数学模型复习题

数学模型复习题(总10页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--2数学模型复习题1、)(t x 为连续函数，初值条件0)0(x x =，假设其增长率为常数r ，显然有t t rx t x t t x ∆=-∆+)()()(，则其满足微分方程 ；微分方程满足初值条件的解为 ；这个模型称为 。

2、叙述数学建模的一般步骤模型准备、模型假设、模型构成、模型求解、模型分析、模型检验、模型应用3、简述数学模型按以下方面的分类：按应用领域可分为：人口、交通、能源、环境、经济、规划等等； 按建立模型的数学方法可分为：初等数学模型、几何模型、微分方程模型、统计回归模型、数学规划模型等等；按模型的表现特征可以分为：确定性和随机性、线性和非线性、静态和动态、连续与离散等等4、在超市购物时你可能注意到大包装商品比小包装商品便宜，比如中华牙膏65g 每支元，120g 每支元，二者单位重量的价格比约为：1。

（1）分析商品单位重量价格C 与商品重量w 的关系。

价格由生产成本、包装成本和其他成本所决定，这些成本中有的与体积成正比、有的与表面积成正比、有的与体积（重量w ）无关。

（2）给出单位重量价格C 与w 的关系，画出它们的简图。

说明w 越大C 越小，但是随着w 的增加C 减小的速度变慢，解释其意义是什么？5、2005级新生入学后，统计与应用数学学院共有在校学生1050人，其中统计学专业600人，信息与计算科学专业400人，数学与应用数学专业503人。

要在全院推选23名学生组成学生代表团，试用下面的方法分配各专业的学生代表：（1）按比例分配取整的方法，剩下的名额按惯例分配给小数部分较大者；（2）用Q 值方法进行分配6、工厂定期订购原料，存入仓库供生产之用。

设在一个生产周期T 内，原料每天的需求量为常数r ，每次的定货费用为1c ，每天每单位原料的存储费为2c ，订货后可立即到货，每次订货量为Q 。

（1）建立一周期的总费用函数（包括订货费与库存费，购货费是常数可不予考虑）；（2）为使每天的平均费用最小，求最佳订货批量Q 、订货周期T 和最小成本C 。

7、一饲养场每天投入4元资金用于饲料、设备、人力，估计可使一头80公斤重的生猪每天体重增加2公斤。

目前生猪的出售价格为每公斤8元，但是预测价格每天降低元。

（1）问该饲养场应该在什么时候出售这样的生猪最划算？（2）在最佳出售时机的价格之下，作体重增加关于时间的弹性分析，并对弹性分析作出相应的解释；（3）在最佳出售时机的价格之下，作价格的降低关于时间的弹性分析，并对弹性分析作出相应的解释；8、利润)(p U 是销售收入)(p I 与生产支出)(p C 之差，p 为每单位商品的售价，即)()()(p C p I p U -=。

dpdI称为 ；dp dC 称为 ；dpdU称为 ；利润最大化的条件是 。

4给定px p I =)(，qx p C =)(，需求函数bp a p x -=)(，0,,>q b a 已知 （1）建立利润函数的表达式；（2）利用上述条件求利润最大化时的价格。

9、消费者对甲、乙两种商品的效用曲线（无差异曲线）),(21q q U ，问他如何利用手中的钱s 购买两种单价分别为1p 和2p 的商品以达到效用最大。

（1）建立效用最大化的数学规划模型；（2）利用Lagrange 乘数法求出利润最大化的条件，并对结果进行解释。

10、某公司用木头雕刻士兵模型出售。

公司的两大主要产品分别是“盟军”和“联军”士兵，每件利润分别是28美元和30美元。

制作一个“盟军”士兵需要使用2张木版，花费4小时的木工，再经过2小时的整修；制作一个“联军”士兵需要使用3张木版，花费小时的木工，再经过3小时的整修。

该公司每周能得到100张木版，可供使用的木工（机器时间）为120小时，整修时间为90小时。

（1）确定每种士兵的生产数量，使得每周的利润最大，建立线性规划问题的数学模型。

（2）对于你建立的线性规划模型，利用求解结果如下：请你进行对偶价格分析和进行全面的灵敏度分析（目标函数的系数和约束条件右断的常数项），并作出解释。

LP OPTIMUM FOUND AT STEP 1 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1)VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 X2ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 3) 4) NO. ITERATIONS= 1RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:OBJ COEFFICIENT RANGESVARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLECOEF INCREASE DECREASEX1X2RIGHTHAND SIDE RANGESROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLERHS INCREASE DECREASE2 INFINITY3411、牧场主知道，对于一匹体型中等的马来说，最低的营养需求为：40磅蛋白质、20磅碳水化合物、45磅粗饲料，这些营养成分是从不同的饲料中对于你建立的线性规划模型，利用求解结果如下：请你进行对偶价格分析和进行全面的灵敏度分析（目标函数的系数和约束条件右断的常数项），并作出解释。

