b =，∴抛物线和直线的解析式分别为223y x x =-++和23y x =-+．（2）解：联立22323y x x y x ⎧=-++⎨=-+⎩，解得：1103x y =⎧⎨=⎩，2145x y =⎧⎨=-⎩，∴()0,3B ，∴根据图象可知，不等式232x mx x b -++<-+的解集为0x <或>4x ；（3）解：把1,2P t ⎛⎫- ⎪⎝⎭代入23y x =-+得：4t =，∴点P 的坐标为1,42⎛⎫- ⎪⎝⎭，∵抛物线解析式为()222314y x x x =-++=--+，∴抛物线的顶点坐标为()1,4，对称轴为直线1x =，把1x =代入23y x =-+得：1y =，∴直线AB 与抛物线对称轴的交点为()1,1，根据图象可知，当直线PN 与图像G 有公共点时，14n ≤≤．答案第24页，共28页【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，一次函数解析式，一次函数与二次函数的交点问题，解题的关键是数形结合，熟练掌握待定系数法，以及求出两个函数解析式和交点坐标．22．(1)见解析(2)0a =或1a =-或1a =或2a =-【分析】（1）分12a =-与12a ≠-两种情况讨论论证即可；（2）当12a =-时，不符合题意，当12a ≠-时，对于函数2(42)(96)44y a x a x a =++--+，令0y =，得2(42)(96)440a x a x a ++--+=，从而有4421a x a -=+或12x =-，根据整数a ，使图象T 与x 轴的公共点中有整点，即x 为整数，从而有211a +=或211a +=-或212a +=或212a +=-或213a +=或213a +=-或216a +=或216a +=-，解之即可．【详解】（1）解：当12a =-时，420a +=，函数2(42)(96)44y a x a x a =++--+为一次函数126y x =+，此时，令0y =，则1260x +=，解得12x =-，∴一次函数126y x =+与x 轴的交点为102⎛⎫- ⎪⎝⎭；当12a ≠-时，420a +≠，函数2(42)(96)44y a x a x a =++--+为二次函数，∵2(42)(96)44y a x a x a =++--+，∴()2(96)(42)444a a a ∆=+---+228110836643232a a a a =-++--214049100a a -+=。
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第1部分 第二单元 方程(组)与不等式(组)
2．已知a是方程x2－2x－3＝0的一个根，则代数式 a2－2a－1的值为_____2_____.
3．用适当的方法解下列方程： (1)(x＋2)2－9＝0; (2)x2＋5x＝0； 解：(1)移项，得(x＋2)2＝9. 由此可得x＋2＝±3， x1＝1，x2＝－5. (2)因式分解，得x(x＋5)＝0. 于是得x＝0，或x＋5＝0， x1＝0，x2＝－5.
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第1部分 第二单元 方程(组)与不等式(组)
五、一元二次方程的应用
步相骤同：，列即一审元、二设次、方列程、解解应、用验题以的及步答骤和列一次方程组解应用题的步骤
应 用
常见类型增利长润率问问题题：总12b利..为增设润增长a为＝长率基单后＝础件的基量增利量础，量润，量m×则×为销a1平01售0＋均%量m增n长＝率b ，n为增长次数，
所有一元 二次方程
＋c＝ 0(a≠0，
b2－
4ac≥0)
方程的解
x＝± ka－h
－b± b2－4ac x＝③_____2_a____
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第1部分 第二单元 方程(组)与不等式(组)
方法
因式分 解法
方程的形
适用的方程
方程的解
式
容易变形为
(x－a)(x－b) (x－a)(x－
＝0形式的 b)＝0
x1＝a，x2＝b
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第1部分 第二单元 方程(组)与不等式(组)
(3)2x2－4x－1＝0; (4)2x2－3x＝3.
