均值不等式使用条件
均值不等式应用
均值不等式应用在实际应用中，均值不等式有一些常用的技巧，可以帮助我们更方便地应用和理解它们。
1.对称性：均值不等式对于多个变量的情况，通常具有对称性。
这意味着可以通过交换变量的位置来得到等价的不等式。
例如，对于实数$a,b,c$，有$\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} \geq \frac{a+b}{2}$ 和$\sqrt{\frac{b^2+c^2}{2}} \geq \frac{b+c}{2}$，可以通过交换$a$和$c$得到$\sqrt{\frac{a^2+c^2}{2}} \geq \frac{a+c}{2}$。
利用这个对称性，可以在一些情况下简化不等式的推导过程。
2.递增性：均值不等式通常对于多个变量的情况是递增的。
这意味着如果变量的取值不变，但其中一个变量增加了，那么均值不等式的左边将比右边更大。
例如，对于实数$a,b$，有$\sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2}$，如果将$b$增加为$b+c$，则有$\sqrt{a(b+c)} \leq \frac{a+b+c}{2}$。
利用这个递增性，可以在一些情况下通过增加变量的值来简化不等式的推导过程。
3.平方技巧：当不等式中涉及到平方时，可以通过对不等式同时两边取平方来简化推导过程。
例如，对于实数$a,b$，有$\sqrt{a^2b^2} \leq\frac{a^2+b^2}{2}$，两边同时平方得到$a^2b^2 \leq\frac{(a^2+b^2)^2}{4}$，再进行化简推导。
需要注意的是，平方技巧可能会引入额外的解，因此在使用此方法时需要注意检查这些额外的解是否符合原始问题的要求。
4.归纳思想：对于具有多个变量的复杂不等式问题，可以利用归纳思想逐步推导出目标不等式。
具体来说，可以先考虑两个变量的情况，再逐步增加变量的个数，通过观察和推导相应的不等式，逐步得到目标不等式的结论。
这种思想在解决一些较为复杂的均值不等式问题时非常有帮助。
均值不等式
均值不等式xx年xx月xx日contents •均值不等式的定义•均值不等式的性质•均值不等式的证明方法•均值不等式的扩展•均值不等式的应用实例目录01均值不等式的定义•均值不等式（Mean Inequality）是指在实数范围内，任何一个数的平方与它的算术平均数的平方之差，等于0。
也就是说，对于任意实数x，有x^2=(x-x)^2=0。
什么是均值不等式•均值不等式的常见形式是：对于任意实数a和b（a≥0，b≥0），有√a≥b。
这个不等式表示，当a和b都是非负实数时，a的算术平均数大于等于b的几何平均数。
均值不等式的形式•均值不等式的证明方法有多种，其中一种是利用微积分中的积分函数。
设f(x)=x^2，则f'(x)=2x，令f'(x)=0，得x=0，则f(x)在x=0处取得极小值0。
因此，对于任意实数a和b（a≥0，b≥0），有√a≥b。
均值不等式的证明02均值不等式的性质算术平均数与几何平均数之间的关系：$AM \geq GM$均值的不等式性质：$\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$均值不等式的形式二次幂和不等式当且仅当a=b时，均值不等式取等号。
一次幂和不等式当且仅当a+b为定值时，均值不等式取等号。
均值不等式的条件算术平均数的几何意义：长度为a和b的两线段的中点。
几何平均数的几何意义：面积的算术平均数。
均值的几何意义03均值不等式的证明方法总结词微积分方法证明均值不等式是通过研究函数的单调性和极值，证明在不同情况下，变量的和至少等于其平均值。
详细描述首先，定义一个实值函数 $f(x)$，并设其最小值 $m$ 和最大值 $M$ 存在。
由极值定理可知，对任意 $x_1, x_2$ 有 $[f(x_1) + f(x_2)]/2 \geq m$。
