2010年数学建模培训资料(Poisson过程与其应用)
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数学建模培训资料(Poisson过程及其应用)
根据实际需求和数据特点，对现有模型进行改进和优化，以提高模型的预测精度和适用 性。例如，通过引入季节性因素或自回归项等，改进Poisson过程模型。
模型改进
针对现有模型的不足之处，提出新的模型或假设，以更好地解释和预测实际数据。例如， 针对Poisson过程模型的局限性，提出更复杂的模型如广义Poisson过程等。
03
概括Poisson过程在现实世界中的实际应用案例。
培训目标
掌握Poisson过程的基本原理和数学表 达。
学习如何运用Poisson过程解决实际问题。
提高数学建模能力和解决复杂问题 的技巧。
02 Poisson过程基础
定义与性质
定义
Poisson过程是一种随机过程，其中事件在每个小的时间 间隔内以恒定的概率发生。
参数估计与模型验证
参数估计
根据实际数据和模型假设，估计模型中的未 知参数。例如，在Poisson过程中，可以通 过最大似然估计法或最小二乘法等统计方法 估计参数。
模型验证
通过比较实际数据和模型预测结果，评估模 型的拟合度和预测能力。常用的方法包括残
差分析、接受者操作特性曲线等。
模型优化与改进
模型优化
交通流量的预测
总结词
交通流量的预测是Poisson过程在交通运输领域的应 用，有助于优化交通管理和提高道路通行效率。
详细描述
交通流量的变化具有一定的随机性和规律性， Poisson过程能够描述这种特性。通过收集历史交通 数据并建立数学模型，可以预测未来的交通流量，从 而为交通规划和管理提供依据。这有助于减少交通拥 堵和提高道路网络的运行效率。
性质
独立性、稀有性、平稳性、普通性。
数学表达式
$P(N(t)=n)=frac{e^{-lambda t}(lambda t)^n}{n!}$， 其中$N(t)$表示在时间$t$内发生的事件数，$lambda$是 事件发生率。
模型改进
针对现有模型的不足之处，提出新的模型或假设，以更好地解释和预测实际数据。例如， 针对Poisson过程模型的局限性，提出更复杂的模型如广义Poisson过程等。
03
概括Poisson过程在现实世界中的实际应用案例。
培训目标
掌握Poisson过程的基本原理和数学表 达。
学习如何运用Poisson过程解决实际问题。
提高数学建模能力和解决复杂问题 的技巧。
02 Poisson过程基础
定义与性质
定义
Poisson过程是一种随机过程，其中事件在每个小的时间 间隔内以恒定的概率发生。
参数估计与模型验证
参数估计
根据实际数据和模型假设，估计模型中的未 知参数。例如，在Poisson过程中，可以通 过最大似然估计法或最小二乘法等统计方法 估计参数。
模型验证
通过比较实际数据和模型预测结果，评估模 型的拟合度和预测能力。常用的方法包括残
差分析、接受者操作特性曲线等。
模型优化与改进
模型优化
交通流量的预测
总结词
交通流量的预测是Poisson过程在交通运输领域的应 用，有助于优化交通管理和提高道路通行效率。
详细描述
交通流量的变化具有一定的随机性和规律性， Poisson过程能够描述这种特性。通过收集历史交通 数据并建立数学模型，可以预测未来的交通流量，从 而为交通规划和管理提供依据。这有助于减少交通拥 堵和提高道路网络的运行效率。
性质
独立性、稀有性、平稳性、普通性。
数学表达式
$P(N(t)=n)=frac{e^{-lambda t}(lambda t)^n}{n!}$， 其中$N(t)$表示在时间$t$内发生的事件数，$lambda$是 事件发生率。
应用随机过程第三章Poisson_过程
t s t
(u)du的Poisson分布，即
ｎ ［m(t+s)-m(t)] Ｐ(N(t+s)-N(t)=ｎ)＝ exp{[ m(t+s)-m(t)]} ｎ！
例 3.7
见黑板
3.3.2 复合Poisson过程
设{Yi，i 1,2， ...}是一列独立且同分布的随机变量， {N(t),t 0}是Poisson过程，且N(t),t 0}与{Yi， i 1,2， ...}独立.记 X(t)= Yi ,
这定理说明，由于Poisson过程具有平稳独立增量 性，从而在已知[0,t]内事件A发生一次的条件下， 事件发生时刻T1在[0,t]上是“等可能性的”，即T1 的条件分布是[0,t]上的均匀分布.
问题：自然地，我们会问
这个性质是否可推广到 N(t)=n, n 1的情形？
定理 3.4
设{N(t)，t 0}是Poisson过程，则时间相继发 生时刻T1，T2，...,Tn在已知N(t)=n下的条件 概率密度为 n! f(t1,t2 ,..., tn )= n , t 0 t1 t2 ... tn .
i 1 N(t)
我们就称{X(t)，t 0}为复合Poisson过程.
注：复合Poisson过程未必是计数过程；但当Y i = c(常数)，i= 1, 2，...，可化为Poisson过程.
例：考虑一保险公司：它接到索赔次数服从Poisson 过程{N(t)}，每次的索赔额Yi是独立同分布的，且与 其发生时刻无关，那么该公司在[0,t]内的总索赔额 X(t)= Yi
注意 定理3.2的逆命题亦为真，且该逆命题也给出了 Poisson过程的另一个定价定义（即定义3.3），希 望同学们务必记住.
