2018年高考数学(理)二轮复习课件：第3部分+考前增分策略+专题1+8.推理证明、复数、算法
(2)∵在由平面图形到空间图形的类比推理中，一般是由点的性质类比推理到 线的性质，由线的性质类比推理到面的性质，由面积的性质类比推理到体积 S△PA′B′ PA′· PB′ 性质．故由 ＝ PA· (面积的性质) PB S△PAB 结合图(2)可类比推理出： VPPA′· PB′· PC′ A′B′C′ 体积关系： V ＝ . PA · PB · PC PABC
3 1 ， ，为第一象限点，故选 2 2
应假设________．
[答案] 三角形三个内角都大于 60°
3．数学归纳法 一般地，证明一个与正整数 n 有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当 n 取第一个值 n0 (n0∈N*)时命题成立； (2)(归纳递推)假设 n＝k (k≥n0， k∈N*)时命题成立， 证明当 n＝k＋1 时命题也 成立． 只要完成这两个步骤， 就可以断定命题对从 n0 开始的所有正整数 n 都成立． 上 述证明方法叫做数学归纳法．
2．若复数 z 满足(1＋i)z＝2＋i，则复数 z 的共轭复数 z 在复平面内对应的点位于 ( ) B．第二象限 D．第四象限
A．第一象限 C．第三象限
2＋i 2＋i1－i 3－i 3 1 3 1 A [z＝ ＝ ＝ 2 ＝2－2i， z ＝2＋2i，共轭复数所对应的点为 1＋i 1＋i1－i
[答案] (1)B VPPA′· PB′· PC′ A′B′C′ (2) V ＝ PA· PB· PC
PABC
2．证明方法：综合法由因导果，分析法执果索因．反证法是常用的间接证明方 法，利用反证法证明问题时一定要理解结论的含义，正确进行反设． [应用 2] 用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于 60° ”时，
(1)为实数；(2)为虚数；(3)为纯虚数；(4)复数 z 对应的点在复平面内的第二象 限？
[答案] (1) m＝－2；(2)m≠－2 且 m≠－3；(3)m＝3；(4)m＜－3 或－2＜m ＜3
5．复数的运算 复数的运算法则与实数运算法则相同，主要是除法法则的运用，另外复数中 的几个常用结论应记熟： 1＋i 1－i (1)(1± i) ＝± 2i；(2) ＝i； ＝－i；(3)i4n＝1；i4n＋1＝i；i4n＋2＝－1；i4n＋3 1－i 1＋i
S△PA′B′ PA′· PB′ (2) 图 32(1) 有面积关系： ＝ PA· PB ，则图 32(2) 有体积关系： S△PAB ________. 【导学号：07804197】
图 32(1)
图 32(2)
[解析]
(1)根据题意，由于甲乙丙丁四人中有且只有两人的说法是正确的，
假设乙的说法是正确的，则丁也是正确的，那么甲丙的说法都是错误的，如 果丙同学说：“1 班、4 班中有且只有一个班获奖”是错误的，那么 1 班、4 班都获奖或 1 班、4 班都没有获奖，与乙的说法矛盾，故乙的说法是错误， 则丁同学说：“乙说得对”也是错误的；故说法正确的是甲、丙，故选 B.
2
＝－i；i4n＋i4n 1＋i4n 2＋i4n 3＝0.
＋ ＋ ＋
[应用 5]
[答案] 1
1－ 3i 已知复数 z＝ ， z 是 z 的共轭复数，则| z |＝________. 3＋i
6．(1)循环结构中几个常用变量： ①计数变量：用来记录某个事件发生的次数，如 i＝i＋1. ②累加变量：用来计算数据之和，如 s＝s＋i. ③累乘变量：用来计算数据之积，如 p＝p×i. (2)处理循环结构的框图问题，关键是理解认清终止循环结构的条件及循环次 数．
[应用 6]
执行如图 33 的程序框图，输出 S 的值为________. 【导学号：07804198】
图 33
1 1 [解析] 由算法知， 记第 k 次计算结果为 Sk， 则有 S1＝ ＝－1， S2＝ 1－2 1－－1 1 1 1 ＝2，S3＝ 1＝2，S4＝ ＝－1＝S1， 1－2 1－2 因此{Sk}是周期数列，周期为 3，输出结果为 S2 017＝S1＝－1.
[应用 3]
1 1 1 用数学归纳法证明 1＋2＋3＋„＋ n <n(n∈N 且 n>1)第一步要证 2 －1
的不等式是________．
1 1 1 1 1 1 [解析] 当 n＝2 时，左边＝1＋2＋ 2 ＝1＋2＋3，右边＝2，故填 1＋2＋3 2 －1 <2.
1 1 [答案] 1＋2＋3<2
4．复数的概念 对于复数 a＋bi(a，b∈R)，a 叫做实部，b 叫做虚部；当且仅当 b＝0 时，复 数 a＋bi(a， b∈R)是实数 a； 当 b≠0 时， 复数 a＋bi 叫做虚数； 当 a＝0 且 b≠0 时，复数 a＋bi 叫做纯虚数．
[应用 4]
m2－m－6 当实数 m 为何值时，z＝ ＋(
要点重温
查缺补漏
■要点重温…………………………………………………………………………·
1．归纳推理和类比推理 共同点：两种推理的结论都有待于证明． 不同点：归纳推理是由特殊到一般的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理．
[应用 1]
(1)某校举行了以“重温时代经典，唱响回声嘹亮”为主题的“红
歌”歌咏比赛．该校高一年级有 1,2,3,4 四个班参加了比赛，其中有两个班获 奖．比赛结果揭晓之前，甲同学说：“两个获奖班级在 2 班、3 班、4 班中”， 乙同学说：“2 班没有获奖，3 班获奖了”，丙同学说：“1 班、4 班中有且 只有一个班获奖”，丁同学说：“乙说得对”．已知这四人中有且只有两人 的说法是正确的，则这两人是( A．乙，丁 C．甲，丁 ) B．甲，丙 D．乙，丙
