高考数学压轴专题2020-2021备战高考《复数》知识点训练
x1
C2 2020
x2
C3 2020
x3
C x 2020 2020 2020
(1
x)2020
1
i 2020
111
0
，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查复数的乘除法运算、二项式定理的应用，属于中档题．
10．设 i 是虚数单位，则复数 7 i 在复平面内所对应的点位于（ ） 3 4i
A．第一象限
B．第二象限
《复数》知识点汇总
一、选择题
1．已知复数 z 满足 11 2i 1 2i （ i 为虚数单位），则 z 的虚部为（ ） z
A． 4 B． 4i C． 4 D． 4i
【答案】C
【解析】 z 11 2i 11 4 20i 3 4i ,所以 z 的虚部为 4 ,选 C.
1 2i
5
2．已知复数 z 2 ，则（ ） 1 i
B．13
C． 20
D．10
【答案】C
【解析】
由题意知点 、 的坐标为
、
，则点 的坐标为
，
则
，从而
,选 C.
5．已知复数 z1 2 3i, z2 a bi （ a,b R,且b 0 ），其中 i 为虚数单位，若 z1z2 为
实数，则 a 的值为（ ） b
A． 3 2
B． 2 3
C． 2 3
【详解】
解：复数 x 2i (i 是虚数单位）， 1i
而
C1 2020
x1
C2 2020
x
2
C3 2020
x3
C 2020 2020
x2020
(1
x)2020
1，
而1 x 1 i 2i 1 i (1 i)2 i ， 1 i 1 i (1 i)(1 i)
故
C1 2020
Hale Waihona Puke 20．复数满足 z z 4 8i ，则复数 z 在复平面内所对应的点在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】B 【解析】 【分析】
设 z a bi(a,b R) ,则 z z a bi
a2
b2
4 8i
,可得
a
a2 b2 4 ,即可
b 8
得到 z ,进而找到对应的点所在象限.
A．充分必要条件
B．充分不必要条
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】
设 z a bi ， z2 为纯虚数得到 a b 0 ，得到答案.
【详解】
设 z a bi ， a,b R ，则 z2 a2 b2 2abi ，
a2 b2 0 z2 为纯虚数 2ab 0 a b 0 ， z 的实部和虚部相等 a b .
A． z 对应的点在第一象限
C． z 对应的点在实轴的下方
【答案】C 【解析】 【分析】
B． z 一定不为纯虚数 D． z 一定为实数
根据 t2 2t 2 t 12 1 0 ， 2t2 5t 3 可正可负也可为 0，即可判定.
【详解】
t2 2t 2 t 12 1 0， z 不可能为实数，所以 D 错误；
A． z 2
B． z 的实部为1
C． z 的虚部为 1 D． z 的共轭复数为
1 i
【答案】C 【解析】 分析：由题意首先化简复数 z，然后结合 z 的值逐一考查所给的选项即可确定正确的说法.
21 i 21 i 详解：由复数的运算法则可得： z 1 i1 i 2 1 i ，
则 z 2 ，选项 A 错误；
A．1 【答案】D 【解析】
B．2
C． 5
因为 z i z i 2 1 3 ，所以最大值为 3，选 D.
D．3
4．在复平面内复数 8 3i 、 4 5i 对应的点分别为 A 、 B ，若复数 z 对应的点 C 为线段
AB 的中点， z 为复数 z 的共轭复数，则 z z 的值为（ ）
A． 61
实掌握其运算技巧和常规思路，如 (a bi)(c di) (ac bd) (ad bc)i, (a, b, c.d R) . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数 a bi(a,b R) 的实部为 a 、虚部为 b 、模为
a2 b2 、对应点为 (a, b) 、共轭为 a bi.
6．若 z 4 3i ，则
z z
（）
A．1
【答案】D 【解析】 【详解】
B． 1
C． 4 3 i 55
由题意可得 ： z 42 32 5 ，且： z 4 3i ，
据此有：
z z
4 3i 5
4 5
3 5
i
.
本题选择 D 选项.
D． 4 3 i 55
7．已知 z 是复数，则“ z2 为纯虚数”是“ z 的实部和虚部相等”的（ ）
1 i
22
故选：A.
【点睛】
复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理
解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通
过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题
出错，造成不必要的失分.
13．设 z 3 i ， i 是虚数单位，则 z 的虚部为（ ） i
m 2i 2(1 i) i ，应选答案 A． 2 2i 2(1 i)
9．设复数
x
2i 1i
（i
是虚数单位），则
C1 2020
x1
C2 2020
x
2
C3 2020
x3
C 2020 2020
x
2020
（）
A．1 i
B． i
C． i
【答案】D
【解析】
D．0
【分析】
先化简1 x ，再根据所求式子为 (1 x)2020 1，从而求得结果．
z 对应的点在实轴的上方，又 z 与 z 对应的点关于实轴对称， z 对应的点在实轴的下
方，所以 C 正确；
3 t 1 , 2t2 5t 3 0 ， z 对应的点在第二象限，所以 A 错误； 2
t 1 , 2t2 5t 3 0 ， z 可能为纯虚数，所以 B 错误； 2
C 项正确. 故选：C 【点睛】 此题考查复数概念的辨析，关键在于准确求出实部和虚部的取值范围.
【详解】
由题意，复数
z
满足
z(1 2i)
10 ，可得
z
10 1 2i
101 2i 1 2i1 2i
2
4i ，
所以复数 z 在复平面内对应点的坐标为 (2, 4) 位于第一象限
故选：A. 【点睛】 本题主要考查了复数的运算，以及复数的几何表示方法，其中解答中熟记复数的运算法 则，结合复数的表示方法求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
D． 3 2
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据复数乘法计算，再根据复数概念求 a,b 比值.
【详解】
因为 z1z2 2 3i(a bi ) 2a 3b (3a 2b ) i ，
所以 3a 2b 0， 因为 b 0 ，所以 a 2 ，选 B.
b3
【点睛】 本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切
15．设复数 z 满足 1 i z 3 i ，则 z （ ）
A． 2
【答案】D 【解析】
B． 2
C． 2 2
D． 5
分析：先根据复数除法得 z ，再根据复数的模求结果.
详解：因为 1 i z 3 i ，所以 z 3 i 1 (3 i)(1 i) 2 i ,
1i 2
因此 z 5,
选 D. 点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如
z 的实部为 1，选项 B 错误； z 的虚部为 1，选项 C 正确； z 的共轭复数为 z 1 i ，选项 D 错误.
本题选择 C 选项. 点睛：本题主要考查复数的运算法则，复数的几何意义等知识，意在考查学生的转化能力 和计算求解能力.
3．已知复数 z 的模为 2 ,则 z i 的最大值为：( )
故选：D. 【点睛】 本题考查了既不充分也不必要条件，意在考查学生的推断能力.
8．已知 m 为实数， i 为虚数单位，若 m m2 4 i 0 ，则 m 2i （ ） 2 2i
A． i
B．1
C． - i
D． 1
【答案】A
【解析】
m0 因为 m (m2 4)i 0 ，所以 m (m2 4)i 是实数，且{m2 4 0 m 2 ，故
(a bi)(c di) (ac bd) (ad bc)i, (a, b, c.d R) . 其次要熟悉复数相关基本概念，
如复数 a bi(a,b R) 的实部为 a 、虚部为 b 、模为 a2 b2 、对应点为 (a, b) 、共轭为 a bi.
16．（2018 江西省景德镇联考）若复数 z a 2i 在复平面内对应的点在直线 x y 0 2
D． 2 i
19．在复平面内，复数 z 满足 z 1 i 1 2i ，则 z 对应的点位于 （ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】B
【解析】
∵
z1i 1 2i
，∴
z
1 2i 1 i
1 2i1 i 1 i1 i
1 i 2i 2i2 1 i2
1 3i 2
1 2
3 i，
2
∴ z 1 3 i ，故对应的点在第二象限．故选 B． 22
可得 a 1 0 a 2，z 1 i , 2
z 11 2 ,故选 B.
高考数学压轴专题孝感备战高考《复数》基础测试题及答案
新高考数学《复数》专题解析一、选择题1．若202031i i z i+=+，则z 在复平面内对应点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【解析】【分析】化简得到2z i =+，得到答案.【详解】 ()()()()202013131342211112i i i i i i z i i i i i +-+++=====++++-，对应的点在第一象限. 故选：A .【点睛】本题考查了复数对应象限，意在考查学生的计算能力.2．若复数21z i i =+-（i 为虚数单位），则||z =（ ）AB C D ．5【答案】C【解析】【分析】根据复数的运算，化简复数，再根据模的定义求解即可.【详解】 22(1)121(1)(1)i z i i i i i i +=+=+=+--+，||z ==故选C. 【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，复数模的概念，属于中档题.3．已知i 是虚数单位，复数134z i =-，若在复平面内，复数1z 与2z 所对应的点关于虚轴对称，则12z z ⋅=A ．25-B ．25C ．7-D ．7【答案】A【解析】【分析】根据复数1z 与2z 所对应的点关于虚轴对称，134z i =-，求出2z ，代入计算即可【详解】Q 复数1z 与2z 所对应的点关于虚轴对称，134z i =-234z i ∴=--()()12343425z z i i ⋅=---=-故选A【点睛】本题主要考查了复数的运算法则及其几何意义，属于基础题4．已知复数21i z =-+，则（ ） A ．2z = B ．z 的实部为1 C ．z 的虚部为1- D ．z 的共轭复数为1i +【答案】C【解析】分析：由题意首先化简复数z ，然后结合z 的值逐一考查所给的选项即可确定正确的说法. 详解：由复数的运算法则可得：()()()()21211112i i z i i i ----===---+--， 则2z =，选项A 错误；z 的实部为1-，选项B 错误；z 的虚部为1-，选项C 正确；z 的共轭复数为1z i =-+，选项D 错误.本题选择C 选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则，复数的几何意义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5．已知复数z 的模为2,则z i -的最大值为：( )A ．1B ．2C ．5D ．3【答案】D【解析】因为z i -213z i ≤+-=+= ，所以最大值为3，选D.6．若复数z 满足232,z z i +=-其中i 为虚数单位，则z=A ．1+2iB ．1-2iC ．12i -+D ．12i --【答案】B【解析】试题分析：设i z a b =+，则23i 32i z z a b +=+=-，故，则12i z =-，选B.【考点】注意共轭复数的概念【名师点睛】本题主要考查复数的运算及复数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目看，复数题目往往不难，有时对复数的运算与概念、复数的几何意义等进行综合考查，也是考生必定得分的题目之一.7．欧拉公式e i x ＝cos x ＋isin x (i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，e 2i 表示的复数在复平面中对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】【分析】由题意得2cos 2sin 2i e i =+，得到复数在复平面内对应的点(cos 2,sin 2)，即可作出解答.【详解】由题意得，e 2i ＝cos 2＋isin 2，∴复数在复平面内对应的点为(cos 2，sin 2)．∵2∈， ∴cos 2∈(－1，0)，sin 2∈(0，1)，∴e 2i 表示的复数在复平面中对应的点位于第二象限，故选B.【点睛】本题主要考查了复数坐标的表示，属于基础题.8．复数z 满足(2)36z i i +=-（i 为虚数单位），则复数z 的虚部为（ ）A ．3B ．3i -C ．3iD ．3- 【答案】D【解析】【分析】首先化简复数z ，然后结合复数的定义确定其虚部即可.【详解】 由题意可得：()()()()362361151322255i i i i z i i i i -----====--++-， 据此可知，复数z 的虚部为3-.本题选择D 选项.【点睛】复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根．除法实际上是分母实数化的过程．9．已知m 为实数，i 为虚数单位，若()24m m +- 0i >，则222m i i +=-（ ） A ．iB ．1C ．- iD ．1-【答案】A【解析】 因为2(4)0m m i +->，所以2(4)m m i +-是实数，且20{240m m m >⇒=-=，故22(1)222(1)m i i i i i ++==--，应选答案A ．