人教版七年级下8.4三元一次方程组的解法课件(共22张PPT)
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人教版数学七年级下8.4三元一次方程组解法(共24张PPT)
• • 由④和⑤组成方程组得
•
解这个方程组得
x 3
y
2
3x 7y 5 7x 3y 15
• 把x=3，y=-2代入②，得3-（-2）+2z=7
•
所以z=1
x 3
•
因此，三元一次方程组的解是
y
2
z 1
（2）3x 2 y z 14 ①
y
z
x
10
②
z 2 x 3 y 15 ③
• 因此，这个方程组的解为
y
40
z 48
3、解下列方程组：
2x 3y z 1
（1）
x
y
2z
7
3 x 2 y z 4
3x 2 y z 14
（2）
y
z
x
10
z 2 x 3 y 15
• 例2 在等式y=ax2+bx+c 中，当x=1时，y=0；
• 当x=-1时，y=0；当x=0 时，y=5.求a,b,c的值.
课堂导学：
例1 解方程组：
3x 2 y z 13
(1)
x
y
2z
7
2 x 3 y z 12
• （1）3x 2 y z 13
①
•
x
y
2z
7
②
•
3 y 2 x z 12
③
• 解：①×2-②，得 5x+3y=19 ④
•
②+③×2, 得 5x+7y=31 ⑤
•
由④和⑤组成方程组
解：依题意，得
a b c 0
a
b
c
0
c 5
a 5
解得
人教版数学七年级下册 8.4 三元一次方程组的解法 课件(共21张PPT)
①与④组成方程组
3x＋4z=7
11x＋10z=35
解这个方程组，得
x= 5
z=−2
把x=5、z=-2代入②，得2×5+3y-2=9，解得y=
所以
=
=
= −
是这个三元一次方程组的解.
x y 3
y z 5
z x 4
小试牛刀
解方程组
解:
③ - ②，得
三元一次方程组的解法
学习目标
1．熟练掌握解三元一次方程组的方法与步骤，会
解简单的三元一次方程组．
2．会用三元一次方程组的解法解决实际问题．
新课导入
x 2y 3 ①
解方程组：
2 x y 1 ②
（1）这是几元几次方程组？
二元一次方程组
（2）求解的思想是什么？
消元
（3）用什么方法消元可以解这个方程？
时,y=3;当x=5时,y=60. 求a,b,c的值.
解:根据题意，得三元一次方程组
a－b＋c= 0，
①
4a＋2b＋c=3， ②
25a＋5b＋c=60. ③
②－①， 得 a＋b=1 ④
③－①，得 4a＋b=10 ⑤
④与⑤组成二元一次方程组
a＋b=1，
4a＋b=10.
问题1：题中有哪些未知量？你能找出哪些等量关系？
④与⑤组成二元一次方程组
a＋b=1，
4a＋b=10.
利用三元一次方程组解决实际问题-提高
x y 8
如果方程组 y z 6 的解使代数式kx+2y﹣3z的值为8，则k＝（
z x 4
3x＋4z=7
11x＋10z=35
解这个方程组，得
x= 5
z=−2
把x=5、z=-2代入②，得2×5+3y-2=9，解得y=
所以
=
=
= −
是这个三元一次方程组的解.
x y 3
y z 5
z x 4
小试牛刀
解方程组
解:
③ - ②，得
三元一次方程组的解法
学习目标
1．熟练掌握解三元一次方程组的方法与步骤，会
解简单的三元一次方程组．
2．会用三元一次方程组的解法解决实际问题．
新课导入
x 2y 3 ①
解方程组：
2 x y 1 ②
（1）这是几元几次方程组？
二元一次方程组
（2）求解的思想是什么？
消元
（3）用什么方法消元可以解这个方程？
时,y=3;当x=5时,y=60. 求a,b,c的值.