[答案] －1
■查缺补漏………………………………………………………………………..·
2 1．如果复数 z＝ ，则( －1＋i A．z 的共轭复数为 1＋i C．|z|＝2 ) B．z 的实部为 1 D．z 的虚部为－1
2 D [z＝ ＝－1－i， 因此 z 的共轭复数为－1＋i， 实部为－1， 虚部为－1， －1＋i 模为 2，选 D.]
2018届高考数学理二轮复习江苏专用课件：专题三 数 列 第1讲 精品
(2)解 由题设可求 a2＝λ－1，∴a3＝λ＋1， 令 2a2＝a1＋a3，解得 λ＝4，故 an＋2－an＝4. 由此可得{a2n－1}是首项为 1，公差为 4 的等差数列， a2n－1＝4n－3； {a2n}是首项为 3，公差为 4 的等差数列，a2n＝4n－1. 所以 an＝2n－1，an＋1－an＝2. 因此存在 λ＝4，使得数列{an}为等差数通项公式：an＝a1＋(n－1)d， (2)求和公式：Sn＝n（a12＋an）＝na1＋n（n－2 1）d， (3)性质：①若 m，n，p，q∈N*，且 m＋n＝p＋q，则 am＋an＝ap＋aq； ②an＝am＋(n－m)d； ③Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…，成等差数列.
热点二 等差、等比数列的判定与证明 【例 2】 (2016·南师附中月考)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，
a1＝14，且 Sn＝Sn－1＋an－1＋12(n∈N*，且 n≥2)，数列{bn}满 足：b1＝－1149，且 3bn－bn－1＝n(n≥2，且 n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式； (2)求证：数列{bn－an}为等比数列. (1)解 由 Sn＝Sn－1＋an－1＋12，得 Sn－Sn－1＝an－1＋12， 即 an－an－1＝12(n∈N*，n≥2)，则数列{an}是以12为公差的 等差数列，又 a1＝14，∴an＝a1＋(n－1)d＝12n－14.
4.(2013·江苏卷)在正项等比数列{an}中，a5＝12，a6＋a7＝ 3.则满足 a1＋a2＋…＋an>a1a2…an 的最大正整数 n 的值 为________.
解析 设数列{an}的公比为 q(q＞0)，由已知条件得12q＋12q2＝3，即 q2＋q－6＝0，解得 q＝2，或 q＝－3(舍去)，an＝a5qn－5＝12×2n－5＝ 2n－6，a1＋a2＋…＋an＝312(2n－1)，a1a2…an＝2－52－42－3…2n－6＝ 2n2－211n，由 a1＋a2＋…＋an>a1a2…an，可知 2n－5－2－5>2n（n－2 11）， 由 2n－5－2－5>2n（n－2 11），可求得 n 的最大值为 12，而当 n＝13 时， 28－2－5<213，所以 n 的最大值为 12. 答案 12
【高考数学】2018年高考数学(理)二轮复习课件：第3部分 考前增分策略 专题1 7.概率与统计(PPT课件)
1 2 2 1 2 2 2 2 2 (2)简化计算公式①s ＝n[(x1＋x2＋„＋xn)－n x ]，或写成 s ＝n(x1＋x2＋„＋
2 2 x2 n)－ x ，即方差等于原数据平方和的平均数减去平均数的平方．
[应用 3] (1)某工厂对一批新产品的长度(单位：mm)进行检测，如图 24 是检 测结果的频率分布直方图，据此估计这批产品的中位数为( )
7.概率与统计
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■要点重温…………………………………………………………………………·
1．随机抽样方法 简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的共同点是抽样过程中每个个体被抽取 的机会相等，且是不放回抽样．
[应用 1]
某社区现有 480 个住户， 其中中等收入家庭 200 户、 低收入家庭 160
1
2 － n x x2 i i
＝
2＋3＋4＋5＋6 2.2＋3.8＋5.5＋6.5＋7.0 [解] (1) x ＝ ＝4， y ＝ ＝5， 5 5 相关系数r的分子为 xi－ x yi－ y ＝ x iyi－5 x ·y ＝122.3－5×4×5＝
i＝1 i＝1 5
图 25
[解析] (1)产品的中位数出现在概率是 0.5 的地方． 自左至右各小矩形面积依 次为 0.1,0.2,0.4， „„，设中位数是 x，则由 0.1＋0.2＋0.08· (x－20)＝0.5，得 x＝22.5，故选 C.
3＋4＋5＋x＋y (2)由 ＝5 得 x＋y＝13，① 5 由 1 2 2 2 2 2 [ 3 － 5 ＋ 4 － 5 ＋ 5 － 5 ＋ x － 5 ＋ y － 5 ]＝ 2 5
2018届高三数学理高考二轮复习书讲解课件第三部分 专题五 增分有招考前必会的12种快速求解选择、填
方法2
方法1 方法7
方法2 方法8
方法3 方法9
方法4 方法5 方法6
方法 10
方法 11
方法 12
应用特例排除法的关键在于确定选项的差异性，利用差异 性选取一些特例来检验选项是否与题干对应，从而排除干 扰选项.
方法2
试题 解析
方法1 方法7
方法2 方法8
方法3 方法9
方法4 方法5 方法6
方法 10
A.56
B.23
C.25
D.45
方法1
试题 解析
方法1 方法7
方法2 方法8
方法3 方法9
方法4 方法5 方法6
方法 1 的方程可得|F1F2|＝2 16＋9＝10， 由双曲线的定义可得|F1A|－|F2A|＝2 16＝8， 由已知可得|F1A|＝|F1F2|＝10， 所以|F2A|＝|F1A|－8＝2. 设椭圆的长轴长为 2a，则由椭圆的定义可得 2a＝|F1A|＋|F2A| ＝10＋2＝12. 所以椭圆 C2 的离心率 e＝22ac＝1102＝56.故选 A.
方法 10
方法 11
方法 12
试题 解析
由于题中直线 PQ 的条件是过点 E，所以该直线是一条 “动”直线，所以最后的结果必然是一个定值．故可利用 特殊直线确定所求值．
方法2
试题 解析
方法1 方法7
方法2 方法8
方法3 方法9
方法4 方法5 方法6
方法 10
方法 11
方法 12
解法一 如图 1，PQ∥BC，则A→P＝23A→B，A→Q＝23A→C，此时 m＝n＝23，故m1 ＋n1＝3.故选 A. 解法二 如图 2，取直线 BE 作为直线 PQ，显然，此时A→P ＝A→B，A→Q＝12A→C，故 m＝1，n＝12，所以m1 ＋n1＝3.故选 A.
