九年级上册数学名师大课堂2022人教版答案
人教版九年级数学上册答案
人教版九年级数学上册答案【篇一：人教版九年级数学配套练习册答案】t>（1）当k = 1时，原方程为一元一次方程，2x – 2 = 0 x = 1（2）当k≠1且k≠-1时，原方程为一元二次方程，此时这个方程的二次项系数为k2 -1，一次项系数为k+1，常数项为-2。
14、题目略（1）a（x –1）2 + b（x –1）+ c= 0可化为：ax2-（2a – b）x +（a – b + c）= 0和x2-3x –1=0对照，要为一元二次方程，a2必须等于1，a可以等于1或-1，所以不能肯定a = 1（2）当a = 1，2 – b = 3，b = -1，2 + c = -1，c = -3，所以a ：b ：c = 1 ：（-1）：（-3） 15、原方程化为4x2 + 7x - 1 = 0，则二次项系数：4，一次项系数：7，常数项：-1探索研究人教版九年级上册数学配套练习册21.2.1配方法第2课时答案能力提升4、设较短的直角边长是x cm，较长的就是（x+7）cm，1/2x?（x + 7）= 30，整理得：x2+7x–60=0，解得x=5或x=-12（舍去），5+7=12 cm，探索探究 5、（1）1人教版九年级上册数学配套练习册21.2.3因式分解法答案9、b的长度为：bq = 3x，13、设每个月减少x由题意可得：（1 - x）2 = （1 - 36%），解得x = 20%探索研究14、（1）换元法转化（2）（x2 + x）2- 2（x2+ x） + 1=0，人教版九年级上册数学配套练习册21.3实际问题和一元二次方程第1课时答案基础知识1-6：b；c；c；b；b；d 7、2 8、-20139、72（1-x）2= 56 10、12 cm和4 cm 能力提升12、设每年的增长率为x，根据题意，得，30%（1 + x）2 = 60%，即（1 + x）2 = 2，解得x? ≈ 0.41 = 41%，x?≈ -2.41（舍去，不合题意）答：每年的增长率约为41%。
2022-2023学年全国初中九年级上数学人教版同步练习(含答案解析)032340
2022-2023学年全国初中九年级上数学人教版同步练习考试总分：27 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、 选择题 （本题共计 4 小题 ，每题 3 分 ，共计12分 ）1. 如图，在▱中，，若与，相切于点，，则等于( )A.B.C.D.2. 如图，已知，直角三角板的直角顶点在直线上，若，则下列结论错误的是（ ）A.B.C.D.3. 如图，正方形中，点在对角线上，点在边上，若，则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中结论正确的序号是 （ ）APBC ∠C =40∘⊙O PA PB A B ∠CAB 40∘50∘60∘70∘a//b b ∠1=60∘∠2=60∘∠3=60∘∠4=120∘∠5=40∘ABCD E AC F AD EF =BE BE ⊥EF ∠AFE−∠AEB =45∘2AF+FD =AE 2–√AE−CE =AF 2–√DF =CE 2–√A.①②③④B.②③④⑤C.①③⑤D.①②③④⑤4. 如图，是的直径，点，在上.若，则的大小为( )A.B.C.D.二、 填空题 （本题共计 3 小题 ，每题 3 分 ，共计9分 ）5. 如图，在平行四边形中，，将平行四边形绕点逆时针旋转至平行四边形的位置，边恰好经过边的中点，点的运动路径分别为.则图中阴影部分的面积为________.6.如图，在 中，直径垂直于弦，若 ，则 的度数是_________．7. 已知圆内接四边形中，，则的度数为________．三、 解答题 （本题共计 2 小题 ，每题 3 分 ，共计6分 ）8. 如图：是等腰三角形底边上的一个动点，过点作的垂线，交于点，交的延长线于AB ⊙O C D ⊙O ∠ACD =25∘∠BOD 100∘120∘130∘155∘ABCD AB =2AD =4,∠B =120◦ABCD A AB ′C ′D ′AB ′CD E C,D ,CC ′ˆDD ′ˆ⊙O CD AB ∠C =25∘∠BOD ABCD ∠A :∠B :∠C =1:3:5∠D (1)P ABC BC P BC AB Q CA是等腰三角形底边上的一个动点，过点作的垂线，交于点，交的延长线于点．请观察与，它们有何关系？并证明你的猜想．如果点沿着底边所在的直线，按由向的方向运动到的延长线上时，中所得的结论还成立吗？请你在图中补全图形，并给予证明．9. 如图，在中，点是的中点，点是线段的延长线上的动点，连接，过点作的平行线，与线段的延长线交于点，连接、．(1)求证：四边形是平行四边形．(2)若，，则在点的运动过程中：①当________时，四边形是矩形；②当________时，四边形是菱形．R AR AQ (2)P BC C B CB (1)(2)△ABC F BC E AB EF C AE EF D CE BD DBES AB =BC =2∠ABC =120∘E BE =DBEC BE =DBEC参考答案与试题解析2022-2023学年全国初中九年级上数学人教版同步练习一、 选择题 （本题共计 4 小题 ，每题 3 分 ，共计12分 ）1.【答案】D【考点】切线长定理菱形的判定菱形的性质【解析】首先根据切线长定理，判断四边形是菱形，再利用菱形的对角线平分一组对角得结论．【解答】解：∵与，相切于点，，∴.∵四边形是平行四边形，∴四边形是菱形，∴，∴.故选.2.【答案】D【考点】邻补角平行线的性质对顶角【解析】⊙O PA PB A B PA =PB APBC APBC ∠P =∠C =40∘∠PAC =140∘∠CAB =∠PAC 12=70∘D根据平行线的性质：两直线平行，同位角相等，以及对顶角相等等知识分别求出，，，的度数，然后选出错误的选项．【解答】解：∵，，∴，，，∵三角板为直角三角板，∴．故选3.【答案】D【考点】相似三角形的性质与判定全等三角形的性质与判定平行线分线段成比例正方形的性质【解析】【解答】解：∵是在正方形中，在对角线上 ,又∵ ,∴,，,,.故选.4.【答案】C【考点】圆周角定理∠2∠3∠4∠5a//b ∠1=60∘∠3=∠1=60∘∠2=∠1=60∘∠4=−∠3=180∘−=180∘60∘120∘∠5=−∠3=90∘−=90∘60∘30∘D.ABCD E AC EF =BE BE ⊥EF ∠AFE−∠AEB =45°2AF +FD =AE 2–√AE−CE =AF 2–√DF =CE 2–√D【解析】根据圆周角定理求出，根据邻补角的概念计算．【解答】解：由圆周角定理得，，∴.故选.二、 填空题 （本题共计 3 小题 ，每题 3 分 ，共计9分 ）5.【答案】【考点】求阴影部分的面积【解析】此题暂无解析【解答】解：如图，过点作,交延长线于点,连接,,点为的中点，，,,,,即旋转角为.在中，,,,,阴影部分的面积为.根据旋转的性质，得,,∠AOD ∠AOD =2∠ACD =50∘∠BOD=−=180∘50∘130∘C 2πC CF ⊥AB AB F AC,AC ′∵AB =2ADE CD ∴DA =DE ∵∠ABC =120∘∴∠ADE =120∘∴∠DAE =30∘∴∠BA =B ′30∘30∘Rt △CFB CB =2,∠CBF =60∘∴BF =1,CF =3–√∴AF =AB+BF =5∴AC ==2A +C F 2F 2−−−−−−−−−−√7–√∴=+−−S 阴影S 扇形ACC ′S △AC ′D ′S 扇形ADD ′S △ACD=S △AC ′D ′S △ACD ∴=−S 阴影S 扇形ACC ′S 扇形ADD ′−=2π30π×(2–√)230π×2.故答案为：.6.【答案】【考点】圆周角定理垂径定理【解析】由垂径定理和“等弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半”推知，得到答案．【解答】解：∵在中，直径垂直于弦，∴，∴．故答案为．7.【答案】【考点】圆内接四边形的性质【解析】可设，则，；利用圆内接四边形的对角互补，可求出、的度数，进而求出和的度数，由此得解．【解答】解：∵，∴设，则，，∵四边形为圆内接四边形，∴，即，解得，∴，∴，故答案为：．三、 解答题 （本题共计 2 小题 ，每题 3 分 ，共计6分 ）=−=2π30π×(27–√)236030π×223602π50∘∠DOB =2∠C ⊙O CD AB =ADˆBD ˆ∠DOB =2∠C =50∘50∘90∘∠A =x ∠B =3x ∠C =5x ∠A ∠C ∠B ∠D ∠A :∠B :∠C =1:3:5∠A =x ∠B =3x ∠C =5x ABCD ∠A+∠C =180∘x+5x =180x =30∘∠B =3x =90∘∠D =−∠B =−=180∘180∘90∘90∘90∘8.【答案】解：，理由如下：∵，∴．∵，∴，∴．∵，∴，∴.补全图形如图，猜想仍然成立．证明如下：∵，∴．∵，∴，∵，∴，∴，∴．【考点】直角三角形的性质等腰三角形的判定与性质【解析】（1）由已知条件，根据等腰三角形两底角相等及三角形两直角互余的性质不难推出与的关系；（2）由已知条件，根据等腰三角形两底角相等及三角形两直角互余的性质不难推出与的关系．【解答】解：，理由如下：∵，∴．∵，(1)AR =AQ AB =AC ∠B =∠C RP ⊥BC ∠B+∠BQP =∠C +∠PRC =90∘∠BQP =∠PRC ∠BQP =∠AQR ∠PRC =∠AQR AR =AQ (2)AB =AC ∠ABC =∠C ∠ABC =∠PBQ ∠PBQ =∠C RP ⊥BC ∠PBQ +∠BQP =∠C +∠PRC =90∘∠BQP =∠PRC AR =AQ ∠PRC ∠AQR ∠BQP ∠PRC (1)AR =AQ AB =AC ∠B =∠C RP ⊥BC∴，∴．∵，∴，∴.补全图形如图，猜想仍然成立．证明如下：∵，∴．∵，∴，∵，∴，∴，∴．9.【答案】证明：，，是的中点，，，，四边形是平行四边形．(2)解：；,.【考点】角角边证全等平行线的性质平行四边形的判定全等三角形的性质定理【解析】(1)本小题考查平行线的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定．利用证得，再由，即，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出结论．(2)本小题考查矩形和菱形的性质和判定，等边三角形的判定与性质．当四边形是矩形时，∠B+∠BQP =∠C +∠PRC =90∘∠BQP =∠PRC ∠BQP =∠AQR ∠PRC =∠AQR AR =AQ (2)AB =AC ∠ABC =∠C ∠ABC =∠PBQ ∠PBQ =∠C RP ⊥BC ∠PBQ +∠BQP =∠C +∠PRC =90∘∠BQP =∠PRC AR =AQ (1)∵DC ∥AE ∴∠CDF =∠BEF ∠DCF =∠EBF∵F BC ∴DF =EF ∴△CDF ≌△BEF (AAS)∴CD =BE ∴DBEC ①1②2AAS △CDF ≌△BEF CD =BE CD ∥AE CD ∥BE ①DBEC则，从而即可求，再求出，即可得 是等边三角形，从而由等边三角形的性质即可求出长；当四边形是菱形时，则，，从而可得直角，，由直角三角形的性质即可求出长．【解答】证明：，，是的中点，，，，四边形是平行四边形．解：当四边形是矩形时，则，，，，是等边三角形，，当四边形是菱形时，则，，，，，故答案为：；．DE =BC =2BF =EF =1∠FBE =60°△BEF BE ②DBEC DE ⊥BC BF =BC =112△BEF ∠BEF =30°BE (1)∵DC ∥AE ∴∠CDF =∠BEF ∠DCF =∠EBF∵F BC ∴DF =EF ∴△CDF ≌△BEF (AAS)∴CD =BE ∴DBEC (2)①DBEC DE =BC =2∴BF =EF =1∵∠ABC =120°∴∠FBE =60°∴△BEF ∴BE =BF =1②DBEC DE ⊥BC BF =BC =112∴∠BFE =90°∵∠EBF =60°∴∠BEF =30°∴BE =2BF =2××1=2①1②2。
2022-2023学年全国初中九年级上数学人教版同步练习(含答案解析)032351
2022-2023学年全国初中九年级上数学人教版同步练习考试总分：27 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、 选择题 （本题共计 5 小题 ，每题 3 分 ，共计15分 ）1. 已知二次函数，当时，随，的增大而增大，则的值为（ ）A.B.C.D.2. 已知二次函数的图象过点，，三点，那么它的对称轴是直线( )A.B.C.D.3. 二次函数的顶点坐标是( )A.B.C.D.4.如右图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，若，则下列各式成立的是( )y =(m+2)−4x 2x <0y m −5–√5–√±5–√2y =a +bx+c x 2(1,−1)(2,−4)(0,4)x =−3x =−1x =1x =3y =−(x−1+5)2(−1,5)(1,5)(−1,−5)(1,−5)y =+bx+c x 2x A B y C ∠OBC =45∘A.B.C.D.5. 已知为抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于，两点，若，则线段的中点到直线的距离为（ ）A.B.C.D.二、 填空题 （本题共计 2 小题 ，每题 3 分 ，共计6分 ）6. 如果抛物线＝有最低点，那么的取值范围为________．7. 抛物线的图象一定经过第________象限．三、 解答题 （本题共计 2 小题 ，每题 3 分 ，共计6分 ）8. 反比例函数的图象过点，求反比例函数的解析式，并通过计算判断点是否在函数图象上．9. 已知抛物线 上有且只有三个点到轴的距离为.求，应满足的关系式；该抛物线上任意两点， ，当时，总有.①求抛物线的解析式；②当点，在第一象限时，射线，分别交直线于，两点，若，两点的横坐标之积为，求证：直线过定点.b +c −1=0b +c +1=0b −c +1=0b −c −1=0F C :=4x y 2F l C A B |AB |=8AB M x+1=024816y (m−1)x 2m y =a (a >0)x 2(2,3)(−3,−2)y =a +bx(a >0)x 2x 116(1)a b (2)A(,)x 1y 1B (,)x 2y 2(−)(−)>0x 112x 212≠y 1y 2A B AO BO y =−2C D C D 8AB参考答案与试题解析2022-2023学年全国初中九年级上数学人教版同步练习一、 选择题 （本题共计 5 小题 ，每题 3 分 ，共计15分 ）1.【答案】A【考点】二次函数的性质【解析】根据二次函数的性质，可得方程，根据解方程，可得答案．【解答】解：由是二次函数．且当时，随的增大而增大，得：解得：综上，故选：．2.【答案】D【考点】二次函数的性质待定系数法求二次函数解析式【解析】设二次函数的解析式为，然后把，，分别代入解析式得，得到关于，，的三元一次方程，解方程确定，，的值，最后根据抛物线的对称轴为直线得到答案．【解答】y =(m+2)−3x 2x <0y π{−3=2m 2m+2<0{m=±5–√m<−2m=−5–√A y =a +bx+c x 2(1,−1)(2,−4)(0,4)a b c a b c x =−b 2a把，，分别代入解析式得，①，②，③，解由①②③组成的方程组得，，，，则二次函数的解析式为：，所以它的对称轴是直线．