备战新课标高考理科数学2020：“2+1+2”压轴题目自选练(一)+Word版含解析
拿下压轴题·高考创奇迹 “2＋1＋2”压轴题目自选练(一) 供学有余力的考生自选
一、选择、填空压轴题
11．已知正三棱锥S -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，棱锥的底面是边长为23的正三角形，侧棱长为5，则球O 的表面积为( )
A ．10π
B ．25π
C ．100π
D ．125π
解析：选B 如图，设O 1为正三棱锥S -ABC 的底面中心，连接SO 1，
则SO 1是三棱锥的高，
设球O 的半径为R ，连接AO 1， 因为正三角形ABC 的边长为23， 所以AO 1＝23×32×2
3＝2， 因为SA ＝5，
所以在Rt △ASO 1中，SO 1＝
(5)2－22＝1，
易知三棱锥的外接球的球心O 在SO 1的延长线上，连接AO ，在Rt △AOO 1中，R 2＝(R －1)2＋22，解得R ＝5
2，
所以球O 的表面积为4π×⎝ ⎛⎭
⎪⎫522
＝25π，故选B.
12．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧
2x 2－4x ＋1，x >0，
e x ，x ≤0，则y ＝
f (x )(x ∈R )的图象上关于坐标
原点O 对称的点共有( )
A ．0对
B ．1对
C ．2对
D ．3对
解析：选C 由题意知，函数y ＝f (x )(x ∈R )的图象上关于
原点对称的点即函数y ＝e x 的图象关于原点的对称图象(函数y ＝－e －x 的图象)与y ＝2x 2－4x ＋1(x >0)的图象的交点，如图，作出函数y ＝－e －x 和y ＝2x 2－4x ＋1的图象，由图知函数y ＝－e －x 的图象与y ＝2x 2－4x ＋1(x >0)的图象有两个交点，所以满足条件的对称点有2对，故选C.
16．(2019·广东百校联考)已知双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，点M (－a,0)，N (0，b )，点P 为线段MN 上的动点，当PF 1→·PF 2→取得最小值和最大值时，△PF 1F 2的面积分别为S 1，S 2
，则S 2S
1
＝________.
解析：由e ＝c
a ＝2，得c ＝2a ，则
b ＝3a ，故线段MN 所在直线的方程为y ＝3(x ＋a )．又点P 在线段MN 上，可设P (m ，3m ＋3a )，其中m ∈[－a,0]．由于F 1(－c,0)，F 2(c,0)，即F 1(－2a,0)，F 2(2a,0)，得PF 1→＝(－2a －m ，－3m －3a )，PF 2→＝(2a －m ，－3m －3a )，所以PF 1→·PF 2→＝4m 2＋6ma －a 2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋34a 2－134a 2.由于m ∈[－a,0]，可知当m ＝－34a 时，PF 1→·PF 2→取得最小值，此时y P
＝34a ；当m ＝0时，PF 1→·PF 2→
取得最大值，此时y P ＝3a .则S 2S 1＝3a 3
4
＝4. 答案：4
二、解答题压轴题
20．设M 是抛物线E ：x 2＝2py (p >0)上的一点，抛物线E 在点M 处的切线方程为y ＝x －1.
(1)求E 的方程．
(2)已知过点(0,1)的两条不重合直线l 1，l 2的斜率之积为1，且直线l 1，l 2分别交抛物线E 于A ，B 两点和C ，D 两点，是否存在常数λ，使得|AB |＋|CD |＝λ|AB |·|CD |成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．
解：(1)设M ⎝ ⎛
⎭⎪⎫x 0，x 202p ，由x 2＝2py ，
得y ＝x 22p ，则y ′＝x
p . 由⎩⎪⎨⎪⎧
x 0p ＝1，x 2
02p ＝x 0－1，
解得p ＝2.
所以抛物线E 的方程为x 2＝4y .
(2)假设存在常数λ，使得|AB |＋|CD |＝λ|AB |·|CD |成立，则λ＝1|AB |＋1|CD |
. 由题意知，l 1，l 2的斜率存在且均不为零， 设直线l 1的方程为y ＝kx ＋1(k ≠0)， 则由⎩⎨⎧
y ＝kx ＋1，x 2＝4y ，消去y 得x 2－4kx －4＝0.
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ，x 1·x 2＝－4.
所以|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋k 2·16k 2＋16＝4(1＋k 2)． 因为直线l 1，l 2的斜率之积为1， 所以|CD |＝4⎝ ⎛
⎭
⎪⎫1＋1k 2.
所以λ＝1|AB |＋1|CD |＝14(1＋k 2)＋14⎝ ⎛
⎭⎪⎫1＋1k 2＝1＋k 24(1＋k 2)＝
1
4. 所以存在常数λ＝1
4，使得|AB |＋|CD |＝λ|AB |·|CD |成立．
21．已知函数f (x )＝x ln x －a
2x 2＋(a －1)x ，其导函数f ′(x )的最大值为0. (1)求实数a 的值；
(2)若f (x 1)＋f (x 2)＝－1(x 1≠x 2)，证明：x 1＋x 2>2.
解：(1)由题意，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，其导函数f ′(x )＝ln x －a (x －1)．
记h (x )＝f ′(x )，则h ′(x )＝1－ax
x .
当a ≤0时，h ′(x )＝1－ax
x >0恒成立，所以h (x )在(0，＋∞)上单调递增，且h (1)＝0，
所以任意x ∈(1，＋∞)，h (x )＝f ′(x )>0，故a ≤0不成立． 当a >0时，若x ∈⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，1a ，则h ′(x )>0；
若x ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1a ，＋∞，则h ′(x )<0.
所以h (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫
1a ，＋∞上单调递减．
所以h (x )max ＝h ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1a ＝－ln a ＋a －1＝0.
令g (a )＝－ln a ＋a －1，则g ′(a )＝1－1a ＝a －1
a .
当0<a <1时，g ′(a )<0；当a >1时，g ′(a )>0.所以g (a )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．
所以g (a )≥g (1)＝0，故a ＝1.
(2)证明：当a ＝1时，f (x )＝x ln x －1
2x 2， 则f ′(x )＝1＋ln x －x .