解:根据题意，得三元一次方程组
a－b＋c= 0，
①
4a＋2b＋c=3， ②
25a＋5b＋c=60. ③
②－①， 得 a＋b=1 ④
③－①，得 4a＋b=10 ⑤
④与⑤组成二元一次方程组
a＋b=1，
4a＋b=10.
问题1：题中有哪些未知量？你能找出哪些等量关系？
④与⑤组成二元一次方程组
a＋b=1，
4a＋b=10.
利用三元一次方程组解决实际问题-提高
x y 8
如果方程组 y z 6 的解使代数式kx+2y﹣3z的值为8，则k＝（
z x 4
8.4 三元一次方程组的解法(课件)七年级数学下册(人教版)
所以x=2，y=4，z=10.
所以x=9，y=12，z=15.
=2
因此，这个方程组的解为 = 4
= 10
=9
因此，这个方程组的解为 = 12
= 15
考点解析
重点
例5.在等式y=ax2+bx+c中，当x=-1时，y=1；当x=2时，y=22；当x=3和x=5时，
y的值相等.求a，b，c的值.
(2)在(1)的情况下，运费最少是_____元.
解：(1)设甲型车有x辆，乙型车有y辆，
丙型车有z辆.
+ + = 16
根据题意，得
5 + 8 + 10 = 120
5
消去z，得5x+2y=40.所以x=8- y.
2
考点解析
重点
(1)为了节约运费，可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送，每辆车均满载，
8 + = 0
③与④组成方程组
+ =7
= −1
解这个方程组，得
=8
把a=-1，b=8代入①，得-1-8+c=1，解得c=10.
所以a，b，c的值分别为-1，8，10.
迁移应用
1.已知 − +
1
2
− +(x+2)2=20，则x+y+z=_____.
-5
2.已知单项式-8a3x+y+zb12cx+y+z与-2a42b2x-yc4x是同类项，求x，y，z的值.
自学导航
小明手头有12张面额分别为10元、20元、50元的纸币，共计220元，其中10
元纸币的数量是20元纸币数量的4倍.求10元、20元、50元纸币各多少张.
所以x=9，y=12，z=15.
=2
因此，这个方程组的解为 = 4
= 10
=9
因此，这个方程组的解为 = 12
= 15
考点解析
重点
例5.在等式y=ax2+bx+c中，当x=-1时，y=1；当x=2时，y=22；当x=3和x=5时，
y的值相等.求a，b，c的值.
(2)在(1)的情况下，运费最少是_____元.
解：(1)设甲型车有x辆，乙型车有y辆，
丙型车有z辆.
+ + = 16
根据题意，得
5 + 8 + 10 = 120
5
消去z，得5x+2y=40.所以x=8- y.
2
考点解析
重点
(1)为了节约运费，可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送，每辆车均满载，
8 + = 0
③与④组成方程组
+ =7
= −1
解这个方程组，得
=8
把a=-1，b=8代入①，得-1-8+c=1，解得c=10.
所以a，b，c的值分别为-1，8，10.
迁移应用
1.已知 − +
1
2
− +(x+2)2=20，则x+y+z=_____.
-5
2.已知单项式-8a3x+y+zb12cx+y+z与-2a42b2x-yc4x是同类项，求x，y，z的值.
自学导航
小明手头有12张面额分别为10元、20元、50元的纸币，共计220元，其中10
元纸币的数量是20元纸币数量的4倍.求10元、20元、50元纸币各多少张.
人教版七年级下册数学：8.4 三元一次方程组的解法22 课件(共19张PPT)
二、合作探究
活动1 温故而知新
三元一次方程组的定义： 方程组共含有三个不相同的未知数，且每 个方程中含未知数的项的次数都是1，并且 一共有三个整式方程，像这样的方程组叫 做三元一次方程组．
下列方程组中，是三元一次方程组的是( D )
x2－y＝1， A. y＋z＝0，
xz＝2
1＋1＝1， x
B.
1＋z＝2， y
由题意，得
2x0＋3y0＋4z0＝2.5，解得
x＝12， y＝54，
z ＋ y ＋ x ＝2.3. 20 30 40
z＝4.
