相对论第二讲：相对论动力学的基本方程
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4.3 相对论动力学
dt
作者 杨 鑫
4.3 相对论动力学
第4章 狭义相对论基础
8
二、相对论能量 1.相对论动能 1.相对论动能
2
动能增量= 动能增量=合外力作功
E ⋅ d(mv) v ⋅ d(mv ) =∫ dt ⋅vdt =v⋅(mdv +vdm) =∫ v⋅ d( m v ) =mvdv+ v dm Ek= ∫1 F dr Ek0 = 0
2
静 能 总能量
E0 = m0c
2
E = mc
∆E = ∆ m c
作者 杨 鑫
质量和能量都是物 2 质的属性，两者之 间在量值上的联系 ， 2 绝不等于它们可以 相 互 转 化
演示： 演示：弹簧振子 演示： 演示：加热
=常 量 ∑mi = 常 量
4.3 相对论动力学
第4章 狭义相对论基础
13
4.相对论能量和动量的关系 4.相对论能量和动量的关系
m=
是不 定的
m0 v 1− 2 c
2
只有静止质量= 只有静止质量 = 0 的物体 才 能 以 光 速 c 运 动 光 子
作者 杨
光子、中微子 光子、
E0 = 0 P = E c = mϕ c= h λ E = Pc
鑫
m0 = 0 m = E c2 = hν c2 ϕ
4.3 相对论动力学
第4章 狭义相对论基础
作者 杨 鑫
4.3 相对论动力学
第4章 狭义相对论基础
5
4.3 相对论动力学
一、相 对 论 质 量 与 动 量 二、相 对 论 能 量
三、光子的能量、质量和动量 光子的能量、
作者 杨 鑫
4.3 相对论动力学
第4章 狭义相对论基础
作者 杨 鑫
4.3 相对论动力学
第4章 狭义相对论基础
8
二、相对论能量 1.相对论动能 1.相对论动能
2
动能增量= 动能增量=合外力作功
E ⋅ d(mv) v ⋅ d(mv ) =∫ dt ⋅vdt =v⋅(mdv +vdm) =∫ v⋅ d( m v ) =mvdv+ v dm Ek= ∫1 F dr Ek0 = 0
2
静 能 总能量
E0 = m0c
2
E = mc
∆E = ∆ m c
作者 杨 鑫
质量和能量都是物 2 质的属性，两者之 间在量值上的联系 ， 2 绝不等于它们可以 相 互 转 化
演示： 演示：弹簧振子 演示： 演示：加热
=常 量 ∑mi = 常 量
4.3 相对论动力学
第4章 狭义相对论基础
13
4.相对论能量和动量的关系 4.相对论能量和动量的关系
m=
是不 定的
m0 v 1− 2 c
2
只有静止质量= 只有静止质量 = 0 的物体 才 能 以 光 速 c 运 动 光 子
作者 杨
光子、中微子 光子、
E0 = 0 P = E c = mϕ c= h λ E = Pc
鑫
m0 = 0 m = E c2 = hν c2 ϕ
4.3 相对论动力学
第4章 狭义相对论基础
作者 杨 鑫
4.3 相对论动力学
第4章 狭义相对论基础
5
4.3 相对论动力学
一、相 对 论 质 量 与 动 量 二、相 对 论 能 量
三、光子的能量、质量和动量 光子的能量、
作者 杨 鑫
4.3 相对论动力学
第4章 狭义相对论基础
相对论动力学演示文稿
相对论动力学演 示文稿
（优选）第五节 相对论动力学
二 狭义相对论力学的基本方程
当
F
dp
d
(
m0v
dt dt 1 2
v c 时 m m0
当 v c时，dm dt
) m dv v dm
dt dt
F
m
dv
急剧增加 ,
dt
而
a
0
，
所以光速 C 为物体的极限速度.
相对论动量守恒定律
当
2 1
H
具
有10keV
的动能，足以克服两
2 1
H
之间的库仑排斥
力.