(u)du的Poisson分布，即
ｎ ［m(t+s)-m(t)] Ｐ(N(t+s)-N(t)=ｎ)＝ exp{[ m(t+s)-m(t)]} ｎ！
例 3.7
见黑板
3.3.2 复合Poisson过程
设{Yi，i 1,2， ...}是一列独立且同分布的随机变量， {N(t),t 0}是Poisson过程，且N(t),t 0}与{Yi， i 1,2， ...}独立.记 X(t)= Yi ,
这定理说明，由于Poisson过程具有平稳独立增量 性，从而在已知[0,t]内事件A发生一次的条件下， 事件发生时刻T1在[0,t]上是“等可能性的”，即T1 的条件分布是[0,t]上的均匀分布.
问题：自然地，我们会问
这个性质是否可推广到 N(t)=n, n 1的情形？
定理 3.4
设{N(t)，t 0}是Poisson过程，则时间相继发 生时刻T1，T2，...,Tn在已知N(t)=n下的条件 概率密度为 n! f(t1,t2 ,..., tn )= n , t 0 t1 t2 ... tn .
i 1 N(t)
我们就称{X(t)，t 0}为复合Poisson过程.
注：复合Poisson过程未必是计数过程；但当Y i = c(常数)，i= 1, 2，...，可化为Poisson过程.
例：考虑一保险公司：它接到索赔次数服从Poisson 过程{N(t)}，每次的索赔额Yi是独立同分布的，且与 其发生时刻无关，那么该公司在[0,t]内的总索赔额 X(t)= Yi
注意 定理3.2的逆命题亦为真，且该逆命题也给出了 Poisson过程的另一个定价定义（即定义3.3），希 望同学们务必记住.
泊松过程poisson
分析、推荐系统等。
研究如何将泊松过程与其他 随机过程进行更有效的结合，
以更好地描述复杂现象。
探索如何利用机器学习方法改 进泊松过程的参数估计和模型 选择，以提高模型的预测能力
和解释性。
THANKS
泊松分布的性质
泊松分布具有指数衰减的性质， 即随着时间的推移，事件发生的
概率逐渐减小。
泊松分布的期望值和方差都是参 数λ（λ > 0），即E(X)=λ， D(X)=λ。
当λ增加时，泊松分布的概率密 度函数值也增加，表示事件发生
的频率更高。
泊松分布的应用场景
通信网络
泊松分布用于描述在一定 时间内到达的电话呼叫或 数据包的数量。
生物信息学中的泊松过程
在生物信息学中，泊松过程用于描述基因表达、蛋白质相互 作用等生物过程中的随机事件。例如，基因表达数据可以用 泊松过程来分析，以了解基因表达的模式和规律。
通过泊松过程，生物信息学家可以识别出与特定生物学功能 或疾病相关的基因，为药物研发和个性化医疗提供有价值的 线索。
06 泊松过程的扩展与展望
交通流量分析
泊松分布用于描述在一定 时间内经过某个地点的车 辆数量。
生物学和医学研究
泊松分布可以用于描述在 一定时间内发生的事件数 量，例如基因突变或细菌 繁殖。
04 泊松过程的模拟与实现
离散时间的模拟
01
定义时间间隔
首先确定模拟的时间区间，并将其 划分为一系列离散的时间点。
随机抽样
使用随机数生成器，在每个时间间 隔内随机决定是否发生事件。
有限可加性
在有限的时间间隔内，泊松过 程中发生的事件数量服从二项
分布。
与其他随机过程的比较
与马尔可夫链的比较
研究如何将泊松过程与其他 随机过程进行更有效的结合，
以更好地描述复杂现象。
探索如何利用机器学习方法改 进泊松过程的参数估计和模型 选择，以提高模型的预测能力
和解释性。
THANKS
泊松分布的性质
泊松分布具有指数衰减的性质， 即随着时间的推移，事件发生的
概率逐渐减小。
泊松分布的期望值和方差都是参 数λ（λ > 0），即E(X)=λ， D(X)=λ。
当λ增加时，泊松分布的概率密 度函数值也增加，表示事件发生
的频率更高。
泊松分布的应用场景
通信网络
泊松分布用于描述在一定 时间内到达的电话呼叫或 数据包的数量。
生物信息学中的泊松过程
在生物信息学中，泊松过程用于描述基因表达、蛋白质相互 作用等生物过程中的随机事件。例如，基因表达数据可以用 泊松过程来分析，以了解基因表达的模式和规律。
通过泊松过程，生物信息学家可以识别出与特定生物学功能 或疾病相关的基因，为药物研发和个性化医疗提供有价值的 线索。
06 泊松过程的扩展与展望
交通流量分析
泊松分布用于描述在一定 时间内经过某个地点的车 辆数量。
生物学和医学研究
泊松分布可以用于描述在 一定时间内发生的事件数 量，例如基因突变或细菌 繁殖。
04 泊松过程的模拟与实现
离散时间的模拟
01
定义时间间隔
首先确定模拟的时间区间，并将其 划分为一系列离散的时间点。
随机抽样
使用随机数生成器，在每个时间间 隔内随机决定是否发生事件。
有限可加性
在有限的时间间隔内，泊松过 程中发生的事件数量服从二项
分布。
与其他随机过程的比较
与马尔可夫链的比较
数学建模竞赛培训_2010
00A DNA 序 模式识别、欧氏距离、马氏距离分类法、 列分类 Fischer判别模型、神经网络方法 00B 钢管订购 组合优化、运输问题 和运输 01A 血管三维 曲线拟合、曲面重建 重建 01B 工交车调 多目标规划 度问题
