解析几何中最值问题的九种解题策略
高中数学：解析几何中求最值的几种方法
高中数学：解析几何中求最值的几种方法解析几何中的求最值问题在中学数学中占有一席之地，近几年的高考也经常出现。
最值问题涉及的知识面宽，解题方法较灵活，学生时常感到无从下手。
为了解决这个问题，现举例说明求最值的几种方法，请大家指正。
一、利用定义圆锥曲线的定义，是曲线上的动点本质属性的反映。
研究圆锥曲线的最值，巧妙地应用定义，可把问题简化，速达目的。
例1、若使双曲线上一点M到定点A（7，）的距离与M到右焦点F的距离之半的和有最小值，求M点的坐标。
解析：如图1所示，由双曲线定义2可知，，所以|MF|=2|MP|。
令，即。
此问题转化为折线AMP的最短问题。
显然当A、M、P同在一条与x轴平行的直线上时，折线AMP最短，故M点的纵坐标为，代入双曲线方程得M（，）。
图1二、利用对称对称思想是研究数学问题常用的思想方法，利用几何图形的对称性去分析思考最值问题，常可获得简捷明快的解法。
例2、已知点A（2，1），在直线和上分别求B点和C点，使△ABC的周长最小。
分析：这里的主要理论依据是：轴对称的几何性质以及两点间的距离以直线段为最短。
解析：先找A（2，1）关于直线、的对称点分别记为和，如图2所示，若在、上分别任取点和，则△ABC周长=周长。
故当且仅当、、、四点共线时取等号，直线方程为：，与、的交点分别为B（，）、C（，0）。
图2三、利用几何利用参数的几何意义，把它转化为几何图形中某些确定的几何量（如角度、长度、斜率）的最大值、最小值问题，这样可以化难为易，提高解题速度。
例3、椭圆内有两点A（4，0），B（2，2），M是椭圆上一动点，求|MA|+|MB|的最大值与最小值。
分析：若直接利用两点的距离公式，难度较大，本题通过椭圆定义转化后，利用几何性质帮助我们解决问题。
解析：|MA|+|MB|=2a-|MC|+|MB|=10+|MB|-|MC|，根据平面几何性质：||MB|-|MC||，当且仅当M、B、C共线时取等号，故|MA|+|MB|的最大值是，最小值是。
几何最值问题解题技巧
几何最值问题解题技巧
几何最值问题是一个常见的数学问题，它涉及到在给定的几何形状中找到一个或多个点的最大或最小值。
解决这类问题需要一定的技巧和策略。
以下是一些解决几何最值问题的技巧：
1. 转化问题：将最值问题转化为几何问题，例如求点到直线的最短距离，可以转化为求点到直线的垂足。
2. 建立数学模型：根据问题的具体情况，建立适当的数学模型，例如利用勾股定理、三角函数等。
3. 寻找对称性：在几何图形中寻找对称性，例如利用轴对称、中心对称等性质，可以简化问题。
4. 利用基本不等式：利用基本不等式（如AM-GM不等式）可以求出某些量的最大或最小值。
5. 转化为一元函数：将问题转化为求一元函数的最大或最小值，然后利用导数等工具求解。
6. 构造辅助线：在几何图形中构造辅助线，可以改变问题的结构，从而更容易找到最值。
7. 尝试特殊情况：在某些情况下，尝试特殊情况（例如旋转、对称等）可以找到最值。
8. 逐步逼近：如果无法直接找到最值，可以尝试逐步逼近的方法，例如二分法等。
以上技巧并不是孤立的，有时候需要综合运用多种技巧来解决一个问题。
在解决几何最值问题时，需要灵活运用各种方法，不断尝试和调整，才能找到最合适的解决方案。
初中几何最值问题常用解法
初中几何最值问题常用解法初中几何最值问题一直是学生们的难点，但通过一些常用的解法，我们可以轻松解决这些问题。
以下将介绍9种常用的解法，帮助您更好地理解和学习。
一、轴对称法轴对称法是一种常用的解决最值问题的方法。
通过将图形进行轴对称变换，可以将问题转化为相对简单的问题，从而找到最值。
二、垂线段法垂线段法是指在几何图形中，利用垂线段的性质来求取最值。
例如，在矩形中，要使矩形的周长最小，可以将矩形的一条边固定，然后通过调整其他边的长度，使得矩形的周长最小。
三、两点之间线段最短两点之间线段最短是几何学中的基本原理。
在解决最值问题时，我们可以利用这个原理，找到两个点之间的最短距离。
四、利用三角形三边关系三角形三边关系是指在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
利用这个关系，可以解决一些与三角形相关的最值问题。
五、利用余弦定理求最值余弦定理是三角学中的基本定理，它可以用来解决一些与角度和边长相关的问题。
通过余弦定理，我们可以找到一个角的最大或最小余弦值，从而求得最值。
六、利用基本不等式求最值基本不等式是指在一个数列中，平均值总是小于等于几何平均值。
利用这个不等式，可以解决一些与数列相关的最值问题。
七、代数运算求最值代数运算是一种基本的数学运算方法，它可以用来解决一些与代数式相关的最值问题。
例如，通过求导数或微分的方法，可以找到一个函数的最大或最小值。
八、代数方程求最值代数方程是一种基本的数学方程形式，它可以用来解决一些与代数方程相关的最值问题。
例如，通过解二次方程或不等式的方法，可以找到一个表达式的最大或最小值。
九、几何变换求最值几何变换是指在几何图形中，通过平移、旋转、对称等方式改变图形的形状和大小。
利用几何变换的方法，可以解决一些与图形变换相关的最值问题。
例如，在矩形中，要使矩形的面积最大。
几何中的最值问题的解决策略
几何中的最值问题的解决策略
在几何中，最值问题通常是要找到一个几何对象的最大值或最小值。
以下是几何中解决最值问题的一些常用策略：
1. 利用性质或定理：利用已知的几何性质或定理来推导出最值问题的解。
例如，利用三角形的角度和性质来证明某个角度或边长的最大值或最小值。
2. 利用几何画图法：通过绘制几何图形，并观察图形的性质来解决最值问题。
例如，通过绘制直角三角形来找到两条边长之和固定时，两条边长的乘积的最大值。
3. 利用代数方法：将几何问题转化为代数问题，并通过求导、求解方程等代数方法来求解最值问题。
例如，通过代数方法来证明一个函数的极值点是函数的最大值或最小值。
4. 利用不等式：通过建立合适的不等式关系来限制几何对象的取值范围，并通过求解不等式来解决最值问题。
例如，通过利用三角不等式来推导出三角函数的最值问题。
5. 利用等式的极值性质：利用等式的极值性质来解决最值问题。
例如，通过证明函数的取值范围，并找到函数在取值范围边界处的最大值或最小值。
综上所述，解决几何中的最值问题需要运用几何性质和定理，绘制几何图形观察性质，以及运用代数方法、不等式关系和极
值性质等。
同时，解决最值问题还需要对几何对象的性质有深刻的理解和运用。
解析几何最值问题常用求解策略
在评 价过 程 中要 重 视 对 数 学 学 习 过 程 的评 价 ．既 要 关 注 学生 知识 与技 能 的理 解 和 掌 握 ，又 要 关 注 他 们 情 感 与 态 度 的 形成 和发 展 ： 要 关 注 学 生 学 习数 学 的结 果 ， 要 关 注他 们 在 既 又 数学 学 习 过程 中 的 变化 和 发 展 。 多 元 性 的 评 价 包 括 参 与 数 学 活 动 的程 度 、 自信 心 、 作 交 流 的 意 识 、 立 思 考 的 习 惯 、 学 合 独 数 思考 发展 水 平 ， 等 。 如 ， 否积 极 主 动 地 参 与 学 习 活 动 ， 等 例 是 是 否有 学 好 数 学 的信 心 ， 否 乐 于 与 他 人 合 作 ， 否 愿 意 与 同伴 是 是 交 流 各 自的想 法 ．是 否 能够 通 过 独 立 思 考 获 得 解 决 问题 的思 路 ， 否 能 找 到 有 效 解 决 问 题 的方 法 ， 否 能 够 使 用 数 学 语 言 是 是 有 条 理 地 表 达 自己 的思 考 过 程 ．是 否 有 反 思 自 己思 考 过 程 的 意识 ， 等 。 等 四 、 展 性 评 价在 数 学教 学 中 的反 思 发 （ ） 展 性 评 价 不 应 是 无 原 则 的表 扬 ． 应 是 师 生 在 民 一 发 而 主 气 氛 中 的沟 通 。 些 教 师 经 常 引用 一 理 学 上 的 “ 森 塔 尔 效 应 ” 说 明赞 ｔ Ｌ ， 罗 来 扬 在 教 育 中 的重 要 性 ，坚 持 认 为 在评 价 时 只 能 表 扬 ．