五、动量与能量的关系
E mc2 m0c2
p mv
1 v2 c2
m0 v 1 v2 c2
(mc2 )2 (m0c2 )2 m2v2c2
E 2 E02 p2c2
E pc
E0 m0c2
极端相对论近似 E E0 , E pc
mHe 4.00260u
m 0.01864u
理论计算和实验结果相符． 1u 1.661027 kg
物理意义
E mc2
E (m)c2
惯性质量的增加和能量的增加相联系，质量的 大小应标志着能量的大小，这是相对论的又一极其 重要的推论 .
相对论的质能关系为开创原子能时代提供了理 论基础 , 这是一个具有划时代的意义的理论公式 .
光子 m0 0, v c p E c mc
光的波粒二象性 E h , p h 普朗克常量
质能关系预言：物质的质量就是能量的一种储藏 .
爱因斯坦认为（1905）
懒惰性
惯性 ( inertia )
物体的懒惰性就
（优选）第五节 相对论动力学
二 狭义相对论力学的基本方程
当
F
dp
d
(
m0v
dt dt 1 2
v c 时 m m0
当 v c时，dm dt
) m dv v dm
dt dt
F
m
dv
急剧增加 ,
dt
而
a
0
，
所以光速 C 为物体的极限速度.
相对论动量守恒定律
当
2 1
H
具
有10keV
的动能，足以克服两
2 1
H
之间的库仑排斥
力.
五、动量与能量的关系
E mc2 m0c2
p mv
1 v2 c2
m0 v 1 v2 c2
(mc2 )2 (m0c2 )2 m2v2c2
E 2 E02 p2c2
E pc
E0 m0c2
极端相对论近似 E E0 , E pc
mHe 4.00260u
m 0.01864u
理论计算和实验结果相符． 1u 1.661027 kg
物理意义
E mc2
E (m)c2
惯性质量的增加和能量的增加相联系，质量的 大小应标志着能量的大小，这是相对论的又一极其 重要的推论 .
相对论的质能关系为开创原子能时代提供了理 论基础 , 这是一个具有划时代的意义的理论公式 .
光子 m0 0, v c p E c mc
光的波粒二象性 E h , p h 普朗克常量
质能关系预言：物质的质量就是能量的一种储藏 .
爱因斯坦认为（1905）
懒惰性
惯性 ( inertia )
物体的懒惰性就
17-(4)相对论的动力学方程
4 2
2
E 或：
c
4 2
P
2
E E0 (Pc )
2
2
2
E
23
E E0 ( P c)
2 2
2
◆极端相对论近似
光子 整理： m 0 0 , v c
E E 0 , E pc
p E c mc
E
E0 m0c
E E0
2 4 0 2
2 2
pc
2
光的波粒二象性
2 2
上式各项都具有能量的量纲，爱因斯坦充分注意到了这 一点，他预言有质量的地方必有能量。 并定义： 总能量
E mc
2
m0 c
2
1 (v / c )
2
静止能量 动能
E 0 m0 c
2
2
E k mc m0 c
2
17
凡质量都有要受到引力的 作用，有些物质如光子，其 静质量为零，但具有动能， 也就具有动质量，同样受到 引力的作用，天文观察证明 了这一点。如图从星星A发 出的星光本应沿直线传播， 但受太阳的引力作用而发生 偏转。
i
pi
i
m i0vi 1
2
不变
9
二 相对论动力学方程
相对论中仍然保持了牛顿定律的原来框架。
dv dm d ( mv ) m v F dt dt dt
其中
m
m0 v 1 c
2
v 为质点的速度
注意： m=m0=const
(1) v<<C时，
27
kg
E mc 3.043 10
2
29
2
E 或：
c
4 2
P
2
E E0 (Pc )
2
2
2
E
23
E E0 ( P c)
2 2
2
◆极端相对论近似
光子 整理： m 0 0 , v c
E E 0 , E pc
p E c mc
E
E0 m0c
E E0
2 4 0 2
2 2
pc
2
光的波粒二象性
2 2
上式各项都具有能量的量纲，爱因斯坦充分注意到了这 一点，他预言有质量的地方必有能量。 并定义： 总能量
E mc
2
m0 c
2
1 (v / c )
2
静止能量 动能
E 0 m0 c
2
2
E k mc m0 c
2
17