故选．3.【答案】B【考点】二次函数的性质【解析】根据抛物线的解析式结合抛物线的性质，即可得出抛物线的顶点坐标．【解答】解：∵二次函数解析式为，∴该二次函数的顶点坐标为．故选．4.【答案】B【考点】抛物线与x 轴的交点【解析】此题暂无解析【解答】解：∵，∴，∴点，的坐标为，；把点代入二次函数，得，即，∵，(1,−1)(2,−4)(0,4)a ⋅+b +c =−112a ⋅+2b +c =−422c =4a =1b =−6c =4y =−6x+4x 2x =−=−=3b 2a −62×1D y =−(x−1+5)2(1,5)B ∠OBC =45∘OB =OC C B (0,c)(c,0)B(c,0)y =+bx+c x 2+bc +c =0c 2c(c +b +1)=0c ≠0故选．5.【答案】B【考点】抛物线的求解【解析】根据题意，作出抛物线的简图，求出抛物线的焦点坐标以及准线方程，分析可得为直角梯形中位线，由抛物线的定义分析可得答案．【解答】如图，抛物线的焦点为，准线为，即分别过，作准线的垂线，垂足为，，则有过的中点作准线的垂线，垂足为，则为直角梯形中位线，则，即到准线的距离为（4）二、 填空题 （本题共计 2 小题 ，每题 3 分 ，共计6分 ）6.【答案】【考点】二次函数图象与系数的关系二次函数的最值【解析】由于抛物线＝有最低点，这要求抛物线必须开口向上，由此可以确定的范围．【解答】∵抛物线＝有最低点，∴，即．7.B MN ABDC =4x y 2F(1,0)x =−1x+1=(0)A B C D |AB |=|AF |+|BF |=|AC |+|BD |=(8)AB M N MN ABDC |MN |=(|AC |+|BD |)=412M x =−1m>1y (m−1)x 2m y (m−1)x 2m−1>0m>1一、二【考点】二次函数y=ax^2+bx+c (a≠0)的图象和性质二次函数的性质二次函数与不等式（组）抛物线与x 轴的交点【解析】此题暂无解析【解答】解：∵，∴抛物线开口向上，又∵对称轴为轴，且顶点坐标为，∴抛物线过第一、二象限．故答案为：一、二．三、 解答题 （本题共计 2 小题 ，每题 3 分 ，共计6分 ）8.【答案】解：设反比例函数的解析式为，∵反比例函数的图象过点，∴，∴，∴反比例函数的解析式为．把代入，得，∴点在该反比例函数的图象上．【考点】待定系数法求反比例函数解析式反比例函数图象上点的坐标特征a >0y (0,0)y =k x (2,3)3=k 2k =6y =6x x =−3y =6x y =−2(−3,−2)此题暂无解析【解答】解：设反比例函数的解析式为，∵反比例函数的图象过点，∴，∴，∴反比例函数的解析式为．把代入，得，∴点在该反比例函数的图象上．9.【答案】解：依题意得，抛物线开口向上，且与轴有交点，令，得，即 ，∵，∴轴上方的抛物线上必有个点到轴的距离为 .∵抛物线上有且只有三个点到轴的距离为，∴轴下方的抛物线上只有个点到轴的距离为.∴令，得，∴.∴①∵，∴点，点需在抛物线的对称轴的同侧，设该抛物线的对称轴为直线，当时，总有，故分类如下：当，时，总有，∴抛物线的对称轴在直线左侧，即，当， 时，总有，∴抛物线的对称轴在直线右侧，即，y =k x (2,3)3=k 2k =6y =6x x =−3y =6xy =−2(−3,−2)(1)x y =116a +bx =x 2116a +bx−=0x 2116Δ=+a >0b 214x 2x 116x 116x 1x 116y =116a +bx+=0x 2116Δ=−4a ⋅=0b 2116a =4b 2(2)≠y 1y 2A B x =m (−)(−)>0x 112x 212≠y 1y 2>x 112>x 212≠y 1y 2x =12m≤12<x 112<x 212≠y 1y 211∴对称轴为直线，∴，∴，又，∴∴，，∴抛物线的解析式为.②证明：设，，∴直线：，直线：，∴，，∴，设直线的解析式：，则整理，得，由韦达定理，得 ， ，∴，∴ ，∴直线解析式为，∴直线必过定点.【考点】二次函数综合题二次函数图象上点的坐标特征【解析】暂无暂无【解答】解：依题意得，抛物线开口向上，且与轴有交点，令，得，即 ，∵，∴轴上方的抛物线上必有个点到轴的距离为 .∵抛物线上有且只有三个点到轴的距离为，∴轴下方的抛物线上只有个点到轴的距离为.∴令，得，x =12−=b 2a 12b =−a a =4b 2a =4a 2a =14b =−14y =−x 14x 214A(,−)x 114x 2114x 1B(,−)x 214x 2214x 2OA y =(−1)x 14x 1OB y =(−1)x 14x 2C(,−2)−8−1x 1D(,−2)−8−1x 2=864(−1)(−1)x 1x 2AB y =mx+n {y =mx+n,y =−x,14x 214−(1+4m)x−4n =0x 2+=4m+1x 1x 2=−4n x 1x 2=864−4n−(4m+1)+1n =−m−2AB y =mx−m−2=m(x−1)−2AB P (1,−2)(1)x y =116a +bx =x 2116a +bx−=0x 2116Δ=+a >0b 214x 2x 116x 116x 1x 116y =116a +bx+=0x 2116∴.∴.①∵，∴点，点需在抛物线的对称轴的同侧，设该抛物线的对称轴为直线，当时，总有，故分类如下：当，时，总有，∴抛物线的对称轴在直线左侧，即，当， 时，总有，∴抛物线的对称轴在直线右侧，即，∴对称轴为直线，∴，∴，又，∴∴，，∴抛物线的解析式为.②证明：设，，∴直线：，直线：，∴，，∴，设直线的解析式：，则整理，得，由韦达定理，得 ， ，∴，∴ ，∴直线解析式为，∴直线必过定点.Δ=−4a ⋅=0b 2116a =4b 2(2)≠y 1y 2A B x =m (−)(−)>0x 112x 212≠y 1y 2>x 112>x 212≠y 1y 2x =12m≤12<x 112<x 212≠y 1y 2x =12m≥12x =12−=b 2a 12b =−a a =4b 2a =4a 2a =14b =−14y =−x14x 214A(,−)x 114x 2114x 1B(,−)x 214x 2214x 2OA y =(−1)x 14x 1OB y =(−1)x14x 2C(,−2)−8−1x 1D(,−2)−8−1x 2=864(−1)(−1)x 1x 2AB y =mx+n {y =mx+n,y =−x,14x 214−(1+4m)x−4n =0x 2+=4m+1x 1x 2=−4n x 1x 2=864−4n−(4m+1)+1n =−m−2AB y =mx−m−2=m(x−1)−2AB P (1,−2)。
2022-2023学年全国初中九年级上数学新人教版同步练习(含答案解析考点)051929
2022-2023学年全国初中九年级上数学新人教版同步练习考试总分：21 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、 选择题 （本题共计 3 小题 ，每题 3 分 ，共计9分 ）1. 将一元二次方程化成一般形式后，其二次项系数、一次项系数、常数项分别为 A.，，B.，，C.，，D.，，2. 下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是 A.B.C.D.3. 已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是( )A.B.C.D.二、 填空题 （本题共计 1 小题 ，共计3分 ）4. （3分） 关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为________.三、 解答题 （本题共计 3 小题 ，每题 3 分 ，共计9分 ）5. 关于的一元二次方程有实数根.求的取值范围；若方程的两根，满足，求的值.3=5x −1x 2()35135−13−5−13−51()−3x +1=0x 2+1=0x 2−2x +1=0x 2+2x +3=0x 2x −3x +a −1=0x 2a a ≤134a <1340≤a <134a ≥134x −3x =4+k x 2k x +2(k −1)x ++1=2x 2k 2(1)k (2)x 1x 2(−2)(−2)=11x 1x 2k +mx +m −2=026. 关于的一元二次方程.若是该方程的一个根，求该方程的另一个根；求证：无论取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；设该方程的两个实数根为，若，求的值．7. 已知抛物线 ，其中是常数．求证：不论为何值，该抛物线与轴一定有两个公共点；若该抛物线的对称轴为，求该抛物线的函数解析式．x +mx +m −2=0x 2(1)−2(2)m (3),x 1x 2++m(+)=+1x 21x 22x 1x 2m 2m y =−(x −m)(x −m)2m (1)m x (2)x =52参考答案与试题解析2022-2023学年全国初中九年级上数学新人教版同步练习一、 选择题 （本题共计 3 小题 ，每题 3 分 ，共计9分 ）1.【答案】D【考点】一元二次方程的一般形式【解析】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：（，，是常数且）特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．方程整理为一般形式，找出二次项系数，一次项系数，以及常数项即可．【解答】解：方程，整理得，，二次项系数是，一次项为，常数项是.故选.2.【答案】A【考点】根的判别式【解析】本题主要考查一元二次方程．【解答】解：当时，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．项，，+bx +c =0ax 2a b c a ≠0a ≠0ax 2bx c a b c 3=5x −1x 23−5x +1=0x 23−51D Δ>0Δ=0Δ<0A Δ=−4ac =(−3−4=5>0b 2)2所以方程有两个不相等的实数根．故项正确．项，，所以方程没有实数根．故项错误．项，，所以方程有两个相等的实数根．故项错误．项，，所以方程没有实数根．故项错误．故选．3.【答案】A【考点】根的判别式【解析】根据一元二次方程的判别式的意义得到，然后解不等式即可．【解答】解：根据题意得，解得 .故选．二、 填空题 （本题共计 1 小题 ，共计3分 ）4.【答案】【考点】根的判别式【解析】此题暂无解析【解答】解：根据题意，判别式，A B Δ=−4ac =0−4=−4<0b 2B C Δ=−4ac =(−2−4=0b 2)2C D Δ=−4ac =−4×3=4−12=−8<0b 222D A Δ≥0Δ=−4(a −1)≥0(−3)2a ≤134A k >−254Δ=−4×[−(4+k)]=25+4k >0(−3)2>−25解得，故答案为：．三、 解答题 （本题共计 3 小题 ，每题 3 分 ，共计9分 ）5.【答案】解：∵关于的一元二次方程有实数根，∴，解得：．∴的取值范围为：．由根与系数关系得：，，所以．解得（舍去）或．故的值是．【考点】一元二次方程的解根的判别式根与系数的关系【解析】无无【解答】解：∵关于的一元二次方程有实数根，∴，解得：．∴的取值范围为：．由根与系数关系得：，，所以．解得（舍去）或．故的值是．6.【答案】解：把代入，得，∴，∴，∴，∴或，∴，k >−254k >−254(1)+2(k −1)x +−1=0x 2k 2Δ=−4(−1)=−8k +8≥0[2(k −1)]2k 2k ≤1k k ≤1(2)+=−2(k −1)x1x 2=−1x 1x 2k 2(−2)(−2)=−2(+)+4x 1x 2x 1x 2x 1x 2=−1+4(k −1)+4=11k 2k =2k =−6k −6(1)+2(k −1)x +−1=0x 2k 2Δ=−4(−1)=−8k +8≥0[2(k −1)]2k 2k ≤1k k ≤1(2)+=−2(k −1)x 1x 2=−1x1x 2k 2(−2)(−2)=−2(+)+4x 1x 2x 1x 2x 1x 2=−1+4(k −1)+4=11k 2k =2k =−6k −6(1)x =−2+mx +m −2=0x 24−2m +m −2=0m =2+2x =0x 2x(x +2)=0x =0x +2=0=0,=−2x 1x 2∴该方程的另一个根是证明：∵，又∵，∴，∴无论取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根．解：的两个实数根为，∴，，∴.∵，∴，即，∴ ， .【考点】根与系数的关系根的判别式解一元二次方程-因式分解法一元二次方程的解【解析】此题暂无解析【解答】解：把代入，得，∴，∴，∴，∴或，∴，∴该方程的另一个根是证明：∵，又∵，∴，∴无论取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根．解：的两个实数根为，∴，，∴.∵，∴，即，0.(2)Δ=−4(m −2)=+4m 2(m −2)2≥0(m −2)2Δ=+4>0(m −2)2m (3)∵+mx +m −2=0x 2,x 1x 2+=−m x 1x 2=m −2x 1x 2++m(+)x 21x 22x 1x 2=−2+m(+)(+)x 1x 22x 1x 2x 1x 2=(−m −2(m −2)+m(−m))2=−2m +4++m(+)=+1x 21x 22x 1x 2m 2−2m +4=+1m 2+2m −3=0m 2=1m 1=−3m 2(1)x =−2+mx +m −2=0x 24−2m +m −2=0m =2+2x =0x 2x(x +2)=0x =0x +2=0=0,=−2x 1x 20.(2)Δ=−4(m −2)=+4m 2(m −2)2≥0(m −2)2Δ=+4>0(m −2)2m (3)∵+mx +m −2=0x 2,x 1x 2+=−m x 1x 2=m −2x 1x 2++m(+)x 21x 22x 1x 2=−2+m(+)(+)x 1x 22x 1x 2x 1x 2=(−m −2(m −2)+m(−m))2=−2m +4++m(+)=+1x 21x 22x 1x 2m 2−2m +4=+1m 2+2m −3=0m 2∴ ， .7.【答案】证明：∵令，则解得．∵，∴不论为何值，该抛物线与轴一定有两个公共点．解：∵，∴抛物线的对称轴为，解得，∴抛物线的函数解析式为．【考点】抛物线与x 轴的交点【解析】此题暂无解析【解答】证明：∵令，则解得．∵，∴不论为何值，该抛物线与轴一定有两个公共点．解：∵，∴抛物线的对称轴为，解得，∴抛物线的函数解析式为．=1m 1=−3m 2(1)y =−(x −m)(x −m)2=(x −m)(x −m −1)y =0(x −m)(x −m −1)=0.=m,=m +1x 1x 2m ≠m +1m x (2)y =−(x −m)(x −m)2=−(2m +1)x +m(m +1)x 2x =−=−(2m +1)252m =2y =−5x +6x 2(1)y =−(x −m)(x −m)2=(x −m)(x −m −1)y =0(x −m)(x −m −1)=0.=m,=m +1x 1x 2m ≠m +1m x (2)y =−(x −m)(x −m)2=−(2m +1)x +m(m +1)x 2x =−=−(2m +1)252m =2y =−5x +6x 2。
