随机信号处理考题答案
填空：
1.假设连续随机变量的概率分布函数为F（x）则F（-∞）=0, F（+∞）=1
2.随机过程可以看成是样本函数的集合，也可以看成是随机变量的集合
3.如果随机过程X(t)满足任意维概率密度不随时间起点的变化而变化,则称X(t)为严平稳随机过程，如果随机过程X(t)满足均值为常数，自相关函数只与时间差相关则称X(t)为广义平稳随机过程
4.如果一零均值随机过程的功率谱，在整个频率轴上为一常数，则称该随机过程为白噪声,该过程的任意两个不同时刻的状态是不相关
5. 宽带随机过程通过窄带线性系统，其输出近似服从正态分布,窄带正态噪声的包络服从瑞利分布,而相位服从均匀分布
6.分析平稳随机信号通过线性系统的两种常用的方法是冲激响应法，频谱法
7.若实平稳随机过程相关函数为Rx（τ）=25+4/（1+6τ），则其均值为5或-5,方差为4 7.匹配滤波器是输出信噪比最大作为准则的最佳线性滤波器。
1.广义各态历经过称的信号一定是广义平稳随机信号，反之，广义平稳的随机信号不一定是广义各态历经的随机信号
2.具有高斯分布的噪声称为高斯噪声,具有均匀分布的噪声叫均匀噪声,而如果一个随机过程的概率谱密度是常数，则称它为白噪声
3.白噪声通过都是带宽的线性系统，输出过程为高斯过程
4.平稳高斯过程与确定的信号之和是高斯过程，确定的信号可以认为是该过程的数学期望
5.平稳正态随机过程的任意概率密度只由均值和协方差阵确定
1.白噪声是指功率谱密度在整个频域内均匀分布的噪声。
3.对于严格平稳的随机过程，它的均值与方差是与时间无关的函数，即自相关函数与时间间隔有关，与时间起点无关。
4.冲激响应满足分析线性输出，其均值为_____________________。
5.偶函数的希尔伯特变换是奇函数。
6.窄带随机过程的互相关函数公式为P138。
1.按照时间和状态是连续还是离散的，随机过程可分为四类，这四类是连续时间随机过程，
离散型随机过程、随机序列、离散随机序列。
2.如果平稳随机过程均值和相关函数具有遍历性,则称该随机过程为各态历经过称。
3.如果均匀分布白的噪声通过线性系统，输出服从正态分布分布。
4.正态随机过程的任意n维分布，只有由一、二阶矩确定。
5.窄带正态随机过程的相位服从均匀分布，幅度服从瑞利分布。
6.随机过程相关时间反应了随机过程变化的快慢程度，相关时间越长，过程的取值变化越
慢,随机过程相关时间反应了随机过程变化的快慢程度，相关时间越短，过程的取值变化越快,
7.平稳随机过程信号通过线性系统分析，输入，输出过程的自相关函数可表示为
，输出与输入过程中功率谱之间的关系可表示为
。
8.平稳随机过程信号通过非线性系统分析常用的方法是直接法和变换法与级数展开法。
9.典型的独立增量过程有泊松过程与维纳过程。
10.对于无偏估计而言均方误差总是大于等于某个量，这个量称为克拉美-罗(Cramer-Rao)下
限达到这个量的估计称为有效估计。
11.功率谱密度是从频域描述随机过程很重要的数字特征
12.等效原则：理想系统与实际系统在同一白噪声激励下的输出平均功率相等，且理想系
统的增益为实际系统的最大增益。
判断题
1、随机变量的均值反映了它取值的离散程度，它的方差反映了它取值的平均值。（×）
2、如果一个随机过程是各态历经过程，那么它一定是广义平稳的。（√）
3、窄带随机过程的正交分量和同相分量在同一时刻是相互独立的。（×）
4、白噪声通过一个线性系统，它的输出服从瑞利分布。（×）
5、正态随机信号通过任何线性系统，输出都服从正态分布。（√）
6、随机信号通过线性系统不会产生新的频率分量，但随机信号通过非线性系统则可能会
产生新的频率分量。（√）
7、随机信号的复信号表示的功率谱在正频率部分是该随机信号功率谱的两倍，在负频率
部分则为零。（√）
8、非线性系统普遍具有“欺负”小信号的特点。（×）
9、对于严格平稳随机过程，不相关和独立是等价的。（√）
1.若平稳随机过程在任意两个不同时刻不相关，那么也一定是相互独立的F
4.宽平稳的高斯过程一定是严平稳过程T
5.对于未知的非随机参量，如果有效估计存在，则其有效估计一定是最大后验估计T
2.非线性变换不可增加新的频率分量，则线性变换会增加新的频率分量F
3.对于零均值的正态随机过程来说，随机信号的解析信号只存在正的功率谱T
1.严格平稳一定是广义平稳，广义平稳不一定是严格平稳。T
2.功率谱密度是从时域上描述随机过程的重要的数字特征F
3.相关性越弱功率谱越宽平，相关性越强，功率谱越陡窄T
4.白噪声通过有限带宽时线性系统后输出过程为高斯过程T
5.平稳高斯过程与确定信号之和是高斯过程，确定信号可认为是高斯过程的均值
1．随机变量的均值反应了他的取值统计平均值，它的方差反应了它的取值偏离均值的平均值。（∨）
2. 如果一个平稳随机过程的时间平均值等于统计平均值，实际相关函数等于统计相关函数，那么它是各态历经过称。（∨）
3.对于均方连续的随机过程他的每一个样本函数也都是连续的。（X）
4．白噪声通过一个理想的低通滤波器，它的输出过程仍为白噪声，但分布变成了正态分布。（X）
5.对于平稳正态随机过程的任意n维分布只由它的均值和自相关函数确定。（∨）
6. 正态随机过程通过非线性系统输出仍为正态分布（X）
7.随机过程的严平稳是指任意维概率与时间无关（X）
8.对于零均值的正态随机过程正交、不相关和独立，3个概念是等价的（∨）
1.随机信号的均值计算是线性运算而方差则不是线性运算T
2.如果随机过程即时间平均和集合平均是依概率1是相等的，则该随机过程具有遍历性F
3.平稳随机信号在t=-∞时刻起加入物理可实现线性系统，即输出为平稳随机信号；平稳随机信号在t=-∞时刻起加入物理不可实现线性系统，即输出为非平稳随机信号F
4.随机信号的解析信号只存在正的功率谱T
5.如果对随机参量的估计是有效估计，那么这个估计必定是最大似然估计F