10．若121z z -=，则称1z 与2z 互为“邻位复数”.已知复数1z a =与22z bi =+互为“邻位复数”，,a b ∈R ，则22a b +的最大值为（ ）A ．8-B ．8+C ．1+D ．8【答案】B【解析】【分析】根据题意点(,)a b 在圆22(2)(1x y -+-=(,)a b 到原点的距离，计算得到答案.【详解】|2|1a bi --=，故22(2))1a b -+=，点(,)a b 在圆22(2)(1x y -+=上，(,)a b 到原点的距离，故22a b +的最大值为)221(18=+=+. 故选：B .【点睛】本题考查了复数的运算，点到圆距离的最值，意在考查学生的计算能力和转化能力.11．设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数，若231z i i =+-，则4z i +=（ ）A ．6B ．50C ．D 【答案】C【解析】【分析】计算5z i =-，再代入计算得到答案.【详解】由231z i i=+-，得()()2315z i i i =+-=-，则45455z i i i i +=++=+= 故选：C ．【点睛】本题考查了复数运算，共轭复数，复数的模，意在考查学生对于复数知识的综合应用.12．复数12i 2i +=-（ ）． A ．iB ．1i +C ．i -D ．1i - 【答案】A【解析】 试题分析：12(12)(2)2422(2)(2)5i i i i i i i i i +++++-===--+，故选A. 【考点】复数运算【名师点睛】复数代数形式的四则运算的法则是进行复数运算的理论依据，加减运算类似于多项式的合并同类项，乘法法则类似于多项式的乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式，再将分母实数化.13．在复平面内，复数21i z i =+ (i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】分析：首先求得复数z ，然后求解其共轭复数即可. 详解：由复数的运算法则有：()()()()2121211112i i i i i z i i i i --====+++-， 则1z i =-，其对应的点()1,1-位于第四象限.本题选择D 选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14．设复数z 满足()13i z i +=+，则z =（ ）AB ．2C ．D 【答案】D【解析】分析：先根据复数除法得z ，再根据复数的模求结果.详解：因为()13i z i +=+，所以31(3)(1)212i z i i i i +==+-=-+,因此z =选D. 点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭为.-a bi15．复数(1)(2)z ai a i =-+在复平面内对应的点在第一象限，其中a R ∈，i 为虚数单位，则实数a 的取值范围是（ ）A ．B ．)+∞C ．(,-∞D ．(【答案】A【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算、化简，再由实部与虚部均大于0，列出不等式组，即可求解.【详解】由题意，复数2(1)(2)3(2)z ai a i a a i =-+=+-在复平面内对应的点在第一象限，所以23020a a >⎧⎨->⎩，解得0a <<，即实数a 的取值范围是. 故选：A .【点睛】本题主要考查了复数的乘法运算，以及复数的代数表示法及其几何意义的应用，着重考查了推理与运算能力.16．复数1122i i ++的虚部为（ ） A ．110 B ．110- C ．310 D ．310- 【答案】A【解析】【分析】 化简复数111122510i i i +=++，结合复数的概念，即可求解复数的虚部，得到答案，. 【详解】由题意，复数()()1121112212122510i i i i i i i -+=+=+++-， 所以复数1122i i ++的虚部为110. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了复数的运算法则，以及复数的概念，其中解答中熟记复数的运算法则，准确化简是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题. 17．复数21i z i +=-，i 是虚数单位，则下列结论正确的是 A ．5z =B ．z 的共轭复数为31+22iC ．z 的实部与虚部之和为1D ．z 在复平面内的对应点位于第一象限 【答案】D【解析】【分析】利用复数的四则运算，求得1322z i =+，在根据复数的模，复数与共轭复数的概念等即可得到结论．【详解】由题意()()()()22121313111122i i i i z i i i i i ++++====+--+-， 则221310()()22z =+=，z 的共轭复数为1322z i =-， 复数z 的实部与虚部之和为2，z 在复平面内对应点位于第一象限，故选D ．【点睛】复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据,加减运算类似于多项式的合并同类项,乘法法则类似于多项式乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式,再将分母实数化，其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 、模为22a b +、对应点为(,)a b 、共轭为a bi -．18．下列命题中，正确命题的个数是( )①若，，则的充要条件是；②若，且，则； ③若，则． A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】对①，由于x ，y ∈C ，所以x ，y 不一定是x ＋yi 的实部和虚部，故①是假命题； 对②，由于两个虚数不能比较大小，故②是假命题；③是假命题，如12＋i 2＝0，但1≠0，i≠0.考点：复数的有关概念.19．若复数满足，则复数的虚部为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】 分析：先根据复数除法法则得复数，再根据复数虚部概念得结果. 详解：因为，所以， 因此复数的虚部为，选B. 点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为20．若复数z 满足22iz i =-（i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点所在的象限是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数，然后求z 的共轭复数，即可得到z 在复平面内对应的点所在的象限． 详解：由题意，()()()222222,i i i z i i i i -⋅--===--⋅-Q 22,z i ∴=-+ 则z 的共轭复数z 对应的点在第二象限.故选B.点睛：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．。
高考数学一轮复习专题训练—复数
复数考纲要求1.理解复数的基本概念；2.理解复数相等的充要条件；3.了解复数的代数表示法及其几何意义；4.会进行复数代数形式的四则运算；5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．知识梳理1．复数的有关概念(1)定义：形如a ＋b i(a ，b ∈R)的数叫做复数，其中a 叫做复数z 的实部，b 叫做复数z 的虚部(i 为虚数单位)． (2)分类：(3)复数相等：a ＋b i ⇔a ＝c 且b ＝d ((4)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R)．(5)模：向量OZ →的模叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|a ＋b i|或|z |，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2(a ，b ∈R)．2．复数的几何意义(1)复数z ＝a ＋b i 一一对应复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R)． (2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)一一对应平面向量OZ →. 3．复数的运算(1)运算法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R. z 1±z 2＝(a ＋b i)±(c ＋d i)＝(a ±c )＋(b ±d )i. z 1·z 2＝(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(bc ＋ad )i.z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i(c ＋d i ≠0)． (2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．如图所示给出的平行四边形OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即OZ →＝OZ 1→＋OZ 2→，Z 1Z 2→＝OZ 2→－OZ 1→.1．i 的乘方具有周期性i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ，i 4n ＋i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＝0，n ∈N *. 2．(1±i)2＝±2i ，1＋i 1－i ＝i ；1－i1＋i ＝－i.3．复数的模与共轭复数的关系 z ·z ＝|z |2＝|z |2. 4．两个注意点(1)两个虚数不能比较大小；(2)利用复数相等a ＋b i ＝c ＋d i 列方程时，注意a ，b ，c ，d ∈R 的前提条件．诊断自测1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)中，虚部为b i.( )(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．( ) (3)原点是实轴与虚轴的交点．( )(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．( )答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√解析 (1)虚部为b ；(2)虚数不可以比较大小．2．已知i 为虚数单位，a 为实数，复数z 满足z ＋3i ＝a ＋a i ，若复数z 是纯虚数，则( ) A ．a ＝3 B ．a ＝0 C ．a ≠0 D ．a <0答案 B解析 由z ＋3i ＝a ＋a i ，得z ＝a ＋(a －3)i.又因为复数z 是纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，a －3≠0，解得a ＝0.3．已知(1＋2i)z ＝4＋3i ，则z ＝________. 答案 2＋i解析 因为z ＝4＋3i1＋2i＝4＋3i 1－2i 1＋2i 1－2i＝10－5i5＝2－i ，所以z ＝2＋i.4．(2020·北京卷)在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1,2)，则i·z ＝( ) A ．1＋2i B ．－2＋i C ．1－2i D ．－2－i答案 B解析 z ＝1＋2i ，∴i·z ＝i(1＋2i)＝－2＋i.故选B.5．(2019·全国Ⅲ卷改编)设复数z 满足(1＋i)z ＝2i ，则|z |＝( ) A.12 B ．22C ． 2D ．2答案 C解析 法一 由(1＋i)z ＝2i ，得z ＝2i1＋i ＝1＋i ，所以|z |＝ 2.法二 因为2i ＝(1＋i)2，所以由(1＋i)z ＝2i ＝(1＋i)2，得z ＝1＋i ，所以|z |＝ 2. 6．(2021·安庆一中月考)已知复数z ＝2i1－i3，则z 在复平面内对应的点所在的象限为第________象限． 答案 二 解析 ∵z ＝2i1－i3＝－1－i 21－i3＝－11－i＝－12－i 2， ∴z ＝－12＋i2对应的点⎝⎛⎭⎫－12，12位于第二象限．考点一 复数的相关概念1．(2020·浙江卷)已知a ∈R ，若a －1＋(a －2)i(i 为虚数单位)是实数，则a ＝( ) A ．1 B ．－1C ．2D ．－2答案 C解析 由题可知复数的虚部为a －2，若该复数为实数，则a －2＝0，即a ＝2.故选C. 2．(2019·全国Ⅱ卷)设z ＝i(2＋i)，则z ＝( ) A ．1＋2i B ．－1＋2iC ．1－2iD ．－1－2i答案 D解析 ∵z ＝i(2＋i)＝－1＋2i ，∴z ＝－1－2i.故选D. 3．(2020·全国Ⅰ卷)若z ＝1＋2i ＋i 3，则|z |＝( ) A ．0 B ．1C ． 2D ．2答案 C解析 ∵z ＝1＋2i ＋i 3＝1＋2i －i ＝1＋i ，∴|z |＝12＋12＝ 2.故选C.4．(2021·西安调研)下面关于复数z ＝－1＋i(其中i 为虚数单位)的结论正确的是( ) A.1z 对应的点在第一象限 B ．|z |<|z ＋1| C ．z 的虚部为i D ．z ＋z <0 答案 D解析∵z＝－1＋i，∴1z＝1－1＋i＝－1－i－1＋i－1－i＝－12－i2.则1z对应的点在第三象限，故A错误；|z|＝2，|z＋1|＝1，故B错误；z的虚部为1，故C错误；z＋z＝－2<0，故D正确．感悟升华 1.复数z＝a＋b i(a，b∈R)，其中a，b分别是它的实部和虚部．若z为实数，则虚部b＝0，与实部a无关；若z为虚数，则虚部b≠0，与实部a无关；若z为纯虚数，当且仅当a＝0且b≠0.2．复数z＝a＋b i(a，b∈R)的模记作|z|或|a＋b i|，即|z|＝|a＋b i|＝a2＋b2.3．