答：从甲地到乙地的过程中，上坡路是 12km，平路是 54km，下坡路是 4km.
小结
这节课我们复习了三元一次方程组的 解法，进一步认识了解多元方程组的思 路――消元；同时学会了应用三元一次 方程组解决实际问题．
程组转化为解 二元一次方程组，进而再转化
为
解 一元一次方程 。
典例精析
例3：在等式 y=ax2＋bx＋c中,当x=－1时,y=0;当x=2
时,y=3;当x=5时,y=60. 求a,b,c的值.
解:根据题意，得三元一次方程组
a－b＋c= 0， ① 4a＋2b＋c=3， ② 25a＋5b＋c=60. ③
②－①， 得 a＋b=1 ④
③－①，得 4a＋b=10 ⑤
④与⑤组成二元一次方程组
解这个方程组，得
a=3， b=-2.
a=3， 把 b=-2 代入①，得 c=-5,
a=3， 因此 b=-2，
c=-5.
a＋b=1， 4a＋b=10.
【方法归纳】
根据方程组的特点，归纳出此类方程组为： 类型一：有表达式，用 代入法 .
1．理解三元一次方程(组)的概念和解法；
【最新】人教版七年级数学下册第八章《8.4三元一次方程组的解法》公开课课件(20张PPT).ppt
①
解三元一次方程组
2
x
＋
3
y
＋
z
9
②
5 x － 9 y ＋ 7 z 8 ③
分析：方程①中只含x,z,没有y,因此，可以 由②③消去y，得到一个只含x，z的方程， 与方程①组成一个二元一次方程组.
解三元一次方程组
x＋3z=2， 2x＋2y＋z=11，
加 ①
②
减 3x－2y＋2z=11. ③
解：②＋③ ，得 5x＋3z=22 ④
x+y+z=12 ① x+2y+5z=22 ②
x=4y
③
解法2： ①×5－② 得：
4x3y38 ④
加
减 由 ③ ④
组成方程组得：
x 4y
③
4x3y38④
解这个方程组得： x8,y2
把 x8,y2代 入 ①得： z 2
x8
所以，原方程组的解为： y 2
z2
法
方法小结
1、解三元一次方程组的思想和方法过程为：
三元
加减法 代入法
二元
加减法 代入法
一元
2、关键点：
如何消去一个未知数由“三元”化为为“二元”
一般情况下： （1）代入法：变形一个方程，代入另两个方程式，得两个新方程； （2）加减法：a.确定消去的目标（未知数）；b.使相同未知数的
系数相同或相反；c.两两相加或相减得两个新方程。
例题讲解
3x＋ 4z 7
①
解三元一次方程组 2x＋2y＋z=11， ②
3x－2y＋2z=11. ③
解:由①得： x=2-3z ④
把④分别代入②和 ③得：2y-5z=7 ⑤,
-2y-7z=5 ⑥
人教版七年级数学下册8.4三元一次方程组的解法(共18张PPT)
⑤－②,得
x 1
⑤－③，得
y2
所以，原方程组的解是
x 1
y
2
z 3
小结
（一）三元一次方程组的概念是什么? （二）解三元一次方程组的基本思路是什么? （三）在三元化二元时，对于具体方法的选取应该注 意什么？
作业 习题8.4：1题，2题
本节内容结束
提出问题：1．题目中有几个条件？ 2．问题中有几个未知量？ 3．根据等量关系你能列出方程组吗？
分析：在这个题目中，要我们求的有三个未知 数，我们自然会想到设1元、2元、5元的纸币分 别是x张、y张、 z张，根据题意可以得到下列三 个方程:
x+y+z=12,
x+2y+5z=22,
x=4y.