由(1)知f ′(x )＝1＋ln x －x ≤0恒成立， 所以f (x )＝x ln x －1
2x 2在(0，＋∞)上单调递减， 且f (1)＝－1
2，f (x 1)＋f (x 2)＝－1＝2f (1)． 不妨设0<x 1<x 2，则0<x 1<1<x 2， 欲证x 1＋x 2>2，只需证x 2>2－x 1. 因为f (x )在(0，＋∞)上单调递减， 所以只需证f (x 2)<f (2－x 1)，
又f(x1)＋f(x2)＝－1，
所以只需证－1－f(x1)<f(2－x1)，
即f(2－x1)＋f(x1)>－1.
令F(x)＝f(x)＋f(2－x)(其中x∈(0,1))，则F(1)＝－1.
所以欲证f(2－x1)＋f(x1)>－1，
只需证F(x)>F(1)，x∈(0,1)，
F′(x)＝f′(x)－f′(2－x)＝1＋ln x－x－[1＋ln(2－x)－2＋x]，整理得F′(x)＝ln x－ln(2－x)＋2(1－x)，x∈(0,1)．
令m(x)＝F′(x)，则m′(x)＝2(1－x)2
x(2－x)
>0，x∈(0,1)，
所以F′(x)＝ln x－ln(2－x)＋2(1－x)在区间(0,1)上单调递增，所以任意x∈(0,1)，F′(x)＝ln x－ln(2－x)＋2(1－x)<F′(1)＝0，所以函数F(x)＝f(x)＋f(2－x)在区间(0,1)上单调递减，
所以F(x)>F(1)，x∈(0,1)，
故x1＋x2>2.。
2020年高考押题预测卷02(新课标Ⅰ卷)-理科数学(全解全析)
4．D【解析】
1
3i
10
2(cos
2 3
sin
2 3
10
i)
210 (cos
20 3
sin
20 3
i)
210 (
1 2
3 i) 512 512 2
3i .
5．A【解析】作出函数
f
x
x
2
log2x , 2x
x 2, x
0
0
的图象如图，
由图可知， D (2, 4 ，
函数 Fx f x kx x D 有 2 个零点，即 f x kx 有两个不同的根，
0.9
1 3n1
，则 0.9
1 3n1
1 104
，
众
精品资料公众号：卷洞洞 侵权删
公
~
即 3n3 103 ，当 n 9 时，36 729 103 ；当 n 10 时，37 2187 103 ，显然当 n≥10 时，3n3 103
成立，故 n 的最小值为 10.故选：B。
9．A【解析】设 c x, y ， a 1,0 ， b 0,1 ，则 x2 y2 1 ，从而
（2）
an
1 an1
(2n
1 1)(2n
1)
1 2
1 2n 1
1 2n 1
，
Tn
1 a1a2
1 a2a3
1 a3a4
1 an an 1
1 2
1
1 3
1 3
1 5
1 5
1 7
1 2n 1
1 2n 1
1 2
1
1 2n
1
n 2n
1
．（8
分）
2020年高考押题预测卷01(新课标Ⅱ卷)-理科数学(考试版)
理科数学试题 第1页（共6页） 理科数学试题 第2页（共6页）………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………… 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________2020年高考押题预测卷01【新课标Ⅱ卷】理科数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合{}{}22log 0,230A x x B x x x =>=--<,则A B ⋃=（ ） A ．(),3-∞B ．()1,-+∞C ．()1,1-D ．()1,32．已知i 是虚数单位，复数z 满足2(1)1i i z-=+，则z =（ ）A ．2B ．2C ．1D ．53．命题“0x ∀>，tan sin x x >”的否定为（ ） A ．0x ∃>，tan sin x x ≤ B ．0x ∃≤，tan sin x x > C ．0x ∀>，tan sin x x ≤D ．0x ∀≤，tan sin x x ≤4．ABC ∆中，AB 边的高为CD ，若CB a =，CA b =，0a b ⋅=，1a =，2b =，则AD =（ ） A ．1133a b - B ．2233a b - C ．3355a b - D ．4455a b - 5．设31log 5a =，131log 5b =，133c -=，则a 、b 、c 的大小关系是（ ） A ．c a b >> B ．b a c >> C ．b c a >>D ．c b a >>6．《周易》是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象变化．如图是一个八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑八卦（每一卦由三个爻组成，其中“”表示一个阳爻，“”表示一个阴爻）．若从含有两个及以上阳爻的卦中任取两卦，这两卦的六个爻中都恰有两个阳爻的概率为（ ）A ．13B ．12C ．23D ．347．已知函数()21f x x lnx =--，则y ＝f （x ）的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．8．我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍童.如图是一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和6，高为2，则该刍童的体积为（ ）A ．1003B ．1043C ．27D ．189．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为（ ）A ．1112B ．6C ．112D ．22310．已知函数1,(0)()ln 2,(0)x xe x f x x x x ⎧+≤=⎨-->⎩，若函数()y f x a =-至多有2个零点，则a 的取值范围是理科数学试题 第3页（共6页） 理科数学试题 第4页（共6页）………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………此卷只装订不密封………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………（ ）A ．1,1e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B ．1,1(1,)e ⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭C ．11,1e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．[1,1]e +11．设1F ，2F 是双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左，右焦点，O 是坐标原点，过点2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若16PF OP =，则C 的离心率为（ ） A ．2B ．3C ．2D ．312．已知函数()ln x f x x=，()xg x xe -=.若存在()10,x ∈+∞，2x R ∈使得()()()120f x g x k k ==<成立，则221k x e x ⎛⎫⎪⎝⎭的最大值为（ ）A ．2eB ．eC ．24e D ．21e第Ⅱ卷二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知3sin 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且344ππα<<，则cos α=__________． 14．6212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为______；系数最大的项是______. 15．已知圆C ：()2229x y -+=，点P 是圆C 上的动点，点()1,2M ，当MPC ∠最大时，PM 所在直线的方程是______.16．