专题02 方程、不等式中的含参问题-玩转压轴题,争取满分之备战中考数学选填题高端精品(解析版)
专题二方程、不等式中的含参问题【考法综述】1.一次方程组的含参问题一是方程组与不等式的联系时，产生的未知数的正数解或解的范围，解决这类问题是把所给的参数作为常数，利用二元一次方程组的解法代入消元法、加减消元法，先求出二元一次方程组的解，再结合所给的条件转化为对应的不等式问题；二是利用整体思想，求代数式的值，结合所给的已知条件和所求问题，找到两者之间的联系，利用整体思想和转化思想加以解决.2.一元二次方程的参数问题主要是含有参数的一元二次方程的解、一元二次方程的解的情况、一元二次方程的公共解，针对一元二次方程的参数，常利用韦达定理、根的判别式来解决，同时注意二次项系数不能为零.若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个根分别为x1、x2,则x1+x2=-b/a,x1x2=c/a.注意运用根与系数关系的前提条件是△≥0.已知一元二次方程，求关于方程两根的代数式的值时，先把所求代数式变形为含有x1+x2、x1x2的式子，再运用根与系数的关系求解.3．分式方程的参数问题主要是分式方程无解、有正数解或负数解、整数解的问题，解决此类问题的关键是化分式方程为整式方程.在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．4.不等式、不等式组的参数问题主要涉及不等式（组）有解问题、无解问题、解的范围问题，解决此类问题，要掌握不等式组的解法口诀以及在数轴上熟练表示出解集的范围.已知不等式（组）的解集情况，求字母系数时，一般先视字母系数为常数，再逆用不等式（组）解集的定义，反推出含字母的方程，最后求出字母的值.学+科网【典例剖析】考点一、一次方程组的含参问题例1方程组的解x，y满足x＞y，则m的取值范围是（）A．m＞B．m＞C．m＞D．m＞【答案】﹣．【解析】试题分析：解此题时可以运用代入消元法，解出二元一次方程组中x，y关于m的式子，然后根据x＞y解出m的取值范围．试题解析：由①得x=，代入②得，8×﹣3y=m，y=．∵x＞y，即＞，解得m＞．故选D．【点评】此题考查的是二元一次方程组和不等式的性质，先解出x，y关于m的式子，再根据x＞y，求出m 的范围即可．&变式训练&变式1.1已知x+2y﹣3z=0，2x+3y+5z=0，则=．【点评】此题需将三元一次方程组中的一个未知数当做已知数来处理，转化为二元一次方程组来解．变式1.2已知三个非负实数a，b，c满足：3a+2b+c=5和2a+b﹣3c=1，若m=3a+b﹣7c，则m的最小值为．【解析】试题分析：解方程组，用含m的式子表示出a，b，c的值，根据a≥0，b≥0，c≥0，求得m的取值范围而求得m的最小值．试题解析：由题意可得，解得a=﹣3，b=7﹣，c=，由于a，b，c是三个非负实数，∴a≥0，b≥0，c≥0，∴﹣≥m≥﹣．﹣．所以m最小值=故本题答案为：﹣．变式1.3已知等式（2A﹣7B）x+（3A﹣8B）=8x+10对一切实数x都成立，则A=，B=．【答案】，﹣．【解析】【点评】本题考查了二元一次方程组的解法．解决本题的关键在于转化为关于A、B的二元一次方程组；体现了转化思想的应用．学科+网考点二、一元二次方程的含参问题例2关于x的方程x2+mx﹣9=0和x2﹣3x+m2+6m=0有公共根，则m的值为．【答案】﹣3，0，﹣4.5．【解析】试题分析：设这个公共根为α，那么根据两根之和的表达式，可知方程x2+mx﹣9=0的两根为α、﹣m﹣α；方程x2﹣3x+m2+6m=0的两根为α、3﹣α．再根据两根之积的表达式，可知α（﹣m﹣α）=﹣9，α（3﹣α）=m2+6m，然后对两式整理，用α表示m，再代入其中一个方程消掉α，求解即可得到m的值．试题解析：设这个公共根为α．则方程x2+mx﹣9=0的两根为α、﹣m﹣α；方程x2﹣3x+m2+6m=0的两根为α、3﹣α，由根与系数的关系有：α（﹣m﹣α）=﹣9，α（3﹣α）=m2+6m，整理得，α2+mα=9①，α2﹣3α+m2+6m=0②，②﹣①得，m2+6m﹣3α﹣mα=﹣9，即（m+3）2﹣α（m+3）=0，（m+3）（m+3﹣α）=0，所以m+3=0或m+3﹣α=0，解得m=﹣3或α=m+3，把α=m+3代入①得，（m+3）2+m（m+3）=9，m2+6m+9+m2+3m=9，m（2m+9）=0，所以m=0或2m+9=0，解得m=0或m=﹣4.5，综上所述，m的值为﹣3，0，﹣4.5．故答案为：﹣3，0，﹣4.5．【点评】本题主要考查了公共根的定义，一元二次方程根与系数的关系及由两个二元二次方程组成的方程组的解法．高次方程组的解法在初中教材中不要求掌握，属于竞赛题型，本题有一定难度．&变式训练&变式2.1已知a是一元二次方程x2﹣2008x+1=0的一个根，则代数式的值是．【答案】2007【解析】试题分析：将一个根a代入x2﹣2008x+1=0，可得：a2﹣2008a+1=0，故有a2﹣2007a=a﹣1，和a2+1=2008a；代入要求的代数式，整理化简即可．试题解析：由题意，把根a代入x2﹣2008x+1=0，可得：a2﹣2008a+1=0，∴a2﹣2007a﹣a+1=0，a2+1=2008a；∴a2﹣2007a=a﹣1，∴=a﹣1+=a+﹣1=﹣1=﹣1=2008﹣1，=2007．【点评】本题规律为已知一元二次方程的一个解，则这个解一定满足方程，将其代入方程去推理、判断；将代数式与已知条件联系起来，从两头朝中间寻找关系．