定义
三元一次方程 含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都 是1，像这样的整式方程叫做三元一次方程。
第八章 二元一次方程组
8.4 三元一次方程组的解法
前面我们学习了二元一次方程组及其解 法——消元法。对于有两个未知数的问题， 可以列出二元一次方程组来解决。实际上， 在我们的学习和生活中会遇到不少含有更多 未知数的问题。
纸币问题
小明手头有12张面额分别是1元、2元、5元的 纸币，共计22元，其中1元纸币的数量是2元 纸币数量的4倍．求1元、2元、5元的纸币各 多少张？
2. 化“二元”为“一元” 。
① x+y+z=2,
x-y+z=0,
③② x-z=4. 解法二：消去x
由③得，x=z+4 ④ 把④代入①、②得，
（z+4)+y+z=2 ⑤
(z+4)-y+z=0 ⑥ 化简得，
人教版数学七年级下册8.4 《三元一次方程组的解法》教学课件(共24张PPT)
x z 2 0 3x 6 y 7 0 3y 3z 4 0
x 3
解得
y
1 3
Байду номын сангаас
z 1
所以xyz＝3× 1×1＝1。
3
随堂练习
4. 某区中学足球赛共赛8轮，胜一场得3分，平一场得1分，负 一场得0分，在这次足球联赛中，猛虎足球队平的场数是所负 场数的2倍，共得17分，试问该队胜了几场？ 解：设猛虎足球队胜了x场，平了y场，负了z场，依题意得
设1元、2元、5元的纸币分别 为x张、y张、z张
x＋y＋z＝12 x＋2 y＋5z＝22 x＝4 y
这样的方程组我们叫它什么呢，该怎样解呢？
新知讲解
x＋y＋z＝12
三元一次方程组 x＋2 y＋5z＝22
x＝4 y
特点：（1）方程组中含有三个未知数； （2）每个方程中含有未知数得项的次数都为1； （3）方程组中一共有三个方程。
随堂练习
解：
解得
x
-
1 2
y
23 4
把x＝－
1 2
，y＝
23 4
代入②，得z＝－
21 4
。
所以原方程组的解是
x＝- 1 2
y＝ 23 4
z＝- 21 4
随堂练习
3. 已知有理数x、y、z满足条件|x－z－2|＋|3x－6y－7|＋（3y＋3z －4）2＝0，求xyz的值。
解：依题意有
随堂练习
解：
x y z 8
y
2z
3x y 17
解得
x 5
y
2
z 1
答：该队胜了5场。
课堂小结
含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1， 并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组。
人教版七年级数学下8-4三元一次方程组的解法(课件)(共22张PPT)
思考：如果方程组中有3个未知数该如何求解？
合作探究---三元一次方程组的概念
小明有12张面额分别为1元、2元、5元的纸币共计22元，其中1元纸 币的数量是2元纸币数量的4倍.求1元、2元、5元纸币各多少张？
思考1：此题有哪些未知量？你能找出等量关系吗？
未知量： 每一个未知量都用一个字母表示
1元纸币的张数
1 z= .
3
课堂小结
畅谈收获：本节课你有哪些收获？
1、什么是三元一次方程（组）？ 2、什么是三元一次方程组的解？ 3、解三元一次方程组的思路是什么？
分层演练
1．下列是三元一次方程组的是( D )
2x＝5 A.x2＋y＝7
x＋y＋z＝6
x＋y－z＝7 C.xyz＝1
x－3y＝4
3x－y＋z＝－2 B.x－2y＋z＝9
8.4三元一次方程组的解法
人教版 七年级数学下
1
学习目标
1.理解三元一次方程组的概念； 2.会解简单的三元一次方程组.
回顾旧知
1、什么叫二元一次方程组？
含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式 方程叫做二元一次方程。
2、怎样解二元一次方程组？
二元一次方程组
代入 加减
一元一次方程
在三元化二元时，对于具体方法的选取应该注意选择最恰当、 最简便的方法。
小试牛刀
1、解下列三元一次方程组：
y=2x-7. （1） 5x+3y+2z=2.
3x-4z=4.
x=2. y=-3. z= 1 .