2018年高考数学(理)二轮复习课件：第3部分+考前增分策略+专题1+4.+数列与不等式
[答案] (1)512 (2)10
(3)求等比数列前 n 项和时，首先要判断公比 q 是否为 1，再由 q 的情况选择 求和公式的形式，当不能判断公比 q 是否为 1 时，要对 q 分 q＝1 和 q≠1 两 种情形讨论求解． [应用 4] 设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S3＋S6＝S9，则数列的公比 q
q≠0)(a1≠0)⇔an＝a1· qn－1.
[应用 2] x＝ ab是 a、x、b 成等比数列的(
) 【导学号：07804176】
A．充分不必要条件 C．充要条件
[解析]
B．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件
若 x＝a＝0，x＝ ab成立，但 a、x、b 不成等比数列， 所以充分性
不成立；反之，若 a、x、b 成等比数列，则 x2＝ab⇔x＝± ab，所以 x＝ ab不 一定成立，必要性不成立．所以选 D.
(2)等差数列的性质 ①an＝am＋(n－m)d； ②当 m＋n＝p＋q 时，则有 am＋an＝ap＋aq，特别地，当 m＋n＝2p 时，则有 am＋an＝2ap. nn－1 d 2 d ③Sn＝na1＋ 2 d＝2n ＋a1－2n 是关于 n 的二次函数且常数项为 0.
④Sn，S2n－Sn，S3n－S2n 成等差数列．
[答案] 1 或－1
3．求数列通项的常见类型及方法 (1)已知数列的前几项，求数列的通项公式，可Fra bibliotek用归纳、猜想法．
[应用 5]
如图 10(1)，将一个边长为 1 的正三角形的每条边三等分，以中间
一段为边向外作正三角形，并擦去中间一段，得到图 10(2)，如此继续下去， 得图 10(3)„„，试探求第 n 个图形的边长 an 和周长 Cn.
2018版高考数学理江苏专用大二轮总复习与增分策略配套课件：专题三 三角函数、解三角形与平面向量 第
押题依据
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专题三 三角函数、解三角形与平面向量
第1讲 三角函数的图象与性质
栏目索引
1 高考真题体验 2 热点分类突破 3 高考押题精练
高考真题体验
1 234
1.(2016·四川改编)为了得到函数 y＝sin2x－π3的图象，只需把函数 y＝sin 2x π
的图象上所有的点向___右___平行移动____6____个单位长度.
由 2x＋π4＝kπ＋π2(k∈Z)，得 x＝k2π＋π8(k∈Z)， 故 y＝f(x)的对称轴方程为 x＝k2π＋π8(k∈Z).
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高考押题精练
1 23
1.已知函数
f(x)＝sinωx＋
π5(x∈R，ω>0)图象的相邻两条对称轴之间的距
离为π2.为了得到函数 g(x)＝cos ωx 的图象，只要将 y＝f(x)的图象向
y＝tan x 的递增区间是(kπ－π2，kπ＋π2)(k∈Z).
2.y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数；
当 φ＝kπ＋π2(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由 ωx＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)求得. y＝Acos(ωx＋φ)，当 φ＝kπ＋π2(k∈Z)时为奇函数； 当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得. y＝Atan(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数.
解析 由题意可知，y＝sin2x－π3＝sin2x－π6， 则只需把 y＝sin 2x 的图象向右平移π6个单位.
解析答案
1 234
2.(2016·课标全国甲改编)若将函数 y＝2sin 2x 的图象向左平移1π2个单位长 度，则平移后图象的对称轴为_x_＝__k2_π_＋__π6_(k_∈__Z_)_. 解析 由题意将函数 y＝2sin 2x 的图象向左平移1π2个单位长度后得到函 数的解析式为 y＝2sin2x＋π6， 由 2x＋π6＝kπ＋π2，k∈Z，得函数的对称轴为 x＝k2π＋π6(k∈Z).
2018版高考数学理江苏专用大二轮总复习与增分策略配套课件：专题三 三角函数、解三角形与平面向量 第
1 234
4.(2016·江 苏 ) 在 锐 角 三 角 形 ABC 中 ， 若 sin A ＝ 2sin Bsin C ， 则tan Atan Btan C的最小值是____8____.
解析
答案
考情考向分析
正弦定理和余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查： 1.边和角的计算； 2.三角形形状的判断； 3.面积的计算； 4.有关的范围问题.由于此内容应用性较强，与实际问题结合起来进行 命题将是今后高考的一个关注点，不可轻视.
解析
答案
(则2)若θ＝f_(x_－)_＝_π3__3_s_in. (x＋θ)－cos(x＋θ)(－π2≤θ≤π2)是定义在 R 上的偶函数， 解析 f(x)＝2sin(x＋θ－π6)， 由题意得 θ－π6＝π2＋kπ(k∈Z)， 因为－π2≤θ≤π2，所以 k＝－1，θ＝－π3.
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热点二 正弦定理、余弦定理
专题三 三角函数、解三角形与平面向量
第2讲 三角变换与解三角形
栏目索引
1 高考真题体验 2 热点分类突破 3 高考押题精练
高考真题体验
1 234
64 1.(2016·课标全国丙改编)若 tan α＝34，则 cos2α＋2sin 2α＝___2_5____.
解析 tan α＝34， 则 cos2α＋2sin 2α＝cocos2sα2α＋＋2ssiinn22αα＝11＋＋4tatann2αα＝6245.