变式2.2已知关于x的方程（k2﹣1）x2+（2k﹣1）x+1=0有两个不相等的实数根，那么实数k的取值范围为．【答案】k＜且k≠±1【点评】总结：1、一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．2、一元二次方程的二次项系数不为0．变式2.3已知α、β是方程x2﹣2x﹣4=0的两个实数根，则α3+8β+6的值为（）A．﹣1B．2C．22D．30【答案】D【解析】试题分析：根据求根公式x=求的α、β的值，然后将其代入所求，并求值．试题解析：方法一：方程x2﹣2x﹣4=0解是x=，即x=1±，∵α、β是方程x2﹣2x﹣4=0的两个实数根，∴①当α=1+，β=1﹣时，α3+8β+6，=（1+）3+8（1﹣）+6，=16+8+8﹣8+6，=30；②当α=1﹣，β=1+时，α3+8β+6，=（1﹣）3+8（1+）+6，=16﹣8+8+8+6，=30．方法二：∵α、β是方程x2﹣2x﹣4=0的两个实数根，∴α+β=2，α2﹣2α﹣4=0，∴α2=2α+4∴α3+8β+6=α•α2+8β+6=α•（2α+4）+8β+6=2α2+4α+8β+6=2（2α+4）+4α+8β+6=8α+8β+14=8（α+β）+14=30，故选D．变式2.4对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），下列说法：①若b=2，则方程ax2+bx+c=0一定有两个相等的实数根；②若方程ax2+bx+c=0有两个不等的实数根，则方程x2﹣bx+ac=0也一定有两个不等的实数根；③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有ac+b+1=0成立；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，则b2﹣4ac=（2ax0+b）2，其中正确的（）A．只有①②③B．只有①②④C．①②③④D．只有③④【答案】B【解析】试题分析：判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△=b2﹣4ac的值的符号就可以了．④难度较大，用到了求根公式表示x0．试题解析：①若b=2，方程两边平方得b2=4ac，即b2﹣4ac=0，所以方程ax2+bx+c=0一定有两个相等的实数根；②若方程ax2+bx+c=0有两个不等的实数根，则b2﹣4ac＞0方程x2﹣bx+ac=0中根的判别式也是b2﹣4ac=0，所以也一定有两个不等的实数根；③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有ac2+bc+c=0成立，当c≠0时ac+b+1=0成立；当c=0时ac+b+1=0不成立；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，可得x0=，把x0的值代入（2ax0+b）2，可得b2﹣4ac=（2ax0+b）2，综上所述其中正确的①②④．故选B【点评】此题主要考查了根的判别式及其应用．尤其是④难度较大，用到了求根公式表示x0，整体代入求b2﹣4ac=（2ax0+b）2．考点三、分式方程的含参问题例3．已知方程的两根分别为a，，则方程=a+的根是（）A．a，B．，a﹣1C．，a﹣1D．a，【答案】D【解析】试题分析：首先观察已知方程的特点，然后把方程=a+变形成具有已知方程的特点的形式，从而得出所求方程的根．【点评】观察出已知方程的特点是解答本题的前提，把方程=a+变形成具有已知方程的特点的形式是解答本题的关键．&变式训练&变式3.1若关于x的方程=3的解是非负数，则b的取值范围是．【答案】b≤3且b≠2【解析】试题分析：先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是非负数”建立不等式求b的取值范围．试题解析：去分母得，2x﹣b=3x﹣3∴x=3﹣b∵x≥0∴3﹣b≥0解得，b≤3又∵x﹣1≠0∴x≠1即3﹣b≠1，b≠2则b的取值范围是b≤3且b≠2．【点评】由于我们的目的是求b的取值范围，根据方程的解列出关于b的不等式，另外，解答本题时，易漏掉分母不等于0这个隐含的条件，这应引起足够重视．变式3.2观察分析下列方程：①，②，③；请利用它们所蕴含的规律，求关于x 的方程（n为正整数）的根，你的答案是：．【答案】x=n+3或x=n+4．【解析】试题分析：首先求得分式方程①②③的解，即可得规律：方程x+=a+b的根为：x=a或x=b，然后将x+=2n+4化为（x﹣3）+=n+（n+1），利用规律求解即可求得答案．试题解析：∵由①得，方程的根为：x=1或x=2，由②得，方程的根为：x=2或x=3，由③得，方程的根为：x=3或x=4，∴方程x+=a+b的根为：x=a或x=b，∴x+=2n+4可化为（x﹣3）+=n+（n+1），∴此方程的根为：x﹣3=n或x﹣3=n+1，即x=n+3或x=n+4．故答案为：x=n+3或x=n+4．【点评】此题考查了分式方程的解的知识．此题属于规律性题目，注意找到规律：方程x+=a+b的根为：x=a或x=b是解此题的关键．变式3.3已知关于x的方程只有整数解，则整数a的值为．【答案】﹣2，0或4【解析】试题分析：首先解此分式方程，即可求得x==﹣2﹣，由方程只有整数解，可得1﹣a=3或1或﹣3或﹣1，然后分别分析求解即可求得答案，注意分式方程需检验．