不 能 批 评 ， 能尽量发现“ 只 闪光 点 ” 不 能 指 出 缺 点 与 不 足 。 这 些 无 原 ， 则 的评 价 可 能 会 导 致 学 生 出现 基 础 知 识 不 牢 固 、 念 不 清 晰 、 概 努 力 方 向 不 明 确 等 问题 ， 可 能 使 学 生 是 非 不 分 、 恶 不 明 。 也 善 评 价 没 有 起 到 激 励 与 促 进 学 生 发 展 的作 用 ，相 反 却 阻 碍 了学 生 的 发 展 ， 价 活 动 的信 度 与 效 度 更 无 从 谈 起 。 展 性 评 价 注 评 发 重 评 价 过 程 中 被 评 价 者 对 评 价 信 息 的建 构 ，鼓 励 被 评 价 者 参 与 评 价 。 倡 自我 评 价 与 他 人 评 价 相结 合 ， 在 客 观 上 隐 含 了 提 这 评 价 双 方 平 等 交 流 的 基 本 要 求 。评 价 者 与 被 评 价 者 在 民 主 的 气 氛 中沟 通思 想 、 成共 识 ． 展 性 评 价 中 师生 双方 的 参 与 和 达 发 互 动 过 程 实 质 上 就 是 人 际 沟 通 的 过程 。 （ ） 展 性 评 价 不 应 是 多 种 评 价 方 式 、 价 主 体 的 简单 二 发 评 相加 。 评 价 的多 元 性 是 发 展 性 评 价 的一 个 整 体 特 征 ，它 不 意 味 着 每 一 个 具 体 评 价 活 动 都 要 使 用 所 有 的方 法 、调 动 所 有 的主 体。 而且 ， 价 的 多 元 方 法 与 多元 主体 的使 用 都 应 当 以保 障评 评 价 结 果 的 信 度 和 效 度 为 前 提 ， 价 者 对 评 价 目的 的理 解 、 评 评 对 价 标 准 的 把 握 、 评 价 方 法 的 熟 悉 程 度 等 ， 会 影 响 到 评 价 的 对 都
浅谈高考解析几何中的最值问题
／
图４
转化 为 ｌ Ａ Ｉ ｌ Ｆ Ｉ ＋４的 Ｐ ＋ Ｐ 最 小 值 ，再 由 图 ２ 可 知 ｌ 十 ｌ Ａ Ｉ 最 小 值 就 ＰＦ １ 的 Ｐ
是点 Ａ 到右 焦点 的距离 ．
图２
的 距 离 等 于 Ｉ Ｂ １ 求 椭 圆 上 点 到 点 Ｍ 的 距 离 的 最 ． Ｍ
ｌ Ｆｌ Ｐ 的最小值 转化 为 Ｉ Ｑ ｌ ｌ Ｐ １ ＋ 的最 小 值 ， 由 Ｐ Ｐ 再 图 １知 Ｉ ＰＱＩ Ｉ 的最小 值是 点 Ｑ到 准线 的距离 ． ＋ Ｉ ＰＰ
析 由抛物 线定 义知 Ｉ Ｆｌ 于 点 Ｐ 到 准线 的距 Ｐ 等 离 Ｉ ，Ｐ ＋ Ｉ ＦＩ ｌ ＱＩ Ｉ Ｐ ｌ ＰＰ ｌ １ ＱＩ — ＋ ≥３ Ｐ Ｐ Ｐ
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—
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图 １
１ ６ 时 ； 一 ，） ） 一 ， 一 Ａ 譬； 当 ｄ （
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义 ｌ — Ｉ Ｐ ｌ 把 Ｉ ＋ Ｉ ， ｌ ＰＦ Ｐ ＰＱ
Ｍ Ｆ Ｊ Ｂ５
—
１ ＡＩ Ｐ 的最小值 为 多少 ？
思 维 导 引 根 据 双 曲 线
。
Ａ ／
的定 义 Ｉ ｌ ｌ ＋４ ＰＦ — ＰＦ ｌ ，
把 １ ＋ ｆ 的 最 小 值 ＰＦ ｌ ＰＡ ｌ
为椭 圆 上 ， 于 ｚ轴 的上 方 ， 位 且 Ｐ Ａ上 Ｐ 若 Ｍ 为 椭 圆长 Ｆ，
Ｐ（ ｙ ， ｚ，） 则 一 （ ＋ ６ ｙ ｚ ， ），ｉ 一 （ ｚ一４ ，
）， ＡＰＩＦ ＿ Ｐ，所 以（ ｚ＋６ （ －４ ＋ 一ｄ ） － ） ．
专题05 解析几何中的最值问题 (解析版)
专题05 解析几何中的最值问题常见考点考点一 面积最值问题典例1．已知椭圆C ∶22221(0)x y a b a b+=>>经过点P32），O 为坐标原点，若直线l 与椭圆C交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，直线l 与直线OM 的斜率乘积为-14. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若OM =AOB 面积的最大值.【答案】(1)221123x y +=(2)3 【解析】 【分析】（1）根据椭圆经过点P32），得到223914a b+=，再利用点差法，根据直线l 与直线OM 的斜率乘积为-14，得到 2214b a -=-求解；（2）当AB x ⊥轴时，易得12AOBSOM AB =⋅AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y kx t =+，联立221123x y y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，根据OM =k ，t 的关系，再求得AB 和点O 到直线AB 的距离为d ，由12AOB S AB d =⋅⋅求解.(1)解：因为椭圆经过点P32）， 所以223914a b +=， 设()()1122,,,A x y B x y ，因为直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，所以22112222222211x y a b x y ab ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得2121221212y y x x b x x a y y -+=-⋅-+，因为线段AB 的中点为M ，且直线l 与直线OM 的斜率乘积为-14，所以 2214b a -=-，解得223,12b a ==，所以椭圆方程为：221123x y +=；(2)当AB x ⊥轴时，点M 在x 轴上，且OM AB ⊥，由OM =3AB =，所以12AOBSOM AB =⋅ 当直线AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y kx t =+，由221123x y y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得()2221484120k x ktx t +++-=， 则21212228412,1414kt t x x x x k k -+=-⋅=++，224,1414kt t M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，由OM =()2222314116k t k +=+，因为AB =点O 到直线AB 的距离为d =所以12AOBSAB d =⋅⋅=3≤=，当且仅当221214k k =+，即218k =时，等号成立，综上 AOB 面积的最大值是3.变式1-1．已知椭圆221221x y C a b+=：的焦距为2，且过点(P ．若直线AB 为椭圆1C 与抛物线2C ：22(0)y px p =>的公切线．其中点,A B 分别为1C ，2C 上的切点．(1)求椭圆1C 的标准方程：(2)求OAB 面积的最小值．【答案】(1)2212x y +=；(2)2. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，列出关于22,a b 的方程，求解作答.（2）设出直线AB 的方程，分别与抛物线2C ，椭圆1C 的方程联立，求出切点纵坐标，再求出面积的函数关系，借助均值不等式计算作答. (1)椭圆半焦距c ，依题意，1c =，221112a b+=，又2221a b c -==，解得22a =，21b =， 所以椭圆1C 的标准方程为：2212x y +=. (2)显然直线AB 不垂直于坐标轴，设直线AB 的方程为(0)x my t m =+≠，()11,A x y ，()22,B x y ，由22y px x my t⎧=⎨=+⎩消去x 并整理得：2220y pmy pt --=， 则22480p m pt ∆=+=，即22t p m =-，22ty pm m==-， 由2222x y x my t⎧+=⎨=+⎩ 消去x 并整理得：()2222220m y mty t +++-=， 则()()222244220m t m t '∆=-+-=，即222t m =+，1222mt mt my m t t --===-+，点O 到直线AB 的距离为d =∴1211222OABm tS AB d y y t t m =⋅=-=⋅-+221212414(||)2222||t m m m m m m m +=-+=-+=+≥=， 当且仅当4||||m m =，即2m =±时取“=”， 所以OAB 面积的最小值为2.