复数z＝a＋b i(a，b∈R)的共轭复数为z＝a－b i，则z·z＝|z|2＝|z|2，即|z|＝|z|＝z·z，若z∈R，则z＝z.利用上述结论，可快速、简洁地解决有关复数问题．考点二复数的几何意义【例1】(1)(2019·全国Ⅰ卷)设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则() A．(x＋1)2＋y2＝1 B．(x－1)2＋y2＝1C．x2＋(y－1)2＝1 D．x2＋(y＋1)2＝1(2)(2020·临沂质检)已知a1－i＝－1＋b i，其中a，b是实数，则复数a－b i在复平面内对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案(1)C(2)B解析(1)由已知条件，可设z＝x＋y i(x，y∈R)．∵|z－i|＝1，∴|x＋y i－i|＝1，∴x2＋(y－1)2＝1.故选C.(2)由a1－i＝－1＋b i，得a ＝(－1＋b i)(1－i)＝(b －1)＋(b ＋1)i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1＝0，a ＝b －1，即a ＝－2，b ＝－1， ∴复数a －b i ＝－2＋i 在复平面内对应点(－2,1)，位于第二象限．感悟升华 1.复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)一一对应Z (a ，b )一一对应OZ →＝(a ，b )．2．由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此解题时可运用数形结合的方法，可把复数、向量与解析几何联系在一起，使问题的解决更加直观．【训练1】 (1)若复数z ＝(2＋a i)(a －i)在复平面内对应的点在第三象限，其中a ∈R ，i 为虚数单位，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－2，2) B ．(－2，0) C ．(0，2)D ．[0，2)(2)(2021·郑州模拟)已知复数z 1＝2－i2＋i 在复平面内对应的点为A ，复数z 2在复平面内对应的点为B ，若向量AB →与虚轴垂直，则z 2的虚部为________． 答案 (1)B (2)－45解析 (1)z ＝(2＋a i)(a －i)＝3a ＋(a 2－2)i在复平面内对应的点在第三象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a <0，a 2－2<0，解得－2<a <0.(2)z 1＝2－i 2＋i ＝2－i 22＋i 2－i ＝35－45i ，所以A ⎝⎛⎭⎫35，－45， 设复数z 2对应的点B (x 0，y 0)，则AB →＝⎝⎛⎭⎫x 0－35，y 0＋45， 又向量AB →与虚轴垂直，∴y 0＋45＝0，故z 2的虚部y 0＝－45.考点三 复数的运算【例2】 (1)(2020·全国Ⅰ卷)若z ＝1＋i ，则|z 2－2z |＝( ) A ．0B ．1C ． 2D ．2(2)在数学中，记表达式ad －bc 为由⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd 所确定的二阶行列式．若在复数域内，z 1＝1＋i ，z 2＝2＋i 1－i ，z 3＝z 2，则当⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1 z 2z 3 z 4＝12－i 时，z 4的虚部为________． 答案 (1)D (2)－2解析 (1)法一 z 2－2z ＝(1＋i)2－2(1＋i)＝－2，|z 2－2z |＝|－2|＝2. 法二 |z 2－2z |＝|(1＋i)2－2(1＋i)|＝|(1＋i)(－1＋i)| ＝|1＋i||－1＋i|＝2. 故选D. (2)依题意，⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1 z 2z 3 z 4＝z 1z 4－z 2z 3，因为z 3＝z 2，且z 2＝2＋i1－i ＝2＋i1＋i2＝1＋3i 2，所以z 2·z 3＝|z 2|2＝52，因此有(1＋i)z 4－52＝12－i ，即(1＋i)z 4＝3－i ，故z 4＝3－i 1＋i＝3－i1－i2＝1－2i.所以z 4的虚部是－2.感悟升华 1.复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i 的幂写成最简形式． 2．记住以下结论，可提高运算速度： (1)(1±i)2＝±2i ；(2)1＋i 1－i ＝i ；(3)1－i 1＋i＝－i ；(4)－b ＋a i ＝i(a ＋b i)；(5)i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i(n ∈N)．【训练2】 (1)(2020·新高考山东卷)2－i1＋2i＝( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i(2)(2020·全国Ⅱ卷)设复数z 1，z 2满足|z 1|＝|z 2|＝2，z 1＋z 2＝3＋i ，则|z 1－z 2|＝________. 答案 (1)D (2)2 3 解析 (1)2－i 1＋2i ＝2－i1－2i 1＋2i1－2i＝－5i5＝－i.故选D.(2)法一 设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z 2＝3－a ＋(1－b )i ，则⎩⎨⎧ |z 1|2＝a 2＋b 2＝4，|z 2|2＝3－a 2＋1－b 2＝4，即⎩⎨⎧a 2＋b 2＝4，3a ＋b ＝2.∴|z 1－z 2|2＝(2a －3)2＋(2b －1)2 ＝4(a 2＋b 2)－4(3a ＋b )＋4＝12. 因此|z 1－z 2|＝2 3.法二 设复数z 1，z 2对应的向量为a ，b ， 则复数z 1＋z 2，z 1－z 2对应向量为a ＋b ，a －b ， 依题意|a |＝|b |＝2，|a ＋b |＝2， 又因为|a ＋b |2＋|a －b |2＝2|a |2＋2|b |2， 所以|a －b |2＝12，故|z 1－z 2|＝|a －b |＝2 3.法三 设z 1＋z 2＝z ＝3＋i ，则z 在复平面上对应的点为P (3，1)，所以|z 1＋z 2|＝|z |＝2，由平行四边形法则知OAPB 是边长为2，一条对角线也为2的菱形，则另一条对角线的长为|z 1－z 2|＝2×32×2＝2 3.A 级 基础巩固一、选择题1．设z ＝－3＋2i ，则在复平面内z 对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 C解析 z ＝－3－2i ，故z 对应的点(－3，－2)位于第三象限． 2．(2020·全国Ⅲ卷)复数11－3i 的虚部是( ) A ．－310B ．－110C ．110D ．310答案 D解析 z ＝11－3i ＝1＋3i 1－3i 1＋3i ＝110＋310i ，虚部为310.故选D.3．(2020·全国Ⅱ卷)(1－i)4＝( ) A ．－4 B ．4C ．－4iD ．4i答案 A解析 (1－i)4＝(1－2i ＋i 2)2＝(－2i)2＝4i 2＝－4.4. (2021·全国大联考)如图，复数z 1，z 2在复平面上分别对应点A ，B ，则z 1·z 2＝( )A ．0B ．2＋iC ．－2－iD ．－1＋2i答案 C解析 由复数几何意义，知z 1＝－1＋2i ，z 2＝i ， ∴z 1·z 2＝i(－1＋2i)＝－2－i.5．设复数z 满足|z －3|＝2，z 在复平面内对应的点为M (a ，b )，则M 不可能为( ) A ．(2，3) B ．(3,2) C ．(5,0) D ．(4,1) 答案 D解析 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z －3＝(a －3)＋b i ， ∴(a －3)2＋b 2＝4，验证点M (4,1)，不满足．6．(2021·河南部分重点高中联考)若复数a ＋|3－4i|2＋i (a ∈R)是纯虚数，则a ＝( )A ．－3B ．－2C ．2D ．3答案 B解析 a ＋|3－4i|2＋i ＝a ＋52－i2＋i 2－i ＝a ＋2－i 为纯虚数．则a ＋2＝0，解得a ＝－2.7．设2＋ii ＋1－2i ＝a ＋b i( a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则b －a i ＝( )A ．－52－32iB ．52－32iC.52＋32i D ．－52＋32i答案 A解析 因为2＋i i ＋1－2i ＝2＋i1－i i ＋11－i －2i ＝32－52i ＝a ＋b i ，所以a ＝32，b ＝－52，因此b －a i＝－52－32i.故选A.8.如图所示，在复平面内，复数z 1，z 2对应的向量分别是OA →，OB →，则复数z 1·z 2对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 D解析 由图知OA →＝(－2，－1)，OB →＝(0,1)，所以z 1＝－2－i ，z 2＝i ，z 1·z 2＝1－2i ，所以复数z 1·z 2所对应的点为(1，－2)，该点在第四象限．二、填空题9．(2020·江苏卷)已知i 是虚数单位，则复数z ＝(1＋i)(2－i)的实部是________． 答案 3解析 z ＝(1＋i)(2－i)＝2－i ＋2i －i 2＝3＋i ，所以复数z 的实部为3.10．在复平面内，O 为原点，向量OA →对应的复数为－1＋2i ，若点A 关于直线y ＝－x 的对称点为B ，则向量OB →对应的复数为________．答案 －2＋i解析 因为A (－1,2)关于直线y ＝－x 的对称点B (－2，1)，所以向量OB →对应的复数为－2＋i.11．已知复数z ＝1＋2i 1＋i ＋2i z ，则|z |等于________． 答案 22解析 由z ＝1＋2i 1＋i＋2i z 得z ＝1＋2i 1＋i 1－2i ＝1＋2i 3－i＝1＋2i 3＋i 3－i 3＋i ＝1＋7i 10， 故|z |＝11012＋72＝22. 12．已知i 为虚数单位，若复数z ＝1－a i 1＋i(a ∈R)的实部为－3，则|z |＝________，复数z 的共轭复数z ＝________.答案 5 －3＋4i解析 因为z ＝1－a i 1＋i ＝1－a i 1－i 1＋i 1－i ＝1－a －a ＋1i 2的实部为－3，所以1－a 2＝－3，解得a ＝7. 所以z ＝－3－4i ， 故|z |＝－32＋－42＝5，且共轭复数z ＝－3＋4i.B 级 能力提升13．(2020·南宁模拟)已知z ＝3－i 1－i (其中i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 的虚部是( ) A ．－1B ．－2C ．1D ．2 答案 A解析 ∵z ＝3－i 1－i ＝3－i 1＋i 1－i 1＋i＝4＋2i 2＝2＋i ， ∴z ＝2－i ，∴z 的虚部为－1.14．(2021·哈尔滨调研)已知z 的共轭复数是z ，且|z |＝z ＋1－2i(i 为虚数单位)，则复数z 在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案 D解析 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，因为|z |＝z ＋1－2i ，所以x 2＋y 2＝x －y i ＋1－2i ＝(x ＋1)－(y＋2)i ，所以⎩⎨⎧ x 2＋y 2＝x ＋1，y ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝－2. 所以复数z 在复平面内对应的点为⎝⎛⎭⎫32，－2，此点位于第四象限． 15.⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 6＋2＋3i 3－2i＝________. 答案 －1＋i解析 原式＝⎣⎡⎦⎤1＋i 226＋2＋3i3＋2i 32＋22＝i 6＋6＋2i ＋3i －65＝－1＋i. 16．已知复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，且|z －2|＝3，则y x的最大值为________． 答案 3解析 因为|z －2|＝x －22＋y 2＝3，所以(x －2)2＋y 2＝3. 由图可知⎝⎛⎭⎫y x max ＝31＝ 3.。
2021高考数学 复数历年来高考习题荟萃（2020-2021）（含解析）(1)
