几类时滞微分方程的分支分析
时滞微分方程的稳定性和Hopf分岔分析
时滞微分方程的稳定性和Hopf分岔分析时滞微分方程是一类具有历史信息的微分方程，在许多实际问题中都有广泛的应用。
由于它们具有与常微分方程不同的特性，因此对它们的稳定性和分岔现象的研究具有重要意义。
本文将介绍时滞微分方程的稳定性和Hopf分岔分析。
首先，我们来看一般形式的时滞微分方程：$$\frac{dx}{dt} = f(x(t),x(t-\tau)),$$其中$x(t)$表示未知函数，$f(x(t),x(t-\tau))$表示给定的函数。
这种方程中的时滞项$x(t-\tau)$表示历史信息，它反映了系统过去的状态对当前状态的影响。
因此，时滞微分方程的稳定性与时延参数$\tau$密切相关。
稳定性是研究时滞微分方程解的一个重要问题。
通常，我们关注的是解在$t\rightarrow \infty$时的行为。
当方程的解趋于有限值或周期解时，我们称之为稳定解。
反之，如果解在$t\rightarrow \infty$时发散或趋向于无穷大，我们称之为不稳定解。
稳定性的判断方法主要有两种：线性稳定性和非线性稳定性。
线性稳定性是通过线性化时滞微分方程来判断原方程解的稳定性。
首先，我们要找到系统的平衡点$x^*$，即满足$f(x^*,x^*-\tau)=0$的点。
然后，我们将方程在$x^*$附近展开成泰勒级数，保留一阶项，即$$\frac{dx}{dt} = f(x^*,x^*-\tau) +\frac{df}{dx}\bigg|_{x=x^*}(x-x^*),$$其中$\frac{df}{dx}\bigg|_{x=x^*}$表示$f$对$x$的偏导数在$x=x^*$处的值。
线性稳定性的判断依据是线性化方程的特征值。
如果所有特征值的实部都小于零，则认为解是稳定的。
反之，如果存在特征值的实部大于零，则解是不稳定的。
非线性稳定性是通过对解的特性方程进行分析来判断的。
特性方程的形式为$$\lambda + \frac{df}{dx}\bigg|_{x=x^*} = 0.$$我们将其写成复数形式$\lambda = \alpha + i\omega$，其中$\alpha$表示实部，$\omega$表示虚部。
几类时滞微分方程解的振动性和正解存在性的开题报告
几类时滞微分方程解的振动性和正解存在性的开题报告时滞微分方程（Delay Differential Equations，DDE）是一种具有时滞项的微分方程，其解的振动性和正解存在性是研究时滞微分方程的重要问题之一。
本文将介绍几类时滞微分方程解的振动性和正解存在性的研究情况。
1. 时滞线性微分方程时滞线性微分方程是一种常见的时滞微分方程形式。
对于具有时滞项的线性微分方程，可以通过矩阵指数函数的方法得到其正解存在性，并进一步确定其解的振动性。
研究表明，当时滞项小于一定值时，时滞线性微分方程的解为渐近稳定的；当时滞项在一定范围内时，时滞线性微分方程的解会出现振荡；当时滞项超过一定值时，时滞线性微分方程的解将变得不稳定。
2. Michaelis-Menten型时滞微分方程Michaelis-Menten型时滞微分方程是一种具有广泛应用的时滞微分方程形式。
研究表明，在一定参数范围内，Michaelis-Menten型时滞微分方程的解存在且唯一，并且解的振动性是有限的。
此外，当时滞项的大小超过一定值时，该方程解将趋于无穷大。
3. Hopfield型神经网络模型Hopfield型神经网络模型是模拟神经网络的常用模型之一，也是一种具有时滞项的微分方程。
研究表明，在一定条件下，Hopfield型神经网络模型的解存在唯一，并且解的振动性也是有限的。
此外，当时滞项的大小超过一定值时，该方程解将趋于发散。
4. Logistic型时滞微分方程Logistic型时滞微分方程是一种描述种群生长和传染病传播的时滞微分方程形式。
研究表明，在一定参数范围内，Logistic型时滞微分方程的解存在唯一，并且解的振动性也是有限的。
此外，当时滞项的大小超过一定值时，该方程解将趋于无穷大或消失。
综上所述，时滞微分方程的解的振动性和正解存在性受时滞项大小和模型参数等因素影响。
研究时滞微分方程解的振动性和正解存在性对于深入理解时滞微分方程模型的特性，有助于应用时滞微分方程模型解决实际问题。
两类时滞微分方程的周期解与Hopf分支的开题报告
两类时滞微分方程的周期解与Hopf分支的开题报告一、研究背景时滞微分方程在众多自然科学和工程学科中都有着广泛的应用。
而周期解则是时滞微分方程中最重要的解之一，在自振、周期性现象等领域中有着广泛的应用。
因此，研究时滞微分方程的周期解及其Hopf分支成为一个热门问题。
二、问题描述本文探讨了两类时滞微分方程的周期解及其Hopf分支的问题。
具体而言，分别考虑了以下两类时滞微分方程：(1) dx(t)/dt = f(x(t))-g(x(t-T))(2) dx(t)/dt = f(x(t))-g(x(t-T))-h(x(t-2T))其中，f(x)，g(x)，h(x)为实值函数，T为正实数。
对于这两类时滞微分方程，我们的研究目标是求出它们的周期解及Hopf分支，以及分析它们的稳定性。
三、研究方法本文采用了多个方法来研究上述两类时滞微分方程的周期解及Hopf 分支。
具体而言，采用了变参数法、中心流形理论、极小曲线理论等方法来进行分析。
其中，变参数法主要用于求出周期解的存在性；中心流形理论主要用于研究Hopf分支的性质；极小曲线理论主要用于分析周期解的稳定性。