变式1-2．已知曲线C 上任一点到点()3,0F 的距离等于该点到直线3x =-的距离．经过点()3,0F 的直线l 与曲线C 交于A 、B 两点． (1)求曲线C 的方程；(2)若曲线C 在点A 、B 处的切线交于点P ，求PAB △面积的最小值． 【答案】(1)212y x = (2)36 【解析】 【分析】（1）分析可知曲线C 是以点()3,0F 为焦点，以直线3x =-为准线的抛物线，由此可求得曲线C 的方程；（2）先证明结论：抛物线212y x =在其上一点()00,Q x y 上一点的切线方程为()006y y x x =+，设直线l 的方程为3x ty =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线l 的方程与抛物线C 的方程联立，列出韦达定理，求出AB ，写出抛物线C 在A 、B 两点处的切线方程，求出点P 的坐标，进而求出点P 到直线l 的距离，利用三角形的面积公式结合二次函数的性质可求得PAB △面积的最小值． (1)解：由题意可知，曲线C 是以点()3,0F 为焦点，以直线3x =-为准线的抛物线，设抛物线C 的标准方程为()220y px p =>，则32p ，可得6p ，因此，曲线C 的方程为212y x =. (2)解：先证明结论：抛物线212y x =在其上一点()00,Q x y 上一点的切线方程为()006y y x x =+， 由题意可得20012y x =，联立()002612y y x x y x⎧=+⎨=⎩，可得()200x x -=，解得0x x =，因此，抛物线212y x =在其上一点()00,Q x y 上一点的切线方程为()006y y x x =+. 若直线l 与x 轴重合，则直线l 与抛物线C 只有一个交点，不合乎题意. 设直线l 的方程为3x ty =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，联立2312x ty y x=+⎧⎨=⎩，可得212360y ty --=，21441440t ∆=+>，由韦达定理可得1212y y t +=，1236y y =-，()2121AB t ==+，抛物线212y x =在点A 处的切线方程为()2111662y y y x x x =+=+，同理可知抛物线212y x =在点A 处的切线方程为22262y y y x =+，联立2112226262y y y x y y y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得121231262y y x y y y t ⎧==-⎪⎪⎨+⎪==⎪⎩，即点()3,6P t -， 点P 到直线l 的距离为261t d +==所以，()3221361362PABS AB d t =⋅=+≥△，当且仅当0=t 时，等号成立. 因此，PAB △面积的最小值为36. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．变式1-3．已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>，且过点⎛- ⎝⎭． (1)求E 的方程；(2)若()3,0M ，O 为坐标原点，点P 是E 上位于第一象限的一点，线段PM 的垂直平分线交y 轴于点N ，求四边形OPMN 面积的最小值．【答案】(1)22162x y +=(2)【解析】 【分析】（1）根据椭圆的离心率以及椭圆上的点，列出方程组，解得a.b ,可得答案.（2）设P 点坐标，表示出直线PM 的斜率，进而可得其中垂线方程，求得N 点坐标，从而表示出四边形OPMN 的面积，结合基本不等式，即可求得答案. (1)设E 的焦距为2c，则()222222211c a a b a b c ⎧=⎪⎪⎪⎪-⎪⎝⎭+=⎨⎪-=⎪⎪⎪⎪⎩,解得2a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩所以E 的方程是22162x y +=．(2)由题意，设()(000,0P x y y <，线段MP 的中点为A ，则点A 的坐标为003,22x y+⎛⎫⎪⎝⎭，且直线MP 的斜率003PM y k x =-，故直线AN 的斜率为0031AN PM x k k y -=-=， 从而直线AN 的方程为00003322y x x y x y -+⎛⎫-=- ⎪⎝⎭, 又2200162x y +=，则220063x y =-， 令0x =，得2200092x y y y +-=，化简得200230,2y N y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以四边形OPMN 的面积2000231133222OPMN OMNOPMy S SSy y --=+=⨯⨯+⨯⨯200023322y y y ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭003332222y y ⎛⎫=+≥⨯= ⎪⎝⎭当且仅当0y =所以四边形OPMN面积的最小值为考点二 其他最值问题典例2．如图，已知椭圆C ：22212x y a +=的左、右焦点为1F 、2F ，左、右顶点分别为1A 、2A ，离心率e =M 为椭圆C 上动点，直线1A M 交y 轴正半轴于点A ，直线2A M 交y 轴正半轴于点B （当M 为椭圆短轴上端点时，A ，B ，M 重合）.(1)求椭圆C 的方程；(2)若3OA OB =，求直线MA 的方程；(3)设直线2MA 、2AA 的斜率分别为1k 、2k ，求12k k +的最大值.【答案】(1)22142x y +=(2)y =(3)【解析】 【分析】（1）根据离心率可求a ，从而可得椭圆方程.（2）设()00,M x y ，则可以用M 的坐标表示,A B ，再根据3OA OB =可求0x ，从而可求M 的坐标，故可求直线MA 的方程.（3）结合（2）可得12k k +，利用M 在椭圆上可化简前者，利用其纵坐标的范围可求最大值. (1)因为椭圆的离心率为e =c a =即22212a a -=，故24a =，所以椭圆的方程为：22142x y +=.设()00,M x y ，因为直线1A M 交y 轴正半轴于点A ，则02x ≠±，00y >，又()00:22y AM y x x =++，故0020,2y A x ⎛⎫⎪+⎝⎭，()00:22y MM y x x =--，故0020,2y B x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭， 因为3OA OB =，故000022322yyx x =-⨯+-，所以01x =-，所以0y =故()2:212AM y x x =+=-+y =. (3)由（2）可得0102y k x =-，而0020202022y x y k x -+==--+， 故00002200000124422242y y y y k y k x x x y =-==-=--+-+，因为00y <2y -≤12k k +的最大值为 变式2-1．已知曲线C 上任意一点(),P x y2=，(1)求曲线C 的方程；(2)若直线l 与曲线C 在y 轴左､右两侧的交点分别是,Q P ，且0OP OQ ⋅=，求22||OP OQ +的最小值.