02A 车灯线光 非线性规划 源的优化
02B彩票问题 单目标决策
03A SARS的传播 03B 露天矿生产的 车辆安排 04A 奥 运 会 临 时 超 市网点设计 04B 电 力 市 场 的 输 电阻塞管理 05A 长江水质整体 评价 05B DVD在线租赁 06A 出 版 社 资 源 优 化配置 06B 艾 滋 病 治 疗 效 果评价与预测
数据处理方法： 曲线拟合,数据回归分析,插值，基于数据库 （Acess,Excel）的海量数据的筛选等； 概率统计方法： 期望分析,排队论,回归分析,模式识别,判别分析； 图论方法：最短路问题,最大流问题,最小生成树； 微分方程方法：稳定性分析,预测； 模糊数学：模糊聚类分析,模糊层次分析,模糊规划
3. 数学模型及其分类
数学模型的分类：
◆ 按研究方法和对象的数学特征分：初等模型、 几何模型、优化模型、微分方程模型、图论模型、逻 辑模型、概率模型、稳定性模型、扩散模型等。 ◆ 按研究对象的实际领域（或所属学科）分：人 口模型、交通模型、环境模型、生态模型、生理模型 、城镇规划模型、水资源模型、污染模型、经济模型 、社会模型等。
f(x)~目标函数
gi(x)0~约束条件 数 学 规 划 线性规划 非线性规划 整数规划
决策变量个数n和 多元函数 约束条件个数m较大 条件极值 最优解在可行域
的边界上取得 重点在模型的建立和结果的分析
二、优化模型的分类
1.根据是否存在约束条件 有约束问题和无约束问题。
第三章poisson过程与更新过程
定理3.2.3 提供了对泊松过程进行计算机模拟及其统 计检验的理论基础与方法，只需产生n个同指数分布的 随机数, 将其作为Ti, i=1,… 即可得到Poisson过程的一 条样本轨道.
17
要检验{N(t),t0}是否为Poisson过程,可转化为检验 相邻两次跳跃间隔时间{Tn= tn –tn-1, n1}是否为指数分 布总体的i.i.d 样本.
2 2 N
2
泊松过程的自相关函数 2 RN t1 , t2 E N t N t min t , t t1t2 2 1 2 1 泊松过程的自协方差函数
CN t1 , t2 min t1, t2
例 3.1.1 （Poisson过程在排队论中的应用）设某火车 站售票从早上8:00开始，此售票处连续售票，乘客以 10人/小时的速率到达，求以下（1）9:00-10:00间最多 有5名乘客来此购票的概率（2）10:00-11:00没有人来 买票的概率（3）若已知8:00-11:00有10个人来买票， 则9:00-10:00间有5名乘客买票的概率。 例 3.1.2（事故发生次数及保险公司接到的索赔数）设 保险公司接到的索赔请求为以Poisson过程{N(t)},又假 设每次的赔付都是1，每月平均接到索赔要求为4次， 则一年中保险公司要支付的金额平均是多少？
(4) 普通性 : 在非常短的时间区段Δt 内的理赔次数 几乎不可能超过 1 次 , 且发生 1 次理赔的概率近似与 Δt成正比.(稀有事件)
3
定义3.1.1计数过程{N(t),t0}称为具有参数(或强度) ( 0) 的Poission过程(或Poission 流)，如果 1）N(0)=0 ; 2）具有独立增量性; 3）满足增量平稳性; 4）对于任意t>0和充分小的 t 0，有
Poisson分布及其应用
=0.15
P( x 2) 1 p(0) p(1) 1 e
0.15 1 0.150 0.15 0.15 e 1 0.8607 0.1291 0.0102 0! 1!
3、Poisson分布的图形
=3 =5
=10
=20
3、 Poisson分布的图形
=30
(62 1.96 62,62 1.96 62) (47,77)
该省每 10 万人平均伤害死亡数的 95%可信区间为 47~77 人。
2、Poisson分布总体均数的估计
例5
用计数器测得某放射性物质2小时
内发出的脉冲数为400个, 据此估计该
放射性物质平均每小时发出的脉冲数
的95%可信区间。
Poisson分布及其应用
[例] 假设某地某种恶性肿瘤死亡率为28/10万。
若随机抽查1万人,问至少有2人死于该种恶性肿瘤
的概率有多大?
本例 =0.00028, n =10000。 x~ B(0,00028, 10000)
P( x 2) 1 p(0) p(1) 1 (1 0.00028)10000 10000 0.00028 (1 0.00028)9999 1 0.06079 0.17025 0.76896
样本计数与已知总体均数的比较 ——正态近似法 例9 某省肺癌死亡率为35.2/10万，在该省某地抽
内容提纲
Poisson分布的概念及应用条件 Poisson分布的概率函数和图形 Poisson分布随机变量的均数和方差 Poisson分布的特点 Poisson分布的应用
一、Poisson分布的概念及应用条件
1、概念：
用以描述单位时间、单位空间、单位人群…… 中某罕见 事件发生次数的一种分布。
P( x 2) 1 p(0) p(1) 1 e
0.15 1 0.150 0.15 0.15 e 1 0.8607 0.1291 0.0102 0! 1!
