高考数学压轴---专题18 讨论单调或最值
(全国通用)高三数学 第18课时 第二章 函数 函数的最值专题复习教案
第18课时：第二章 函数——函数的最值一．课题：函数的最值 二．教学目标：掌握函数最值的一般求法，并能利用函数的最值解决一些实际问题，提高分析和解决问题的能力．三．教学重点：函数最值的一般求法以及应用．四．教学过程：（一）主要知识：1．函数最值的意义；2．求函数最值的常用方法：（1）配方法：主要适用于可化为二次函数或可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的范围；（2）判别式法：主要适用于可化为关于x 的二次方程2()()()0a y x b y x c y ++=的函数()y f x =．在由0∆≥且()0a y ≠，求出y 的值后，要检验这个最值在定义域内是否有相应的x 的值；（3）不等式法：利用基本不等式求最值时一定要注意应用的条件；（4）换元法：用换元法时一定要注意新变元的取值范围；（5）数形结合法：对于图形较容易画出的函数的最值问题可借助图象直观求出；（6）利用函数的单调性：要注意函数的单调性对函数最值的影响，特别是闭区间上函数的最值．（二）主要方法：1．函数的最值问题实质上是函数的值域问题，因此求函数值域的方法，也是求函数的值域的方法，只是答题的方式有所差异；2．无论用什么方法求最值，都要考查“等号”是否成立，不等式法及判别式法尤其如此．（三）例题分析：例1．求下列函数的最大值或最小值：（1） 4y =-（2）y x =-；（3）222251x x y x x ++=++．解：（1）4y =4=-，由2320x x +-≥得13x -≤≤，∴当1x =时，函数取最小值2，当 1 3x or x =-=时函数取最大值4．（21 (0,)2t t x =≥≤，则212t x -=，∴2211(1)122t y t t -=-=-++， 当0t =，即12x =时取等号，∴函数取最大值12，无最小值．（3）解法（一）用判别式法： 由222251x x y x x ++=++得2(2)(2)50,y x y x y x R -+-+-=∈， ①若2y =，则25=矛盾， ∴2y ≠，②由2y ≠，这时，22(2)4(2)(5)0y y y y ≠∆=----≥⎧⎨⎩，解得：26y <≤，且当6y =时，12x =-， ∴函数的最大值是6，无最小值． 解法（二）分离常数法： 由222251x x y x x ++=++2321x x =+++23213()24x =+++ ∵2133()244x ++≥，∴26y <≤ ，∴函数的最大值是6，无最小值． 例2．（1）函数x y a =在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则a = 2 ．（2）对于满足40≤≤p 的一切实数，不等式342-+>+p x px x 恒成立，则x 的取值范围为(,1)(3,)-∞-+∞ ．（3）已知函数()21x f x =-，2()1g x x =-，构造函数()F x ，定义如下：当|()|()f x g x ≥时，()|()|F x f x =，当|()|()f x g x <时，()()F x f x =-，那么()F x（ B ）()A 有最小值0，无最大值 ()B 有最小值1-，无最大值()C 有最大值1，无最小值 ()D 无最小值，也无最大值例3．（《高考A 计划》考点17“智能训练第14题”）已知113a ≤≤，若2()21f x ax x =-+在[1,3]上的最大值为()M a ，最小值为()N a ，令()()()g a M a N a =-，（1）求()g a 的函数表达式； （2）判断函数()g a 的单调性，并求出()g a 的最小值． 答案参看教师用书93P ．（四）巩固练习：1．函数2(62)[0,3], y x x x =-∈的最大值为 16 ； 2．若,,3212x y R x y +∈+=，则xy 的最大值是 6 ；3．若221,x y +=则34x y -的最小值是5-；4．3()3f x ax x a b =-+-，在[2,1]--和 [1,2]上是单调递减函数，则a 的最大值为16．。
2018届高考数学一轮复习：第2章 第3节函数的单调性与最值
(4)函数 f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是(0， ＋∞)． (
)
(5) 闭 区 间 上 的 单 调 函 数 ， 其 最 值 一 定 在 区 间 端 点 取 到．( )
[答案]
(1)×
(2)√
(3)×
(4)×
(5)√
2．(2016· 河北石家庄教学质检)下列函数中，在(0，＋∞) 上是减函数的是( A．y＝ x 1 C．y＝ x ) B．y＝lnx D．y＝2x
∞)上是增函数，则 a 的取值范围是________．
[解析] 函数 f(x)＝2|x
－a|
可以看作函数 y＝2u 与函数 u＝|x
－a|复合而成，外层函数 y＝2u 为增函数，内层函数 u＝|x－ a|有单增区间[a，＋∞)．若原函数在[1，＋∞)上是增函数， 则[1，＋∞)是[a，＋∞)的子区间，即 a≤1，故 a 的取值范围 是(－∞，1]．
x＋2 1 解法二：y＝ ＝1 ＋ . x＋1 x＋1 ∵y＝x＋1 在(－1，＋∞)上是增函数， 1 ∴y＝ 在(－1，＋∞)上是减函数， x＋1 1 ∴y＝1＋ 在(－1，＋∞)上是减函数． x＋1 x＋2 即函数 y＝ 在(－1，＋∞)上是减函数． x＋1
(2)解法一：(定义法)设－1<x1<x2<1， ax1 ax2 则 f(x1)－f(x2)＝ 2 － 2 x1－1 x2－1
考点二