2022-2023学年全国初中九年级上数学人教版同步练习(含答案解析)000449
2022-2023学年全国初中九年级上数学人教版同步练习考试总分：100 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 小芳画了一个正方形风筝图案，此图案以正方形的某条对角线所在直线为对称轴，则小芳画的图案可能是（ ） A. B. C. D.2. 在平面直角坐标系中，下列说法正确的是（ ）A.点到轴的距离是B.若＝，则点表示原点C.若、，则直线轴D.第三象限内点的坐标，横纵坐标同号3. 如图，在的两边上分别截取，，使；分别以点，B 为圆心，长为半径作弧，两弧交于点；连接，，，．若，四边形的面积为．则的长为（）A.P(3,2)x 3ab 0P(a,b)A(2,−2)B(2,2)AB//x ∠MON OA OB OA =OB A OA C AC BC AB OC OC =8cm OACB 24cm 2BC 5cmB.C.D.4. 如图，在中，点为边上一点，过点作边的垂线．以下是排乱的作图步骤：①分别以点，为圆心，大于的长为半径在两侧作弧，两弧分别交于点，；②过点，作直线，则直线即为所求作垂线；③以点为圆心，适当长为半径向点两侧作弧，分别交于，两点．则作图步骤正确的顺序是( )A.①③②B.②①③C.③①②D.③②①5. 下列四个图形中，若以其中一部分作为基本图案，无论用旋转还是平移都不能得到的图形是（ ）A.B.C.D.6. 如图，小正方形是按一定规律摆放的，下面四个选项中的图片，适合填补图中空白处的是（ ）6cm4cm7cm△ABC D AC D AC M N MN 12AC P Q P Q PQ PQ D D AC M NA. B. C. D.7.将如图所示的图案通过平移后可以得到的图案是（ ） A. B. C. D.8. 图中所有的小正方形都全等，已有个正方形被涂黑，现将①②③④中某一个涂黑使得它与原来小正方形组成的图形既是轴对称图形又是中心对称图形，则要被涂黑的正方形是( )44A.①B.②C.③D.④二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9. 如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别是，，（1）请在图中，画出绕着点逆时针旋转后得到的，则的正切值________．（2）以点为位似中心，将缩小为原来的，得到，请在图中轴左侧，画出，若点是上的任意一点，则变换后的对应点的坐标是________．10. 如图，由个小正方形组成的网格中，任意选取个小正方形并涂黑，则黑色部分的图形是轴对称图形的概率是________．11. 已知是原点，点、的坐标分别为，在坐标轴上找出一点（与不重合），使以、、为顶点的三角形与全等．请写出点的坐标________.12. 如图，以的顶点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点，过点作射线，连结，若，则的度数为________．△ABC A(2,2)B(4,0)C(4,−4)△ABC O 90∘△A 1B 1C 1∠A 1C 1B 1=O △ABC 12△A 2B 2C 2y △A 2B 2C 2P(m,n)△ABC P'62×35O A B (2,0),(2,4)P P O A B P △ABO P ∠AOB O OA C OB D C D CD 12∠AOB E E OE CD ∠CDB =110∘∠EOB三、 解答题 （本题共计 4 小题 ，每题 10 分 ，共计40分 ）13. 如图所示，在平面直角坐标系中有四边形.写出四边形的顶点坐标；求线段的长；求四边形的面积．14.如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是，每个小正方形的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求作图．在图①中画一个边长为的菱形；在图②中画一个面积为的中心对称图形，但不是轴对称图形．15. 如图，在平面直角坐标系中，，，将点先向上平移个单位，再向左平移个单位，得到点，连接，．填空：点的坐标为________；如图，平分交轴于点，平分交于点，过点作交的延ABCD (1)ABCD (2)AB (3)ABCD 1(1)5–√(2)61OA =7OC =18C 74B AB BC (1)B (2)2BF ∠ABC x F CD ∠BCO BF D F FH ⊥BF BC长线于点，试判断与的位置关系，并说明理由；若点从点出发以每秒个单位长度的速度沿方向移动，同时点从点出发以每秒个单位长度的速度沿方向移动，设移动的时间为秒，四边形与的面积分别记为，，是否存在一段时间，使？若存在，求出的取值范围；若不存在，试说明理由． 16. 若一条直线将一个封闭图形的周长和面积同时平分，则称这条直线为这个封闭图形的“二分线”．（1）请在直尺在图中作一条二分线；在图中作一条二分线（非对角线）；（2）请用直尺和圆规在图中作一条二分线．（要求保留作图痕迹，不写作法）H DC FH (3)P C 2CO Q O 1OA t (0<t <7)OPBA △OQB S1S2<2S 1S 2t 123参考答案与试题解析2022-2023学年全国初中九年级上数学人教版同步练习一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】C【考点】利用轴对称设计图案【解析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．【解答】解：、不是轴对称图形，不符合题意；、不是轴对称图形，不符合题意；、是轴对称图形，符合题意；、不是轴对称图形，不符合题意．故选．2.【答案】D【考点】坐标与图形性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】A B C D C【答案】A【考点】菱形的判定与性质菱形的面积作图—几何作图【解析】根据作法判定出四边形是菱形，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得长，再利用勾股定理即可求解．【解答】解：根据作图可知，∴四边形是菱形，四边形的面积为，∴，解得，∴.故选．4.【答案】C【考点】作图—复杂作图【解析】此题暂无解析【解答】解：在 中过点作边的垂线，正确的作图步骤为：③以点为圆心，适当长为半径向点两侧作弧，分别交于，两点；①分别以点，为圆心，大于的长为半径在两侧作弧，两弧分别交于点，；②过点，作直线，则直线即为所求作垂线；故选．5.OACB AB OA =OB =BC =ACOACB OACB 24cm 2AB ⋅OC =×8×AB =241212AB =6cm BC ==5cm +(AB)122(OC)122−−−−−−−−−−−−−−−−−−√A △ABCC D AC D D AC M N M N MN 12AC P Q P Q PQ PQ C【答案】C【考点】利用旋转设计图案利用平移设计图案【解析】根据平移及旋转的性质判断各选项即可得出答案．【解答】、可以通过平移得到，故本选项错误；、可以通过旋转得到，故本选项错误；、符合题意，故本选项正确．、可以通过平移得到，故本选项错误．6.【答案】D【考点】规律型：图形的变化类规律型：数字的变化类【解析】根据题意知原图形中各行、各列中点数之和为，据此可得．【解答】解：由题意知，原图形中各行、各列中点数之和为，符合此要求的只有故选.7.【答案】B【考点】A B C D 1010D利用平移设计图案【解析】根据平移只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小解答．【解答】解：、可以通过旋转得到，故此选项错误；、没有改变图形的形状，对应线段平行且相等，符合题意，故此选项正确；、可以通过轴对称得到，故此选项错误；、可以通过旋转得到，故此选项错误．故选：．8.【答案】B【考点】利用轴对称设计图案【解析】此题暂无解析【解答】解：将①涂黑，则组成的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，将②涂黑，则组成的图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，将③、④涂黑，则组成的图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形.故选.二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9.【答案】【考点】作图-旋转变换作图-位似变换解直角三角形A B C D B B 13(−m,−n)1212【解析】（1）依据旋转的方向、角度和旋转中心，即可得到绕着点逆时针旋转后得到的，进而得到的正切值；（2）依据点为位似中心，将缩小为原来的，即可得到，以及变换后的对应点的坐标．【解答】如图所示，即为所求：由题可得，的正切值，故答案为：；如图所示，即为所求，∵点是上的任意一点，点为位似中心，∴变换后的对应点的坐标是．故答案为：．10.【答案】【考点】概率公式利用轴对称设计图案【解析】直接利用已知得出涂黑后是轴对称图形的位置，进而得出答案．【解答】解：由题意可得：空白部分一共有个位置，白色部分只有在或处时，黑色部分的图形是轴对称图形，△ABC O 90∘△A 1B 1C 1∠A 1C 1B 1O △ABC 12△A 2B 2C 2P'△A 1B 1C 1∠A 1C 1B 1==261313△A 2B 2C 2P(m,n)△ABC O P'(−m,−n)1212(−m,−n)121213612故黑色部分的图形是轴对称图形的概率是：．故答案为：.11.【答案】或或【考点】坐标与图形性质全等三角形的性质【解析】作出图形，根据全等三角形对应边相等解答即可.【解答】解：如图所示，以、、为顶点的三角形与全等，则点的坐标为或或.故答案为：或或.12.【答案】【考点】作图—几何作图角平分线的性质【解析】=261313(0,4)(4,0)(4,4)A B P △ABO P (0,4)(4,0)(4,4)(0,4)(4,0)(4,4)20∘本题主要考查角平分线的性质及作图.【解答】解：，.，，，.故答案为：.三、 解答题 （本题共计 4 小题 ，每题 10 分 ，共计40分 ）13.【答案】解：由图可知，的坐标分别为，，，；；作轴于点，轴于点，如图所示，则．【考点】三角形的面积坐标与图形性质点的坐标【解析】（1）根据线段的和差即可求出；【解答】∵∠CDB =110∘∴∠ODC =−=180∘110∘70∘∵OC =OD ∴∠ODC =∠OCD =70∘∴∠COD =40∘∴∠EOB =∠AOE =20∘20∘(1)A ，B ，C ，D A(1，0)B(5，0)C(3，3)D(2，4)(2)AB =OB−OA =5−1=4(3)CE ⊥x E DF ⊥x F S 四边形ABCD =++S △ADF S △BCE S 梯形CDFE=×(2−1)×4+×(5−3)×3+×(3+4)×(3−2)121212=8.5A ，B ，C ，D解：由图可知，的坐标分别为，，，；；作轴于点，轴于点，如图所示，则．14.【答案】解：如图①，四边形是菱形.如图②.【考点】作图—几何作图菱形的性质中心对称【解析】此题暂无解析【解答】(1)A ，B ，C ，D A(1，0)B(5，0)C(3，3)D(2，4)(2)AB =OB−OA =5−1=4(3)CE ⊥x E DF ⊥x F S 四边形ABCD =++S △ADF S △BCE S 梯形CDFE =×(2−1)×4+×(5−3)×3+×(3+4)×(3−2)121212=8.5(1)ABCD (2)解：如图①，四边形是菱形.如图②.15.【答案】结论：．理由如下：∵平分，∴，∵平分，∴，依题意得，，∴轴，∴，∴，∴，∴，∴，∵ ，∴．存在.如图中，(1)ABCD (2)(14,7)(2)DC//FH BF ∠ABC ∠FBC =∠ABC12CD ∠BCO ∠BCD =∠BCO 12A(0,7)B(14,7)AB ⊥y AB//OC ∠ABC +∠BCO =180∘∠FBC +∠BCD =∠ABC +∠BCO1212=(∠ABC +∠BCO)12=×=12180∘90∘∠BDC =−(∠FBC +∠BCD)=180∘90∘CD ⊥BF FH ⊥BF DC//FH (3)3由得，由题意得：，，则，，，，，∵要满足，∴，，又∵，∴当时，．【考点】几何变换综合题解一元一次不等式坐标与图形变化-平移平行线的性质【解析】（1）根据点向左平移单位长度再向上平移个单位长度得到对应点的坐标；（2）结论：．只要证明即可；（3）先根据动点、的速度表示出路程分别为：、，再根据面积公式表示出和，代入列不等式求的取值范围，并与相结合得出的取值．【解答】解：由题意，点先向上平移个单位，再向左平移个单位，则，即.故答案为：.结论：．理由如下：∵平分，∴，∵平分，∴，依题意得，，∴轴，(1)B(14,7)PC =2t OQ =t OP =18−2t A(0,7)C(18,0)=(AB+OP)×OA =(14+18−2t)×7=−7t+112S 11212=t×14=7t S 212<2S 1S 2−7t+112<2×7t t >1630<t <7<t <7163<2S 1S 2C 47B DC//FH CD ⊥BF P Q 2t t S 1S 2<2S 1S 2t 0<t <7t (1)C(18,0)C 74B(18−4,0+7)B(14,7)(14,7)(2)DC//FH BF ∠ABC ∠FBC =∠ABC 12CD ∠BCO ∠BCD =∠BCO 12A(0,7)B(14,7)AB ⊥y∴，∴，∴，∴，∴，∵ ，∴．存在.如图中，由得，由题意得：，，则，，，，，∵要满足，∴，，又∵，∴当时，．16.【答案】，如图，如图；如图．【考点】作图—复杂作图AB//OC ∠ABC +∠BCO =180∘∠FBC +∠BCD =∠ABC +∠BCO 1212=(∠ABC +∠BCO)12=×=12180∘90∘∠BDC =−(∠FBC +∠BCD)=180∘90∘CD ⊥BF FH ⊥BF DC//FH (3)3(1)B(14,7)PC =2t OQ =t OP =18−2t A(0,7)C(18,0)=(AB+OP)×OA =(14+18−2t)×7=−7t+112S 11212=t×14=7t S 212<2S 1S 2−7t+112<2×7t t >1630<t <7<t <7163<2S 1S 2123【解析】（1）如图中过圆心的任意一直线即可；如图中过对角线的交点的任意一直线即可；（2）如图中作底边的垂直平分线即可．【解答】，如图，如图；如图．123123。
2022-2023学年全国初中九年级上数学新人教版同步练习(含答案解析考点)063216