【答案】(1)2212y x -=(2)8 【解析】 【分析】（1）根据双曲线的定义即可得出答案；（2）可设直线OP 的方程为()0y kx k =≠，则直线OQ 的方程为1=-y x k ，由2212y x y kx⎧-=⎪⎨⎪=⎩，求得2OP ，同理求得2OQ ，从而可求得2211||||OP OQ +的值，再结合基本不等式即可得出答案. (1)解：设())12,F F ，2=，等价于12122PF PF F F -=<，∴曲线C 为以12,F F 为焦点的双曲线，且实轴长为2，焦距为故曲线C 的方程为：2212y x -=；(2)解：由题意可得直线OP 的斜率存在且不为0，可设直线OP 的方程为()0y kx k =≠，则直线OQ 的方程为1=-y x k ，由2212y x y kx ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，得222222222x k k y k ⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩， 所以()2222221||2k OP x y k+=+=-，同理可得，()2222212121||1212k k OQ k k⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==--， 所以()()()22222222211111||||22121k k k OP OQ k k -+-++===++，()()22222222112222228||||OQ OP OP OQ OP OQOP OQ OP OQ ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 当且仅当2OP OQ ==时取等号，所以当2OP OQ ==时，22||OP OQ +取得最小值8.变式2-2．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点(0,1)P，椭圆上的任意一点到焦点距离的最小值为2(1)求椭圆C 的方程；(2)设不过点P 的直线l 与椭圆相交于,A B 两点，若直线PA 与直线PB 斜率之和为1-，求点P 到直线l 距离的最大值.【答案】(1)2214x y +=(2)【解析】【分析】（1）根据题意可得21b =且2a c -=a ,b ,c 之间的关系，解得a ，c ，b ，即可得出答案． （2）当直线l 垂直于y 轴时，直线PA 与直线PB 的斜率和为0，不符合题意，设直线l 的方程为x my n =+，则111PA y k x -=，221PB y k x -=，联立直线l 与椭圆C 的方程，可得244181()10n m y y m n x m n x---+⋅+=++，PA k ，PB k 是该二次方程的两根，利用韦达定理结合条件可得到21PA PB k k n m+=-=--，即可得出答案． (1)因为椭圆过点(0,1)P，椭圆上的任意一点到焦点距离的最小值为2， 所以21b =且2a c -= 又22221a b c c =+=+， 解得2a =，c =所以椭圆的方程为2214x y +=．(2)当直线l 垂直于y 轴时，直线PA 与直线PB 的斜率和为0，不符合题意， 故设直线l 的方程为x my n =+， 由于直线l 不过点(0,1)P ，故0m n +≠， 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，10x ≠，20x ≠， 则111PA y k x -=，221PB y k x -=， 直线l 的方程可改写为(1)1x m y m n m n--=++， 椭圆C 的方程可改写为224(1)8(1)0x y y +-+-=， 两者联立，可得22(1)4(1)8(1)[]0x m y x y y m n m n-+-+-⋅-=++， 0x ≠时，整理可得244181()10n m y y m n x m n x---+⋅+=++①， 若n m =，则直线l 与椭圆C 的一个交点为(0,1)-， 此时直线PA 的斜率不存在，不符合题意， 故n m ≠，且PA k ，PB k 是以上二次方程①的两根， 由韦达定理有21PA PB k k n m+=-=--，于是2n m =+，直线l 的方程为2x my m =++，所以直线l 经过定点(2,1)-，则当点P 与该定点的连线与l 垂直时，点P 到直线l 距离的最大，最大值.. 【点睛】本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解答时要注意便是德技巧，解题中需要一定的计算能力，属于较难题．变式2-3．已知点()0,2R -，()0,2Q ，双曲线C 上除顶点外任一点(),M x y 满足直线RM 与QM 的斜率之积为4. (1)求C 的方程；(2)若直线l 过C 上的一点P ，且与C 的渐近线相交于A ，B 两点，点A ，B 分别位于第一、第二象限，2AP PB =，求AP PB ⋅的最小值.【答案】(1)2214y x -=(2)1 【解析】 【分析】 （1）由题意得224+-⋅=y y x x，化简可得答案， （2）求出渐近线方程，设点()00,P x y ，()11,2A x x ，()22,2B x x -，1>0x ，20x <，由2AP PB =可得12023x x x +=，120243-=x x y 代入双曲线方程化简可得1298⋅=-x x ，然后表示AP PB ，的坐标，再进行数量积运算，化简后利用基本不等式可得答案 (1)由题意得224+-⋅=y y x x ，即2244-=y x， 整理得2214y x -=，因为双曲线的顶点坐标满足上式，所以C 的方程为2214y x -=.(2)由（1）可知，曲线C 的渐近线方程为2y x =±， 设点()00,P x y ，()11,2A x x ，()22,2B x x -，1>0x ，20x <， 由2AP PB =，得()()01012020,22,2--=---x x y x x x x y ， 整理得12023x x x +=，120243-=x x y ①，把①代入220014y x -=，整理得1298⋅=-x x ②， 因为()121201012244,2,33-+--⎛⎫=--=⎪⎝⎭x x x x AP x x y x ， ()2121202022,2,33---⎛⎫=---= ⎪⎝⎭x x x x PB x x x y ， 所以()22121211010129⋅=++⋅AP PB x x x x .由1298=-x x ，得1298=-x x ， 则()22221212221199192710101210101210219988982⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥⋅=++⋅=-+-⨯≥⨯⨯-= ⎪⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦AP PB x x x x x x ，当且仅当24x =-时等号成立，所以AP PB ⋅的最小值是1.巩固练习练习一 面积最值问题1．点P 与定点()1,0F 的距离和它到定直线:4l x =的距离之比为1:2． (1)求点P 的轨迹方程；(2)记点P 的轨迹为曲线C ，直线l 与x 轴的交点M ，直线PF 与曲线C 的另一个交点为Q ．求四边形OPMQ 面积的最大值．（O 为坐标原点）【答案】(1)22143x y +=(2)6 【解析】 【分析】（1）设出点(),P x y ，直接法求出轨迹方程；（2）求出4OM =，设出直线方程，表达出四边形OPMQ 面积，使用换元及基本不等式求出面积最大值. (1)设点(),P x y ，则PF =P 到直线:4l x =的距离为4x -，12=，解得：22143x y +=.