3、Poisson分布的图形
=3 =5
=10
=20
3、 Poisson分布的图形
=30
(62 1.96 62,62 1.96 62) (47,77)
该省每 10 万人平均伤害死亡数的 95%可信区间为 47~77 人。
2、Poisson分布总体均数的估计
例5
用计数器测得某放射性物质2小时
内发出的脉冲数为400个, 据此估计该
放射性物质平均每小时发出的脉冲数
的95%可信区间。
Poisson分布及其应用
[例] 假设某地某种恶性肿瘤死亡率为28/10万。
若随机抽查1万人,问至少有2人死于该种恶性肿瘤
的概率有多大?
本例 =0.00028, n =10000。 x~ B(0,00028, 10000)
P( x 2) 1 p(0) p(1) 1 (1 0.00028)10000 10000 0.00028 (1 0.00028)9999 1 0.06079 0.17025 0.76896
样本计数与已知总体均数的比较 ——正态近似法 例9 某省肺癌死亡率为35.2/10万，在该省某地抽
内容提纲
Poisson分布的概念及应用条件 Poisson分布的概率函数和图形 Poisson分布随机变量的均数和方差 Poisson分布的特点 Poisson分布的应用
一、Poisson分布的概念及应用条件
1、概念：
用以描述单位时间、单位空间、单位人群…… 中某罕见 事件发生次数的一种分布。
2010数学建模培训资料
2013-8-5 19
三、数据建模的综合评价方法 2. 非线性加权综合法
用非线性函数 y
x
j 1
m
wj j
作为综合评价模型，对 n
个系统进行综合评价。 其中 w j 为权系数， 且要求 x j 1 。 适用条件：各指标间有较强关联性。 主要特点： （1）突出了各指标值的一致性，即平衡评价指标值 较小的指标影响的作用； （2）权重系数大小的影响不是特别明显，而对指标 值的大小差异相对较敏感。
2013-8-5 10
二、数据处理的一般方法
1. 数据类型的一致化处理方法
（3）区间型：对某个区间型数据指标 x ，则
ax 1 c , x a x 1, a xb xb 1 , xb c
其中 [a, b] 为 x 的最佳稳定区间，c max{a m, M b} ，
2013-8-5
* j
* j 之间的某种意义
22
三、数据建模的综合评价方法
3. 逼近理想点（TOPSIS）方法
通常可取 f ( xij , x ) ( xij x )
* j
* 2 ， 则综合评价函数为 j
yi w j ( xij x *j ) 2 , i 1,2,, n 。
假设 理想点 为 ( x , x , , x ) ， 对于被评价 对象
* 1
* 2
* m
( xi1 , xi 2 ,, xim ) ，则定义二者之间的加权距离:
yi w j f ( xij x * ), i 1,2,, n ， j
j 1
m
其中 w j 为权系数，f ( xij , x ) 为 x ij 与 x 下距离。
（6）CUMCM2009-D:会议筹备问题。
三、数据建模的综合评价方法 2. 非线性加权综合法
用非线性函数 y
x
j 1
m
wj j
作为综合评价模型，对 n
个系统进行综合评价。 其中 w j 为权系数， 且要求 x j 1 。 适用条件：各指标间有较强关联性。 主要特点： （1）突出了各指标值的一致性，即平衡评价指标值 较小的指标影响的作用； （2）权重系数大小的影响不是特别明显，而对指标 值的大小差异相对较敏感。
2013-8-5 10
二、数据处理的一般方法
1. 数据类型的一致化处理方法
（3）区间型：对某个区间型数据指标 x ，则
ax 1 c , x a x 1, a xb xb 1 , xb c
其中 [a, b] 为 x 的最佳稳定区间，c max{a m, M b} ，
2013-8-5
* j
* j 之间的某种意义
22
三、数据建模的综合评价方法
3. 逼近理想点（TOPSIS）方法
通常可取 f ( xij , x ) ( xij x )
* j
* 2 ， 则综合评价函数为 j
yi w j ( xij x *j ) 2 , i 1,2,, n 。
假设 理想点 为 ( x , x , , x ) ， 对于被评价 对象
* 1
* 2
* m
( xi1 , xi 2 ,, xim ) ，则定义二者之间的加权距离:
yi w j f ( xij x * ), i 1,2,, n ， j
j 1
m
其中 w j 为权系数，f ( xij , x ) 为 x ij 与 x 下距离。
（6）CUMCM2009-D:会议筹备问题。
数学建模(2010.3)
y =ex/3
0
0.5 0.616
1
3. 点迭代法
点迭代的步骤与问题
迭代步骤：3步 方程： f (x) = 0
构造迭代函数：x = (x) , 经过简单变形 产生迭代序列： xn+1 = (xn)，n =0，1，… 给定迭代初值x0 。
1.表达式x =(x)是否唯一？ 2.迭代产生的序列是否一定会收敛？ 3. 迭代收敛性与初始值x0是否有关？
引言
一般的代数方程，记作 如 3t 0.5t
e sin(4t 2) 4e
2
f ( x) 0
cos(2t ) 0.5
x 2e xy / 2 e x / 2 sin( xy) 0 2 2 2 x y x cos( x y ) y e 0
y
-1.5
-1
-0.5
0 x
0.5
1
1.5
2
1．图形放大法
图形放大-继续
ezplot('x^2+y^2-1‘，[-1,-0.9,0.15,0.2]) 图形放大 hold on ezplot('0.75*x^3-y+0.9‘， [-1,-0.9,0.15,0.2])
0.75 x 3-y+0.9 = 0 0.2
0.19
(-0.9817, 0.1904)
0.18
y
0.17 0.16 0.15 -1
-0.98
-0.96 x
-0.94
-0.92
-0.9
1．图形放大法
结果验证 Matlab提供的数值求解-函数solve syms x y; [x,y]=solve('x^2+y^2-1','75*x^3/100-y+9/10'); double(x), double(y) 输出结果： x= 0.3570 0.8663 + 1.2154i -0.5540 + 0.3547i -0.9817 -0.5540 - 0.3547i 0.8663 - 1.2154i y = 0.9341 -1.4916 + 0.7059i 0.9293 + 0.2114i 0.1904 0.9293 - 0.2114i -1.4916 - 0.7059i
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n ( 3 4 ) P{N (4) N (0) n} e 34 n! 其均值为 E[ N (t )] t 3 4 12
即到12：00为止，离去的人平均是12名。 而有9个人接受过服务的概率是 P{N (4) 9} e 12 (12)
9
9!