2022-2023学年全国初中九年级上数学新人教版同步练习考试总分：24 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、 选择题 （本题共计 2 小题 ，每题 3 分 ，共计6分 ）1. 已知点，，都在抛物线上，则( )A.B.C.D.2. 已知二次函数，当取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值总相等，则的值是( )A.B.C.D.无法确定二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 3 分 ，共计12分 ）3. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为．若抛物线（、为常数）与线段交于，两点，且，则的值为________．4. 二次函数的图象的顶点坐标为________．5. 将抛物线向右平移个单位后，再向下平移个单位，所得抛物线的顶点坐标为________．6. 若抛物线先向右平移一个单位长度，再向上平移三个单位长度得到，则_________.(−9,)y 1(4,)y 2(−2,)y 3y =a +m(a >0)x 2<<y 1y 2y 3<<y 1y 3y 2<<y 3y 2y 1<<y 2y 1y 3y =a −(a −3)x +2x 2x y a −33A (0,2)B (4,2)y =−(x −h +k 32)2h k ABCD CD =AB 12k y=−−2x +3x 2y =2(x −3+3)225y =+bx +c x 2y =−2x +3x 2b +c =三、 解答题 （本题共计 2 小题 ，每题 3 分 ，共计6分 ）7. 已知关于的二次函数，若该函数的图象与轴的交点坐标是，求的值.8. 已知二次函数的图像与轴交于，两点（在的左侧），与轴交于点，顶点为．求点，，的坐标，并在直角坐标系中画出该二次函数的大致图像；设一次函数的图像经过，两点，请直接写出满足的的取值范围．x y =m −(2m −6)x +m −2x 2y (0,3)m =−2x −3y 1x 2x A B A B y C D (1)A B D (2)=kx +b (k ≠0)y 2B C <y 1y 2x参考答案与试题解析2022-2023学年全国初中九年级上数学新人教版同步练习一、 选择题 （本题共计 2 小题 ，每题 3 分 ，共计6分 ）1.【答案】C【考点】二次函数y=ax^2+bx+c (a≠0)的图象和性质【解析】将抛物线解析式配方成顶点式，得到其对称轴位置，再根据开口向下知离对称轴的水平距离越小，对应的函数值越大，据此求解可得．【解答】解：∵，∴抛物线开口向上，对称轴是轴.∵离对称轴轴的水平距离越近，对应的函数值越小，，∴.故选.2.【答案】C【考点】二次函数y=ax^2+bx+c (a≠0)的图象和性质【解析】根据题意可得二次函数图象的对称轴为轴，从而求出值.【解答】解：二次函数,当取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值总相等，可知二次函数图象的对称轴为直线，即轴,则.y =a +m(a >0)x 2y y |−9|>4>|−2|<<y 3y 2y 1C y a y =a −(a −3)x +2x 2x y x =0y −=0−(a −3)2a解得：.故选．二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 3 分 ，共计12分 ）3.【答案】【考点】二次函数图象上点的坐标特征二次函数的性质【解析】根据题意，可以得到点的坐标和的值，然后将点的坐标代入抛物线的解析式，即可得到的值，本题得以解决．【解答】解：∵点的坐标为，点的坐标为，∴.∵抛物线（，为常数）与线段交于，两点，且，∴设点的坐标为，则点的坐标为，则，将坐标代入抛物线得：，解得，．故答案为：.4.【答案】【考点】二次函数y=ax^2+bx+c (a≠0)的图象和性质【解析】把二次函数解析式转化成顶点式形式，然后写出顶点坐标即可．【解答】a =3C 72C h C k A (0,2)B (4,2)AB =4y =−(x −h +k32)2h k AB C D CD =AB =212C (c,2)D (c +2,2)h ==c +12c +22C 2=−[c −(c +1)+k32]2k =7272(−1,4)=−−2x +32解：∵，∴顶点坐标为．故答案为：．5.【答案】【考点】二次函数图象的平移规律【解析】先得到抛物线的顶点坐标为，则把点向右平移个单位后得到，再向下平移个单位后得到【解答】解：∵抛物线的顶点坐标为，∴把点向右平移个单位后得到 ，再向下平移个单位后得到.故答案为： .6.【答案】【考点】二次函数图象的平移规律【解析】根据二次函数图象左加右减．上加下减的平移规律进行解答即可．【解答】解：先向左平移一个单位长度，再向下平移三个单位长度得到：，则，，则.故答案为：.三、 解答题 （本题共计 2 小题 ，每题 3 分 ，共计6分 ）7.y=−−2x +3x 2=−(+2x +1−1)+3x 2=−(x +1+4)2(−1,4)(−1,4)(5,−2)y =2+3(x −3)2(3,3)(3,3)2(1,3)5(1,−2)y =2+3(x −3)2(3,3)(3,3)2(5,3)5(5,−2)(5,−2)−1y =−2x +3=+2x 2(x −1)2y =+2−3=−1(x −1+1)2x 2b =0c =−1b +c =−1−1解：将，代入二次函数的表达式，得 ，解得.【考点】二次函数的性质待定系数法求二次函数解析式【解析】（1）把代入函数解析式，得到关于的方程，解即可；【解答】解：将，代入二次函数的表达式，得 ，解得.8.【答案】解：令,解得，，解：令,解得，，∴，.令，则，∴.∵，∴.函数图像如下图所示： 由中图象可知，当时，.【考点】二次函数图象上点的坐标特征二次函数y=ax^2+bx+c (a≠0)的图象和性质二次函数与不等式（组）x =0y =3m −2=3m =5(0,3)m x =0y =3m −2=3m =5(1)−2x −3=0x 2=−1x 1=3x 2(1)−2x −3=0x 2=−1x 1=3x 2A (−1,0)B (3,0)x =0y =−3C (0,−3)=−2x −3=−4y 1x 2(x −1)2D (1,−4)(2)(1)0<x <3<y 1y 2解一元二次方程即可得出、的坐标，把一般式化成顶点式，即可得出点的坐标，根据题意画出图象即可.根据图象来解答即可.【解答】解：令,解得，，∴，.令，则，∴.∵，∴.函数图像如下图所示：由中图象可知，当时，.A B D (1)−2x −3=0x 2=−1x 1=3x2A (−1,0)B (3,0)x =0y =−3C (0,−3)=−2x −3=−4y 1x 2(x −1)2D (1,−4)(2)(1)0<x <3<y 1y 2。
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学期衔接训练一、选择题1．计算48－913的结果是( B ) A ．－3 B.3 C ．－1133 D.11332．一直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长为( D ) A ．5 B.7 C. 5 D ．5或73．种植能手李大叔种植了一批新品种黄瓜，为了考察这种黄瓜的生长情况，李大叔抽查了部分黄瓜株上长出的黄瓜根数，得到如图的条形图，则抽查的这部分黄瓜株上所结黄瓜根数的中位数和众数分别是( C )A ．13.5，20B ．15，5C ．13.5，14D ．13，14,第5题图) ,第8题图)4，可得p 的值为( A )x －2 0 1 y 3 p 0A.1 B ．－1 C ．3 D 5．如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，点D 在BC 上，以AC 为对角线的所有▱ADCE 中，DE 最小的值是( B )A ．2B ．3C ．4D ．5 二、填空题6．若整数x 满足|x |≤3，则使7－x 为整数的x 的值是__－2或3___．(只需填一个)7．若一组数据2，－1，0，2，－1，a 的众数为2，则这组数据的平均数为__23___．8．如图，已知一条直线经过点A (0，2)，B (1，0)，将这条直线向左平移与x 轴、y 轴分别交于点C ，D .若DB ＝DC ，则直线CD 的函数解析式为__y ＝－2x －2___ .三、解答题9．如图，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 边上的一点，连接AE ，BD ，且AE ＝AB . (1)求证：∠ABE ＝∠EAD ；(2)若∠AEB ＝2∠ADB ，求证：四边形ABCD 是菱形．解：(1)证∠ABE ＝∠AEB ＝∠EAD (2)∵AD ∥BC ，∴∠ADB ＝∠DBE ，∵∠ABE ＝∠AEB ，∠AEB ＝2∠ADB ，∴∠ABE ＝2∠ADB ，∴∠ABD ＝∠ABE －∠DBE ＝2∠ADB －∠ADB ＝∠ADB ，∴AB ＝AD ，又∵四边形ABCD 是平行四边形，∴四边形ABCD 是菱形10．某市出租车计费方法如图所示，x (km)表示行驶里程，y (元)表示车费，请根据图象回答下面的问题：(1)出租车的起步价是多少元？当x ＞3时，求y 关于x 的函数关系式； (2)若某乘客有一次乘出租车的车费为32元，求这位乘客乘车的里程．解：(1)由图象得：出租车的起步价是8元；设当x ＞3时，y 与x 的函数关系式为y ＝kx ＋b ，由函数图象，得⎩⎨⎧8＝3k ＋b ，12＝5k ＋b ，解得 ⎩⎨⎧k ＝2，b ＝2，故y 与x 的函数关系式为y ＝2x ＋2 (2)当y ＝32时，32＝2x ＋2，x ＝15，则这位乘客乘车的里程是15 km第二十一章(这是单页眉，请据需要手工删加)第二十一章一元二次方程21．1一元二次方程1．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为__2___的整式方程叫做一元二次方程．2．一元二次方程的一般形式为__ax2＋bx＋c＝0(a≠0)___．3．使一元二次方程的左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的__解___，也叫做一元二次方程的__根___．知识点1：一元二次方程的概念1．下列方程是一元二次方程的是( D)A．ax2＋bx＋c＝0B．3x2－2x＝3(x2－2)C．x3－2x－4＝0 D．(x－1)2－1＝02．关于x的一元二次方程(a－3)x2＋x＋a2－9＝0，其中a的取值范围为( C)A．a＞3B．a≥3C．a≠3 D．a＜33．已知关于x的方程(m2－4)x2＋(m－2)x＋3m＝0，当m__≠±2___时，它是一元二次方程；当m__＝－2___时，它是一元一次方程．知识点2：一元二次方程的一般形式4．方程3x2＝5x－1化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是( B)A．3，5，－1 B．3，－5，1C．3，－5，－1 D．3，5，15．将一元二次方程2y2－1＝5y化为一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．解：一般形式为2y2－5y－1＝0，其中二次项系数是2，一次项系数是－5，常数项是－1知识点3：一元二次方程的解(根)6．下列关于x的方程中，一定有实数根－1的是( C)A．x2－x＋2＝0 B．x2＋x－2＝0C．x2－x－2＝0 D．x2＋1＝07．(2014·长沙)已知关于x的一元二次方程2x2－3kx＋4＝0的一个根是1，则k＝__2___．知识点4：用一元二次方程刻画实际问题中的数量关系8．用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米．若设它的一条边长为x米，则根据题意可列出关于x的方程为( B)A．x(5＋x)＝6 B．x(5－x)＝6C．x(10－x)＝6 D．x(10－2x)＝69．根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化为一般形式．(1)正方体的表面积为54，求正方体的边长x；解：6x2＝54，一般形式为6x2－54＝0(2)x 个球队参加篮球赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，一共进行了30场比赛，求参赛的篮球队数x.解：12x(x －1)＝30，一般形式为12x 2－12x －30＝010．下列是方程3x 2＋5x －2＝0的解的是( C ) A ．x ＝－1 B ．x ＝1 C ．x ＝－2 D ．x ＝211．已知实数a ，b 满足a 2－3a ＋1＝0，b 2－3b ＋1＝0，则关于一元二次方程x 2－3x ＋1＝0的根的说法中正确的是( D )A ．x ＝a ，x ＝b 都不是该方程的解B ．x ＝a 是该方程的解，x ＝b 不是该方程的解C ．x ＝b 是该方程的解，x ＝a 不是该方程的解D ．x ＝a ，x ＝b 都是该方程的解12．若关于x 的一元二次方程为ax 2＋bx ＋5＝0(a ≠0)的一个解是x ＝1，则2015－a －b 的值是( A )A ．2020B ．2010C ．2016D ．201413．若方程(m －2)x 2＋mx ＝1是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是__m ≥0且m ≠2___．14．小明用30厘米的铁丝围成一斜边长等于13厘米的直角三角形，设该直角三角形的一边长x 厘米，则另一边长__(17－x)___厘米，列方程得__x 2＋(17－x)2＝132___．15．如图，矩形ABCD 是由三个矩形拼接成的，AB ＝8，阴影部分的面积是24，另外两个小矩形全等．设小矩形的长为x ，则可列出的方程为__x(2x －8)＝24___．16．分别根据下列条件，写出一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的一般形式． (1)a ＝5，b ＝－4，c ＝－1；(2)二次项系数为3，一次项系数为－7，常数项为2. 解：(1)5x 2－4x －1＝0 (2)3x 2－7x ＋2＝017．根据下列问题，列出一元二次方程，并将其化成一般形式．(1)一个微信群里共有x 个好友，每个好友都分别给群里其他好友发送一条信息，这样共有756条消息；(2)两个连续奇数的平方和为130，求这两个奇数． 解：(1)x(x －1)＝756，x 2－x －756＝0(2)设这两个连续奇数分别为n ，n ＋2，则n 2＋(n ＋2)2＝130，2n 2＋4n －126＝018．关于x 的方程(a －3)x |a|－1＋x －5＝0是一元二次方程，求a 的值．解：由定义可得⎩⎨⎧|a|－1＝2，a －3≠0，解得a ＝－319．已知k 是方程x 2－101x ＋1＝0的一个不为0的根，不解方程，你能求出k 2－100k ＋101k 2＋1的值吗？如果能，请写出解答过程；如果不能，请说明理由．(用方程根的定义解答) 解：∵k 2－101k ＋1＝0，∴k 2－100k ＝k －1，k 2＋1＝101k ，原式＝k －1＋1k ＝k 2＋1k－1＝101k k －1＝10021．2解一元二次方程21．2.1配方法第1课时直接开平方法1．若x2＝a(a≥0)，则x就叫做a的平方根，记为x＝__±a___(a≥0)，由平方根的意义降次来解一元二次方程的方法叫做直接开平方法．2．直接开平方，把一元二次方程“降次”转化为__两个一元一次方程___．3．如果方程能化为x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式，那么x＝__±p___或mx ＋n＝__±p___．知识点1：可化为x2＝p(p≥0)型方程的解法1．