zi，+2=2z设=2a+2bi在复平面内对应的．第四象限，故答案为D．对应的点的坐标是( ) ()(+为虚数单位1i iA ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】 B【解析】 z = i·(1+i) = i – 1,因此对应点(-1,1).选B 选B9.【2021山东】（1）复数z 知足(z-3)(2-i)=5(i 为虚数单位)，那么z 的共轭复数为( D )A. 2+i C. 5+i10.【2021上海理】设m R ∈，222(1)i m m m +-+-是纯虚数，其中i 是虚数单位，那么________m =【解答】2220210m m m m ⎧+-=⇒=-⎨-≠⎩11.【2021四川理】2．如图，在复平面内，点A 表示复数z ，那么图中表示z 的共轭复数的点是（ ）（A ）A （B ）B （C ）C （D ）D 12.【2021全国新课改II 】设复数z 知足(1i )z = 2 i ，那么z =（A ）1+ i（B ）1 i（C ）1+ i（D ）1 i答案：A【解法一】将原式化为z =2i 1- i ,再分母实数化即可.【解法二】将各选项一一查验即可.13.【2021课标1】假设复数z 知足 (3－4i)z ＝|4＋3i |，则z 的虚部为()A 、－4（B ）－45（C ）4（D ）45【命题用意】此题要紧考查复数的概念、运算及复数模的计算，是容易题.【点评】此题考查复数代数形式的四那么运算及复数的大体概念，考查大体运算能力.先把Z 化成标准的(,)a bi a b R +∈形式，然后由共轭复数概念得出1z i =--. 10.【2021高考湖北文12】.若=a+bi （a ，b 为实数，i 为虚数单位），那么a+b=____________. 【答案】3【点评】此题考查复数的相等即相关运算.此题假设第一对左侧的分母进行复数有理化，也能够求解，但较繁琐一些.来年需注意复数的几何意义，大体概念（共轭复数），大体运算等的考查.11.【2021高考广东文1】设i 为虚数单位，那么复数34ii+= A. 43i -- B. 43i -+ C. 43i + D. 43i - 【答案】D12.【2102高考福建文1】复数（2+i ）2等于 +4i +4i +2i +2i 【答案】A.【解析】i i i 43)22()14()2(2+=++-=+，应选A.13.【2102高考北京文2】在复平面内，复数103ii+对应的点的坐标为 A ． (1 ,3) B ．(3,1) C ．(-1,3) D ．(3 ,-1) 【答案】A14.【2021高考天津文科1】i 是虚数单位，复数534i i+-=（A ）1-i （B ）-1+i （C ）1+i （D ）-1-i【答案】C或,复数a+为纯虚数0,0b00b,应选B.=+(i为虚数单位年高考（山东理））假设复数)117i-i D．3--B．35i【解析】1iz i-=2021年高考（大纲理）【考点定位】此题要紧考查复数的代数运算在复平面内所对应的图形的面积为__8__.3416．（2021年高考（上海春））假设复数z 知足1(iz i i =+为虚数单位),那么z =1i -_______.34（江苏））设a b ∈R ，,117ii 12ia b -+=-(i 为虚数单位),那么a b +的值为____. 7. 【考点】复数的运算和复数的概念.【分析】由117ii 12ia b -+=-得()()()()117i 12i 117i 1115i 14i ===53i 12i 12i 12i 14a b -+-+++=+--++,因此=5=3a b ，,=8a b + .2020年高考复数1.【2020安徽理】 设 i 是虚数单位，复数aii1+2-为纯虚数，那么实数a 为 （A ）2 (B) -2 (C) 1-2(D) 12A. 【命题用意】此题考查复数的大体运算，属简单题.【解析】设()aibi b R i1+∈2-=，那么1+(2)2ai bi i b bi =-=+，因此1,2b a ==.应选A. 2.【2020北京理】复数i 212i-=+ A. i B. i - C. 43i 55-- D. 43i 55-+【解析】：i 212ii -=+，选A 。
高考数学压轴专题专题备战高考《复数》真题汇编及答案
【高中数学】数学《复数》复习知识点一、选择题1．设i 是虚数单位，则复数734i i ++在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】D【解析】因为734ii ++(7)(34)2525=1(34)(34)25i i ii i i +--==-+-，所以所对应的点为(1,1)-，位于第四象限，选D. 2．设i 是虚数单位，若复数()103a a R i -∈-是纯虚数，则a 的值为（ ）A ．-3B ．-1C ．1D ．3【答案】D【解析】【分析】【详解】 因,故由题设, 故,故选D ．考点：复数的概念与运算.3．已知i 是虚数单位，复数z 满足()12i z i +=，则z 的虚部是（ ）A ．1B ．iC ．1-D ．i -【答案】A【解析】()12i z i +=22(1)112ii i z i i -⇒===++，所以z 的虚部是1，选A.4．已知复数i z x y =+（x ，y ∈R ），且23z +=1y x -的最大值为（）A 3B 6C ．26+D ．26【答案】C【解析】【分析】根据模长公式，求出复数z 对应点的轨迹为圆，1y x -表示(,)x y 与(0,1)连线的斜率，其最值为过(0,1)点与圆相切的切线斜率，即可求解.【详解】∵复数i z x y =+（x ，y ∈R），且2z +==()2223x y ++=. 设圆的切线l ：1y kx =+=化为2420k k --=，解得2k =∴1y x-的最大值为2 故选:C.【点睛】 本题考查复数的几何意义、轨迹方程、斜率的几何意义，考查数形结合思想，属于中档题.5．已知复数z 满足121i z i i +⋅=--（其中z 为z 的共轭复数），则z 的值为( ) A ．1B ．2 CD 【答案】D【解析】【分析】 按照复数的运算法则先求出z ，再写出z ，进而求出z .【详解】 21(1)21(1)(1)2i i i i i i i ++===--+Q ， 1222(2)121i i z i i z i z i i i i i+-∴⋅=-⇒⋅=-⇒==--=---，12||z i z ∴=-+⇒==故选：D【点睛】本题考查复数的四则运算、共轭复数及复数的模，考查基本运算能力，属于基础题.6．已知i 是虚数单位，则复数242i z i-=+的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】A【解析】【分析】先将复数化为代数形式，再根据共轭复数的概念确定对应点，最后根据对应点坐标确定象限.【详解】 解：∵()()()()242232424242105i i i z i i i i ---===-++-， ∴32105z i =+， ∴复数z 的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为（32105，），所在的象限为第一象限． 故选：A ． 点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭为.-a bi7．已知2a i b i i +=+ ，,a b ∈R ，其中i 为虚数单位，则+a b =（ ） A ．-1B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】【分析】利用复数除法运算法则化简原式可得2ai b i -=+，再利用复数相等列方程求出,a b 的值，从而可得结果.【详解】 因为22222a i ai i ai b i i i+--==-=+- ，,a b ∈R ， 所以2211b b a a ==⎧⎧⇒⎨⎨-==-⎩⎩，则+1a b =，故选B. 【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.8．已知z C ∈，2z i z i ++-=，则z 对应的点Z 的轨迹为（ ）A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．线段【答案】D【解析】【分析】由复数模的几何意义，结合三角不等式可得出点Z 的轨迹.【详解】 2z i z i ++-=的几何意义为复数z 对应的点Z 到点()0,1A -和点()0,1B 的距离之和为2，即ZA ZB AB +=，另一方面，由三角不等式得ZA ZB AB +≥.当且仅当点Z 在线段AB 上时，等号成立.因此，点Z 的轨迹为线段.故选：D.【点睛】本题考查复数模的几何意义，将问题转化为距离之和并结合三角不等式求解是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.9．欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位）是由著名数学家欧拉发明的，他将指数函数定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，根据欧拉公式，若将2i e π表示的复数记为z ，则(12)z i +的值为（ ）A ．2i -+B ．2i --C ．2i +D ．2i -【答案】A【解析】【分析】 根据欧拉公式求出2cossin 22i z e i i πππ==+=，再计算(12)z i +的值.【详解】 ∵2cos sin 22i z e i i πππ==+=，∴(12)(12)2z i i i i +=+=-+.故选：A.【点睛】此题考查复数的基本运算，关键在于根据题意求出z .10．设2i 2i 1i z =++-，则复数z =（ ） A ．12i - B ．12i + C ．2i + D ．2i -【答案】A【解析】【分析】根据复数的运算法则，求得12z i =+，再结合共轭复数的概念，即可求解．【详解】 由题意，可得复数()()()2i 1i 2i 2i 2i 12i 1i 1i 1i z +=++=++=+--+， 所以12i z =-．故选：A ．【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的共轭复数的概念及应用，其中解答中熟记复数的运算法则，准确运算是解答的关键，着重考查了运算能力．11．在复平面内，复数121i z i -=+对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】C【解析】 试题分析：1213122i i i -=--+在复平面内所对应的点坐标为，位于第三象限，故选C ．考点：复数的代数运算及几何意义．12．若复数1a i z i +=-，且3·0z i >，则实数a 的值等于（ ） A ．1B ．-1C ．12D ．12- 【答案】A【解析】【分析】由3·0z i >可判定3·z i 为实数，利用复数代数形式的乘除运算化简复数z ，再由实部为0，且虚部不为0列式求解即可.【详解】 ()()()()()i 1i 11i i 1i 1i 1i 2a a a a z ++-+++===--+Q ， 所以3·z i =()()()()341i 1i 1i 122a a a a -++--++=，因为3·0z i >，所以3·z i 为实数，102a --= 可得1a =，1a =时3,?10z i =>,符合题意，故选A. 【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.13．（2018江西省景德镇联考）若复数2i 2a z -=在复平面内对应的点在直线0x y +=上，则z =（ ）A ．2BC ．1 D．【答案】B【解析】分析：化简复数z ，求出对应点坐标，代入直线方程，可求得a 的值，从而可得结果. 详解：因为复数2i 22a a z i -==-， 所以复数2i 2a z -=在复平面内对应的点的坐标为,12a ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 由复数2i 2a z -=在复平面内对应的点在直线0x y +=上， 可得10212a a z i -=⇒==-，,z ==,故选B.14．欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，根据欧拉公式可知，4ii e e ππ表示的复数在复平面中位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】B【解析】【分析】 根据欧拉公式计算4i i e e ππ，再根据复数几何意义确定象限.【详解】因为444iie cos isincos isineππππππ+===+，所以对应点22-（，，在第二象限，选B.【点睛】本题考查复数除法以及复数几何意义，考查基本分析求解能力，属基本题.15．设复数z a bi=+（i为虚数单位，,a b∈R），若,a b满足关系式2ab t=-，且z在复平面上的轨迹经过三个象限，则t的取值范围是( )A．[0,1]B．[1,1]-C．(0,1)(1,)⋃+∞D．(1,)-+∞【答案】C【解析】【分析】首先根据复数的几何意义得到z的轨迹方程2xy t=-，再根据指数函数的图象，得到关于t的不等式，求解.【详解】由复数的几何意义可知，设复数对应的复平面内的点为(),x y，2ax ay b t=⎧⎨==-⎩，即2xy t=-，因为z在复平面上的轨迹经过三个象限，则当0x=时，11t-<且10t-≠，解得0t>且1t≠，即t的取值范围是()()0,11,+∞U.故选：C【点睛】本题考查复数的几何意义，以及轨迹方程，函数图象，重点考查数形结合分析问题的能力，属于基础题型.16．设复数4273izi-=-，则复数z的虚部为（）A．1729-B．1729C．129-D．129【答案】C【解析】【分析】根据复数运算法则求解1712929z i=-，即可得到其虚部.【详解】 依题意，()()()()427342281214634217173737358582929i i i i i i z i i i i -+-+-+-=====---+ 故复数z 的虚部为129-故选：C【点睛】此题考查复数的运算和概念辨析，关键在于熟练掌握运算法则，准确计算，正确辨析虚部的概念.17．下列命题中，正确命题的个数是( )①若，，则的充要条件是；②若，且，则； ③若，则． A ． B ． C ． D ．【答案】A【解析】对①，由于x ，y ∈C ，所以x ，y 不一定是x ＋yi 的实部和虚部，故①是假命题； 对②，由于两个虚数不能比较大小，故②是假命题；③是假命题，如12＋i 2＝0，但1≠0，i≠0.考点：复数的有关概念.18．已知复数134z i=+，则下列说法正确的是（ ） A ．复数z 的实部为3B ．复数z 的虚部为425iC ．复数z 的共轭复数为342525i + D ．复数的模为1【答案】C【解析】【分析】直接利用复数的基本概念得选项.【详解】 1343434252525i z i i -===-+， 所以z 的实部为325，虚部为425- ，z 的共轭复数为342525i +15=， 故选C.【点睛】该题考查的是有关复数的概念和运算，属于简单题目.19．已知复数z 在复平面内对应点是()1,2-，i 为虚数单位，则21z z +=-（ ） A ．1i --B ．1i +C ．312i -D ．312i + 【答案】D【解析】 21z z +=-323122i i i -=+- ，选D.20．复数52i -的共轭复数是( ) A ．2i + B ．2i -C ．2i -+D ．2i -- 【答案】C【解析】【分析】 先化简复数代数形式，再根据共轭复数概念求解.【详解】 因为522i i =---，所以复数52i -的共轭复数是2i -+，选C. 【点睛】本题考查复数运算以及共轭复数概念，考查基本求解能力.。