求函数的单调区间——互动型
(1) 函数 y ＝ |x2 － 4x ＋ 3| 的 单调递增区间是_____． (2) 函数 y ＝ f(x)(x∈R) 的图象如图 所示， 则函数 g(x)＝f(logax)(0<a<1)的单 调减区间是(
1 A.0，2 1 C．(－∞，0)∪2，＋∞
2018高考数学考点突破—函数的单调性与最值
函数的单调性与最值【考点梳理】1．增函数、减函数一般地，设函数f (x )的定义域为I ，区间D ⊆I ，如果对于任意x 1，x 2∈D ，且x 1＜x 2，则都有：(1)f (x )在区间D 上是增函数⇔f (x 1)＜f (x 2)； (2)f (x )在区间D 上是减函数⇔f (x 1)＞f (x 2)． 2．单调性、单调区间的定义若函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，则称函数y ＝f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间．3．函数的最值考点一、函数单调性的判断【例1】(1)函数f (x )＝log 2(x 2－1)的单调递减区间为________． (2)试讨论函数f (x )＝x ＋kx (k ＞0)的单调性． [答案] (1)(－∞，－1)[解析] (1) 由x 2－1＞0得x ＞1或x ＜－1，即函数f (x )的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．令t ＝x 2－1，因为y ＝log 2t 在t ∈(0，＋∞)上为增函数，t ＝x 2－1在x ∈(－∞，－1)上是减函数，所以函数f (x )＝log 2(x 2－1)的单调递减区间为(－∞，－1)．(2)法一：由解析式可知，函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．在(0，＋∞)内任取x 1，x 2，令0＜x 1＜x 2，那么f (x 2)－f (x 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋k x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋k x 1＝(x 2－x 1)＋k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－1x 1＝(x 2－x 1)x 1x 2－k x 1x 2. 因为0＜x 1＜x 2，所以x 2－x 1＞0，x 1x 2＞0. 故当x 1，x 2∈(k ，＋∞)时，f (x 1)＜f (x 2)， 即函数在(k ，＋∞)上单调递增. 当x 1，x 2∈(0，k )时，f (x 1)＞f (x 2)， 即函数在(0，k )上单调递减．考虑到函数f (x )＝x ＋kx (k ＞0)是奇函数，在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，故在(－∞，－k )上单调递增，在(－k ，0)上单调递减．综上，函数f (x )在(－∞，－k )和(k ，＋∞)上单调递增，在(－k ，0)和(0，k )上单调递减.法二：f ′(x )＝1－kx 2.令f ′(x )＞0得x 2＞k ，即x ∈(－∞，－k )或x ∈(k ，＋∞)，故函数的单调增区间为(－∞，－k )和(k ，＋∞).令f ′(x )＜0得x 2＜k ，即x ∈(－k ，0)或x ∈(0，k )，故函数的单调减区间为(－k ，0)和(0，k ).故函数f (x )在(－∞，－k )和(k ，＋∞)上单调递增，在(－k ，0)和(0，k )上单调递减. 【类题通法】1.利用定义判断或证明函数的单调性时，作差后应注意差式的分解变形要彻底．2．利用导数法证明函数的单调性时，求导运算及导函数符号判断要准确． 【对点训练】1．下列四个函数中，在定义域上不是单调函数的是( ) A ．y ＝x 3 B ．y ＝x C ．y ＝1x D ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x[答案] C[解析] 选项A ，B 中函数在定义域内均为单调递增函数，选项D 为在定义域内为单调递减函数，选项C 中，设x 1＜x 2(x 1，x 2≠0)，则y 2－y 1＝1x 2－1x 1＝x 1－x 2x 1x 2，因为x 1－x 2＜0，当x 1，x 2同号时x 1x 2＞0，1x 2－1x 1＜0，当x 1，x 2异号时x 1x 2＜0，1x 2－1x 1＞0，所以函数y ＝1x 在定义域上不是单调函数，故选C.2．函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－2)[答案] D[解析] 由x 2－4＞0得x ＞2或x ＜－2，所以函数f (x )的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，因为y ＝log 12t 在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数t ＝x 2－4的单调递减区间，可知所求区间为(－∞，－2)．考点二、利用函数的单调性求最值【例2】已知f (x )＝x 2＋2x ＋ax ，x ∈[1，＋∞)，且a ≤1. (1)当a ＝12时，求函数f (x )的最小值；(2)若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )＞0恒成立，试求实数a 的取值范围． [解析] (1)当a ＝12时，f (x )＝x ＋12x ＋2，f ′(x )＝1－12x 2＞0，x ∈[1，＋∞)， 即f (x )在[1，＋∞)上是增函数，∴f (x )min ＝f (1)＝1＋12×1＋2＝72. (2)f (x )＝x ＋ax ＋2，x ∈[1，＋∞)．