方程x2－16＝0的根为( C)A．x＝4B．x＝16C．x＝±4 D．x＝±82．方程x2＋m＝0有实数根的条件是( D)A．m＞0 B．m≥0C．m＜0 D．m≤03．方程5y2－3＝y2＋3的实数根的个数是( C)A．0个B．1个C．2个D．3个4．若4x2－8＝0成立，则x的值是__±2___．5．解下列方程：(1)3x2＝27；解：x1＝3，x2＝－3(2)2x2＋4＝12；解：x1＝2，x2＝－2(3)5x2＋8＝3.解：没有实数根知识点2：形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的解法6．一元二次方程(x＋6)2＝16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x ＋6＝4，则另一个一元一次方程是( D)A．x－6＝－4 B．x－6＝4C．x＋6＝4 D．x＋6＝－47．若关于x的方程(x＋1)2＝1－k没有实数根，则k的取值范围是( D)A．k＜1 B．k＜－1C．k≥1 D．k＞18．一元二次方程(x－3)2＝8的解为__x＝3±22___．9．解下列方程：(1)(x－3)2－9＝0；解：x1＝6，x2＝0(2)2(x－2)2－6＝0；解：x1＝2＋3，x2＝2－ 3(3)x2－2x＋1＝2.解：x1＝1＋2，x2＝1－ 210．(2014·白银)一元二次方程(a ＋1)x 2－ax ＋a 2－1＝0的一个根为0，则a ＝__1___．11．若x 2－4x ＋2的值为0，则x ＝__2___．12．由x 2＝y 2得x ＝±y ，利用它解方程(3x －4)2＝(4x －3)2，其根为__x ＝±1___．13．在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b ＝a 2－b 2，根据这个规则，方程(x ＋2)*5＝0的根为__x 1＝3，x 2＝－7___．14．下列方程中，不能用直接开平方法求解的是( C ) A ．x 2－3＝0 B ．(x －1)2－4＝0C ．x 2＋2x ＝0D ．(x －1)2＝(2x ＋1)2 15．(2014·枣庄)x 1，x 2是一元二次方程3(x －1)2＝15的两个解，且x 1＜x 2，下列说法正确的是( A )A ．x 1小于－1，x 2大于3B ．x 1小于－2，x 2大于3C ．x 1，x 2在－1和3之间D ．x 1，x 2都小于316．若(x 2＋y 2－3)2＝16，则x 2＋y 2的值为( A ) A ．7 B ．7或－1 C ．－1 D ．19 17．解下列方程： (1)3(2x ＋1)2－27＝0； 解：x 1＝1，x 2＝－2(2)(x －2)(x ＋2)＝10； 解：x 1＝23，x 2＝－2 3(3)x 2－4x ＋4＝(3－2x)2；解：x 1＝1，x 2＝53(4)4(2x －1)2＝9(2x ＋1)2.解：x 1＝－52，x 2＝－11018．若2(x 2＋3)的值与3(1－x 2)的值互为相反数，求x ＋3x2的值．解：由题意得2(x 2＋3)＋3(1－x 2)＝0，∴x ＝±3.当x ＝3时，x ＋3x 2＝23；当x ＝－3时，x ＋3x2＝019．如图，在长和宽分别是a，b的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形．(1)用a，b，x表示纸片剩余部分的面积；(2)当a＝6，b＝4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的边长．解：(1)ab－4x2(2)依题意有ab－4x2＝4x2，将a＝6，b＝4代入，得x2＝3，解得x1＝3，x2＝－3(舍去)，即正方形的边长为 3第2课时配方法1．通过配成__完全平方形式___来解一元二次方程的方法叫做配方法．2．配方法的一般步骤：(1)化二次项系数为1，并将含有未知数的项放在方程的左边，常数项放在方程的右边；(2)配方：方程两边同时加上__一次项系数的一半的平方___，使左边配成一个完全平方式，写成__(mx＋n)2＝p___的形式；(3)若p__≥___0，则可直接开平方求出方程的解；若p__＜___0，则方程无解．知识点1：配方1．下列二次三项式是完全平方式的是( B)A．x2－8x－16B．x2＋8x＋16C．x2－4x－16 D．x2＋4x＋162．若x2－6x＋m2是一个完全平方式，则m的值是( C)A．3 B．－3C．±3 D．以上都不对3．用适当的数填空：x2－4x＋__4___＝(x－__2___)2；m2__±3___m＋94＝(m__±32___)2.知识点2：用配方法解x2＋px＋q＝0型的方程4．用配方法解一元二次方程x2－4x＝5时，此方程可变形为( D) A．(x＋2)2＝1 B．(x－2)2＝1C．(x＋2)2＝9 D．(x－2)2＝95．下列配方有错误的是( D)A．x2－2x－3＝0化为(x－1)2＝4B．x2＋6x＋8＝0化为(x＋3)2＝1C．x2－4x－1＝0化为(x－2)2＝5D．x2－2x－124＝0化为(x－1)2＝1246．(2014·宁夏)一元二次方程x2－2x－1＝0的解是( C)A．x1＝x2＝1B．x1＝1＋2，x2＝－1－ 2C．x1＝1＋2，x2＝1－ 2D．x1＝－1＋2，x2＝－1－ 27．解下列方程：(1)x2－4x＋2＝0；解：x1＝2＋2，x2＝2－ 2(2)x2＋6x－5＝0.解：x1＝－3＋14，x2＝－3－14知识点3：用配方法解ax2＋bx＋c＝0(a≠0)型的方程8．解方程3x 2－9x ＋1＝0，两边都除以3得__x 2－3x ＋13＝0___，配方后得__(x －32)2＝2312___．9．方程3x 2－4x －2＝0配方后正确的是( D )A ．(3x －2)2＝6B ．3(x －2)2＝7C ．3(x －6)2＝7D ．3(x －23)2＝10310．解下列方程：(1)3x 2－5x ＝－2；解：x 1＝23，x 2＝1(2)2x 2＋3x ＝－1.解：x 1＝－1，x 2＝－1211．对于任意实数x ，多项式x 2－4x ＋5的值一定是( B )A ．非负数B ．正数C ．负数D ．无法确定 12．方程3x 2＋2x ＝6，左边配方得到的方程是( B ) A ．(x ＋26)2＝－3718 B ．(x ＋26)2＝3718C ．(x ＋26)2＝3518D ．(x ＋26)2＝611813．已知方程x 2－6x ＋q ＝0可以配方成(x －p)2＝7的形式，那么x 2－6x ＋q ＝2可以配方成下列的( B )A ．(x －p)2＝5B ．(x －p)2＝9C ．(x －p ＋2)2＝9D ．(x －p ＋2)2＝514．已知三角形一边长为12，另两边长是方程x 2－18x ＋65＝0的两个实数根，那么其另两边长分别为__5和13___，这个三角形的面积为__30___．15．当x ＝__2___时，式子200－(x －2)2有最大值，最大值为__200___；当y ＝__－1___时，式子y 2＋2y ＋5有最__小___值为__4___．16．用配方法解方程：(1)23x 2＝2－13x ； 解：x 1＝32，x 2＝－2(2)3y 2＋1＝23y.解：y 1＝y 2＝3317．把方程x 2－3x ＋p ＝0配方得到(x ＋m)2＝12，求常数m 与p 的值． 解：m ＝－32，p ＝7418．试证明关于x 的方程(a 2－8a ＋20)x 2＋2ax ＋1＝0，无论a 为何值，该方程都是一元二次方程．解：∵a 2－8a ＋20＝(a －4)2＋4≠0，∴无论a 取何值，该方程都是一元二次方程19．选取二次三项式ax 2＋bx ＋c(a ≠0)中的两项，配成完全平方式的过程叫做配方．例如：①选取二次项和一次项配方：x 2－4x ＋2＝(x －2)2－2；②选取二次项和常数项配方：x 2－4x ＋2＝(x －2)2＋(22－4)x ，或x 2－4x ＋2＝(x ＋2)2－(4＋22)x ；③选取一次项和常数项配方：x 2－4x ＋2＝(2x －2)2－x 2.根据上述材料，解决下列问题：(1)写出x 2－8x ＋4的两种不同形式的配方；(2)已知x 2＋y 2＋xy －3y ＋3＝0，求x y 的值．解：(1)x 2－8x ＋4＝x 2－8x ＋16－16＋4＝(x －4)2－12；x 2－8x ＋4＝(x －2)2＋4x －8x ＝(x－2)2－4x (2)x 2＋y 2＋xy －3y ＋3＝0，(x 2＋xy ＋14y 2)＋(34y 2－3y ＋3)＝0，(x ＋12y)2＋34(y －2)2＝0，又∵(x ＋12y)2≥0，34(y －2)2≥0，∴x ＋12y ＝0，y －2＝0，∴x ＝－1，y ＝2，则x y ＝(－1)2＝121．2.2 公式法1．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，当__b 2－4ac ≥0___时，x ＝－b±b 2－4ac 2a，这个式子叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的__求根公式___．2．式子__b 2－4ac___叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0根的判别式，常用Δ表示，Δ＞0⇔ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有__有两个不等的实数根___；Δ＝0⇔ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有__两个相等的实数根___；Δ＜0⇔ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)__没有实数根___．知识点1：根的判别式1．下列关于x 的方程有实数根的是( C )A ．x 2－x ＋1＝0B ．x 2＋x ＋1＝0C ．(x －1)(x ＋2)＝0D ．(x －1)2＋1＝02．(2014·兰州)一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个不相等的实数根，下列选项中正确的是( B )A ．b 2－4ac ＝0B ．b 2－4ac ＞0C ．b 2－4ac ＜0D ．b 2－4ac ≥03．一元二次方程x 2－4x ＋5＝0的根的情况是( D )A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根4．利用判别式判断下列方程的根的情况：(1)9x 2－6x ＋1＝0；解：∵a ＝9，b ＝－6，c ＝1，∴Δ＝(－6)2－4×9×1＝0，∴此方程有两个相等的实数根(2)8x 2＋4x ＝－3；解：化为一般形式为8x 2＋4x ＋3＝0，∵a ＝8，b ＝4，c ＝3，∴Δ＝42－4×8×3＝－80＜0，∴此方程没有实数根(3)2(x 2－1)＋5x ＝0. 解：化为一般形式为2x 2＋5x －2＝0，∵a ＝2，b ＝5，c ＝－2，∴Δ＝52－4×2×(－2)＝41＞0，∴此方程有两个不相等的实数根知识点2：用公式法解一元二次方程5．方程5x ＝2x 2－3中，a ＝__2___，b ＝__－5___，c ＝__－3___，b 2－4ac ＝__49___．6．一元二次方程x 2－x －6＝0中，b 2－4ac ＝__25___，可得x 1＝__3___，x 2＝__－2___．7．方程x 2－x －1＝0的一个根是( B )A ．1－ 5B .1－52C ．－1＋ 5D .－1＋528．用公式法解下列方程：(1)x 2－3x －2＝0；解：x 1＝3＋172，x 2＝3－172(2)8x 2－8x ＋1＝0；解：x 1＝2＋24，x 2＝2－24(3)2x 2－2x ＝5.解：x 1＝1＋112，x 2＝1－1129．(2014·广东)关于x 的一元二次方程x 2－3x ＋m ＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为( B )A ．m ＞94B ．m ＜94C ．m ＝94D ．m ＜－9410．若关于x 的一元二次方程kx 2－2x －1＝0有实数根，则实数k 的取值范围是( C )A ．k ＞－1B ．k ＜1且k ≠0C ．k ≥－1且k ≠0D ．k ＞－1且k ≠011．已知关于x 的一元二次方程x 2＋bx ＋b －1＝0有两个相等的实数根，则b 的值是__2___．12．关于x 的方程(a ＋1)x 2－4x －1＝0有实数根，则a 满足的条件是__a ≥－5___．13．用公式法解下列方程：(1)x(2x －4)＝5－8x ；解：x 1＝－2＋142，x 2＝－2－142(2)(3y －1)(y ＋2)＝11y －4.解：y 1＝3＋33，y 2＝3－3314．当x 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＜3x －3，12（x －4）＜13（x －4）时，求出方程x 2－2x －4＝0的根． 解：解不等式组得2<x<4，解方程得x 1＝1＋5，x 2＝1－5，∴x ＝1＋ 515．(2014·梅州)已知关于x 的方程x 2＋ax ＋a －2＝0.(1)若该方程的一个根为1，求a 的值及该方程的另一根；(2)求证：不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．解：(1)a ＝12，另一个根为x ＝－32(2)∵Δ＝a 2－4(a －2)＝(a －2)2＋4＞0，∴无论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根16．关于x 的一元二次方程(a －6)x 2－8x ＋9＝0有实数根．(1)求a 的最大整数值；(2)当a 取最大整数值时，求出该方程的根．解：(1)∵关于x 的一元二次方程(a －6)x 2－8x ＋9＝0有实根，∴a －6≠0，Δ＝(－8)2－4×(a－6)×9≥0，解得a≤709且a≠6，∴a的最大整数值为7(2)当a＝7时，原一元二次方程变为x2－8x＋9＝0.∵a＝1，b＝－8，c＝9，∴Δ＝(－8)2－4×1×9＝28，∴x＝－（－8）±282＝4±7，即x1＝4＋7，x2＝4－717．(2014·株洲)已知关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．(1)如果x＝－1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；(3)如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．解：(1)△ABC是等腰三角形．理由：∵x＝－1是方程的根，∴(a＋c)×(－1)2－2b＋(a －c)＝0，∴a＋c－2b＋a－c＝0，∴a－b＝0，∴a＝b，∴△ABC是等腰三角形(2)∵方程有两个相等的实数根，∴(2b)2－4(a＋c)(a－c)＝0，∴4b2－4a2＋4c2＝0，∴a2＝b2＋c2，∴△ABC是直角三角形(3)当a＝b＝c时，可整理为2ax2＋2ax＝0，∴x2＋x＝0，解得x1＝0，x2＝－121．2.3 因式分解法1．当一元二次方程的一边为0，另一边可以分解成两个一次因式的乘积时，通常将一元二次方程化为__两个一次因式___的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做__因式分解___法．