解析答案
(2)求sin A＋sin C的取值范围. 解 由(1)知，C＝π－(A＋B) ＝π－(2A＋π2)＝π2－2A>0，∴A∈(0，π4)， 于是 sin A＋sin C＝sin A＋sin(π2－2A) ＝sin A＋cos 2A＝－2sin2A＋sin A＋1 ＝－2(sin A－14)2＋98， ∵0<A<π4，∴0<sin A< 22， 因此 22<－2(sin A－14)2＋98≤98，
18年高考数学二轮复习第3部分考前增分策略专题2考前“三注意”课件文
2018版高三二轮复习与策略
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2018版高三二轮复习与策略
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下：不要从头到尾按顺序做题．无论是大题还是小题，都要先抢会 做的题，接着抢有门的题，然后才拼有困难的题，最后再抠不会的题．先抢占 有利地势，可以保证在有限的时间内多拿分．
内部文件，请勿外传
3．新题难题解不出来先跳过 调整好考试心态，有的同学碰到不会做或比较新颖的题就很紧张，严重影响了 考试情绪．高考会出现新题，遇到难题或新题时，要学会静下来想一想，如果 暂时还想不出来，跳过去做另一道题，没准下道题目做出来后你已经比较冷静 了，那就再回过头来解答．在近期复习中，抓容易题和中档题，不宜去攻难 题．因为这段时间做难题，容易导致学生心理急躁，自信心丧失．通过每一次 练习、测试的机会，培养自己的应试技巧，提高得分能力．
专题二 考前应试技巧
考前“三注意” 1．考前做“熟题”找感觉 挑选部分有代表性的习题演练一遍，体会如何运用基础知识解决问题，提炼具 有普遍性的解题方法，以不变应万变最重要．掌握数学思想方法可从两方面入 手：一是归纳重要的数学思想方法；二是归纳重要题型的解题方法．还要注意 典型方法的适用范围和使用条件，防止形式套用时导致错误．顺应时间安排： 数学考试安排在下午，故而考生平时复习数学的时间也尽量安排在下午时 段．每天必须坚持做适量的练习，特别是重点和热点题型，保持思维的灵活和 流畅．
2018版高考数学理江苏专用大二轮总复习与增分策略配套课件：专题八 系列4选讲 第3讲 精品
3.圆锥曲线的参数方程
(1)椭圆ax22＋by22＝1
的参数方程为xy＝ ＝abcsions
θ， θ
(θ 为参数).
(2)抛物线 y2＝2px(p>0)的参数方程为xy＝ ＝22pptt2， (t 为参数).
例 2 (2015·福 建 ) 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 圆 C 的 参 数 方 程 为
解析答案
1 23
3.已知曲线
C：yx＝＝3
3cos 3sin θ
θ，
(θ 为参数)，直线 l：ρ(cos θ－
3sin θ)＝12.
(1)将直线l的极坐标方程和曲线C的参数方程分别化为直角坐标方程和 普通方程；
解 依题意可得直线 l 的直角坐标方程为 x－ 3y－12＝0， 曲线 C 的普通方程为2x72 ＋y32＝1.
x＝1＋3cos t， y＝－2＋3sin t
(t 为参数).在极坐标系(与平面直角坐标系 xOy 取相同的长
度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴非负半轴为极轴)中，直线 l 的方程为
2ρsinθ－π4＝m(m∈R). (1)求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程；
解 消去参数t，得到圆C的普通方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝9. 由 2ρsinθ－π4＝m，得 ρsin θ－ρcos θ－m＝0. 所以直线l的直角坐标方程为x－y＋m＝0.
2x＋y－1＝0
中，令
y＝0，得
x＝
2 2.
将
22，0代入
x2＋y2＝a2
得
a＝
22.
思维升华
解析答案
跟踪演练 1 在以 O 为极点的极坐标系中，直线 l 与曲线 C 的极坐标方程 分别是 ρcos(θ＋π4)＝3 2和 ρsin2θ＝8cos θ，直线 l 与曲线 C 交于点 A，B， 求线段 AB 的长.
18版高考数学二轮复习第3部分考前增分策略专题1考前教材重温2函数与导数教学案理180306398
2.函数与导数■要点重温…………………………………………………………………………· 1．几种常规函数：(1)一次函数：f (x )＝ax ＋b (a ≠0)．当b ＝0时，f (x )为奇函数．[应用1] 若一次函数y ＝f (x )在区间[－1,2]上的最大值为3，最小值为1，则f (x )的解析式为________．[答案] f (x )＝23x ＋53，或f (x )＝－23x ＋73.(2)二次函数：①一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)； ②顶点式：f (x )＝a (x －h )2＋k (a ≠0)； ③零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)；④区间最值：一看开口方向，二看对称轴与所给区间的相对位置关系．[应用2] 若函数y ＝12x 2－2x ＋4的定义域、值域都是[2,2b ]，则b ＝________.【导学号：07804160】[答案] 2[应用3] 设函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋1在区间(－∞，4)上是减函数，则a 的取值范围是________． [答案] a ≤－3(3)三次函数的解析式的两种形式： ①一般式：f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)； ②零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(x －x 3)(a ≠0)．[应用4] 已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图2，则b 的取值范围是________．图2[答案] b ＜0[应用5] 若函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋3既有极大值又有极小值，则a 的取值范围为________． [答案] a >2或a <－1(4)反比例函数：y ＝cx(x ≠0)平移⇒y ＝a ＋cx －b(x ≠0)(中心为(b ，a ))．(5)分段函数：分段处理，有时结合函数图象来研究问题．[应用6] 已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x <1，－x －2a ，x ≥1.，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a ＝________. [解析] 当a ＜0时，－(1－a )－2a ＝2(1＋a )＋a ，a ＝－34；当a ＞0时，－(1＋a )－2a ＝2(1－a )＋a ，a ＝－32(舍)；综上可知a ＝－34.[答案] －34[应用7] 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x －，x ≥2，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－1，x <2， 若f (x 0)>1，则x 0的取值范围是________.【导学号：07804161】[答案] (－∞，－1)∪(3，＋∞) [应用8] 已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2a x －2a ＋2，x <1log a x ，x ≥1是(－∞，＋∞)上的增函数，那么a 的取值范围是_______．