例5： 设病人以每分钟2人的速率到达某诊所,病人流 为泊松流,求在2分钟内到达的病人不超过3人的概率?
(4 12) 412 P{N (12) N (0) n} e n!
n
均值
E[ N (12) N (0)] 4 12 48
为什么实际中有这么多的现象可以用泊松过程 来反映呢?其根据是稀有事件原理.我们在概率论的 学习中已经知道,贝努里试验中,每次试验成功的概率
很小而试验的次数很多时,二项分布会逼近泊松分布. 这一想法很自然地推广到随机过程,比如上面提到的
过程.
泊松过程也可以用另一种形式的定义:即若计数
过程{N(t) ,t≥0} 满足下面三个条件: (1) N(0)=0. (2) 它是独立增量过程; (3) 对任意的t>t0≥0,增量
可以证明这两个定义等价.
由泊松分布知
特别地,令t0 =0,由于假设N(0)=0,故可推知
泊松过程的均值函数和方差函数分别为
泊松过程及其应用
一、独立增量过程
二、泊松过程
三、维纳过程
随机过程的定义
X (t , ) 是随机变量，我们 对每一个参数 t T ， 称随机变量族 X t X (t, ) 为一随机过程，其中称 为指标集
独立增量过程.
一、 独立增量过程(independent increment process)
将增量 它表示时间间隔(t0,t]内出现的质点数.“在 (t0,t]内 出现k个质点”,即{N(t0,t)=k}是一随机事件,其概率 记为 Pk(t0,t)=P{N(t0,t)=k},k=0,1,2, ….
2.泊松过程 : 计数过程{N(t) ,t≥0} 称为强度为 λ 的 泊松过程,如果满足条件: (1)在不相重叠的区间上的增量具有独立性; (2) N(0)=0; (3) 对于充分小的 其中常数 λ>0 ,称为过程N(t)的强度. (亦即在充分小 的时间间隔中事件出现一次的概率与时间间隔的长 度成正比)
下面用Wn表示第n个顾客的到达时间，则 Wn = X1 + X2 + … + Xn , n ≥1 称 Wn 为直到第 n 个顾客出现的等待时间。
定理3：等待时间 Wn ( n ≥1) 服从参数为 n ， λ
的 Γ 分布。 注: 若随机变量X的概率密度函数为 1 x / x e x0 1 f ( x) ( 1) 0 x0 其中 1, 0 , 则称X服从Γ 分布。 这里
{N(t) ,t≥0} 表示[0，t]内到达的顾客数。令X1表示 第一个顾客到达的时刻，Xn，n>1表示第n-1个顾客 与第n个顾客到达的时间间隔，{Xn,n=1,2, …}称为 到达时间间隔序列。 定理2：强度为λ 的泊松过程{N(t) ,t≥0}的到达 时间间隔序列{Xn,n=1,2, …}是相互独立的随机变量 序列，并且具有相同的均值为（1/ λ） 的指数分布。
为一随机过程, 1.计数过程:设 如果N(t)是取非负整数值的随机变量,且满足s<t时, N(s) ≤N(t),则称 X T {N (t ), t T [0, )} 为计数过程(counting process). 若用N(t)表示电话交换台在时间[0,t]中接到 电话呼叫的累计次数,则{N(t) ,t≥0}就是一计数过程. 对电话呼叫次数进行累计的计数过程,这也就是计数 过程名称的由来.对 0≤s<t,N(t)-N(s)就表示在(s,t]中 发生的电话呼叫次数.