2．解一元二次方程，首先看能否用__直接开平方法___；再看能否用__因式分解法___；否则就用__公式法___；若二次项系数为1，一次项系数为偶数可先用__配方法___．知识点1：用因式分解法解一元二次方程1．方程(x ＋2)(x －3)＝0的解是( C )A ．x ＝2B ．x ＝－3C ．x 1＝－2，x 2＝3D ．x 1＝2，x 2＝－32．一元二次方程x(x －5)＝5－x 的根是( D )A ．－1B ．5C ．1和5D ．－1和53．(2014·永州)方程x 2－2x ＝0的解为__x 1＝0，x 2＝2___．4．方程x 2－2x ＋1＝0的根是__x 1＝x 2＝1___．5．用因式分解法解下列方程：(1)x 2－4＝0；解：x 1＝2，x 2＝－2(2)x 2－23x ＝0；解：x 1＝0，x 2＝2 3(3)(3－x)2－9＝0；解：x 1＝0，x 2＝6(4)x 2－4x ＋4＝(3－2x)2.解：x 1＝1，x 2＝53知识点2：用适当的方法解一元二次方程6．解方程(x ＋1)2－5(x ＋1)＋6＝0时，我们可以将x ＋1看成一个整体，设x ＋1＝y ，则原方程可化为y 2－5y ＋6＝0，解得y 1＝2，y 2＝3.当y ＝2时，即x ＋1＝2，解得x ＝1；当y ＝3时，即x ＋1＝3，解得x ＝2，所以原方程的解为x 1＝1，x 2＝2.利用这种方法求方程(2x －1)2－4(2x －1)＋3＝0的解为( C )A ．x 1＝1，x 2＝3B ．x 1＝－1，x 2＝－3C ．x 1＝1，x 2＝2D ．x 1＝0，x 2＝－17．用适当的方法解方程：(1)2(x －1)2＝12.5；解：用直接开平方法解，x 1＝3.5，x 2＝－1.5(2)x 2＋2x －168＝0；解：用配方法解，x 1＝12，x 2＝－14(3)2x 2＝2x ；解：用因式分解法解，x 1＝0，x 2＝ 2(4)4x 2－3x －2＝0.解：用公式法解，x 1＝3＋418，x 2＝3－4188．方程x(x －1)＝－x ＋1的解为( D ) A ．x ＝1 B ．x ＝－1C ．x 1＝0，x 2＝－1D ．x 1＝1，x 2＝－19．用因式分解法解方程，下列方法中正确的是( A ) A ．(2x ＋2)(3x ＋4)＝0化为2x ＋2＝0或3x ＋4＝0 B ．(x －3)(x ＋1)＝1化为x －3＝1或x ＋1＝1 C ．(x －2)(x －3)＝2×3化为x －2＝2或x －3＝3 D ．x(x －2)＝0化为x －2＝010．一个三角形的两边长分别为3和6，第三边的边长是方程(x －2)(x －4)＝0的根，则这个三角形的周长是( C )A ．11B ．11或13C ．13D ．以上都不对11．(2014·陕西)若x ＝－2是关于x 的一元二次方程x 2－52ax ＋a 2＝0的一个根，则a 的值是( B )A ．1或4B ．－1或－4C ．－1或4D ．1或－4 12．已知x ＝1是关于x 的方程(1－k)x 2＋k 2x －1＝0的根，则常数k 的值为__0或1___． 13．已知(x 2＋2x －3)0＝x 2－3x ＋3，则x ＝__2___． 14．用因式分解法解下列方程： (1)x 2－3x ＝x －4； 解：x 1＝x 2＝2(2)(x －3)2＝3(x －3)． 解：x 1＝3，x 2＝615．用适当的方法解下列方程： (1)4(x －1)2＝2；解：x 1＝2＋22，x 2＝－2＋22(2)x 2－6x ＋4＝0；解：x 1＝3＋5，x 2＝3－ 5(3)x 2－4＝3x －6； 解：x 1＝1，x 2＝2(4)(x ＋5)2＋x 2＝25. 解：x 1＝－5，x 2＝016．一跳水运动员从10 m 高台上跳下，他离水面的高度h(单位：m )与所用时间t(单位：s)的关系是h＝－5(t－2)(t＋1)，那么运动员从起跳到入水所用的时间是多少？解：依题意，得－5(t－2)(t＋1)＝0，解得t1＝－1(不合题意，舍去)，t2＝2，故运动员从起跳到入水所用的时间为2 s17．先阅读下列材料，然后解决后面的问题：材料：因为二次三项式x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)，所以方程x2＋(a＋b)x＋ab＝0可以这样解：∵(x＋a)(x＋b)＝0，∴x＋a＝0或x＋b＝0，∴x1＝－a，x2＝－b.问题：(1)用因式分解法解方程x2－kx－16＝0时，得到的两根均为整数，则k的值可以为__－15，－6，0，6，15___；(2)已知实数x满足(x2－x)2－4(x2－x)－12＝0，则代数式x2－x＋1的值为__7___．专题训练(一) 一元二次方程的解法及配方法的应用一、一元二次方程的解法 1．用直接开平方法解方程： (1)(4x －1)2＝225；解：x 1＝4，x 2＝－72(2)13(x －2)2＝8； 解：x 1＝2＋26，x 2＝2－2 6(3)9x 2－6x ＋1＝9；解：x 1＝43，x 2＝－23(4)3(2x ＋1)2－2＝0.解：x 1＝－12＋66，x 2＝－12－662．用配方法解方程： (1)2t 2－3t ＝－1；解：t 1＝12，t 2＝1(2)2x 2＋5x －1＝0；解：x 1＝－5＋334，x 2＝－5－334(3)(2x －1)(3x －1)＝3－6x ；解：x 1＝12，x 2＝－23(4)(2x －1)2＝x(3x ＋2)－7. 解：x 1＝4，x 2＝23．用公式法解方程： (1)x 2＝6x ＋1;解：x 1＝3＋10，x 2＝3－10(2)0.2x 2－0.1＝0.4x ；解：x 1＝2＋62，x 2＝2－62(3)2x －2＝2x 2.解：原方程无实数根4．用因式分解法解方程： (1)(x －1)2－2(x －1)＝0； 解：x 1＝3，x 2＝1(2)5x(x －3)＝(x －3)(x ＋1)；解：x 1＝3，x 2＝14(3)(x ＋2)2－10(x ＋2)＋25＝0. 解：x 1＝x 2＝35．用适当的方法解方程： (1)2(x －3)2＝x 2－9； 解：x 1＝3，x 2＝9(2)(2x ＋1)(4x －2)＝(2x －1)2＋2；解：x 1＝－1＋62，x 2＝－1－62(3)(x ＋1)(x －1)＋2(x ＋3)＝8. 解：x 1＝1，x 2＝－3二、配方法的应用 (一)最大(小)值6．利用配方法证明：无论x 取何实数值，代数式－x 2－x －1的值总是负数，并求出它的最大值．解：－x 2－x －1＝－(x ＋12)2－34，∵－(x ＋12)2≤0，∴－(x ＋12)2－34＜0，故结论成立．当x ＝－12时，－x 2－x －1有最大值－347．对关于x的二次三项式x2＋4x＋9进行配方得x2＋4x＋9＝(x＋m)2＋n.(1)求m，n的值；(2)求x为何值时，x2＋4x＋9有最小值，并求出最小值为多少？解：(1)∵x2＋4x＋9＝(x＋m)2＋n＝x2＋2mx＋m2＋n，∴2m＝4，m2＋n＝9，∴m＝2，n＝5(2)∵m＝2，n＝5，∴x2＋4x＋9＝(x＋2)2＋5，∴当x＝－2时，有最小值是5(二)非负数的和为08．已知a2＋b2＋4a－2b＋5＝0，求3a2＋5b2－5的值．解：∵a2＋b2＋4a－2b＋5＝0，∴(a2＋4a＋4)＋(b2－2b＋1)＝0，即(a＋2)2＋(b－1)2＝0，∴a＝－2，b＝1.∴3a2＋5b2－4＝3×(－2)2＋5×12－5＝129．若a，b，c是△ABC的三边长且满足a2－6a＋b2－8b＋c－5＋25＝0，请根据已知条件判断其形状．解：等式变形为a2－6a＋9＋b2－8b＋16＋c－5＝0，即(a－3)2＋(b－4)2＋c－5＝0，由非负性得(a－3)2＝0，(b－4)2＝0，c－5＝0，∴a＝3，b＝4，c＝5.∵32＋42＝52，即a2＋b2＝c2，∴△ABC为直角三角形21．2.4 一元二次方程的根与系数的关系1．若一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两个根分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝__－p___，x 1x 2＝__q___．2．若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个根分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝__－ba___，x 1x 2＝__ca___．3．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根与系数的关系应用条件：(1)一般形式，即__ax 2＋bx ＋c ＝0___；(2)二次方程，即__a ≠0___；(3)有根，即__b 2－4ac ≥0___．知识点1：利用根与系数的关系求两根之间关系的代数式的值1．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2＋2x －1＝0的两根，则x 1＋x 2的值是( C ) A ．0 B ．2 C ．－2 D ．4 2．(2014·昆明)已知x 1，x 2是一元二次方程x 2－4x ＋1＝0的两个实数根，则x 1x 2等于( C ) A ．－4 B ．－1 C ．1 D ．43．已知方程x 2－6x ＋2＝0的两个解分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2－x 1x 2的值为( D ) A ．－8 B ．－4 C ．8 D ．44．已知x 1，x 2是方程x 2－3x －4＝0的两个实数根，则(x 1－2)(x 2－2)＝__－6___． 5．不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积： (1)x 2＋3x ＋1＝0；解：x 1＋x 2＝－3，x 1x 2＝1(2)2x 2－4x －1＝0；解：x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－12(3)2x 2＋3＝5x 2＋x.解：x 1＋x 2＝－13，x 1x 2＝－16．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2－3x －1＝0的两根，不解方程求下列各式的值：(1)x 12＋x 22； (2)1x 1＋1x 2.解：(1)x 12＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1·x 2＝11 (2)1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝－3知识点2：利用根与系数的关系求方程中待定字母的值7．已知关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根互为相反数，则( B ) A ．b ＞0 B ．b ＝0 C ．b ＜0 D ．c ＝08．已知一元二次方程x 2－6x ＋c ＝0有一个根为2，则另一根和c 分别为( C ) A ．1，2 B ．2，4 C ．4，8 D ．8，169．若关于x 的一元二次方程x 2＋bx ＋c ＝0的两个实数根分别为x 1＝－2，x 2＝4，则b ＋c 的值是( A )A ．－10B ．10C ．－6D ．－1 10．(2014·烟台)关于x 的方程x 2－ax ＋2a ＝0的两根的平方和是5，则a 的值是( D ) A ．－1或5 B ．1 C ．5 D ．－111．若关于x 的一元二次方程x 2－4x ＋k －3＝0的两个实数根为x 1，x 2，且满足x 1＝3x 2，试求出方程的两个实数根及k 的值．解：由根与系数的关系得⎩⎨⎧x 1＋x 2＝4①，x 1x 2＝k －3②，又∵x 1＝3x 2③，联立①③，解方程组得⎩⎨⎧x 1＝3，x 2＝1，∴k ＝x 1x 2＋3＝3×1＋3＝612．已知一元二次方程x 2－2x ＋2＝0，则下列说法正确的是( D ) A ．两根之和为2 B ．两根之积为2 C ．两根的平方和为0 D ．没有实数根13．已知α，β满足α＋β＝6，且αβ＝8，则以α，β为两根的一元二次方程是( B ) A ．x 2＋6x ＋8＝0 B ．x 2－6x ＋8＝0 C ．x 2－6x －8＝0 D ．x 2＋6x －8＝014．设x 1，x 2是方程x 2＋3x －3＝0的两个实数根，则x 2x 1＋x 1x 2的值为( B )A ．5B ．－5C ．1D ．－115．方程x 2－(m ＋6)x ＋m 2＝0有两个相等的实数根，且满足x 1＋x 2＝x 1x 2，则m 的值是( C )A ．－2或3B ．3C ．－2D ．－3或2 16．(2014·呼和浩特)已知m ，n 是方程x 2＋2x －5＝0的两个实数根，则m 2－mn ＋3m ＋n ＝__8___．17．在解某个方程时，甲看错了一次项的系数，得出的两个根为－8，－1；乙看错了常数项，得出的两个根为8，1，则这个方程为__x 2－9x ＋8＝0___．18．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2－4x ＋1＝0的两个实数根，求(x 1＋x 2)2÷(1x 1＋1x 2)的值．解：由根与系数的关系得x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝1，∴(x 1＋x 2)2÷(1x 1＋1x 2)＝x 1x 2(x 1＋x 2)＝419．已知关于x 的一元二次方程x 2－2kx ＋k 2＋2＝2(1－x)有两个实数根x 1，x 2. (1)求实数k 的取值范围；(2)若方程的两实数根x 1，x 2满足|x 1＋x 2|＝x 1x 2－1，求k 的值．解：(1)方程整理为x 2－2(k －1)x ＋k 2＝0，由题意得Δ＝4(k －1)2－4k 2≥0，∴k ≤12 (2)由题意得x 1＋x 2＝2(k －1)，x 1x 2＝k 2，∵|x 1＋x 2|＝x 1x 2－1，∴|2(k －1)|＝k 2－1，∵k ≤12，∴－2(k －1)＝k 2－1，整理得k 2＋2k －3＝0，解得k 1＝－3，k 2＝1(舍去)，∴k ＝－320．设x 1，x 2是方程x 2－x －2015＝0的两个实数根，求x 13＋2016x 2－2015的值． 解：x 2－x －2015＝0，∴x 2＝x ＋2015，x ＝x 2－2015.又∵x 1，x 2是方程x 2－x －2015＝0的两个实数根，∴x 1＋x 2＝1，∴x 13＋2016x 2－2015＝x 1·x 12＋2016x 2－2015＝x 1·(x 1＋2015)＋2016x2－2015＝x12＋2015x1＋2016x2－2015＝x1＋2015＋2015x1＋2016x2－2015＝2016(x1＋x2)＋2015－2015＝201621.3 实际问题与一元二次方程第1课时 用一元二次方程解决传播问题1．列一元二次方程可以解决许多实际问题，解题的一般步骤是：①审题，弄清已知量、__未知量___；②设未知数，并用含有__未知数___的代数式表示其他数量关系；③根据题目中的__等量关系___，列一元二次方程；④解方程，求出__未知数___的值；⑤检验解是否符合问题的__实际意义___；⑥写出答案．2．