自然科学可逆矩阵
【国家自然科学基金】_可逆矩阵_基金支持热词逐年推荐_【万方软件创新助手】_20140801
2012年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47
科研热词 推荐指数 循环矩阵 2 零填充正交频分复用系统 1 自适应控制 1 自由漂浮空间机器人 1 脑电信号 1 群逆 1 群对合矩阵 1 组合 1 笛卡儿空间 1 离散余弦变换 1 相关运算 1 盲源分离 1 盲信号分离 1 癫痫 1 特征提取 1 水声通信 1 欠定混合 1 有限域 1 无损编码 1 扩散结构 1 广义相关系数 1 对合矩阵 1 密码学 1 失谐腔 1 基本三角可逆矩阵 1 块时间递归并行格型结构 1 块循环矩阵 1 图像加密 1 回声状态网络 1 后非线性混叠 1 可逆 1 单行基本可逆矩阵 1 力光系统 1 前置非线性(prenl) 1 分组密码 1 分支数 1 准循环低密度奇偶校验码 1 冷却 1 关节空间 1 光声转移 1 信道编码 1 互信息 1 三次幂等矩阵 1 u-正交变换 1 lyapunov方法 1 gabor分析窗 1 0-1矩阵 1
amold置乱 a-wey1定理 8位可逆乘法器
1 1 1
2013年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42
可逆矩阵教案
可逆矩阵教案第一篇：可逆矩阵教案§1.4 可逆矩阵★ 教学内容：1.2.3.4.★ 教学课时：100分钟/2课时。
★ 教学目的：通过本节的学习，使学生1.理解可逆矩阵的概念；2.掌握利用行列式判定矩阵可逆以及利用转置伴随矩阵求矩阵的逆的方法；3.熟悉可逆矩阵的有关性质。
★ 教学重点和难点：本节重点在于使学生了解什么是可逆矩阵、如何判定可逆矩阵及利用转置伴随矩阵求逆的方法；难点在于转置伴随矩阵概念的理解。
可逆矩阵的概念；可逆矩阵的判定；利用转置伴随矩阵求矩阵的逆；可逆矩阵的性质。
★ 教学设计：一可逆矩阵的概念。
1.引入：利用数字乘法中的倒数引入矩阵的逆的概念。
2.定义1.4.1（可逆矩阵）对于矩阵A，如果存在矩阵B，使得AB=BA=E则称A为可逆矩阵，简称A可逆，并称B为A的逆矩阵，或A的逆，记为A。
3.可逆矩阵的例子：（1）例1 单位矩阵是可逆矩阵；（2）例2 A=-1⎛10⎫⎛10⎫，B=⎪⎪，则A可逆；11-11⎝⎭⎝⎭⎛100⎫⎪（3）例3 对角矩阵A=020⎪可逆；003⎪⎝⎭⎛111⎫⎛1-10⎫⎪⎪（4）例4 A=011⎪，B=01-1⎪，则A可逆。
001⎪001⎪⎝⎭⎝⎭4.可逆矩阵的特点：（1）可逆矩阵A都是方阵；（2）可逆矩阵A的逆唯一，且A和A是同阶方阵；-1（3）可逆矩阵A的逆A也是可逆矩阵，并且A和A互为逆矩阵；（4）若A、B为方阵，则AB=E⇒A=B。
二可逆矩阵的判定及转置伴随矩阵求逆1.方阵不可逆的例子：-1-1-1⎛11⎫例5 A=⎪不可逆；00⎝⎭例6 A=⎛12⎫⎪不可逆；⎝24⎭2.利用定义判定矩阵可逆及求逆的方法：（1）说明利用定义判定及求逆的方法，（2）说明这种方法的缺陷； 3.转置伴随矩阵求逆（1）引入转置伴随矩阵1）回顾行列式按一行一列展开公式及推论ai1As1+ai2As2+⎧D,i=s(i=1,2,n,，)+ainAsn=⎨0,i≠s⎩⎧D,j=t(j=1,2,+anjAnt=⎨⎩0,j≠tA21A2 2A2nAn1⎫⎛A⎪An2⎪0=⎪⎪Ann⎭⎝00A0,n)； a1jA1t+a2jA2t+ 2）写成矩阵乘法的形式有：⎛a11 a21 ⎝an1a12a22an2a1n⎫⎛A11⎪a2n⎪A12⎪⎪ann⎭⎝A1n 0⎫⎪0⎪=AE ⎪⎪A⎪⎭3）定义1.4.2（转置伴随矩阵）设Aij式是A=(aij)n⨯n的行列式中aij的代数余子式，则⎛A11 A*A=12 ⎝A1n称为A的转置伴随矩阵。
可逆矩阵
解
经计算易得
所以
不可逆； 不可逆；
①
当
有为零的数时， 不可逆； 有为零的数时， 不可逆； 均不为零时， 可逆， 均不为零时， 可逆，据矩阵
② 当
的特点， 乘法的定义和矩阵 的特点，作 3 阶矩阵
则
10
， 所以
2010年秋季四川大学邓传现 2010年秋季四川大学邓传现
.