法一：①当a ≤0时，f (x )在[1，＋∞)内为增函数． f (x )min ＝f (1)＝a ＋3.要使f (x )＞0在x ∈[1，＋∞)上恒成立，只需a ＋3＞0， ∴－3＜a ≤0.②当0＜a ≤1时，f (x )在[1，＋∞)内为增函数， f (x )min ＝f (1)＝a ＋3，∴a ＋3＞0，a ＞－3，∴0＜a ≤1.综上所述，f(x)在[1，＋∞)上恒大于零时，a的取值范围是(－3，1].法二：f(x)＝x＋ax＋2＞0，∵x≥1，∴x2＋2x＋a＞0，∴a＞－(x2＋2x)，而－(x2＋2x)在x＝1时取得最大值－3，∴－3＜a≤1，即a 的取值范围为(－3，1].【类题通法】利用函数的单调性求最值是求函数最值的重要方法，若函数f(x)在闭区间[a，b]上是增函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a)．【对点训练】函数f(x)＝xx－1(x≥2)的最大值为________．[答案] 2[解析] 法一：∵f′(x)＝－1(x－1)2，∴x≥2时，f′(x)＜0恒成立，∴f(x)在[2，＋∞)上单调递减，∴f(x)在[2，＋∞)上的最大值为f(2)＝2.法二：∵f(x)＝xx－1＝x－1＋1x－1＝1＋1x－1，∴f(x)的图象是将y＝1x的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到的．∵y＝1x在[2，＋∞)上单调递减，∴f(x)在[2，＋∞)上单调递减，故f(x)在[2，＋∞)上的最大值为f(2)＝2.法三：由题意可得f(x)＝1＋1x－1.∵x≥2，∴x－1≥1，∴0＜1x－1≤1，∴1＜1＋1x－1≤2，即1＜xx－1≤2.故f(x)在[2，＋∞)上的最大值为2.考点三、函数单调性的应用【例3】设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是() A．a<b<c B．a<c<bC ．b <a <cD ．b <c <a[答案] C[解析] 因为函数y ＝0.6x 是减函数，0<0.6<1.5，所以1>0.60.6>0.61.5，即b <a <1.因为函数y ＝x 0.6在(0，＋∞)上是增函数，1<1.5，所以1.50.6>10.6＝1，即c >1.综上，b <a <c .【例4】已知函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则不等式f (2x －1)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的x 的解集是________．[答案] ⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，23[解析] 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0，2x －1＜13，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，x ＜23，所以12≤x ＜23.【例5】(1)如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，＋∞ C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，0 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，0 (2)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧(a －2)x －1，x ≤1，log a x ，x ＞1，若f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为________．[答案] (1)D (2)(2，3][解析] (1)当a ＝0时，f (x )＝2x －3，在定义域R 上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为x ＝－1a ， 因为f (x )在(－∞，4)上单调递增， 所以a ＜0，且－1a ≥4，解得－14≤a ＜0. 综上所述，实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，0.(2)要使函数f (x )在R 上单调递增，则有⎩⎨⎧a ＞1，a －2＞0，f (1)≤0，即⎩⎨⎧a ＞1，a ＞2，a －2－1≤0，解得2＜a ≤3，即实数a 的取值范围是(2，3]． 【类题通法】1.比较大小．比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．2．解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．3．利用单调性求参数．视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数． 【对点训练】1．