已知三棱锥P ABC -的四个顶点均在同一个球面上，底面ABC ∆满足6BA BC ==，2ABC π∠=，若该三棱锥体积的最大值为3．则其外接球的体积为________.三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）n S 为数列的前n 项和，已知0n a >，2241n n n a a S +=-．（1）求{}n a 的通项公式； （2）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 18．（本小题满分12分）如图，已知四棱锥P ABCD -的底面是等腰梯形，//AD BC ，2AD =，4BC =，60ABC ∠=︒，PAD△为等边三角形，且点P 在底面ABCD 上的射影为AD 的中点G ，点E 在线段BC 上，且:1:3CE EB =. （1）求证：DE ⊥平面PAD . （2）求二面角A PC D --的余弦值.19．（本小题满分12分）今年3月5日，国务院总理李克强作的政府工作报告中，提到要“惩戒学术不端，力戒学术不端，力戒浮躁之风”.教育部日前公布的《教育部2019年部门预算》中透露，2019年教育部拟抽检博士学位论文约6000篇，预算为800万元.国务院学位委员会、教育部2014年印发的《博士硕士学位论文抽检办法》通知中规定：每篇抽检的学位论文送3位同行专家进行评议，3位专家中有2位以上（含2位）专家评议意见为“不合格”的学位论文，将认定为“存在问题学位论文”.有且只有1位专家评议意见为“不合格”的学位论文，将再送2位同行专家进得复评，2位复评专家中有1位以上（含1位）专家评议意见为“不合格”的学位论文，将认定为“存在问题学位论文”.设每篇学位论文被每位专家评议为“不合格”的概率均为(01)p p <<，且各篇学位论文是否被评议为“不合格”相互独立.（1）记一篇抽检的学位论文被认定为“存在问题学位论文”的概率为()f p ，求()f p ；（2）若拟定每篇抽检论文不需要复评的评审费用为900元，需要复评的评审费用为1500元；除评审费外，其它费用总计为100万元.现以此方案实施，且抽检论文为6000篇，问是否会超过预算？并说明理由. 20．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:4,(2,0)O x y A +=，线段BC 的中点是坐标原点O ，设直线,AB AC 的斜率分别为12,k k ，且1214k k =-.（1）求B 点的轨迹方程；（2）设直线,AB AC 分别交圆O 于点E F 、，直线EF BC 、的斜率分别为EF BC k k 、，已知直线EF 与x理科数学试题 第5页（共6页） 理科数学试题 第6页（共6页）轴交于点6,05D ⎛⎫-⎪⎝⎭.问：是否存在常数λ，使得BC EF k k λ=⋅若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由. 21．（本小题满分12分） 已知函数()1xf x ae x =-+ （1）求函数()f x 的单调区间；（2）设0x 为函数的极小值点，证明：()013f x a≥-请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为24,4x t y t⎧=⎨=⎩（t 为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos sin 10ρθθ⋅-⋅-=. （1）求C 和l 的直角坐标方程； （2）求直线l 被曲线C 所截的弦长.23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知1()||f x x a x a=++-. （1）当1a =时，求不等式()6f x 的解集M ； （2）若a M ∈，求证：10()3f x .。
2020年普通高等学校招生全国统一考试压轴(一)数学(理)试题(解析版)
2020年普通高等学校招生全国统一考试压轴（一）数学（理）试题一、单选题1．已知集合{1A y y ==+，{}30B x x =-≤，则A B =I （ ）A ．[]1,2B ．[]1,3C ．[]2,3D ．()2,+∞【答案】B【解析】首先分别化简集合A ，B ，再求交集即可. 【详解】{{}11A y y y y ==+=≥，{}{}303B x x x x =-≤=≤，所以[]1,3A B ⋂=. 故选：B. 【点睛】本题主要考查集合的交集运算，同时考查了函数的值域，属于简单题.2．欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式，设复数cos sin33z i ππ=+，则3z 等于（ ）A ．12- B ．1- C ．12-D ．12-+ 【答案】B 【解析】根据欧拉公式得到3i z e π=，再计算3z 即可. 【详解】由题意得3cossin33iz i e πππ=+=，333()cos sin 1ii z e e i ππππ====-＋.故选：B本题主要考查三角函数求值问题，同时复数的概念，属于简单题.3．月形是一种特殊的平面图形，指有相同的底，且在底的同一侧的两个弓形所围成的图形.月形中的一种特殊的情形是镰刀形，即由半圆和弓形所围成的图形（如下图），若半圆的半径与弓形所在圆的半径之比为1:2，现向半圆内随机取一点，则取到镰刀形中的一点的概率为（）A．423 3π-B．2313π-C．3πD．31π-【答案】B【解析】首先设半圆半径为r，分别计算半圆的面积和弓形的面积，再代入几何概型公式计算即可.【详解】如图所示：设半圆半径为r，半圆面积为22rπ，221(2)3OO r r r=-=弓形面积为()2221122233623r r r r rππ⨯⨯-⨯=-，概率为2222232312332rr rrπππ-+=-.故选：B本题主要以数学文化为背景考查几何概型，同时考查学生的逻辑思维能力，属于中档题. 4．数列{}n a的前几项是：0、2、4、8、12、18、24、32、49、50⋅⋅⋅其规律是：偶数项是序号平方再除2；奇数项是序号平方减1再除2.如图所示的程序框图是为了得到该数列的前100项而设计的，那么在两个判断框中，可以先后填入（）n≤？A．n是偶数？，100n≤？B．n是奇数？，100n<？C．n是偶数？，100n<？D．n是奇数？，100【答案】A【解析】模拟程序框图的运行过程，结合输出的条件，即可得到答案.【详解】根据偶数项是序号平方再除以2，奇数项是序号平方减1再除以2，可知第一个框应该是“n是偶数？”；n=>结束，执行程序框图，当101100n≤？.所以第二个框应该填100故选：A【点睛】本题主要考查程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，属于简单题.5．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意*N n ∈都有21n n S a =-，设2log n n b a =，则数列{}n b 的前6项之和为（ ） A ．11 B ．16 C ．10 D ．15【答案】D 【解析】首先根据21n n S a =-得到12n n a -=，代入2log n n b a =，再计算数列{}n b 的前6项之和即可. 【详解】因为21n n S a =-，当1n =时，11121S a a =-=，所以11a =.当2n ≥时，1n n n a S S -=-，所以121(21)n n n a a a -=---，即12n n a a -=. 所以数列{}n a 是以1为首项，以2为公比的等比数列，所以12n n a -=，12log 21n n b n -==-，11(2)1n n b b n n --=---=，所以数列{}n b 是以0为首项，以1为公差的等差数列， 数列{}n b 的前6项之和为1656152b d ⨯+= 故选：D 【点睛】本题主要考查由n S 求通项公式n a ，同时考查了等差数列的求和，属于中档题. 6．声音中包含着正弦函数.音的四要素：音调、响度、音长和音色都与正弦函数的参数有关.