[答案] ⎣⎢⎡⎭⎪⎫54，32(6)指数函数、对数函数 ①指数与对数的关系：a b ＝N ⇔log a N ＝b (a >0，a ≠1，N >0) ，换底公式log a b ＝log c blog c a； ②对数的运算法则：log a M ＋log a N ＝log a MN ；log a M －log a N ＝log a M N；③解对数函数问题时，注意到真数与底数的限制条件(真数大于0，底数大于0且不等于1)；④字母底数范围不明确时需分类讨论．[应用9] 2log 32－log 3329＋log 38－5log 53＝________.[答案] －1[应用10] 已知函数f (x ) ＝log a (x ＋1)的定义域和值域都是[0,1]，则实数a 的值是________． [答案] 2[应用11] 设a ＞0，a ≠1，函数f (x )＝ax 2＋x ＋1有最大值，则不等式log a (x －1)＞0的解集为________．[解析] 因为x 2＋x ＋1有最小值，函数f (x )＝ax 2＋x ＋1有最大值，所以0＜a ＜1，所以log a (x －1)＞0＝log a 1⇔0＜x －1＜1，解得1＜x ＜2. [答案] (1,2)(7)对勾函数： f (x )＝x ＋a x①函数f (x )是奇函数；②单调性： a ＜0时，区间(－∞，0)，(0，＋∞)上为增函数； a ＞0时，在(0，a ]，[－a ，0)递减，在(－∞，－a ]，[a ，＋∞)递增；③在[c ，d ]上的最值：当等号能取到时，利用基本不等式求解；当等号不能取到时，利用单调性．[应用12] 已知a ＞0，求函数y ＝x 2＋a ＋1x 2＋a的最小值．[答案] 0＜a ≤1时，y min ＝2；a ＞1时，y min ＝a ＋1a2．函数图象的几种常见变换(1)平移变换：左右平移——“左加右减”(注意是针对x 而言)；上下平移——“上加下减”．(2)翻折变换：f (x )→|f (x )|；f (x )→f (|x |)． (3)对称变换：①函数y ＝f (x )与y ＝－f (－x )的图象关于原点成中心对称；②函数y ＝f (x )与y ＝f (－x )的图象关于直线x ＝0 (y 轴)对称；函数y ＝f (x )与函数y ＝－f (x )的图象关于直线y ＝0(x 轴)对称．[应用13] 已知函数f (x )＝e|ln x |－⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1x ，则函数y ＝f (x ＋1)的大致图象为( )[解析] ∵f (x )＝e |ln x |－⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，1x，x ≥1，又y ＝f (x ＋1)的图象可由y ＝f (x )向左平移1个单位得到， 所以结合选项可知A 正确． [答案] A 3．函数的常用性质研究函数的性质时，树立定义域优先的原则． (1)函数的单调性与最值①判断函数单调性的常用方法：定义法、图象法、导数法、复合函数法；②求函数最值(值域) 的常用方法：单调性法、图象法、基本不等式法、导数法、有界函数法．[应用14] 已知y ＝log a (2－ax )在[0,1]上是x 的减函数，则a 的范围为________． [答案] (1,2)[应用15] 函数f (x )＝e x－x ＋1(e 为自然对数的底数)在区间[－1,1]上的最大值是________． [答案] e (2)函数的对称性①轴对称：若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (b －x )，则图象关于x ＝a ＋b2对称. 特别地，若f (x )为偶函数，则f (－x )＝f (x )＝f (|x |)．②中心对称：若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＋f (a －x )＝0，则图象关于(a,0)成中心对称. 特别地，若f (x )为奇函数，则f (－x )＝－f (x )． [应用16]f (x )＝(1＋x ) 1－x1＋x是________函数(填“奇”“偶”或“非奇非偶”)．[答案] 非奇非偶[应用17] 函数f (x )＝12－x 的图象与函数g (x )＝2sin π2x (0≤x ≤4)的图象的所有交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，则f (y 1＋y 2＋…＋y n )＋g (x 1＋x 2＋…＋x n )＝________.【导学号：07804162】[解析] 如图，画出函数f (x )和g (x )的图象，可知有4个交点，并且关于点(2,0)对称，所以y 1＋y 2＋y 3＋y 4＝0，x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝8，所以f (y 1＋y 2＋y 3＋y 4)＋g (x 1＋x 2＋x 3＋x 4)＝f (0)＋g (8)＝12＋0＝12.[答案] 12(3)函数的周期性①f (x )＝f (x ＋a )(a >0)，则f (x )的周期T ＝a ； ②f (x ＋a )＝1f x(f (x )≠0)或f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )的周期T ＝2a ；③f (a ＋x )＝f (x ＋b )，则周期T ＝|a －b |.[应用18] 设f (x )是定义在R 上的周期为3的函数，当x ∈[－2,1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x 2－2，－2≤x ≤0，x ，0<x <1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝________.[答案] －1 (4)函数的零点函数y ＝f (x )的零点就是方程f (x )＝0的实数根，求f (x )＝g (x )根的个数时，可在同一坐标系中作出函数y ＝f (x )和y ＝g (x )的图象，看它们交点的个数；求方程根(函数零点)的范围，可利用图象观察或零点存在性定理．[应用19] 定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )＋1，且x ∈[0,1]时，f (x )＝4x，x ∈(1,2)时，f (x )＝f x，令g (x )＝2f (x )－x －4，x ∈[－6,2]，则函数g (x )的零点个数为( )A ．6B ．7C ．8D ．9[解析] ∵x ∈[0,1]时，f (x )＝4x，∴f (1)＝4， ∴x ∈(1,2)时，f (x )＝f x＝4x，∵g (x )＝2f (x )－x －4，x ∈[－6,2]， 令g (x )＝2f (x )－x －4＝0，即f (x )＝12x ＋2.∵函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )＋1，即自变量x 每增加2个单位，函数图象向上平移1个单位，自变量每减少2个单位，函数图象向下平移1个单位，分别画出函数y ＝f (x )在x ∈[－6,2]，y ＝12x ＋2的图象，∴y ＝f (x )在x ∈[－6,2]，y ＝12x ＋2有8个交点，故函数g (x )的零点个数为8个．故选C. [答案] C[应用20] 已知定义在R 上的函数f (x )满足：(1)f (x )＋f (2－x )＝0，(2)f (x －2)＝f (－x )，(3)在[－1,1]上表达式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2x ∈[－1，0]cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x x ，1]，则函数f (x )与函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2xx ≤01－x x >0的图象在区间[－3,3]上的交点个数为( )A ．5B ．6C ．7D ．8[解析] 由(1)f (x )＋f (2－x )＝0可得f (x )关于(1,0)对称，(2)f (x －2)＝f (－x )可得f (x )关于直线x ＝－1对称，作出示意图， 知函数f (x )与函数g (x )有6个交点．][答案] B4．