湖北省黄冈中学2005届第二轮高三数学(理)训练题(一)
黄冈中学年高考数学理科二轮训练题和答案
黄冈中学2007届高考第二轮数学专题训练一（理）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．共150分，考试时间为120分钟． 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ） 如果事件A 、B 相互独立，那么P （AB ）=P （A ）P （B ）如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率是kn k k n p p C --)1(球的表面积公式24R S π=、球的体积公式334R V π=，其中R 表示球的半径 第I 卷（选择题，共50分）一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．设全集U=R ，已知集合2{|60}A x x x =--+≤，集合{B x =∈Z 4|1y x =∈+Z }，则()U A B =（B ）A ．{2,0,1,2}-B ．{2,0,1}-C ．{0，1，3}D ．{2,0,1,3}-提示：由{|(2)(3)0}UA x x x =-+<{|32}x x =-<<，{5,3,2,0,1,3}B =---，求得正确选项为B ．2．已知三个力1(2,1)f =--，2(3,2)f =-，3(4,3)f =-同时作用于某物体上一点，现加上一个力4f 后恰使得物体保持平衡，则24f f ⋅=（B ） A ．7B ．1C ．－1D ．7-提示：要求四个力的和为零向量，∴4123()f f f f =-++=（1，2），故24341f f ⋅=-+=，选B ．3．设复数z 的共轭复数用z 表示，已知复数i z +在映射f 下的象为i z ·，且i 21+-在f 下存在原象，则它的原象为（ A ）A ．2B ．i -2C ．i +-2D ．i 31+-提示：令·z i =i 21+-，则2z i =+，∴2z i =-，故原象为22i i -+=，故选A ． 4．如果一个点既在一个指数函数的图象上又在一个对数函数的图象上，那么就称这个点为“优质点”．在下面五个点M （1，1），N （1，2），P （2，1），Q （2，2），G （2，12）中，“优质点”的个数为（B ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个提示：若为对数函数图象上的点，则当1x =时，0y =，∴M 、N 两点不符合条件，若为指数函数图象上的点，则当0x =时才有1y =，∴P 点不符合条件，反之在找到指数函数xy a =，使22a =和212a =成立的同时可以找到对数函数logb y x =，使2log 2b =和1log 22b =成立，故选B ． 5．用一个平面去切一个正四面体，使之得到形状大小都相同的两个几何体，则这样的平面共有（D ） A ．3个 B ．6个 C ．12个 D ．无数个 提示：过其中一组对棱的两个中点，且与另一组对棱相交的平面都满足条件，选D ． 6．已知sin cos θθ+=，则圆锥曲线22sin 23x y θ+=-的一条准线方程是（C ） A．x =B．x =C．y =D．y =提示：由已知得21sin 25θ+=，∴3sin 25θ=-，∴圆锥曲线的标准方程为22153y x -=，其渐近线方程为y =，故选C ． 7．如果数列}{n a 满足1111211,2++---=-==n n n n n n n n a a aa a a a a a a 且，则lim[(1)]n n n a →∞-=（ A ）A ．2B ．1C ．12D ．0提示：依题意有1111n n n n n n n n a a a a a a a a -+-+--=，∴111111n n n n a a a a -+-=-，即数列1{}na 是等差数列，公差为211112a a -=，首项为12，∴11(1)222n n n a -=+=，∴2(1)(1)n n n a n--=，∴lim[(1)]2n n n a →∞-=，故选A ．8．已知函数()f x 的反函数是1()21x fx -=-，且(1)(1)2f m f n -+-=，则2m n +的最小值是（D ） A ．2B ．4C． D提示：由已知2()log (1)f x x =+，∴(1)(1)2f m f n -+-=，即22log log 2m n +=，即4mn =，且,m n都为正数，∴2m n +≥==，故选D ．9．曲线ln(21)y x =-上的点到直线230x y -+=的最短距离是（A ） A 5B ．25C ．35D ．0提示：令/2221y x ==-，则1x =，∴曲线上过点（1，0）的切线与直线230x y -+=平行，从而最短距离即为点（1，0）到直线230x y -+=的距离，由距离公式得min 5d =A ．10．若函数mx xm y +-=2)2(的图象如图所示，则m 的取值范围为（B ）A ．)1,(--∞B ．)2,1(C ．)2,1(-D ．)2,0(提示：222/2222(2)()2(2)(2)()()()m x m m x m x m y x m x m -+----==++，由图象可知20x m -=必有两个绝对值大于1的实数根，∴1m >，又在(1,1)-上函数单调递增，∴20m -<，故选B ．二．填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上） 11．已知函数22()cos sin f x ax ax =-的最小正周期为34π，则3()4f π= ____________． [答案]1提示：()cos 2f x ax =，∴最小正周期232||4T a ππ==，∴4||3a =，∴8()cos 3x f x =，∴3()cos 214f ππ==． 12．设O 为坐标原点，A （2，1），若P (,)x y 的坐标满足⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤+≤+-012553034x y x y x ，则||cos OP AOP∠的最大值为 ． [答案]5512提示：作出可行域，设取得最大值的点为000(,)P x y =，则2200000000220||cos 55OP AOP x y x y∠=+=⨯+2u x y =+，由图形可知当该直线系经过430x y -+=与35250x y +-=的交点(5,2)B 时u 有最大值12，故为5512．13．设2(1)()3(1)6sin (1)2ax b x f x a x x x π⎧⎪+>⎪==⎨⎪⎪<⎩，若()f x 在1x =处连续，则()af b =__________．[答案]提示：当点处的极限值等于其函数值，∴36a b a +==，∴2a =，4b =，故得1(()6sin 24a f fb π+===． 14．某市为改善投资环境，计划对城郊结合部如图所示的A 、B 、C 、D 、E 、F 六个区域进行治理，第一期工程拟从这六个区域中选取三个区域，但要求至多有两个区域相邻，则不同的选取方法共有____________种（用数字作答）．其中区域A 在第一期得到治理的概率是_______________． [答案]16，916提示：分两类，第一类，恰有两个区域相邻——当AB 或EF 相邻时各有3种，当BC 、CD 、DE 相邻时各有2种；三个区域都不相邻——有34C 种方法；故共有16种方法．其中含有A 的方法有ABD （E 、F ），ACD （DE 、EF 、DF ）和ACE （F ）9种，故所求概率为916． 15．对大于2或等于2的自然数m 的n 次幂进行如下方式的“分裂”：2123⎧⎨⎩，3325⎧⎨⎩，4729⎧⎨⎩；21335⎧⎪⎨⎪⎩，373911⎧⎪⎨⎪⎩，42532729⎧⎪⎨⎪⎩，213457⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，…则对25进行类似的“分裂”时，“分裂”中的最大的数是____________；若已知3m 在“分裂”中的最小数是21，则m 的值为______________．[答案]9，5提示：由2513579=++++得25 “分裂”中的最大的数是9；又3413151719=+++，而352123252729=++++，故知若3m 在“分裂”中的最小数是21，则m 的值为5．三．解答题：（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．已知函数2()(2cos sin )2xf x a x b =++． （1）当1a =时，求函数()f x 的单调递增区间；（2）当0a <且[0,]x π∈时，函数()f x 的值域为[3,4]，求a b +的值．[解答]()(cos 1sin )sin()4f x a x x b x a b π=+++=+++，城 市 AB CDEF（1）当1a =时，())14f x x b π=+++，∴当22242k x k πππππ-≤+≤+（k Z ∈）时()f x 是增函数，∴()f x 的单调递增区间是3[2,2]44k k ππππ-+（k Z ∈）；（2）由[0,]x π∈得5444x πππ≤+≤，∴sin()124x π-≤+≤，∵0a <，∴当sin()14x π+=时，()f x 取得最小值为3，而当sin()42x π+=-时，()f x 取得最大值为4，即34a b a a b ++=-++=⎪⎩，解得14a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，∴5a b +=．17．（本小题满分12分）如图，△AOE 和△BOE 都是边长为1的等边三角形，延长OB 到C 使|BC|＝t (t >0)，连AC 交BE 于D 点．（1）用t 表示向量OC 和OD 的坐标； （2）求向量OD 和EC 的夹角的大小； （3）求OD EC ⋅的取值范围。
2005年高考理科数学(湖北)卷
2005年高考理科数学（湖北）卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的上个选项中，中有一项是符合题目要求的）1．设P 、Q 为两个非空数集，定义集合P+Q={a+b|a ∈P ，b ∈Q}P={0，2，5}，Q={1，2，6}，则P+Q 中元素的个数是 （ ） A ．9 B ．8 C ．7 D ．6 2．对任意实数a ，b ，c ，给出下列命题：①“a=b ”是“ac=bc ”的充要条件；②“a+5是无理数”是“a 是无理数”的充要条件； ③“a>b ”是“a 2>b 2”的充分条件； ④“a<5”是“a<3”的必要条件其中真命题的个数是 （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．ii i ++-1)21)(1(= （ ）A ．-2-iB ．-2+iC ．2-iD ．2+i4． 函数|1|||ln --=x e y x 的图象大致是 （ ）5．双曲线)0(122≠=-mn ny m x 的离心率为2，有一个焦点与抛物线x y 42=的焦点重合，则mn 的值为 （ ）A ．163 B ．83 C ．316 D ．386．在x y x y x y y x2cos ,,log ,222====这四个函数中，当1021<<<x x 时，使2)()()2(2121x f x f x x f +>+恒成立的函数的个数是 （ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 7．若)20(tan cos sin παααα<<=+，则∈α （ ）A ．（0，6π） B ．（6π，4π） C ．（4π，3π） D ．（3π，2π） 8．若1)11(lim 21=---→x bx a x ，则常数a ，b 的值为 （ ）A ．a=-2，b=4B ．a=2，b=-4C ．a=-2，b=-4D ．a=2，b=49．若20π<<x ，则2x 与3sinx 的大小关系：A ．2x>3sinxB ．2x<3sinxC ．2x=3sinxD ．与x 的取值有关10．如图，在三棱柱C B A ABC '''-中，点E 、F 、H 、K 分别为C A '、B C '、B A '、C B ''的中点，G 为ΔABC 的重心从K 、H 、G 、B '中取一点作为P ，使得该棱柱恰有2条棱与平面PEF 平行，则P 为 （ ）A ．KB ．HC ．GD ．B '11．某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，…，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号为1，2，…，270，并将整个编号依次分为10段，如果抽得号码有下列四种情况： ①7，34，61，88，115，142，169，223，250；②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265； ③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254； ④305784111138165192219246270关于上述样本的下列结论中，正确的是 （ ） A ．②、③都不能为系统抽样 B ．②、④都不能为分层抽样 C ．①、④都可能为系统抽样 D ．①、③都可能为分层抽样12．以平行六面体D C B A ABCD ''''-的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机取出两个三角形，则这两个三角形不共面的概率p 为 （ ）A ．385367 B ．385376 C ．385192 D ．38518二、填空题（本大题共4小题，每小题4分 ,共16分把答案填写在答题卡相应的位置上）13．已知向量a=（-2，2），b=（5，k ）若|a+b|不超过5，则k 的取值范围是14．5)212(++xx 的展开式中整理后的常数项等于 15．设等比数列{n a }的公比为q ，前n 项和为n S ，若1+n S ，n S ，2+n S 成等差数列，则q 的值为16．某实验室需购某种化工原料106千克，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋35千克，价格为140元；另一种是每袋24千克，价格为120元在满足需要的条件下，最少要花费 元三、解答题（本大题共6小题，共74分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17．（本小题满分12分）已知向量a =(2x ，x+1)，b = (1-x ，t)若函数)(x f =a ·b 在区间（-1，1）上是增函数，求t 的取值范围18．（本小题满分12分）在ΔABC 中，已知66cos ,364==B AB ，AC 边上的中线BD=5，求sinA 的值19．（本小题满分12分）某地最近出台一项机动车驾照考试规定：每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一量某次考试通过，便可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6，0.7，0.8，0.9求在一年内李明参加驾照考试次数ξ的分布列和ξ的期望，并求李明在一所内领到驾照的概率 20．