我们平时听到的音乐不只是一个音在响，是由基音和许多个谐音的结合，其函数可以是()11sin sin 2sin 323f x x x x =++，则()f x 的图象可以是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】D【解析】首先根据()f x 为奇函数，排除C ，根据42f f ππ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，排除B ，根据()11111=236f x <++，排除A ，排除法即可得到答案.【详解】因为()f x 的定义域为R ，1111()sin()sin(2)sin(3)sin sin 2sin 3()2323f x x x x x x x f x -=-+-+-=---=-，所以()f x 为奇函数，排除C .221432f π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，223f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，故42f f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，排除B ； 因为()11111=236f x <++，而A 选项的()max 2f x =，排除A. 故选：D 【点睛】本题主要考查根据解析式判断函数的图象，同时考查了函数的奇偶性，特值法以及函数的最值，属于中档题.7．过双曲线M ：()22210y x b b-=>的左顶点A 作斜率为1的直线l ，若l 与双曲线的渐近线分别交于B 、C 两点，且54OB OA OC =+u u u r u u u r u u u r，则双曲线的离心率是（ ） A ．10B ．132C 13D ．133【答案】B【解析】首先设出直线l 的方程为1y x =+，与渐近线方程联立得到1(,)11bB b b -++， 1(,)11bC b b --.根据54OB OA OC =+u u u r u u u r u u u r 得到32b =，再计算离心率即可.【详解】由题可知(1,0)A -，所以直线l 的方程为1y x =+. 因双曲线M 的两条渐近线方程为y bx =或y bx =-.由1y bx y x =-⎧⎨=+⎩，解得1(,)11b B b b -++；同理可得1(,)11bC b b --. 又()1,0OA =-u u u r ，1,11b OB b b ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭u u u r ，1,11b OC b b ⎛⎫= ⎪--⎝⎭u u u r因为54OB OA OC =+u u u r u u u r u u u r， 所以511b b b b =+-，解得32b =，2c =，2e =.故选：B 【点睛】本题主要考查双曲线离心率的求法，根据题意解出b ，c 的值为解题的关键，属于中档题.8．已知定义在R 上的连续可导函数()f x 无极值，且x R ∀∈，()20192020xf f x ⎡=⎤⎣⎦-.若()2sin 6g x x mx π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭在3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上与函数()f x 的单调性相同，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(],1-∞- B ．[)1,-+∞ C ．(],2-∞-D ．[]2,1--【答案】B【解析】首先设()2019xt f x =-，得到()2019xf x t =+在R 上的增函数，从而得到()g x 在3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数.再利用导数转化为max [2cos()]6m x π≥-+，即可得到答案. 【详解】由于()f x 连续可导且无极值，故函数()f x 为单调函数， 可令()2019xt f x =-（t 为常数），使()2020f t =成立，故()2019xf x t =+，故()f x 为R 上的增函数.故()g x 在3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数.()2cos 06g x x m π⎛⎫'=++≥ ⎪⎝⎭在3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立， 即max [2cos()]6m x π≥-+. 因为3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以513,636x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，故61cos ,12x π⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎝⎭⎣+⎥⎦，[]2cos 2,16x π⎛⎫-+∈-- ⎪⎝⎭， 所以1m ≥-. 故选：B 【点睛】本题主要考查三角函数的值域问题，同时考查了导数的单调区间和极值，属于中档题. 9．在平面四边形ABCD 中，AB BD ⊥，60BCD ∠=︒，223424AB BD +=，若将ABD △沿BD 折成直二面角A BD C --，则三棱锥A BDC -外接球的表面积是（ ） A ．4π B ．5πC ．6πD ．8π【答案】D【解析】首先根据二面角A BD C --为直二面角得到AB ⊥平面BCD .再将三棱锥的外接球转化为直三棱柱的外接球即可得到表面积. 【详解】 如图所示：因为二面角A BD C --为直二面角，且AB BD ⊥， 所以AB ⊥平面BCD .将三棱锥A BDC -放入三棱柱中，如图所示：1O ，2O 为底面外接圆的圆心，12O O 的中点O 为三棱锥A BDC -外接球的球心.在BDC V 中，2sin 60BD r =o，所以3r =. 因为222222221111()3234R r OO BD AB BD AB =+=+=+ 又因为223424AB BD +=，所以2211234BD AB +=所以22R =，外接球表面积 248S R ππ==. 故选：D 【点睛】本题主要考查三棱锥外接球的表面积，同时考查了二面角，将三棱锥的外接球转化为直三棱柱的外接球为解题的关键，属于中档题.10．若e a =π，3e b =，3c π=，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．b a c << B ．a b c << C ．c a b << D ．b c a <<【答案】A【解析】首先利用指数函数和幂函数的单调性得到b c <和a b >，再构造函数，利用导数得到函数的单调性得到a c <，即可得到答案. 【详解】因为3xy =在R 上为增函数，所以33e π<，即b c <. 因为e y x =在(0,)+∞为增函数，所以3e e π>，即a b >. 设ln ()xf x x=，21ln ()xf x x-'=，令()0f x '=，x e =. (0,)x e ∈，()0f x '>，()f x 为增函数， (,)x e ∈+∞，()0f x '<，()f x 为减函数.则()(3)f f π<，即ln ln 33ππ<，因此3ln ln3ππ<， 即3ln ln 3ππ<，33ππ<.又33e πππ<<，所以a c <. 所以b a c <<. 故选：A 【点睛】本题主要考查指数和幂的比较大小，利用导数得到函数的单调性来比较大小为解决本题的关键，属于中档题.11．已知F 为抛物线C ：28y x =的焦点，过F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与C 交于A ，B 两点，直线2l 与C 交于D ，E 两点，则AD EB ⋅u u u r u u u r的最小值为（ ） A ．60 B ．62C ．64D ．