设函数f (x )定义在实数集上，它的图象关于直线x ＝1对称，且当x ≥1时，f (x )＝3x －1，则( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13[答案] B[解析] 由题设知，当x <1时，f (x )单调递减，当x ≥1时，f (x )单调递增，而x ＝1为对称轴，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，又13<12<23<1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23. 2．已知函数f (x )为R 上的减函数，若m ＜n ，则f (m )________f (n )；若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x ＜f (1)，则实数x 的取值范围是________．[答案] ＞ (－1,0)∪(0,1)[解析] 由题意知f (m )＞f (n )；⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x ＞1，即|x |＜1，且x ≠0.故－1＜x ＜1且x ≠0.3．已知函数f (x )＝|x ＋a |在(－∞，－1)上是单调函数，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，1] B ．(－∞，－1] C ．[－1，＋∞) D ．[1，＋∞)[答案] A[解析] 因为函数f (x )在(－∞，－1)上是单调函数，所以－a ≥－1，解得a ≤1. 4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(a －2)x ，x ≥2，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－1，x <2满足对任意的实数x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，2)B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，138C ．(－∞，2]D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫138，2[答案] B[解析] 由题意可知，函数f (x )是R 上的减函数， 于是有⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，(a －2)×2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫122－1， 由此解得a ≤138，即实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，138 .。
2018年高考数学一轮复习 热点难点精讲精析 2. 2函数的单调性与最值
2018年高考数学一轮复习热点难点精讲精析 2. 2函数的单调性与最值部门： xxx时间： xxx制作人：xxx整理范文，仅供参考，勿作商业用途2018年高考一轮复习热点难点精讲精析：2.2函数的单调性与最值一、函数单调性的判定1、用定义证明函数单调性的一般步骤，即：<1）取值：即设x1、x2是该区间内的任意两个值，且x1< x2.<2）作差：即f(x2> –f(x1>(或f(x1>-f(x2>>，并通过通分、配方、因式分解等方法，向有利于判断差的符号的方向变形。
b5E2RGbCAP <3）定号：根据给定的区间和x2- x1符号，确定差f(x2> –f(x1>(或f(x1>-f(x2>>的符号。
当符号不确定时，可以进行分类讨论。
p1EanqFDPw <4）判断：根据定义得出结论。
2、利用导数的基本步骤是：2、求函数的单调性或单调区间的方法<1）能画出图象的函数，用图象法,其思维流程为:<2）由基本初等函数通过加、减运算或复合运算构成的函数，用转化法，其思维流程为：<3）能求导的用导数法，其思维流程为：<4）能作差变形的用定义法，其思维流程为：注：函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制。
例如函数y=1/x在内都是单调递减的，但不能说它在整个定义域即内单调递减，只能分开写，即函数的单调减区间为，不能用“∪”DXDiTa9E3d2．例题解读〖例1〗(2018·江苏高考>函数f(x>=log5(2x+1>的单调增区间是______.(2>判断函数在(-1，+∞>上的单调性.【方法诠释】本例为判断函数的单调性或求函数的单调区间.(1>转化为基本初等函数的单调性去判断；(2>可用定义法或导数法.解读：(1>函数f(x>的定义域为(，+∞>，令t=2x+1(t>0>,因为y=log5t在t∈(0,+∞>上为增函数，t=2x+1在(，+∞>上为增函数，所以函数f(x>=log5(2x+1>的单调增区间为(,+∞>.RTCrpUDGiT 答案：(，+∞>(2>方法一：定义法：设x1>x2>-1,则∵x1>x2>-1,x2-x1<0,x1+1>0,x2+1>0,即y1-y2<0,y1<y2.在(-1,+∞>上是减函数.方法二：导数法：∴在(-1，+∞>上，y′<0,故[在(-1,+∞>上为减函数.〖例2〗求函数的单调区间思路分析：该函数整体来说是一个二次根式，首先要考虑被开方数大于等于零，在此基础上求被开方函数的单调性即可．5PCzVD7HxA解读：设y=，u=x2+x-6 ．由x2+x-6≥0，得x≤-3或x≥2，结合二次函数图象可知，函数u=x2+x-6在(-∞，-3］上是递减的，在［2，+∞>上是递增的．又∵函数y=是递增的，∴函数在(-∞，-3］上是递减的，在［2，+∞>上是递增的．