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P —ABC 右，底面ABCD 为矩形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，AB=3，BC=1，PA=2，E 为PD 的中点（Ⅰ）求直线AC 与PB 所成角的余弦值；（Ⅱ）在侧面PAB 内找一点N ，使NE ⊥面PAC ， 并求出N 点到AB 和AP 的距离21．（本小题满分12分）设A 、B 是椭圆λ=+223y x 上的两点，点N （1，3）是线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线与椭圆相交于C 、D 两点（Ⅰ）确定λ的取值范围，并求直线AB 的方程；（Ⅱ）试判断是否存在这样的λ，使得A 、B 、C 、D 四点在同一个圆上？并说明理由 22．（本小题满分14分）已知不等式][log 21131212n n >+++ ，其中n 为大于2的整数，][log 2n 表示不超过n 2log {n a }的各项为正，且满足111,)0(--+≤>=n n n a n na a b b a ，,4,3,2=n（Ⅰ）证明：][log 222n b ba n +<， ,5,4,3=n ；（Ⅱ）猜测数列{n a }是否有极限？如果有，写出极限的值； （Ⅲ）试确定一个正整数N ，使得当n>N 时，对任意b>0，都有51<n a参考答案一、选择题1．B 2．B 3．C 4．D 5．A 6．B 7．C 8．C 9．D 10．C 11．D 12．A 二、填空题 13．[-6，2] 14．2263 15．-2 16．500 三、解答题17．解法一：依定义t tx x x x t x x x f +++-=++-=232)1()1()(则t x x x f ++-='23)(2，若)(x f 在（-1，1）上是增函数，则在（-1，1）上可设)(x f '≥0∴)(x f '≥0x x t 232-≥⇔在（-1，1）上恒成立考虑函数x x x g 23)(2-=，由于)(x g 的图象是对称轴为31=x ，开口向上的抛物线，故要使x x t 232-≥在（-1，1）上恒成立)1(-≥⇔g t ，即t ≥5而当t ≥5时，)(x f '在（-1，1）上满足)(x f '>0，即)(x f 在（-1，1）上是增函数故t 的取值范围是t ≥5解法二：依定义t tx x x x t x x x f +++-=++-=232)1()1()(，t x x x f ++-='23)(2若)(x f 在（-1，1）上是增函数，则在（-1，1）上可设)(x f '≥0∵)(x f '的图象是开口向下的抛物线，∴当且仅当01)1(≥-='t f ，且05)1(≥-=-'t f 时，)(x f '在（-1，1）上满足)(x f '>0，即)(x f 在（-1，1）上是增函数故t 的取值范围是t ≥518．解法一：设E 为BC 的中点，连接DE ，则DE//AB ，且36221==AB DE ，设BE=x 在ΔBDE 中利用余弦定理可得：BED ED BE ED BE BD cos 2222⋅-+=，x x 6636223852⨯⨯++=，解得1=x ，37-=x （舍去） 故BC=2，从而328cos 2222=⋅-+=B BC AB BC AB AC ，即3212=AC又630sin =B ，故6303212sin 2=A ，1470sin =A 解法二：以B 为坐标原点，为x 轴正向建立直角坐标指法，且不妨设点A 位于第一象限由630sin =B ，则)354,34()sin 364,cos 364(==B B ， 设=（x ，0），则352,634(x += 由条件得)352()634(||22=++=x 从而x=2，314-=x （舍去）故354,32(-=CA 于是14149809498091698098||||cos =+⋅++-=⋅=CA BA A ∴1470cos 1sin 2=-=A A 解法三：过A 作AH ⊥BC 交BC 于H ，延长BD 到P 使BP=DP ，连接AP 、PC 过窗PN ⊥BC 交BC 的延长线于N ，则354,34cos ===AH B AB HB ， 310)354()52(222222=-=-=-=AH BP PN BP BN ， 而34==HB CN ，∴BC=BN=CN=2，32=HC ，321222=+=HC AH AC 故由正弦定理得6303212sin 2=A ，∴1470sin =A 19．解：ξ的取值分别为1，2，3，4ξ=1，表明李明第一次参加驾照考试就通过了，故P （ξ=1）=0.6ξ=2，表明李明在第一次考试未通过，第二次通过了，故P （ξ=2）=（1-0.6）×0.7=0.28ξ=3，表明李明在第一、二次考试未通过，第三次通过了，故P （ξ=3）=（1-0.6）×（1-0.7）×0.8=0.096ξ=4，表明李明在第一、二、三次考试都未通过，故P （ξ=4）=（1-0.6）×（1-0.7）×（1-0.8）=0.024∴李明实际参加考试次数ξ的分布列为∴ξ的期望E ξ=1×0.6+2×0.28+3×0.096+4×0.024=1.544李明在一年内领到驾照的概第为1-（1-0.6）×（1-0.7）×（1-0.8）×（1-0.9）=0.9976 20．解法一：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，则A 、B 、C 、D 、P 、E 的坐标分别为A （0，0，0），B （3，0，0），C （3，1，0），D （0，1，0），P （0，0，2），E （0，21，2） 从而=（3，1，0），=（3，0，-2）设AC 与PB 的夹角为θ，则1473723||||cos ==⋅=PB AC θ， ∴AC 与PB 1473（Ⅱ）由于N 点在侧面PAB 内，故可设N 点坐标为（x ，0，z ）， 则1,21,(z x ME --= 由NE ⊥面PAC 可得：⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,0,0AC NE AP NE 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅--=⋅--,0)0,1,3()1,21,(,0)2,0,0()1,21,(z x z x化简得⎪⎩⎪⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-.1,63.0213,01z x x z即N 点的坐标为（63，0，1），从而N 点到AB 、AP 的距离分别为163 解法二：（Ⅰ）设AC ∩BD=O ，连OE ，则OE//PB ，∴∠EOA 即为AC 与PB 所成的角或其补角在ΔAOE 中，AO=1，OE=21PB=27，AE=21PD=25，∴14173127245471cos =⨯⨯-+=EOA 即AC 与PB 14173 （Ⅱ）在面ABCD 内过D 作AC 的垂线交AB 于F ，则6π=∠ADF连PF ，则在Rt ΔADF 中DF=33tan ,332cos ===ADF AD AF ADF AD设N 为PF 的中点，连NE ，则NE//DF ，∵DF ⊥AC ，DF ⊥PA ，∴DF ⊥面PAC 从而NE ⊥面PAC∴N 点到AB 的距离=21AP=1，N 点到AP 的距离=216321．（Ⅰ）解法一：依题意，可设直线AB 的方程为y=k （x-1）+3，代入λ=+223y x ，整理得：)3()3(2)3(222=--+--+λk x k k x k ①设A （11,y x ），B （22,y x ），则1x ，2x 是方程①的两个不同的根， ∴0])3(3)3([422>--+=∆k k λ，② 且3)3(2221+-=+k k k x x 由N （1，3）是线段AB 的中点，得21x x +=2， ∴)3(2+=-k k k 解得k =-1，代入②得12>λ，即λ的取值范围是（12，+∞）于是直线AB 的方程为)1(3--=-x y ，即4=-+y x解法二：设A （11,y x ），B （22,y x ），则有)())((3.3,321212122222121=-++-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+y y x x x x y x y x λλ 依题意，212121,y y k x x AB +=∴≠∵N （1，3）是AB 的中点，∴21x x +=2，21y y +=6，从而-=AB k又由N （1，3）在椭圆内，∴1231322=+⨯>λ， ∴λ的取值范围是（12，+∞）直线AB 的方程为)1(3--=-x y ，即4=-+y x（Ⅱ）解法一：∵CD 垂直平分AB ，∴直线CD 的方程为y-3=x-1，即x-y+2=0代入椭圆方程，整理得4442=-++λx x ③又设C （33,y x ），D （44,y x ），CD 的中点为M （00,y x ）， 则3x ，4x 是方程③的两根， ∴3x +4x =-1，且232,200210=+==+=x y x x x ，即M （21-，23） 于是由弦长公式可得)3(2||)1(||432-=-⋅-+==λx x kCD ④将直线AB 的方程04=-+y x 代入椭圆方程得16842=-+-λx x ⑤同理可得||1||212=-⋅+=x x k AB∵当12>λ时，)3(2-λ>)12(2-λ，∴|AB|<|CD|假设存在12>λ，使得A 、B 、C 、D 四点共圆，则CD 必为圆的直径，点M 为圆心 点M 到直线AB 的距离为2232|42321|2|4|00=-+-=-+=y x d 于是，由④⑥⑦式及勾股定理可得2222|2|2321229|2|||||CD AB d MB MA =-=-+=+==λλ故当12>λ时，A 、B 、C 、D 四点均在以M 为圆心，|2CD|为半径的圆上（注：上述解法中最后一步可按如下解法获得： A 、B 、C 、D 共圆⇔ACD 为直角三角形，A 为直角⇔||||||2DN CN AN ⋅=，即)2||)(2||()2||(2d CD d CD AB -+=⑧ 由⑥式知，⑧式左边=212-λ，由④⑦知，⑧式右边==--=--+-2923)2232)3(2)(2232)3(2(λλλ2∴⑧式成立，即A 、B 、C 、D 四点共圆）解法二：由（Ⅱ）解法一知12>λ，∵CD 垂直平分AB ，∴直线CD 的方程为y-3=x-1，代入椭圆方程，整理得4442=-++λx x ③将直线AB 的方程04=-+y x 代入椭圆方程整理得16842=-+-λx x ⑤解③和⑤式可得21222,1-±=λx ，2314,3-±-=λx ，不妨设A （12211-+λ，12213--λ）， C （231---λ，233--λ），D （231-+-λ，233-+λ）∴⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+---+-+=23123,23123λλλλCA ， ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------+=23123,23123λλλλDA ， 计算可得0=⋅，∴A 在以CD 为直径的圆上又B 为A 关于CD 的对称点， ∴A 、B 、C 、D 四点共圆（注：也可用勾股定理证明AC ⊥AD ）22．（Ⅰ）证法一：∵当n ≥2时，110--+≤<n n n a n na a ，∴n a a n a n a n n n n 111111+=++≥---，即na a n n 1111≥--， 于是有211112≥-a a ，311123≥-a a ，…，na a n n 1111≥--， 所有不等式两边相加可得na a n 3121111+++≥- 由已知不等式知，当n ≥3时有][log 211121n a a n ≥-∵b a <1，∴bn b a n 2][log 211122=+> ∴][log 22n b a n +<证法二：设nn f 13121)(+++=，首先利用数学归纳法证不等式 ,5,4,3,)(1=+≤n bn f ba n（ⅰ）当n=3时，由b f b a a a a a a )3(11223313333112223+=++⋅≤+=+≤， 知不等式成立（ⅱ）假设当n=k （k ≥3）时，不等式成立，即b k f b a k )(1+≤，则 ,)1(1)11)((1)()1()1()1(1)(1)1(1111)1()1(1b k f b b k k f b b b k f k k b k bb k f k k a k k a k a k a k k k k ++=+++=+++++=++⋅++≤+++=+++≤+ 即当n=k+1时，不等式也成立由（ⅰ）（ⅱ）知，,5,4,3,)(1=+≤n b n f b a n 又由已知不等式得,5,4,3,][log 22][log 21122=+=+≤n n b b b n ba n （Ⅱ）有极限，且lim =∞→n n a （Ⅲ）∵][log 2][log 2222n n b b <+，令51][log 22<n ， 则有1024210][log log 1022=>⇒>≥n n n ，故取N=1024，可使沁n>N 时，都有51<n a。
武汉市2005—学年高三年级二月调研测试数学试题(理科)
武汉市2005—2006学年高三年级二月调研测试数学试卷(理科)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ题（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷 （选择题,共60分）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填在试卷的答题卡上,并认真核对条形码上的准考证号，在规定的位置贴好条形码.2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如果需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试卷上无效。