66【答案】C【解析】首先设出()11,A x y ，()22,B x y ，()33,D x y ，()44,E x y ，联立直线1l ，2l 和抛物线得到()212242k x x k++=，124x x=，()234412x x k +=+，344x x =.利用向量的减法化简AD EB ⋅u u u r u u u r得到FD FE FA F AD B B E ⋅+⋅=⋅u u u r u u u r ，再利用焦半径公式和基本不等式从而得到最小值. 【详解】 如图所示：设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,D x y ，()44,E x y ， 直线1l 方程为()()20y k x k =-≠，则直线2l 方程为()12y x k=--， 联立()228y k x y x⎧=-⎨=⎩得()22224840k x k x k -++=，()212242k x x k++=，124x x=；同理()223424211412k x x k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+==+，344x x =. ()()AD EB FD FA FB FE FD FE FA FB ⋅=-⋅-=-⋅-⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ()()()()12342222FD FE FA FB x x x x +++++⋅=+⋅()()12341234822x x x x x x x x =++++++()()2222282161681232163264k k k k k +=+++=++≥+=. 当且仅当1k =±时，取“=”. 故选：C 【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，同时考查了抛物线的焦半径公式和基本不等式，属于中档题.12．已知函数()f x ，()g x 定义域为R ，()()1f x g x +=.若()()()()()()(),, ,,f x f xg x F x g x f x g x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩且()()2222F x x a x a a R =-+∈，则关于x 的方程()()1f x g x -=有两解时，a 的取值范围为（ ）A．{}1122⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭B．2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C．{}112⎛⎤-⋃ ⎥ ⎝⎦D ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】由题知()()()()()2f xg x f x g x F x ++-=，根据题意得到：()12F x ≥恒成立且()1F x =有两解.分别讨论0a <和0a >时的情况，根据图象即可得到a 的取值范围. 【详解】由题意知：()()()()()2f xg x f x g x F x ++-=，则()()()210f x g x F x -=-≥对任意的x ∈R 恒成立， 又()()1f x g x -=有两解， 则()12F x ≥恒成立且()1F x =有两解. ()222222()F x x a x a x a a =-+=-+.当0a <时，如图所示：只需21212a ≤<，解得2122a -<≤-. 当0a >时，如图所示：只需212a ≥且221a <或者21a =即可，解得1a =. 综上所述：{}21,122a ⎛⎤∈--⋃ ⎥ ⎝⎦. 故选：C 【点睛】本题主要考查函数的零点问题，同时考查了分类讨论的思想，数形结合为解决本题的关键，属于中档题.二、填空题13．变量x ，y 满足约束条件220,240,10,x y x y x y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪-+≥⎩则目标函数232z x y =--的取值范围是______. 【答案】[]3,2-【解析】首先根据不等式组画出可行域，根据可行域化简目标函数得到2633z y x +=-+，再根据z 的几何意义结合可行域即可得到z 的取值范围. 【详解】不等式的可行域如图所示：由图知：0x ≥，02y ≤≤，因此23(2)236z x y x y =+-=+-，此时2633z y x +=-+，直线的纵截距越大，z 越大，纵截距越小，z 越小. 当直线经过点()0,1A 时，min 363z =-=-，联立24010x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，解得(1,2)C .当直线经过点(1,2)C 时，max 2662z =+-=， 所以z 的范围为[]3,2-. 故答案为：[]3,2- 【点睛】本题主要考查线性规划，根据不等式组画出可行域为解题的关键，属于中档题.14．设1e u r ，2e u u r 为单位向量，非零向量()12,a xe ye x y R =+∈r u r u u r ，若1e u r ，2e u u r 的夹角为3π，则yar 的最大值等于______.【答案】3【解析】首先计算2a r ，化简22y ar 得到2221()1x x y y y a =++r ，再利用二次函数的最值得到yar 的最大值. 【详解】当0y =时，0ya=r . 当0y ≠时，222222211222=a x e xye e y e x xy y =++++r u r u r u u r u u r g， 则2222221()1y x x x xy y yy a y ==++++r ， 因为22133()1()244xx x yy y ++=++≥ 所以()222140133()24y a y x y =≤≠++r所以y a r【点睛】本题主要考查平面向量模长的计算，同时考查了二次函数的最值，属于中档题.15．在数列{}n a ，{}n b 中，()12n n n a a b +=++，()12n n n b a b +=+-11a =，11b =.设11n n mc a b +=，则数列{}n c 的通项公式n c =______. 【答案】22n -【解析】首先让两式()12n n n a a b +=++和()12n n n b a b +=+-别相加和相乘得到212n n n a b -+=和13382n n n n a b --⋅==，再代入n c 即可得到通项公式.【详解】由()12n n n a a b +=++，()12n n n b a b +=+-两式相加可得：()114n n n n a b a b +++=+. 112a b +=，故数列{}nn a b +是以2为首项，4为公比的等比数列.212n n n a b -+=.两式相乘得：()()22211448n n n n n n n n a b a b a b a b ++⋅=+-+=⋅，111a b =，故{}n n a b ⋅是以1为首项，8为公比的等比数列， 13382n n n n a b --⋅==，所以2123311222n n n n n n n n n n a b c a b a b ---⎛⎫+=+===⎪⋅⎝⎭. 故答案为：22n - 【点睛】本题主要考查利用定义求等差数列和等比数列的通项公式，同时考查了学生分析问题的能力，属于中档题.16．已知a R ∈，函数()sin 2cos x f x a a x =-++在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为12，则a的取值范围为______.【答案】1(,]4-∞ 【解析】首先令()sin 2cos xg x x=+，利用导数求出函数的单调区间和最值，再分类讨论a 的范围即可得到答案.【详解】 令()sin 2cos x g x x=+，()()22cos 12cos x g x x +'=+， 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()0g x '>，()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦为增函数，()00g =，122g π⎛⎫=⎪⎝⎭，()102g x ≤≤，()12a g x a a -≤-≤-.