(2)由题意得：()4,0M ，则4OM =，设当直线l 斜率为0时，即0y =，此时四边形OPMQ 不存在，故舍去；设直线l 为1x ky =+，与22143x y +=联立得：()2234690k y ky ++-=，设()()1122,,,P x y Q x y ，则由韦达定理得：122634k y y k -+=+，122934y y k-=+，则12y y -==， 四边形OPMQ面积1211422S OM y y =⋅-=⨯=，t =()1t ≥，则221k t =-，224241313t S t t t==++，其中13y t t =+在[)1,t ∈+∞上单调递增，故当1t =时，13y t t=+取得最小值为4，此时面积S 取得最大值6 【点睛】求解轨迹方程通常方法有：直接法，定义法，相关点法，交轨法，本题中使用的是直接法.2．设椭圆E ：22143x y +=的右焦点为F ，点A ，B ，P 在椭圆E 上，点M 是线段AB 的中点，点F是线段MP 中点(1)若M 为坐标原点，且△ABP 的面积为3，求直线AB 的方程； (2)求△ABP 面积的最大值. 【答案】(1)32y x =或32y x =- (2)【解析】 【分析】(1)分斜率存在和不存在讨论，当斜率存在时设直线方程与椭圆方程联立消元，利用弦长公式和点到直线的距离公式表示出面积，根据已知列方程可解；(2)分直线过原点和不过原点，当不过原点时设直线方程与椭圆方程联立消元，利用韦达定理表示出M 坐标，再由中点坐标公式得P 点坐标，代入椭圆方程可得k 和b 的关系，然后利用弦长公式和点到直线的距离公式表示出面积（注意2ABPABFS S=），然后用导数求最值.(1)在椭圆22143x y +=中，2,1a b c ===，此时点P 坐标为(2,0)，当直线AB的斜率不存在时，易知AB =122ABPS=⨯=，不满足题意.故设直线方程为y kx =，代入椭圆方程得22234120x k x +-=，即22(43)120k x +-=，由弦长公式得AB =P 到直线AB 的距3=，解得32k =±，所以直线AB 的方程为32y x =或32y x =-.(2)由（1）知，当直线过原点且斜率存在时，ABPS==故此时面积最大值为ABP S =△当直线不过原点时，易知直线斜率一定存在，设方程为y kx m =+，代入椭圆方程整理可得()2224384120k x kmx m +++-=…①，记112200(,),(,),(,)A x y B x y M x y ，则21212228412,4343km m x x x x k k -+=-=++，002243,4343km mx y k k =-=++，00(2,)P x y -- 则22003(2)412x y -+=，将002243,4343km m x y k k =-=++代入上式得222243324124343km m k k ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，整理得4m k =-，代入①得2222(43)3264120k x k x k +-+-=，又点F 到直线AB，则ABPSAB k ===+ABPS=2t k =，2(14)()(43)t t g t t -=+，则()()332843t g t t -=+'，易知当3028t <<时，()0g t '>，函数单调递增，当328t >时，()0g t '<，函数单调递减，故当328t =时，max 31()()28192g t g ==，所以ABPS≤=又直线与椭圆有两个交点，所以422644(43)(6412)0k k k ∆=-+⨯->，解得214k <，故当2328k =，即k =ABP综上，△ABP 面积的最大值为【点睛】设而不求是圆锥曲线中最常用的方法之一，本题通过各点之间的关系，结合韦达定理表示出M 坐标，进而得到点P 坐标，借助P 点在椭圆上作为突破口进行求解，考察学生的转化能力和运算能力，属难题.3．设椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>，点1F ，2F 为E 的左、右焦点，椭圆的离心率12e =，点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆E 上．(1)求椭圆E 的方程；(2)M 是直线4x =上任意一点，过M 作椭圆E 的两条切线MA ，MB ，（A ，B 为切点）． ①求证：2⊥MF AB ； ②求MAB △面积的最小值．【答案】(1)22143x y +=；(2)①证明见解析；②92. 【解析】【分析】（1）由题得222222123121c a a b a b c ⎧=⎪⎪⎪⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭+=⎨⎪=+⎪⎪⎪⎪⎩，即得；（2）由题可得在点(),A A A x y ，(),B B B x y 处的切线方程，进而可得直线AB 方程，再利用斜率关系即证，联立直线AB 方程，与椭圆方程，利用韦达定理可得(222291212MAB t S AB MF t +=⋅⋅=+△，再通过换元，利用函数的性质可求. (1)由题可得，222222123121c a a b a b c ⎧=⎪⎪⎪⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭+=⎨⎪=+⎪⎪⎪⎪⎩，解得224,3,a b ⎧=⎨=⎩ ∴椭圆E 的标准方程为22143x y +=．(2)①先求在椭圆上一点的切线方程，设椭圆上一点为()x y x y ≠≠0000,,0,0，切线方程为()00y y k x x -=-，联立方程组()0022143y y k x x x y ⎧-=-⎪⎨+=⎪⎩，可得()()()22200003484120k x k y kx x y kx ++-+--=，∴()()()222000084344120k y kx k y kx ⎡⎤⎡⎤∆=--⨯+--=⎣⎦⎣⎦，∴()()22200004230x k kx y y -++-=，即2220000432034y x k kx y ++=，∴034x k y =-， 故切线方程为()000034x y y x x y -=--，即00143x x y y +=， 设(),A A A x y ，(),B B B x y ，()4,M t ． 椭圆E 在点(),A A A x y 的切线AM 的方程为：143A A x x y y+=， 在点(),B B B x y 处的切线BM 方程为：143B B x x y y +=． 又直线AM ，BM 过点()4,M t ，即41434143A A B B x ty x ty ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，即3333A A B B x ty x ty +=⎧⎨+=⎩，故点(),A A A x y ，(),B B B x y ，在直线33x ty +=上，故直线AB 方程为：33x ty +=， 当0=t ，即()4,0M 时，直线AB 方程为：1x =，则2⊥MF AB ． 当0t ≠时，直线AB 方程为：33y x t t=-+．右焦点()21,0F ，则23MF t k =，所以2313MF AB t k k t ⎛⎫⋅=⋅-=- ⎪⎝⎭，即2⊥MF AB ．②直线AB 方程为：33x ty +=与椭圆E 联立得；()22126270t y ty +--=，2612A B t y y t +=+，22712A By y t -=+，(222291212MABt S AB MF t +=⋅⋅==+△令m =3m ≥，则(23223292213123MABt m S t m m m +===+++△在[)3,m ∈+∞上单调递增，所以当3m =时，MAB S 取最小值92．4．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线C 交于,A B 两点. (1)证明：以AB 为直径的圆与直线1x =-相切；(2)设（1）中的切点为,P O 为坐标原点，直线OP 与C 的另一个交点为E ，求ABE △面积的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2)【解析】 【分析】（1）利用直线与圆相切等价于圆心到直线的距离等于半径来证明；（2）先设直线AB 的方程为1x my =+，以m 为参数表示出点P 以及点E 的坐标，进而求出E 点到直线的距离，即为ABE △的高，最后把ABE △的面积表示成m 的函数，求其最值. (1)证明：抛物线24y x =的焦点为()1,0F ，准线方程为1x =-. 