由此得出，对任意正整数 $n$，都有 $[f(x_1) + f(x_2) + \ldots + f(x_n)]/n \geq m$利用微积分知识证明矩阵相乘的性质证明均值不等式是通过利用矩阵相乘的顺序无关性，将矩阵相乘转化为向量点积，再利用柯西不等式证明。
均值不等式
均值不等式及其应用一、 均值不等式的含义及成立的条件（一） 原型： ;2:22ab b a R b a ≥+∈，都有、对于任意的实数 .3,333abc c b a R c b a ≥++∈+都有：、、对于任意的正数（二） 均值不等式：任意n 个正数的算术平均值不小于这n 个正数的几何平均值两个数的均值不等式：若,a b R +∈，则2a b+a b =时成立）三个数的均值不等式：若,,a b c R +∈，则a b c ++≥a b c ==时成立） （等号仅当a b c ===d 时成立） （三）均值不等式常见的变形时取得最小值）为常数，则若时取得最小值）（注意当且仅当的最小值为，则常数若、、、对于任意的正数b a ((b a .22,122=≤=+=+≥+=∈+mm ab m b a m b a m b a m ab R c b a注意当且仅当若（注意当且仅当则常数、若c b a (c b a ,2===++==+=m c b a b a m abc3、几个常用不等式：① ab 2 ⎪⎝⎭233b c ++⎫⎪⎝⎭；③如果,a b R ∈≥2a b +2a b+（可以推广到n 的情形）【均值不等式的几何证明------用几何意义加深对不等式的理解】 （1）的几何意义ab b a 222≥+：如右图，不妨设0>>a b ，两个正方体的体积 之和为22b a +，两个矩形的面积之和为：ab 2 显然，这两部分面积之差ab b a 2-22+为图中 阴影部分面积..4,4abcd d c b a R d c b a ≥+++∈+都有：、、、对于任意 b(2)的几何意义ab ba ≥+2： 【其一】分析：设ab x =，其意义是什么？联想到圆幂定理：ab x =2如右图：设a AB =，b AC =，则a b BC -=，以BC 为直径作圆，切线AD 与圆相切于D 点，则有：AD=ab ，AO=2ba +（为什么？）. 显然，AD AO ≥ 【其二】原式即的几何意义）（ab b a ≥+22： 如右图，设a AC =，b AB =，中点为BC D ，则，2b a AD +=，正方形ADEF 的面积=22）（b a + 矩形ACHG 的面积= ab ，这两面积的差= MHNE S 矩形，（为什么？）即22）（b a +=ab +S 矩形（注意：CD EN S S 矩形=（3）如右图：设a AC =，则，2ba AD +=， 则222b a +而b a ）（22+这两个面积的差等于MNG S ∆即222b a +=22）（b a ++MNG S ∆（为什么？）ABCODFA BC D二、均值不等式的应用【适应性预备练习】1、课本P11练习1、2、32、课本P11习题1、2、3、4、6;2(4);(3);411)2( ;2211 ,322ab ba abab abb a )ba b)((a abb a R b a >+>+>++>++∈+）（）成立的是（则下列不等式中一定不、、设 zxyz xy z y x R z y x cba b a c a c b R c b a ++≥++∈≥+++++∈+222,2614求证：、、）已知：（，证明：、、）已知：、（ 【方法三种：均值不等式、构造函数的方法、配方法】（一）应用于证明不等式--------值不等式证之.1、 证明：log 5lg 42<(2)12222222444c b b a b a c b a R c b a ++++≥++∈）（、、、已知;(2) 4;))((13222c b a ac c b b a c b a c b a R a 、、b、c ++≥++≥++++∈+），求证：（、设9)111)(( (3)≥++++cb ac