由于 ① 当
所以， ， 所以， 不可逆； 时， 不可逆； 可逆， 时， 可逆，
是可逆矩阵， 的逆矩阵唯一. 命题 若 是可逆矩阵，则 的逆矩阵唯一 若 均是 的逆矩阵，则 的逆矩阵，
可逆， 提醒 若 可逆，记其唯一的逆矩阵为
2
2010年秋季四川大学邓传现 2010年秋季四川大学邓传现
矩阵可逆的充要条件 定理 设 为 阶方阵 ，则 可逆
可逆时， 当 可逆时， 可逆， 证明 必要性 因 可逆，故存在 使得 故
证明 因
由前面定理推论 知
可逆且
推论 若 们的乘积
均为同阶可逆方阵， 均为同阶可逆方阵，则它 也可逆且
6
2010年秋季四川大学邓传现 2010年秋季四川大学邓传现
可逆矩阵的性质 性质4 性质4 若 均为可逆方阵， 均为可逆方阵，那么
也可逆且
注记
由性质4显然可得可逆对角矩阵的逆矩阵. 性质4显然可得可逆对角矩阵的逆矩阵
例题
设矩阵 其中
满足
求
解答 可逆 显然可见 可逆且 故
20
2010年秋季四川大学邓传现 2010年秋季四川大阵法求阶数较高 的矩阵的可逆矩阵是不现实的. 的矩阵的可逆矩阵是不现实的 伴随矩阵法主要用于理论推导和求 低阶矩阵以及特殊矩阵的逆矩阵. 低阶矩阵以及特殊矩阵的逆矩阵 但从伴随矩阵法可见， 但从伴随矩阵法可见，逆矩阵和伴随 矩阵关系紧密. 所以， 矩阵关系紧密 所以，我们来研究研 究伴随矩阵的性质. 究伴随矩阵的性质
可逆矩阵知识点总结
可逆矩阵知识点总结一、可逆矩阵的定义1. 定义阐述- 设A为n阶方阵，如果存在n阶方阵B，使得AB = BA=E（E为n阶单位矩阵），则称矩阵A是可逆的，并称B是A的逆矩阵，记作B = A^-1。
例如，对于二阶矩阵A=begin{pmatrix}a&bc&dend{pmatrix}，若ad - bc≠0，则A可逆，其逆矩阵A^-1=(1)/(ad - bc)begin{pmatrix}d& - b-c&aend{pmatrix}。
2. 可逆矩阵的唯一性- 若矩阵A可逆，则A的逆矩阵是唯一的。
假设B和C都是A的逆矩阵，那么AB = BA = E且AC=CA = E。
由B = BE=B(AC)=(BA)C = EC = C，可证得逆矩阵的唯一性。
二、可逆矩阵的性质1. 基本性质- 若A可逆，则A^-1也可逆，且(A^-1)^-1=A。
因为A与A^-1满足AA^-1=A^-1A = E，所以A^-1的逆矩阵就是A。
- 若A、B为同阶可逆矩阵，则AB也可逆，且(AB)^-1=B^-1A^-1。
证明如下：(AB)(B^-1A^-1) = A(BB^-1)A^-1=AEA^-1=AA^-1=E，同理(B^-1A^-1)(AB)=E。
- 若A可逆，k≠0为常数，则kA可逆，且(kA)^-1=(1)/(k)A^-1。
因为(kA)((1)/(k)A^-1)=k×(1)/(k)(AA^-1) = E，同理((1)/(k)A^-1)(kA)=E。
2. 与行列式的关系- 矩阵A可逆的充要条件是| A|≠0。
当| A| = 0时，称A为奇异矩阵；当| A|≠0时，称A为非奇异矩阵。
例如，对于三阶矩阵A=begin{pmatrix}1&2&34&5&67&8&9end{pmatrix}，计算其行列式| A|=0，所以A不可逆；而对于矩阵B=begin{pmatrix}1&0&00&2&00&0&3end{pmatrix}，| B| = 6≠0，则B可逆。