〖例3〗设，(1> 试判断函数的单调性，并用函数单调性定义，给出证明；(2> 若的反函数为，证明:对任意的自然数n(n≥3>，都有;解读: 1> ∵>0且2－x≠0∴的定义域为判断在上是增函数，下证明之：………………………………………1分设任………………………………………2分∵∴ (3)分∵∴x2－x1＞0，2－x1＞0，2－x2＞0则………………………………………4分用数学归纳法易证证略. …… 12分二、应用函数的单调性1．应用函数的单调性可求解的问题(1>由x1,x2的大小，可比较f(x1>与f(x2>的大小；(2>知f(x1>与f(x2>的大小关系，可得x1与x2的大小关系；(3>求解读式中参数的值或取值范围；(4>求函数的最值；(5>得到图象的升、降情况，画出函数图象的大致形状.2．例题解读〖例1〗(1>若f(x>为R上的增函数，则满足f(2-m><f(m2>的实数m的取值范围是______.jLBHrnAILg(2>已知函数y=f(x>是偶函数，y=f(x-2>在［0,2］上是单调减函数，试比较f(-1>,f(0>，f(2>的大小.xHAQX74J0X【方法诠释】(1>根据f(x>的单调性，得到2-m与m2的大小关系，从而求解.(2>根据函数f(x>的性质先得到y=f(x>在［0,2］上的单调性或［-2,2］上的图象，进而借助于单调性或图象比较出函数值的大小.LDAYtRyKfE 解读：(1>因为f(x>为R上的增函数，且f(2-m><f(m2>，则有:2-m<m2,即m2+m-2>0.解得:m<-2或m>1.所以m的取值范围为:(-∞,-2>∪(1,+∞>.答案：(-∞,-2>∪(1,+∞>(2>方法一：因为y=f(x-2>的图象可由y=f(x>的图象向右平移2个单位而得到，而y=f(x>为偶函数，其图象关于直线x=0对称，Zzz6ZB2Ltk ∴函数y=f(x-2>的图象关于直线x=2对称，又y=f(x-2>在［0,2］上单调递减,∴函数y=f(x-2>在［2,4］上单调递增，因此,y=f(x>在［0,2］上单调递增，又f(-1>=f(1>,0<1<2,∴f(2>>f(-1>>f(0>.方法二：由方法一可得函数y=f(x>在［-2,2］上图象的大致形状为由图象知f(2>>f(-1>>f(0>.注：1.根据函数的单调性，解含有“f”号的不等式时，要根据函数的性质，转化为如“f(g(x>>>f(h(x>>”的形式，再利用单调性，转化为具体不等式求解，但要注意函数的定义域.dvzfvkwMI12.比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择、填空题能数形结合的尽量用图象法求解.rqyn14ZNXI〖例2〗已知函数f(x>对于任意a，b∈R,总有f(a+b>=f(a>+f(b>-1，并且当x＞0时，f(x>＞1．EmxvxOtOco(1>求证：f(x>在R上是增函数；(2>若f(4>=5，解不等式f(3m2-m-2>＜3；(3>若关于x的不等式f(nx-2>+f(x-x2>＜2恒成立，求实数n的取值范围．【解读】(1>设x1,x2∈R，且x1＜x2，则x2-x1>0，∴f(x2-x1>＞1 ，f(x2>-f(x1>=f((x2-x1>+x1>-f(x1>=f(x2-x1>+f(x1>-1-f(x1>=f(x2-x1>-1＞0,∴f(x1>-f(x2>＜0，即f(x1>＜f(x2>．∴f(x>在R上是增函数.(2>∵f(4>=f(2+2>=f(2>+f(2>-1=5,∴f(2>=3,∴不等式f(3m2-m-2>＜3即为f(3m2-m-2>＜f(2>.又∵f(x>在R上是增函数，∴3m2-m-2＜2，解得因此不等式的解集为{m|}；(3>令a=b=0,得 f(0>=2f(0>-1,∴f(0>=1.∵f(nx-2>+f(x-x2>＜2，即f(nx-2>+f(x-x2>-1＜1，∴f(nx-2+x-x2>＜f(0>．由(1>知nx-2+x-x2＜0恒成立，∴x2-(n+1>x+2＞0恒成立．∴Δ=［-(n+1>］2-4×2＜0,注：判定复合函数的单调性及确定单调区间,关键是把复合函数分解成已知单调性的初等函数.另外，注意不要忽略函数的定义域.SixE2yXPq5三、抽象函数的单调性及最值〖例1〗已知f(x>是定义在R上的增函数，对x∈R有f(x>>0，且f(5>=1，设F(x>= f(x>+，讨论F(x>的单调性，并证明你的结论6ewMyirQFL解读：这是抽角函数的单调性问题，应该用单调性定义解决。
专题18 数列(解答题压轴题)(学生版)-2024年高考数学压轴专题复习
专题18 数列（解答题压轴题）目录①数列求通项，求和 (1)②数列中的恒成立（能成立）问题 (5)③数列与函数 (8)④数列与概率 (11)①数列求通项，求和②数列中的恒成立（能成立）问题1．（2023·吉林·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）图中的数阵满足：每一行从左到右成等差数列，每一列从上到下成等比数列，且公比均为实数21,11,32,24,27,5,0,5,6,q a a a a a >==-=．1,11,21,31,2,12,22,32,3,13,23,33,,1,2,3,n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅(1)设,n n n b a =，求数列{}n b 的通项公式；(2)设1,12,1,1n n S a a a =++⋅⋅⋅+，是否存在实数λ，使,1n n a S λ≤恒成立，若存在，求出λ的所有值，若不存在，请说明理由．2．（2023·河北·统考模拟预测）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(),n n S 在曲线220x x y -+=上.(1)证明：数列{}n a 为等差数列；③数列与函数④数列与概率1．