四、研究结论通过对上述两类时滞微分方程的研究，我们得出了以下结论：(1) 对于第一类时滞微分方程，当特定条件满足时，它存在唯一的正周期解，并且在Hopf分支处它的周期解失稳。
(2) 对于第二类时滞微分方程，当特定条件满足时，它存在唯一的正周期解和负周期解。
在Hopf分支处，正周期解和负周期解分别失稳，并且存在一个新的周期解。
五、研究意义本文对两类时滞微分方程的周期解及Hopf分支进行了深入的研究，这对于进一步理解和探索时滞微分方程的动力学特性具有重要意义。
同时，在自振、周期性现象等领域中，周期解及其Hopf分支也具有广泛的应用价值。
具双 Allee 效应的时滞捕食系统的余维3 分支分析
具双 Allee 效应的时滞捕食系统的余维3 分支分析作者：焦建锋陈灿来源：《华东师范大学学报（自然科学版）》2022年第02期摘要：通過推广使用泛函微分方程的中心流形定理和规范型理论，一类具有时滞和Allee 效应的捕食系统的高余维分支问题被研究.首先，给出了正平衡点及余维3分支在此点处存在的充分条件.然后，推导出了系统在该正平衡点处的开拆规范型.最后，由规范型与原系统的拓扑等价性分析出原系统在正平衡点处出现的分支现象.关键词：捕食系统; 时滞; 三重零分支;Allee 效应中图分类号： O175.12 文献标志码： ADOI： 10.3969/j.issn.1000-5641.2022.02.004Codimension 3 bifurcation of a delayed predator-prey system with double Allee effectJIAO Jianfeng， CHEN Can（School of Mathematics， Zhengzhou University of Aeronautics， Zhengzhou 450046，China）Abstract： By generalizing and using the normal form theory and center manifold theorem of delay differential equations， a class of high-codimension bifurcation problems of predator-prey systems with delay and Allee effect are investigated. Firstly， sufficient conditions for the existence of the positive equilibrium and the codimension 3 bifurcation at this positive equilibrium are established. Subsequently， the normal form of the system at the positive equilibrium is deduced. Finally， from the topological equivalence of the normal form and the original system， the bifurcation phenomenon of the original system at the positive equilibrium is analyzed.Keywords： predator-prey system; delay; triple-zero bifurcation; Allee effect0 引言时滞、非线性和噪声是造成动力系统复杂性的3 大主要原因[1]. 本文主要考虑了一类具时滞和 Allee 效应的非线性捕食系统的高余维分支问题. 捕食系统被提出以来，便受到国际学者的广泛研究，至今仍属热点问题之一[2-4].生态学家 Allee 在研究过程中发现，大种群和适度的拥挤会促进种群的繁殖，有利于物种在不利环境中的生存.这种现象被 Stephens 等[5]给出了明确的定义：同种的个体数量或种群密度与个体适合度的任何方面之间呈正相关关系，并命名为 Allee 效应. 这种现象（Allee 效应）自 2000年以来，在细菌、动植物等方面有着广泛的应用[5-7]. 但大多数学者在研究过程中考虑的是单重 Allee 效应，而自然界中造成 Allee 效应的因素很多：在低种群密度下，物种寻找配偶困难，受精率低，进而降低繁殖率;或是受到天敌的攻击时，物种的存活率降低等. 例如，当具有较小的越冬种群时，帝王蝶将遭受多重代价：春季配偶的缺失，被捕食者猎杀的风险变大以及防寒保护作用降低等[8]. 当种群规模较小时，沙漠大角羊群体由于警惕性降低，会遭受更高的捕食风险，进而由于该物种的稀有性，它也会成为猎人捕猎的主要目标[9]. 因此，多重 Allee 效应（双 Allee 效应）是研究种群之间相互作用的重要因素. 这表明一个种群同时可能会遭受2 个或更多个不同机制的 Allee 效应的影响，即构建模型时需要考虑多重 Allee 效应.实际上， Allee 效应意味着某个生物种群的有效增长率总是在中间达到最大值. 在数学上这种被捕食种群中的 Allee 效应经常被描述成如下形式dx rx （1− ）（1− ）≜ g（x）.式中：参数n0能够影响g（x）函数图像的形状，进而量化 Allee 效应的强度.且该方程也可化为如下形式（1）式（1）中：被捕食者种群的内禀增长率受到2 个 Allee 效应的影响，x − m0 （m0 >0）表示强 Allee 效应;双曲函数表示其他影响被捕食者内禀增长率的外部因素. 