导数在研究函数性质中的应用(1)导数几何意义：k ＝f ′(x 0)表示曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处切线的斜率．注意过某点的切线(即使点在曲线上)不一定只有一条．[应用21] 过曲线y ＝x 3－2x 上的点(1，－1)的切线方程为________． [解析] 设P (x 0，y 0)为切点，则切线的斜率为y ′|x ＝x 0 ＝3x 20－2. ∴切线方程为y －y 0＝(3x 20－2)(x －x 0)，即y －(x 30－2x 0)＝(3x 20－2)(x －x 0)． 又知切线过点(1，－1)，把它代入上述方程，得－1－(x 30－2x 0)＝(3x 20－2)(1－x 0)， 整理，得(x 0－1)2(2x 0＋1)＝0， 解得x 0＝1，或x 0＝－12.故所求切线方程为y －(1－2)＝(3－2)(x －1)，或y －(－18＋1)＝(34－2)(x ＋12)，即x －y －2＝0，或5x ＋4y －1＝0. [答案] x －y －2＝0 或5x ＋4y －1＝0 (2)求函数单调性的步骤：明确函数y ＝f (x )的定义域⇒求导数⇒解不等式f ′(x )>0得增区间(解不等式f ′(x )<0得减区间)．[应用22] 函数f (x )＝1x ln x(x >0且x ≠1)在________上是减函数，在________上是增函数.【导学号：07804163】[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞ ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e[应用23] 已知函数f (x )＝12x 2＋2ax －ln x ，若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2上是增函数，则实数a 的取值范围为________．[解析] 由题意知f ′(x )＝x ＋2a －1x ≥0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2上恒成立，即2a ≥－x ＋1x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2上恒成立，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋1x max ＝83， 所以2a ≥83，即a ≥43.[答案] ⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞ (3)求函数极值、最值的步骤：①求导；②变形；③求解；④列表；⑤作答． 特别提醒：①导数为零的点并不一定是极值点， f ′(x 0)＝0是x 0为极值点的必要不充分条件； ②给出函数极大(小)值的条件，既要考虑f ′(x 0)＝0，又要考虑检验“左正右负”(或“左负右正”)．[应用24] 函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极小值10，则a ＋b 的值为________．[解析] f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，由x ＝1时，函数取得极值10，得⎩⎪⎨⎪⎧f＝3＋2a ＋b ＝0， ①f ＝1＋a ＋b ＋a 2＝10， ②联立①②得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－11，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3b ＝3.当a ＝4，b ＝－11时， f ′(x )＝3x 2＋8x －11＝(3x ＋11)(x －1)在x ＝1两侧的符号相反，符合题意．当a ＝－3，b ＝3时， f ′(x )＝3(x －1)2在x ＝1两侧的符号相同，所以a ＝－3，b ＝3不符合题意，舍去．综上可知a ＝4，b ＝－11，∴a ＋b ＝－7. [答案] －7(4)利用导数解决不等式问题的思想①证明不等式f (x )<g (x )，可构造函数h (x )＝f (x )－g (x )，再证明h (x )max <0. ②不等式恒成立问题可利用分离参数法或直接求含参数的函数的最值．[应用25] 设函数f (x )是定义在(0，＋∞)上的可导函数，其导函数为f ′(x )，且有2f (x )＋xf ′(x )>x 2，则不等式(x －2 017)2f (x －2 017)－4f (2)>0的解集为( ) A ．(2 014，＋∞) B ．(0,2 014) C ．(0,2 019)D ．(2 019，＋∞)[解析] 由2f (x )＋xf ′(x )>x 2且x >0，得2xf (x )＋x 2f ′(x )>x 3>0.令g (x )＝x 2f (x )(x >0)，则g ′(x )＝2xf (x )＋x 2f ′(x )>0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递增．因为g (2)＝4f (2)，g (x －2 017)＝(x －2 017)2f (x －2 017)，所以不等式(x －2 017)2f (x －2 017)－4f (2)>0等价于g (x －2 017)>g (2)，所以x －2 017>2，解得x >2 019，故选D.] [答案] D■查缺补漏…………………………………………………………………………· 1．下列函数中，既是偶函数又在区间(1,2)内单调递减的是( )【导学号：07804164】A ．f (x )＝－xB ．f (x )＝1x2C ．f (x )＝2x＋2－xD ．f (x )＝－cos xB [对于A ，偶函数与单调递减均不满足；对于B ，符合题意；对于C ，不满足单调递减；对于D ，不满足单调递减，故选B.]2．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ≥1，f x ，0<x <1，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1232的值是( ) A ．－1 B ．1 C ．12D ．－12C [∵⎝ ⎛⎭⎪⎫1232<1，∴f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1232＝f (2-12)， 又2－12<1，∴f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1232＝f (2-12) ＝f (212)＝log 2212＝12.]3．由曲线xy ＝1，直线y ＝x ，y ＝3所围成的平面图形的面积为( )A.329B ．2－ln 3C ．4＋ln 3D ．4－ln 3D [由曲线xy ＝1，直线y ＝x ，y ＝3所围成的平面图形如下图中的阴影部分所示：其中A ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，3，B (1,1)，C (3,3)，所以阴影部分的面积S ＝⎠⎛13⎝ ⎛⎭⎪⎫y －1y d y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12y 2－ln y ⎪⎪⎪31＝4－ln 3，故选D.]4．函数y ＝2xsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋6x 4x－1的图象大致为( )A B C DD [y ＝f (x )＝2xsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋6x 4x －1＝2x cos 6x4x －1，f (－x )＝2－x －6x 4－x －1＝2xcos6x 1－4x ＝－f (x )是奇函数，排除A ，又在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π12上，f (x )>0，排除B ，当x →＋∞时，f (x )→0，排除C ，故选D.]5．