凡质量都有要受到引力的 作用，有些物质如光子，其 静质量为零，但具有动能， 也就具有动质量，同样受到 引力的作用，天文观察证明 了这一点。如图从星星A发 出的星光本应沿直线传播， 但受太阳的引力作用而发生 偏转。
i
pi
i
m i0vi 1
2
不变
9
二 相对论动力学方程
相对论中仍然保持了牛顿定律的原来框架。
dv dm d ( mv ) m v F dt dt dt
其中
m
m0 v 1 c
2
v 为质点的速度
注意： m=m0=const
(1) v<<C时，
27
kg
E mc 3.043 10
2
29
大学物理相对论总结
相对论
基本内容
1、力学相对性原理、伽利略变换；狭义相对论产生 根源、实验基础和历史条件；狭义相对论的基本原理、 洛仑兹变换。 2、狭义相对论时空观：同时的相对性、长度收缩、 时间延缓、因果律。 3、狭义相对论质速关系、相对论动力学基本方程、 相对论动能、静能总能和质能关系、能量和动量的关 系。
1
内容提要
2、长度的收缩（运动物体在运动方向上长度收缩）
在s' 系中测量
l0 x'2 x'1 l'
l l' 1 2 l0
固有长度
y y'
s
s' u
x'1
l0
x'2 x'
o
z
o'
z'
x1
x2
x 5
3、时间的延缓
t t'
1 2
固有时间 ：同一地点发生的两事件的时间间隔 .
t t' t0 固有时间
解：
S ( x1, t1) (x2,t2 ) S′ ( x1, t1) ( x2 , t2 )
x2 x1 1m t1 t2
x2 x1 ?
x2
x1
x2
ut2 (x1 ut1) 1 u2 c2
1 1u2 c2
9
六、相对论质量和相对论动量
1、动1量）与相速对度论的动关量系p
m0 v
1 2
Ei mic2 (m0ic2 Eki ) 恒量
i
i
i
相对论质量守恒定律 在一个孤立系统内，所有粒子的 相对论总质量
mi 恒量
i
八、动量与能量的关系
E pc
E 2 E02 p2c2
基本内容
1、力学相对性原理、伽利略变换；狭义相对论产生 根源、实验基础和历史条件；狭义相对论的基本原理、 洛仑兹变换。 2、狭义相对论时空观：同时的相对性、长度收缩、 时间延缓、因果律。 3、狭义相对论质速关系、相对论动力学基本方程、 相对论动能、静能总能和质能关系、能量和动量的关 系。
1
内容提要
2、长度的收缩（运动物体在运动方向上长度收缩）
在s' 系中测量
l0 x'2 x'1 l'
l l' 1 2 l0
固有长度
y y'
s
s' u
x'1
l0
x'2 x'
o
z
o'
z'
x1
x2
x 5
3、时间的延缓
t t'
1 2
固有时间 ：同一地点发生的两事件的时间间隔 .
t t' t0 固有时间
解：
S ( x1, t1) (x2,t2 ) S′ ( x1, t1) ( x2 , t2 )
x2 x1 1m t1 t2
x2 x1 ?
x2
x1
x2
ut2 (x1 ut1) 1 u2 c2
1 1u2 c2
9
六、相对论质量和相对论动量
1、动1量）与相速对度论的动关量系p
m0 v
1 2
Ei mic2 (m0ic2 Eki ) 恒量
i
i
i
相对论质量守恒定律 在一个孤立系统内，所有粒子的 相对论总质量
mi 恒量
i
八、动量与能量的关系
E pc
E 2 E02 p2c2
相对论动力学
狭义相对论动力学
一、 相对论质量：
m m0 1v 2 c2
m0：静止质量
这个重要的结论就是相对论质速关系，它反映了 物质与运动的不可分割性。改变了经典物理中人们认 为质量是不变量的观点。
二、 相对论动量:
p mv
m0
v
1v 2 c2
三、 相对论动力学基本方程
F
dp dt
d(mv) dt
d
dt
又 E mc2
光子质量
m E h
c2 c2
例 在S参照系中有两个粒子, A静止质量2m0， B静 止质量为m0。A、B均以速度v＝0.6c相向运动， 相撞后合在一起成为一个复合粒子。求复合粒子的
质量和速率。
解：能量守恒得
2m0c2 1 0.62
10m＝0c 2.M6 2 c2
得 M 3.75m0
相对论动能:
Ek mc2 m0c2 m0c2 (
1 1)
1 2
结论：
（1）与经典动能形式
Ek
1 mv2 完全不同.