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式P （A+B ）=P （A ）+P （B ） S=4πR 2如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 P （A ·B ）=P （A ）·P （B ） 球的体积公式 如果事件A 在一次实验中发生的概率是P ， V=43π3R那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径P n (k)=C (1)k k n k n p p -- 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若φ{x|x 2≤a,a ∈R },则实数a 的取值范围是A ．（0,+∞） B.[0,+∞） C.(-∞,0) D.(-∞,0)2.复数Z=a+bi(a,b ∈R )是方程Z 2=-3+4i 的一个根，则Z=A ．1-2i B.-1+2i C.-1-2i D.2+i 3．已知数列{an}满足a n+2=a n+1+a n (n ∈N +),若a 1=1,a 5=8,则a 3=A.3B.2C.1D.-1 4.抛掷两个骰子，至少出现一个5点或6点的概率为 A ．13 B.512 C.136D.59 5.已知△ABC 的三个顶点A 、B 、C 及平面内一点P 满足0PA PB PC ++=，若实数λ满足：,AB AC AP λλ+=则值为A.2B.32C.3D.6 6.8个人坐成一排，现要调换其中3个人中每一个人的位置，其余5个人的位置不变，则不同的调换方式有A ．C 38 B.C 38A 22 C. C 38A 38 D.3C 387.不等式21143x x ≥-的解集为 A ．（0,3)[1,3]4⋃ B.(-∞,0)∪（0，34]C ．(-∞, 34)∪[1,3] D.(-∞,0)∪(0, 34)∪[1,3]8.过x 轴上一点P 向圆C:x 2+(y-2)2=1作切线，切点分别为A 、B ，则△PAB 面积的最小值是A 9.已知函数y=f(x)（x ∈R ）上任一点（x 0,f(x 0)）处的切线斜率k=(x 0-2)(x 0+1)2，则该函数单调递减区间为A ．[-1,+∞） B.(- ∞,2] C.(-∞,-1),(1,2) D.[2,+∞)10.已知函数f(x)是以2为周期的偶函数，且当x ∈(0,1)时，f(x)=2x-1，则f(log a 10)的值为 A.35 B.85 C.-38 D.+5311.函数f(x)=(3sinx-4cosx)·|cosx|的最大值为 A.5 B.92 C.12 D.5212.已知三棱锥S-ABC 的底面是正三角形，点A 在侧面SBC 上的射影H 是△SBC 的垂心，SA=a ，则此三棱锥体积最大值是A 33a C.33a D.36a第Ⅱ卷 （非选择题,共90分）注意事项：用黑色墨水的签字笔和碳素钢笔直接答在答题卡上每题对应答题区域内，答在试卷上无效.二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．二项式(x-91)x3的展开式中x 的系数为___________.14.函数______________. 15.A 、B 是双曲线215y -=2x 4右支上的两点，若弦AB 的中点到y 轴距离为4，则|AB|的最大值是_______________.16．直角三角形ABC 的斜边AB 在平面α内，且平面ABC 和α内所成二面角为60°，若直角边AC 和平面α成45°，则BC 和平面α所成角为___________________.三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题共12分）tx在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，又A=60°，sinB ：sinC=2：3（1）求bc的值；（2）若△ABC的AB边上的高为a的值. 18．（本小题满分12分）在正三棱柱ABC—A1B1C1中，底面边长为a,D为BC为中点，M在BB1上，且BM=13B1M，又CM⊥AC1;（1）求证：CM⊥C1D;（2）求四面体B1—ADC1的体积.19. （本小题满分12分）袋中有大小相同的两个球，编号分别为1和2，从袋中每次取出一个球，若取到球的编号为偶数，则把该球放回袋中且编号加1并继续取球；若取到球的编号为奇数，则取球停止.用ξ表示所有被取球的编号之和.（1）求ξ的概率分布；（2）求ξ的数学期望和方差.20．（本小题满分12分）已知函数f(x)=ln(x+a)-x(a＞0)(1)求f′(x)；(2)求f(x)在[0，2]上最小值.21．（本题满分12分）如图，已知抛物线C:x 2=2py 上一异于原点O 的动点M 和平面上两个定点A （0,-a ），B （b,a ）,(a ≠0)，直线MA 交曲线C 于M 1，直线MB 交曲线C 于M 2，连接M 1M 2.（1） 若b=0，求证：M 1M 2∥x 轴；（2） 若b ≠0，直线M 1M 2是否恒过某一定点？如果是经过某定点，则求出该点；否则，说明理由.22. （本题满分14分）已知函数f(x)是在（0,+∞）上每一点处可导的函数，若xf ′(x)＞f(x)在x ＞0上恒成立.（1） 求证：函数g(x)=()0f x x x>在上单调递增. （2） 已知不等式ln(1+x)＜x 在x ＞-1且x ≠0时恒成立，求证： 222222111ln 2ln 3ln 4234+++…+221ln(1).((1)2(1)(2)n n N n n n +>∈+++N +).武汉市2005—2006学年高三年级二月调研测试1.B2.C3.A4.D5.C6.B7.D8.A9.B 10.A 11.B 12.D 13.-84 14.[0,1]215.8 16.30° 17.(1)在△ABC 中，由正弦定理可知sin sin b cB C= ∵sinB:sinC=2:3, ∴b:C=2:3(3) AB 边上的高为A=60°,∴b=6 c=9又a 2=b 2+c 2-2bccosA=63∴因此所求a 边之长为 18．（1）证明：在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，D 为BC 中点，则AD ⊥面BCC 1B 1，从而AD ⊥MC 又∵CM ⊥AC 1，则MC 和平面ADC 1内两相交直线AD ，AC 1均垂直∴MC ⊥面ADC 1，于是MC ⊥DC 1. (2)解：在矩形BB 1C 1C 中，由CM ⊥DC 1知△DCC 1∽△BMC ，设BB 1=h,则BM=14h∴14h:a=,2ah h =：求得从而所求AA 1连接B 1C ，11B C D S ∆=12·a 2而AD ⊥面BC 1D ，AD=2a V B1-ADC1=23123632212a a a =19.(1)在ξ=1时，表示第一次取球就取到1号球 P （ξ=1）=12在ξ=3时，表示第一次取到2号球，第二次取到1号球P （ξ=3）=12·12=14； 在ξ=5时，表示第一次取到2号球，第二次取到3号球P （ξ=5）=12·12=14.ξ的概率分布为（2）E ξ=1·12+3·14+5·14=2.5 E ξ2=1·12+9·14+25·14=9D ξ=E ξ2-(E ξ)2=9-2.52=2.7520.(1)由f(x)=ln(x+a)-x (a ＞0)求导数得 f ′(x)=111x a x a x a+-=-++－ (2)∵0≤x ≤2，又a ＞0，则x+a ＞0恒成立 (i)在a ≥1时，f ′(x)=11002x x a-≤≤≤+在上恒成立 ∴f(x)在[0,2]上单调递减∴f(x)的最小值为f(2)=ln(a+2)-2（ii ）在0＜a ＜1时，f ′(x)=-(1),1x a x a--=-是一个稳定点最小值产生于f(0)或f(2).f(0)-f(2)=lna-[ln(2+a)-2]=lne 2a-ln(2+a)在221,(0)(2),()1a f f f x e <<>-时最小值为f(2)=ln(2+a)-2; 在0＜a ≤22,(0)(2),()(0)ln .1f f f x f a e ≤=-时最小值为 综上讨论可知：函数f(x)在a ＞221e -时取得最小值为ln(2+a)-2; 在0＜a ≤22,ln .1a e -时取得最小值为21.(1)证明：设M （x 0,y 0），M 1（x 1,y 1），M 2（x 2,y 2），在b=0时 MA 直线方程:y+a=2(0)2x x py -=00y +a代入中x -0有：(y+a)2=(22220000)2[2()2]0y a y a py y a p y a x x +++-+=即由韦达定理知：y 0+y 1=-2a+(00y a x +)2·2p=2200y a y +,求得y 1=2a y同理由直线MB:y-a=200(0)20y ax x py x --=-代入中 同样求得y 2=2200()a a y y -=∴y 1=y 2=2a y 于是M 1M 2平行于x 轴.(2)解：由K MA =K MM1知：010020x x y ap x ++=-01整理得x x =2pa ① 由K MM2=K M2B 知0220202:()22x x y a x b x bx pa p x b+-=--=--整理得 ② 由①代入②得：x 0(x 2-b)-bx 2=-x 0x 1即x 1+x 2=b(1+2)x x ③ 直线M 1M 2方程：y-y 1=121(),2x x x x p+-1212化为2py=(x +x )x-x x ④ 由③代入④得：2py=b(1+221220002)(1)x x pax x x b x x x x x -=+- 即：2py=bx+x 2(002)bx pa x x - 在x=22,2ap b ap y a b p b==时有 因此,M 1M 2直线恒过定点（2,)apa b22.（1）证明：由g(x)=(),()f x g x x 对求导数知g ′(x)=2'()()f x x f x x- 由xf ′（x ）＞f(x)可知：g ′(x) ＞0在x ＞0上恒成立.从而g(x)=()0f x x x>在上是单调增函数 （2）由（1）知g(x)=()0f x x x>在上单调递增在x 1＞0,x 2＞0时，121121()()f x x f x x x x +>+ 122122()()f x x f x x x x +>+ 于是f(x 1)＜12122121212(),()()x x f x x f x f x x x x x x +<+++两式相加得到：f(x 1)+f(x 2)＜f(x 1+x 2) （3） 由（2）中可知：g(x)=()0f x x x>1212在上单调递增时,有f(x +x )>f(x )+f(x ) 12(x >0,x >0)恒成立.由数学归纳法可知：x i ＞0(i=1,2,3,…,n)时,有f(x 1)+f(x 2)+f(x 3)+… +f(x n )＜f(x 1+x 2+x 3+…+x n ) (n ≥2)恒成立. 设f(x)=xlnx ，则在x i ＞0(i=1,2,3,…,n)时有x 1lnx 1+x 2lnx 2+…+x n lnx n ＜(x 1+x 2+…+x n )ln(x 1+x 2+…+x n )（n ≥2）……（*）恒成立.令x n =1221,(1)n S x x n =+++记…+x n =221123++…+21(1)n + 由S n ＜111223++…+111(1)1n n n =-++ S n ＞112334++…+111(1)(2)22n n n =-+++ (x 1+x 2+…+x n )ln(x 1+x 2+…+x n )<(x 1+x 2+…+x n )ln(1-1211)(11x x n n <-++++…+x n )(∵ln(1+x)＜x)＜-111()1222(1)(2)nn n n n -=-++++ (**) 由（**）代入（*）中，可知：22221111ln ln 2233+＋…+2211ln (1)(1)2(1)(2)n n n n n <-++++ 于是：222211ln 2ln 323+＋…+221ln(1)(1)2(1)(2)n n n n n +>+++。
湖北省黄冈中学高三第二次模拟考试数学(理)参考答案
数学（理科）试卷参考答案一、选择题：13. 10 14. 31[]44， 15.2 16.-4 三、解答题：17.【答案】（1；（2）36. 【解析】（1）12,,3BCD BAD BCD 2211cos 2cos 1,cos .33BCDBAD BAD 3(0,),cos .2πBADBAD 在ABD △中,2222cos ,BD AD AB AD AB BAD 234626,AD AD 得 2.AD（2）由（1）可得22236,,sin ,cos .2πBD AD AB ADBABD ABD AB ∥,CD 36,sin ,cos ,BDC ABD BCDBCD 2231226cos cos().3CBDBCD BDC 18.【答案】（1）详见解析；（2）1313-. 【解析】（1）连接AO ，⊥O A 1 底面ABC ，⊂BC AO ,底面ABC ，AO O A O A BC ⊥⊥∴11,，且1AA 与底面ABC 所成的角为AO A 1∠，即31π=∠AO A .在等边ABC ∆中，求得3=AO .在AOD ∆中，由余弦定理，得32OD ==， 2223OA AD OD ==+∴，即1AA OD ⊥.又.,//111BB OD BB AA ⊥∴,,,BC AO OC OB AC AB ⊥∴== 又O O A AO O A BC =⋂⊥11, ，⊥∴BC 平面O AA 1，又⊂OD 平面O AA 1，BC OD ⊥∴，又B BB BC =⋂1，⊥∴OD 平面C C BB 11. （2）如下图所示，以O 为原点，分别以1,,OA OB OA 所在的直线为z y x ,,轴建立空间直角坐标系，则()()()()0,1,0,3,0,0,0,1,0,0,0,31B A C A -故()()1113,1,0,0,1,3A B AB AC ==-=-- 由（1）可知11,4AD AA =∴可得点D 的坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛43,0,433，∴平面C C BB 11的一个法向量是⎪⎪⎭⎫⎝⎛=43,0,433OD . 设平面C B A 11的法向量()z y x n ,,=，由11100n A B n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-,03,03x y y x 令,3=x 则,1,3-==z y 则()1,3,3-=n ，13cos ,.OD n OD n OD n⋅∴==∴二面角11A C B B --的平面角的余弦角值是.1313-19.【解析】（1）列联表如下：优等生 非优等生 总计 学习大学先修课程 50 200 250 没有学习大学先修课程100 900 1000 总计15011001250由列联表可得()212505090020010018.939 6.63525010001501100k ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，因此在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系．（2）（i ）由题意得所求概率为2550100502530.90.80.60.40.32502502502502505P =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． （ii ）设获得高校自主招生通过的人数为X ，则33,5X ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，()3332C 55k kk P X k -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0k =，1，2，3，∴X 的分布列为:39()3.55E X =⨯=20．