高考数学专题《复数》习题含答案解析
专题10.2 复数1．（2020·全国高考真题（理））复数113i-的虚部是（ ）A ．310-B ．110-C ．110D ．310【答案】D 【解析】因为1131313(13)(13)1010i z i i i i +===+--+，所以复数113z i =-的虚部为310.故选：D.2．（2020·全国高考真题（文））（1–i ）4=（ ）A ．–4B ．4C ．–4i D ．4i【答案】A 【解析】422222(1)[(1)](12)(2)4i i i i i -=-=-+=-=-.故选：A.3．（2021·北京·高考真题）在复平面内，复数z 满足(1)2i z -=，则z =（ ）A ．1i --B ．1i-+C ．1i-D ．1i+【答案】D 【分析】由题意利用复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意可得：()()()()2121211112i i z i i i i ++====+--+.故选：D.4．（2021·全国·高考真题）已知2i z =-，则()i z z +=（ ）A ．62i -B ．42i-C ．62i+D ．42i+【答案】C 【分析】练基础利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果.【详解】因为2z i =-，故2z i =+，故()()()2222=4+42262z z i i i i i i i+=-+--=+故选：C.5．（2021·全国·高考真题（文））已知2(1)32i z i -=+，则z =（ ）A ．312i--B ．312i-+C ．32i-+D ．32i--【答案】B 【分析】由已知得322iz i+=-，根据复数除法运算法则，即可求解.【详解】2(1)232i z iz i -=-=+，32(32)23312222i i i i z i i i i ++⋅-+====-+--⋅.故选：B.6．（2021·全国·高考真题（理））设()()2346z z z z i ++-=+，则z =（ ）A ．12i -B ．12i+C ．1i+D ．1i-【答案】C 【分析】设z a bi =+，利用共轭复数的定义以及复数的加减法可得出关于a 、b 的等式，解出这两个未知数的值，即可得出复数z .【详解】设z a bi =+，则z a bi =-，则()()234646z z z z a bi i ++-=+=+，所以，4466a b =⎧⎨=⎩，解得1a b ==，因此，1z i =+.故选：C.7．（2021·全国·高考真题（文））设i 43i z =+，则z =（ ）A ．–34i -B ．34i-+C ．34i-D ．34i+【答案】C 【分析】由题意结合复数的运算法则即可求得z 的值.【详解】由题意可得：()2434343341i i i i z i i i ++-====--.故选：C.8．（2021·浙江·高考真题）已知a R ∈，()13ai i i +=+，(i 为虚数单位)，则a =（ ）A ．1-B ．1C ．3-D ．3【答案】C 【分析】首先计算左侧的结果，然后结合复数相等的充分必要条件即可求得实数a 的值.【详解】()213ai i i ai i a a i i +=-=-+=++=，利用复数相等的充分必要条件可得：3,3a a -=∴=-.故选：C.9．（2019·北京高考真题（文））已知复数z =2+i ，则（ ）ABC ．3D ．5【答案】D 【解析】∵ 故选D.10．（2019·全国高考真题（文））设，则=（ ）A．2B CD ．1【答案】C 【解析】因为，所以，所以，故选C ．1．（2010·山东高考真题（文））已知 ，，其中 为虚数单位，则=（ ）A ．-1B ．1C ．2D ．3【答案】B 【解析】z z ⋅=z 2i,z z (2i)(2i)5=+⋅=+-=3i12iz -=+z 312iz i -=+(3)(12)17(12)(12)55i i z i i i --==-+-z ==2a ib i i+=+,a b ∈R i +a b 练提升因为 ，，所以，则，故选B.2．（全国高考真题（理））复数的共轭复数是( )A ．B ．ｉC ．D ．【答案】A 【解析】，故其共轭复数为.所以选A.3．（2018·全国高考真题（理））设，则（ ）A ．B ．C ．D【答案】C 【解析】，则，故选c.4．（2009·重庆高考真题（理））已知复数的实部为，虚部为2，则的共轭复数是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】由题意得：所以，共轭负数为2+i 故选B5．（2017·山东高考真题（理））已知，是虚数单位，若，，22222a i ai i ai b i i i+--==-=+-,a b ∈R 2211b b a a ==⎧⎧⇒⎨⎨-==-⎩⎩+1a b =212ii+-i -35i-35i()()()()2i 12i 5i i12i 12i 5++==-+i -1i2i 1iz -=++||z =0121()()()()1i 1i 1i2i 2i 1i 1i 1i z ---=+=++-+i 2i i =-+=1z =z 1-5iz2i -2i+2i--2i-+R a ∈i z a =4z z ⋅=则（ ）A ．1或B或C ．D【答案】A 【解析】由得，所以，故选A.6．（2021·广东龙岗·高三期中）已知复数z 满足()2i 34i z +=+（其中i 为虚数单位），则复数z =（ ）A ．2i -B ．2i-+C ．2i+D ．2i--【答案】C 【分析】根据复数除法运算求出z ，即可得出答案.【详解】()2i 35z +=+= ，()()()52i 52i 2i 2i 2i z -∴===-++-，则2i z =+.故选：C.7．（2021·安徽·合肥一六八中学高一期中）欧拉公式i s co in s i x e x x +=(i 是虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知，i 3e π表示的复数位于复平面中的（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【分析】先由欧拉公式计算可得312e π=，然后根据复数的几何意义作出判断即可.【详解】根据题意i s co in s i xe x x +=，故i3is n 1cos 33i 2e πππ=+=，对应点12⎛ ⎝，在第一象限.故选：A .8．【多选题】（2021·全国·模拟预测）已知复数z =（i 为虚数单位），则下列说法正确的是（）A ．复数z 在复平面内对应的点坐标为()sin 3cos3,sin 3cos3+-a =1-,4z a z z =+⋅=234a +=1a =±B ．z 的虚部为C ．2z z ⋅=D ．z ⋅为纯虚数【答案】CD 【分析】根据复数的概念、共轭复数的概念、复数的几何意义以及四则运算法则即可求解.【详解】复数3cos3i sin 3cos3z =++-．因为334ππ<<，所以sin 3cos3304π⎛⎫+=+< ⎪⎝⎭，sin 3cos30->，所以原式()()sin 3cos3i sin 3cos3=-++-，所以选项A 错误；复数z B错误；222z z ⋅=+=，所以选项C 正确；z ⋅=()i 1sin 61sin 62i⋅=++-=，所以选项D 正确.故选：CD.9．【多选题】（2021·河北武强中学高三月考）已知复数cos isin z θθ=+（其中i 为虚数单位），下列说法正确的是（ ）A ．1z z ⋅=B ．1z z+为实数C ．若83πθ=，则复数z 在复平面上对应的点落在第一象限D ．若(0,)θπ∈，复数z 是纯虚数，则2πθ=【答案】ABD 【分析】对选项A ，根据计算1z z ⋅=即可判断A 正确，对选项B ，根据12cos z zθ+=即可判断B 正确，对选项C ，根据88cosisin 33z ππ=+在复平面对应的点落在第二象限，即可判断C 错误，对选项D ，根据z 是纯虚数得到2πθ=即可判断D 正确.【详解】对选项A ，()()()2222cos isin cos isin cos isin cos sin 1z z θθθθθθθθ⋅=+-=-=+=，故A 正确.对选项B ，因为11cos isin cos isin z z θθθθ+=+++()()cos isin cos isin cos isin cos isin θθθθθθθθ-=+++-cos isin cos isin 2cos θθθθθ=++-=，所以1z z+为实数.故B 正确.对选项C ，因为83πθ=为第二象限角，所以8cos03π<，8sin 03π>，所以88cos isin 33z ππ=+在复平面对应的点落在第二象限.故C 错误.对选项D ，复数z 是纯虚数，则cos 0sin 0θθ=⎧⎨≠⎩，又因为(0,)θπ∈，所以2πθ=，故D 正确.故选：ABD10．（2021·福建·厦门一中模拟预测）在复平面内，复数(,)z a bi a b R =+∈对应向量OZ（O为坐标原点），设||OZ r =，以射线Ox 为始边，OZ 为终边旋转的角为θ，则(cos sin )z r i θθ=+，法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：1111(cos sin )z r i θθ=+，2222(cos sin )z r i θθ=+，则12121212[cos()sin()]z z rr i θθθθ=+++，由棣莫弗定理可以推导出复数乘方公式：[(cos sin )](cos sin )n n r i r n i n θθθθ+=+，已知4)z i =，则||z =______；若复数ω满足()*10n n ω-=∈N ，则称复数ω为n 次单位根，若复数ω是6次单位根，且ω∉R ，请写出一个满足条件的ω=______．【答案】16 ()22cossin 1,2,4,566k k i k ππ+= 【分析】2(cos sin )66i i ππ+=+，则4222(cos sin )33z i ππ=+，再由||||z z =求解，由题意知61ω=，设cos sin i ωθθ=+，即可取一个符合题意的θ，即可得解．【详解】解： 2(cos sin )66i i ππ=+，∴4422)2(cos sin )33z i i ππ==+，则4||||216z z ===．由题意知61ω=，设cos sin i ωθθ=+，则6cos 6sin 61i ωθθ=+=，所以sin 60cos 61θθ=⎧⎨=⎩，又ω∉R ，所以sin 0θ≠，故可取3πθ=，则cossin33i ππω=+故答案为：16，cossin33i ππω=+（答案不唯一）．1．（2021·江苏·高考真题）若复数z 满足()1i 3i z +=-，则z 的虚部等于（ ）A ．4B ．2C ．-2D ．-4【答案】C 【分析】利用复数的运算性质，化简得出12z i =-.【详解】若复数z 满足()1i 3i z +=-，则()()()()3i 1i 3i 12i 1i 1i 1i z ---===-++-，所以z 的虚部等于2-.故选：C.2．（2021·全国·高考真题）复数2i13i--在复平面内对应的点所在的象限为（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【分析】利用复数的除法可化简2i13i--，从而可求对应的点的位置.【详解】()()2i 13i 2i 55i 1i13i 10102-+-++===-，所以该复数对应的点为11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，该点在第一象限，故选：A.3．（2020·全国高考真题（理））若z=1+i ，则|z 2–2z |=（ ）A ．0B ．1C D ．2练真题【答案】D 【解析】由题意可得：()2212z i i =+=，则()222212z z i i -=-+=-.故2222z z -=-=.故选：D.4．（2020·全国高考真题（文））若312i i z =++，则||=z （ ）A ．0B ．1CD ．2【答案】C 【解析】因为31+21+21z i i i i i =+=-=+，所以z ==故选：C ．5.（2019·全国高考真题（理））设z =-3+2i ，则在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C 【解析】由得则对应点（-3，-2）位于第三象限．故选C ．6.（2018·江苏高考真题）若复数满足，其中i 是虚数单位，则的实部为________．【答案】2【解析】因为，则，则的实部为.z 32,z i =-+32,z i =--32,z i =--z i 12i z ⋅=+z i 12i z ⋅=+12i2i iz +==-z 2。
高考复数知识点总结
高考复数知识点总结一、复数的概念1. 定义：在数学中，复数是由一个实数和一个虚数单位i构成的数，表示为a+bi，其中a 和b都是实数，而i是虚数单位，满足i²=-1。
2. 实部和虚部：复数a+bi中，a称为实部，bi称为虚部，其中a和b都是实数。
二、复数的表示形式1. 代数形式：a+bi2. 幅角形式：r(cosθ+isinθ)，其中r为复数的模，θ为复数的幅角。
3. 指数形式：re^(iθ)，其中e^(iθ)为指数函数。
三、复数的运算1. 加法与减法：实部相加，虚部相加2. 乘法：根据分配律和虚数单位i的性质计算3. 除法：乘以共轭复数，然后根据除法的定义计算4. 幂运算：通过指数形式进行计算四、复数的性质1. 共轭复数：a+bi的共轭复数是a-bi2. 模：复数a+bi的模是√(a²+b²)3. 幅角：复数a+bi的幅角是θ=tan^(-1)(b/a)五、复数的应用1. 代数方程式：一元二次方程的解2. 三角函数：通过复数的幅角形式可以求解三角函数的和差角公式3. 电路学：用复数解决交流电路中的问题六、复数的解析几何1. 复数的几何意义：复平面上的点2. 复数的模和幅角：向量的模和方向3. 复数的乘法和除法：向量的缩放和旋转七、复数的解1. 一元二次方程的解：通过求根公式得到解2. 复数的根：开方运算的应用总结：复数是数学中的一个重要概念，它由一个实部和一个虚部构成，可以通过代数形式、幅角形式和指数形式进行表示。