2
2 质点静止时的动能为零。
3 当v c时，趋于经典结果。
1/
1 2
1
(1 2 ) 2
1
1 2
2
Ek
m0c2
1 2
v2 c2
1 2
m0v2
1 1 2
2
将动能改写为：mc2 EK m0c2
E E0
E2 m2c4 p2c2 E 20
pc
相对论动量和能量关系式
动量
p 1 c
E2
E02
1 c
(mc2 )2 (m0c2 )2
c m2 m02 m0c 2 1
光子 v c m0 0 E0 0
一、 相对论质量：
m m0 1v 2 c2
m0：静止质量
这个重要的结论就是相对论质速关系，它反映了 物质与运动的不可分割性。改变了经典物理中人们认 为质量是不变量的观点。
二、 相对论动量:
p mv
m0
v
1v 2 c2
三、 相对论动力学基本方程
F
dp dt
d(mv) dt
d
dt
又 E mc2
光子质量
m E h
c2 c2
例 在S参照系中有两个粒子, A静止质量2m0， B静 止质量为m0。A、B均以速度v＝0.6c相向运动， 相撞后合在一起成为一个复合粒子。求复合粒子的
质量和速率。
解：能量守恒得
2m0c2 1 0.62
10m＝0c 2.M6 2 c2
得 M 3.75m0
相对论动能:
Ek mc2 m0c2 m0c2 (
1 1)
1 2
结论：
（1）与经典动能形式
Ek
1 mv2 完全不同.
2
2 质点静止时的动能为零。
3 当v c时，趋于经典结果。
1/
1 2
1
(1 2 ) 2
1
1 2
2
Ek
m0c2
1 2
v2 c2
1 2
m0v2
1 1 2
2
将动能改写为：mc2 EK m0c2
E E0
E2 m2c4 p2c2 E 20
pc
相对论动量和能量关系式
动量
p 1 c
E2
E02
1 c
(mc2 )2 (m0c2 )2
c m2 m02 m0c 2 1
光子 v c m0 0 E0 0
1.5相对论动力学基础
τ0 = τ 1− u2 / c2
运动时间
原时： 原时：同一点处两事 件的时间间隔 件的时间间隔
3.长度的相对性 L = L0 1− u2 / c2 长度的相对性: 长度的相对性
沿运动方向同时 测量的运动长度 测量的运动长度 同时或不同时测 量的静长度 量的静长度
4.速度变换式给出了同一质点在两个惯性系中的变 速度变换式给出了同一质点在两个惯性系中的变 换关系; 应用时, 首先选定两个惯性系, 换关系 应用时 首先选定两个惯性系 分析质点 相对两惯性系的速度及两惯性系相对运动的速度, 相对两惯性系的速度及两惯性系相对运动的速度 而后用速度变换式 四、在相对论动力学中, 质速关系、能量与动量关系 在相对论动力学中 质速关系、 和质能关系是重点; 和质能关系是重点 记住并学会应用
′ mi0c2 + ∑Eik = ∑mi′0c2 + ∑Eik ∑
质量亏损
Eik − ∑Eik = (∑mi0 − ∑mi′0 )c2 ∑′
2
∆E放出 = ∆m0c 原子能就是开发利用静止能量
五、相对论中能量与动量之间关系
物体:静止质量为 物体 静止质量为 动量: 动量 p = mv = 能量: 能量 E = mc2 =
2 2 2
1 1− v2 / c2
−1)
1 v2 3 v4 (1− v2 / c2 )−1/ 2 =1+ 2 + 4 +... 2c 8c 1 v2 3 v4 1 2 Ek = m0c (1+ 2 + 4 +...) −1 Ek = m0v2 2c 8c 2
3)
u →c Ek →∞
0 0
根据质速关系: 根据质速关系
17-4、相对论动力学方程_12_25
则：
m m m 0 k
电子的静能:
2 m c 0 . 5 1 1 M e V 0
16 1千克的物体所包含的静能 9 10 J
7 1千克汽油的燃烧值 4 .6 1 0 J
物质的质量就是能量的一种储藏 .如质量变化，能量 也变化
ΔE = (Δm) c2
质量亏损:核反应前后静质量之差:
E m 2 c
2
m c 0
1( /c)
2
2
物体相对论静止能量
物体相对论动能
E 0 m 0c 2 E k m kc
物体相对论总能量
Emc
2
m c 0
2
2 2
1( /c)
物体相对论静止能量 物体相对论动能
E 0 m 0c
E k m kc
2
三者的关系是：
E E E 0 k
独到之处是提出了物体静止质量也对应一份能量。原 子弹的爆炸成功正是将静止能量开发出来的结果。也 是对这一理论的有力证明。
改造牛顿力学,使它在洛伦兹变换下不变.