当x > m0时，被捕食者的增长率函数 f （x）= （1− ）（x − m0）> 0; 当 x < m0时，增长率函数 f （x）= （1− ）（x − m0）< 0. 表示由其他生物学机制产生的 Allee 效应， n0刻画了这种 Allee 效应的强度.其他参数均为正常数，其生物学意义见文献[10].此外，时滞现象也是捕食系统经常需要考虑的重要因素，如被捕食者在进食后需要消耗一定的时间才能转化为自身的生长，捕食者在猎杀被捕食者之后，也需要经过一定的时间才能完全消化转化为自身的生长等. 因此，本文主要考虑如下具有双重 Allee 效应的时滞捕食系统式（2）中： K表示最大环境容纳量; c 表示捕食者的捕获率;ϱ表示半捕获饱和常数; c1表示被捕食者转化成捕食者的生物量的转化率; d 表示捕食者的死亡率.接下来，通过引入变换（x， y， t）= （K ，，），系统（2）可无量纲化为式（3）中：ϑ= ;α = ;γ = ;δ = ; m = .下面将重点讨论系统（3）的余维3 分支的规范型推导问题. 实际上，余维3分支至今仍是动力系统领域考虑的重点问题之一[11-13].1 三重零奇点及其分支条件的存在性首先对系统（3）进行如下3 个假设：假设（H1） m >1，0< α< ;假設（H2）ϑ0 = ;假设（H3）δ =δ0 = ，τ= τ0 = .注假设（H1）保证了系统（3）的平衡点 E∗在生物学上是有意义的，即是正平衡点.假设（H2）保证了系统（3）具有一个唯一的正平衡点 E∗; 假设（H3）保证了系统（3）会发生三重零分支.系统（3）的平衡点如引理1 所示.引理1 系统（3）平衡点的分布情况为：1）系统（3）总是有2 个半平凡平衡点 E1（γ， 0）和E2（1， 0）;2）若假设（H1）、（H2）成立，则系统（3）只有一个正平衡点E∗ =（x0， y0），其中x0 = ， y0 =（m −1）x0.证明结论1）显然成立，在此不作证明. 主要来证明 2）.由系统（3）的第2 个方程知 y =（m −1）x，代入第1 个方程得解得式中∆ =−4mα（m −1）ϑ+m2γ2 −2m （mα+m −α）γ +（mα− m −α）2. 因此得到了2 个平衡点 E （x1， y1）， E （x2， y2），式中 i =1， 2. 令∆ =0，则ϑ =ϑ0 = ，即（H2）成立，则系统yi = （m −1）xi ，（3）只有一个平衡点 E∗ =（x0， y0）= （，（m −1）x0）.从生物学角度来讲，需要在第一象限来考虑系统（3）的解，即x0 >0， y0 >0 .因此，需满足假设（H1）. 证毕.系统（3）在正平衡点 E∗处的线性系统如下其特征方程为式（4）中：n1 =− ， n2 = .由特征方程（4）得如下引理.引理2 若假设（H1）、（H2）成立，且假设（H3）也成立，则λ= 0是系统（4）在正平衡点 E∗处的三重零根.证明如果Γ（λ）满足Γ（0）= Γ′（0）= Γ′′（0）= 0，Γ′′′（0） 0，则方程（4）有三重零根，即δ =δ0 = ，τ= τ0 = ，这就是（H3）成立.证毕.下证特征方程（4）除具有三重零根外无其他零实部的根.设λ= iω（ω 0）是方程（4）的根，可得 n2cos（ωτ）=−n1， n2sin（ωτ）=ω，故ω2 = n − n = .若假设（H3）成立，则δ =δ0 = ，得ω= 0，矛盾.因此，系统（4）无其他零实部的根. 综上所述可得如下定理.定理1 若假设（H1）−（H3）成立，则系统（2）在正平衡点 E∗处经历三重零分支.2 三重零分支的规范型计算本章主要进行系统（3）三重零分支规范型的计算. 选择ϑ、δ和τ为分支参数，令（ϑ，δ，τ） =（ϑ0+ λ1，δ0+ λ2，τ0+ λ3），其中（λ1，λ2，λ3）在原点（0， 0， 0）附近充分小 .对系统（3）做时间尺度变换 t = 可得通过推广使用文献[14]的思路，要想推导系统（3）在平衡点 E∗处的规范型，需要将微分方程λ_1 =0 加入系统（5）中，因此需要研究如下三维系统的三重零分支：式（6）中： O（|zt|3）表示高阶无穷小项; zt = （x（t）， y（t），λ1）T ∈ R3; z（t+θ）= φ（θ）;φ =（φ1，φ2，λ1）T ∈ C3 =C（[−τ， 0]; R3）; C（[−τ， 0]; R3）表示从[−τ，0]到 R3上具有上确界范数的连续映射构成的巴拿赫空间，且式（7）中：系统（6）在原点处对应的线性系统为（8）因此，该线性系统对应的特征矩阵为接下来推导系统（8）的广义特征空间 P 及其对偶空间 P∗的基矩阵Φ（θ）和Ψ（s）. 根据文献[15]，知Φ（θ）和Ψ（s）计算方法如下式中： u1 ， u2 ， u3 ， u4 是如下线性方程的解Ψ（s）= col（ψ1（s），ψ2（s），ψ3（s），ψ4（s））= col （v1 − sv2+ v3 − v4 ，v2 − sv3+ v4 ，v3 − sv4 ， v4）， 0⩽ s ⩽1.此外，时滞现象也是捕食系统经常需要考虑的重要因素，如被捕食者在进食后需要消耗一定的时间才能转化为自身的生长，捕食者在猎杀被捕食者之后，也需要经过一定的时间才能完全消化转化为自身的生长等. 因此，本文主要考虑如下具有双重 Allee 效应的时滞捕食系统式（2）中： K表示最大环境容纳量; c 表示捕食者的捕获率;ϱ表示半捕获饱和常数; c1表示被捕食者转化成捕食者的生物量的转化率; d 表示捕食者的死亡率.