（2023·湖南·校联考模拟预测）一部电视连续剧共有1(10)n n +≥集，某同学看了第一集后，被该电视剧的剧情所吸引，制定了如下的观看计划：从看完第一集后的第一天算起，把余下的n 集电视剧随机分配在2n 天内；每天要么不看，要么看完完整的一集；每天至多看一集．已知这部电视剧最精彩的部分在第n 集，设该同学观看第一集后的第X 天观看该集．(1)求X 的分布列；(2)证明：最有可能在第(22)n -天观看最精彩的第n 集．2．（2023春·河北唐山·高二校考期末）第22届世界杯于2022年11月21日到12月18日在卡塔尔举办．在决赛中，阿根廷队通过点球战胜法国队获得冠军．(1)扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左也会等可能地随机选择球门的左不到球．不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑到点球的个数(2)好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲等可能地随机传向另外4．（2023·全国·高三专题练习）学校篮球队30名同学按照1，2，…，30(1)估计这100位学生的数学成绩的平均值(2)根据整个年级的数学成绩可以认为学生的数学成绩样本的标准差s 的近似值为10，用样本平均数抽取一位学生，求他的数学成绩恰在640().6827P X μσμσ≤≤+≈-，(2P μσ-(3)该年级1班的数学老师为了能每天督促学生的网络学习，提高学生每天的作业质量及学习数学的积极性，8．（2023·全国·高三专题练习）某学校组织数学，物理学科答题竞赛活动，该学校准备了100个相同的箱子，其中第()1,2,,100k k = 个箱子中有k 个数学题，100k -个物理题．每一轮竞赛活动规则如下：任选一个箱子，依次抽取三个题目（每次取出不放回），并全部作答完毕，则该轮活动结束；若此轮活动中，三个题目全部答对获得一个奖品．(1)已知学生甲在每一轮活动中，都抽中了2个数学题，1个物理题，且甲答对每一个数学题的概率为p ，答对每一个物理题的概率为q ．①求学生甲第一轮活动获得一个奖品的概率；②已知1p q +=，学生甲理论上至少要进行多少轮活动才能获得四个奖品？并求此时p 、q 的值．(2)若学生乙只参加一轮活动，求乙第三次抽到物理题的概率．。
2024年新高考一卷数学压轴题
2024年新高考一卷数学压轴题一、设函数f(x) = ax3 + bx2 + cx + d，若f(x)在x=1和x=2处取得极值，且f(1) = 1，f(2) = 4，则a的取值范围是：A. (-∞, -1) ∪ (1, +∞)B. (-1, 0) ∪ (0, 1)C. (-∞, -2) ∪ (2, +∞)D. (-2, 0) ∪ (0, 2)（答案）A解析：本题考查函数极值的应用，通过求导得到极值条件，结合给定的函数值，可以解出a 的取值范围。
二、在三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a = 2，b = 3，cosC = -1/2，则三角形ABC的面积是：A. 3√3/2B. 3√3C. 3/2D. 3（答案）B解析：本题考查余弦定理和三角形面积公式的应用，通过余弦定理求出c的值，再结合三角形面积公式求出面积。
三、设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1 = 1，S3 = -3，则S_n / (2n) 的最大值是：A. 1/2B. 1/4C. 1/8D. 1/16（答案）C解析：本题考查等差数列和等比数列的性质，通过等差数列的求和公式求出Sn，再结合等比数列的性质求出S_n / (2n)的最大值。
四、在平面直角坐标系xOy中，直线l: x + y - 1 = 0与圆C: x2 + y2 - 2x - 2y + 1 = 0交于A，B两点，则线段AB的长度是：A. √2B. 2C. √6D. 2√2（答案）A解析：本题考查直线与圆的位置关系，通过求出圆心到直线的距离，再结合圆的半径和勾股定理求出线段AB的长度。
五、设函数f(x) = ex - ax - 1，若f(x) ≥ 0在R上恒成立，则a的取值范围是：A. [0, 1]B. (0, 1]C. [1, +∞)D. (1, +∞)（答案）B解析：本题考查函数单调性和最值的应用，通过求导判断函数的单调性，再结合函数的最值求出a的取值范围。
2018年高考数学二轮复习 规范答题示例1 函数的单调性、极值与最值问题 理
规范答题示例1 函数的单调性、极值与最值问题典例1 (12分)已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )． (1)讨论f (x )的单调性；(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范围．审题路线图 求f ′(x )――――→讨论f ′(x )的符号f (x )单调性―→f (x )最大值―→解f (x )max >2a －2.评分细则 (1)函数求导正确给1分； (2)分类讨论，每种情况给2分，结论1分； (3)求出最大值给2分；(4)构造函数g (a )＝ln a ＋a －1给2分； (5)通过分类讨论得出a 的范围，给2分．跟踪演练1 (2017·山东)已知函数f (x )＝x 2＋2cos x ，g (x )＝e x(cos x －sin x ＋2x －2)，其中e ＝2.718 28…是自然对数的底数．(1)求曲线y＝f(x)在点(π，f(π))处的切线方程；(2)令h(x)＝g(x)－af(x)(a∈R)，讨论h(x)的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．