当有外力F 作用于质点时，有:
m v d d p d d vห้องสมุดไป่ตู้ m 0 F ( m v ) mv 2 1 / 2 dd t t d t ( 1 ) d t d t
m 0 i v c o n s p m v i i i 2 12 i ( 1 )
物理意义
Emc
2
E ( m ) c
2
惯性质量的增加和能量的增加相联系，质量的 大小应标志着能量的大小，这是相对论的又一极 其 重要的推论 . 相对论的质能关系为开创原子能时代提供了理 论基础 , 这是一个具有划时代的意义的理论公式 .
m m m 0 k
电子的静能:
2 m c 0 . 5 1 1 M e V 0
16 1千克的物体所包含的静能 9 10 J
7 1千克汽油的燃烧值 4 .6 1 0 J
物质的质量就是能量的一种储藏 .如质量变化，能量 也变化
ΔE = (Δm) c2
质量亏损:核反应前后静质量之差:
E m 2 c
2
m c 0
1( /c)
2
2
物体相对论静止能量
物体相对论动能
E 0 m 0c 2 E k m kc
物体相对论总能量
Emc
2
m c 0
2
2 2
1( /c)
物体相对论静止能量 物体相对论动能
E 0 m 0c
E k m kc
2
三者的关系是：
E E E 0 k
独到之处是提出了物体静止质量也对应一份能量。原 子弹的爆炸成功正是将静止能量开发出来的结果。也 是对这一理论的有力证明。
改造牛顿力学,使它在洛伦兹变换下不变.
当有外力F 作用于质点时，有:
m v d d p d d vห้องสมุดไป่ตู้ m 0 F ( m v ) mv 2 1 / 2 dd t t d t ( 1 ) d t d t
m 0 i v c o n s p m v i i i 2 12 i ( 1 )
物理意义
Emc
2
E ( m ) c
2
惯性质量的增加和能量的增加相联系，质量的 大小应标志着能量的大小，这是相对论的又一极 其 重要的推论 . 相对论的质能关系为开创原子能时代提供了理 论基础 , 这是一个具有划时代的意义的理论公式 .
相对论的动力学基础
聚合成1公斤氘核所能释放出来的能量为
4.6 107 J / kg
的2300000倍 10
EB / m0 d 1.07 10 J / kg
14
1公斤氘核
2300000Kg 汽油
11
相对论总能量
相对论质能关系在军事上的应用：核武器
12
秦山核电站
13
广东大亚弯核电站
14
3、能量和动量的关系
E h h h p c
E p c
E h m 2 2 c c
mc
m0 c 2
2
Ek
pc
2
15
m0 c
四、相对论动力学与经典动力学的关系
物理量 相对论 经典力学
2 2
质量
动量
静能
动能
m m0 / 1 v / c 2 2 p mv m0v / 1 v / c E0 m0c 2
当 4 光速是物体运动的极限速度
m
m0
m0 0 当v c 牛顿力学的质量仅计及物体的静止质量
2、动量表达式
2 2 p mv m0v / 1 v / c
v/c
可以证明，该公式保 证动量守恒在洛伦兹 变换下对任何惯性系 都保持不变性。
5
三、相对论动力学基本方程
dp dv 经典力学 p m0 v F m0 m0 a dt dt 相对论力学 dp d m0 v d (mv ) ( ) F dt 1 v 2 / c 2 dt dt 低速可退化 dm F v dp dv dm dv dt F m v dt dt dt dt m 当 v c m dv / dt 0
4.6 107 J / kg
的2300000倍 10
EB / m0 d 1.07 10 J / kg
14
1公斤氘核
2300000Kg 汽油
11
相对论总能量
相对论质能关系在军事上的应用：核武器
12
秦山核电站
13
广东大亚弯核电站
14
3、能量和动量的关系
E h h h p c
E p c
E h m 2 2 c c
mc
m0 c 2
2
Ek
pc
2
15
m0 c
四、相对论动力学与经典动力学的关系