复数的运算包括加法、减法、乘法、除法和幂运算，通过这些运算可以得到复数的性质如共轭复数、模和幅角。
复数还具有广泛的应用，包括代数方程式、三角函数和电路学等方面。
此外，复数还可以通过解析几何的方式进行理解，它在平面上对应着一个点，并且具有向量的性质。
复数的解可以用于一元二次方程的求解以及复数的根的求解。
通过学习和掌握复数的知识，可以更好地理解数学中的各种概念和问题，并且对于后续的学习和应用具有重要的意义。
新教材高考数学临考题号押第2题复数含解析
押第2题 复数从近三年高考情况来看,复数为高考的必考内容,尤其是复数的概念、复数相等、复数的四则运算以及共轭复数,复数的乘、除运算是高考考查的重点内容,一般为选择题或填空题,难度不大,解题时要正确把握复数概念及准确运用复数的四则运算法则进行求解.1．常用结论：（1）()21i 2i ±=±；1＋i 1－i =i ；1－i 1＋i =i -.（2）i i(i)b a a b -+=+． （3）4414243*i 1i i i 1i (i )n n n n n ===-=-∈N ＋＋＋,,,,4414243*i i i i 0()n n n n n ++++++=∈N ．（4）模的运算性质：①22||||z z z z ==⋅；②1212z z z z ⋅=；③1122||||||z z z z =. （5）设ω＝－12＋32i,则①|ω|＝1；②1＋ω＋ω2＝0；③ω＝ω2.2．易错点：（1）判定复数是实数,仅注重虚部等于0是不够的,还需考虑它的实部是否有意义． （2）对于复系数(系数不全为实数)的一元二次方程的求解,判别式不再成立．因此解此类方程的解,一般都是将实根代入方程,用复数相等的条件进行求解． （3）两个虚数不能比较大小．（4）利用复数相等a ＋b i ＝c ＋d i 列方程时,注意a ,b ,c ,d ∈R 的前提条件．（5）注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来．例如,若z 1,z 2∈C ,z 21＋z 22＝0,就不能推出z 1＝z 2＝0；z 2<0在复数范围内有可能成立．1．（2021·全国·高考真题）复数2i13i--在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】A【详解】()()2i 13i 2i 55i 1i13i 10102-+-++===-,所以该复数对应的点为11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭, 该点在第一象限, 故选：A.2．（2021·北京·高考真题）在复平面内,复数z 满足(1)2i z -=,则z =（ ） A ．1i -- B ．1i -+ C ．1i - D ．1i +【答案】D 【详解】 由题意可得：()()()()2121211112i i z i i i i ++====+--+. 故选：D.3．（2021·全国·高考真题（文））已知2(1)32i z i -=+,则z =（ ） A ．312i --B ．312i -+C ．32i -+D ．32i --【答案】B 【详解】2(1)232i z iz i -=-=+,32(32)23312222i i i i z i i i i ++⋅-+====-+--⋅. 故选：B.4．（2021·全国·高考真题（理））设()()2346z z z z i ++-=+,则z =（ ） A ．12i - B ．12i +C ．1i +D ．1i -【答案】C 【详解】设z a bi =+,则z a bi =-,则()()234646z z z z a bi i ++-=+=+,所以,4466a b =⎧⎨=⎩,解得1a b ==,因此,1z i =+.故选：C.5．（2021·江苏·高考真题）若复数z 满足()1i 3i z +=-,则z 的虚部等于（ ） A ．4 B ．2C ．-2D ．-4【答案】C 【详解】若复数z 满足()1i 3i z +=-,则()()()()3i 1i 3i 12i 1i 1i 1i z ---===-++-, 所以z 的虚部等于2-. 故选：C.6．（2021·全国·高考真题）已知2i z =-,则()i z z +=（ ） A ．62i - B ．42i - C ．62i + D ．42i +【答案】C 【详解】因为2z i =-,故2z i =+,故()()()2222=4+42262z z i i i i i i i +=-+--=+故选：C.7．（2021·全国·高考真题（文））设i 43i z =+,则z =（ ） A ．–34i - B ．34i -+ C ．34i - D ．34i +【答案】C 【详解】 由题意可得：()2434343341i i i i z i i i ++-====--. 故选：C.1．（2022·山东青岛·一模）已知34i1iz +=+,i 为虚数单位,则z =（ ） A ．52B ．72C ．522D ．252【答案】C 【详解】 ()()()()34i 1i 34i 7i 71i 1i 1i 1i 222z +-++====+++-, 4915244z =+故选：C2．（2022·山东·潍坊一中模拟预测）若()2i 3i x y +=+,则实数x ,y 满足（ ） A ．2y x =B ．2y x =C ．20x y +=D ．20x y +=【答案】B 【详解】解：因为()22i 12i x x x +=-+,所以212i 3i x x y -+=+, 则2132x y x ⎧-=⎨=⎩,即实数x ,y 满足2y x =．故选：B3．（2022·山东淄博·一模）若复数2iiz a +=+的实部与虚部相等,则实数a 的值为（ ） A ．-3 B ．-1 C ．1 D ．3【答案】A 【详解】 解：()()()()()22i i 212i2i i i i 1a a a z a a a a +-++-+===++-+ 因为复数2iiz a +=+的实部与虚部相等, 所以212a a +=-,解得3a =- 故实数a 的值为3a =-. 故选：A4．（2022·山东潍坊·一模）已知复数z 满足345i z z +=+,则在复平面内复数z 对应的点在（ ）. A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【详解】设i z x y =+,,R x y ∈,则i z x y =-,由345i z z +=+得：(i)34(i)5i x y x y ++=-+,即(3)i 4(54)i x y x y ++=+-,于是得3454x x y y +=⎧⎨=-⎩,解得1x y ==,则有1i z =+对应的点为(1,1),所以在复平面内复数z 对应的点在第一象限. 故选：A5．（2022·山东·模拟预测）已知11iz z=-+,则复数z =（ ） A ．2i + B ．2i -C ．1i -D ．1i -+【答案】C 【详解】设i z a b =+（a ,b R ∈）,则i z a b =-. 因为11i z z =-+,所以i i 11ia b a b +-=-+, 即()()i 1i a b -+()1i i a b =+-+, 整理得2i 1i a b a ++=+,所以211a b a +=⎧⎨=⎩,解得11a b =⎧⎨=-⎩,所以1i z =-. 故选：C6．（2022·山东临沂·一模）已知()2i i z =-,则z 的虚部为（ ） A ．－2i B ．－2 C ．2 D ．2i【答案】C 【详解】由题意,12z i =+,则其虚部为2. 故选：C.7．（2020·山东·嘉祥县第一中学三模）欧拉公式i s co in s i x e x x +=(i 是虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的,它将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里非常重要,被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知,i 3e π表示的复数位于复平面中的（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】A 【详解】根据题意i s co in s i xe x x +=,故i3is n 1cos 33i 2e πππ=+=,对应点12⎛ ⎝⎭,在第一象限. 故选：A .8．（2020·山东临沂·二模）若复数z 满足()1i i z -,则在复平面内z 的共轭复数对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【详解】复数z 满足()221i 3i 312z -=+=+=,∴()()()1i 1i 21i z -+=+, ∴1i z =+,则在复平面内z 的共扼复数1i -对应的点是()1,1-,它位于第四象限. 故选：D.9．（2021·山东省实验中学一模）已知i 是虚数单位,若复数z 满足()()21i 1i z -=+,则z =（ ） A ．1 B ．2 C ．2 D ．3【答案】B 【详解】解：因为()()21i 1i z -=+, 所以()()()()21i 1i 1i 1ii 2i 1i 1z ++===-+--+,所以112z =+=. 故选：B.10．（2021·山东·模拟预测）已知复数z 对应的向量为OZ (O 为坐标原点),OZ 与实轴正向的夹角为120°,且复数z 的模为2,则复数z 为（ ） A ．13i + B ．2C ．()1,3-D ．13i -+【答案】D 【详解】设复数z 对应的点为(x ,y ),则1cos120212x z ⎛⎫==⨯-=- ⎪⎝⎭,3sin120232y z ==⨯=,∴复数z 对应的点为(1,-3),∴13z i =-+, 故选D ．（限时：30分钟）1．已知 i 是虚数单位,复数4132⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C 【详解】242221111312224242⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥+=+⨯=+ ⎪ =⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ -⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎣⎦11312=4242⎛⎫=+⨯---⎪ ⎝⎭,所以412⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭对应的点为12⎛- ⎝⎭在第三象限. 故选：C.2．在复平面内,复数z 满足()()1i 1i ,z a b a b R +=++∈,且z 所对应的点在第一象限或坐标轴的非负半轴上,则2+a b 的最小值为（ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．2【答案】B 【详解】由()()1i 1i ,z a b a b R +=++∈,得()()()()()1i 1i 1i1i 11i 1i 1i 22++---++++===+++-a b b a a b a b z , 因为z 所对应的点在第一象限或坐标轴的非负半轴上, 所以102102++⎧≥⎪⎪⎨--⎪≥⎪⎩a bb a ,即1010++≥⎧⎨--≥⎩a b b a ,设()()+2++-a b=m a b n b a ,解得3212⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩m n ,所以()()()()3131+211112222++-=+++---≥-a b =a b b a a b b a , 当且仅当1110++=⎧⎨--=⎩a b b a ,即10=-⎧⎨=⎩a b 时等号成立,所以2+a b 的最小值为1-. 故选：B. 3．已知复数5i1iz -=+（i 为虚数单位）,则z 的共轭复数z =（ ） A ．23i + B ．24i - C ．33i + D ．24i +【答案】A 【详解】()()()()5i 1i 5i 46i23i 1i 1i 1i 2z ----====-++- ∴23i z =-故23i z =+ 故选：A.4．已知复数324i 1i z +=-,则z =（ ）A B C ．D ．【答案】B 【详解】()()324i 1i 24i 24i3i 1i 1i 2z -++-====--- ,z =；故选：B.5．设复数1i z =-（i 是虚数单位）,则复数22z z+=（ ）A ．1i -B ．1i +C ．2i +D ．2i -【答案】A 【详解】22z z +=()()()()221i 21i 2i 1i 2i 1i 1i 1i 1i ++-=-=+-=---+. 故选：A6．已知复数z 满足()21i 24i z -=-,其中i 为虚数单位,则复数z 的虚部为（ ） A ．2 B ．1 C ．2- D ．i【答案】B 【详解】 由题意,化简得()224i24i 2i 42i 2i 21i z --+====+--,所以复数z 的虚部为1. 故选：B7．已知34i z =+,则()i z z -=（ ） A ．1117i + B ．1917i +C ．1117i -D ．1923i +【答案】B 【详解】 因为34i z =+,所以5z ==,所以i 5i z -=-,所以()()()i 34i 5i 1917i z z -=+-=+, 故选: B.8．已知复数1i z =-,则2i z z -=（ ）A ．2B ．3C ．D ．【答案】D 【详解】因为1i z =-,所以1i z =+,则()()2i 21i i 1i 33i z z -=--+=-,所以2i z z -= 故选：D ． 9．已知复数21iz =-,复数z 是复数z 的共轭复数,则z z ⋅=（ ）A ．1BC ．2D ．【答案】C 【详解】根据复数的运算性质,可得2222221i 1i z z z ⎛⎫⋅==== ⎪ ⎪--⎝⎭. 故选；C ． 10．复数43i2iz -=-（其中i 为虚数单位）的模为（ ）A ．1BC ．D ．5【答案】B 【详解】 因为43i 2i z -=-()()()()43i 2i 112i 112i 2i 2i 555-+-===--+,故z ==故选：B.11．若复数z 满足13z -=,则z 的最大值为（ ） A ．1 B ．2C ．5D ．6【答案】C 【详解】设i,z a b a b R =+∈、.则13z -=表示复平面点(,)z a b 到点(1,的距离为3.则z 的最大值为点(1,到(0,0)的距离加上3.即max 35z =. 故选：C.12．若复数z 满足()2i 25i z -=-,则z =（ ） A ．98i 55-B ．18i 55--C ．83i 3-D ．18i 33--【答案】A 【详解】()2i 25i z -=-,25i (25i)(2i)98i 2i 555z --+===-- 故选：A13．若复数z 满足()31i 3i z +=+（i 为虚数单位）,则z =（ ）A ．12i +B ．12i -C ．2i +D ．2i -【答案】A 【详解】解：因为复数z 满足()31i 3i z +=+（i 为虚数单位）,所以()()33i 1i 3i 3i 24i12i 1i 1i 22z +++++=====++-, 故选：A. 14．复数z ==（ ）A ．12+B ．12C 1i 2D 1i 2+ 【答案】B 【详解】2112z ====. 故选：B.15．设z 是复数z 的共轭复数,若复数z 在复平面内对应的点为()4,2,则iz=（ ）11 A ．24i + B ．24i - C ．24i -- D ．24i -+【答案】C【详解】解：因为复数z 在复平面内对应的点为()4,2, 所以42i z =+,则42i z =-, 所以42i24i i i z-==--,故选：C。