接下来，通过引入变换（x， y， t）= （K ，，），系统（2）可无量纲化为式（3）中：ϑ= ;α = ;γ = ;δ = ; m = .下面将重点讨论系统（3）的余维3 分支的规范型推导问题. 实际上，余维3分支至今仍是动力系统领域考虑的重点问题之一[11-13].1 三重零奇点及其分支条件的存在性首先对系统（3）进行如下3 个假设：假设（H1） m >1，0< α< ;假设（H2）ϑ0 = ;假设（H3）δ =δ0 = ，τ= τ0 = .注假设（H1）保证了系统（3）的平衡点 E∗在生物学上是有意义的，即是正平衡点.假设（H2）保证了系统（3）具有一个唯一的正平衡点 E∗; 假设（H3）保证了系统（3）会发生三重零分支.系统（3）的平衡点如引理1 所示.引理1 系统（3）平衡点的分布情况为：1）系统（3）总是有2 个半平凡平衡点 E1（γ， 0）和E2（1， 0）;2）若假设（H1）、（H2）成立，则系统（3）只有一个正平衡点E∗ =（x0， y0），其中x0 = ， y0 =（m −1）x0.证明结论1）显然成立，在此不作证明. 主要来证明 2）.由系统（3）的第2 个方程知 y =（m −1）x，代入第1 个方程得解得式中∆ =−4mα（m −1）ϑ+m2γ2 −2m （mα+m −α）γ +（mα− m −α）2. 因此得到了2 个平衡点 E （x1， y1）， E （x2， y2），式中 i =1， 2. 令∆ =0，则ϑ =ϑ0 = ，即（H2）成立，则系统yi = （m −1）xi ，（3）只有一个平衡点 E∗ =（x0， y0）= （，（m ?1）x0）.从生物学角度来讲，需要在第一象限来考虑系统（3）的解，即x0 >0， y0 >0 .因此，需满足假设（H1）. 证毕.系统（3）在正平衡点 E∗处的线性系统如下其特征方程为式（4）中：n1 =− ， n2 = .由特征方程（4）得如下引理.引理2 若假设（H1）、（H2）成立，且假设（H3）也成立，则λ= 0是系统（4）在正平衡点 E∗处的三重零根.证明如果Γ（λ）满足Γ（0）= Γ′（0）= Γ′′（0）= 0，Γ′′′（0） 0，则方程（4）有三重零根，即δ =δ0 = ，τ= τ0 = ，这就是（H3）成立.证毕.下证特征方程（4）除具有三重零根外无其他零实部的根.设λ= iω（ω 0）是方程（4）的根，可得 n2cos（ωτ）=−n1， n2sin（ωτ）=ω，故ω2 = n − n = .若假设（H3）成立，则δ =δ0 = ，得ω= 0，矛盾.因此，系统（4）无其他零实部的根. 综上所述可得如下定理.定理1 若假设（H1）−（H3）成立，则系统（2）在正平衡点 E∗处经历三重零分支.2 三重零分支的规范型计算本章主要进行系统（3）三重零分支规范型的计算. 选择ϑ、δ和τ为分支参数，令（ϑ，δ，τ） =（ϑ0+ λ1，δ0+ λ2，τ0+ λ3），其中（λ1，λ2，λ3）在原点（0， 0， 0）附近充分小 .对系统（3）做时间尺度变换 t = 可得通过推广使用文献[14]的思路，要想推导系统（3）在平衡点 E∗处的规范型，需要将微分方程λ_1 =0 加入系统（5）中，因此需要研究如下三维系统的三重零分支：式（6）中： O（|zt|3）表示高阶无穷小项; zt = （x（t）， y（t），λ1）T ∈ R3; z（t+θ）= φ（θ）;φ =（φ1，φ2，λ1）T ∈ C3 =C（[−τ， 0]; R3）; C（[−τ， 0]; R3）表示从[−τ，0]到 R3上具有上确界范数的连续映射构成的巴拿赫空间，且式（7）中：系统（6）在原点处对应的线性系统为（8）因此，该线性系统对应的特征矩阵为接下来推导系统（8）的广义特征空间 P 及其对偶空间 P∗的基矩阵Φ（θ）和Ψ（s）. 根据文献[15]，知Φ（θ）和Ψ（s）计算方法如下式中： u1 ， u2 ， u3 ， u4 是如下线性方程的解Ψ（s）= col（ψ1（s），ψ2（s），ψ3（s），ψ4（s））= col （v1 − sv2+ v3 − v4 ，v2 − sv3+ v4 ，v3 − sv4 ， v4）， 0⩽ s ⩽1.此外，时滞现象也是捕食系统经常需要考虑的重要因素，如被捕食者在进食后需要消耗一定的时间才能转化为自身的生长，捕食者在猎杀被捕食者之后，也需要经过一定的时间才能完全消化转化为自身的生长等. 因此，本文主要考虑如下具有双重 Allee 效应的时滞捕食系统式（2）中： K表示最大环境容纳量; c 表示捕食者的捕获率;ϱ表示半捕获饱和常数; c1表示被捕食者转化成捕食者的生物量的转化率; d 表示捕食者的死亡率.接下来，通过引入变换（x， y， t）= （K ，，），系统（2）可无量纲化为式（3）中：ϑ= ;α = ;γ = ;δ = ; m = .下面将重点讨论系统（3）的余维3 分支的規范型推导问题. 实际上，余维3分支至今仍是动力系统领域考虑的重点问题之一[11-13].1 三重零奇点及其分支条件的存在性首先对系统（3）进行如下3 个假设：假设（H1） m >1，0< α< ;假设（H2）ϑ0 = ;假设（H3）δ =δ0 = ，τ= τ0 = .注假设（H1）保证了系统（3）的平衡点 E∗在生物学上是有意义的，即是正平衡点.假设（H2）保证了系统（3）具有一个唯一的正平衡点 E∗; 假设（H3）保证了系统（3）会发生三重零分支.系统（3）的平衡点如引理1 所示.