6.广义各态历经随机信号不一定广义平稳，广义平稳随机信号也未必是广义各态历经F
7.希尔伯特变换将改变随机信号统计平均功率F
8.系统等效噪声带宽由系统的冲激响应和输入信号功率共同决定F
9.高斯随机过程的严平稳与广义平稳等价T
10.随机过程可以看成一组确知时间函数的集合，同时也可以看成是一组随机变量的集合
T
1.随机信号的样本函数能量是无限的，但功率往往是有限的T
3.偶函数的希尔伯特变化是奇函数，奇函数的希尔伯特变化是偶函数T
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随机信号处理考试
《随机信号分析与处理》期中自我测评试题（二） 一、填空（20分） 1、随机过程按照时间和状态是连续还是离散可以划分为四类：如果时间和状态都是连续的，称为连续型随机过程，如果时间离散、状态连续，则称为_____________，如果时间_____，状态______，称为离散型随机过程，如果时间和状态都离散，则称为离散随机序列。 2、如果随机序列X[n]是各态历经的，那么我们可以利用随机序列任一条样本估计它的均值和方差： 均值估计为______________； 方差估计为______________； 3、随机信号X(t)的解析信号为______________________，解析信号的功率谱在正频是原信号的________倍，负频为_______。 4、窄带随机过程是指______________________________________________ ________________________________________________________________。 5、N维正态随机矢量的概率密度用矢量和矩阵形式可表示为: _________________________________________________________________。 6、白噪声通过窄带系统，其输出过程为_______过程，分布为________。 7、窄带正态噪声加正弦信号，当信噪比很大时，幅度近似服从________________、相位近似服从_______________。 8、马尔可夫过程是指______________________________________________ _______________________________。 9、平稳随机过程可导的充要条件是_______________________________。 10、相关时间反映了随机过程的变化快慢，相关时间短，则反映随机过程 ____________，相关时间长，则反映了随机过程_______________。 二、（20分）判断题(判断下列说法是否准确，正确的打T，错误的打F）。 1、如果随机过程中包含有周期分量，则自相关函数也含周期分量。（） 2、对于正态随机过程而言，不相关和独立是等价的。（） 3、偶函数的希尔伯特变换还是偶函数。（） 1
随机信号处理考题答案
填空： 1.假设连续随机变量的概率分布函数为F（x）则F（-∞）=0, F（+∞）=1 2.随机过程可以看成是样本函数的集合，也可以看成是随机变量的集合 3.如果随机过程X(t)满足任意维概率密度不随时间起点的变化而变化,则称X(t)为严平稳随机过程，如果随机过程X(t)满足均值为常数，自相关函数只与时间差相关则称X(t)为广义平稳随机过程 4.如果一零均值随机过程的功率谱，在整个频率轴上为一常数，则称该随机过程为白噪声,该过程的任意两个不同时刻的状态是不相关 5. 宽带随机过程通过窄带线性系统，其输出近似服从正态分布,窄带正态噪声的包络服从瑞利分布,而相位服从均匀分布 6.分析平稳随机信号通过线性系统的两种常用的方法是冲激响应法，频谱法 7.若实平稳随机过程相关函数为Rx（τ）=25+4/（1+6τ），则其均值为5或-5,方差为4 7.匹配滤波器是输出信噪比最大作为准则的最佳线性滤波器。 1.广义各态历经过称的信号一定是广义平稳随机信号，反之，广义平稳的随机信号不一定是广义各态历经的随机信号 2.具有高斯分布的噪声称为高斯噪声,具有均匀分布的噪声叫均匀噪声,而如果一个随机过程的概率谱密度是常数，则称它为白噪声 3.白噪声通过都是带宽的线性系统，输出过程为高斯过程 4.平稳高斯过程与确定的信号之和是高斯过程，确定的信号可以认为是该过程的数学期望 5.平稳正态随机过程的任意概率密度只由均值和协方差阵确定 1. 白噪声是指功率谱密度在整个频域内均匀分布的噪声。 3. 对于严格平稳的随机过程，它的均值与方差是与时间无关的函数，即自相关函数与时间间隔有关，与时间起点无关。 4. 冲激响应满足分析线性输出，其均值为_____________________。 5. 偶函数的希尔伯特变换是奇函数。 6. 窄带随机过程的互相关函数公式为P138。 1.按照时间和状态是连续还是离散的，随机过程可分为四类，这四类是连续时间随机过程， 离散型随机过程、随机序列、离散随机序列。 2.如果平稳随机过程均值和相关函数具有遍历性,则称该随机过程为各态历经过称。 3.如果均匀分布白的噪声通过线性系统，输出服从正态分布分布。 4.正态随机过程的任意n维分布，只有由一、二阶矩确定。 5.窄带正态随机过程的相位服从均匀分布，幅度服从瑞利分布。 6.随机过程相关时间反应了随机过程变化的快慢程度，相关时间越长，过程的取值变化越 慢,随机过程相关时间反应了随机过程变化的快慢程度，相关时间越短，过程的取值变化越快, 7.平稳随机过程信号通过线性系统分析，输入，输出过程的自相关函数可表示为 ，输出与输入过程中功率谱之间的关系可表示为 。 8.平稳随机过程信号通过非线性系统分析常用的方法是直接法和变换法与级数展开法。 9.典型的独立增量过程有泊松过程与维纳过程。 10.对于无偏估计而言均方误差总是大于等于某个量，这个量称为克拉美-罗(Cramer-Rao)下