2
4x-9y=17. （2） 3x+y+15z=18.
x+2y+3z=2.
人教版数学七年级下册8.4.1 三元一次方程组的解法1 课件 (共20张PPT)
第八章 二元一次方程组
8.4 三元一次方程组的解法
学习目标：
1．了解三元一次方程组的概念. 2．掌握解三元一次方程组过程中化三元为二 元的思路，会解三元一次方程.
重点：1、会解三元一次方程组. 2、体会“消元”的基本思想。 难点：针对方程组的特点，灵活使用代入法、 加减法等重要方法.
回顾知新
谢谢！
解三元一次方程组
x+y=20 ① (2) y+z=19 ② x+z=21 ③
解法4： 由①+②+③得 2x+2y+2z=60 化简，得 x+y+z=30 ④ x y z 30 ④ ①与④组成方程组，得 ① 解这个方程组得z=10 x y 20
三元一次方程组
消元
二元一次方程组
消元
一元一次方程
例1、解三元一次方程组
x y z 12 ① x 2 y 5 z 22 ② x 4y ③
解方程组策略:有表达式,用代入法.
解：消x 5 y z 12, ④ 由③代入①②得 6 y 5 z 22. ⑤ y 2, 解这个方程组得
x 11 把z=10分别代入② ③，得 y9 x 11
∴这个三元一次方程组的解为：
y 9 z 10
同学们：你能把我们今天学习的内容小结一下吗？
1.三元一次方程组的解法； 2.解多元方程组的思路——消元，体 会化归思想。 3. 解题要有策略，今天我们学到的策 略是： 有表达式，用代入法 缺某元，消某元
怎样解下列的方程组，有什么方法？ 6x-5y=3 ① x + y=22 ①
8.4 三元一次方程组的解法
学习目标：
1．了解三元一次方程组的概念. 2．掌握解三元一次方程组过程中化三元为二 元的思路，会解三元一次方程.
重点：1、会解三元一次方程组. 2、体会“消元”的基本思想。 难点：针对方程组的特点，灵活使用代入法、 加减法等重要方法.
回顾知新
谢谢！
解三元一次方程组
x+y=20 ① (2) y+z=19 ② x+z=21 ③
解法4： 由①+②+③得 2x+2y+2z=60 化简，得 x+y+z=30 ④ x y z 30 ④ ①与④组成方程组，得 ① 解这个方程组得z=10 x y 20
三元一次方程组
消元
二元一次方程组
消元
一元一次方程
例1、解三元一次方程组
x y z 12 ① x 2 y 5 z 22 ② x 4y ③
解方程组策略:有表达式,用代入法.
解：消x 5 y z 12, ④ 由③代入①②得 6 y 5 z 22. ⑤ y 2, 解这个方程组得
x 11 把z=10分别代入② ③，得 y9 x 11
∴这个三元一次方程组的解为：
y 9 z 10
同学们：你能把我们今天学习的内容小结一下吗？
1.三元一次方程组的解法； 2.解多元方程组的思路——消元，体 会化归思想。 3. 解题要有策略，今天我们学到的策 略是： 有表达式，用代入法 缺某元，消某元
怎样解下列的方程组，有什么方法？ 6x-5y=3 ① x + y=22 ①
人教版七年级下册数学： 8.4 三元一次方程组的解法 (共23张PPT)
把x=2k,y=3k,z=5k 代入x+y﹢z=20得：
2k+3k﹢5k=20
解得：k=2 因此，这个三元一次方程组的解为
x=4 y=6 z=10
11
知识点一：三元一次方程组的解法
典例讲评
例3、解下列方程： x ∶y =1 ∶5 ① y ∶z=2 ∶3 ②
解法一：
x+y﹢z=27
③
解：由①，得： x .15 y ④
15
知识点二：三元一次方程组的应用
典例讲评
例4：在等式 y=ax2＋bx＋c中,当x=-1时,y=0;当x=2时,y=3;
当x=5时,y=60. 求a,b,c的值.