若0a ≤，()()1[0,]2f xg x =∈，此时()f x 最大值为12，成立； 若12a ≥，()()12[2,2]2f x a g x a a =-∈-，则()max 122x f a ==，14a =，不成立，舍去.若102a <<，()max 1max 2,2f x a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，只需122a ≤，即104a <≤. 综上所述：14a ≤. 故答案为：1(,]4-∞【点睛】本题主要考查利用导数求函数的最值问题，构造函数()g x 为解题的关键，属于难题.三、解答题17．已知ABC V 的内角为A ，B ，C ，它们的对边分别为a ，b ，c ，已知sinsin 2A Ca b A +=. （1）求角B 的大小；（2）若1cos 7A =，BA BC +=u uu r u u u r ABC V 的面积.【答案】（1）3B π=（2）【解析】（1）首先利用三角函数的诱导公式得到sin cossin 22BBa ab A π-==，再利用正弦定理的边化角即可得到1sin22B =，3B π=.（2）首先根据已知1cos 7A =和3B π=得到53sin 14C =，利用余弦定理得到2211129474c b cb +-=，再根据sin 7sin 5b B c C ==算出b ，c 值求面积即可. 【详解】 （1）因为sinsin 2A Ca b A +=，所以sin cos sin 22B B a a b A π-==， 由正弦定理：sin sin sin a b cA B C ==知，sin cos sin sin 2B A B A =， 而sin 0A ≠，则cos sin 2sin cos 222B B BB ==， 又0B π<<，022B π<<，cos 02B ≠，所以1sin 22B =. 26B π=，3B π=. （2）设ABC V 三边分别为a ，b ，c ，AC 中点为M ， 如图所示：因为1cos 7A =，所以43sin A =. 又因为3B π=，()53sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=. 因为1292BA BC BM +==u u u r u u u r u u u u r ，所以1292BM =.由余弦定理知2222cos BM AB AM AB AM A=+-⋅⋅2222111111292427474c b c b c b cb =+-⋅⋅=+-=，因为3sin72sin553b BcC===，75b c=.得到221717129()45754c c+⨯-⨯=解得5c=，7b=.1143sin5710322S bc A==⨯⨯⨯=.【点睛】本题第一问考查利用正弦定理的边化角求角，第二问考查余弦定理解三角形，同时考查正弦定理的面积公式，属于中档题.18．如图，三棱柱111ABC A B C-中，CA CB=，1AA BC⊥，145BAA∠=︒.（1）求证：平面11AA C C⊥平面11AA B B；（2）若122BB==，直线11B C与平面11ABB A所成角为45°，D为1CC的中点，求二面角11B AD C--的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）31414【解析】（1）首先过点C作1CO AA⊥，垂足为O，根据1CO AA⊥，1AA BC⊥得到1AA⊥平面BOC，从而得到1AA OB⊥.又因为Rt AOC Rt BOC△≌△得到CO OB⊥，CO AO⊥，从而得到CO⊥平面11ABB A，由此即证平面11AA C C⊥平面11AA B B.（2）首先以O为坐标原点，OA，OB，OC所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系O xyz-，根据直线11B C与平面11ABB A所成角为45o得到2AB=，1AO BO CD ===，再利用向量法求二面角11B AD C --的余弦值即可.【详解】（1）过点C 作1CO AA ⊥，垂足为O . 因为1AA BC ⊥，BC 交CO 于点C ， 所以1AA ⊥平面BOC .又因为OB ⊂平面BOC ，故1AA OB ⊥. 因为145A AB ∠=︒，1AA OB ⊥，所以AOB V 为等腰直角三角形，则OA OB =. 又因为CA CB =，CO CO =，所以Rt AOC Rt BOC △≌△，故90COA COB ∠=∠=︒， 故CO OB ⊥，CO AO ⊥.因为BO ，AO ⊂平面11ABB A ，BO AO O =I ，所以CO ⊥平面11ABB A . 又因为CO ⊂平面11AAC C ，故平面11AAC C ⊥平面11AA B B . （2）由（1）知CO ⊥平面11AA B B .以O 为坐标原点，OA ，OB ，OC 所在直线为x ，y ，z 轴， 建立空间直角坐标系O xyz -.因为直线11B C 与平面11ABB A 成角为45°，而11//BC B C ， 所以直线BC 与平面11ABB A 成角为45︒，而CBO ∠是直线BC 与平面11AA B B 所成角，故45CBO ∠=︒.所以AB =，1AO BO CD ===，()1,0,0A ，()0,1,0B ，()0,0,1C ，()11,0,0A -，()12,1,0B -，()1,0,1D - ()2,0,1AD =-u u u r ，()11,1,1B D =-u u u u r设平面1AB D 的法向量为()111,,n x y z =r，则111111200n AD x z n B D x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩u u u v v u u u u v v ，令11x =，得()1,3,2n =r .因为OB ⊥平面11AAC C ，所以OB uuu r为平面1AC D 的一条法向量，()0,1,0OB =u u u r .所以cos ,14n OB n OB n OB⋅<>===⋅r u u u rr u u u r r u u u r ，二面角11B AD C --的余弦值为14. 【点睛】本题第一问考查面面的垂直的证明，第二问考查向量法求二面角，同时考查了学生的计算能力，属于中档题.19．某工厂质检部门要对该厂流水线生产出的一批产品进行检验，如果检查到第0n 件仍未发现不合格品，则此次检查通过且认为这批产品合格，如果在尚未抽到第0n 件时已检查到不合格品则拒绝通过且认为这批产品不合格.设这批产品的数量足够大，可以认为每次检查查到不合格品的概率都为p ，即每次抽查的产品是相互独立的. （1）若05n =，求这批产品能够通过检查的概率；（2）已知每件产品质检费用为50元，若04n =，设对这批产品的质检个数记作X ，求X 的分布列；（3）在（2）的条件下，已知1000批此类产品，若11,2010p ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则总平均检查费用至少需要多少元？（总平均检查费用=每批次平均检查费用⨯批数）【答案】（1）()51p -（2）详见解析（3）171950元【解析】（1）根据05n =，这批产品能够通过检查说明前5次都通过检查，即可得到()()51P A p =-.（2）根据题意得到1X =，2，3，4，分别计算概率再列出分布列即可.（3）首先计算数学期望，令()()32464f p E X p p p ==-+-+，利用导数求出其最小值，即可得到答案. 【详解】（1）因为05n =，记事件A 为“当05n =时，这批产品能够通过检查”， 则由题意知：()()51P A p =-. （2）由题可知1X =，2，3，4()1P X p ==，()()21P X p p ==-，()()231P X p p ==-，()()341P X p ==-所以X 的分布列为：（3）由（2）可知X 的数学期望为：()()()()2332213141464E X p p p p p p p p p =+-+-+-=-+-+.