随机信号处理习题答案
随机过程部分习题答案 习题2 2.1 设随机过程b t b Vt t X ),,0(,)(+∞∈+=为常数，)1,0(~N V ，求)(t X 的一维概率密 度、均值和相关函数。 解 因)1,0(~N V ，所以1,0==DV EV ，b Vt t X +=)(也服从正态分布， b b tEV b Vt E t X E =+=+=][)]([ 22][)]([t DV t b Vt D t X D ==+= 所以),(~)(2t b N t X ，)(t X 的一维概率密度为 ),(,21);(2 22)(+∞-∞∈= -- x e t t x f t b x π，),0(+∞∈t 均值函数 b t X E t m X ==)]([)( 相关函数 )])([()]()([),(b Vt b Vs E t X s X E t s R X ++== ][22b btV bsV stV E +++= 2 b st += 2.4 设有随机过程)sin()cos()(t B t A t X ωω+=，其中ω为常数，B A ,是相互独立且服从正态分布),0(2 σN 的随机变量，求随机过程的均值和相关函数。 解 因B A ,独立，),0(~2 σN A ，),0(~2 σN B 所以，2 ][][,0][][σ====B D A D B E A E 均值 )]sin()cos([)]([)(t B t A E t X E t m X ωω+== 0][)sin(][)cos(=+=B E t A E t ωω 相关函数 []))sin()cos())(sin()cos(()]()([),(22112121t B t A t B t A E t X t X E t t R X ωωωω++== [] 1221212212sin cos sin cos sin sin cos cos t t AB t t AB t t B t t A E ωωωωωωωω+++= ][sin sin ][cos cos 221221B E t t A E t t ωωωω+=
随机信号分析课后习题答案
1 第一次作业：练习一之1、2、3题 1.1 离散随机变量X 由0，1，2，3四个样本组成，相当于四元通信中的四个电平，四个样本的取值概率顺序为1/2，1/4，1/8，和1/8。求随机变量的数学期望和方差。 解：875.08 7813812411210)(][4 1==?+?+?+?===∑=i i i x X P x X E 81 )873(81)872(41)871(21)870(])[(][2224 1 22?-+?-+?-+?-=-=∑=i i i P X E x X D 109.164 71 == 1.2 设连续随机变量X 的概率分布函数为 ? ????≥<≤-+<=2 1 201)] (2π Αsin[0.500)(x x x x x F 求（1）系数A ；（2）X 取值在（0.5，1）内的概率)15.0(< 2 （2）?? ???≥<≤<=1 110Α00 )(2 x x x x x F （3）0)] ()([)(>--=a a x u x u a x x F （4）0)()()(>---=a a x u a x a x u a x x F 解：（1）?????<≥-=-0 0e 1)(2 x x x F x 当0≥x 时，对于1 2 x x ≥，有)()(1 2 x F x F ≥，)(x F 是单调 非减函数； 1)(0≤≤x F 成立； )()(x F x F =+ 也成立。 所以，)(x F 是连续随机变量的概率分布函数。 求得，?????<≥==-0 02 1)()(2 x x e dx x dF x f x （2）?? ???≥<≤<=1 110Α00 )(2 x x x x x F 在A>0时，对于1 2 x x ≥，有)()(1 2 x F x F ≥，)(x F 是单 调非减函数； 欲使1)(0≤≤x F 和)()(x F x F =+ 成立，必须使A=1。 所以，在A=1时，)(x F 是连续随机变量的概率分 布函数。 同理，?? ?<≥>==0 12)()(x x Ax dx x dF x f 欲满足1)(=?∞ ∞ -dx x f ，也必须使A=1。 作业一的参考答案 1. P28：1.10 解：利用 /(,)(/)() XY X Y Y f x y f x y f y = 10 222()(,)Y X Y ax by a by f y f x y dx dx a b a b +∞-∞ ++= = = ++? ? 所以 /2()/()2()(/)(2)/() (2) X Y ax by a b ax by f x y a by a b a by +++= = +++ //1/4 (/1/4)(/) 12()44 1 224 X Y X Y y f x y f x y ax b ax b a b a b ===+ += = ++ 10 (/1/4)(/1/4)48326(2) X Y E X Y xf x y dx ax b a b x dx a b a b +∞-∞ ===++= = ++? ? （2） 同理利用 /0.5 0.5 (,)(/) () XY Y X x x X f x y f y x f x === 可得到 /1 34(/)(/1/2)2 6() Y X a b E Y X yf y x dy a b +∞-∞ +== == +? 2. P29：1.15 解：由题意可得，1()1,E X = 4()1E X =，1()2D X =，4()2D X =， 1441(,)(,)0C ov X X C ov X X ==。 