可逆矩阵知识点总结
可逆矩阵知识点总结一、可逆矩阵的定义可逆矩阵是指一个方阵A，如果存在另一个方阵B，使得AB=BA=I，其中I为单位矩阵，那么我们称A是可逆的，B就是A的逆矩阵，记作A^-1。
换句话说，如果一个n阶方阵A的行列式det(A)不等于零，则该矩阵A是可逆的，即存在一个n阶矩阵B，使得AB=BA=I。
我们知道，单位矩阵I是一个对角线上元素均为1，其余元素均为0的n阶方阵。
二、可逆矩阵的性质1. 可逆矩阵的逆矩阵是唯一的在可逆矩阵中，如果存在逆矩阵B，那么逆矩阵是唯一的。
这是因为假设还有一个逆矩阵B'也满足AB'=B'A=I，那么可以证明B=B'。
这个性质在证明逆矩阵的存在时非常重要。
2. 可逆矩阵的转置矩阵也是可逆的如果一个矩阵A是可逆的，那么它的转置矩阵A^T也是可逆的，并且(A^T)^-1 = (A^-1)^T。
3. 可逆矩阵的逆矩阵也是可逆的如果一个矩阵A是可逆的，那么它的逆矩阵A^-1也是可逆的，而且(A^-1)^-1=A。
4. 可逆矩阵的乘积是可逆的如果两个矩阵A和B都是可逆的，那么它们的乘积AB也是可逆的，且(AB)^-1=B^-1A^-1。
5. 可逆矩阵的逆矩阵的逆矩阵还是它本身如果一个矩阵A是可逆的，那么它的逆矩阵A^-1的逆矩阵还是它本身，即(A^-1)^-1=A。
6. 可逆矩阵的乘法满足结合律如果三个矩阵A、B、C都是可逆的，那么它们的乘法满足结合律，即(AB)C=A(BC)。
三、可逆矩阵的判定定理在求解一个矩阵是否可逆时，我们需要有一个判定的定理，这就是可逆矩阵的判定定理。
1. 矩阵可逆的判定公式对于一个n阶方阵A，它的行列式不等于0，即det(A)≠0，则矩阵A可逆。
这是最基本的判定定理，也是我们最常用的方法。
2. 矩阵可逆的充分必要条件对于一个n阶方阵A，它的行列式不等于0，则矩阵A可逆。
反之，如果一个n阶方阵A可逆，则其行列式也不等于0。
3. 矩阵可逆的另一种判定法对于一个n阶方阵A，如果它的秩等于n，则矩阵A可逆。
可逆矩阵
(A )A (A A) I I ,
1 1
(A) (A ).
1 1
性质4
1 1 ( kA ) A ; k
1
高 等 代 数
1 ; 性质5 |A | |A|
1
A、B都是3阶矩阵，若 A 3, B 2 则
(3 A) 1 _______, BA2 B 1 _______
A21 A22 A2 n a12 a22 an 2
An1 An 2 Ann
a1n a2 n ann
高 等 代 数
例1:判断下列矩阵是否可逆,若可逆,求其逆矩阵
1 2 (1) A ; 3 4 1 2 3 (2) B 4 5 6 3 3 3
A21 A22 A2 n
高 等 代 数
a11 a21 * AA an1 A11 A12 * A A A1n
a12 a22 an 2 A21 A22 A2 n
a1n A11 a2 n A12 ann A1n An1 a11 An 2 a21 Ann an1
高 等 代 数
a11 a 21 an1
a11 a21 A an1
a12 a1n x1 b1 x b a22 a2 n 2 2 an 2 ann xn bn
证明
若矩阵可逆，则A的逆矩阵是唯一的.