设()32464f p p p p =-+-+，()2386f p p p '=-+-，因为64720∆=-<，所以()0f p '<， 所以()f p 在11,2010p ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦单调递减， 所以()min 11464 3.43910100010010f p f ⎛⎫==-+-+=⎪⎝⎭所以每批次平均检查费用至少为50 3.439171.95⨯=（元）所以1000批次此类产品总平均检查费用至少需要1000171.95171950⨯=（元）【点睛】本题主要考查离散型随机变量，同时考查了数学期望的应用，利用导数思想求最值为解题的关键，属于中档题.20．平面内与两定点()12,0A -，()22,0A 连线的斜率之积等于14-的点的轨迹，加上1A 、2A 两点所成的曲线为C .若曲线C 与y 轴的正半轴的交点为M ，且曲线C 上的相异两点A 、B 满足0MA MB ⋅=u u u r u u u r.（1）求曲线C 的轨迹方程； （2）求ABM V 面积S 的最大值.【答案】（1）2214x y +=（2）6425【解析】（1）首先设出(),P x y ，根据斜率之积等于14-得到()1212224A P A P y y k k x x x ⋅=⋅=-≠±+-，再化简即可得到曲线C 的轨迹方程. （2）分别讨论AB 的斜率存在和不存在时，根据0MA MB ⋅=u u u r u u u r，设出直线方程与椭圆联立，利用根系关系得到直线恒过30,5N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，再将ABM V 面积转化为ABM AMN BMN S S S =+V V V ，利用根系关系和对勾函数的单调性即可得到面积的最大值.【详解】（1）设曲线C 上任意一点(),P x y ，12A P y k x =+，22A P y k x =-， ()1212224A P A P y y k k x x x ⋅=⋅=-≠±+-， 整理得：()22124x y x +=≠±.又曲线C 加上1A ，2A 两点，所以曲线C 的方程是：2214x y +=.（2）由题意可知()0,1M ，设()11,A x y ，()22,B x y ， 当AB 的斜率存在时，设直线AB ：y kx m =＋，联立方程组：2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得到()222148440k x kmx m +++-=，则122814km x x k -+=+，21224414m x x k -⋅=+.()11,1MA x y =-u u u r ，()22,1MB x y =-u u u r，因为0MA MB ⋅=u u u r u u u r，所以有()()1212110x x kx m kx m ⋅++-+-=，()()()()2212121110k x xk m x x m +⋅+-++-=，()()()2222244811101414m km k k m m k k--++-+-=++， ()()()()()22222144811140k mk m m m k +---+-+=化简得到()()1530m m -+=，解得：35m =-或1m =（舍）. 当AB 的斜率不存在时，易知满足条件0MA MB ⋅=u u u r u u u r的直线AB 为：0x =.因此，直线AB 恒过定点30,5N ⎛⎫- ⎪⎝⎭.所以1212ABM AMN BMN S S S MN x x =+=-=V V V1212MN x x ==-ABMS =V ， 因为35m =-，所以2322514ABM S k =+V .设2t =≥，()2323229494t S t t t t==≥++. 由对勾函数的单调性得到94y t t=+在[2,)+∞为增函数，所以92542t t +≥. 即：6425S ≤（0k =时取到最大值）. 所以ABM 面积S 的最大值为6425.【点睛】本题第一问考查圆锥曲线的轨迹方程，第二问考查直线与椭圆的位置关系，同时考查了学生的计算能力，属于难题.21．已知函数()()ln f x x x a =-+的最小值为0，其中0a >. （1）求a 的值；（2）若对任意的[)0,x ∈+∞，有()2f x kx ≤恒成立，求实数k 的最小值；（3）记()12ln 2121nn i S n i ==-+-∑，[]x 为不超过x 的最大整数，求[]n S 的值. （参考数据：ln 20.7≈，ln3 1.1≈，ln5 1.6≈） 【答案】（1）1a =（2）12（3）[]0,1,1, 2.n n S n =⎧=⎨≥⎩ 【解析】（1）首先求导()1x a f x x a+-=+'，求出函数的单调区间，根据单调区间得到最小值，即可得到a 的值.（2）当0k ≤时，易证不合题意，当0k >时，令()()()22ln 1g x f x kx x x kx =-=-+-，()()2121x kx k g x x ⎡⎤---⎣⎦'=+，令()0g x '=，可得10x =，2122k x k-=.分类讨论12k ≥和102k <<时()g x 的单调性和最值即可得到实数k 的最小值.（3）当1n =时，()12ln30,1S =-∈，[]10S =.当2n ≥时，()1122ln 212121nnn i i f n S i i ==⎛⎫==-+= ⎪--⎝⎭∑∑，取12k =，得()21()20f x x x ≤≥，从而得到()()()*222,N 212321f i i i i i ⎛⎫<≥∈ ⎪---⎝⎭，所以12ln 31221nS n <-+-<-.又因为10n n S S -->，得到123012n S S S S <<<<<⋅⋅⋅<<，即可得到[]0,11,2n n S n =⎧=⎨≥⎩.【详解】 （1）()()111x a x a x a f x x a+-=-+'=>-+，令()0f x '=，得1x a =-，()f x 在(),1a a --单调递减，()1,a -+∞单调递增，()()min 110f x f a a =-=-=，所以1a =.（2）当0k ≤时，取1x =，有()11ln 20f =->，故0k ≤不合题意. 当0k >时，令()()()22ln 1g x f x kx x x kx =-=-+-，求导函数可得()()21211211x kx k g x kx x x ⎡⎤---⎣⎦'=--=++，令()0g x '=，可得10x =，21212kx k-=>-. ①当12k ≥时，1202k k-≤， 所以[)0,x ∈+∞，()0g x '≤恒成立， 因此()g x 在[)0,+∞上单调递减，从而对任意的[)0,x ∈+∞，总有()()00g x g ≤=，即对任意的[)0,x ∈+∞，有2()f x kx ≤成立，故12k ≥符合题意； ②当102k <<时，1202k k->， 对于120,2k x k -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0g x '>，因此()g x 在120,2k k -⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递增， 从而当0120,2k x k -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()000g x g ≥=， 即有()200f x kx ≤不成立，故102k <<不合题意.综上， k 的最小值为12. （3）当1n =时，()12ln30,1S =-∈，[]10S =. 