引理1 系统（3）平衡点的分布情况为：1）系统（3）总是有2 个半平凡平衡点 E1（γ， 0）和E2（1， 0）;2）若假设（H1）、（H2）成立，则系统（3）只有一个正平衡点E∗ =（x0， y0），其中x0 = ， y0 =（m −1）x0.证明结论1）显然成立，在此不作证明. 主要来证明 2）.由系统（3）的第2 个方程知 y =（m −1）x，代入第1 个方程得解得式中∆ =−4mα（m −1）ϑ+m2γ2 −2m （mα+m −α）γ +（mα− m −α）2. 因此得到了2 个平衡点 E （x1， y1）， E （x2， y2），式中 i =1， 2. 令∆ =0，则ϑ =ϑ0 = ，即（H2）成立，则系统yi = （m −1）xi ，（3）只有一个平衡点 E∗ =（x0， y0）= （，（m −1）x0）.从生物学角度来讲，需要在第一象限来考虑系统（3）的解，即x0 >0， y0 >0 .因此，需满足假设（H1）. 证毕.系统（3）在正平衡点 E∗处的线性系统如下其特征方程为式（4）中：n1 =− ， n2 = .由特征方程（4）得如下引理.引理2 若假设（H1）、（H2）成立，且假设（H3）也成立，则λ= 0是系统（4）在正平衡点 E∗处的三重零根.证明如果Γ（λ）满足Γ（0）= Γ′（0）= Γ′′（0）= 0，Γ′′′（0） 0，则方程（4）有三重零根，即δ =δ0 = ，τ= τ0 = ，这就是（H3）成立.证毕.下证特征方程（4）除具有三重零根外无其他零实部的根.设λ= iω（ω 0）是方程（4）的根，可得 n2cos（ωτ）=−n1， n2sin（ωτ）=ω，故ω2 = n − n = .若假设（H3）成立，则δ =δ0 = ，得ω= 0，矛盾.因此，系统（4）无其他零实部的根. 综上所述可得如下定理.定理1 若假设（H1）−（H3）成立，则系统（2）在正平衡点 E∗处经历三重零分支.2 三重零分支的规范型计算本章主要进行系统（3）三重零分支规范型的计算. 选择ϑ、δ和τ为分支参数，令（ϑ，δ，τ） =（ϑ0+ λ1，δ0+ λ2，τ0+ λ3），其中（λ1，λ2，λ3）在原点（0， 0， 0）附近充分小 .对系统（3）做时间尺度变换 t = 可得通过推广使用文献[14]的思路，要想推导系统（3）在平衡点 E∗处的规范型，需要将微分方程λ_1 =0 加入系统（5）中，因此需要研究如下三维系统的三重零分支：式（6）中： O（|zt|3）表示高阶无穷小项; zt = （x（t）， y（t），λ1）T ∈ R3; z（t+θ）= φ（θ）;φ =（φ1，φ2，λ1）T ∈ C3 =C（[−τ， 0]; R3）; C（[−τ， 0]; R3）表示从[−τ，0]到 R3上具有上确界范数的连续映射构成的巴拿赫空间，且式（7）中：系统（6）在原点处对应的线性系统为（8）因此，该线性系统对应的特征矩阵为接下来推导系统（8）的广义特征空间 P 及其对偶空间 P∗的基矩阵Φ（θ）和Ψ（s）. 根据文献[15]，知Φ（θ）和Ψ（s）计算方法如下式中： u1 ， u2 ， u3 ， u4 是如下线性方程的解Ψ（s）= col（ψ1（s），ψ2（s），ψ3（s），ψ4（s））= col （v1 − sv2+ v3 − v4 ，v2 − sv3+ v4 ，v3 − sv4 ， v4）， 0⩽ s ⩽1.。
时滞微分方程
1众所周知,微分方程的振动理论是微分方程理论的一个重要分支,在稳定性研究领域里面,振动性的研究是一个非常活跃的方向。
近几十年来,在微分方程各个领域理论的发展的同时,无论是对线性到非线性时滞微分方程的研究,还是对一阶到n阶以及到无穷阶时滞微分方程的讨论,都取得了巨大的进展。
研究的方向也是广泛开阔的,如函微分方程、差分微分方程、分数阶微分方程等等。
时滞微分方程主要用于描述依赖当前和过去历史状态的动力系统，因此它在物理、信息、化学、工程、经济以及生物数学等领域都有重要应用．由于时滞微分方程在实际生活中的广泛应用，对时滞微分方程的稳定性理论的研究就显得非常重要，并且也是非常有意义的．至今已经有很多学者在这方面取得了很好的研究成果，[1．30】中有很多的介绍．’对时滞微分方程的稳定性理论的研究的转折点可以追溯到1892年，这一年俄国数学力学专家Lyapunov发表了一篇名为“运动稳定性的一般问题"的论文，该论文给出了研究稳定性的一种很有效的方法．这种方法后来被称为Lyapunov直接法，也称为Lyapunov第二方法，它至今仍是研究时滞微分方程解的稳定性的主要方法．这种方法可以在没有得到方程具体解的情况下，就确定方程解的稳定性．Lyapunov直接法的关键是构造L yapunov泛函．目前许多学者在研究时滞微分方程解的稳定性时，都是通过构造Lyapunov泛函的方法，并得到了很多很好的研究结果，如[31．50]．但是，如何构造合适、有效的L yapunov泛函来研究解的稳定性，仍然是一个很有吸引力和挑战性的课题．2 在实际工程系统中，时滞现象是普遍存在的．时滞产生的原因有很多，如：系统变量的测量过程需要一定时间、系统中设备的物理性质(大惯性环节)因数也会导致滞后、物质或信号的传递(传输过程)亦需要一定的时间，缓慢的化学反应过程等都会使系统产生时滞．时滞的存在对系统的控制无论在理论方面还是在工程实践方面都造成了很大的困难．通常情况下时滞将使系统的性能变坏，甚至使系统失去稳定性，从研究的角度来说，时滞的存在给系统的稳定性分析和控制器的设计带来了很大的困难．因此，对时滞微分方程的稳定性的研究无论在理论上还是在应用上都具有非常重要的意义．开展这方面的研究，一方面将丰富和发展时滞微分方程的理论，另一方面也为一些问题的实际应用提供了必要的理论基础．