试题解析：方程两边同乘以（x﹣1）（x+2），得：2（x+2）﹣（a+1）（x﹣1）=3a，解得：x==﹣2﹣，∵方程只有整数解，∴1﹣a=3或1或﹣3或﹣1，当1﹣a=3，即a=﹣2时，x=﹣2﹣1=﹣3，检验，将x=﹣3代入（x﹣1）（x+2）=4≠0，故x=﹣3是原分式方程的解；当1﹣a=1，即a=0时，x=﹣2﹣3=﹣5，检验，将x=﹣5代入（x﹣1）（x+2）=18≠0，故x=﹣7是原分式方程的解；当1﹣a=﹣3，即a=4时，x=﹣2+1=﹣1，检验，将x=﹣1代入（x﹣1）（x+2）=﹣2≠0，故x=﹣1是原分式方程的解；当1﹣a=﹣1，即a=2时，x=1，检验，将x=1代入（x﹣1）（x+2）=0，故x=1不是原分式方程的解；∴整数a的值为：﹣2，0或4．学*科网故答案为：﹣2，0或4．【点评】此题考查了分式方程的解知识．此题难度较大，注意分类讨论思想的应用是解此题的关键．考点四、不等式（组）的含参问题例4．[x]表示不超过x的最大整数．如，[π]=3，[2]=2，[﹣2.1]=﹣3．则下列结论：①[﹣x]=﹣[x]；②若[x]=n，则x的取值范围是n≤x＜n+1；③当﹣1＜x＜1时，[1+x]+[1﹣x]的值为1或2；④x=﹣2.75是方程4x﹣2[x]+5=0的唯一一个解．其中正确的结论有（写出所有正确结论的序号）．【答案】②③．【解析】试题分析：①举出反例即可求解；②根据[x]表示不超过x的最大整数的定义即可求解；③分两种情况：﹣1＜x＜0；x=0；0＜x＜1；进行讨论即可求解；④首先确定x﹣[x]的范围为0～1，依此可得﹣5≤2x＜﹣7，即﹣2.5≤x＜﹣3.5，再找到满足条件的x值即为所求．④x﹣[x]的范围为0～1，4x﹣2[x]+5=0，﹣5≤2x＜﹣7，即﹣2.5≤x＜﹣3.5，x=﹣2.75或x=﹣3.25都是方程4x﹣2[x]+5=0，故原来的说法错误．故答案为：②③．【点评】本题考查了不等式的应用，正确理解[x]表示不超过x的最大整数是关键．&变式训练&变式4.1如果关于x的不等式（a+b）x+2a﹣b＞0的解集是x＜，那么关于x的不等式（b﹣a）x+a+2b≤0的解集是．【答案】x≥﹣．【解析】试题分析：先根据关于x的不等式（a+b）x+2a﹣b＞0的解集是x＜，得出b=﹣3a以及a的取值范围，进而得到b﹣a=﹣4a＜0，再根据b=﹣3a，即可得到关于x的不等式（b﹣a）x+a+2b≤0的解集．试题解析：∵关于x的不等式（a+b）x+2a﹣b＞0的解集是x＜，∴x＜，∴=，且a+b＜0，即b=﹣3a，a+b＜0，∴a﹣3a＜0，即a＞0，∴b﹣a=﹣4a＜0，∴关于x的不等式（b﹣a）x+a+2b≤0的解集是x≥，∵==﹣，∴关于x的不等式（b﹣a）x+a+2b≤0的解集是x≥﹣，故答案为：x≥﹣．【点评】本题主要考查了解一元一次不等式的应用，解题时注意：根据不等式的基本性质，在去分母和化系数为1时可能需要改变不等号方向．变式4.2若不等式组无解，则m的取值范围是．【答案】m＜【解析】试题分析：先求出各个不等式的解集，因为不等式组无解，所以必须是大大小小找不到的情况，由此即可求出答案．试题解析：解不等式组可得，因为不等式组无解，所以m＜．【点评】本题主要考查了已知一元一次不等式组的解集，求不等式组中的字母的值，同样也是利用口诀求解．变式4.3按下面程序计算，若开始输入x的值为正数，最后输出的结果为656，则满足条件所有x的值是．【答案】131或26或5或【解析】试题分析：利用逆向思维来做，分析第一个数就是直接输出656，可得方程5x+1=656，解方程即可求得第一个数，再求得输出为这个数的第二个数，以此类推即可求得所有答案．【点评】此题考查了方程与不等式的应用．注意理解题意与逆向思维的应用是解题的关键．变式4.4若关于x的不等式组解集为x＜2，则a的取值范围是．【答案】a≥2【解析】试题分析：求出不等式组的解集，与已知解集x＜2比较，可以求出a的取值范围．试题解析：由＞+1，得2x+8＞3x+6，解得x＜2，由x﹣a＜0，得x＜a，又因关于x的不等式组解集为x＜2，所以a≥2．【点评】本题是已知不等式组的解集，求不等式中另一未知数的问题．可以先将另一未知数当作已知数处理，求出解集与已知解集比较，进而求得另一个未知数．【实战演练】1.（2017重庆A 卷第12题）若数a 使关于x 的分式方程2411y a x x++=--的解为正数，且使关于y 的不等式组12()y 232y a y ⎧+->-≤⎪⎨⎪⎩的解集为y＜﹣2，则符合条件的所有整数a 的和为（）A．10B．12C．14D．16【答案】B.【解析】试题解析：分式方程2411y a x x ++=--的解为x=6-4a ，∵关于x 的分式方程+=4的解为正数，∴6-4a ＞0，∴a＜6．y 123)02(2①y ②y a ⎧+>≤--⎪⎨⎪⎩，解不等式①得：y＜﹣2；解不等式②得：y≤a．∵关于y 的不等式组12()y 232y a y ⎧+->-≤⎪⎨⎪⎩的解集为y＜﹣2，∴a≥﹣2．∴﹣2≤a＜6．∵a 为整数，∴a=﹣2、﹣1、0、1、2、3、4、5，（﹣2）+（﹣1）+0+1+2+3+4+5=12．故选B．学*科网考点：1.分式方程的解；2.解一元一次不等式组.2.（2017甘肃兰州第6题）如果一元二次方程2230x x m ++=有两个相等的实数根，那么是实数m 的取值A.98m >B.89m >C.98m =D.89m =【答案】98m =考点：根的判别式．3.