设()()()()()11221212,,,,112A x y B x y AB AF BF x x x x =+=+++=++， 弦AB 的中点1212,22x x y y M ++⎛⎫⎪⎝⎭， 则M 到准线1x =-的距离为()121211222AB x x x x++--=+=， 所以以AB 为直径的圆与直线1x =-相切. (2)解：由题可知直线l 的斜率不能为0，设直线l 的方程为1x my =+，由21,4x my y x=+⎧⎨=⎩整理得2440y my --=， 又()()1122,,,A x y B x y ， 则12124,4y y m y y +==-，所以2AB =()()21212444x x m y y m ++=++=+.点P 的坐标为()1,2m -，于是直线OP 的方程为2y mx =-， 代入24y x =，整理得0x =或21x m =， 从而212,E mm ⎛⎫-⎪⎝⎭ 则点E 到直线AB211+=故()()32221442ABESm m =+=.[),1,t t ∈+∞，()()()()223222232,11t t t f t f t t t -=--'= 则()f t在⎡⎣上单调递减，在)+∞上单调递增，故min ()f t f ==练习二 其他最值问题5．已知抛物线()2:20E x py p =>的焦点为F ，直线4x =分别与x 轴交于点P ，与抛物线E 交于点Q ，且54QF PQ =.(1)求抛物线E 的方程；(2)如图，设点,,A B C 都在抛物线E 上，若ABC 是以AC 为斜边的等腰直角三角形，求AB AC ⋅的最小值.【答案】(1)24x y = (2)32 【解析】 【分析】（1）设()04,Q y ，列方程组000216524py p y y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，求出2p =，即可得到抛物线E 的方程；（2）设点()222312123123,,,,,444x x x A x B x C x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，利用ABC 是以AC 为斜边的等腰直角三角形，表示出()()32211k x k k --+，用坐标表示出AB AC =()()32221611k k k ++利用基本不等式求出AB AC 的最小值.(1)设点()04,Q y ，由已知000216524py p y y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，则8102p p p +=，即24p =. 因为0p >，则2p =，所以抛物线E 的方程是24x y =. (2)设点()222312123123,,,,,444x x x A x B x C x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，直线AB 的斜率为()0k k >，因为AB BC ⊥，则直线BC 的斜率为1k-. 因为AB BC =，则212232111x x k x x k -+=-+，得()2312x x k x x -=-，① 因为22121212444x x x x k x x -+==-，则124x x k +=，即124x k x =-，②因为223223231444x x x x k x x -+-==-，则234x x k +=-，即324x x k=--③将②③代入①，得()2242420x k k x k +--=，即()()322212120k k x k k k-+---=，则()()32211k x k k -=+， 所以()()()()22222122··cos 451421AB AC AB AC AB x x k k x k ︒===-+=-+ ()()()()()2332222411614111k k k k k k k k ⎡⎤-+⎢⎥=-+=++⎢⎥⎣⎦因为212k k +≥，则()22214k k +≥，又()22112k k ++≥，则()()3222121k k k +≥+，从而()()3222121k k k +≥+，当且仅当1k =时取等号，所以AB AC 的最小值为32.6．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左右顶点分别为()1,0A -，()10B ,，两条准线之间的距离为1．(1)求双曲线C 的标准方程；(2)若点P 为右准线上一点，直线P A 与C 交于A ，M ，直线PB 与C 交于B ，N ，求点B 到直线MN 的距离的最大值．【答案】(1)2213y x -=(2)1【解析】【分析】（1）求得双曲线C 的的,a b ，即可求得双曲线C 的标准方程；（2）以设而不求的方法先判定直线MN 过定点，再去求点B 到直线MN 的距离的最大值．(1)由题意得1a =．设双曲线C 的焦距为2c ，则221a c⨯=，所以2c =．所以b所以双曲线C 的标准方程2213y x -=． (2) 设1,2P t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则直线P A 的方程为：()213t y x =+． 由()2213213y x t y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，得()222242784270t x t x t -+++=．因为直线P A 与C 交于A ，M ，所以24270t -≠，所以t ≠． 因为22427427A M M t x x x t +=-=-，所以22427427M t x t +=--， ()22222427361133427427M M t t t t y x t t ⎛⎫+-=+=-+= ⎪--⎝⎭， 所以22242736,427427t t M t t ⎛⎫+-- ⎪--⎝⎭． 因为直线PB 的方程为()21y t x =--，由()221321y x y t x ⎧-=⎪⎨⎪=--⎩，得()2222438430t x t x t --++=．因为直线PB 与C 交于B ，N ，所以2430t -≠，所以t ≠ 因为224343B N N t x x x t +==-，所以224343N t x t +=-， ()222431*********N N t t y t x t t t ⎛⎫+-=--=--= ⎪--⎝⎭，所以2224312,4343t t N t t ⎛⎫+- ⎪--⎝⎭． 所以当32t ≠±时，直线MN 的方程为222222222123612434342743427434343427t t t t t t y x t t t t t t -+⎛⎫+--+=- ⎪++--⎝⎭+--． 令0y =，得()()22422222222221243649610821236434274443431327438843427t t t t x t t t t t t t t t t t t ++-=⨯+==--+++--+-+---． 所以直线MN 过定点()2,0D ． 当32t =±时，222242743242743t t t t ++-==--，所以直线MN 过定点()2,0D ． 所以当BD MN ⊥时，点B 到直线MN 的距离取得最大值为1．7．如图，已知点()2,2P 是焦点为F 的抛物线()2:20C y px p =<上一点，A ，B 是抛物线C 上异于P 的两点，且直线P A ，PB 的倾斜角互补，若直线P A 的斜率为()1k k <.