所以 (1) 均值矩阵'11?? =????m ，协方差矩阵'2 002?? =? ??? K Y 的分布为''14(,)(,)T Y X X N =m K (2) 1(2)2E X =,23()1E X X +=-,34()1E X X -=- 随机信号分析课后习题答案 随机信号分析课后习题答案 随机信号分析是现代通信系统设计和信号处理领域中的重要基础知识。通过对随机信号的分析，我们可以更好地理解和处理噪声、干扰等随机性因素对通信系统性能的影响。下面是一些关于随机信号分析的课后习题及其答案，希望对大家的学习有所帮助。 1. 什么是随机信号？ 随机信号是在时间域上具有随机性质的信号。与确定性信号不同，随机信号的每个样本值都是随机变量，其取值不是确定的。随机信号可以用统计特性来描述，如均值、方差、功率谱密度等。 2. 什么是平稳随机信号？ 平稳随机信号是指在统计性质上不随时间变化的随机信号。具体来说，平稳随机信号的均值和自相关函数不随时间变化。平稳随机信号在实际应用中较为常见，因为它们具有一些方便的数学性质，可以简化信号处理的分析和设计。 3. 如何计算随机信号的均值？ 随机信号的均值可以通过对信号样本值的求平均来计算。对于离散时间随机信号，均值可以表示为： E[x[n]] = (1/N) * Σ(x[n]) 其中，E[x[n]]表示信号x[n]的均值，N表示信号的样本数，Σ表示求和运算。 4. 如何计算随机信号的方差？ 随机信号的方差可以用均方差来表示。对于离散时间随机信号，方差可以表示为： Var[x[n]] = E[(x[n] - E[x[n]])^2] 其中，Var[x[n]]表示信号x[n]的方差，E[x[n]]表示信号的均值。 5. 什么是自相关函数？ 自相关函数是用来描述随机信号与其自身在不同时间延迟下的相似性的函数。自相关函数可以用来分析信号的周期性、相关性等特性。对于离散时间随机信号，自相关函数可以表示为： Rxx[m] = E[x[n] * x[n-m]] 其中，Rxx[m]表示信号x[n]的自相关函数，E[ ]表示期望运算。 6. 如何计算随机信号的自相关函数？ 随机信号的自相关函数可以通过对信号样本值的乘积进行求平均来计算。对于离散时间随机信号，自相关函数可以表示为： Rxx[m] = (1/N) * Σ(x[n] * x[n-m]) 其中，Rxx[m]表示信号x[n]的自相关函数，N表示信号的样本数，Σ表示求和运算。 7. 什么是功率谱密度？ 功率谱密度是用来描述随机信号在频域上的能量分布的函数。功率谱密度可以用来分析信号的频谱特性，如频带宽度、功率集中度等。对于离散时间随机信号，功率谱密度可以表示为： Sxx(ω) =|X(ω)|^2 其中，Sxx(ω)表示信号x[n]的功率谱密度，X(ω)表示信号的傅里叶变换。 8. 如何计算随机信号的功率谱密度？ 随机信号的功率谱密度可以通过对信号的自相关函数进行傅里叶变换来计算。 随机信号分析基础课后练习题含答案 第一部分随机变量和概率分布 练习题1 设离散随机变量X的概率分布函数为： X0 1 2 3 4 P X0.05 0.15 0.35 0.30 0.15 求E(X)和D(X)。 答案1 根据概率分布函数的公式有： $$E(X)=\\sum_{i=1}^n x_i P_X(x_i) = 0 \\times 0.05 + 1 \\times 0.15 + 2 \\times 0.35 + 3 \\times 0.30 + 4 \\times 0.15 = 2.25$$ $$D(X)=\\sum_{i=1}^n (x_i-E(X))^2P_X(x_i) = 0.710625$$ 练习题2 已知随机变量X的概率密度函数为： $$f_X(x) = \\begin{cases} \\frac{1}{3}e^{-\\frac{x}{3}} & x \\geq 0 \\\\ 0 & x < 0 \\end{cases}$$ 求E(X)和D(X)。 答案2 根据概率分布函数的公式有： $$E(X)=\\int_{-\\infty}^{+\\infty}xf_X(x)dx = \\int_{0}^{+\\infty}x\\frac{1}{3}e^{-\\frac{x}{3}}dx=3$$ $$D(X)=E(X^2)-(E(X))^2=\\int_{- \\infty}^{+\\infty}x^2f_X(x)dx- (E(X))^2=\\int_{0}^{+\\infty}x^2\\frac{1}{3}e^{- \\frac{x}{3}}dx-9=\\frac{27}{4}$$ 第二部分随机过程 练习题3 设二阶矩有限的离散时间随机过程X n的均值序列为m n，自相关 函数为R n(i,j)=E(X i−m i)(X j−m j)，其中 $0 \\leq i,j \\leq N$。 若m n=n2,R n(i,j)=ij(i+j)，求 $E(\\sum_{n=0}^N X_n)$。 答案3 利用积分和求和的交换性有： $$E(\\sum_{n=0}^N X_n) = \\sum_{n=0}^N E(X_n) = \\sum_{n=0}^N m_n = \\sum_{n=0}^N n^2 = \\frac{N(N+1)(2N+1)}{6}$$ 《随机信号分析与处理》期中自我测评 一、填空（20分） 1、按照时间和状态是连续还是离散，随机过程可以分成四类，这四类是 _______________________________________________________________。 2、如果随机过程_______________________________________________ ____________________，则称X(t)为严格平稳随机过程。 3、如果平稳随机过程_____________________________________,则称该随机过程为各态历经过程。 