（2017山东烟台第10题）若21,x x 是方程01222=--+-m m mx x 的两个根，且21211x x x x -=+，则m 的值为（）A．1-或2B．1或2- C.2-D．1【答案】D．【解析】试题解析：∵x 1，x 2是方程x 2﹣2mx+m 2﹣m﹣1=0的两个根，∴x 1+x 2=2m，x 1•x 2=m 2﹣m﹣1．∵x 1+x 2=1﹣x 1x 2，∴2m=1﹣（m 2﹣m﹣1），即m 2+m﹣2=（m+2）（m﹣1）=0，解得：m 1=﹣2，m 2=1．∵方程x 2﹣2mx+m 2﹣m﹣1=0有实数根，∴△=（﹣2m）2﹣4（m 2﹣m﹣1）=4m+4≥0，解得：m≥﹣1．∴m=1．故选D．考点：根与系数的关系．4.(2017江苏宿迁第5题)已知45m <<，则关于x 的不等式组0420x m x -<⎧⎨-<⎩的整数解共有A ．1个B．2个 C.3个D．4个5.(2017浙江金华第9题)若关于x 的一元一次不等式组()2132,x x x m->-⎧⎪⎨<⎪⎩的解是5x <，则m 的取值范围是（）A．5m ≥B．5m > C.5m ≤D．5m <【答案】A.【解析】试题分析：解第一个不等式得：x ＜5；解第二个不等式得：x ＜m ；因为不等式组的解是x ＜5，根据不等式组解集的判定方法即可得m ≥5，故选A.6.（2017甘肃庆阳第15题）若关于x 的一元二次方程（k-1）x 2+4x+1=0有实数根，则k 的取值范围是【答案】k≤5且k≠1.考点：根的判别式．7.（2017山东烟台第15题）运行程序如图所示，从“输入实数x ”到“结果是否18<”为一次程序操作，若输入x 后程序操作仅进行了一次就停止，则x 的取值范围是.【答案】x＜8．【解析】试题解析：依题意得：3x﹣6＜18，解得x＜8．考点：一元一次不等式的应用．考点：1.分式方程的解；2.解一元一次不等式9.（2017四川宜宾第13题）若关于x、y的二元一次方程组2m133x yx y⎧-=+⎨+=⎩的解满足x+y＞0，则m的取值范围是．【答案】m＞﹣2．考点：1.解一元一次不等式；2.二元一次方程组的解.10.(2017四川泸州第15题)关于x的分式方程2322x m mx x++=--的解为正实数，则实数m的取值范围是．【答案】m<6且m≠2.【解析】试题分析：方程两边同乘以x-2可得，x+m-2m=3（x-2），解得x=62m--，因方程的解为正实数，且x-2≠0，所以62m-->0且m≠2，即m<6且m≠2.11.(2017江苏宿迁第14题)若关于x的分式方程1322m xx x-=---有增根，则实数m的值是．【答案】1.【解析】试题分析：方程两边同乘以x-2，可得m=x-1-3（x-2），解得m=-2x+5，因分式方程1322m xx x-=---有增根，可得x=2，所以m=1.12.(2017山东菏泽第10题)关于的一元二次方程的一个根式，则的值是_______.【答案】0.【解析】试题分析：把x=0代入，得，解得k=1(舍去)，或k=0;。
初三数学方程组与不等式组试题答案及解析
初三数学方程组与不等式组试题答案及解析1.不定方程的正整数解的组数是（）A．0组B．2组C．4组D．无穷多组【答案】A【解析】根据式子特点，若有解，x必为奇数，将原式整理，得出两侧分别为奇数与偶数，矛盾，即可得出结论．若有解，x必为奇数，令x=2n+1，（2n+1）2=2y2+5，整理得2n（n+1）=2+y2，y为偶数，令y=2m，2n（n+1）=2+4m2，n（n+1）=1+2m2，左边为偶数，右边为奇数．所以无整数解，故选A．此题考查了非一次不定方程的解，将原式变形转化为奇偶性问题并推出矛盾是解题的关键．2.（8分）先化简，再求值：，其中满足【答案】x 2【解析】本题考查因式分解及代数式的化简.由，此处又得，解得或（舍）故原式的值为3.以下有甲、乙、丙、丁四组资料甲：13，15，11，12，15，11，15 乙：6，9，8，7，9，9，8，5，4丙：5，4，5，7，1，7，8，7，4 丁：17，11，10，9，5，4，4，3判断哪一组资料的全距最小？A．甲B．乙C．丙D．丁【答案】A【解析】全距应该是人教版中所说的极差，即一组数据中的最大值与最小值之差，显然甲组的极差最大，故选A4.用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据一元二次方程解法的要求，可先化为，然后根据配方的要求：方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，因此可得，因此配方为.故选D【考点】配方法解一元二次方程5.已知二次函数的图像经过点，对称轴是经过且平行于轴的直线。
（1）求、的值（2）如图，一次函数的图像经过点，与轴相交于点，与二次函数的图像相交于另一点B，点B在点P的右侧，，求一次函数的表达式。