【答案】（1）221124x y +=；（2）3 【解析】（1a =，∴椭圆C 的方程可设为222213x y b b +=,易求得A，∴点在椭圆上，∴223313b b +=，解得22124a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，∴椭圆C 的方程为221124x y +=． （2）当过点P 且与圆O 相切的切线斜率不存在时，不妨设切线方程为x = 由（1）知，0,M N OM ON ∴⋅=∴OM ON ⊥．当过点P 且与圆O 相切的切线斜率存在时，可设切线的方程为y kx m =+，()11,M x y ，()22,N x y ， 即223(1).m k =+联立直线和椭圆的方程得:222(13)63120,k x kxm m +++-=2222364(13)(312)0k m k m ∆=-+->,21212226312,.1313km m x x x x k k -∴+=-=++∴()()12121212OM ON x x y y x x kx m kx m ⋅=+=+++2222212122222222222222223126(1)()(1)1313(1)(312)6(13)412124(13)12120,131313m kmk x x km x x m k km m k kk m k m m k m k k k k k k --=++++=++⋅++++--++--+--====+++ ∴OM ON ⊥．综上所述，圆O 上任意一点P 处的切线交椭圆C 于点M ，N ，都有OM ON ⊥． 在Rt OMN ∆中，由OMP ∆∽NOP ∆得，23PM PN OP ⋅==为定值． 21.【答案】（1）详见解析；（2）2．【解析】（1）()1ln f x a x a =---'，[)1,x ∈+∞，①当0a ≥时，因为()1ln 0f x a x a '=---<，所以()f x 在[)1,+∞上单调递减， 所以()()max 10f x f ==，无最小值．②当10a -<<时， ()f x 在111,e a --⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在11e ,a--⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增； 所以()1111mine e 1a af x f a ----⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，无最大值．③当1a ≤-时，因为()()1ln 10f x a x '=--+≥，等号仅在1a =-，1x =时成立， 所以()f x 在()1,+∞上单调递增，所以()()min 10f x f ==，无最大值．综上，当0a ≥时，()max 0f x =，无最小值；当10a -<<时，()11mine 1af x a --=+，无最大值；当1a ≤-时，()min 0f x =，无最大值． （2）()1ln 1x ax xg x x --=+，当1x ≥时，因为01a <≤，由（1）知()0f x ≤，所以()0g x ≤（当1x =时等号成立），所以0m ≥． 当01x <<时，因为01a <≤，所以()1ln f x x x x ≤--，所以()1ln 1x x xg x x --≤+，令()1ln 1x x xh x x --=+，()0,1x ∈，已知化为()h x m ≤在()0,1上恒成立，因为()()23ln 1x xh x x ---+'=，令()3ln k x x x =---，()0,1x ∈，则()110k x x=--<'， ()k x ∴在()0,1上单调递减，又因为441110e e k ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，3310e e 1k ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，所以存在043e e 11,x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()0003ln 0k x x x =---=，当00x x <<时，()0h x >，()0h x '>，()h x 在()00,x 上单调递增； 当0x x >时，()0h x <，()0h x '<，()h x 在()0,x +∞上单调递减； 所以()()()20000000000max000131ln 211111x x x x x x x x h x h x x x x x -++--++=====++++，因为043e e 11,x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以0431111,1e e x ⎛⎫+∈++ ⎪⎝⎭，所以()43max 111,e e 1h x ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭，所以m 的最小整数值为2.22. 【答案】（1）20y ax(a )=>,1y x =-；（2）1=a .【解析】（1）由θθρρcos cos 2a +=,得θρθρρcos cos 222a += ,得曲线E 为:20y ax(a )=>.又直线l 的斜率为1，且过点A ，故直线l 为:1y x .=- （2）在直角坐标系xoy 中，直线l的参数方程为12x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(t 为参数)， 代入2y ax =得2820t a -+++=，∴12t t +=+1228t t a .=+∵AC AB BC ⋅=2，21221)(t t t t =-∴，即212125(t t )t t ,+=224528(a )(a )∴+=+,得 1=a . 23.【答案】（1）133x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭；（ 2）13,9⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.【解析】（1）当2a =时，函数()221f x x =++，解不等式()2f x x +<化为2212x x +++<，即221x x +<-，∴1221x x x -<+<-，解得133x -<<-，∴不等式的解集为133x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭.（2）由()22f x b x a ≥++，得2221b x a x a ≤+-++，设()2221g x x a x a =+-++，则不等式的解集非空，等价于()max b g x ≤；由()()()222211g x x a x a a a ≤+-++=-+，∴21b a a ≤-+；由题意知存在113a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,，使得上式成立； 而函数()21h a a a =-+在113a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,上的最大值为11339h ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∴139b ≤；即b 的取值范围是13,9⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.。
湖北省部分重点中学2005届高三第二次联考数学
湖北省部分重点中学2005届高三第二次联考数学试卷拟题人：湖北省武昌实验中学朱达坤、徐高诚本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页。
满分150分，考试时间120分钟。
试题中注明文科做的，理科考生不做；注明理科做的，文科考生不做，未作注明，文理科考生都做。
第Ⅰ卷(选择题，共60分)注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用2B铅笔涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需修改，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试卷纸上。
3．考试结束，监考人员将本试卷和答题卡一并收回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。
共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．5、从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又 有女生，则不同的选法共有( )A 、140种B 、120种C 、35种D 、34种8、设 f 1(x )是函数f (x )的导数，y =f 1(x )的图象如图甲所示，则y =f (x )的图象最 有可能是图( )中的图象：=｛直线与平面所成的角｝，则下列结论中正确的个数为( )第Ⅱ卷(非选择题，共90分)注意事项：1．用钢笔或圆珠笔直接答在答题卡上．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．14、设地球O的半径为R，P和Q是地球上两地，P在北纬45o，东经20o，Q在北纬45o，东经110o，则P与Q两地的球面距离为。
15、（理科做）某同学在一次知识竞赛中有两道必答题，每道题答对得10分，答错扣5分，假设每题回答正确的概率均为0.7，且各题之间没有影响，则这名同学回答这两道题的总得分ξ的数学期望是 .(文科做)若二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x，f(0)=1，则f(x)=16、下列命题：(1)在空间，若四点不共面，则每三点一定不共线；(2)若A(m，10)，B(m+2，l0)，点P 满足P A -PB=1，则点P的轨迹是双曲线；(3)一个简单多面体的各面都是三角形，若它的顶点数为V，面数为F，则F与V问的关系是F=2V-4；其中正确的命题为三、解答题：本大题共6小题。
2005年高考理科数学(湖北)(已整理)
A．9
2．对任意实数 a，b，c，给出下列命题：
B．8
C．7
①“ a b ”是“ ac bc ”充要条件； ②“ a 5 是无理数”是“a 是无理数”的充要条件
③“a>b”是“a2>b2”的充分条件；④“a<5”是“a<3”的必要条件.
其中真命题的个数是
A．1
B．2
C．3
3．已知向量 a=（－2，2），b=（5，k）.若|a+b|不超过 5，则 k 的取值范围是 （ ）
2005 年普（湖北卷）数学试题卷（文史类）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合 题目要求的.
1．设 P、Q 为两个非空实数集合，定义集合 P+Q={a b | a P,b Q},若P {0,2,5},
Q {1,2,6}，则 P+Q 中元素的个数是
3
B．
8
7．在 y 2 x , y log2 x, y x 2 , y cos 2x 这四个函数中，当 0 x1 x2 1 时，使
f ( x1 x2 ) f (x1 ) f (x2 ) 恒成立的函数的个数是
A．0
2
2
B．1
8．已知 a、b、c 是直线， 是平面，给出下列命题：
①若 a b,b c,则a // c ；
C．[－6，2]
C．120 倍
16
C．
3
C．2
2.社会主义本质理论对探索怎样建设3.社19会57主年义2月具，有毛重在要《的关实于践正意确义处。理社人会民主内义2.社部本科会矛质学主盾理的义的论1本本问的.邓质质题提小是的》出平创科讲，提新学话为出，内中我“创涵提们社邓新。出寻始会小的邓（找终主平关小1一代义）坚键平种表的我2持在对能.1中本国把科人社9够国质社5发学才会从4先，会展社年，主更进是主作会，人义深生解义为主毛才本层产放制执义在的质次1力生度政理《成所.认社1的产还兴论论长作.识会 发发力刚国和十靠的社主 展展，刚的实大教概会义 才要发建第践关坚育括主本 是求展立一的系2持。，义质 硬、，生，要基》以人一，理 道发大产还务本重发才方从论 理展力力没是成要展资面而把 ，才促，有由果讲社的源强为我 把是进消完中，话会办是调中四们 发（硬先灭全国抓中主法第必国、对 展2道进剥建共住提三义解一）须的科社 生理生削立产“出、经决资采解社学会 产，产，党什（代济前源取放会技主 力是力消还的么1表基进。从和主术义 作）对的除不执是中础科低发义是1的 为吧社3发两完政社9国基的学级展.建第发认 社二国5会展极全地会先本问技到6生设一展识 会、内主，年分巩位主进建题术高产在生才提 主发外义是底化固所义生立，实级力改产是高 义1展一时中我，的决邓产的是力9，革力硬到 建是切间5国最思定怎小力同实和国另3开道了 设党积经共对终想年的样平的时行国家一放理一 的执极验产农达。1，建一发，改民资方中2，个 根政因教党业到（是设月再展我革教本面探是新 本兴素训站、共2对社，强要国开育主指索）适的 任国都的在手一同执会毛调求的放水义出出第创应科 务在的调深时工、富1政主泽，政以平的4了一三造.时学 ，社第动刻坚代.业发裕规义东中一治来，过2解条节性代水 符会一起总持前.和展。律”关社 国个领我始度放发、地主平 合阶要来结社列资才”认这于会 社公域们终形和展社提题。 马级务为。会，本是1识个总主 会有也党是式发更会9出变社 克二关中主保硬的根8路义 主制发的衡。展快主了化会 思6、系国义持道3深本线基 义占生一年量所生、义社.的主社发解用工现理化问的本 基主了条，综谓产人的会需义会生决和业金商，题1完制 本体重主邓合国力民根主要本 基.主变事所平化向业1也，整度 制，大要小国家的享本9义。质 本义化业有方建的是深5的度一变经平力资手受社任理 原6本的服问法设根社对刻表确 的个化验年提和本段到会 1务论 理第质同务题进与本会一党揭.述立 确共，。出社主社和社主基的 ，二理时的行社体主、实示：， 立同确苏“会义会目会3义本提 是节论，基关改会现义社现了.从为 ，富立共社文，社主的主一改矛出 巩、的我本键造主和改会其社中当 使裕了二会明就会义。义、造盾， 固对重国方是。义根造之所会华代 占，中十主程是主基建中的和为 和第社要针这改本基一承主人中 世这国大义度在义本设国基两进 发一会意。靠不造要本本担义民国 界是共以财的国基制内成特本类一 展节主义的（自仅同求完质的本共一 人我产后富重家本度涵果色完矛步 社、义主2己保时。成理历质和切 口们党毛属要直）制的包最伴社成盾推 会中本要的证并，论史，国发 四必领泽于标接正度确括大随会，的进 主国质矛发了举标第的这成展 分须导东人志控确的立（，着主是学改 义特理盾展2社。志五提需是立进 之坚的提民。制处确是1.能社义我说采革 制色论也。会实着章）出要对，步 一持人出，和理立中够会建国，取开 度社的发的践中把。马到奠 的民要社支经，国社充经设强积放 的会提生稳证国解克社定 东民“会配济是历会分济道调极和 必主出了定明历放思会了 方主以下建4广史主体制路要引社 然义变，.史和主主把制 大专苏义的设大上义现度初严导会 要二建化而党上发义义对度 国政为的资和劳最的出和步经格、主 求设。