解：根据题意，得三元一次方程组
a－b＋c= 0， ① 4a＋2b＋c=3， ② 25a＋5b＋c=60. ③
a＋b=1， 4a＋b=10.
复习引用
含有 个未知数
三元一次方程
含有未知数的项的次数都是 .
三
整式方程
元
方程组中含有三个未知数
一
三元一次方程组
含有未知数的项的次数都是 . 整式方程
次
方
代入法
程
消元方法
加减法
组
思路： 三元
二元
一元
1
人教版七年级数学下册 第八章 二元一次方程组
8.4 三元一次方程组的解法
8.4.2：三元一次方程组的解法（2）
3
知识点一：三元一次方程组的解法
新知探究
在2012年伦敦奥运会时，中国健儿获得88枚奖牌,位居奖 牌榜第二名,其中金牌比银牌多11枚,银牌和铜牌的总数比金牌 多12枚，你能算出我国金、银、铜三种奖牌各多少枚吗?
解：设获得金牌x枚、银牌 y枚、铜牌 z枚， 根据题意得： x﹢y﹢z＝88， ①
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（1）先消去哪个未知数？为什么？
（2）选择哪种消元方法，得到二元一次方程组？
解：根据题意， 得三元一次方程组
a b c 0, 4a 2b c 3, 25a 5b c 60.
解这个方程组，得 ① ② ③ ④
a 3， b 2．
代入①，得 c=-5
1 把 x＝5，z＝-2 代入②，得 y 3 x 5，
因此，三元一次方程组的解为
1 y ， 3 z -2．
例2 在等式
y ax bx c 中，当 x 1 时， y 60. y 0 ；当 x 2 时， y 3 ；当 x 5 时， ，c 的值． 求 a，b
为解一元一次方程．
消元 消元
三元一次方程组
二元一次方程组
一元一次方程
例题探究 例1 解三元一次方程组
3 x 4 z 7， ① 2 x 3 y z 9， ② 5 x 9 y 7 z 8．③
解：②×3＋③，得 11x＋10z=35 ④
分析：方程①中只含 x, z, 因此,可以由②③ 消去y, 得到一个只含 x, z的方程, 与方程① 组成一个二元一次方 程组.
第八章 二元一次方程组
*8.4 三元一次方程组的解法
学习目标： （1）了解三元一次方程组的概念； （2）能解简单的三元一次方程组，在解的过程中进一步 体会“消元”思想． （3）会解较复杂的三元一次方程组． 学习重点： 会用消元法解三元一次方程组．
（1）二元一次方程组的概念是什么？ （2）解二元一次方程组的基本方法有哪几种？它们 的实质是什么？ 基本方法：代入法和加减法； 实质：消元． 二元一次方程组 消元 一元一次方程
再将③-①×25，得
30b 24c 60，
即 5b 4c 10.
⑤
消去b可以吗？如何操作？ 可将 ①×2+②，得
6a 3c 3， ④
即
2a c 1．
再将 ①×5+③，得
30a 6c 60，
即
5a c 10．
⑤
1.解三元一次方程组 x-y+z=7， x＋y=-1， 2x－y-z=0. ① ② ③
小明手头有12张面额分别是1元、2元和5元的纸 币，共计22元，其中1元纸币的数量是2元纸币数量 的4倍．求1元、2元和5元的纸币各多少张？ 分析： （1）题目中有几个未知量？ （2）题目中有哪些等量关系？ （3）如何用方程表示这些等量关系？
设1元、2元和5元的纸币分别为x张、y张和z张．
x y z 12， x 2 y 5z 22， x 4 y．
因此， a 3，
②-①，得a+b=1;
③-①，得4a+b=10; ⑤ ④与⑤组成二元一次方程组
a b 1， 4a b 10．
b 2 ， c 5．
a 3，b 2，c 5． 答：
消去a可以吗？如何操作？ 可将②-①×4，得
6b 3c 3， ④ 即 2b c 1．
5y z 12， 即 6y 5 z 22．
如何用加减消元法解这个方程组？
x y z 12， x 2 y 5 z 22， x 4 y．
① ② ③
解：① 5 ②，得 4 x 3 y 38． ④ x 4 y， ③与④组成方程组 4 x 3 y 38． x 8， 解这个方程组，得 y 2．
2
分析：根据已知条件，你能得到什么？
a b c 0， 4a 2b c 3， 25a 5b c 60．
如何解这个三元一次方程组呢？
a b c 0, 4a 2b c 3, 25a 5b c 60.