二、 泊松过程 （Poisson process ） 现实世界许多偶然现象可用泊松分布来描述, 大量自然界中的物理过程可以用泊松过程来刻画. 泊松过程是随机建模的重要基石,也是学习随机过程 理论的重要直观背景.著名的例子包括盖格计数器上 的粒子流,二次大战时伦敦空袭的弹着点,电话总机所 接到的呼唤次数,交通流中的事故数,某地区地震发生 的次数,细胞中染色体的交换等等.这类变化过程可粗 略地假定为有相同的变化类型.我们所关心的是随机 事件的数目,而每一变化可用时间或空间上的一个点 来表示.这类过程有如下两个特性:一是时间和空间 上的均匀性,二是未来的变化与过去的变化没有关系. 我们将基于这些性质来建立泊松过程的模型.
泊松过程的定义）这个定理提供了对泊松过程进行
计算机模拟的方便途径：只需产生几个不同指数分
的随机数，将其作为Xn,n=1,2, …即可得到泊松过程
的一条样本路径。
例3：一理发师在t=0时开门营业,设顾客按强度为λ 的泊松过程到达.若每个顾客理发需要a分钟,a是正 常数 . 求第二个顾客到达后不需等待就马上理发的 概率及到达后等待时间S的平均值 . 解：设第一个顾客的到达时间为W1，第二个顾客的 到达时间为W2。令X2= W2 - W1，则第二个顾客到达 后不需等待等价于 X2>a。由定理2知X2服从参数为 λ 的指数分布，故 等待时间
,即泊松过程的强度 λ (常数)等于
单位长时间间隔内出现的质点数目的期望值.
泊松过程的协方差函数
而相关函数
RN ( s, t ) E[ N (s) N (t )]
CN (s, t ) N ( s) N (t )
st min( s, t ) ,
2
s, t 0
于是，有 定理1：设{N(t) ,t≥0} 是强度为 λ 的泊松过程，
事故发生的例子,在很短的时间内发生事故的概率是 很小的.但假如考虑很多个这样很短的时间的连接, 事故的发生将会有一个大致稳定的速率,这很类似
于贝努里试验以及二项分布逼近泊松分布时的假定 .
这就是泊松过程定义所描述的直观意义.
3、到达时间间隔与等待时间的分布
下面介绍与泊松过程有关的两个随机变量，即到达 时间间隔与等待时间。为叙述直观起见，设泊松过程
(4) 对于充分小的
在泊松过程中,相应的质点流即质点出现的随机来自时刻称为强度为 λ 的泊松流.
可以证明泊松过程的增量的分布律为
t t0 , k 0,1,2,
由上式易知增量N(t0,t)=N(t)-N(t0)的概率分布
是参数为 λ(t-t0) 的泊松分布,且只与时间t-t0有关,
所以强度为 λ 的泊松过程是一齐次的独立增量
计数对象不仅仅是来到的电话呼叫,也可以是到 某商店的顾客数,到某机场降落的飞机数,某放射性 物质在放射性蜕变中发射的粒子数,一次足球赛 的进球数,某医院出生的婴儿数等等,总之,对某种
随机事件的来到数都可以得到一个计数过程,而同一 时刻只能至多发生一个来到的就是简单计数过程.
计数过程的一个典型的样本函数如图
则有
CN (s, t ) min( s, t )
RN ( s, t ) st min( s, t )
2
例1: (泊松过程在排队论中的应用)在随机服务系统中的排队 现象的研究中，经常用到泊松过程的模型，例如：到达电话 总机的呼叫数目，到达某服务设施(商店、车站、购票处等)的 顾客数，都可以用泊松过程来描述。以某火车站售票处为例， 设从早上8:00开始，此售票处连续售票，乘客以10人/小时的 平均速率到达，则从9:00-10:00这一小时内最多有5名乘客来此 购票的概率是多少？从10:00-11:00没有人来购票的概率是多少？
对于独立增量过程,可以证明:在X(0)=0的条件下, 它的有限维分布函数可以由增量 X(t) – X(s) (0≤s<t) 的分布所确定.
特别,若对任意的实数h和0 ≤s+h<t+h,X(t+h) X(s+h)与X(t)-X(s)具有相同的分布,则称增量具有
平稳性.这时,增量X(t)-X(s)的分布函数实际上只依赖 于时间差t-s(0≤s<t),而不依赖于 t 和 s 本身(事实上, 令h= - s即知).当增量具有平稳性时,称相应的独立 增量过程是齐次的或时齐的. 在X(0)=0和方差函数VX(t)为已知的条件下, 独立增量过程协方差函数可用方差函数表示为: (P341)
解：设{N(t) , t≥0}是病人到达数的泊松过程，
λ = 2 ，故 则
(2 2) k 4 P{N (2) k} e k!
P{N (2) 0} P{N (2) 1} P{N (2) 2} P{N (2) 3}
2 3 4 4 71 4 4 4 4 4 e 4e e e e 2! 3! 3
例4: 设从早上8:00开始有无穷多的人排队等候服务,设只有
一名服务员,且每人接受服务的时间是独立的并服从均值为20 分钟的指数分布,则到中午12:00为止平均有多少人已经离开, 已有9个人接受服务的概率是多少?