b a .8)1-1)(1-1)(1-1231,14≥≤++=++∈+cb ac b a c b a R a 、、b、）（；（）（求证：，若、设 9111 (3)≥++c b a ； ;31)4(222≥++c b a )(2,,5222zx yz xy z cb a y b ac x a c b R c b a R z y x ++≥+++++∈∈+求证：、、、、、若4171(4).225)b 1(b )1(3)( ;425)b 1)(b 1)(2( ;811111,0,0622≥+≥+++≥++≥++=+>>ab ab a a a a ab b a b a b a ）（，求证：、设【第（1）题方法：具有代表性，五种方法。
巧用均值不等式及其条件求最值
巧用均值不等式及其条件求最值(南京师范大学数学与计算机科学学院 张逸洁)均值不等式是高中阶段初等数学中最重要的基本不等式之一，在许多问题的解决中往往能发挥出它的独特功能，对于它及它各种变式的掌握和熟练运用也是求解很多与不等式有关的最值问题的重要方法。
本文将归纳介绍均值不等式在最值问题中的一些巧妙运用，希望能够开拓学生的思维，对高中生不等式的学习有所帮助。
一、均值不等式1．22,2,a b R ab ab ∈+≥、（当且仅当a=b 时取“=”）。
推论：,a b R a b +∈+≥、，（当且仅当a=b 时取“=”）。
2．变形，对a b R ∈、积向平方和转化：222a b a b +⋅≤。
对a b R ∈、积向和转化：2()2a b a b +⋅≤。
注：这里有“最值定理”： 若,,,x y R x y s xy p +⋅∈+==2()2x y xy +≥⇔≤则x+y 运用此定理求最值时必须具备“一正，二定，三相等”这三个条件。
3．333,3a b c Ra b c abc +∈++≥、、，（当且仅当a=b=c 时取“=”）推论：,a b c R a b c +∈++≥、、，（当且仅当a=b=c 时取“=”）4．变形：对3,()3a b c a b c R abc +++∈≤、、 方法小结：在运用均值不等式求正数和的最小值时，凑积为定值；求正数积的最大值时，凑和为定值。
二、巧用均值不等式求解最值问题在求解函数最值问题的过程中，我们通常运用不等式，函数单调性，数形结合等方法分析解答。
本文着重介绍均值不等式在求解此类问题中的妙用，旨在帮助读者系统归纳，拓展思维，灵活解题。
1． 连用例1：已知3222160,a b a b a b ab b-+>>-求的最小值。
解：32222222222161616166416()2a b a b a a a a b a b ab b ab b b a b a -+=+=+≥+=+≥+----（）216.64a b a ⎧⎧=⎪⎪∴⎨⎨==⎪⎪⎩⎩2b=a-b 当且仅当即a分析：有时利用均值不等式求最值时只用一次并不能解决问题，通常需要连用来巧求最值。
均值不等式的正确使用及例题
均值不等式的正确使用及例题利用不等式求最值，要注意不等式成立的条件、等号成立的条件以及定值的条件，初学不等式时容易用错，现通过比较来说明均值不等式的正确使用。
（一）均值不等式有许多变形式子，使用哪一个不等式要选准 均值不等式是指),(2+∈≥+R b a ab b a ，它的变形式子有2)2(b a ab +≤，222b a ab +≤，≤+2)(b a)(222b a +等。
由此可知，在求ab 的最大值时至少有两个不等式可供选择，那么选择哪一个更好呢？通过比较发现，若已知b a +是定值，求ab 的最大值可使用第一个不等式；若已知22b a +是定值，求ab 的最大值可用第二个不等式，若求b a +的最大值可用第三个不等式。
（二）使用均值不等式求最值，定值是前提例1. 已知正数a 、b 满足3222=+b a ，求12+b a 的最大值。
（三）连续使用不等式（连续放缩）求最值，等号必须同时成立例2. 已知0>>b a ，求)(42b a b a -+的最小值。