当0<x ≤12时，4x<log a x ，则a 的取值范围是( )【导学号：07804165】A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 B ．⎝⎛⎭⎪⎫22，1 C ．(1，2) D ．(2，2)B [当0<a <1时，y ＝log a x 是减函数，在0<x ≤12内它的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫log a 12，＋∞，而y＝4x 的值域为(1,2]，所以此时有2<log a 12⇔log a a 2<log a 12，∴a 2>12，解得22<a <1；当a >1时，y ＝log a x 是增函数，在0<x ≤12内它的值域为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，log a 12，而y ＝4x 的值域为(1,2]，所以此时有log a 12<log a 1＝0，显然不符合题意，综上22<a <1.]6．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f ⎝⎛⎭⎪⎫x －32＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋12恒成立，当x ∈[2,3]时，f (x )＝x ，则当x ∈(－2,0)时，f (x )＝( ) A ．2＋|x ＋1| B ．3－|x ＋1| C ．|x －2|D ．x ＋4B [∵∀x ∈R ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，∴f (x ＋1)＝f (x －1)，f (x ＋2)＝f (x )，即f (x )是最小正周期为2的函数．令0≤x ≤1，则2≤x ＋2≤3，当x ∈[2,3]时，f (x )＝x ， ∴f (x ＋2)＝x ＋2， ∴f (x )＝x ＋2，x ∈[0,1]， ∵f (x )是定义在R 上的偶函数， ∴f (x )＝－x ＋2，x ∈[－1,0]， 令－2≤x ≤－1， 则0≤x ＋2≤1，∵f (x )＝x ＋2，x ∈[0,1]， ∴f (x ＋2)＝x ＋4，∴f (x )＝x ＋4，x ∈[－2，－1]，当－2<x <0时，函数的解析式为：f (x )＝3－|x ＋1|.]7．中国传统文化中很多内容体现了数学的对称美，如图3所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分展现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美，给出定义：能够将圆O 的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数”，给出下列命题：图3①对于任意一个圆O ，其“优美函数“有无数个”；②函数f (x )＝ln(x 2＋x 2＋1)可以是某个圆的“优美函数”； ③正弦函数y ＝sin x 可以同时是无数个圆的“优美函数”；④函数y ＝f (x )是“优美函数”的充要条件为函数y ＝f (x )的图象是中心对称图形. 其中正确的命题是：( )A ．①③B ．①③④C ．②③D ．①④A [对于①，过圆心的任一直线都可以满足要求，所以正确； 对于②，可以做出其图象，故不能是某圆的优美函数；对于③，只需将圆的圆心放在正弦函数的图象的对称中心上即可，所以正弦函数是无数个圆的优美函数；对于④，函数是中心对称图形时，函数是优美函数，但是优美函数不一定是中心对称，如图所示：故选A.]8．已知y ＝f (x )是定义在R 上的可导函数，当x ≠0时，f ′(x )＋f xx>0，则关于x 的函数g (x )＝f (x )＋1x的零点个数为( )A ．1B ．2C ．0D ．0或2C [因为函数g (x )＝f (x )＋1x，可得x ≠0，所以g (x )的零点跟xg (x )的非零零点是完全一样的， 故我们考虑xg (x )＝xf (x )＋1的零点， 由于当x ≠0时，f ′(x )＋f xx>0， ①当x >0时，(xg (x ))′＝(xf (x ))′＝xf ′(x )＋f (x )＝x ⎝⎛⎭⎪⎫fx ＋f x x >0，∴在(0，＋∞)上，函数xg (x )单调递增．又f (x )在R 上可导，∴当x ∈(0，＋∞)时，函数xg (x )＝xf (x )＋1>1恒成立，因此，在(0，＋∞)上，函数xg (x )＝xf (x )＋1没有零点．②当x <0时，因为(xg (x ))′＝(xf (x ))′＝xf ′(x )＋f (x )＝x ⎝⎛⎭⎪⎫fx ＋f x x <0，故函数xg (x )在(－∞，0)上是递减函数，函数xg (x )＝xf (x )＋1>1恒成立，故函数xg (x )在(－∞，0)上无零点．综上得，函数g (x )＝f (x )＋1x在R 上的零点个数为0.]9．若函数f (x )＝ln(x 2＋ax ＋1)是偶函数，则实数a 的值为________.【导学号：07804166】0 [由题意知，f (x )＝ln(x 2＋ax ＋1)为偶函数，即ln(x 2－ax ＋1)＝ln(x 2＋ax ＋1)，即x 2－ax ＋1＝x 2＋ax ＋1，显然a ＝0.] 10．若偶函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，f (3)＝3，则f (－1)＝________.3 [因为f (x )的图象关于直线x ＝2对称，所以f (x )＝f (4－x )，f (－x )＝f (4＋x )，又f (－x )＝f (x )， 所以f (x )＝f (4＋x )，则f (－1)＝f (4－1)＝f (3)＝3.]11．若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f (2)＝0，则使得f (x )<0的x 的取值范围是________． (－2,2) [因为f (x )是偶函数， 所以f (－x )＝f (x )＝f (|x |)．因为f (x )<0，f (2)＝0.所以f (|x |)<f (2)． 又因为f (x )在(－∞，0]上是减函数， 所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数， 所以|x |<2，所以－2<x <2.]12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋a ，x ≥0，x 2－ax ，x <0.若f (x )的最小值是a ，则a ＝________.－4 [若a ≥0，函数的值域为(0，＋∞)，不符合题意；若a <0，则函数的最小值为1＋a 或－a 24.所以1＋a ＝a 或－a 24＝a ，解得a ＝－4.] 13．已知函数f (x )＝x 3＋x ，函数g (x )满足g (x )＋g (2－x )＝0，若函数h (x )＝g (x )－f (x －1)有10个零点，则所有零点之和为________．10 [易知函数f (x )为奇函数，其对称中心为(0,0)，所以函数y ＝f (x －1)的对称中心为(1,0)．由函数g (x )满足g (x )＋g (2－x )＝0，知函数g (x )的对称中心为(1,0)，函数h (x )＝g (x )－f (x －1)有10个零点， 即函数y ＝g (x )与y ＝f (x －1)有10个交点，并且(1,0)对称，所以函数h (x )＝g (x )－f (x －1)有10个零点，则所有零点之和为10.]14．已知函数f (x )＝a x ＋x a －⎝⎛⎭⎪⎫a －1a ln x (a >0)．(1)求函数f (x )的单调区间和极值；(2)证明：当a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2时，函数f (x )没有零点(提示：ln 2≈0.69) [解] (1)因为f (x )＝a x ＋x a －⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a ln x ＝1a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋a 2x －a 2－x ，所以f ′(x )＝x ＋x －a 2ax 2.