解(1)由题意知f(π)＝π2－2.又f′(x)＝2x－2sin x，所以f′(π)＝2π.所以曲线y＝f(x)在点(π，f(π))处的切线方程为y－(π2－2)＝2π(x－π)．即2πx－y－π2－2＝0.(2)由题意得h(x)＝e x(cos x－sin x＋2x－2)－a(x2＋2cos x)，h′(x)＝e x(cos x－sin x＋2x－2)＋e x(－sin x－cos x＋2)－a(2x－2sin x)＝2e x(x－sin x)－2a(x－sin x)＝2(e x－a)(x－sin x)．令m(x)＝x－sin x，则m′(x)＝1－cos x≥0，所以m(x)在R上单调递增．因为m(0)＝0，所以当x＞0时，m(x)＞0；当x＜0时，m(x)＜0.①当a≤0时，e x－a＞0，当x＜0时，h′(x)＜0，h(x)单调递减；当x＞0时，h′(x)＞0，h(x)单调递增，所以当x＝0时，h(x)取到极小值，极小值是h(0)＝－2a－1.②当a＞0时，h′(x)＝2(e x－e ln a)(x－sin x)，由h′(x)＝0，得x1＝ln a，x2＝0.(i)当0＜a＜1时，ln a＜0，当x∈(－∞，ln a)时，e x－e ln a＜0，h′(x)＞0，h(x)单调递增；当x∈(ln a,0)时，e x－e ln a＞0，h′(x)＜0，h(x)单调递减；当x∈(0，＋∞)时，e x－e ln a＞0，h′(x)＞0，h(x)单调递增．所以当x＝ln a时，h(x)取到极大值，极大值是h(ln a)＝－a[(ln a)2－2ln a＋sin(ln a)＋cos(ln a)＋2]．当x＝0时，h(x)取到极小值，极小值是h(0)＝－2a－1；(ii)当a＝1时，ln a＝0，所以当x∈(－∞，＋∞)时，h′(x)≥0，函数h(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，无极值；(iii)当a＞1时，ln a＞0，所以当x∈(－∞，0)时，e x－e ln a＜0，h′(x)＞0，h(x)单调递增；当x∈(0，ln a)时，e x－e ln a＜0，h′(x)＜0，h(x)单调递减；当x∈(ln a，＋∞)时，e x－e ln a＞0，h′(x)＞0，h(x)单调递增．所以当x＝0时，h(x)取到极大值，极大值是h(0)＝－2a－1；当x＝ln a时，h(x)取到极小值，极小值是h(ln a)＝－a[(ln a)2－2ln a＋sin(ln a)＋cos(ln a)＋2]．综上所述，当a≤0时，h(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，函数h(x)有极小值，极小值是h(0)＝－2a－1；当0＜a＜1时，函数h(x)在(－∞，ln a)和(0，＋∞)上单调递增，在(ln a,0)上单调递减，函数h(x)有极大值，也有极小值，极大值是h(ln a)＝－a[(ln a)2－2ln a＋sin(ln a)＋cos(ln a)＋2]，极小值是h(0)＝－2a－1；当a＝1时，函数h(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，无极值；当a＞1时，函数h(x)在(－∞，0)和(ln a，＋∞)上单调递增，在(0，ln a)上单调递减，函数h(x)有极大值，也有极小值，极大值是h(0)＝－2a－1，极小值是h(ln a)＝－a[(ln a)2－2ln a＋sin(ln a)＋cos(ln a)＋2]．。
2018高考数学压轴题含答案
文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持.1文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.【例1】已知12,F F 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，以原点O 为圆心，半焦距为半径的圆与椭圆相交于四个点，设位于y 轴右侧的两个交点为B A ,，若1ABF ∆为等边三角形，则椭圆的离心率为（ ）11C. 12D. 13【课堂笔记】【规律总结】............................................................................................................................................................................................................【例2】已知函数x x x x ax x f ln ln )(2--+=有三个不同的零点321,,x x x （其中321x x x <<），则211)ln 1(x x -)ln 1)(ln 1(3322x x x x --的值为（ ）A ．a -1B ．1-aC ．1-D ．1【课堂笔记】 【规律总结】【例3】已知函数()2h x x ax b =++在()0,1上有两个不同的零点，记{}()()min ,m m n m n n m n ≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，则()(){}min 0,1h h 的取值范围为 .