若B、C都是A的逆矩阵，则
AB BA I , AC CA I .
于是 性质2
可逆矩阵的概念
The Advanced Algebra
Dr. Zhi hui Li
2) Q A = a1a2 L an ,
可逆. ∴ 当 ai ≠ 0 ( i = 1,2,L , n) 时，A可逆. 可逆 且由于
− a1 1 1 a1 −1 1 a2 a2 =E = O O O −1 an 1 an − a1 1 − −1 a2 1 ∴ A = . O − an 1
The Advanced Algebra
Dr. Zhi hui Li
四、矩阵方程
1. 线性方程组 .
a11 x1 + L + a1n xn = b1 LLLLLLLLL an1 x1 + L + ann xn = bn
(1)
x1 b1 x2 b2 令 A = (aij )n×n , X = M , B= M x b n n
A −1
( ) 1 d −b = ad − bc ( − c a )
.
The Advanced Algebra
Dr. Zhi hui Li
0 3 3 练习 已知 A = 1 1 0 , AB = A + 2 B, 求矩阵B． 求矩阵 ． −1 2 3
解：由 AB = A + 2 B ，得 ( A − 2 E ) B = A ，又
1 −1 3 3 −1 ∴ A − 2 E 可逆，且 ( A − 2 E ) = −1 1 3 可逆， 2 1 1 −1 0 3 3 −1 ∴ B = ( A − 2 E ) A = −1 2 3 1 1 0
第09节-可逆矩阵
2 1
3 2 1 1 且 A 3 2 3 5 2 , 1 1 1
1
B
1
3 1 , 5 2
1 1
又由 AXB C A AXBB A CB E 1 1 X A CB . 于是 X A1CB 1
1
3 2 1 3 1 3 1 3 2 3 5 2 2 0 1 3 1 5 2 1 1
1 1 1 2 3 1 0 2 10 4 . 0 2 5 2 10 4
1
1
AA1 E ,
推广
A1 A2 Am1 Am1 A21 A1.1
4 若A可逆, 则A 亦可逆 , 且 A
T
T 1
A .
1 T
证明
A
T
A A A
1 T 1
T
ET E,
A
T 1
A
1 T
.
2a c 1, 2b d 0, a 0, b 1,
a 0, b 1, c 1, d 2.
又因为
AB
BA
2 1 0 1 0 1 2 1 1 0 , 1 0 1 2 1 2 1 0 0 1
B是A的一个逆矩阵.
AB BA E ,
说明 若 A 是可逆矩阵，则 A 的逆矩阵是唯一的.
若设 B 和 C 是 A 的可逆矩阵，则有
AB BA E , AC CA E ,
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一、可逆矩阵的定义
设对于 n 阶方阵 A，若存在 n 阶方阵 B 使
得
AB=BA=E
恒成立，则称矩阵 A 可逆；B 称为 A 的逆矩阵，
记为 A－1 = B 。
二、可逆矩阵的判断
1.若矩阵 A可逆，则 A的逆矩阵是唯一的。 证明：设 A有两个逆矩阵B1、B2，则
B1= B1E = B1(AB2) = (B1A) B2 = EB2 = B2
证明：(E A（) E A A2 ... Ak1） (E A A2 ... Ak1）(E A) (E A A2 ... Ak1）
(A A2 ... Ak） E Ak E
例5.设矩阵A可逆，求证A*也可逆， 并求( A*)1.
证：Q A可逆，有 A 0 由公式 A* A AA* A E
非奇异矩阵，否则矩阵A称为奇异矩阵。
2.如果A、B均可逆，那么AT与AB都可逆，且 (AT)－1＝(A－1)T (AB)－1＝B－1A－1
证明：∵ A、B均可逆 ∴ AA－1=A－1A＝E 故 (AA－1)T=(A－1)TAT＝ET=E ∴ (AT)－1=(A－1)T
同理 (AB)(B －1 A－1)＝ (B －1 A－1) (AB) ＝E
补充： 分块矩阵的逆
一、分块矩阵的加法：设矩阵A、B是同型
矩阵，且 A 与 B 有相同的分块方法
A11 A12 ... A1s
A
A21 ...
A22 ...
... ...
A2 s ...
Ar1 Ar2 ... Ars
B11 B12 ... B1s
B
B21 ...