一个两位数，个位数字为a ，十位数字为b ，则这个两位数为__10b ＋a___，若交换两个数位上的数字，则得到的新两位数为__10a ＋b___．知识点1：倍数传播问题1．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，若主干、支干和小分支的总数是91，设每个支干长出小分支的个数为x ，则依题意可列方程为__1＋x ＋x 2＝91___．2．某生物实验室需培育一群有益菌．现有60个活体样本，经过两轮培植后，总和达24000个，其中每个有益菌每一次可分裂出若干个相同数目的有益菌．(1)每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出多少个有益菌？ (2)按照这样的分裂速度，经过三轮培植后有多少个有益菌？解：(1)设每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出x 个有益菌，根据题意得60(1＋x)2＝24000，解得x 1＝19，x 2＝－21(不合题意，舍去)，则每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出19个有益菌 (2)60×(1＋19)3＝60×203＝480000(个)，则经过三轮培植后共有480000个有益菌知识点2：握手问题 3．(2014·天津)要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，设比赛组织者应邀请x 个队参赛，则x 满足的关系式为( B )A .12x(x ＋1)＝28B .12x(x －1)＝28 C ．x(x ＋1)＝28 D ．x(x －1)＝284．在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手210次，设有x 人参加这次聚会，则依题意可列出方程为__x （x －1）2＝210___．5．在一次商品交易会上，参加交易会的每两家公司之间都要签订一份合同，会议结束后统计共签订了78份合同，问有多少家公司出席了这次交易会？解：设有x 家公司出席了这次交易会，根据题意得12x(x －1)＝78，解得x 1＝13，x 2＝－12(不合题意，舍去)，故有13家公司出席了这次交易会知识点3：数字问题6．两个连续偶数的和为14，积为48，则这两个连续偶数是__6和8___． 7．已知一个两位数比它的个位上的数的平方小6，个位上的数与十位上的数的和是13，求这个两位数．解：设这个两位数的个位数字为x ，则十位数字为(13－x)，由题意得10(13－x)＋x ＋6＝x 2，整理得x 2＋9x －136＝0，解得x 1＝8，x 2＝－17(不合题意，舍去)，∴13－x ＝5，则这个两位数是588．生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了132件，如果全组有x名同学，则根据题意列出的方程是( B)A．x(x＋1)＝132 B．x(x－1)＝132C．x(x＋1)＝132×2 D．x(x－1)＝132×29．某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了15条航线，则这个航空公司共有飞机场( C)A．4个B．5个C．6个D．7个10．如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的9个数(如6，7，8，13，14，15，20，21，22)．若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，则这9个数的和为( D)日一二三四五六1 2 3 45 6 7 8 9 10 1112 13 14 15 16 17 1819 20 21 22 23 24 2526 27 28 29 30 31A.32B．11．一个直角三角形的三边长恰好是三个连续整数，若设较长的直角边长为x，则根据题意列出的方程为__x2＋(x－1)2＝(x＋1)2___．12．某剧场共有1050个座位，已知每行的座位数都相同，且每行的座位数比总行数少17，求每行的座位数．解：设每行的座位数为x个，由题意得x(x＋17)＝1050，解得x1＝25，x2＝－42(不合题意，舍去)，则每行的座位数是25个13．有人利用手机发微信，获得信息的人也按他的发送人数发送该条微信，经过两轮微信的发送，共有56人手机上获得同一条微信，则每轮一个人要向几个人发送微信？解：设每轮一个人要向x个人发微信，由题意得x(x＋1)＝56，解得x1＝7，x2＝－8(不合题意，舍去)，则每轮一个人要向7个人发送微信14．有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．(1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人？(2)如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？解：(1)设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则1＋x＋x(x＋1)＝64，解得x1＝7，x2＝－9(不合题意，舍去)，即每轮传染中平均一个人传染7个人(2)64×7＝448(人)15．读诗词解题：(通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄)大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿符；哪位学子算得快，多少年华属周瑜？解：设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x ，则十位数字为x －3，由题意得10(x －3)＋x ＝x 2，解得x 1＝5，x 2＝6.当x ＝5时，周瑜的年龄为25岁，非而立之年，不合题意，舍去；当x ＝6时，周瑜的年龄为36岁，符合题意，则周瑜去世时的年龄为36岁16．(1)n 边形(n ＞3)其中一个顶点的对角线有__(n －3)___条； (2)一个凸多边形共有14条对角线，它是几边形？(3)是否存在有21条对角线的凸多边形？如果存在，它是几边形？如果不存在，说明理由．解：(2)设这个凸多边形是n 边形，由题意得n （n －3）2＝14，解得n 1＝7，n 2＝－4(舍去)，则这个多边形是七边形 (3)不存在．理由：假设存在n 边形有21条对角线，由题意得n （n －3）2＝21，解得n ＝3±1772，因为多边形的边数为正整数，但3±1772不是正整数，故不合题意，所以不存在有21条对角线的凸多边形第2课时用一元二次方程解决增降率问题1．若设每次的平均增长(或降低)率为x，增长(或降低)前的数量为a，则第一次增长(或降低)后的数量为__a(1±x)___，第二次增长(或降低)后的数量为__a(1±x)(1±x)___，即__a(1±x)2___．2．某商品进价为a元，售价为b元，则利润为__(b－a)___元，若一天的销售量为c，则总利润为__(b－a)c___元．知识点1：平均变化率问题1．(2014·昆明)某果园2011年水果产量为100吨，2013年水果产量为144吨，求该果园水果产量的年平均增长率．设该果园水果产量的年平均增长率为x，则根据题意可列方程为( D)A．144(1－x)2＝100B．100(1－x)2＝144C．144(1＋x)2＝100 D．100(1＋x)2＝1442．经过两年的连续治理，某城市的大气环境有了明显改善，其每月每平方公里的降尘量从50吨下降到40.5吨，则平均每年下降的百分率是( A)A．10%B．15%C．20%D．25%3.某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的125元降到80元，则平均每次降价的百分率为__20%___．4．(2014·沈阳)某公司今年销售一种产品，1月份获得利润20万元，由于产品畅销，利润逐月增加，3月份的利润比2月份的利润增加4.8万元，假设该产品利润每月的增长率相同，求这个增长率．解：设这个增长率为x，根据题意得20(1＋x)2－20(1＋x)＝4.8，解得x1＝0.2＝20%，x2＝－1.2(不合题意，舍去)，则所求增长率为20%知识点2：市场经济问题5．某商场将某种商品的售价从原来的每件40元经两次调价后调至每件32.4元，若该商品两次调价的降价率相同，则这个降价率为__10%___；经调查，该商品每降价0.2元，即可多销售10件，若该商品原来每月销售500件，那么两次调价后，每月可销售商品__880___件．6．(2014·巴中)某商店准备进一批季节性小家电，单价40元，经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个，定价每增加1元，销售量净减少10个；定价每减少1元，销售量净增加10个．因受库存的影响，每批次进货个数不得超过180个，商店若准备获利2000元，则应进货多少个？定价为多少元？解：设每个商品的定价是x元，由题意得(x－40)[180－10(x－52)]＝2000，整理得x2－110x＋3000＝0，解得x1＝50，x2＝60.当x＝50时，进货180－10(x－52)＝200，不舍题意，舍去；当x＝60时，进货180－10(x－52)＝100，符合题意，则该商品应进货100个，定价为60元7．小丽为校合唱队购买某种服装时，商店经理给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10件，单价为80元；如果一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价不得低于50元．按此优惠条件，小丽一次性购买这种服装付了1200元．请问她购买了多少件这种服装？解：设购买了x件这种服装，根据题意得[80－2(x－10)]x＝1200，解得x1＝20，x2＝30.当x＝30时，80－2(30－10)＝40＜50，不符合题意，舍去，∴x＝20，则她购买了20件这种服装8．某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是( C)A．50(1＋x2)＝196B．50＋50(1＋x2)＝196C．50＋50(1＋x)＋50(1＋x)2＝196D．50＋50(1＋x)＋50(1＋2x)＝1969．(2014·泰安)某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是( A)A．(x＋3)(4－0.5x)＝15B．(x＋3)(4＋0.5x)＝15C．(x＋4)(3－0.5x)＝15D．(x＋1)(4－0.5x)＝1510．(2014·南京)某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长，已知该养殖户第1年的可变成本为2.6万元，设可变成本平均每年增长的百分率为x.(1)用含x的代数式表示第3年的可变成本为__2.6(1＋x)2___万元；(2)如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元，求可变成本平均每年增长的百分率x.解：根据题意得4＋2.6(1＋x)2＝7.146，解得x1＝0.1，x2＝－2.1(不合题意，舍去)，∴可变成本平均每年增长的百分率是10%11．某批发商以每件50元的价格购进800件T恤，第一个月以单价80元销售，售出了200件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓时单价为40元，设第二个月单价降低x元．(1)填表(不需化简)：时间第1个月第2个月清仓时单价(元)80 80－x 40销售量(件) 200 200＋10x800－200－(200＋10x)解：依据题意，得80×200＋(80－x)(200＋10x)＋40[800－200－(200＋10x)]－50×800＝9000，整理得x2－20x＋100＝0，解得x1＝x2＝10，当x＝10时，80－x＝70＞50，则第二个月的单价应是70元。
(九年级数学科参考答案)2021—2022学年度上学期
2021—2022学年度上学期九年级数学科参考答案及评分标准一、选择题(每小题3分，共计30分)二、填空题(每小题3分，共计30分)三、解答题（其中21-22题各7分，23-24题各8分，25-27题各10分，共计60分）21.（本题7分）解：2221111aa a a -⨯-+-=原式..................................................................2分221)1)(1(a a a a a -⨯-+=.............................................................1分11+=a ...........................................................................1分∵1525150-=-=a ..................................................................2分∴55511151==+-=原式...........................................................1分22.（本题7分）解：（1）如图1正确画图........................................................4分（2）如图2正确画图........................................................3分12345678910BDCABCBDAC题号1112131415答案810102.1⨯21≠x 2)1(-a a 35-2题号1617181920答案1≤x＜3645°3或626-423.（本题8分）解：（1）100%5555=÷..................................................................1分答：本次调查的样本容量是100.............................................................1分（2）完全了解的人数为：（人）30%30100=⨯...............................................1分较少了解的人数为：（人）1055530100=---...............................................1分正确画图................................................................................2分（3）（人）180100101800=⨯...............................................................1分答：估计该小区对垃圾分类知识“较少了解”的居民人数为180人...............................1分24.