且坚长展的改企基 进党的鉴致本社动深本对社探济区逐义 。确道人极持达生重造业础 入在根社”富主会人刻质资会索结分步现立路民大社数产大基的。 了过本会，是义发民最和本经的构过代社的对的会千力逐发本改社渡原主探全经展真伟根主济理发正渡化会初于促主年概步展完造会时则义索民济中正大本义结论生确的建新主步经进义的括实，成和主期。基自共的成任优构成了处方设中义探济了改阶为现对，对义总本己同国一为社务越的果根理式提国基索文社造级国于这人制 社路政的致家系国会性根本两。供的本化会与剥家建是的度 会线治道富资列家变的一本变类中了成制迅主社削的设一改的 ，第制路。本重的革道、变化不国强立度速义会制社中个造建 这三主度。社大主，路社化，同这大，的发事主度的会国过结立 是节要。会义关人也，1会社性场的标重展业义的本主特.渡合极 世、内人主有系解和是奠主我会质巨思志大的的工结（质义色时起大 界社容民义初。决社2定义国主的大想着意需发业束30。工社期来地 社（会被民原级了会）世了基社义矛而武我义要展化，（业会。，提 会2主概则和3在生把纪理本会经盾深器国同），同实2化主党把高 主对义括专，高一产资中）论制的济，刻。新经遵改总时现新是义在对了 义手制为政第级个资本国强基度阶成在特的通民济循革之并了民党具这资工 运二七度“实一形以料主又调础的级分新别社过主文自4过，举由主在有个本人 动、届 业在一质是式农的.（义一消，初关已民是它会（没主化愿于和的新主过重过主阶 史新社二 的中化上发之民主1工次灭开步系占主要是变4收义不互集平方民（）义渡大渡义级 上民会中 社国三已展）分为人商划剥阔确也绝主正中革官能利中改针主3用社时的时工和 又主全 会的改成生坚。主）业时削了立发对义确国，僚命满、的造，主和会期理期商广 一主义会确”为产持初题正者代，广2生优革处革不资阶足典计解对义平的论.的业大 个义改提立。无，积级资的确改的消阔了势命理命仅√本段人型划决于向赎五总和总搞劳 历革造出 改“产第极形本、分造历除前根，理人的没中而民示体了在社3买种路实路糟动 史命的使 造一阶二领式主落（.析成史两景本社论民具有国形基需党范制诸深会的经线践线成人 性理历中 ，化级是导的义后1农为巨极。√的会内体对革成本要的和如刻主）方济的意和为民 的论史国 党”专共、工的村自变分邓中主指部实生命的结建国初实的义积法成主义总自的 伟是经“ 和即政同稳家商半的食。化小国义导矛际产在走社束状设家步现社的极改分体。任食积 大以验稳 政社；致步资业殖阶其们平社革。公下盾出力一农会和况。帮构社会转引造—。务其极 胜一毛步 府会人富前本的民级力吐对1会命有，。发的个村主社之加助想会变导资—要.，力性 利、泽地 采主民。进农社地和的出社第必制中（，发以包义会间强的，变革农本社从是的和 。适东由 取义代”的业会半阶社了会二须已国3不展农围的主党原要革中社民主会根）要社创合为农 了工表这方是、主封层会最主节级走成共拘造民城国义矛的则求与保会组义主本从在会造中主业 积大段针国手义建状主终义、构农为产泥成为市营改盾建，2中经持主织工义上全一主性国要极化会话，家工改的.况义达本社成村我党武于破主、经造，设以央济社义起商性改体个义。特代转 领，制成采对业造东，劳到质会主包国领装已坏体武济阶成，互向发会基来业中质变人相劳点表变 导“度为取私的方制动�
湖北省八校2005—2006学年度高三第二次联考数学试卷
湖北省八校2005—2006学年度高三第二次联考数 学 试 卷2006.3第Ⅰ卷（选择题 共126分）一、选择题：（本大题共10个小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．下列判断正确的是 （ ） A ．y x y x ≠⇔≠22或y x -≠B ．命题：“a ，b 都是偶数，则a +b 是偶数”的逆否命题是“若a +b 不是偶数，则a ，b都不是偶数”C ．若“p 或q ”为假命题，则“非p 且非q ”是真命题D ．已知a ，b ，c 是实数，关于x 的不等式02≤++c bx ax 的解集是空集，必有0>a 且0≤∆2．若α、β是两个不重合的平面，给定以下条件：①α、β都垂直于平面γ②α内不共线的三点到β的距离都相等③l 、m 是α内的两条直线，且l //β，m//β④l 、m 是两条异面直线，且l //α、l //β、m//α、m//β，其中可以α//β的是 （ ） A ．①② B ．②③ C ．②④ D ．④3．（理）已知1413)(+-=x x x f ，则下列结论正确的是（ ）A ．1)(lim =-∞→x f xB ．0)(lim =+∞→x f xC ．0)(lim =∞→x f xD ．1)(lim 0=→x f x（文）二次函数1)12()1(2++-+=x n x n n y ，当n 依次取1，2，3，4…，n ，…时，图象在x 轴上截得的线段的总和约为 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．4鄂南中学、黄冈中学、黄石二中、华师一附中荆州中学、孝感中学、襄樊四中、襄 樊 五 中4．已知函数x x x f sin )(⋅=的图象是下列两个图象中的一个，请你选择后再根据图象作出下面的判断：若)2,2(,21ππ-∈x x 且)()(21x f x f <，则 （ ） A ．21x x > B ．021>+x xC ．21x x <D ．2221x x <5．已知双曲线12222=-bya x 的左焦点为F 1，左、右顶点为A 1、A 2，P 为双曲线上任意一点，则分别以线段PF 1，A 1A 2为直径的两个圆的位置关系为（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．以上情况都有可能6．已知关于x 的方程02sin2cos cos 22=+⋅-CB A x x 的两根之和等于两根之积的一半，则△ABC 一定是（ ） A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形7．已知函数21)(,12)(x x g x f x -=-=构造函数F(x )，定义F 如下：当)(|)(|x g x f ≥时，|)(|)(x f x F =，当)(|)(|x g x f <时，)()(x g x F -=，那么)(x F （ ）A ．有最小值－1，无最大值B ．有最小值0，无最大值C ．有最大值1，无最小值D ．无最小值，也无最大值 8．某学校为了了解学生课外阅读情况，随机调查了 50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所 用时间的数据。
2005年湖北高考数学理试题(含答案)
2005年高考理科数学湖北卷试题及答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的上个选项中，中有一项是符合题目要求的）1．设P 、Q 为两个非空数集，定义集合P+Q={a+b|a ∈P ，b ∈Q}P={0，2，5}，Q={1，2，6}，则P+Q 中元素的个数是A ．9B ．8C ．7D ．6 2．对任意实数a ，b ，c ，给出下列命题：①“a=b ”是“ac=bc ”的充要条件； ②“a+5是无理数”是“a 是无理数”的充要条件； ③“a>b ”是“a 2>b 2”的充分条件； ④“a<5”是“a<3”的必要条件 其中真命题的个数是A ．1B ．2C ．3D ．43．ii i ++-1)21)(1(=A ．-2-iB ．-2+iC ．2-iD ．2+i4． 函数|1|||ln --=x e y x 的图象大致是 （ ）A B C D5．双曲线)0(122≠=-mn ny m x 的离心率为2，有一个焦点与抛物线x y 42=的焦点重合，则mn 的值为A ．163 B ．83 C ．316 D ．386．在x y x y x y y x2cos ,,log ,222====这四个函数中，当1021<<<x x 时，使2)()()2(2121x f x f x x f +>+恒成立的函数的个数是A ．0B ．1C ．2D ．37．若)20(tan cos sin παααα<<=+，则∈αA ．（0，6π） B ．（6π，4π） C ．（4π，3π） D ．（3π，2π）8．若1)11(lim 21=---→xbx a x ，则常数a ，b 的值为A ．a=-2，b=4B ．a=2，b=-4C ．a=-2，b=-4D ．a=2，b=49．若20π<<x ，则2x 与3sinx 的大小关系：A ．2x>3sinxB ．2x<3sinxC ．2x=3sinxD ．与x 的取值有关10．如图，在三棱柱C B A ABC '''-中，点E 、F 、H 、K 分别为C A '、B C '、B A '、C B '' 的中点，G 为ΔABC 的重心从K 、H 、G 、B '中取一点作为P ，使得该棱柱恰有2条棱与平面PEF 平行，则P 为 A ．K B ．H C ．G D ．B '11．某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，…，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号为1，2，…，270，并将整个编号依次分为10段，如果抽得号码有下列四种情况：①7，34，61，88，115，142，169，223，250；②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265； ③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254；④305784111138165192219246270 关于上述样本的下列结论中，正确的是 A ．②、③都不能为系统抽样 B ．②、④都不能为分层抽样C ．①、④都可能为系统抽样D ．①、③都可能为分层抽样12．以平行六面体D C B A ABCD ''''-的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机取出两个三角形，则这两个三角形不共面的概率p 为A ．385367 B ．385376 C ．385192 D ．38518二、填空题（本大题共4小题，每小题4分 ,共16分把答案填写在答题卡相应的位置上）13．已知向量a=（-2，2），b=（5，k |a+b|不超过5，则k 的取值范围是14．5)212(++xx 的展开式中整理后的常数项等于15．设等比数列{n a }的公比为q ，前n 项和为n S ，若1+n S ，n S ，2+n S 成等差数列，则q 的值为16．某实验室需购某种化工原料106千克，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋35千克，价格为140元；另一种是每袋24千克，价格为120元在满足需要的条件下，最少要花费 元三、解答题（本大题共6小题，共74分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）已知向量a =(2x ，x+1)，b = (1-x ，t)若函数)(x f =a ·b 在区间（-1，1）上是增函数，求t 的取值范围18．（本小题满分12分）在ΔABC 中，已知66cos ,364==B AB ，AC 边上的中线BD=5，求sinA 的值19．（本小题满分12分）某地最近出台一项机动车驾照考试规定：每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一量某次考试通过，便可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6，0.7，0.8，0.9求在一年内李明参加驾照考试次数ξ的分布列和ξ的期望，并求李明在一所内领到驾照的概率20．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P —ABC 右，底面ABCD 为矩形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，AB=3，BC=1，PA=2，E 为PD 的中点（Ⅰ）求直线AC 与PB 所成角的余弦值；（Ⅱ）在侧面PAB 内找一点N ，使NE ⊥面PAC ，并求出N 点到AB 和AP 的距离21．（本小题满分12分）设A 、B 是椭圆λ=+223y x 上的两点，点N （1，3）是线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线与椭圆相交于C 、D 两点（Ⅰ）确定λ的取值范围，并求直线AB 的方程；（Ⅱ）试判断是否存在这样的λ，使得A 、B 、C 、D 四点在同一个圆上？并说明理由22．（本小题满分14分）已知不等式][log 21131212n n >+++ ，其中n 为大于2的整数，][log 2n 表示不超过n 2log {n a }的各项为正，且满足111,)0(--+≤>=n n n a n na a b b a ，,4,3,2=n（Ⅰ）证明：][log 222n b ba n +<， ,5,4,3=n ；（Ⅱ）猜测数列{n a }是否有极限？如果有，写出极限的值；（Ⅲ）试确定一个正整数N ，使得当n>N 时，对任意b>0，都有5<n a2005年高考理科数学湖北卷试题及答案参考答案1．B 2．B 3．C 4．D 5．A 6．B7．C 8．C 9．D 10．C 11．D 12．A13．[-6，2] 14．2263 15．-2 16．50017．解法一：依定义ttx x x x t x x x f +++-=++-=232)1()1()(则t x x x f ++-='23)(2，若)(x f 在（-1，1）上是增函数，则在（-1，1）上可设)(x f '≥0∴)(x f '≥0x x t 232-≥⇔在（-1，1）上恒成立考虑函数x x x g 23)(2-=，由于)(x g 的图象是对称轴为31=x ，开口向上的抛物线，故要使x x t 232-≥在（-1，1）上恒成立)1(-≥⇔g t ，即t ≥5而当t ≥5时，)(x f '在（-1，1）上满足)(x f '>0，即)(x f 在（-1，1）上是增函数故t 的取值范围是t ≥5解法二：依定义t tx x x x t x x x f +++-=++-=232)1()1()(，t x x x f ++-='23)(2若)(x f 在（-1，1）上是增函数，则在（-1，1）上可设)(x f '≥0∵)(x f '的图象是开口向下的抛物线，∴当且仅当01)1(≥-='t f ，且05)1(≥-=-'t f 时，)(x f '在（-1，1）上满足)(x f '>0，即)(x f 在（-1，1）上是增函数故t 的取值范围是t ≥518．