把x＝1，y＝-2代入① ，得z=4 因此，这个三元一次方程组的解为
z=4
教科书第106页练习第1题第(2)小题．
解三元一次方程组：
3x y z 4， 2 x 3 y z 12， x y z 6．
课堂小结
（1）三元一次方程组的概念是什么？
（2）如何解一个三元一次方程组？
x y z 12， x 2 y 5 z 22， x 4 y．
① ② ③
对于这个方程组，消哪个元比较方便？理由是什么？
将③代入①②，得
4 y y z 12， 4 y 2 y 5 z 22．
用的是什么消元方法？ 还有什么方法？
课后作业
教科书 习题8.4 第1题、第2题、第5题．
3x 4 z 7 ①与④组成方程组 10 x 10 z 35
x 5 解这个方程组，得 z 4 z 7， ① 2 x 3 y z 9， ② 5 x 9 y 7 z 8．③
你还有其它解法吗？ 试一试，并与这种 解法进行比较.
分析：方程②中只含x,y,因此，可以由① ③消去z， 得到一个只含x，y的方程，与方程②组成一个二元一 次方程组.
x-y+z=7， x＋y=-1， 2x－y-z=0. 解： ① ＋③ ，得
① ② ③ 3x-2y=7 ④
②与④组成方程组 解这个方程组，得
x＋y=-1， 3x-2y=7. x=1， y=-2. x=1 y=-2
含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次 数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫 做三元一次方程组．
把三个方程合在一起
x y z 12， x 2 y 5 z 22， x 4 y．
如何解这个三元一次方程组呢？ （1）二元一次方程组是如何求解的？ （2）三元一次方程组可不可以用类似的方法求解？
把 x=8，y=2代入①，得
8 2 z 12
所以 z=2. 因此，这个三元一次方程组的解为
x 8， y 2， z 2．
答：1元、2元和5元纸币分别为8张、2张、2张．
总结提炼
解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或 “加减”进行消元，把“三元”转化为“二元”，使解 三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化
（2）选择哪种消元方法，得到二元一次方程组？
解：根据题意， 得三元一次方程组
a b c 0, 4a 2b c 3, 25a 5b c 60.
解这个方程组，得 ① ② ③ ④
a 3， b 2．
代入①，得 c=-5
1 把 x＝5，z＝-2 代入②，得 y 3 x 5，
因此，三元一次方程组的解为
1 y ， 3 z -2．
例2 在等式
y ax bx c 中，当 x 1 时， y 60. y 0 ；当 x 2 时， y 3 ；当 x 5 时， ，c 的值． 求 a，b
为解一元一次方程．
消元 消元
三元一次方程组
二元一次方程组
一元一次方程
例题探究 例1 解三元一次方程组
3 x 4 z 7， ① 2 x 3 y z 9， ② 5 x 9 y 7 z 8．③
解：②×3＋③，得 11x＋10z=35 ④
分析：方程①中只含 x, z, 因此,可以由②③ 消去y, 得到一个只含 x, z的方程, 与方程① 组成一个二元一次方 程组.
第八章 二元一次方程组
*8.4 三元一次方程组的解法
学习目标： （1）了解三元一次方程组的概念； （2）能解简单的三元一次方程组，在解的过程中进一步 体会“消元”思想． （3）会解较复杂的三元一次方程组． 学习重点： 会用消元法解三元一次方程组．
（1）二元一次方程组的概念是什么？ （2）解二元一次方程组的基本方法有哪几种？它们 的实质是什么？ 基本方法：代入法和加减法； 实质：消元． 二元一次方程组 消元 一元一次方程
再将③-①×25，得
30b 24c 60，
即 5b 4c 10.