LP OPTIMUM FOUND AT STEP 3OBJECTIVE FUNCTION VALUE1)VARIABLE VALUE REDUCED COSTX1X2X3X4ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES2)3)4)56NO. ITERATIONS= 3RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:OBJ COEFFICIENT RANGESVARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1X2 INFINITY X3X4 INFINITYRIGHTHAND SIDE RANGESROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 INFINITY 3 412、用)(t x 和)(t y 分别表示甲乙交战双方时刻t 的兵力（人数），每一方的战斗减员率取决于双方的兵力和战斗力,分别为),(),,(y x g y x f ；每一方的非战斗减员率（由疾病、逃跑等因素引起）只与本方的兵力成正比；甲乙双方的增援率是给定的时间的函数，分别为)(),(t v t u 。

则兵力变化的微分方程为：⎪⎩⎪⎨⎧+--=+--=)(),()(),(t v y y x g dtdyt u x y x f dt dxβα 根据以下条件，求出甲乙兵力的函数，分析甲、乙方获胜的条件。

正规战争：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=-=00)0(,)0(y y x x bx dtdyay dt dx游击战争：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=-=00)0(,)0(y y x x dxy dtdycxy dt dx7混合战争：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=-=00)0(,)0(y y x x bx dtdycxy dt dx13、在经济增长模型中，为了适用于不同的对象，可将产量函数折算成现金，考虑到物价上涨因素，我们记物价上升指数为)1)0()((=p t p ，则产品的表面价值)(t y 、实际价值)(t Q 和物价指数)(t p 之间有关系)()()(t p t Q t y =。

（1）导出)(),(),(t p t Q t y 的相对增长率之间的关系，并作出解释； （2）设雇佣工人数为)(t L ，每个工人的工资)(t w ，其他成本)(t C 企业的利润函数为)()()()()()()()()()(t C t w t L t p t Q t C t w t L t y t R --=--=根据Cobb —Douglas 生产函数)()()(1t k t aL t Q r r -=讨论，企业应雇佣多少工人可使利润最大？14、记时刻t 渔场中的鱼量为)(t x ，在无捕捞的条件下)(t x 的增长服从Logistic 规律⎪⎭⎫ ⎝⎛-=N x rx dx dx 1其中r 是固有增长率，N 是环境容许的最大鱼量。

解这个微分方程满足初值条件0)0(x x =，并解释何时鱼量达到最大？15、Volterra 食饵—捕食者模型⎪⎩⎪⎨⎧+-=-=)()(bx d y dtdyay r x dt dx（1）消去dt 后，化为关于y x ,的微分方程；8（2）分离变量，求解上述微分方程并进行化简； （3）解释食饵—捕食者两类生物数量变化的规律。

16、叙述层次分析法的基本步骤17、用层次分析法解决一个实际问题，建立合理的层次结构，并给出层次结构中所有关系的判别矩阵。

（不必求解）18、试用和法求下列正互反矩阵的最大特征值与对应的权重。

计算一致性指标CI ，根据3阶判断矩阵的随机性一致指标为58.0=RI ，计算一致性比率CR 并作一致性检验。

⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=12/15/1212/1521A ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1383/1138/13/11A ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=12/14/1213/1431A19、已知6支球队循环比赛的邻接矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=000100100100110000001011111000111010A （1）画图用箭头表示的这6个球队的胜负关系；（2）根据矩阵的乘法，算出各级得分向量，并按名次高低排除顺序 已知4支球队循环比赛的邻接矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0001100011000110A （1）画图用箭头表示的这6个球队的胜负关系； （2）根据矩阵的乘法，算出各级得分向量，并按名次高低排除顺序 已知5支球队循环比赛的邻接矩阵9⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0100000011110101000110100A （1）画图用箭头表示的这6个球队的胜负关系；（2）根据矩阵的乘法，算出各级得分向量，并按名次高低排除顺序 20、有n 个工人，他们的生产是相互独立的，生产周期是常数，n 个工作台均匀排列；每个工人生产出一件产品的时刻在一个周期内是等可能的；在一个周期内有m 个钩子通过每一个工作台上方，钩子均匀排列，到达第一个工作台上方的钩子都是空的；每个工人在任何时候都能触到一只钩子，也只能触到一只钩子，于是他在生产出一件产品的瞬间，如果他能触到的那只钩子是空的，则可将产品挂上带走；如果那只钩子非空，则他只能将这件产品放在地上，永远退出这个系统。

（1）证明：任一个钩子非空的概率为nm p ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111；（2）计算这个传送系统的传送率21、报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有卖掉的报纸退回。