【答案】（1）m=2，n=-2，（2）一次函数的表达式为y=x+4．【解析】（1）利用对称轴公式求得m，把P（-3，1）代入二次函数y=x2+mx+n得出n=3m-8，进而就可求得n；（2）根据（1）得出二次函数的解析式，根据已知条件，利用平行线分线段成比例定理求得B的纵坐标，代入二次函数的解析式中求得B的坐标，然后利用待定系数法就可求得一次函数的表达式．试题解析：∵对称轴是经过（-1，0）且平行于y轴的直线，∴-=-1，∴m=2，∵二次函数y=x2+mx+n的图象经过点P（-3，1），∴9-3m+n=1，得出n=3m-8.∴n=3m-8=-2；（2）∵m=2，n=-2，∴二次函数为y=x2+2x-2，作PC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，则PC∥BD，∴∵P（-3，1），∴PC=1，∵PA：PB=1：5，∴∴BD=6，∴B的纵坐标为6，代入二次函数为y=x2+2x-2得，6=x2+2x-2，解得x1=2，x2=-4（舍去），∴B（2，6），∴解得∴一次函数的表达式为y=x+4．【考点】1.待定系数法求二次函数解析式；2.待定系数法求一次函数解析式．6.王大爷用280元买了甲、乙两种药材，甲种药材每千克20元，乙种药材每千克60元，且甲种药材比乙种药材多买了2千克，则甲种药材买了千克．【答案】5．【解析】5设买了甲种药材x千克，乙种药材（x﹣2）千克，依题意，得20x+60（x﹣2）=280，解得：x=5．即：甲种药材5千克．故答案为：5．【考点】一元一次方程的应用．7.已知x1＝3是关于x的一元二次方程的一个根，则方程的另一个根x2是．【答案】1．【解析】根据根与系数的关系，由两根之和可得3+x2=4，求出方程的另一个根为1．【考点】根与系数的关系．8.若关于x的方程无解，则m的值为（）A．－1.5 B．1C．－1.5或2 D．－0.5或－1.5【答案】D．【解析】去分母得，，整理得，，∵关于x的分式方程无解，∴x=3或x=0，把x=3代入，得：，解得；把x=0代入得，，无解，又∵2m+1=0时，方程无解，∴，所以m的值为﹣1.5或﹣0.5．故选D．【考点】分式方程的解．9.关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（）A．≥B．≤C．≥D．≤【答案】D．【解析】由关于的一元二次方程有实数根可得△≥0，即1-4m≥0，解得≤，故答案选D．【考点】一元二次方程根的判别式．10.不等式组的解集在数轴上表示为（）．A．B．C．D．【答案】D【解析】首先确定不等式组的解集，然后在数轴上表示出来即可．【考点】1．一元一次不等式组的解；2．数轴．11.某种药品原价为60元/盒，经过连续两次降价后售价为48．6元/盒．设平均每次降价的百分率为x，则根据题意，可列方程为．【答案】【解析】设平均每次降价的百分率为x，第一次降价后售价为60（1－x），第二次降价后售价为．据此列出方程：．【考点】一元二次方程的应用（增长率问题）12.分式方程的解为（）A．x = 0B．x = 3C．x =5D．x = 9【答案】D．【解析】方程两边同乘以x（x-3）可得2x=3（x-3），解得x=9，经检验x=9是分式方程的解，故答案选D．【考点】分式方程的解法．13.不等式组的解集在数轴上表示正确的是【答案】B【解析】，解不等式1得：x＞-2，解不等式2得; ,所以不等式组的解集是-2＜，所以在数轴上表示成B，故选：B．【考点】不等式组的解集．14.方程的解是A．B．或C．D．或【答案】D【解析】因为所以或，故选：D．【考点】解一元二次方程．15.（本题满分10分）扬州建城2500年之际，为了继续美化城市，计划在路旁栽树1200棵，由于志愿者的参加，实际每天栽树的棵树比原计划多20%，结果提前2天完成，求原计划每天栽树多少棵？【答案】原计划每天种树100棵【解析】设原计划每天种树x棵，则实际每天栽树的棵数为（1+20%），根据题意知：实际比计划少用2天，然后列方程求解．试题解析：设原计划每天种树x棵，则实际每天栽树的棵数为（1+20%），由题意得，，解得：x=100，经检验，x=100是原分式方程的解，且符合题意．答：原计划每天种树100棵．【考点】分式方程的应用16.（6分）解不等式组请结合题意，完成本题解答．（Ⅰ）解不等式①，得x＞2；（Ⅱ）解不等式②，得x≤4；（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：（Ⅳ）原不等式组的解集为2＜x≤4．【答案】x＞2，x≤4，2＜x≤4．【解析】本题考查的是解一元一次不等式组，应熟知解不等式的原则，即“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”．先分别求出各不等式的解集，再求出他们的公共解集，最后在数轴上表示出来即可．试题解析：解：（Ⅰ）解不等式①得，x＞2；（Ⅱ）解不等式②得，x≤4；（Ⅲ）在数轴上表示为：；（Ⅳ）所以不等式组的解集为：2＜x≤4．故答案为：x＞2，x≤4，2＜x≤4．【考点】1．解一元一次不等式组；2．在数轴上表示不等式的解集．17.解不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）【答案】C．【解析】试题解析：解不等式①，得x≤-1．解不等式②，得x＞-3，则原不等式组的解集为：-3＜x≤-1．表示在数轴上为：．故选C．【考点】1．在数轴上表示不等式的解集；2．解一元一次不等式组．18.（7分）已知关于x的一元二次方程．（1）若方程有实数根，求实数的取值范围；（2）若方程两实数根分别为，，且满足，求实数的值．【答案】（1）；（2）2．【解析】（1）若方程有实数根，则△≥0，解不等式即可；（2）由根与系数的关系得到，，由和，得到，即，代入即可得到结果．试题解析：（1）∵关于x的一元二次方程有实数根，∴△≥0，即，∴；（2）根据题意得，，∵，∴，∵，∴，∴，即，解得m=2，m=﹣14（舍去），∴m=2．【考点】1．根的判别式；2．根与系数的关系；3．综合题．19.分式方程的解是．