解法一：设E 为BC 的中点，连接DE ，则DE//AB ，且36221==AB DE ，设BE=x在ΔBDE 中利用余弦定理可得：BED ED BE ED BE BD cos 2222⋅-+=，x x 6636223852⨯⨯++=，解得1=x ，37-=x （舍去）故BC=2，从而328cos 2222=⋅-+=B BC AB BC AB AC ，即3212=AC又630sin =B ，故6303212sin 2=A ，1470sin =A解法二：以B 为坐标原点，BC 为x 轴正向建立直角坐标指法，且不妨设点A 位于第一象限由630sin =B ，则)354,34()s i n 364,c o s 364(==B B BA ，设=（x ，0），则)352,634(x +=由条件得)352()634(||22=++=x BD从而x=2，314-=x （舍去）故354,32(-=CA于是141439809498091698098cos =+⋅++-==A∴1470cos 1sin 2=-=A A解法三：过A 作AH ⊥BC 交BC 于H ，延长BD 到P 使BP=DP ，连接AP 、PC过窗PN ⊥BC 交BC 的延长线于N ，则354,34c o s ===AH B AB HB ，310)354()52(222222=-=-=-=AH BP PN BP BN ，而34==HB CN ，∴BC=BN=CN=2，32=HC ，321222=+=HC AH AC故由正弦定理得6303212sin 2=A ，∴1470sin =A19．解：ξ的取值分别为1，2，3，4ξ=1，表明李明第一次参加驾照考试就通过了，故P （ξ=1）=0.6ξ=2，表明李明在第一次考试未通过，第二次通过了，故P （ξ=2）=（1-0.6）×0.7=0.28ξ=3，表明李明在第一、二次考试未通过，第三次通过了，故P （ξ=3）=（1-0.6）×（1-0.7）×0.8=0.096ξ=4，表明李明在第一、二、三次考试都未通过，故P （ξ=4）=（1-0.6）×（1-0.7）×（1-0.8）=0.024∴李明实际参加考试次数ξ的分布列为∴ξ的期望E ξ=1×0.6+2×0.28+3×0.096+4×0.024=1.544李明在一年内领到驾照的概第为 1-（1-0.6）×（1-0.7）×（1-0.8）×（1-0.9）=0.997620．解法一：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，则A 、B 、C 、D 、P 、E 的坐标分别为A （0，0，0），B （3，0，0），C （3，1，0），D （0，1，0），P （0，0，2），E （0，21，2）从而AC =（3，1，0），PB =（3，0，-2）设与的夹角为θ，则1473723cos ===θ，∴AC 与PB 1473（Ⅱ）由于N 点在侧面PAB 内，故可设N 点坐标为（x ，0，z ），则1,21,(z x --=由NE ⊥面PAC 可得：⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,0,0即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅--=⋅--,0)0,1,3()1,21,(,0)2,0,0()1,21,(z x z x化简得⎪⎩⎪⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-.1,63.0213,01z x x z即N 点的坐标为（63，0，1），从而N 点到AB 、AP 的距离分别为163解法二：（Ⅰ）设AC ∩BD=O ，连OE ，则OE//PB ，∴∠EOA 即为AC 与PB 所成的角或其补角在ΔAOE 中，AO=1，OE=21PB=27，AE=21PD=25，∴14173127245471cos =⨯⨯-+=EOA即AC 与PB 14173（Ⅱ）在面ABCD 内过D 作AC 的垂线交AB 于F ，则6=∠AD F连PF ，则在Rt ΔADF 中DF=33tan ,332cos ===ADF AD AF ADF AD设N 为PF 的中点，连NE ，则NE//DF ，∵DF ⊥AC ，DF ⊥PA ，∴DF ⊥面PAC 从而NE ⊥面PAC∴N 点到AB 的距离=21AP=1，N 点到AP 的距离=2163 21．（Ⅰ）解法一：依题意，可设直线AB 的方程为y=k （x-1）+3，代入λ=+223y x ，整理得：)3()3(2)3(222=--+--+λk x k k x k ①设A （11,y x ），B （22,y x ），则1x ，2x 是方程①的两个不同的根，∴0])3(3)3([422>--+=∆k k λ，②且3221+=+k x x 由N （1，3）是线段AB 的中点，得21x x +=2，∴)3(2+=-k k k 解得k =-1，代入②得12>λ，即λ的取值范围是（12，+∞）于是直线AB 的方程为)1(3--=-x y ，即04=-+y x解法二：设A （11,y x ），B （22,y x ），则有)())((3.3,321212122222121=-++-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+y y x x x x y x y x λλ 依题意，212121,y y k x x AB +=∴≠∵N （1，3）是AB 的中点，∴21x x +=2，21y y +=6，从而1-=AB k又由N （1，3）在椭圆内，∴1231322=+⨯>λ，∴λ的取值范围是（12，+∞）直线AB 的方程为)1(3--=-x y ，即4=-+y x（Ⅱ）解法一：∵CD 垂直平分AB ，∴直线CD 的方程为y-3=x-1，即x-y+2=0代入椭圆方程，整理得04442=-++λx x ③又设C （33,y x ），D （44,y x ），CD 的中点为M （00,y x ），则3x ，4x 是方程③的两根，∴3x +4x =-1，且232,200210=+==+=x y x x x ，即M （21-，23）于是由弦长公式可得)3(2||)1(||432-=-⋅-+==λx x kCD ④将直线AB 的方程04=-+y x 代入椭圆方程得16842=-+-λx x ⑤同理可得)12(2||1||212-=-⋅+=λx x k AB ⑥∵当12>λ时，)3(2-λ>)12(2-λ，∴|AB|<|CD|假设存在12>λ，使得A 、B 、C 、D 四点共圆，则CD 必为圆的直径，点M 为圆心点M 到直线AB 的距离为222|42321|2|4|00=-+-=-+=y x d于是，由④⑥⑦式及勾股定理可得2222|2|2321229|2|||||CD AB d MB MA =-=-+=+==λλ故当12>λ时，A 、B 、C 、D 四点均在以M 为圆心，|2CD|为半径的圆上（注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：A 、B 、C 、D 共圆⇔ACD 为直角三角形，A 为直角||||||2DN CN AN ⋅=，即)2||)(2||()2||(2d CD d CD AB -+=⑧由⑥式知，⑧式左边=212-λ，由④⑦知，⑧式右边==--=--+-2923)2232)3(2)(2232)3(2(λλλ2∴⑧式成立，即A 、B 、C 、D 四点共圆）解法二：由（Ⅱ）解法一知12>λ，∵CD 垂直平分AB ，∴直线CD 的方程为y-3=x-1，代入椭圆方程，整理得04442=-++λx x ③将直线AB 的方程04=-+y x 代入椭圆方程整理得16842=-+-λx x ⑤解③和⑤式可得21222,1-±=λx ，2314,3-±-=λx ，不妨设A （12211-+λ，12213--λ），C （231---λ，233--λ），D （231-+-λ，233-+λ）∴⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+---+-+=23123,23123λλλλ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------+=23123,23123λλλλ，计算可得0=⋅，∴A 在以CD 为直径的圆上又B 为A 关于CD 的对称点，∴A 、B 、C 、D 四点共圆（注：也可用勾股定理证明AC ⊥AD ）22．（Ⅰ）证法一：∵当n ≥2时，110--+≤<n n n a n na a ，∴na a n a n a n n n n 111111+=++≥---，即n a a n n 1111≥--，于是有211112≥-a a ，311123≥-a a ，…，na a n n 1111≥--，所有不等式两边相加可得na a n 3121111+++≥-由已知不等式知，当n ≥3时有[log 211121n a a n ≥-∵b a <1，∴bn b a n 2][log 211122=+>∴][log 22n b a n +<证法二：设nn f 13121)(+++=，首先利用数学归纳法证不等式,5,4,3,)(1=+≤n bn f ba n（ⅰ）当n=3时，由b f ba a a a a a )3(11223313333112223+=++⋅≤+=+≤，知不等式成立（ⅱ）假设当n=k （k ≥3）时，不等式成立，即bk f ba k )(1+≤，则,)1(1)11)((1)()1()1()1(1)(1)1(1111)1()1(1bk f bb k k f bbb k f k k bk b b k f k k a k k a k a k a k kk k ++=+++=+++++=++⋅++≤+++=+++≤+即当n=k+1时，不等式也成立由（ⅰ）（ⅱ）知，,5,4,3,)(1=+≤n bn f ba n又由已知不等式得,5,4,3,][log 22][log 21122=+=+≤n n b bb n b a n（Ⅱ）有极限，且lim =∞→n n a（Ⅲ）∵][log 2][log 2222n n b b <+，令51][log 22<n ，则有1024210][log log 1022=>⇒>≥n n n ，故取N=1024，可使沁n>N 时，都有5<n a。
2005年高考全国卷1理科数学(含答案)
2005年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅰ）第I 卷一、选择题：1．设I 为全集，S 1、S 2、S 3是I 的三个非空子集且S 1∪S 2∪S 3=I ，则下面论断正确的是（ ） A ． I S I ∩（S 2∪S 3）= B ．S 1⊆（ I S 2∩ I S 3）C ． I S I ∩ I S 2 ∩ I S 3=D ．S 1⊆（ I S 2∪ I S 3）2．一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的表面积为 （ ）A ．8π2B ．8πC ．4π2D ．4π3．已知直线l 过点（－2，0），当直线l 与圆x y x 222=+有两个交点时，其斜率k 的取值范围是（ ）A ．)22,22(-B ．)2,2(-C ．)42,42( D ．)81,81(-4．如图，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且△ADE 、△BCF 均为正三角形，EF//AB ，EF=2，则该多面体的体积为（ ）A ．32 B ．33C ．34 D ．23 5．已知双曲线)0(1222>=-a y ax 的一条准线与抛物线x y 62-=的准线重合，则该双曲线的离心率为（ ）A ．23 B ．23 C ．26 D ．332 6．当20π<<x 时，函数x xx x f 2sin sin 82cos 1)(2++=的最小值为（ ）A ．2B ．32C ．4D ．347．设0>b ，二次函数122-++=a bx ax y 的图象下列之一：则a 的值为（ ）A ．1B ．－1C ．251-- D ．251+- 8．设10<<a ，函数)22(log )(2--=xx a a a x f ，则使x x f 的0)(<取值范围是（ ）A ．)0,(-∞B ．),0(+∞C ．)3log ,(a -∞D ．),3(log +∞a9．在坐标平面上，不等式组⎩⎨⎧+-≤-≥1||3,1x y x y 所表示的平面区域的面积为（ ）A ．2B ．23 C ．223 D ．210．在ABC ∆中，已知C BA sin 2tan=+，给出以下四个论断：①1cot tan =⋅B A ②2sin sin 0≤+<B A ③1cos sin 22=+B A ④C B A 222sin cos cos =+其中正确的是（ ） A ．①③ B ．②④ C ．①④D ．②③ 11．过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有（ ）A ．18对B ．24对C ．30对D ．36对 12．复数=--ii 2123（ ）A ．iB ．i -C ．i -22D ．i +-22第Ⅱ卷注意事项：1．用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中. 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚. 3．本卷共10小题，共90分.二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．若正整数m 满足)3010.02.(lg ________,102105121≈=<<-m m m 则14．9)12(xx -的展开式中，常数项为 .（用数字作答）15．△ABC 的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，)(OC OB OA m OH ++=，则实数m= .16．在正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，过对角线BD ′的一个平面交AA ′于E ，交CC ′于F ，则①四边形BFD ′E 一定是平行四边形.②四边形BFD ′E 有可能是正方形.③四边形BFD ′E 在底面ABCD 内的投影一定是正方形. ④平面BFD ′E 有可能垂直于平面BB ′D.以上结论正确的为 .（写出所有正确结论的编号）三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）设函数)(),0)(2sin()(x f y x f =<<-+=ϕπϕπ图象的一条对称轴是直线.8π=x（Ⅰ）求ϕ；（Ⅱ）求函数)(x f y =的单调增区间；（Ⅲ）证明直线025=+-c y x 与函数)(x f y =的图象不相切.18．（本小题满分12分） 已知四棱锥P —ABCD 的底面为直角梯形，AB//DC ，∠DAB=90°，PA ⊥底面 ABCD ，且PA=AD=DE=21AB=1，M 是PB 的中点. （1）证明：面PAD ⊥面PCD ； （2）求AC 与PB 所成的角；（3）求面AMC 与面BMC 所成二面角的大小. 19．（本小题满分12分）设等比数列}{n a 的公比为q ，前n 项和S n >0（n=1，2，…）（1）求q 的取值范围； （2）设,2312++-=n n n a a b 记}{n b 的前n 项和为T n ，试比较S n 和T n 的大小. 20．（本小题满分12分） 9粒种子分种在3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为0.5，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种，若一个坑里的种子都没发芽，则这个坑需要补种，假定每个坑至多补种一次，每补种1个坑需10元，用ξ表示补种费用，写出ξ的分布列并求ξ的数学期望.