高考数学压轴专题临汾备战高考《复数》知识点总复习附解析
【高中数学】高考数学《复数》解析一、选择题1．已知i 是虚数单位，则复数242i z i-=+的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】A【解析】【分析】先将复数化为代数形式，再根据共轭复数的概念确定对应点，最后根据对应点坐标确定象限.【详解】 解：∵()()()()242232424242105i i i z i i i i ---===-++-， ∴32105z i =+， ∴复数z 的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为（32105，），所在的象限为第一象限． 故选：A ．点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭为.-a bi2．若复数21z i i =+-（i 为虚数单位），则||z =（ ）AB C D ．5【答案】C【解析】【分析】根据复数的运算，化简复数，再根据模的定义求解即可.【详解】 22(1)121(1)(1)i z i i i i i i +=+=+=+--+，||z ==故选C. 【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，复数模的概念，属于中档题.3．已知复数z 满足()1z i i =-，(i 为虚数单位)，则z =( ) A ．2B ．3C ．2D ．3【答案】A【解析】 ()11z i i i =-=+，故2z =，故选A.4．设i 是虚数单位，若复数()103a a R i -∈-是纯虚数，则a 的值为（ ） A ．-3B ．-1C ．1D ．3【答案】D【解析】【分析】【详解】因, 故由题设, 故,故选D ． 考点：复数的概念与运算.5．已知i 是虚数单位，则131i i +=+（ ） A ．2i -B ．2i +C ．2i -+D ．2i -- 【答案】B【解析】【分析】利用复数的除法运算计算复数的值即可.【详解】由复数的运算法则有： 13(13)(1)422(1)(11)2i i i i i i i i ++-+===++-+. 故选B .【点睛】对于复数的乘法，类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可；对于复数的除法，关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幂写成最简形式.6．若1z i =+，则31i zz =+（ ） A ．i -B ．iC ．1-D ．1 【答案】B【解析】因为1z i =+，所以1z i =- ，()()3112,1i zz i i i zz =+-==+，故选B.7．如图所示，在复平面内，OP uuu v 对应的复数是1－i ，将OP uuu v向左平移一个单位后得到00O P u u u u v ，则P 0对应的复数为( )A ．1－iB ．1－2iC ．－1－iD ．－i 【答案】D【解析】【分析】 要求P 0对应的复数，根据题意，只需知道0OP u u u v ，而0000OP OO O P =+u u u v u u u u v u u u u v ，从而可求P 0对应的复数【详解】 因为00O P OP=u u u u v u u u v ，0OO u u u u v 对应的复数是－1， 所以P 0对应的复数， 即0OP u u u v 对应的复数是()11i i -+-=-，故选D. 【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，复平面内复数、向量及点的对应关系，是基础题．8．在复平面内与复数21i z i=+所对应的点关于虚轴对称的点为A ，则A 对应的复数为（ ）A ．1i --B ．1i -C ．1i +D ．1i -+ 【答案】D【解析】【分析】根据复数的运算法则求出1z i =+，即可得到其对应点关于虚轴对称点的坐标，写出复数.【详解】 由题()()()2122211112i i i i z i i i i -+====+++-，在复平面对应的点为（1,1）， 关于虚轴对称点为（-1,1），所以其对应的复数为1i -+.故选：D【点睛】此题考查复数的几何意义，关键在于根据复数的乘法除法运算准确求解，熟练掌握复数的几何意义.9．若43i z =+，则z z=（ ） A ．1B ．1-C ．4355i +D ．4355i - 【答案】D【解析】【详解】由题意可得：5z ==，且：43z i =-， 据此有：4343555z i i z -==-. 本题选择D 选项.10．若复数()234sin12cos z i θθ=-++为纯虚数，()0,θπ∈，则θ=（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．3π或23π 【答案】B【解析】分析：由题意得到关于sin ,cos θθ的方程组，求解方程组结合题意即可求得三角函数值，由三角函数值即可确定角的大小.详解：若复数()23412z sin cos i θθ=-++为纯虚数，则： 234sin 012cos 0θθ⎧-=⎨+≠⎩，即：23sin 41cos 2θθ⎧=⎪⎪⎨⎪≠-⎪⎩，结合()0,θπ∈，可知：sin 21cos 2θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故3πθ=. 本题选择B 选项.点睛：本题主要考查纯虚数的概率，三角函数的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11．设()()2225322z t t t t i =+-+++，其中t ∈R ，则以下结论正确的是（ ） A ．z 对应的点在第一象限B ．z 一定不为纯虚数C ．z 对应的点在实轴的下方D ．z 一定为实数【答案】C【解析】【分析】根据()2222110t t t ++=++>，2253t t +-可正可负也可为0，即可判定.【详解】()2222110t t t ++=++>Q ，z ∴不可能为实数，所以D 错误； z ∴对应的点在实轴的上方，又z Q 与z 对应的点关于实轴对称，z 对应的点在实轴的下方，所以C 正确；213,25302t t t -<<+-<，z 对应的点在第二象限，所以A 错误； 21,25302t t t =+-=，z 可能为纯虚数，所以B 错误； ∴C 项正确.故选：C【点睛】此题考查复数概念的辨析，关键在于准确求出实部和虚部的取值范围.12．欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位）是由著名数学家欧拉发明的，他将指数函数定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，根据欧拉公式，若将2i e π表示的复数记为z ，则(12)z i +的值为（ ）A ．2i -+B ．2i --C ．2i +D ．2i -【答案】A【解析】【分析】 根据欧拉公式求出2cos sin 22i z e i i πππ==+=，再计算(12)z i +的值.【详解】 ∵2cos sin 22iz e i i πππ==+=，∴(12)(12)2z i i i i +=+=-+.故选：A.【点睛】此题考查复数的基本运算，关键在于根据题意求出z .13．已知复数z 满足21zi z i +=-，则z =A ．12i +B ．12i -C ．1i +D ．1i - 【答案】C【解析】【分析】设出复数z ，根据复数相等求得结果.【详解】设(),z a bi a b R =+∈，则z a bi =-， 故()()()()22221zi z a bi i a bi b a a b i i +=++-=-++-=-，故2121b a a b -+=⎧⎨-=-⎩，解得11a b =⎧⎨=⎩. 所以1z i =+.故选：C .【点睛】本题考查复数的运算，共轭复数的求解，属综合基础题.14．设复数z 满足()13i z i +=+，则z =（ ）AB ．2C ．D 【答案】D【解析】分析：先根据复数除法得z ，再根据复数的模求结果.详解：因为()13i z i +=+，所以31(3)(1)212i z i i i i +==+-=-+,因此z =选D.点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 、模为22a b +、对应点为(,)a b 、共轭为.-a bi15．在复平面内，复数121i z i -=+对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】C【解析】试题分析：1213122i i i -=--+在复平面内所对应的点坐标为，位于第三象限，故选C ．考点：复数的代数运算及几何意义．16．复数52i -的共轭复数是( ) A ．2i + B ．2i -C ．2i -+D ．2i -- 【答案】C【解析】【分析】 先化简复数代数形式，再根据共轭复数概念求解.【详解】 因为522i i =---，所以复数52i -的共轭复数是2i -+，选C. 【点睛】本题考查复数运算以及共轭复数概念，考查基本求解能力.17．已知下列三个命题：①若复数z 1，z 2的模相等，则z 1，z 2是共轭复数；②z 1，z 2都是复数，若z 1+z 2是虚数，则z 1不是z 2的共轭复数；③复数z 是实数的充要条件是z z =.则其中正确命题的个数为( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】C【解析】【分析】运用复数的模、共轭复数、虚数等知识对命题进行判断.【详解】对于①中复数1z 和2z 的模相等,例如1=1+z i ,22z i ,则1z 和2z 是共轭复数是错误的;对于②1z 和2z 都是复数,若12+z z 是虚数,则其实部互为相反数,则1z 不是2z 的共轭复数,所以②是正确的;对于③复数z 是实数,令z a =,则z a =所以z z =,反之当z z =时,亦有复数z 是实数,故复数z 是实数的充要条件是z z =是正确的.综上正确命题的个数是2个.故选C【点睛】本题考查了复数的基本概念,判断命题是否正确需要熟练掌握基础知识,并能运用举例的方法进行判断,本题较为基础.18．若复数z 满足()12z i i +=（i 为虚数单位），则z =（ ）A ．1B ．2 CD．【答案】C【解析】试题分析：因为(1)2z i i +=，所以22(1)1,12i i i z i i -===++因此1z i =+= 考点：复数的模19．复数满足48i z z +=+，则复数z 在复平面内所对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】【分析】 设(,)z a bi a b R =+∈,则48z z a bi i +=+=+,可得48a b ⎧⎪+=⎨=⎪⎩,即可得到z ,进而找到对应的点所在象限.【详解】设(,)z a bi a b R =+∈,则48z z a bi i +=++=+,48a b ⎧⎪+=∴⎨=⎪⎩,6,68i 8a z b =-⎧∴∴=-+⎨=⎩, 所以复数z 在复平面内所对应的点为()6,8-,在第二象限.故选:B【点睛】本题考查复数在复平面内对应的点所在象限,考查复数的模,考查运算能力.20．若复数z 满足22iz i =-（i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点所在的象限是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数，然后求z的共轭复数，即可得到z在复平面内对应的点所在的象限．详解：由题意，()()()222222,i iiz ii i i-⋅--===--⋅-Q22,z i∴=-+则z的共轭复数z对应的点在第二象限.故选B.点睛：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．。
高考数学压轴专题新备战高考《复数》专项训练解析附答案