【答案】x=－4【解析】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根.去分母得：4x﹣12=7x，解得：x=﹣4，经检验x=﹣4是分式方程的解．【考点】解分式方程20.方程5x2﹣4x﹣1=0的二次项系数和一次项系数分别为（）A．5和4B．5和﹣4C．5和﹣1D．5和1【答案】B【解析】根据ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，可得5x2﹣4x﹣1=0的二次项系数和一次项系数分别为5，﹣4，故选：B．【考点】一元二次方程的一般形式21.网购悄然盛行，我国2012年网购交易额为1.26万亿人民币，2014年我国网购交易额达到了2.8万亿人民币．如果设2013年、2014年网购交易额的平均增长率为x，则依题意可得关于x的一元二次方程为 .【答案】1.26（1+x）2=2.8．【解析】设平均增长率为x，根据题意可列出方程为：1.26（1+x）2=2.8．【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．22.选用适当的方法解下列方程（每小题4分，共12分）:（1）（2）（3）【答案】（1）（2）（3）【解析】根据一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，合理选择合适的方法解题即可.试题解析：解：（1）x-3=±4∴（2）∵a=2，b=-6，c=-1∴=36+8=44＞0∴x==∴（3）3x（x+2）-5（x+2）=0（x+2）（3x-5）=0x+2=0或3x-5=0解得【考点】一元二次方程的解法23.某童装店每天卖童装20件，每件盈利40元，为减少库存量，准备在十一期间做活动，若每件童装降价4元，则可多售出8件，此服装店打算在活动期间盈利1200元，则每件童装应降价多少元？（9分）【答案】20元【解析】首先设每件降价x元，则降价后每件的利润为（40－x）元，数量为（20+2x）件，然后根据总利润=单价利润×数量列出方程进行求解.试题解析：设每件降价x元。
备考2021年中考数学二轮复习：方程与不等式_不等式与不等式组_解一元一次不等式,综合题专训及答案
（2） 该公司计划一次购进两种型号的空气净化器共100台，其中B型空气净化器的进货量不少于A型空气净化器的2倍
，为使该公司销售完这100台空气净化器后的总利润最大，请你设计相应的进货方案；
（3） 已知A型空气净化器的净化能力为300m3/小时，B型空气净化器的净化能力为200m3/小时，某长方体室内活动场
（3） 7天后，小云背诵的诗词最多为首． 2、
(2017镇江.中考真卷) 综合题:
（1） 解方程组：
（2） 解不等式： ＞1﹣ ．
3、 (2014镇江.中考真卷) （1） 解方程： ﹣
=0；
（2） 解不等式：2+
≤x，并将它的解集在数轴上表示出来．
4、 (2016无锡.中考真卷) （1） 解不等式：2x﹣3≤
1.答案：
2.答案： 3.答案： 4.答案： 5.答案：
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15.答案：
对于实数 ，我们定义符号
的意义为：当 时，
．
根据上面的材料回答下列问题：
（1） （2） 当
________；
时，求x的取值范围．
；当
时，
，如：
备 考 2021中 考 数 学 二 轮 复 习 ： 方 程 与 不 等 式 _不 等 式 与 不 等 式 组 _解 一 元 一 次 不 等 式 ， 综 合 题 答 案
=﹣6+1
=﹣5
若3⊕x的值小于13，求x的取值范围，并在如图所示的数轴上表示出来.
14、 (2020海曙.中考模拟) 如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3x﹣10.
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专题二 方程（组）与不等式（组）
一、选择题
1.不等式6﹣4x≥3x﹣8的非负整数解为（ ）
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
2.已知实数a ，b 满足a+1＞b+1，则下列选项错误的为（ ）
A ．a ＞b
B ．a+2＞b+2
C ．﹣a ＜﹣b
D ．2a ＞3b
3.解分式方程13211x x
-=--，去分母得（ ） A ．12(1)3x --=- B ．12(1)3x --=
C.1223x --=- D ．1223x -+=
4.用配方法解方程0122=-+x x 时，配方结果正确的是（ ）
A ．2)2(2=+x
B ．2)1(2=+x
C. 3)2(2=+x D ．3)1(2=+x 5.方程组⎩
⎨⎧=+=1532y x x y 的解是（ ） A ．⎩⎨⎧==32y x B ．⎩⎨⎧==34y x C. ⎩⎨⎧==84y x D ．⎩⎨⎧==6
3y x
6.一元二次方程22520x x --=的根的情况（ ）
A ．有两个相等的实数根
B ．有两个不相等的实数根
C. 只有一个实数根 D ．没有实数根
7.甲、乙二人做某种机械零件.已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用时间与乙做60个所用时间相等，求甲、乙每小时各做零件多少个.如果设乙每小时做x 个，那么所列方程是（ ） A.