物理量 相对论 经典力学
2 2
质量
动量
静能
动能
m m0 / 1 v / c 2 2 p mv m0v / 1 v / c E0 m0c 2
当 4 光速是物体运动的极限速度
m
m0
m0 0 当v c 牛顿力学的质量仅计及物体的静止质量
2、动量表达式
2 2 p mv m0v / 1 v / c
v/c
可以证明，该公式保 证动量守恒在洛伦兹 变换下对任何惯性系 都保持不变性。
5
三、相对论动力学基本方程
dp dv 经典力学 p m0 v F m0 m0 a dt dt 相对论力学 dp d m0 v d (mv ) ( ) F dt 1 v 2 / c 2 dt dt 低速可退化 dm F v dp dv dm dv dt F m v dt dt dt dt m 当 v c m dv / dt 0
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第五十讲： §4.4 相对论动力学基础
一、 相对论质速关系式——揭示了质量和能量是不可分割的，这个
公式建立了这两个属性在量值上的关系，它表示具有一定质量的物体客体也必具有和这质量相当的能量。
注意：自从质能关系发现以后，有些物理学家错误地解释了这个公式的本质。
他们把物质和质量混为一谈，把能量和物质分开，从而认为质量会转变为能量，也就表示物质会变成能量。
结果是物质消灭了，流下来的只是转化着的能量。
其实，这些论点是完全站不住脚的。
因为第一，质量仅仅是物质的属性之一，决不能把物质和它们的属性等同起来；第二， 质量和能量在量值上的联系，决不等同于这两个量可以相互转变。
事实上，在一切过程中，这两个量是分别守恒的，能量转化和守恒定律是一条普遍规律，质量守恒定律也是一条普遍规律，并没有发生什么能量向质量转变或质量向能量转变的情况。
举例：32年美国，加州理工学院对电子进行加速，c 999999.90=υ
0900m m =⇒ ； 后对质子进行加速，0300m m =⇒
☆相对论的动量：2
2
1c
m m P υυ-=
=
二、相对论动力学的基础方程
⎥
⎥⎥⎥
⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣
⎡-==2201F c m dt d dt P d υ
υ ()
υυυdt
dm
dt d m m dt d F +==
c →υ ∞→m
0→dt
d υ
这说明，无论使用多大的力，力持续的时间有多长，都不可能把物体加速≥光速。
只能是无限趋近。
三、相对论动能
202E c
m mc k -=
当c υ 22
1
E υm k =
四、静能、总能和质能关系
1、质能关系式；2
mc E ∆=∆
一千克物质折合成能量，一度电买一美分，值2500万美元； 一吨物质折合成能量，值250亿美元； 2、静能：物体静止的能量200c m E =
3、总能：物体静止的能量和动能之和k E c m mc E +==202
五、能量和动量的关系
4
202
22E c
m c p +=
习题1：某核电站年发电量为 100亿度，它等于36×1015 J 的能量，如果这是由
核材料的全部静止能转化产生的，则需要消耗的核材料的质量为 (A) √ 0.4 kg ． (B) 0.8 kg ．
(C) (1/12)×107 kg ． (D) 12×107 kg ． ［ ］
习题2：一个电子运动速度v = 0.99c ，它的动能是：(电子的静止能量为0.51 MeV)
(A) 4.0MeV ． (B) 3.5 MeV ．
(C) √3.1 MeV ． (D) 2.5 MeV ． ［ ］
习题3：狭义相对论中，一质点的质量m 与速度v 的关系式为______________；
其动能的表达式为______________．
答案：
2
)
/
(
1c
m
m
v
-
=
2分
2
2c
m
mc
E
K
-
=2分
习题4：质子在加速器中被加速，当其动能为静止能量的3倍时，其质量为静止质量的________倍．
答案：4 3分
小结：
作业：P
预习：§。