二. 均值不等式的应用（一）用于比较大小例1.若b a >1>，b a P lg lg ⋅=，)lg (lg 21b a Q +⋅=，2lg b a R +=，则（ ） A ．P R <Q <B. Q P <R <C. P Q <R <D. R P <Q < 例2.若)0(21>++=a aa p ，≤-=1(arccos t q )1≤t 则下列不等式恒成立的是（ ） A. q p >≥π B. 0≥>q p C. q p ≥>4 D. 0>≥q p（二）用于求取值范围例3. 若正数a 、b 满足3++=b a ab ，则ab 的取值范围是 。
（三）用于证明不等式例4. 已知i 、m 、n 是正整数，且<1n m i <≤，求证：.)1()1(m n n m +>+三. 均值不等式中等号不成立时最值的求法利用均值不等式求最值是高中数学中常用方法之一，应注意“一正二定三相等”。
均值不等式
均值不等式一．均值不等式一个重要的不等式：ab b a 222≥+（当且仅当b a =时，等号成立），用作差法可以证明。
均值不等式：如果+∈R b a ,，那么ab b a ≥+2。
当且仅当b a =时，等号成立。
二．最值定理1. 已知+∈R y x ,，则（1） 如果积xy 是定值p ，那么当y x =时，y x +有最小值p 2； （2） 如果和y x +是定值S ，那么当y x =时，xy 有最大值42S 。
. 2. 利用此公式求最值时，必须同时满足以下三个条件：（1）各项均为正数；（2）其和或积为常数；（3）等号必须成立。
“一正二定三相等”3. 应用此公式求最值时，还应该注意配凑和一定或积一定，进而用公式求解。
三．常用不等式：2222211a b a b ab a b++≥≥≥+（0,0>>b a ） 例题1. 不等式2≥+ba ab 成立的条件是（ ） A. R b R a ∈∈, B. b a ,非负 C. 0≠ab D. 0>ab2. 下列结论正确的是( )A. 当0>x 且1≠x 时，2lg 1lg ≥+x xB. 当0>x 时，21≥+xx C. 当2≥x 时，x x 1+的最小值为2 D. 当20≤<x 时，xx 1-无最大值 3. 若1>>b a ，b a P lg lg ⋅=,)2lg(),lg (lg 21b a R b a Q +=+=,则（ ） A. Q P R << B. R Q P << C. R P Q << D. Q R P <<4. 若实数b a ,满足2=+b a ，则b a 33+的最小值是（ ） A. 18 B. 6 C. 32 D. 4325. 已知点),(b a 在直线023=-+y x 上，则3273++=b a u 的最小值为（ ） A. 311 B. 323+ C. 6 D. 96. 已知2>x ，则当=x （ ）时，24-+x x 的最小值为（ ）。
第六章 第二节 均值不等式
(a， 同号且不为零 同号且不为零)． ≥ 2 ，b同号且不为零 ．
3．算术平均值与几何平均值 ． 设a>0，b>0，则a，b的算术平均值为 ， ， ， 的算术平均值为 值为 ，几何平均
(2009·湖北高考 围建一个面积为 湖北高考)围建一个面积为 湖北高考 围建一个面积为360m2的矩形场 利用的旧墙需维修)， 地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修 ， 要求矩形场地的一面利用旧墙 利用的旧墙需维修 其他三面围墙要新建， 其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度 的进出口， 已知旧墙的维修费用为45元 ， 为2 m的进出口，如图所示 已知旧墙的维修费用为 元/m， 的进出口 如图所示.已知旧墙的维修费用为 新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为 单位：m)， 元 设利用的旧墙长度为x(单位 新墙的造价为 设利用的旧墙长度为 单位： ， 修建此矩形场地围墙总费用为y(单位： 修建此矩形场地围墙总费用为 单位：元). 单位