解: 由所设条件可知,离去的人数N(t)是强度λ=3的泊松 过程(这里以小时为单位)。设8:00为零时刻，则
解:我们用一个泊松过程来考虑.设8:00为0时刻则9:00为1时刻
则参数 λ =10 , 故
n ( 10 1 ) 101 P{N (2) N (1) 5} e n! n 0 0 10 (10) P{N (3) N (2) 0} e e 10 0! 5
例2: (事故的发生次数及保险公司接到的索赔数)若以N(t)表示 某公路交叉口、矿山、工厂等场所在(0,t]时间内发生不幸事故 的数目，则泊松过程就是{N(t) ,t≥0}的一种很好近似，因而 保险公司受到的赔偿请求的次数(设一次事故就导致一次索赔)。 向3.15的投诉(设商品出现质量问题为事故)等都是可以应用泊松 过程的模型。我们考虑一种最简单情况，设保险公司每次赔付 都是1，接到的索赔要求是平均4次/月，则一年中它要付出的金 额平均为多少？ 解: 设一年开始为0时刻,一月末为1,2月末为2, …,则年末为12.
即到12：00为止，离去的人平均是12名。 而有9个人接受过服务的概率是 P{N (4) 9} e 12 (12)
9
9!
例5： 设病人以每分钟2人的速率到达某诊所,病人流 为泊松流,求在2分钟内到达的病人不超过3人的概率?
(4 12) 412 P{N (12) N (0) n} e n!
n
均值
E[ N (12) N (0)] 4 12 48
为什么实际中有这么多的现象可以用泊松过程 来反映呢?其根据是稀有事件原理.我们在概率论的 学习中已经知道,贝努里试验中,每次试验成功的概率
很小而试验的次数很多时,二项分布会逼近泊松分布. 这一想法很自然地推广到随机过程,比如上面提到的
过程.
泊松过程也可以用另一种形式的定义:即若计数
过程{N(t) ,t≥0} 满足下面三个条件: (1) N(0)=0. (2) 它是独立增量过程; (3) 对任意的t>t0≥0,增量
可以证明这两个定义等价.
由泊松分布知
特别地,令t0 =0,由于假设N(0)=0,故可推知
泊松过程的均值函数和方差函数分别为
泊松过程及其应用
一、独立增量过程
二、泊松过程
三、维纳过程
随机过程的定义
X (t , ) 是随机变量，我们 对每一个参数 t T ， 称随机变量族 X t X (t, ) 为一随机过程，其中称 为指标集
独立增量过程.
一、 独立增量过程(independent increment process)
将增量 它表示时间间隔(t0,t]内出现的质点数.“在 (t0,t]内 出现k个质点”,即{N(t0,t)=k}是一随机事件,其概率 记为 Pk(t0,t)=P{N(t0,t)=k},k=0,1,2, ….
2.泊松过程 : 计数过程{N(t) ,t≥0} 称为强度为 λ 的 泊松过程,如果满足条件: (1)在不相重叠的区间上的增量具有独立性; (2) N(0)=0; (3) 对于充分小的 其中常数 λ>0 ,称为过程N(t)的强度. (亦即在充分小 的时间间隔中事件出现一次的概率与时间间隔的长 度成正比)
下面用Wn表示第n个顾客的到达时间，则 Wn = X1 + X2 + … + Xn , n ≥1 称 Wn 为直到第 n 个顾客出现的等待时间。
定理3：等待时间 Wn ( n ≥1) 服从参数为 n ， λ
的 Γ 分布。 注: 若随机变量X的概率密度函数为 1 x / x e x0 1 f ( x) ( 1) 0 x0 其中 1, 0 , 则称X服从Γ 分布。 这里
{N(t) ,t≥0} 表示[0，t]内到达的顾客数。令X1表示 第一个顾客到达的时刻，Xn，n>1表示第n-1个顾客 与第n个顾客到达的时间间隔，{Xn,n=1,2, …}称为 到达时间间隔序列。 定理2：强度为λ 的泊松过程{N(t) ,t≥0}的到达 时间间隔序列{Xn,n=1,2, …}是相互独立的随机变量 序列，并且具有相同的均值为（1/ λ） 的指数分布。
为一随机过程, 1.计数过程:设 如果N(t)是取非负整数值的随机变量,且满足s<t时, N(s) ≤N(t),则称 X T {N (t ), t T [0, )} 为计数过程(counting process). 若用N(t)表示电话交换台在时间[0,t]中接到 电话呼叫的累计次数,则{N(t) ,t≥0}就是一计数过程. 对电话呼叫次数进行累计的计数过程,这也就是计数 过程名称的由来.对 0≤s<t,N(t)-N(s)就表示在(s,t]中 发生的电话呼叫次数.
二、 泊松过程 （Poisson process ） 现实世界许多偶然现象可用泊松分布来描述, 大量自然界中的物理过程可以用泊松过程来刻画. 泊松过程是随机建模的重要基石,也是学习随机过程 理论的重要直观背景.著名的例子包括盖格计数器上 的粒子流,二次大战时伦敦空袭的弹着点,电话总机所 接到的呼唤次数,交通流中的事故数,某地区地震发生 的次数,细胞中染色体的交换等等.这类变化过程可粗 略地假定为有相同的变化类型.我们所关心的是随机 事件的数目,而每一变化可用时间或空间上的一个点 来表示.这类过程有如下两个特性:一是时间和空间 上的均匀性,二是未来的变化与过去的变化没有关系. 我们将基于这些性质来建立泊松过程的模型.