(1)求抛物线方程；(2)证明：直线AB 的斜率为定值并求出此定值；(3)令焦点F 到直线AB 的距离d ，求d d FA FB -的最大值.【答案】(1)22y x =(2)证明见解析，12-【解析】【分析】（1）待定系数法求解抛物线方程；（2）设出直线方程，联立后得到A 点纵坐标，同理得到B 点纵坐标，从而求出直线AB 的斜率；（3）在前两问基础上用斜率k表达出2454516k d d k FA FB k k --=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，换元后使用基本不等式求出最大值.(1)将点()2,2P 代入抛物线方程可得：1p =，抛物线2:2C y x =(2)设()():221-=->PA y k x k ，与抛物线方程联立可得：22440-+-=ky y k ，∴4422--=⇒=A P A k k y y y k k ，用k -代k 可得：22+=-B k y k因此，2221222A B A B AB A B A B A B y y y y k y y x x y y --===--+-=，即12AB k =-. (3) 由（1）可知，12AB k =-，()222122,⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭k k A k k ，()222122,⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭k k B k k 因此()22222122122:202⎛⎫----=--⇒+-= ⎪ ⎪⎝⎭k k k AB y x x y k k k 1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭到直线AB的距离2==d . 11d d d FA FB FA FB ⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭∵()342113211112524162422B A B A A B A B A B FB FA x x x x k FA FB FA FB k k x x x x x x ----====⋅-+⎛⎫⎛⎫++++⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴()22342425432252416252416k k d d k FA FB k k k k --==-+-+22244551642524516--==⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭k k k k k k k k ，令45=-t k k，由1k >得1t >∴211616d d tFA FB t tt-=≤=++当且仅当4454=⇒-=⇒=t k kk.d dFA FB-【点睛】求解抛物线取值范围问题，把要求解的问题转化为单元问题，常使用的工具有换元，基本不等式，或导函数.8．已知抛物线()2:20C y px p=>的焦点为F，A，B是该抛物线上不重合的两个动点，O为坐标原点，当A点的横坐标为4时，3cos5OFA∠=-．(1)求抛物线C的方程；(2)以AB为直径的圆经过点()1,2P，点A，B都不与点P重合，求AF BF+的最小值．【答案】(1)24y x=；(2)11.【解析】【分析】（1）作出辅助线，利用焦半径与余弦值求出p的值，进而求出抛物线方程；（2）设出直线方程，与抛物线方程联立，根据PA PB⊥得到等量关系，求出25n m=+，从而表达出212124112AF BF x x m⎛⎫+=++=++⎪⎝⎭，求出最小值.(1)设()04,A y，因为3cos05OFA∠=-<，所以42p>，42pAF=+，过点A作AD⊥x轴于点D，则42pDF=-，432cos542pDFDFApAF-∠===+，解得：2p=，所以抛物线方程为24y x=.(2)设直线AB 为x my n =+，()()1122,,,A x y B x y ，由方程x my n =+与24y x =联立得：2440y my n --=，所以()24160m n ∆=-+>，即20m n +>，且124y y m +=，124y y n =-，所以()21212242x x m y y n m n +=++=+，222121216y y x x n ⋅==，因为以AB 为直径的圆经过点()1,2P ，所以PA PB ⊥，即()()11221,21,20PA PB x y x y ⋅=--⋅--=，即()()12121212250x x x x y y y y -++-++=，所以()22424850n m n n m -+--+=，所以()()22322n m -=+，所以25n m =+或21n m =-+， 当21n m =-+时，直线AB 为12x my m =+-过点P ，此时与题干条件A ，B 都不与点P 重合矛盾，不合题意，舍去；当25n m =+时，直线AB 为25x my m =++，满足要求，所以2212424410x x m n m m +=+=++，则22121244124112AF BF x x m m m ⎛⎫+=++=++=++ ⎪⎝⎭，所以当12m =-时，AF BF +最小，且最小值为11.。
高考解析几何中的最值问题
高考解析几何中的最值问题，以直线或圆锥曲线为背景，综合函数、不等式、三角等知识，所涉及的知识点较多。
对解题能力考查的层次要求较高，因而这类最值问题已成为历年高考数学中的热点和难点。
【定义法】有些问题先利用圆锥曲线定义或性质给出关系式，再利用几何或代数法求最值，可使题目中数量关系更直观，解法更简捷。
1.已知抛物线 24y x =，定点A(3,1)，F 是抛物线的焦点 ，在抛物线上求一点 P,使|AP|+|PF|取最小值 ，并求其最小值 。
2.（2015全国卷1）已知是双曲线的右焦点，P 是C 左支上一点， ，当周长最小时，该三角形的面积为 ．【参数法】参数方程是曲线的另一种表示形式，参数法是解决数学问题的一种重要方法，利用椭圆、双曲线参数方程转化为三角函数问题，或利用直线、抛物线参数方程转化为函数问题求解。
3.已知Q （0，-4）、P （6，0），动点C 在椭圆=1上运动，求△QPC 面积的最大值。
F 22:18y C x -=(A APF ∆4922y x+【导数法】用导数求解解析几何的最值问题：导数的几何意义是曲线上某点处切线的斜率，因而解析几何中的有关切线和最值问题用导数来处理，就避免解析几何中一些繁琐的计算。
4.（2007全国卷1）已知椭圆23x+22y=1的左、右焦点分别在F1、F2，过F1的直线交椭圆与B、D两点，过F2的直线交椭圆于A、C两点，且AC⊥BD，垂足为P。
（Ⅰ）设P点的坐标为（x0，y0），证明：22001 32x y+<；（Ⅱ）求四边形ABCD的面积的最小值。
5.(2013全国卷Ⅰ，文21)已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2) l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.6.（2017北京）已知椭圆C 的两个顶点为)0,2(),0,2(B A -，焦点在x ． （1）求椭圆C 的方程； （2）点D 为x 轴上一点，过D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点N M ,，过D 作AM 的垂线交BN 于点E ，求证：BDE ∆与BDN ∆的面积之比为5:4．7.（2017天津）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为,()0F c -，右顶点为A ，点E 的坐标为(0,)c ，EFA △的面积为22b （1）求椭圆的离心率；（2）设点Q 在线段AE 上，3||2FQ c =，延长线段FQ 与椭圆交于点P ，点M ，N 在x 轴上，PM QN ∥，且直线PM 与直线QN 间的距离为c ，四边形PQNM 的面积为3c . （i ）求直线FP 的斜率； （ii ）求椭圆的方程.。