目前，关于时滞微分方程的研究成果也很多．稳定性理论是时滞微分方程理论中的重要部分．在稳定性理论发展进程中最伟大的事件乃是俄国数学力学专家李雅普诺夫在1892年完成的博士论文“运动稳定性的一般问题"，从而建立了稳定性理沦研究的框架．稳定性理论和方法不断地在发展，尤其是20世纪30年代以来，由于科学技术的日新月异，特别是自动控制、空间技术、大系统理论、生物数学等的出现，使稳定性理论发展更快，新的课题、方法不断涌现．50．60年代初期，数学家们围绕李雅普诺夫第二方法中的李雅普诺夫函数的结构，建立了一致稳定、等度渐近稳定、指数渐近稳定等各种稳定性概念，丰富了稳定性理论的研究内容．随着时间的推移，众多学者为稳定性理论的研究奠定了雄厚的基础，使其形成了一套比较完善的理论．例jtN[171、『191等都涉及到了稳定性方面的研究．至今，研究时滞微分方程解的稳定性的有效方法，仍是Lyapunov直接法(即Lyapunov第二方法)．其主要优点在于，不需要预先知道解的情况，就可确定其解的稳定性．在过去的四十多年里，已有很多学者利用构造Lyapunov泛函的方法，研究了时滞微分方程解的稳定性，得到了许多不错的结果．但是，如何构造合适、有效的Lyapunov泛函?这是一个难题，没有学者给出一个明确的方法．这样的难题在高阶常微分方程中一样存在，例如【17】．显然，对于高阶时滞微分方程构造L yapunov泛函将是更加地困难．从上世纪五、六十年代到本世纪初掀起了研究微分系统稳定性及有界性的热潮，并有许多研究成果．在微分系统稳定性及有界性研究成果得出的过程中，巴尔巴辛公式功不可没．自从巴尔巴辛给出了刀阶线性微分系统y函数构造的公式以后，许多学者通过“类比法"构造y函数研究了大量二至五阶非线性微分系统的稳定性和有界性．常微分方程是在人类生产实践中产生的．历史上，它的雏形的出现甚至比微积分还要早，伽利略研究自由落体运动，纳泊尔发明对数，笛卡尔在光学问题中由切线性质定出镜面的形状等．在十九世纪早期，柯西给微积分注入了严格性的要素，同时也为微分方程的理论奠定了基石．Sturm的工作提出了对解进行定性研究的最初思想．Poincare的著名论文“微分方程所定义的曲线”和Liapunov的博士论文“运动稳定性的一般问题”共同奠定了定性理论的研究基础．微分方程的过去和现在都对力学、天文、物理、化学、生物等各种技术科学(核能、火箭、人造卫星、自动控制、无线电子技术等)及若干社会科学(如入口问题、经济预测、运输调度问题等)提供有用的工具．早先研究都假定事物的变化规律只与当时的状态有关，而和过去的历史无关．但是，事实告诉我们，许多事物的变化规律不仅依赖于当时的状态，还依赖于过去的的状态．在这种情况下，微分方程就不能精确地描述客观事物了，代之而起的就是微分差分方程特别是时滞微分方程．现实世界中大量的自然现象可以用常微分方程来描述，用常微分方程来描述事物的现象是出于事物的发展的趋向只与当前的状态有关，而不明显地依赖过去的状态，然而在我们所研究的各种自然现象中，客观事物的变化发展规律是复杂多样的，诸多情形不仅需要考虑事物的当前的状态，而且需要考虑事物过去的历史，也就是说，当前的现状和过去的历史同时对事物的发展起作用．严格地说，在动力学系统中时滞通常是不可避免的，即使以非常快的速度(例如光速)传递的信息也不例外，从这个意义上来说，常微分方程只是动力系统的一种近似描述．如果略去滞量并不改变系统的解的性态，这时，用常微分方程去描述动力系统已够精确，而不必顾及系统中的时滞因素，如果略去滞量便达不到必要的精度，甚至导致错误，或者不考虑滞量便无法建立所需的数学模型，则需要另寻办法建立一系列新的概念和方法去直接研究系统的解的种种性态．所以，用来描述自然现象的更为合理的模型应该是与事物过去的历史即时滞有一定的关联的．因此，用时滞微分方程来刻画事物的变化发展规律更能精确地描述事物的本质．近几十年来，对时滞微分方程的动力学行为的研究引起了人们极大的兴趣1771年，Condorcet在讨论1750年由Euler提出的一个古典几何学问题时，导出了历史上第一个泛函微分方程，此后一个世纪中，许多著名的数学家，如Bernoulli，Laplace，Poisson以及Babbege等都提出过类似的方程，鉴于这类方程的复杂性，一直作为历史数学悬案搁置下来，上世纪七十年代以来，随着类似甚至更为复杂的这类方程在生物学、物理学、控制理论和工程系统中不断涌现，这才促使人们对此类方程的研究自然科学与社会科学中的许多学科提出了大量的时滞动力学问题．如核物理学、电路信号系统、生态系统、化工循环系统、遗传问题、流行病学，动物与植物的循环系统及各种社会科学问题如商业销售问题、财富分布理论、资本主义经济周期性危机、运输调度问题、工业生产管理等，各种工程系统中出现时滞现象更为普遍，特别是自动控制系统的时滞动力学系统数目更为庞大．这些学科的发展迫切需要时滞动力学的理论基础．=0，0<x<1，t>0，ρ(x)ωtt x，t+EI xωxx x，txxω0，t=ωx0，t=ωxx1，t=0，t>0，EI xωxx x1，t=u t，t>0，y t=ωt1，t，ωx，0=ω0x，ωt x，0=ω1x，0<x<1.（ω0时滞微分方程主要用于描述依赖当前和过去历史状态的动力系统，因此它在物理、信息、化学、工程、经济以及生物数学等领域都有重要应用．由于时滞微分方程在实际生活中的广泛应用，对时滞微分方程的稳定性理论的研究就显得非常重要。
时滞微分方程分支分析