的最大值； 的最大值；
(3)已知 ＞0，y＞0，且x＋y＝1，求 已知x＞ ， ＞ ， ＋ ＝ ， 已知
的最小值. 的最小值
[思路点拨 思路点拨] 思路点拨 (1)题可直接利用均值不等式，(2)、(3)题先配凑利用均值 (1)题可直接利用均值不等式，(2)、(3)题先配凑利用均值 题可直接利用均值不等式 不等式的条件． 不等式的条件．
[特别警示 证明不等式时要注意灵活变形，多次利用基 特别警示] 证明不等式时要注意灵活变形， 特别警示 本不等式时，要注意每次等号是否都成立，同时也要注意 本不等式时，要注意每次等号是否都成立， 基本不等式的变形形式的应用. 基本不等式的变形形式的应用
【最新精选】应用均值不等式时需注意的几个问题
均值不等式是不等式的重要内容之一，常常用来求函数的最值。
在应用其求最值的时候必须注意成立的条件，否则就会走入种种误区从而导致解题错误。
关键词：均值不等式；注意；问题不等式是历年高考中必不可少的内容,而均值不等式是不等式中的重要内容之一。
均值不等式常常用来求函数的最值。
在应用均值不等式时，需注意同时满足以下三个条件：（1）各项均为正数；（2）和或积为定值；（3）具有等号成立的条件；（即一正二定三等）。
忽视以上条件必然导致解题的错误。
现举例加以说明：一、忽视了均值不等式成立的前提条件，导致解题错误例1 求函数y=的最值[错解] 当x=0时，y=0当x≠0时，y=≤=(即当x=时)=,y没有最小值y[分析] x≠0时，x可能大于零，也可能小于零，则x,可能同正，也可能同负，而此解法只考虑了x大于零的情况，即忽视了均值不等式成立的前提条件——各项均为正数，从而导致解题错误。
[正解] 当x=0时，y=0当x≠0时，===当且仅当=即x=2时等号成立y=- y=二、忽视了均值不等式定值的选取，造成解题用均值不等式求函数的最值时要注意构造出定值关系，首先应分清楚是求和式的最值还是求积式的最值，然后构造出相应积（和）的定值。
若未构造出定值来，则容易造成解题的错误。
同时还应记住，若和为定值，则积有最大值，若积为定值，则和有最小值。
例2 求函数y=x+(x大于零)的最小值2=2[错解] ∵x+当且仅当x=即当x=2时上式中等号成立∴ x+2=4∴当x=2时，y=4[分析] x=不是定值，所以不能直接应用均值不等式。
[正解] 为了利用均值不等式，就要出现定植，所以要先进行适当的“凑，配”：=++3=3y=x+当且仅当=即当x=2时，y=3三、忽视了等号成立的条件，导致解题错误例3 求函数y=的最小值[错解] y==++ 2y 2故此函数的最小值为22中的等号要成立，必须满足=[分析] +即x+4=1,即x= — 3，没有实数解，故不能取得最小值2。
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均值不等式使用条件
均值不等式是数学中的一种基本不等式，它在许多领域都得到广
泛应用。
使用均值不等式时，需要满足一定的条件，才能保证得到正
确的结果。
首先，均值不等式通常用于求解一组数的平均值大小，因此所求
的数必须是实数。
其次，均值不等式分为算术均值不等式、几何均值
不等式和调和均值不等式三种形式。
在使用不同形式的均值不等式时，要注意所求数的性质和要求的结果。
此外，在使用均值不等式时，需要满足一定的条件，比如所求的
数必须为非负数，或者必须满足某些大小关系等。
例如，对于算术均
值不等式，要求所求数为非负数，因为算术均值只有在非负数情况下
才有意义。
最后，要注意不等式的方向。
均值不等式通常是左边的表达式大
于等于右边的表达式，但有时也会相反。
因此，在使用不等式时，要
注意其正确的方向，以便得到正确的结果。
总之，均值不等式使用条件包括数的类型、均值类型、数的性质
和大小关系以及不等式的方向等。
只有满足这些条件，才能正确地使
用均值不等式，得到正确的结果。