【课堂笔记】 【规律总结】...........................................................................................................................................................................................................【例4】下表是一个由2n 个正数组成的数表，用ij a 表示第i 行第j 个数(),,i j N ∈已知数表中第一列各数从上到下依次构成等差数列，每一行各数从左到右依次构成等比数列，且公比都相等.已知113161351,9,48.a a a a =+== （1）求1n a 和4n a ； （2）设()()()()4144121nn n n n n a b a n N a a +=+-∈--，求数列{}n b 的前n 项和n S .【例5】在平面直角坐标系中动点(),P x y 到圆()22:11F x y +-=的圆心F 的距离比它到直线2y =-的距离小1.（1）求动点P 的轨迹方程；（2）设点P 的轨迹为曲线E ，过点F 的直线l 的斜率为k ，直线l 交曲线E 于,A B 两点，交圆F 于D C ,两点（C A ,两点相邻）.①若BF tFA =，当]2,1[∈t 时，求k 的取值范围；②过,A B 两点分别作曲线E 的切线12,l l ，两切线交于点N ，求ACN ∆与BDN ∆面积之积的最小值.............................................................................................................................................................................................................【综合演练】1.已知抛物线px y 22=的准线方程为1-=x 焦点为C B A F ,,,为该抛物线上不同的三点，B 在x 轴下方，若0=++FC FB FA ，则直线AC 的方程为 ．【规律总结】【例6】已知函数()()ln 1.af x x x a R x=-++∈ （1）讨论()f x 的单调性与极值点的个数；（2）当0a =时，关于x 的方程()()f x m m R =∈有2个不同的实数根12,x x ，证明：12 2.x x +>............................................................................................................................................................................................................【综合演练】2.已知函数()24,0ln ,0x x x f x x x x ⎧+≤=⎨>⎩图象上有且只有4个不同的点关于直线e y =的对称点在函数()21g x kx e =++的图象上，则实数k 的取值范围为（ ）A. ()1,2B. ()1,0-C. ()2,1--D.()6,1-- 【规律总结】。
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专题2.9 已知不等恒成立讨论单调或最值
【题型综述】
不等式恒成立的转化策略一般有以下几种：
①分离参数＋函数最值；
②直接化为最值＋分类讨论；
③缩小范围＋证明不等式；
④分离函数＋数形结合。
通过讨论函数的单调性及最值，直接化为最值的优点是函数结构简单，是不等式恒成立的通性通
法，高考参考答案一般都是以这种解法给出，缺点是一般需要分类讨论，解题过程较长，解题层级数较多，不易掌握分类标准。
【典例指引】
例1．设()y f x =是()x
g x e =在点()0,1处的切线． （Ⅰ）求()y f x =的解析式； （Ⅱ）求证： ()()f x g x ≤； （Ⅲ）设()()()ln h x g x f x ax ⎡⎤=+-⎣⎦，
其中a R ∈．若()1h x ≥对[)0,x ∈+∞恒成立，求a 的取值范围． 【思路引导】
（Ⅰ）由导数值得切线斜率，进而得切线方程，即可求函数f （x ）的解析式；
（Ⅱ）令()()()m x g x f x =-，求导证得()()00m x m ≥=； ，① 当2a ≤时，由（Ⅰ）得 e 1x x ≥+，可得()0h x '≥，进而得()h x 在区
间[)0,+∞上单调递增， ()()01h x h ≥=恒成立，② 当2a >时，可得()h x '在区间[)0,+∞上单调递增，存在()00,x ∈+∞，使得()00h x '=， ()()001h x h <=，此时()1h x ≥不会恒成立，进而得的取值范围．
当0x <时， ()'0m x <，故()m x 单调递减；
当0x >时， ()'0m x >，故()m x 单调递增．
所以， ()()00m x m ≥= (x R ∀∈）．
所以()()f x g x ≤．
点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题： （1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题； （2）若 ()0f x >就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为
()min 0
f x > ，若()0f x <恒成立()max 0f x ⇔<； （3）若()()f x
g x > 恒成立，可转化为()()min max f x g x >（需在同一处取得最值）。