【高中数学】高考数学《复数》解析一、选择题1．设i 是虚数单位，则2320192342020i i i i +++⋅⋅⋅+的值为（ ）A ．10101010i --B ．10111010i --C ．10111012i --D ．10111010i -【答案】B【解析】【分析】利用错位相减法、等比数列的求和公式及复数的周期性进行计算可得答案.【详解】解：设2320192342020S i i i i =+++⋅⋅⋅+,可得：24201920320023420192020iS i i i i i =++++⋅⋅⋅++，则24201923020(1)22020i S i i i i i i -=++++⋅⋅⋅+-， 2019242019202023020(1)(1)202020201i i i S i i i i i i i i i i--=+++++⋅⋅⋅+-+-=-， 可得：2(1)(1)(1)20202020202112i i i i i S i i i i ++-=+-=+-=-+-， 可得：2021(2021)(1)1011101012i i i S i i -+-++===---， 故选：B.【点睛】本题主要考查等比数列的求和公式，错位相减法、及复数的乘除法运算，属于中档题.2．如图所示，在复平面内，OP uuu v 对应的复数是1－i ，将OP uuu v向左平移一个单位后得到00O P u u u u v ，则P 0对应的复数为( )A ．1－iB ．1－2iC ．－1－iD ．－i 【答案】D【解析】【分析】 要求P 0对应的复数，根据题意，只需知道0OP u u u v ，而0000OP OO O P =+u u u v u u u u v u u u u v ，从而可求P 0对应的复数【详解】因为00O P OP =u u u u v u u u v ，0OO u u u u v对应的复数是－1，所以P 0对应的复数，即0OP u u u v对应的复数是()11i i -+-=-，故选D. 【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，复平面内复数、向量及点的对应关系，是基础题．3．复数z 满足(2)36z i i +=-（i 为虚数单位），则复数z 的虚部为（ ）A ．3B ．3i -C ．3iD ．3- 【答案】D【解析】【分析】首先化简复数z ，然后结合复数的定义确定其虚部即可.【详解】 由题意可得：()()()()362361151322255i i i i z i i i i -----====--++-， 据此可知，复数z 的虚部为3-.本题选择D 选项.【点睛】复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根．除法实际上是分母实数化的过程．4．已知(,)a bi a b R +∈是11i i +-的共轭复数,则a b +=（ ） A ．1-B ．12-C ．12D ．1 【答案】A【解析】【分析】 先利用复数的除法运算法则求出11i i+-的值，再利用共轭复数的定义求出a +bi ，从而确定a ，b 的值，求出a +b ．【详解】 ()()21(1)21112i i i i i i ++===-+-i ， ∴a +bi ＝﹣i ，∴a ＝0，b ＝﹣1，∴a +b ＝﹣1，故选：A ．本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．5．已知复数z 满足(1)43z i i +=-，其中i 是虚数单位，则复数z 在复平面中对应的点到原点的距离为（ ）A ．5B ．52C ．52D ．54【答案】B【解析】【分析】 利用复数的除法运算化简z, 复数z 在复平面中对应的点到原点的距离为||,z 利用模长公式即得解. 【详解】 由题意知复数z 在复平面中对应的点到原点的距离为||,z43(43)(1)1717,1222214952||442i i i i z i i z ----====-+∴=+= 故选：B【点睛】本题考查了复数的除法运算，模长公式和几何意义，考查了学生概念理解，数学运算，数形结合的能力，属于基础题.6．复数的共轭复数对应的点位于 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】C【解析】【分析】利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，再利用共轭复数的概念求出复数的共轭复数，进一步求出对应点的坐标得结果 . 【详解】，的共轭复数为， 对应坐标是在第三象限，故选C.复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.7．若复数z 的虚部小于0，|z |=4z z +=，则iz =（ ）A ．13i +B ．2i +C ．12i +D ．12i -【答案】C【解析】【分析】 根据4z z +=可得()2z mi m =+∈R ，结合模长关系列方程，根据虚部小于0即可得解.【详解】由4z z +=，得()2z mi m =+∈R ，因为||z ==1m =±. 又z 的虚部小于0，所以2z i =-，12iz i =+.故选：C【点睛】此题考查复数的概念辨析和模长计算，根据复数的概念和运算法则求解.8．已知复数12z =-，则z z +=（ ）A ．122i --B ．12-+C ．12+D ．122- 【答案】C【解析】分析：首先根据题中所给的复数z ，可以求得其共轭复数，并且可以求出复数的模，代入求得12z z +=+，从而求得结果.详解：根据122z =--，可得12z =-+，且1z ==，所以有1112222z z +=-++=+，故选C. 点睛：该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的共轭复数、复数的模、以及复数的加法运算，属于基础题目.9．设复数21i x i=-（i 是虚数单位），则112233202020202020202020202020C x C x C x C x +++⋅⋅⋅+=A ．1i +B ．i -C ．iD ．0【答案】D【解析】【分析】先化简1x +，再根据所求式子为2020(1)1x +-，从而求得结果．【详解】 解：复数2(1i x i i =-是虚数单位）， 而1122332020202020202020202020202020(1)1C x C x C x C x x +++⋯+=+-， 而2121(1)111(1)(1)i i i i x i i i i i -++++====--+-， 故11223320202020202020202020202020202020(1)11110C x C x C x C x x i +++⋯+=+-=-=-=， 故选：D ．【点睛】本题主要考查复数的乘除法运算、二项式定理的应用，属于中档题．10．若121z z -=，则称1z 与2z 互为“邻位复数”.已知复数1z a =与22z bi =+互为“邻位复数”，,a b ∈R ，则22a b +的最大值为（ ）A ．8-B ．8+C ．1+D ．8【答案】B【解析】【分析】根据题意点(,)a b 在圆22(2)(1x y -+-=(,)a b 到原点的距离，计算得到答案.【详解】|2|1a bi --=，故22(2))1a b -+=，点(,)a b 在圆22(2)(1x y -+=上，(,)a b 到原点的距离，故22a b +的最大值为)221(18=+=+. 故选：B .【点睛】本题考查了复数的运算，点到圆距离的最值，意在考查学生的计算能力和转化能力.11．复数11i+的共轭复数是 （ ）A ．1122i + B ．1122i - C ．1i - D ．1i +【答案】A【解析】【分析】 利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数11i+，进而可得结果.【详解】 因为()()111121211i i i i i -+--==+， 所以11i+的共轭复数是1122i +， 故选：A.【点睛】 复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.12．复数12i 2i +=-（ ）． A ．iB ．1i +C ．i -D ．1i - 【答案】A【解析】 试题分析：12(12)(2)2422(2)(2)5i i i i i i i i i +++++-===--+，故选A. 【考点】复数运算【名师点睛】复数代数形式的四则运算的法则是进行复数运算的理论依据，加减运算类似于多项式的合并同类项，乘法法则类似于多项式的乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式，再将分母实数化.13．在复平面内，复数121i z i -=+对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】C【解析】试题分析：1213122iii-=--+在复平面内所对应的点坐标为，位于第三象限，故选C．考点：复数的代数运算及几何意义．14．已知复数122izi+=-（i为虚数单位），则z的虚部为（）A．－1 B．0 C．1 D．i 【答案】C【解析】【分析】利用复数的运算法则，和复数的定义即可得到答案．【详解】复数()()()()1221252225i ii iz ii i i+++====--+，所以复数z的虚部为1，故选C．【点睛】本题主要考查了复数的运算法则和复数的概念，其中解答中熟记复数的基本运算法则和复数的概念及分类是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．15．已知2a ib ii+=+，,a b∈R，其中i为虚数单位，则+a b=（）A．-1 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】【分析】利用复数除法运算法则化简原式可得2ai b i-=+，再利用复数相等列方程求出,a b的值，从而可得结果.【详解】因为22222a i ai iai b ii i+--==-=+-，,a b∈R，所以2211b ba a==⎧⎧⇒⎨⎨-==-⎩⎩，则+1a b=，故选B.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.16．已知复数z 满足11212i i z+=+（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．4 B ．4i C ．4- D ．4i -【答案】C 【解析】112i 11420i 34i 12i 5z ++-===-+ ,所以z 的虚部为4-,选C.17．复数52i -的共轭复数是( ) A ．2i + B ．2i -C ．2i -+D ．2i -- 【答案】C【解析】【分析】 先化简复数代数形式，再根据共轭复数概念求解.【详解】 因为522i i =---，所以复数52i -的共轭复数是2i -+，选C. 【点睛】本题考查复数运算以及共轭复数概念，考查基本求解能力.18．已知复数z 满足()11z i i +=-，则z = （ ） A ．iB ．1C ．i -D ．1-【答案】B【解析】 ()()1i 1i z +=-，则()()()21i 1i 2i 1i 1i 1i 2z ---====-++-i ，1z ∴=，故选B.19．复数满足48i z z +=+，则复数z 在复平面内所对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】【分析】设(,)z a bi a b R =+∈,则48z z a bi i +=+=+,可得48a b ⎧⎪+=⎨=⎪⎩,即可得到z ,进而找到对应的点所在象限.【详解】设(,)z a bi a b R =+∈,则48z z a bi i +=++=+,48a b ⎧⎪+=∴⎨=⎪⎩,6,68i 8a z b =-⎧∴∴=-+⎨=⎩, 所以复数z 在复平面内所对应的点为()6,8-,在第二象限.故选:B【点睛】本题考查复数在复平面内对应的点所在象限,考查复数的模,考查运算能力.20．若复数(1)(1)z m m m i =-+-是纯虚数，其中m 是实数，则1z =( ) A ．iB ．i -C ．2iD ．2i - 【答案】A【解析】因为复数()()11z m m m i =-+-是纯虚数，所以()1010m m m ⎧-=⎨-≠⎩，则m =0，所以z i =-，则11i z i==-.。
2023年新高考数学临考题号押题第2题 复数(新高考)(解析版)
押新高考卷2题
复
数
考点3年考题
考情分析
复数
2022年新高考Ⅰ卷第2题2022年新高考Ⅱ卷第2题
2021年新高考Ⅰ卷第2题2021年新高考Ⅱ卷第1题2020年新高考Ⅰ卷第2题2020年新高考Ⅱ卷第2题
高考对复数知识的考查要求较低，均是以小题的形式进行考查，一般难度不大，要求考生熟练复数基础知识点，包括复数的代数形式，复数的实部与虚部，共轭复数，复数模长，复数的几何意义及四则运算．纵观近几年的新高考试题，均以复数的四则运算为切入点，考查复数的四则运算、共轭复数及几何意义．可以预测2023年新高考命题方向将继续围绕复数的四则运算为背景展开命题．
1.虚数单位：i ，规定12-=i
2.虚数单位的周期4
=T 3.复数的代数形式：Z=(),a bi a b R +∈，a 叫实部，b 叫虚部4.复数的分类
⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨
⎧⎩⎨⎧=≠≠⎩⎨⎧===+=000
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a b b b a b bi a z 纯虚数：虚数：：实数：5.复数相等：,,21di c Z bi a Z +=+=若则,21Z Z =d
b c a ==,6.共轭复数：若两个复数的实部相等，而虚部是互为相反数时，这两个复数叫互为共轭复数；
(),,z a bi z a bi a b R =+=-∈，
()()()2
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2b a z z b a bi a bi a bi a z z +=⋅+=-=-+=⋅结论：推广：7.复数的几何意义：复数(),z a bi a b R =+∈←−−−→一一对应
复平面内的点(,)
Z a b
8.复数的模：()R b a bi a Z ∈+=,，
则||z a bi =+=；。