4、如果均匀分布的白噪声通过线性系统，输出服从____________________________________分布。 5、正态随机过程的任意N维分布只有由________________________确定。 6、窄带正态随机过程的相位服从________________，幅度服从_______________。 7、如果一个随机过程未来的状态只与_____________，与_________________，则该过程称为马尔可夫过程。 8、解析信号的功率谱负频部分为零，正频部分是实信号的________。 9、随机过程的相关时间反映了随机过程变化的快慢程度，相关时间越长，过程的取值变化______，相关时间越短，过程的取值变化___________。 10、平稳随机信号通过线性系统分析,输入、输出过程的自相关函数的关系可表示为__________________________，输出与输入过程的功率谱之间的关系可表示为_____________________________。 二、（20分）判断题(判断下列说法是否准确，正确的打T，错误的打F）。 1、随机变量的均值反映了它的取值的统计平均值，它的方差反映了它的取值偏离均值的偏离程度。（） 2、如果一个平稳随机过程的时间平均值等于统计平均值，时间相关函数等于统计相关函数，那么它是各态历经过程。（） 3、对于均方连续的随机过程，它的每一个样本函数也都是连续的。（） 4、白噪声通过一个理想低通滤波器，它的输出过程仍然为白噪声，但分布变成了正态分布。（） 5、对于平稳正态随机过程的任意N维分布只由它的均值和自相关函数确定。（） 6、正态随机过程通过非线性系统，输出仍然为正态分布。（） 7、随机过程的严平稳是指它的任意维概率密度与时间无关。（） 电科1102 3110504042 戴善瑞 第二题：计算长度为N＝10000的高斯随机噪声信号的均值、均方值、方差和均方差（也称标准差，即对方差开根号的值） N=10000; %数据长度 y=randn(1,N); %产生一个均值为0，方差为1，长度为N的随机序列 disp('平均值:'); yMean=mean(y) %计算随机序列的均值 disp('均方值:'); y2p=y*y'/N %计算其均方值,这里利用了矩阵相乘的算法 disp('均方根:'); ysq=sqrt(y2p) %计算其均方根值 disp('标准差:'); ystd=std(y,1) %计算标准差，相当于ystd=sqrt(sum((y-yMean).^2)/(N-1)) disp('方差:'); yd=ystd.*ystd 第三题：求一白噪声加正弦信号以及白噪声的自相关函数，并进行分析比较。（显示出信号及相关函数的波形） clf; N=1000; Fs=500; %数据长度和采样频率 n=0:N-1; t=n/Fs; %时间序列 Lag=100; %延迟样点数? x=sin(2*pi*20*t)+0.6*randn(1,length(t)); %白噪声加正弦信号 [c,lags]=xcorr(x,Lag,'unbiased'); %估计原始信号x的无偏自相关 subplot(2,2,1), plot(t,x); xlabel('时间/s'); ylabel('x(t)'); title('带噪声周期信号'); grid on; subplot(2,2,2), plot(lags/Fs,c); %绘x信号的自相关,lags/Fs为时间序列 xlabel('时间/s'); ylabel('Rx(t)'); title('带噪声周期信号的自相关'); grid on; x1=randn(1,length(x)); %产生一与x长度一致的随机信号x1 [c,lags]=xcorr(x1,Lag,'unbiased'); %求随机信号x1的无偏自相关 subplot(2,2,3), plot(t,x1); %绘制随机信号x1 xlabel('时间/s'); ylabel('x1(t)'); title('噪声信号'); grid on; subplot(2,2,4); plot(lags/Fs,c); %绘制随机信号x1的无偏自相关 xlabel('时间/s'); ylabel('Rx1(t)'); title('噪声信号的自相关'); grid on 信号分析与处理试题与答案 1. 设随机信号x(n)中含有加性噪声u(n)，s(n)为有用信号，则： )()()n (n u n s x += ]()([)(s m n x n s E m R x += )]()([m n s n s E +=)]()()()([m n u n s m n s n s E +++= )m (s R = 2. 不改(FFT)的程序直接实现IFFT 的方法 ： 由∑-=--==1 1,,1,0 ,)(1 )(N k nk N N n W k X N n x 得： ∑-==*-=*10 1101N k nk N N ,,,n ,W )k (X N )n (x ∑-===-=*** *1011011N k nk N N ,,,n )]}k (X {FFT[N ]W )k (X [N )n (x 1)先取共轭 2)执行FFT 程序 3)对运算结果取共轭，并乘以常数 N 1 3. 解：1）dt t t t )2()]3cos(5[51 3-+⎰∞-δ＝0 2） 10002.02=π π ， 周期＝100 3)解：2 2 ) 1()(π π++= -s e s X s 当a a 1< 时： 4) 1 111 1 10 1 11 11 1)()()()()()(2 2 ----∞=-∞ =-∞ =---∞ =-∞-∞ =--∞ =∞=-----+ -= +=+= += = ∑∑∑∑∑∑∑z a z a z a az z a az az z a z a z n x z X n n n n n n n n n n n n n n n n 当a a 1> 时：a z a 1>> 4. 