中国邮递员问题各种算法的对比分析

附录2

《图论》课程专题论文

论文题目： 中国邮递员问题各种算法的对比分析 班 级： 2008级数学与应用数学

组 长： 马利巍

2011年 12 月 27 日

论文评价指标与鉴定意见

摘要

本文基于无向图的传统中国邮递员问题,给出了相应的显式整数规划模型,进一步讨论了一类基于有向图的广义中国邮递员问题,给出了相应的显式整数规划模型；并研究了随机中国邮递员问题,建立了相应的确定型等价模型。并可以利用奇度数结点的配对来进行求解。根据此思想给出了一种新的求解思路——通过去掉原始图中的偶度数结点并利用最小生成树来确定奇度数结点的配对。提出了“虚拟权值”和“虚拟节点”的概念[]5,给出了中国邮递员问题的一种基于DNA 计算的求解算法。新算法首先利用多聚酶链式反应技术来排除非解,从而得到中国邮递员问题的所有可行解；然后,结合基于表面的DNA 计算方法与荧光标记等技术,最终从所有可行解中析出最优解。通过各种算法分析比较表明,新算法具有易于解读、编码简单等特点。

关键字：中国邮递员问题整数规划最优化模型奇度数结点最小生成树DNA计算多聚酶链式反应

Abstract

Based on the traditional Chinese to figure without the postman problem,The corresponding display integer programming model，further discussed based on adirected graph of the generalized China the postman problem，the corresponding display integer programming model；And the traditional China the postman problem，established the corresponding equivalent model that can and can use odd degree of nodes to solving matching。According to this thought gives a new method for solving thinking—by removing the original graph of the degree and use the node accidentally minimum spanning tree to determine the degree of the node′s pairing。Put forward the “virtual weights ”and “virtual node ”，given China a postman of DNA computing algorithm is based on。First the new algorithm is more Meilian together to exclude the technology of reaction solution，and then got the postman all feasible solutions to problems；And then，based on the surface with DNAcalculation methods and fluorescent markers，and from all the feasible solution of eventually get the optimal solution。Through the comparison of the algorithm analysis show that the new algorithm is easy to read，code simple features。

Key words：The postman problem of China Integer programming Optimization model Odd degree node Minimum spanning tree DNA calculation More Meilian together in response

1.问题的综述

中国邮递员问题（Chinese postman problem ）也称中国邮路问题，是我国数学家管梅谷于1960年首次提出来的，引起了世界不少数学家的关注。例如1973年匈牙利数学家Edmonds 和Johnson 对中国邮路问题提供了一种有效算法[]14。

这个问题的实际模型是：一位邮递员从邮局选好邮件去投递，然后返回邮局，他必须经过由他负责投递的每条街道至少一次，为这位邮递员设计一条投递线路，使其耗时最少。

2.图论中模型

任给定一个图G ，对E(G)加权，即对每个)(G E e ∈，任意指定一个非负实数)(e ω，求G 的一个含有一切边回路W ，使得W 的总权[]20

.min )(=∑∈W e e ω

如果G 是Euler 图，则所求的中国邮路W 就是一条Euler 回路。1921年，Fleury 给出求Euler 图G 中一个Euler 回路的算法。值得指出的是，即使已知G 是Euler 图，如果没有一定的路线遵循，也不是漫不经心就可以找出它的一个Euler 回路的，例如图1是Euler 图，设从1v 开始，寻找一条Euler 回路，如果开始三步是1231v v v v 就失败了，因为回到1v 之后发现左侧的5K 上的边还没有用过，而1v 的关联边已全用过，不能从1v 再去通过左侧那些未用

图 1

过的边了（注意每边只能用一次）。究其失败的原因，是因为用了31v v 边之后，

在未用过的边们导出的子图上，23v v 是桥，提前过桥23v v 的后果是断了去左侧5K 的后路。这里的教训是，非必要时，不要通过未用过的边的导出子图的桥，根据这一思路，Fleury 设计了如下求Euler 回路的有效算法，代号FE 算法[]8：

（1）任取)(0G V v ∈，令00v W =.

（2）设行迹i i v v v v W 210=已选定，则从)()(W E G E -中选一条边1+i e ，使得1+i e 与i v 相关联，且非必要时，1+i e 不要选)(W E G -的桥。

（3）反复执行（2），直至每边)(G E e ∈皆入选为止。

FE 算法是有效算法，其时间复杂度是|))((|G E O 。

用FE 算法在上图中可选得Euler 回路：

12364753765431v v v v v v v v v v v v v v W =

FE 算法的正确性证明如下： 令G 是Euler 图，n n

v v v v W 210=是FE 算法终止时得到的行迹，由算法知n v 在)(n W E G -中的次数为零，显然0v v n =，于是n W 是G 的一条闭行迹，下证n W 就是G 的Euler 回路，反证之，若n W 不是G 的Euler 回路，设1V 是)(n W E G -中次数非零的顶组成的顶子集。容易看出∅≠1V ，且1V v n ∉。令12)(V G V V -=，则2V v n ∈；设m 是1V v m ∈，而21V v m ∈+的v 的下标的最大值，见图2。由于n W 的终点在2V 中，于是1+m e 是)(m W E G -的桥，设e 是)(m W E G -中与m v 关联的边。且1+≠m e e ，由算法知e 为)(m W E G -的桥，故e 也是1V 在)(m W E G -中导出的子图m G 的桥。设n G 是1V 在)(m W E G -中导出的子图，则n m G G =，于是m G 每顶皆偶次，m G 中无桥，与e 是m G 的桥矛盾。

图 2