⑤
消去b可以吗？如何操作？ 可将 ①×2+②，得
6a 3c 3， ④
即
2a c 1．
再将 ①×5+③，得
30a 6c 60，
即
5a c 10．
⑤
1.解三元一次方程组 x-y+z=7， x＋y=-1， 2x－y-z=0. ① ② ③
小明手头有12张面额分别是1元、2元和5元的纸 币，共计22元，其中1元纸币的数量是2元纸币数量 的4倍．求1元、2元和5元的纸币各多少张？ 分析： （1）题目中有几个未知量？ （2）题目中有哪些等量关系？ （3）如何用方程表示这些等量关系？
设1元、2元和5元的纸币分别为x张、y张和z张．
x y z 12， x 2 y 5z 22， x 4 y．
因此， a 3，
②-①，得a+b=1;
③-①，得4a+b=10; ⑤ ④与⑤组成二元一次方程组
a b 1， 4a b 10．
b 2 ， c 5．
a 3，b 2，c 5． 答：
消去a可以吗？如何操作？ 可将②-①×4，得
6b 3c 3， ④ 即 2b c 1．
5y z 12， 即 6y 5 z 22．
如何用加减消元法解这个方程组？
x y z 12， x 2 y 5 z 22， x 4 y．
① ② ③
解：① 5 ②，得 4 x 3 y 38． ④ x 4 y， ③与④组成方程组 4 x 3 y 38． x 8， 解这个方程组，得 y 2．
2
分析：根据已知条件，你能得到什么？
a b c 0， 4a 2b c 3， 25a 5b c 60．
如何解这个三元一次方程组呢？
a b c 0, 4a 2b c 3, 25a 5b c 60.
把x＝1，y＝-2代入① ，得z=4 因此，这个三元一次方程组的解为
z=4
教科书第106页练习第1题第(2)小题．
解三元一次方程组：
3x y z 4， 2 x 3 y z 12， x y z 6．
课堂小结
（1）三元一次方程组的概念是什么？
（2）如何解一个三元一次方程组？
x y z 12， x 2 y 5 z 22， x 4 y．
① ② ③
对于这个方程组，消哪个元比较方便？理由是什么？
将③代入①②，得
4 y y z 12， 4 y 2 y 5 z 22．
用的是什么消元方法？ 还有什么方法？
课后作业
教科书 习题8.4 第1题、第2题、第5题．
3x 4 z 7 ①与④组成方程组 10 x 10 z 35
x 5 解这个方程组，得 z 4 z 7， ① 2 x 3 y z 9， ② 5 x 9 y 7 z 8．③
你还有其它解法吗？ 试一试，并与这种 解法进行比较.
分析：方程②中只含x,y,因此，可以由① ③消去z， 得到一个只含x，y的方程，与方程②组成一个二元一 次方程组.
x-y+z=7， x＋y=-1， 2x－y-z=0. 解： ① ＋③ ，得
① ② ③ 3x-2y=7 ④
②与④组成方程组 解这个方程组，得
x＋y=-1， 3x-2y=7. x=1， y=-2. x=1 y=-2
含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次 数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫 做三元一次方程组．
把三个方程合在一起
x y z 12， x 2 y 5 z 22， x 4 y．
如何解这个三元一次方程组呢？ （1）二元一次方程组是如何求解的？ （2）三元一次方程组可不可以用类似的方法求解？
把 x=8，y=2代入①，得
8 2 z 12
所以 z=2. 因此，这个三元一次方程组的解为
x 8， y 2， z 2．
答：1元、2元和5元纸币分别为8张、2张、2张．
总结提炼
解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或 “加减”进行消元，把“三元”转化为“二元”，使解 三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化