1）.混叠现象：在采样前加抗混叠滤波器。 2).频谱泄漏：增加采样点数或其他类型的窗函数 3)栅栏效应：在数据的末端补零。 4)频率的分辨率：增加信号的长度。 5. 解：)(n x *)(n h =2 3 5 9 6 6 4{ )(n x 与)(n h 5点的循环卷积为：｝ 5 9 6 8 7{ )(n x 与)(n h 8点的循环卷积为：｝0 2 3 5 9 6 6 4{ 6.解过程如下： 1 )0(＝x 1 )2(－=x 2 )1(=x 3 )3(=x 5 )0(=X j X +=2)1(5 )2(-=X j X -=2)3(2 )1(0 )0(11＝＝X X 1 )1(5 )0(22-==X X 0 4W j W -=14-- 4W - 4 W - 随机信号分析 第一章 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 设随机试验X 的分布律为 求X 的概率密度和分布函数，并给出图形。 解：()()()())0.210.520.33i i i f x p x x x x x δ δδδ=-=-+-+-∑（ ()()()())0.210.520.33i i i F x p u x x u x u x u x =-=-+-+-∑（ 9. 10. 设随机变量X 的概率密度函数为()x f x ae -=， 求:(1)系数a ；〔2〕其分布函数。 解：〔1〕由 ()1f x dx ∞ -∞ =⎰ () ()2x x x f x dx ae dx a e dx e dx a ∞ ∞ ∞ ---∞ -∞ -∞ ==+=⎰ ⎰⎰ ⎰ 所以12a = 〔2〕()1()2 x x t F x f t dt e dt --∞ -∞= =⎰ ⎰ 所以X 的分布函数为 ()1,02 11,02 x x e x F x e x -⎧<⎪⎪=⎨ ⎪-≥⎪⎩ 11. 12. 13. 若随机变量X 与Y 的联合分布律为 求：〔1〕X 与Y 的联合分布函数与密度函数；〔2〕X 与Y 的边缘分布律；〔3〕Z XY =的分布律；〔4〕X 与Y 的相 关系数。 解：〔1〕 ()() ()()()()()() ,,0.07,10.18,0.15,10.081,10.321,0.201,1ij i j i j F x y p u x x y y u x y u x y u x y u x y u x y u x y =--=+++-+-++-+--∑∑ ()() ()()()()()(),,0.07,10.18,0.15,10.081,10.321,0.201,1ij i j i j f x y p x x y y x y x y x y x y x y x y δδδδδδδ=--=+++-+-++-+--∑∑ 〔2〕X 的分布律为〔i ij j P P ⋅=∑〕 ()()00.070.180.150.4010.080.320.200.60P X P X ==++===++= Y 的分布律为 ()()()10.070.080.1500.180.320.5010.150.200.35 P Y P Y P Y =-=+===+===+= 〔3〕Z XY =的分布律为 由于百度文库格式转换的原因，不能整理在一个word 文档里面，下面是三四章的答案。给大家造成的不便，敬请谅解 随机信号分析 第三章习题答案 、随机过程 X(t)=A+cos(t+B)，其中A 是均值为2，方差为1的高斯变量，B 是（0，2π）上均匀分布的随机变量，且A 和B 独立。求 （1）证明X(t)是平稳过程。 （2）X(t)是各态历经过程吗？给出理由。 （3）画出该随机过程的一个样本函数。 （1） （2） 3-1 已知平稳过程()X t 的功率谱密度为232 ()(16) X G ωω=+，求：①该过程的平均功率？ ②ω取值在(4,4)-范围内的平均功率？ 解 [][]()[]2 ()cos 2 11 ,cos 5cos 22 X E X t E A E t B A B R t t EA τττ =++=⎡⎤⎣⎦+=+=+与相互独立 ()()()2 1521()lim 2T T T E X t X t X t X t dt A T -→∞⎡⎤=<∞ ⇒⎣⎦==⎰是平稳过程 ()()[]()()41122 11222222 2 4 2' 4(1)24()()444(0)4 1132 (1)2244144 14(2)121tan 132 24X X X E X t G d R F G F e R G d d d arc x x τ τωωωωω ππωωπωωπ ω π ωω∞ ----∞∞ -∞-∞∞--∞∞ ⎡⎤⨯⎡⎤==⋅=⋅⎢⎥+⎣⎦ ====+==⎛⎫+ ⎪==⎣⎦= ++⎝⎭ = ⎰ ⎰⎰⎰⎰P P P P 方法一() 方：时域法取值范围为法二-4,4内(频域的平均率法功) 2 d ω = 第一次作业：练习一之1、2、3题 1.1离散随机变量X 由0，1，2，3四个样本组成，相当于四元通信中的四个电平，四个样本的取值概率顺序为1/2，1/4，1/8，和1/8。求随机变量的数学期望和方差。 