23.E Beretta.Y Kuang Geometric Stability Switch Criteria in Delay Dif ferential Systems with Delay-Dependent Parameters 2002
26.S Ruan.J Wei On the Zeros of a Third Degree Exponential Polynomial with Applications to a Delayed Model for the Control of Testosterone Secretion 2001
49.段文英.魏俊杰.沈启宏一类具时滞的神经网络模型的Hopf分支[期刊论文]-数学年刊A辑 2003(6)
50.A Leung Periodic Solutions for a Prey-Predator Differential Delay Equation 1977
51.潘家齐.岳锡亭具无限时滞捕食与被捕食者模型的稳定与不稳定周期振动 1993
12.张芷芬.李承志.郑志明.李伟固向量场的分岔理论基础 1997
13.张锦炎.冯贝叶常微分方程几何理论与分支理论 2000
14.罗定军.张祥.董梅芳动力系统的定性与分支理论 2001
15.韩茂安动力系统的周期解与分支理论 2002
16.唐云对称性分岔理论基础 2000
17.S Chow.J Hale Methods of Bifurcation Theory 1982
24.E Beretta.Y Tang Extension of a Geometric Stability Switch Criterion 2003
三类时滞微积分方程的数值解法
三类时滞微积分方程的数值解法
时滞微积分方程是一种重要的微积分方程类型，它包含了未来时间点的状态对过去时间点的依赖关系。
根据时滞微积分方程的形式，可以将其分为三类：常微分方程时滞、偏微分方程时滞以及延迟微分方程时滞。
对于这三类时滞微积分方程，常用的数值解法有以下几种：
1. 离散化方法：将时滞微积分方程转化为一系列的离散方程组进行求解。
常见的离散化方法有Euler方法、改进的Euler方法、四阶Runge-Kutta方法等。
2. 插值方法：通过插值近似来解决时滞的问题，常用的插值方法有拉格朗日插值和样条插值。
3. 迭代方法：通过迭代逼近求解，常用的迭代方法有Picard
迭代法和Newton迭代法。
此外，还可以利用数值差分方法、辛方法和有限元方法等进行数值求解。
具体选择哪种方法，需要根据具体的时滞微积分方程形式、问题类型以及求解精度要求进行综合考虑。
几类反应扩散系统的稳定性和分支
几类反应扩散系统的稳定性和分支反应扩散系统是一类复杂的动态系统，其中反应和扩散过程相互影响，形成了许多有趣的数学和物理现象。
反应扩散系统的稳定性与分支是该领域研究的两个重要方面，它们描述了系统的长期行为和复杂性的产生。
我们来讨论反应扩散系统的稳定性。
稳定性是反应扩散系统的重要特性之一，它描述了系统在初始条件下的变化情况。
通常情况下，反应扩散系统是混沌的，这意味着对于相同的初始条件，系统可能会表现出不同的行为。
然而，在某些情况下，反应扩散系统可以具有稳定性。
这意味着如果我们将系统置于某个状态，它将会保持这个状态不变，或者随着时间的推移，它会收敛到某个固定的状态。
反应扩散系统的稳定性通常取决于它的参数和初始条件。
例如，如果反应扩散系统的反应项具有负数或零的特征根，则该系统通常是稳定的。
这是因为这些反应项的特性决定了系统在空间中的扩散和传播速度，当这些速度较慢时，系统更容易达到稳定状态。
然而，有时候反应扩散系统可能会出现分支现象。
分支是反应扩散系统中的一种复杂行为，它描述了系统在某些条件下从一个状态转移到另一个状态的行为。
分支通常发生在系统的反应项具有正数特征根的情况下，因为这些反应项可以促进系统的自组织行为和复杂性的产生。
分支可以表现为多种形式，例如空间混沌、时间周期性、时间混沌等。
这些分支现象通常需要在特定的参数和初始条件下才会出现。
例如，当反应扩散系统的反应项具有正数特征根时，如果我们将系统的初始条件设置得非常特殊，则可能会观察到空间混沌行为。
反应扩散系统的稳定性和分支是两个非常重要的研究方面。
稳定性描述了系统的长期行为，而分支则描述了系统的复杂性的产生。
这些研究可以帮助我们更好地理解和预测自然现象中的复杂行为。
反应扩散方程是一类描述化学反应和扩散现象相互作用的偏微分方程，其在化学反应动力学、生物学、物理学等领域有着广泛的应用。
本文将介绍几类反应扩散方程的分支理论及其在实践中的应用。
反应扩散方程的分支理论主要涉及到线性反应扩散方程、非线性反应扩散方程和幂律反应扩散方程。
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几类时滞微分方程的分支分析
时滞微分方程作为描述系统动态行为的重要工具，广泛应用于各种领域，如生态系统、神经网络、工程系统等。
对于具有给定初值的时滞微分方程，其稳定性和分支性质是近年来研究的热点问题。
本文将介绍几类时滞微分方程的分支分析，通过理论分析和数值模拟，探讨时滞微分方程的分支机制和复杂性。
时滞微分方程是由微分方程和时滞项组成的数学模型，描述了系统在给定时刻的行为及其过去的历史。
对于时滞微分方程，需要先定义时滞项和微分方程，再通过适当的数学分析，求解方程的解及其性质。
在分支理论中，分支是指系统在某些参数变化时，其动态行为发生本质变化的现象。
分支分析是通过分析方程的解来研究分支现象的性质、类型和产生条件的过程。