（本题8分）（1）证明：如图1∵四边形ABCD 为平行四边形∴AB∥CD，OB=OD......................1分∴∠OBE=∠ODF，∠OEB=∠OFD ∴△OBE≌△ODF.............................................1分∴OE=OF ∴四边形DEBF 是平行四边形..................................................1分又∵EF⊥BD ∴□DEBF 是菱形.........................................................1分（2）如图2∠DBE，∠DBF，∠BDE，∠BDF.................................................4分（第22题答案图1）（第22题答案图2）（第23题答案图）（第24题答案图1）（第24题答案图2）25.（本题10分）（1）解：设足球的单价是x 元，则篮球的单价为（2x-30）元.根据题意得30290021200-⨯=x x ..........................................................2分解得x=60................................................................................1分检验：当x=60时，2x（x-15）≠0.所以，原方式方程的解为x=60................................1分∴2x-30=90（元）.........................................................................1分答：足球和篮球的单价各是60元、90元．（2）设学校购买足球m 个，则学校购买篮球（200-m）个.根据题意得60m+90（200﹣m）≤15000.....................................................2分解得100≥m ............................................................................2分答：学校需要最少购买100个足球．.........................................................1分26.（本题10分）（1）证明：如图1在⊙O 中∵OD⊥BC ∴BD=CD..................................................................1分∴AB=AC.................................................................................1分∴∠B=∠C...............................................................................1分（2）证明：如图2连接BE 令∠ACE=α，则∠ACB=3α∴∠ABC=∠ACB=3α.......................................................................1分∵∠ABE=∠ACE=α........................................................................1分∴∠CBE =∠ABC-∠ABE=3α-α=2α∴∠CAE =∠CBE=2α=2∠ACE ............................1分（3）解：如图3过点E 作EG⊥AC，垂足为点G，在CG 上截取GH=AG，连接EH.∴EH=AE=5∴∠AHE =∠EAH=2α∴∠CEH=∠AHE-∠ECH=2α-α=α=∠ECH ∴CH=EH=5..................1分∵AC=AB=13∴AH=AC-CH=13-5=8∴AG=GH=4∴CG=4+5=9在Rt△AEG 中，3452222=-=-=AG AE EG ...........................................1分在Rt△CEG 中，103932222=+=+=CG EG CE .......................................1分（第26题答案图1）（第26题答案图2）（第26题答案图3）∵AF CE EG AC S ACE ⨯⨯=⨯⨯=2121△∴AF ⨯⨯=⨯⨯1032131321∴101013=AF ..........................................................................1分27.（本题10分）解：（1）∵抛物线3534x y 2-+=x a 经过点C（-2，-3）∴35234232--⨯+-⨯=-）（）（a .........................................................1分解得31=a ∴抛物线的解析式为3534x 31y 2-+=x ........................................1分（2）如图1过点C 作CK⊥x 轴于点K，CM⊥y 轴于点M，CM 交DE 于点N.当y=0时,3534x 3102-+=x ，解得1521=-=x x ，∴A（-5，0），B（1，0）............1分∵CK⊥x 轴，CM⊥y 轴∴∠CKO=∠CMO=90゜=∠KOM ∴四边形OKCM 是矩形∴CK=OM=3=AK 又∵∠AKC=90°∴∠CAK=45°又∵∠ADE=90°∴∠AED=∠ADE=45°∴DE=AD=OA-OD=5-（-t）=t+5...........................1分∵CN=DK=OK-OD=2-（-t）=t+2∴S=12DE×CN=5272125212++=+⨯+⨯t t t t ）（）（.............1分（3）如图2，取BE 的中点G，过点C 作CK⊥x 轴于点K，在AK 上截取点H，使HK=DK，连接CG，DG，CH.令∠CBE=α，则∠AFC=2α∵BK=CK=3，∠BKC=90°∴∠CBK=45°=∠BAC ∵∠BDE=∠BCE=90゜，BG=EG ∴CG=EG=BG=DG..............................................1分∴∠BDG=∠DBG=α+45°，∠BCG=∠CBG=α∴∠BGD=180°-2（α+45°）=90°-2α，∠CGE=∠BCG+∠CBG=2α∴∠CGD=180°-（90°-2α）-2α=90°......................................................1分∴∠CDG=∠DCG=45°∴∠ADC=180°-（α+45°）-45°=90°-α∵CK⊥DH，HK=DK∴CH=CD ∴∠CHD=∠CDH =90°-α又∵∠AFC=2α∴∠FCH =90°-α=∠CHF∴FH=CF∵DF=21BD=21t-，HK=DK=t+2（第27题答案图1）（第27题答案图2）∴FK=25221+=++-t t t ）（，FH=2932221+=++-t t t ）（=CF...................................1分在Rt△CFK 中，222CF FK CK =+∴222293253）（）（+=++t t 解得（舍），52121-=-=t t ...............................................................1分∴S=8275212721212=+-⨯+-⨯（）（......................................................1分（以上各解答题如有不同解法并且正确，请按相应步骤给分）。
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九年级上册数学名师大课堂2022人教版答案
1.的绝对值是（） [单选题] *
A.(正确答案)
B.
C. 3
D. －3
2.据了解，国产科幻电影《流浪地球》上映首日的票房约为1.89亿，数据“1.89亿”可用科学记数法表示为（） [单选题] *
A.
B.(正确答案)
C.
D.
3.小明同学近7次听写练习的成绩(单位：分)分别为：94，91，96，96，95，89，97，则这组数据的中位数为（） [单选题] *
A.94
B.96
C.95(正确答案)
D.97
4.若抛物线y＝ax2＋bx－3(a≠0)经过点(－4，3)和点(8，3)，则抛物线y＝ax2＋bx －3(a≠0)的对称轴是直线（） [单选题] *
A.x＝1
B.x＝2(正确答案)
C.x＝3
D.x＝－1
5.现有4张卡片，卡片正面分别标有数字2，3，5，6，它们除此之外完全相同.把这4张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取2张，则这两张卡片上的数字都是奇数的概率是（） [单选题] *
A.(正确答案)
B.
C.
D.
6. 如图，在▱ABCD中，AB＝5，∠BAD的平分线与DC交于点E，BF⊥AE，BF
与AD的延长线交于点F，则BC的长是（） [单选题] *
A.2
B.2.5(正确答案)
C.3
D.3.5
7．如图，直线AB、CD交于点O，EO⊥AB于点O，若∠1＝65°，则∠2的度数
为（） [单选题] *
A.27°
B.17°
C.25°(正确答案)
D.23°
8. 在《九章算术》中有“盈不足术”的问题，原文如下：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数几何？大意为：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问人数是多少？若设人数为x，则下列关于x的方程符合题意的是（） [单选题] *
A.8x－3＝7x＋4(正确答案)
B.8(x－3)＝7(x＋4)
C.8x＋4＝7x－3
D.
9. 若点A(x1，－6)，B(x2，－2)，C(x3，2)在反比例函数的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（） [单选题] *
A. x1
B. x2(正确答案)
C. x2
D. x3
10. 将分别标有“学”“习”“强”“国”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，然后放回；再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字是“强”和“国”的概率是（） [单选题] *
A.
B.
C.(正确答案)
D.
11. 不等式组的解集为（） [单选题] *
A. x＞0
B. x＞1
C. 无解
D.0＜x＜1(正确答案)
12. 如图，▱ABCD的对角线AC平分∠BAD，若AC＝12，BD＝16，则对边之间
的距离为（） [单选题] *
A.
B.
C.(正确答案)
D.
13. 如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交CD于点G，AD＝AE，
AG交DE于点H.若AD＝5，DE＝6，则AG的长是
（） [单选题] *
A.6
B.8(正确答案)
C.10
D.12
14. 如图，一把直尺的边缘AB经过一块三角板DCB的直角顶点B，交斜边CD于点A，直尺的边缘EF分别交CD，BD于点E，F，若∠D＝60°，∠ABC＝20°，则
∠1的度数为（） [单选题] *
A.25°
B.40°
C.50°(正确答案)
D.80°
15.如图，在坐标系中放置一菱形OABC，已知∠ABC＝60°，点B在y轴上，OA ＝1，将菱形OABC沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转60°，连续翻转2019次，点B的落点依次为B1，B2，B3，…，则B2019的坐标为
（） [单选题] *
A.
B.
C.
D.(正确答案)
16. 如图①，点P是矩形ABCD(AB＜AD)边上一动点，并沿A→D→C→B路径匀速运动，设点P运动路径长为x，△PAB的面积为y，大致反映y与x的函数关系的图象如图②所示，则边AB的长为
（） [单选题] *
A.6
B.2(正确答案)
C.4
D.2或4
17. 如图，正方形OABC的一顶点O恰好落在平面直角坐标系的原点处，边OA与x轴正方向的夹角为60°，连接AC，若AC长为6，则点C的坐标为
（） [单选题] *
A.
B.
C.(正确答案)
D.
18. 如图，在菱形ABCD中，AB＝2，以点B为圆心，BA长为半径画弧，恰好过顶点D，点E，F分别是上两点，若∠EBF＝60°，则图中阴影部分的面积
为（） [单选题] *
A.(正确答案)
B.
C.
D.
19. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在第一象限，点B、C的坐标分别为(2，1)、(6，1)，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线AB交y轴于点P，若△ABC 与△A′B′C′关于点P成中心对称，则点A′的坐标为
（） [单选题] *
A. (－4，－5)(正确答案)
B. (－5，－4)
C. (－3，－4)
D. (－4，－3)
20. 如图，，在平面直角坐标系中，点A1的坐标为(1，0)，以为直角边作
，并使；再以为直角边作
，并使；再以为直角边作
，并使；…按此规律进行下去，则点
的坐标为（） [单选题] *
A.
B.
C.(正确答案)
D.
21.已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数m的值是（）. [单选题] *
A 1
B.2(正确答案)
C.3
D.4
22. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，点P是边AB上一动点，过点P作BC的垂线交BC于点D，点F与点B关于直线PD对称，连接AF，当
△AFC是等腰三角形时，BD的长为（） [单选题] *
A .(正确答案)
B.
C .
D.
23. 如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝,点E为线段AD的中点，动点F从点D出发，沿D→C→B的方向在DC和CB上运动，将矩形沿EF折叠，点D 的对应点为点D′，当点D′恰好落在矩形的对角线上时(不与矩形顶点重合)，点F
运动的距离为（）. [单选题] *
A.
B.
C.
D.(正确答案)
24. .如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝6，点P是射线BC上一动点，l为矩形的一条对称轴，将△ABP沿AP折叠，当点B的对应点B′落在l上时，BP的长为
（） [单选题] *
A.4或9
B.(正确答案)
C.4或15
D.
25. 如图①，在正方形ABCD中，点E是AB的中点，点P是对角线AC上一动点，设PC的长度为x，PE与PB的长度和为y，图②是y关于x的函数图象，则
图象上最低点H的坐标为
（） [单选题] *
A.
B.
C.(正确答案)
D.。