B22 ...
... ...
2 3
3
0 1
3 5
1 2
1
0 0
1
2 2
3 5
1 2
2
10 10
1
4 4
.
例10.已知A2 3A 10E O，证明: A和A 4E都可
逆，并求出它们的逆矩阵
证明：A( A 3E) 10E A A 3E E 10
所以A可逆，且A1 1 ( A 3E) 10
又( A 4E)( A E) 6E ( A 4E) A E E 6
例7.设A为n阶可逆矩阵，则[D]
(A) A* A
(B) A* A1
(C) A* A n
(D) A* A n1
例8.设A，B为n阶矩阵，则[C]
(A) A B A B (B) AB BA
(C) AB A B
(D) ( A B)1 B1 A1
1
例9.已知A
2 3
有 A* A A A* E， A*可逆 AA
且 ( A*)1 1 A A
例6.已知A，B为 n 阶对称矩阵，且A可逆， ( A B)2 E，化简：(E A1BT )T (E BA1)1 解：(E A1BT )T (E BA1)1
[E T ( A1BT )T ]( AA1 BA1)1 [E B( A1)T ][( A B) A1]1 [E B( AT )1]A( A B)1 (E BA1)A(A B) (A B)(A B)[ A2 B2]
故 | A| ≠0且| B| ≠0，A、B均可逆，
且 A－1=B
三、可逆矩阵的性质
1.若 A 可逆，则 | A| ≠0 证明：∵ A可逆 ∴ A A－1 = A－1 A = E 故 | A|| A－1 |=1， 即 | A| ≠0 同时还有
| A1 |
1 | A|
奇异矩阵与非奇异矩阵：
若n方阵Ａ的行列式 | A| ≠0，称矩阵 A为
0 0
1 0
2 1
3 2
，求：A1
0 0 0 1
1 2 1 0
解：A
1，A*
0 0
1 0
2 1 1 2
0 0 0 1
1 2 1 0
所以 A1
1 A
A*
0 0
0
1 0 0
2 1 1 2 0 1
例4.如果Ak 0，那么 (E A)1 E A A2 ... Ak1
2.若| A|≠0，则 A可逆，且
A1 1 A* A
a11 a12 ... a1n
A
a21 ...
a22 ...
... ...
a2n ...
an1 an2 ... ann
A11
A*
A12 ... A1n
A21 ... A22 ... ... ... A2n ...
An1
An2 ... Ann
2 2 4
3
1 3
,
B
2 5
1 3
1
,
C
2 3
3 10 ,
求矩阵X使满足 AXB C.
解：Q
A
1 2 3
2 2 4
3 1 3
2 0, B
2 5
1 3
1
0,
A,
B
1
均可逆，且
A1
3 1
2
3 3 1
2
52 1
,
B1
3 5
1 2
,
1
故：X
A1CB 1
3 1
2
3 3 1
2 1
52 1
其中Aij是矩阵 A的元素aij的代数余子式。
证明：由行列式的代数余子式的性质及矩阵乘
法的定义有：AA*=A*A=|A|E，又 |A| ≠0
A( 1 A*) ( 1 A*) A E 故 : A1 1 A*
| A|
| A|
| A|
3.对于n 阶方阵 A、B 若有 AB = E 则：A、B 均可逆，且它们互为可逆矩阵。 证明：∵ AB = E ∴ | A| | B | =1
B2 s ...
Br1 Br2 ... Brs
即Aij与Bij有相同的列数与行数，则：A与B 的和
所以A可逆，且( A 4E)1 1 ( A E) 6
例11.设A，B为n阶方阵，且E AB与E BA均可逆， 证明： (E BA)1 E B(E AB)1 A 证：(E BA)[E B(E AB)1 A]
E BA (E BA)B(E AB)1 A E BA (B BAB)(E AB)1 A E BA B(E AB)(E AB)1 A E BA BA E
∴ (AＢ)－1=Ｂ－1 A－1
a1
例1.设A
...
an
且a1...an
0
，求：A1
1
解：B
a1
...
且
有 AB BA En
1
an
所以 A1 B
例2.设A
3 0
1 2
，求A1.
解：A
6，A*
2 0
31
1 1
A1
1 A
A*
3
0
6 1
2
1 2 3 4
例3.设A