对于时滞微分方程，其分支现象通常包括周期解的稳定性和分岔、混沌等非线性现象。
单变量时滞微分方程是一类最基本的时滞微分方程，其形式为：
dy(t)dt=f(y(t),y(t-τ))
对于这类方程，可以通过适当的变换将其化为常微分方程，再利用经典的分支理论进行分析。
例如，通过线性化方法和中心流形定理，可
以研究方程在临界点附近的动态行为和分支现象。
dy1(t)dt=f1(y1(t),y2(t-τ)) dy2(t)dt=f2(y1(t),y2(t-τ))
对于这类方程，可以利用相平面分析和奇异性理论来研究其分支现象。
通过分析系统在相平面上的轨迹和奇异点，可以得出方程的动态行为和分支性质。
时滞微分方程组是由多个时滞微分方程组成的系统，形式为：
dy1(t)dt=f1(y1(t),y2(t-τ1),…,yn(t-τn))
dy2(t)dt=f2(y1(t),y2(t-τ1),…,yn(t-τn)) …
dyn(t)dt=fn(y1(t),y2(t-τ1),…,yn(t-τn))
对于这类方程组，可以运用多变量分支理论进行分析。
通过研究系统在不同参数下的动态行为和奇异点，可以得出方程组的分支性质和复杂性。
随机时滞微分方程是在时滞微分方程中引入随机因素，形式为：
dy(t)=f(y(t),y(t-τ))dt+g(y(t),y(t-τ))dW(t)
其中W(t)是布朗运动。
对于这类方程，可以利用随机分析和随机分
支理论进行研究。
通过分析随机因素对系统动态行为的影响，可以得
出方程的随机分支性质和复杂性。
例如，在研究随机时滞神经网络的分支现象时，可以利用伊藤公式将随机微分方程转化为确定性的常微分方程，再利用分支理论进行分析。
结论本文对几类时滞微分方程的分支分析进行了介绍。
通过理论分析和数值模拟，探讨了单变量、双变量时滞微分方程，时滞微分方程组和随机时滞微分方程的分支机制和复杂性。
这些研究为理解和预测系统的动态行为提供了重要依据。
然而，目前对于时滞微分方程的分支分析仍存在诸多不足之处，例如对高维系统的研究尚不充分，以及在应用领域仍有许多问题待解决。
未来研究方向可以包括拓展分支理论、发展高维系统的数值模拟方法，以及将分支分析应用于实际问题解决等。
本文主要探讨了几类非线性时滞微分方程的稳定性和分支分析。
非线性时滞微分方程在许多应用领域中都具有重要意义，如生物学、物理学、工程学等。
研究这类方程的稳定性与分支行为，有助于深入了解系统的动态特性。
本文着重了几类具有代表性的非线性时滞微分方程，首先提出了一个问题：如何有效地分析这些方程的稳定性和分支行为？
在文献综述部分，我们回顾了非线性时滞微分方程稳定性与分支分析
的现有研究。
这些研究主要集中在特定的方程或现象，如Van der Pol 振荡器、神经网络和生态系统等。
尽管这些研究取得了重要进展，但仍存在一些尚未解决的问题和挑战，这也是我们本文研究的核心。
方法论部分详细介绍了一种名为“中心流形定理”的研究方法，该方法在处理非线性时滞微分方程问题时具有独特优势。
我们结合数值模拟和理论分析，对几类非线性时滞微分方程进行了系统的稳定性与分支分析。
在结果与讨论部分，我们展示了通过中心流形定理得到的一些重要结果。
例如，我们发现某些方程存在稳定的周期解和混沌解。
我们还分析了这些解的分支现象，并阐述了它们对系统性能的影响。
在结论与未来研究部分，我们对本文的研究成果进行了总结，指出我们的方法可以有效地分析非线性时滞微分方程的稳定性和分支行为。
我们也提出了未来可能的研究方向，例如将该方法应用于更为复杂的系统，或者改进现有方法的精度和效率。
本文对几类非线性时滞微分方程的稳定性和分支行为进行了系统的
研究，通过提出和分析中心流形定理等方法，为理解这些系统的动态特性提供了新的视角和工具。
我们的研究结果不仅丰富了现有的研究体系，也为未来相关领域的研究提供了参考和启示。
微分系统是描述动态系统变化的重要工具，其在许多领域如生物学、物理学、化学、经济学等都有广泛应用。
在实际应用中，许多系统会受到内部或外部因素的影响，其中之一就是时滞。
时滞可以导致系统行为的复杂性和混沌性，因此，研究具时滞的微分系统的分支分析具有重要意义。
dx/dt = f(x(t), x(t - τ))
其中，x(t)是系统的状态变量，f是一个给定的函数，τ是时滞时间。
这个方程描述了系统在时刻t的行为，依赖于系统在时刻t和时刻t - τ的状态。
分支是指系统的长期行为发生突然改变的现象，通常与系统的稳定性发生改变有关。
对于具时滞的微分系统，分支分析主要是研究时滞对系统稳定性的影响。
对于某些具时滞的微分系统，当系统的参数经过某些临界值时，系统会从一个稳定状态转变为一个周期振荡状态，这个现象称为Hopf分支。
Hopf分支通常发生在系统的时间演变过程中，并可能导致系统的全局混沌行为。
滞后分支是一种特殊的Hopf分支，当系统的参数变化超过某个阈值
时，系统的稳定性会突然改变，产生一个滞后效应。
这种效应通常会导致系统进入一个非单调的周期性状态。
在某些情况下，具时滞的微分系统可能会表现出一种周期性的振荡行为，这种行为称为周期分支。
周期分支通常是由于系统的参数变化导致的，并可能导致系统的全局混沌行为。
具时滞的微分系统的分支分析是一个复杂而有趣的研究领域，需要深入的理论和计算方法来研究。
尽管具时滞的微分系统的分支分析在理论上已经取得了一些进展，但在实际应用中仍然存在许多挑战和问题需要解决。
未来的研究应该集中在开发更有效的数值方法和理论分析工具，以更好地理解和预测具时滞的微分系统的行为。