因为x >0，所以当x ∈(0，a 2)时，f ′(x )<0，当x ∈(a 2，＋∞)时，f ′(x )>0. 所以，函数f (x )的单调递增区间为(a 2，＋∞)，单调递减区间为(0，a 2). 当x ＝a 2时，f (x )取得极小值f (a 2)＝1a[a 2＋1－(a 2－1)ln a 2]．(2)证明：由(1)可知：当x ＝a 2时，f (x )取得极小值，亦即最小值．f (a 2)＝1a[a 2＋1－(a 2－1)ln a 2]，又因为12≤a ≤2，所以14≤a 2≤4.设g (x )＝x ＋1－(x －1)ln x ⎝ ⎛⎭⎪⎫14≤x ≤4，则g ′(x )＝1x －ln x ，因为g ′(x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，4上单调递减，且g ′(1)>0，g ′(2)<0，所以g ′(x )有唯一的零点m ∈(1,2)，使得g (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，m 上单调递增，在(m,4]上单调递减，又由于g ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝5－6ln24>0，g (4)＝5－6ln 2>0,所以g (x )>0恒成立．从而f (a 2)＝1a[a 2＋1－(a 2－1)ln a 2]>0恒成立，则f (x )>0恒成立．所以当a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2时，函数f (x )没有零点. 15．设函数f (x )＝4ln x －12ax 2＋(4－a )x (a ∈R )．(1)讨论f (x )的单调性；(2)若函数f (x )存在极值，对于任意的0<x 1<x 2，存在正实数x 0，使得f (x 1)－f (x 2)＝f ′(x 0)·(x 1－x 2)，试判断x 1＋x 2与2x 0的大小关系并给出证明.【导学号：07804167】[解] (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝4x－ax ＋(4－a )＝－x ＋ax －x.当a ≤0时，则f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增．当a >0时，则由f ′(x )＝0得，x ＝4a，x ＝－1(舍去)．当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，4a 时，f ′(x )>0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫4a，＋∞时，f ′(x )<0.所以f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，4a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ，＋∞上单调递减．综上所述，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增．当a >0时，f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，4a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ，＋∞上单调递减.(2)由(1)知，当a >0时，f (x )存在极值．f (x 1)－f (x 2)＝4(ln x 1－ln x 2)－12a (x 21－x 22)＋(4－a )(x 1－x 2)＝4(ln x 1－ln x 2)－12a (x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋(4－a )(x 1－x 2)． 由题设得f ′(x 0)＝f x 1－f x 2x 1－x 2＝x 1－ln x 2x 1－x 2－12a (x 1＋x 2)＋(4－a )．又f ′⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＝8x 1＋x 2－a ·x 1＋x 22＋4－a ，所以f ′(x 0)－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＝x 1－ln x 2x 1－x 2－8x 1＋x 2＝4x 2－x 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2－ln x 1－x 2－x 1x 2＋x 1＝4x 2－x 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤ln x 2x1－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1－1x 2x 1＋1. 设t ＝x 2x 1，则t >1，则ln x 2x 1－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1－1x 2x 1＋1＝ln t －t －t ＋1(t >1)．令g (t )＝ln t －t －t ＋1(t >1)，则g ′(t )＝t －2t t ＋2>0，所以g (t )在(1，＋∞)上单调递增，所以g (t )>g (1)＝0，故ln x 2x 1－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1－1x 2x 1＋1>0.又因为x 2－x 1>0，因此f ′(x 0)－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22>0，即f ′⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22<f ′(x 0)．又由f ′(x )＝4x －ax ＋(4－a )知f ′(x )在(0，＋∞)上单调递减，所以x 1＋x 22>x 0，即x 1＋x 2>2x 0.。
2018年高考数学(理)二轮复习课件：考前增分策略 立体几何 (63张ppt)
[应用 5]
已知三棱锥 ABCD 内接于球 O，且 BC＝BD＝CD＝2 3，若三棱 ) 【导学号：07804185】
锥 ABCD 体积的最大值为 4 3，则球 O 的表面积为(
A．16π C．36π
B．25π D．64π
1 1 3 2 [解析] 如图， 当三棱锥的体积最大值为 4 3， 即3×2×(2 3) × 2 ×h＝4 3， 解得 h＝4，点 A 在如图所示的位置时，三棱锥的体积最大，即 AO′＝4，并 3 且在如图所示的三角形中， OA＝OC＝R， OO′＝ห้องสมุดไป่ตู้－R， O′C＝2 3× 3 ＝2， 所以在直角三角形 OO′C 中，R2＝(4－R)2＋22， 5 解得 R＝2，球的表面积为 S＝4πR2＝25π，故选 B.
[答案]
B
4．空间平行问题的转化关系
平行问题的核心是线线平行，证明线线平行的常用方法有：三角形的中位线、 平行线分线段成比例(三角形相似)、平行四边形等．
[应用 6]
下列命题正确的序号是________．
(1)如果 a，b 是两条直线，且 a∥b，那么 a 平行于经过 b 的任何平面． (2)如果直线 a 和平面 α 满足 a∥α，那么 a 与 α 内的任何直线平行． (3)如果直线 a，b 和平面 α 满足 a∥α，b∥α，那么 a∥b. (4)如果直线 a，b 和平面 α 满足 a∥b，a∥α，b⊄α，那么 b∥α.
[应用 4]
一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切， 已知这个球 )
32π 的体积是 3 ，那么这个三棱柱的体积是( A．96 3 C．24 3 B．16 3 D．48 3
4 3 32π [解析] 如图，设球的半径为 R，由3πR ＝ 3 ，得 R＝2.