90606x x =+ B.90606x x
=+ C.90606x x =- D.90606x x =- 8.已知45m <<，则关于x 的不等式组0420
x m x -<⎧⎨-<⎩的整数解共有（ ）
A ．1个
B ．2个 C.3个 D ．4个
9.若关于x 的方程x 2
+mx+1=0有两个不相等的实数根，则m 的值可以是（ ）
A ．0
B ．﹣1
C ．2
D ．﹣3
10.关于x 的不等式组0230x a x a -≤⎧⎨+>⎩
的解集中至少有5个整数解，则正数a 的最小值是（ ） A ．3 B ．2 C. 1 D ．
23 二、填空题
11.方程3x(x －1)=2(x －1)的根是
12.关于x 的一元二次方06)1(22=-++-k k x x k 的一个根式0，则k 的值是_______.
13.商家花费760元购进某种水果80千克，销售中有5%的水果正常损耗，为了避免亏本，售价至少定为 元/千克
14.关于x 的分式方程2322x m m x x
++=--的解为正实数，则实数m 的取值范围是 ． 15.一台空调标价2000元，若按6折销售仍可获利20%，则这台空调的进价是 元．
16.若关于x 、y 的二元一次方程组2m 133x y x y ⎧-=+⎨
+=⎩的解满足x+y ＞0，则m 的取值范围是 ．
三、解答题 17.解不等式组：()21571023x x x x ⎧+>-⎪⎨+>⎪⎩
18.小明要代表班级参加学校举办的消防知识竞赛，共有25道题，规定答对一道题得6分，答错或不答一道题扣2分，只有得分超过90分才能获得奖品，问小明至少答对多少道题才能获得奖品？
19.某玩具厂生产一种玩具，按照控制固定成本降价促销的原则，使生产的玩具能够及时售出，据市
场调查：每个玩具按480元销售时，每天可销售160个；若销售单价每降低元，每天可多售出2个.已知每个玩具的固定成本为360元，问这种玩具的销售单价为多少元时，厂家每天可获利润20000元？
20.甲、乙两个工程队均参与某筑路工程，先由甲队筑路60公里，再由乙队完成剩下的筑路工程，
已知乙队筑路总公里数是甲队筑路总公里数的4
3
倍，甲队比乙队多筑路20天．
（1）求乙队筑路的总公里数；
（2）若甲、乙两队平均每天筑路公里数之比为5：8，求乙队平均每天筑路多少公里．
21.某种为打造书香校园，计划购进甲乙两种规格的书柜放置新购置的图书，调查发现，若购买甲种书柜3个，乙种书柜2个，共需要资金1020元；若购买甲种书柜4个，乙种书柜3个，共需资金1440元.
（1）甲乙两种书柜每个的价格分别是多少元？
（2）若该校计划购进这两种规格的书柜共20个，
其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，学校至多提供资金4320元，请设计几种购买方案供这个学校选择.
专题二
一、选择题 1.B 2.D 3.A 4.B 5.D 6.B 7.B 8.B 9.D 10.B
二、填空题 11.3
2,121==x x 12.0 13.10 14.m<6且m ≠2 15.1000 16.m>-2
三、解答题
17.x<2
18.解：设小明答对x 道题，则
6x-2(25-x)>90 解得：2
117>x 因为x 为非负整数
所以x 至少为18
答：小明至少答对18道题才能获得奖品
19.解：设玩具的销售单价为x 元时，厂家每天可获利润20000元,则
（x-360）[160+2(480-x)]=20000
解得46021==x x
答：这种玩具的销售单价为460元时，厂家每天可获利润20000元.
20.（1）解：公里）(803
460=⨯ （2） 解：设甲对平均每天筑路5x 公里，乙队平均每天筑路8x 公里，则 20880560=-⨯x
x 解得：x=0.1
经检验x=0.1是原方程的解
答：乙队平均每天筑路0.1公里
21.（1）解：甲种书柜每个的价格为x 元, 乙种书柜每个的价格为y 元,则 ⎩⎨⎧=+=+144034102023y x y x 解得：⎩⎨⎧==240
180y x 答：甲种书柜每个的价格为180元, 乙种书柜每个的价格为240元。
（2）设购买甲种书柜m 个，则购买乙种书柜（20-m ）个
⎩
⎨⎧≤-+≥-4320)20(24018020m m m m 解得：108≤≤m
因为m 取整数，所以m 可以为：8,，10 即：学校的购买方案有以下三种 方案一：甲种书柜8个，乙种书柜12个 方案二：甲种书柜9个，乙种书柜11个 方案三：甲种书柜10个，乙种书柜10个。