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解析几何中最值问题的九种解题策略
（广东省封开县江口中学 526500） 黎伟初
解析几何中涉及最值问题常有求夹角、
面积、距离最值或与之相关的一些问题；求直线与圆锥曲线（圆）中几何元素的最值或
与之相关的一些问题。
这些问题的处理有九种解题策略。
一．代数策略 解析几何沟通了数学内数与形、代数与
几何等最基本对象之间的关系。
是一门用代数方法研究几何问题及用几何意义直观反映代数关系的学科。
因此在处理解析几何中最值问题时，若目标与条件具有明确的互动函数关系时，不妨可考虑建立目标函数，通过函数的单调性、均值不等式、判别式、二次函数的图象等知识点来解决。
1．二次函数法 利用二次函数求最值要注意自变量的 取值范围及对称轴位置，当对称轴位置不确定时，必须进行分类讨论。
例1．若椭圆14
92
2=+y x 上点P 到定 点A （a ，0）（0＜a ＜3）的距离最短是1 ，
则实数a 的值是 分析：设椭圆上一点P （3cos θ，2sin θ），
()()2
20sin 2cos 3)(-+-=
=θθθa f PA ⎪⎭⎫ ⎝
⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=22
54453cos 5a a θ
① 当350≤<a 时，因为15
3
0≤<a ，所以 当a 5
3
cos =
θ时， 有f （θ）= 15
4
4)53(arccos 2=-=a a f ，得
)(3
5215)(215舍或舍>=-
=a a 。
② 当335<<a 时，因为59531<<a ，
所以当cos θ=1时，)0()(min min f f =θ
154
4)531(522=-+-=a a ，
得a =2 或a = 4（舍）， 综上得a = 2． 2．单调性 若所构造的函数在指定区间上具有单调性时，求最值可用单调性解决，但要注意自变量的取值范围。
例2．已知圆C ：（x + 4）2 + y 2
= 4， 圆D 的圆心D 在y 轴上且与圆C 相外切，圆
D 与y 轴交于A 、B 点，点P 为（–3，0），当点D 在y 轴上移动时，求∠APB 的最大值。
分析：设D （0，b ）
),0(r b A +，,0(r b B -圆外切有162=+r b 所以1242
2
-+=r r b 又 3r b k PA +=
，k PB 因此r r
b r
b r b APB 346
9
133tan 22-=-+
--
+=∠，
由 512tan ,2≤
∠≥APB r 得， 因此5
12
arctan 最大值为APB ∠。
3．判别式
利用判别式求最值要有主元变换的思想 ，而且原方程必须存在实数解，即原问题中的最值是存在的。
例3．过P （-2，-3）的直线L 与x 轴、 y 轴的负半轴交于A 、B 点，求使△AOB 面积最小时的L 方程。
分析： 设L 的方程为1=+b
y
a x （a ＜0 )0,<
b ，有13
2=--b
a ，得23+-
=a a b ， 所以 4
23212+-==∆a a ab S AOB
，即 04232=++s sa a ，由方程有实数根得 ()043422
≥⨯⨯-=∆s s ， 即12≥s
或)(0舍≤s ，从而得a =–4，b = -6 4．均值不等式
用均值不等式求最值要积累“配凑”技 巧与方法，同时三条件“一正二定三相等”缺一不可。
例4．过P （-2，-3）的直线L 与x 轴、 y 轴的负半轴交于A 、B 点，求使△AOB 面积最小时的L 方程。
分析：设L 方程 y + 3 = k （x + 2） （k ＜0），所以
OB OA S •=2
1
()k k 233221-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=
()1294216≥⎥⎦⎤⎢⎣
⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+
=k k ， 当且仅当 k k 94-=- 时， 即2
3
-=k ，
或)(2
3
舍=k ，得3 x + 2 y + 12 = 0。
二．三角策略
圆、椭圆、双曲线的参数方程，为我们将某些最值问题转化为三角问题且利用三角函数的有界性来研究提供了可能性。
利用三角函数求最值要有主元变换思想，把三角函数化为单一三角函数是难点。
例5．已知x 、y 满足
()()114
22
2
=-+-y x 则
y
x 1
+ 的最小值是 分析：设x = 2 + 2cos θ， y = 1 + sin θ，令
t y
x =+1
，则 t =++θθ
sin 1cos 23，即4
3)sin(2+-=-t t φθ 所以
14
32≤+-t t ，得 6
5≥
t 三．几何策略
若题目中的条件与结论能蕴涵特定的 几何特征及几何意义，那么不妨借助图形，利用几何性质或定义来处理最值问题。
1． 赋予特定的几何意义
有些最值问题具有相应的几何意义，如求分数最值联想到斜率公式，求平方和最值联想到距离公式， 由
)(2
12121C C
B B A A ==联想两直线平行或重合等。
若能恰当地利用其
几何意义，便有助于最值问题的解决。
例6．已知x 、y 满足
()()114
22
2
=-+-y x 则
y
x 1
+ 的最小值是 分析：求
y
x 1
+
值，即求
1
+x y 的
最大值。
而1
+x y
看作两点A （x ，y ）与
B （ -1 ，0）的斜率。
故等价于在椭圆上找一个点A ，使它与B 连线斜率最大。
设AB 方程为y = k （x + 1） 由方程组
得
()(
)()
0484488142222
=+-+--++k k x k k x k
()()1)14
2)
1(22=-+-+=y x x k y ｛
由
()
()
1
4448822
2+---=∆k k k (
)
04842
=+-•k k ，得k = 0（舍）
或k =
56，所以 y x 1+ 最小值为6
5。
2．利用定义
圆锥曲线的定义统一刻画了动点与两 定点距离和或差的不变性；或者动点到定 点、定直线距离比的不变性。
利用这种不变 关系将动态与静态结合，就可很快地解决最 值问题。
例7．已知定点P （–2 ，3），点F
是椭圆
112162
2=+y x 的左焦点，在椭圆上找 一个点M ， 使 MF MP 2+ 最小。
分析：由MA e MA MF 2
1
=
= 得
MP +2要求MP +三点A 、M 、共线，得(-M 3．线性规划
当实数对x 、y 所应的点在一个区域或 一条线段上时，求最值题可以从线性规划的 角度去处理。
如若x 、y
满足21x y --= ，则–2 x + y 的最大值是 （略解）
例8．若x 、y
满足不等式14
92
2≤+y x 则3 x –4y 的最大值是 分析：令Z = 3 x –4y ，则4
43Z
x y -=，
作一族与y =
意到当直线 直线在y 截距4
z
-
有最值，即Z 有最值。
由 得
0)5769(5414522=-+-z zx x ，
依△= 0得145min -=z ，145max =z 。
4．利用平面几何知识
解析几何与平面几何是密切相关的，灵活运用平面几何知识亦会使一些最值问题易于解决。
例9．已知定点A （4 ，–1）、B （3，4），
又点P 在直线L ： 042=--y x 上，当PB PA +取最小值时，点P 坐标是
；当PB PA -是
分析：当点A 、在L 有最大值；在L 距离之和有最小值。
本题中点A 、B 在L 异側，易得PA +最小时，点7
,723(
2P 关于L 对称点A /
（0，1），连A /
B 交L 于P 1 ，因此当PB PA -最大时，点P 1（5，6）。
解决一个最值问题，以上各种方法不是孤立的。
注意一题多解（例3、4），多题一解；或彼此渗透交叉使用。
如三角函数与二次函数混合用（例1），这样有助于我们对解析几何这部分内容准确、深度的把握。
3 x –
4 y – Z = 0 14
92
2=+y x ｛。