（精确到0.01） 21．（本小题满分14分） 已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，OB OA +与)1,3(-=a 共线. （1）求椭圆的离心率；（2）设M 为椭圆上任意一点，且),(R OB OA OM ∈+=μλλλ，证明22μλ+为定值.22．（本小题满分12分）（1）设函数)10)(1(log )1(log )(22<<--+=x x x x x x f ，求)(x f 的最小值； （2）设正数n p p p p 2321,,,, 满足12321=++++n p p p p ， 求证.log log log log 222323222121n p p p p p p p p n n -≥++++2005年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修I ）参考答案一、选择题（本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分）1．A 2．C 3．B 4．C 5．A 6．D 7．C 8．B 9．C 10．B 11．B 12．D 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分，满分16分. 13．155 14．672 15．1 16．①③④ 三、解答题17．本小题主要考查三角函数性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力，满分12分. 解：（Ⅰ）)(8x f y x ==是函数π的图像的对称轴，,1)82sin(±=+⨯∴ϕπ.,24Z k k ∈+=+∴ππππ.43,0πϕϕπ-=<<- （Ⅱ）由（Ⅰ）知).432sin(,43ππϕ-=-=x y 因此 由题意得.,2243222Z k k x k ∈+≤-≤-πππππ所以函数.],85,8[)432sin(Z k k k x y ∈++-=πππππ的单调增区间为（Ⅲ）证明：,2|)432cos(2||))432(sin(|||≤-='-='ππx x y所以曲线)(x f y =的切线斜率取值范围为[－2，2]，而直线025=+-c y x 的斜率为225>，所以直线025=+-c y x 与函数)432sin(π-=x y 的图像不相切. 18．本小题主要考查直线与平面垂直、直线与平面所成角的有关知识及思维能力和空间想象能力.考查应用向量知识解决数学问题的能力.满分12分. 方案一：（Ⅰ）证明：∵PA ⊥面ABCD ，CD ⊥AD ， ∴由三垂线定理得：CD ⊥PD.因而，CD 与面PAD 内两条相交直线AD ，PD 都垂直， ∴CD ⊥面PAD.又CD ⊂面PCD ，∴面PAD ⊥面PCD.（Ⅱ）解：过点B 作BE//CA ，且BE=CA ，则∠PBE 是AC 与PB 所成的角.连结AE ，可知AC=CB=BE=AE=2，又AB=2，所以四边形ACBE 为正方形. 由PA ⊥面ABCD 得∠PEB=90° 在Rt △PEB 中BE=2，PB=5， .510cos ==∠∴PB BE PBE.510arccos所成的角为与PB AC ∴ （Ⅲ）解：作AN ⊥CM ，垂足为N ，连结BN. 在Rt △PAB 中，AM=MB ，又AC=CB ， ∴△AMC ≌△BMC,∴BN ⊥CM ，故∠ANB 为所求二面角的平面角. ∵CB ⊥AC ，由三垂线定理，得CB ⊥PC ， 在Rt △PCB 中，CM=MB ，所以CM=AM. 在等腰三角形AMC 中，AN ·MC=AC AC CM ⋅-22)2(， 5625223=⨯=∴AN . ∴AB=2，322cos 222-=⨯⨯-+=∠∴BN AN AB BN AN ANB 故所求的二面角为).32arccos(-方法二：因为PA ⊥PD ，PA ⊥AB ，AD ⊥AB ，以A 为坐标原点AD 长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为A （0，0，0）B （0，2，0），C （1，1，0），D （1，0，0），P （0，0，1），M （0，1，)21. （Ⅰ）证明：因.,0),0,1,0(),1,0,0(DC AP DC AP DC AP ⊥=⋅==所以故由题设知AD ⊥DC ，且AP 与AD 是平面PAD 内的两条相交直线，由此得DC ⊥面PAD. 又DC 在面PCD 上，故面PAD ⊥面PCD. （Ⅱ）解：因),1,2,0(),0,1,1(-==PB AC.510||||,cos ,2,5||,2||=⋅⋅>=<=⋅==PB AC PBAC PB AC PB AC PB AC 所以故（Ⅲ）解：在MC 上取一点N （x ，y ，z ），则存在,R ∈λ使,MC NC λ=..21,1,1),21,0,1(),,1,1(λλ==-=∴-=---=z y x MC z y x NC要使.54,0210,==-=⋅⊥λ解得即只需z x MC AN MC AN),52,1,51(),52,1,51(,.0),52,1,51(,54=⋅-===⋅=MC BN BN AN MC AN N 有此时能使点坐标为时可知当λANB MC BN MC AN MC BN MC AN ∠⊥⊥=⋅=⋅所以得由.,0,0为所求二面角的平面角.).32arccos(.32||||),cos(.54,530||,530||--=⋅=∴-=⋅==故所求的二面角为BN AN BNAN BN AN BN AN BN AN19． 本小题主要考查等比数列的基本知识，考查分析问题能力和推理能力，满分12分. 解：（Ⅰ）因为}{n a 是等比数列，.0,0,011≠>=>q S a S n 可得 当;0,11>==na S q n 时),2,1(,011,01)1(,11 =>-->--=≠n qqq q a S q nn n 即时当上式等价于不等式组：),2,1(,01,01 =⎩⎨⎧<-<-n q q n① 或),2,1(,01,01 =⎩⎨⎧>->-n q q n②解①式得q>1；解②，由于n 可为奇数、可为偶数，得－1<q<1. 综上，q 的取值范围是).,0()0,1(+∞⋃-（Ⅱ）由得1223++-=n a n a a b .)23(),23(22n n n n S q q T q q a b -=-=于是)123(2--=-q q S S T n n n).2)(21(-+=q q S n.,0,2,21;,0,0221;,0,2211,,001,0n n n n n n n n n n n n n S T S T q q S T S T q q S T S T q q q q S ==-=-=<<-≠<<->>->-<<-><<->即时或当即时且当即时或当所以或且又因为 20．本小题主要考查相互独立事件和互斥事件有一个发生的概率的计算方法，考查运用概率知识解决实际问题的能力. 满分12分.（Ⅰ）解：因为甲坑内的3粒种子都不发芽的概率为81)5.01(3=-，所以甲坑不需要补种的概率为 .87811=-3个坑都不需要补种的概率,670.0)87()81(303=⨯⨯ C恰有1个坑需要补种的概率为,287.0)87(81213=⨯⨯C恰有2个坑需要补种的概率为,041.087)81(223=⨯⨯C3个坑都需要补种的概率为.002.0)87()81(0333=⨯⨯C补种费用ξ的分布为ξ的数学期望为75.3002.030041.020287.010670.00=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE21．本小题主要考查直线方程、平面向量及椭圆的几何性质等基本知训，考查综合运用数学知识解决问题及推理的能力，满分14分.（I ）解：设椭圆方程为),0,(),0(12222c F b a by a x >>=+则直线AB 的方程为1,2222=+-=by a x c x y 代入化简得02)(22222222=-+-+b a c a cx a x b a .令),,(),,(2211y x B y x A则 .,22222222122221ba b a c a x x b a c a x x +-=+=+),,(2121y y x x OB OA ++=+由a OB OA a 与+-=),1,3(共线，得.0)()(32121=+++x x y y.36,36.3,232.23,0)()2(3,,22222222121212211===-=∴==+=+∴=++-+∴-=-=a c e ab ac b a cba c a c x x x x c x x c x y c x y 故离心率所以即又 （II ）证明：由（I ）知223b a =，所以椭圆12222=+by a x 可化为22233b y x =+.),,(),(),(),,(2211y x y x y x y x OM μλ+==由已知得设 ⎩⎨⎧+=+=∴.,2121y y y x x x μλμλ ),(y x M 在椭圆上，.3)(3)(2221221b y y x x =+++∴μλμλ即 .3)3(2)3()3(221212222221212b y y x x y x y x =+++++λμμλ ①由（I ）知.21,23,23222221c b c a c x x ===+))((33.8321212121222222221c x c x x x y y x x c ba b a c a x x --++=+∴=+-=∴ .0329233)(3422222121=+-=++-=c c c c c x x x x又222222212133,33b y x b y x =+=+又，代入①得 .122=+μλ 故22μλ+为定值，定值为1.22．本小题主要考查数学归纳法及导数应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力.满分12分.（Ⅰ）解：对函数)(x f 求导数：])1(log )1[()log ()(22'--+'='x x x x x f.2ln 12ln 1)1(log log 22-+--=x x ).1(log log 22x x --=于是.0)21(='f当)(,0)1(log log )(,2122x f x x x f x <--='<时在区间)21,0(是减函数， 当)(,0)1(log log )(,2122x f x x x f x >--='>时在区间)1,21(是增函数.所以21)(=x x f 在时取得最小值，1)21(-=f ，（Ⅱ）证法一：用数学归纳法证明.（i ）当n=1时，由（Ⅰ）知命题成立.（ii ）假定当k n =时命题成立，即若正数1,,,221221=+++k k p p p p p p 满足， 则.log log log 222222121k p p p p p p k k -≥+++当1+=k n 时，若正数,1,,,11221221=+++++k k p p p p p p 满足 令.,,,,222211221xp q x pq x p q p p p x k k k ===+++= 则k q q q 221,,, 为正数，且.1221=+++k q q q由归纳假定知.log log log 222222121k q q p p p q k k -≥+++kk k k q q q q q q x p p p p p p 222222121222222121log log log (log log log +++=+++,log )()log 22x x k x x +-≥+ ①同理，由x p p p k k k -=++++++1122212 可得1122212212log log ++++++k k k k p p p p).1(log )1())(1(2x x k x --+--≥ ②综合①、②两式11222222121log log log +++++k k p p p p p p).1()1(log )1(log ))](1([22+-≥--++--+≥k x x x x k x x即当1+=k n 时命题也成立.根据（i ）、（ii ）可知对一切正整数n 命题成立. 证法二：令函数那么常数)),,0(,0)((log )(log )(22c x c x c x c x x x g ∈>--+=],log )1(log )1(log [)(222c cxc x c x c x c x g +--+=利用（Ⅰ）知，当.)(,)2(21取得最小值函数时即x g cx c x == 对任意都有,0,021>>x x2log 22log log 21221222121x x x x x x x x ++⋅≥+ ]1)()[log (21221-++=x x x x . ① 下面用数学归纳法证明结论.（i ）当n=1时，由（I ）知命题成立.（ii ）设当n=k 时命题成立，即若正数有满足,1,,,221221=+++k k p p p p p p11111122212212222121221221222222121log log log log .1,,,,1.log log log ++++++++++==++++=-≥+++--k k k k k k k k p p p p p p p p H p p p p p p k n k p p p p p p 令满足时当由①得到,1)()(],1)()[log (]1)()[log (11111121221212221221221=++++-++++-++≥++++++---k k k k k k p p p p p p p p p p p p H 因为由归纳法假设得到,)(log )()(log )(1111212221221221k p p p p p p p p k k k k -≥++++++++++-- ).1()(1121221+-=++++--≥+++k p p p p k H k k 即当1+=k n 时命题也成立. 所以对一切正整数n 命题成立.。
湖北省黄冈中学届高三第二轮复习数学理4[1]