解：875.08 7813812411210)(][4 1 ==⨯+⨯+⨯+⨯===∑=i i i x X P x X E 81 )873(81)872(41)871(21)870(])[(][2224 1 22⨯-+⨯-+⨯-+⨯-=-=∑=i i i P X E x X D 109.164 71 == 1.2 设连续随机变量X 的概率分布函数为 ⎪ ⎩⎪⎨⎧≥<≤-+<=2 1 201)] (2π Αsin[0.500)(x x x x x F 求（1）系数A ；（2）X 取值在（0.5，1）内的概率)15.0(< （3）0)] ()([)(>--=a a x u x u a x x F （4）0)()()(>---=a a x u a x a x u a x x F 解：（1）⎪⎩⎪⎨⎧<≥-=-0 0e 1)(2 x x x F x 当0≥x 时，对于1 2 x x ≥，有)()(1 2 x F x F ≥，)(x F 是单调 非减函数； 1)(0≤≤x F 成立； )()(x F x F =+ 也成立。 所以，)(x F 是连续随机变量的概率分布函数。 求得，⎪⎩⎪⎨⎧<≥==-0 02 1)()(2 x x e dx x dF x f x （2）⎪⎩ ⎪⎨⎧≥<≤<=1 110Α00 )(2 x x x x x F 在A>0时，对于1 2 x x ≥，有)()(1 2 x F x F ≥，)(x F 是单 调非减函数； 欲使1)(0≤≤x F 和)()(x F x F =+ 成立，必须使A=1。 所以，在A=1时，)(x F 是连续随机变量的概率分 布函数。 同理，⎩⎨ ⎧<≥>==0 12)()(x x Ax dx x dF x f 欲满足1)(=⎰∞ ∞ -dx x f ，也必须使A=1。 所以，⎩⎨ ⎧<≥>==0 012)(x x x x f （3）0)] ()([)(>--=a a x u x u a x x F 1. （10分）随机变量12,X X 彼此独立，且特征函数分别为12(),()v v φφ，求下列随机变量的特征函数： （1） 122X X X =+ （2）12536X X X =++ 解：（1）() 121222()jv X X jvX jv X jvX X v E e E e E e e φ+⎡⎤⎡⎤ ⎡⎤===⋅⎣⎦⎣⎦⎣ ⎦ 12 21212()(2)jvX jv X X X E e E e v v φφ⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦和独立 （2）() 1212536536()jv X X jv X jv X jv X v E e E e e e φ++⎡⎤⎡⎤==⋅⋅⎣⎦⎣ ⎦ 1253612jv X jv X jv X X E e E e E e ⎡⎤⎡⎤⎡⎤ ⎣⎦⎣⎦⎣⎦和独立 6 12(5)(3)jv e v v φφ= 2. （10分）取值()1,1-+，概率[0.4,0.6]的独立()半随机二进制传输信号()X t ，时隙长度为T ，问： （1） 信号的均值函数()E X t ⎡⎤⎣⎦； （2） 信号的自相关函数(),X R t t τ+； （3） 信号的一维概率密度函数();X f x t 。 解：（1）()10.410.60.2E X t =-⨯+⨯=⎡⎤⎣⎦ (2) 当,t t τ+在同一个时隙时： []222(,)()()[()]10.6(1)0.41X R t t E X t X t E X t ττ+=+==⨯+-⨯= 当,t t τ+不在同一个时隙时： [][][](,)()()()()0.20.20.04 X R t t E X t X t E X t E X t τττ+=+=+=⨯= （3）()()();0.610.41X f x t x x δδ=-++ 3. （10分）随机信号0()sin()X t t ω=+Θ，()()0cos Y t t ω=+Θ，其中0 ω为常数，Θ为在[]-,ππ上均匀分布的随机变量。 1-9 已知随机变量X 的分布函数为 2 0,0(),01 1, 1X x F x kx x x <⎧⎪ =≤≤⎨⎪>⎩ 求：①系数k ； ②X 落在区间(0.3,0.7)内的概率； ③随机变量X 的概率密度。 解： 第①问 利用()X F x 右连续的性质 k ＝1 第②问 {} {}{}()()0.30.70.30 .70.70 .3 0.7P X P X F P X F =<< =<≤-=- 第③问 201 ()()0 X X x x d F x f x else dx ≤<⎧==⎨ ⎩ 1-10已知随机变量X 的概率密度为()() x X f x ke x -=-∞<<+∞（拉普拉斯分布），求： ①系数k ②X 落在区间(0,1)内的概率 ③随机变量X 的分布函数 解： 第①问 ()1 1 2 f x d x k ∞ -∞==⎰ 第②问 {}()()() 2 11221x x P x X x F x F x f x d x < ≤ =-=⎰ 随机变量X 落在区间12(,]x x 的概率12{}P x X x <≤就是曲线()y f x =下的曲边梯形的面积。 {}{}()() 1 0101011 12 P X P X f x dx e -<<=<≤==-⎰ 第③问 ()102 10 2 x x e x f x e x -⎧≤⎪⎪=⎨ ⎪>⎪⎩ ()00()1100 2 2111010 2 22 x x x x x x x x F x f x dx e dx x e x e dx e dx x e x -∞ -∞---∞=⎧⎧≤≤⎪⎪⎪⎪==⎨ ⎨ ⎪⎪+>->⎪⎪⎩⎩⎰ ⎰⎰⎰ 1. 2. 3. 4. 5. 6. 有四批零件，第一批有2000个零件，其中5%是次品。第二批有500个零件，其中40%是次品。第三批和第四批各有1000个零件，次品约占10%。我们随机地选择一个批次，并随机地取出一个零件。 （1） 问所选零件为次品的概率是多少？ （2） 发现次品后，它来自第二批的概率是多少？ 解：（1）用i B 表示第i 批的所有零件组成的事件，用D 表示所有次品零件组成的事件。 ()()()()12341 4 P B P B P B P B ==== ()()()()1234100 200 0.050.42000500 100 100 0.1 0.1 10001000P D B P D B P D B P D B === ===== ()1111 0.050.40.10.10.16254444 P D =⨯+⨯+⨯+⨯= （2）发现次品后，它来自第二批的概率为， ()()()() 2220.250.4 0.6150.1625 P B P D B P B D P D ⨯= = = 7. 8. 9. 设随机试验X 的分布律为 求X 的概率密度和分布函数，并给出图形。 解：()()()()0.210.520.33f x x x x δδδ=-+-+- ()()()()0.210.520.33F x u x u x u x =-+-+- 10. 11. 设随机变量X 的概率密度函数为()x f x ae -=，求:(1)系数a ；（2）其分布函数。 解：（1）由 ()1f x dx ∞ -∞ =⎰ () ()2x x x f x dx ae dx a e dx e dx a ∞ ∞ ∞ ---∞ -∞ -∞ ==+=⎰ ⎰⎰ ⎰ 所以1 2 a = （2）()1()2 x x t F x f t dt e dt --∞ -∞= =⎰ ⎰ 所以X 的分布函数为 ()1,02 11,02 x x e x F x e x -⎧<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩ 12. 13. 14. X Y 求：（1）X 与Y 的联合分布函数与密度函数；（2）X 与Y 的边缘分布律；（3）Z XY =的分布律；（4）X 与Y 的相关系数。（北P181,T3） 解：（1） ()()()()()()() ,0.07,10.18,0.15,10.081,10.321,0.201,1F x y u x y u x y u x y u x y u x y u x y =+++-+ -++-+-- ()()()()()()() ,0.07,10.18,0.15,10.081,10.321,0.201,1f x y x y x y x y x y x y x y δδδδδδ=+++-+ -++-+-- （2） X 的分布律为 ()()00.070.180.150.4010.080.320.200.60 P X P X ==++===++= Y 的分布律为 ()()()10.070.080.1500.180.320.5010.150.200.35 P Y P Y P Y =-=+===+===+= （3）Z XY =的分布律为 1. 有四批零件，第一批有2000个零件，其中5%是次品。第二批有500个零件，其中40% 是次品。第三批和第四批各有1000个零件，次品约占10%。我们随机地选择一个批次，并随机地取出一个零件。 （1） 问所选零件为次品的概率是多少？ （2） 发现次品后，它来自第二批的概率是多少？ 解：（1）用i B 表示第i 批的所有零件组成的事件，用D 表示所有次品零件组成的事件。 ()()()()12341 4 P B P B P B P B ==== ()()()()1234100 200 0.050.42000500 100 100 0.1 0.1 10001000P D B P D B P D B P D B === ===== ()1111 0.050.40.10.10.16254444 P D =⨯+⨯+⨯+⨯= （2）发现次品后，它来自第二批的概率为， ()()()2220.250.4 0.6150.1625 P B P D B P B D P D ⨯= = = 2. 设随机试验X 求X 的概率密度和分布函数，并给出图形。 解：()()()()0.210.520.33 f x x x x δδδ=-+-+- ()()()()0.210.520.33F x u x u x u x =-+-+- 3. 设随机变量X 的概率密度函数为()x f x ae -=，求:(1)系数a ；（2）其分布函数。 解：（1）由 ()1f x dx ∞ -∞ =⎰ () ()2x x x f x dx ae dx a e dx e dx a ∞ ∞ ∞ ---∞ -∞ -∞ ==+=⎰ ⎰⎰ ⎰ 所以1 2 a = （2）()1()2 x x t F x f t dt e dt --∞ -∞= =⎰ ⎰ 所以X 的分布函数为 ()1,02 11,02 x x e x F x e x -⎧<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩ 4. 求：（1）X 与的联合分布函数与密度函数；（2）与的边缘分布律；（3）Z XY =的分布律；（4）X 与Y 的相关系数。（北P181,T3） 解：（1） ()()()()()()() ,0.07,10.18,0.15,10.081,10.321,0.201,1F x y u x y u x y u x y u x y u x y u x y =+++-+ -++-+-- ()()()()()()() ,0.07,10.18,0.15,10.081,10.321,0.201,1f x y x y x y x y x y x y x y δδδδδδ=+++-+ -++-+-- （2） X 的分布律为 ()()00.070.180.150.4010.080.320.200.60 P X P X ==++===++= Y 的分布律为 ()()()10.070.080.1500.180.320.5010.150.200.35 P Y P Y P Y =-=+===+===+= （3）Z XY =的分布律为随机信号分析与处理答案(罗鹏飞,张文明编著)
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