泊松过程的定义）这个定理提供了对泊松过程进行
计算机模拟的方便途径：只需产生几个不同指数分
的随机数，将其作为Xn,n=1,2, …即可得到泊松过程
的一条样本路径。
例3：一理发师在t=0时开门营业,设顾客按强度为λ 的泊松过程到达.若每个顾客理发需要a分钟,a是正 常数 . 求第二个顾客到达后不需等待就马上理发的 概率及到达后等待时间S的平均值 . 解：设第一个顾客的到达时间为W1，第二个顾客的 到达时间为W2。令X2= W2 - W1，则第二个顾客到达 后不需等待等价于 X2>a。由定理2知X2服从参数为 λ 的指数分布，故 等待时间
,即泊松过程的强度 λ (常数)等于
单位长时间间隔内出现的质点数目的期望值.
泊松过程的协方差函数
而相关函数
RN ( s, t ) E[ N (s) N (t )]
CN (s, t ) N ( s) N (t )
st min( s, t ) ,
2
s, t 0
于是，有 定理1：设{N(t) ,t≥0} 是强度为 λ 的泊松过程，
事故发生的例子,在很短的时间内发生事故的概率是 很小的.但假如考虑很多个这样很短的时间的连接, 事故的发生将会有一个大致稳定的速率,这很类似
于贝努里试验以及二项分布逼近泊松分布时的假定 .
这就是泊松过程定义所描述的直观意义.
3、到达时间间隔与等待时间的分布
下面介绍与泊松过程有关的两个随机变量，即到达 时间间隔与等待时间。为叙述直观起见，设泊松过程
(4) 对于充分小的
在泊松过程中,相应的质点流即质点出现的随机来自时刻称为强度为 λ 的泊松流.
可以证明泊松过程的增量的分布律为
t t0 , k 0,1,2,
由上式易知增量N(t0,t)=N(t)-N(t0)的概率分布
是参数为 λ(t-t0) 的泊松分布,且只与时间t-t0有关,
所以强度为 λ 的泊松过程是一齐次的独立增量
计数对象不仅仅是来到的电话呼叫,也可以是到 某商店的顾客数,到某机场降落的飞机数,某放射性 物质在放射性蜕变中发射的粒子数,一次足球赛 的进球数,某医院出生的婴儿数等等,总之,对某种
随机事件的来到数都可以得到一个计数过程,而同一 时刻只能至多发生一个来到的就是简单计数过程.
计数过程的一个典型的样本函数如图
则有
CN (s, t ) min( s, t )
RN ( s, t ) st min( s, t )
2
例1: (泊松过程在排队论中的应用)在随机服务系统中的排队 现象的研究中，经常用到泊松过程的模型，例如：到达电话 总机的呼叫数目，到达某服务设施(商店、车站、购票处等)的 顾客数，都可以用泊松过程来描述。以某火车站售票处为例， 设从早上8:00开始，此售票处连续售票，乘客以10人/小时的 平均速率到达，则从9:00-10:00这一小时内最多有5名乘客来此 购票的概率是多少？从10:00-11:00没有人来购票的概率是多少？
对于独立增量过程,可以证明:在X(0)=0的条件下, 它的有限维分布函数可以由增量 X(t) – X(s) (0≤s<t) 的分布所确定.
特别,若对任意的实数h和0 ≤s+h<t+h,X(t+h) X(s+h)与X(t)-X(s)具有相同的分布,则称增量具有
平稳性.这时,增量X(t)-X(s)的分布函数实际上只依赖 于时间差t-s(0≤s<t),而不依赖于 t 和 s 本身(事实上, 令h= - s即知).当增量具有平稳性时,称相应的独立 增量过程是齐次的或时齐的. 在X(0)=0和方差函数VX(t)为已知的条件下, 独立增量过程协方差函数可用方差函数表示为: (P341)
解：设{N(t) , t≥0}是病人到达数的泊松过程，
λ = 2 ，故 则
(2 2) k 4 P{N (2) k} e k!
P{N (2) 0} P{N (2) 1} P{N (2) 2} P{N (2) 3}
2 3 4 4 71 4 4 4 4 4 e 4e e e e 2! 3! 3
例4: 设从早上8:00开始有无穷多的人排队等候服务,设只有
一名服务员,且每人接受服务的时间是独立的并服从均值为20 分钟的指数分布,则到中午12:00为止平均有多少人已经离开, 已有9个人接受服务的概率是多少?
解: 由所设条件可知,离去的人数N(t)是强度λ=3的泊松 过程(这里以小时为单位)。设8:00为零时刻，则
解:我们用一个泊松过程来考虑.设8:00为0时刻则9:00为1时刻
则参数 λ =10 , 故
n ( 10 1 ) 101 P{N (2) N (1) 5} e n! n 0 0 10 (10) P{N (3) N (2) 0} e e 10 0! 5
例2: (事故的发生次数及保险公司接到的索赔数)若以N(t)表示 某公路交叉口、矿山、工厂等场所在(0,t]时间内发生不幸事故 的数目，则泊松过程就是{N(t) ,t≥0}的一种很好近似，因而 保险公司受到的赔偿请求的次数(设一次事故就导致一次索赔)。 向3.15的投诉(设商品出现质量问题为事故)等都是可以应用泊松 过程的模型。我们考虑一种最简单情况，设保险公司每次赔付 都是1，接到的索赔要求是平均4次/月，则一年中它要付出的金 额平均为多少？ 解: 设一年开始为0时刻,一月末为1,2月末为2, …,则年末为12.