湖北省黄冈中学届高三第二轮复习数学(理)训练(四)命题人：袁小幼本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，答题时间120分钟．第I 卷(选择题，共60分)参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式 P (A +B )=P (A )+P (B ) S =4πR 2如果事件A 、B 相互，那么 其中R 表示球的半径 P (A·B )=P (A )·P (B ) 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的4个选项中，只有1项 是符合题目要求的．)1．已知集合A ={x |x 2-11x -12<0}，集合B ={x |x =2(3n +1),n Z }，则A ∩B 等于 ( ) A ．{2} B ．{2,8} C ．{4,10} D ．{2,4,8,10}2.如果命题p 或q 为假命题，则 ( ) A ．p 、q 均为真命题 B ．p 、q 中至少有一个为真命题 C ．p 、q 中至多有一个为真命题 D ．p 、q 均为假命题3．在100，101，102，…，999这些数中，各位数字按严格递增（如“145”）或严格递减（如“321”）顺序排列的数的个数是 ( )A ．120B ．168C ．204D ．2164．不等式|x +log 2x |<|x |+|log 2x |的解集为 ( ) A ．(0,1) B ．(1,+∞) C ．(0,+∞) D ．(-∞,+∞)5.已知α、β以及α+β均为锐角，x =sin(α+β),y =sin α+sin β,z =cos α+cos β,那么x 、y 、z 的大小334R V π=k n k k n n P P C k P --=)1()(关系是 ( ) A ．x <y <z B ．y <x <z C ．x <z <y D ．y <z <x6.过曲线xy =a 2(a ≠0)上任意一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积是 ( ) A ．a 2 B ． C ．2 a 2 D ．不确定7．若 展开式的第3项为144，则 的值是 ( ) A ．2 B ．1 C ． D ．08．正四面体的内切球和外接球的半径分别为r 和R ，则r :R 为 ( ) A ．1：2 B ．1：3 C ．1：4 D ．1：9 9．已知椭圆的中心在原点，离心率 且它的一个焦点与抛物线y2=4x 的焦点重合，则此椭圆的方程为 ( )A ．B ．C ．D ．10．如果直线y =kx +1与圆x 2+y 2+kx +my -4=0交于M 、N 两点，且M 、N 关于直线x +y =0对称，则不等式组： 表示的平面区域的面积是 ( ) A ． B ． C ．1 D ．211．有一条生产流水线，由于改进了设备，预计第一年产量的增长率为150%，以后每年的增长率是前一年的一半，同时，由于设备不断老化，每年将损失年产量的10%，则年产量最高的是改进设备后的 ( ) A ．第一年 B ．第三年 C ．第四年 D ．第五年12．设ΔABC 的三边a 、b 、c 满足 a n +b n =c n (n >2),则ΔABC 是 ( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．等腰直角三角形D ．非等腰的直角三角形答题卡题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上。
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湖北省黄冈中学2005届第二轮高三数学（理）训练题(一)本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题，共60分）参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式 24R S π=P(A+B)=P(A)+P(B)如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径球的体积公式P(A·B)=P(A)·P(B) 如果事件A 在一次试验中发生的概率是 334R V π=球P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k次的概率kn k k n n P P C k P --=)1()( 其中R 表示球的半径一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的4个选项中，只有1项是符合题要求的） 1．设A ∈0，则满足}1,0{=B A 的集合A ，B 的组数是 （ ）A ．1组B ．2组C ．4组D ．6组2．若|log |)(,10x x f a a=<<且函数，则下列各式中成立的是 （ ）A ．)41()31()2(f f f >> B ．)31()2()41(f f f >>C ．)2()31()41(f f f >>D ．)41()2()31(f f f >>3．在ABC ∆中，如果1019cos ,23sin ==B A ，则角A 等于 （ ）A ．3πB ．32π C ．3π或32πD ．656ππ或4．已知数列)(lim ,131}{242n n n n n a a a a S a +++-=∞→ 那么满足的值为（ ）A ．21 B ．32 C ．1 D ．－25．直线0601210122=+--++=y x y x mx y 与圆有交点，但直线不过圆心，则∈m （ ）A ．)34,1()1,43( B ．]34,1()1,43[C ．]34,43[D ．)34,43(6．如图，在正三角形ABC ∆中，D 、E 、F 分别为各边的中点，G 、H 、I 、J 分别为AF ，AD ，BE ，DE 的中点，将ABC ∆沿DE ， EF ，DF 折成三棱锥以后，GH 与IJ 所成角的度数为 （ ） A ．90° B ．60°C ．45°D ．0°7．已知以y x ,为自变量的目标函数)0(>+=k y kx ω的可行域如图阴影部分（含边界），若使ω取最大值时的最优解有无穷 多个，则k 的值为 （ ）A ．1B ．23C ．2D ．48．若]0,2[π-∈x ，则函数x x x x f cos 3)6cos()6cos()(+--+=ππ的最小值是（ ）A ．1B ．－1C ．3-D ．－29．一个正四面体外切于球O 1，同时又内接于球O 2，则球O 1与球O 2的体积之比为（ ） A ．33:1 B ．36:1 C ．8:1 D ．27:110．若把英语单词“hello ”的字母顺序写错了，则可能出现的错误的种数是（ ）A ．119B ．59C ．120D ．6011．E ，F 是随圆12422=+yx的左、右焦点，l 是椭圆的一条准线，点P 在l 上，则∠EPF的最大值是（ ）A ．15°B ．30°C ．60°D ．45°12．关于甲、乙、丙三人参加高考的结果有下列三个正确的判断：①若甲未被录取，则乙、丙都被录取；②乙与丙中必有一个未被录取；③或者甲未被录取，或者乙被录取，则三 人中被录取的是（ ）A ．甲B ．丙C ．甲与丙D ．甲与乙第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上.） 13．把函数5422+-=x x y 的图象按向量a 平移后，得22x y =的图象，则a = . 14．已知关于x 的不等式052<--ax ax 的解集为M ，若M M ∉∈5,3且，则实数a 的取值范围是 .15．设)(,1510105)(2345x f x x x x x x f 则++-+-=的反函数的解析式是=-)(1x f.16．若E ，F 分别是四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱AB ，AD的中点，则加上条件 ， 就可得结论：EF ⊥平面DA 1C 1. （写出你认为正确的一个 条件即可）三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（本小题满分12分）A ，B 两工人在同样条件下每天生产的产品件数相同，而两人出次品个数的分布列分别为（A ）（B ）根据优胜劣汰、竞争上岗的原则，A ，B 中的一个已经待岗了，你认为是哪一个？为什 么？18．（本小题满分12分）（1）已知：θθθπθsin cos 12tan :),(-=∈≠求证Z k k ；（2）已知：)42tan(,54sin πθθ-=求的值.19．（本小题满分12分）如图，已知四棱锥P——ABCD中，底面ABCD为正方形，侧面PDC 为正三角形，且平面PDC⊥底面ABCD，E为PC的中点.（1）求证：PA//平面EDB；（2）求证：平面EDB⊥平面PBC；（3）求二面角D—PB—C的大小.20．（本小题满分12分）已知函数14)(234-+-=ax x x x f 在区间[0，1]上单调递增，在区间[1，2]上单调递减. （1）求a 的值；（2）设1)(2-=bx x g ，若方程)()(x g x f =的解集恰有3个元素，求b 的取值范围； （3）在（2）的条件下，是否存在实数对（m ，n ），使)()(n x g m x f -+-为偶函数？如存在，求出m ，n ；如不存在，说明理由.21．（本小题满分12分）有人玩掷硬币走跳跳棋的游戏，已知硬币出现正反面的概率都是.21棋盘上标有第0站、第1站、第2站、…第100站. 一枚棋子开始在第0站，棋手每掷 一次硬币，棋子向前跳动一次. 若掷出正面，棋向前跳一站（从k 到k +1）；若掷出反面， 棋子向前跳二站（从k 到k +2），直到棋子跳到第99站（胜利大本营）或跳到第100站 （失败集中营）时，该游戏结束. 设棋子跳到第n 站的概率为P n . （1）求P 0，P 1，P 2的值； （2）求证：992,),(21211≤≤∈--=----n N n P P P P n n n n 其中；（3）求P 99及P 100的值.22．（本小题满分14分）如图所示，点),0)(0,(>a a F 点P 在y 轴上运动，M 在x 轴上，N为动点，且=+=⋅PM PN PF PM ,00 （1）过点N 的轨迹C 的方程；（2）过点)0,(a F 的直线l （不与x 轴垂直）与曲线C 交于A ，B 两点，设点)0,(a K -， KB KA 与的夹角为θ，求证：.20πθ<<数学（理）训练（一）参考答案1.D2.C3.A4.C5.B6.B7.A8.A9.D 10.B 11.B 12.D 13．（－1，－3） 14．]25,9()35,1[ 15．125+-x16．底面是菱形且DC 1⊥底面（或填AB=BC ，AD=CD ，DA ⊥底面；或填底面是正方形，DA 1⊥A 1B 1，DA 1⊥A 1D 1等等） 17．,3.11.041.032.022.014.00=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=A E ξ.3.12.032.023.013.00=⨯+⨯+⨯+⨯=B E ξB A ,∴两人出次品的期望相同.又+⨯-+⨯-+⨯-=2.0)3.12(2.0)3.11(4.0)3.10(222A D ξ .81.1729.0289.0098.0018.0676.01.0)3.14(1.0)3.13(22=++++=⨯-+⨯-又=⨯-+⨯-+⨯-+⨯-=2.0)3.13(2.0)3.12(3.0)3.11(3.0)3.10(2222B D ξ ..21.1578.0098.0027.0507.0B A D D ξξ>∴=+++说明A 的波动大，B 的技术稳定性强，水平较高. 不出意外，应当是A 待岗了.18．（1）.sin cos 12cos 2sin22sin 22cos2sin 2tan,,22,2θθθθθθθθπθπθ-===∴∈≠∴≠Z k k k（2）=-=-==±=∴=)42tan(,21545312tan,53cos .53cos ,54sin πθθθθθ时当.312t a n112t a n-=+-θθ当.312tan112tan )42tan(,2545312tan,53cos =+-=-=+=-=θθπθθθ时19．（1）连AC 交BD 于O ，连EO ，由四边形ABCD 为正方形，得O 为AC 中点，在△PAC 中，由中位线定理得EO//PA 又 EO ⊂平面EDB ，PA ⊄平面EDB ，∴PA//平面EDB.（2）由平面PDC ⊥平面ABCD ，BC ⊥DC ，得BC ⊥平面PDC.又DE ⊂平面PDC ，则BC ⊥DE. E 为PC 的中点，△PDC 为正 三角形，∴DE ⊥PC. BC ∩PC=C ，∴DE ⊥平面PBC. 又DE ⊂ 平面EDB ，∴平面EDB ⊥平面PBC.（3）作EF ⊥PB 于F ，连DF ，由DE ⊥平面PBC 及三垂线定理得DF ⊥PB.∠DFE 是所求二面角的平面角. 设BC=4，则PC=4. 在等边△PDC 中求出DE=32. 在Rt △PFE 中，∠EPF=45°，PE=2，可求出FE=2，6232===∠∴FEDE DFE tg ∴二面角D —PB —C 的大小为.6arctan20．（1）ax x x x f 2124)(23+-='，由已知)1,0[)(在x f '上的值恒为正，在]2,1(上的值恒为负，故x =1是.4,0)(=∴='a x f 的根（2）由)44()()(22b x x x x g x f -+-⇒=有三个相异实根，故方程0442=-+-b x x 有两个相异的非零根. ).,4()4,0(,04,0)4(416+∞∈∴≠->--=∆∴ b b b 且 （3）--++-++-=-+-322342(2)223(2)1(4)()(m x b bm m x m x x n x g m x f244)4622342-++++-+bnm m m bn m m 为偶函数..0,1,0)2(0,104620123=-=∴≠⎩⎨⎧=-=⇒⎩⎨⎧=-+-=+∴n m b bn m bn m m m m 知由21．（1）棋子开始在第0站为必然事件，10=∴P ，第一次掷硬币出现正面，棋子跳到第1站，其概率为21,211=∴P ，棋子跳到第二站应从如下两方面考虑：①第二次掷硬币都出现正面，其概率为41；②第一次掷硬币出现反面，其概率为.432141.212=+=∴P（2）棋子跳到第)992(≤≤n n 站的情况是下列两种，而且也只有两种：①棋子先到第 n －2站，又掷出反面，其概率为221-n P ；②棋子先到第n －1站，又掷出正面，其概率11为).(21,2121.21211121--------=-∴+=∴n n n n n n n n P P P P P P P P（3）由（2）知，当991≤≤n 时，数列}{1--n n P P 是首项为2101-=-P P ，公比为21-的等比数列..)21(,,)21(,)21(,21113232121nn n P P P P P P P -=--=--=-=-∴-以上各式相加，得,)21()21()21(12nn P -++-+-=-).99,,2,1,0(],)21(1[32)21()21()21(112=--=-++-+-+=∴+n P n nn ].)21(1[31])21(1[322121],)21(1[3299999810010099+=--⋅==-=∴P P P 22．（1）设),,0(),0,(),,(00y P x M y x N 则).,(),,(),,(0000y y x PN y a PF y x PM -=-=-=由0,0200=+=⋅y ax PF PN 得 ①=+PM PN 0，=-+)2,(00y y x x 得0，即⎪⎩⎪⎨⎧=-=⎩⎨⎧=-=+,2,,02,00000y y x x y y x x 即并代入①，得ax y 42=为所求.（2）设l 的方程为.044,),(,4).(222=--⎩⎨⎧-==-=a y k a y x a x k y ax y a x k y 得消去由 设),,(),,(2211y x B y x A 则),,(),,(,42211221y a x KB y a x KA a y y +=+=-==-++⋅+=++++=⋅2222212222121221214)44()4()(aa ay ay a a y y y y a x x a x x KB KA.024212|)|2(412)(41222122221=-⨯=->-+aa a y y ay y.20,0cos πθθ<<∴>=∴。