当2n ≥时，11222ln 1212121nn i i f i i i ==⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎢⎥---⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑ ()12ln 2121nn i n S i ==-+=-∑由（2）知，取12k =，得()21()20f x x x ≤≥，从而()()()()2*2212222,N 21221232121f i i i i i i i ⎛⎫⎛⎫≤=<≥∈ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭-， 所以()()()12222222ln 233212211nnnn i i i S f f fi i i i ===⎛⎫⎛⎫==+<-+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝--⎭∑∑∑ 21112ln 32ln 312232121ni i i n =⎛⎫=-+-=-+-< ⎪---⎝⎭∑. 又()()1112ln 21221n n i S n n i --==--≥-∑， 所以122122ln ln 121212121n n n S S n n n n -+⎛⎫-=-=-+ ⎪----⎝⎭. 令221t n =-，则()0,1t ∈，设()()ln 1h t t t =-+， ()11011th t t t'=-=>++，所以()h t 在()0,1单调递增，则()()00h t h >=，所以{}n S 单调递增，即1230n S S S S <<<<⋅⋅⋅<，又222ln 513S =+->， 所以123012n S S S S <<<<<⋅⋅⋅<<，所以[]0,11,2n n S n =⎧=⎨≥⎩. 【点睛】本题主要考查利用导数求函数的最值，利用导数解决恒成立问题，同时考查了分类讨论和构造函数的思想，属于难题.22．已知在极坐系中，点(),P ρθ绕极点O 顺时针旋转角α得到点(),P ρθα'-.以O 为原点，极轴为x 轴非负半轴，并取相同的单位长度建立平面直角坐标系，曲线E ：1xy =绕O 逆时针旋转4π得到曲线C . （1）求曲线E 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）点M 的极坐标为4,4π⎛⎫⎪⎝⎭，直线l 过点M 且与曲线E 交于A ，B 两点，求MA MB⋅的最小值.【答案】（1）2sin 22ρθ=；22122y x -=（2）14【解析】（1）首先根据题意得到E 的极坐标方程为2sin 22p θ=，设(),P ρθ为曲线C 上任意一点，得到点,4P πρθ⎛⎫'-⎪⎝⎭在曲线E 上，即2sin 222πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，再化简得到曲线C 的直角坐标方程为22122y x -=.（2）首先设l：cos ,sin x t y t αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），代入1xy =得到()2cos sin sin cos 70t αααα+++=，利用直线参数方程的几何意义得到1214sin 2MA MA t t α⋅==，再利用三角函数的性质即可得到最小值.【详解】（1）由E 的直角坐标方程为1xy =可得cos sin 1ρθρθ⨯=即：2sin 22p θ=，设(),P ρθ为曲线C 上任意一点， 则P 绕O 顺时针旋转4π得到点,4P πρθ⎛⎫'- ⎪⎝⎭在曲线E 上，则2sin 222πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即2cos 22ρθ=-， ()22222si cos n 2x y ρθθ-=-=-所以曲线C 的方程为22122y x -=.（2）M的直角坐标为(，设l：cos ,sin x t y t αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），代入1xy=，整理后可得()2cos sin sin cos 70t αααα+++=.127cos sin t t αα=g所以1271414cos sin sin 2MA MA t t ααα⋅===≥.当且仅当4k παπ=+或()4k k Z παπ=-∈时取等号，此时>0∆，符合条件.故MA MB ⋅的最小值为14【点睛】本题第一问考查直角坐标方程和极坐标方程的互化，第二问考查直线参数方程的几何意义，属于中档题.23．已知函数()21f x x x =+-的最小值为M . （1）求M ；（2）若正实数a ，b ，c 满足a b c M ++=，求证：2222221a b a c b cc b a+++++≥.【答案】（1）12M =（2）证明见解析； 【解析】（1）首先化简解析式得到()31,01=1,02131,2x x f x x x x x ⎧⎪-+<⎪⎪-≤<⎨⎪⎪-≥⎪⎩，根据函数的单调性即可得到()f x 的最小值.（2）首先利用重要不等式得到222222222a b a c b c ab ac bcc b a c b a+++++≥++，再根据均值不等式和12a b c ++=即可证明. 【详解】（1）()31,0,1=211,0,2131,.2x x f x x x x x x x ⎧⎪-+<⎪⎪+-=-≤<⎨⎪⎪-≥⎪⎩因为函数13(0)y x x =-<是减函数，11(0)2y x x =-≤<是减函数；131()2y x x =-≥是增函数，故当12x =时，()f x 取得最小值11()22M f ==.（2）222222222a b a c b c ab ac bcc b a c b a+++++≥++()()()2()1b c a c c ba b c a b c c b c a b a=+++++≥++=，当且仅当16a b c ===取等号.【点睛】本题第一问考查求绝对值函数的最值，把绝对值函数变为分段函数为解题的关键，第二问考查利用均值不等式的性质证明不等式，属于中档题.。
2020年高考数学(理)原创终极押题卷(新课标Ⅰ卷)(考试版)
数学试题 第 1页（共 6页）
数学试题 第 2页（共 6页）
A．7
B．20
C．22
D．54
7. 已知函数 f x 是定义在 R 上的偶函数，且在 0, 上单调递增，则（ ）
A． f 3 f log313 f 20.6 C． f 20.6 f log313 f 3
B． f 3 f 20.6 f log313 D． f 20.6 f 3 f log313
A. 这 天中有 天空气质量为一级 B. 从 日到 日 PM 2.5 日均值逐渐降低 C. 这 天中 PM 2.5 日均值的中位数是 D. 这 天中 PM 2.5 日均值最高的是 5 月 日 4. 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A． (M P) S
数学试题 第 4页（共 6页）
关注公众号：初高中数学交流群，回复 PDF 获取答案
（Ⅱ）设直线 BD1 与动点 F 的轨迹所在平面所成的角记为 ，求 cos ．
D1 A1
E C1
B1
D C
A
B
19．（本小题满分 12 分） 为了迎接 2019 年高考，了解学生的成绩状况，在一次省质检中，某省教育部门随机抽取了 500 名学生的 数学考试成绩，统计如下表所示：
三、解答题（共 70 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题，每个 试题考生都必须作答，第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。）
（一）必考题：共 60 分。 17．（本小题满分 12 分） 已知数列 {an} 是等差数列， a2 3 ， a5 6 ，数列{bn} 的前 n 项和为 Sn ，且 2bn Sn 2 ．
2020年高考数学冲刺压轴卷理
(二)选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 两题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第 一题计分。 22.(本小题满分 10 分)选修 4－4：坐标系与参数方程
x 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程是
2t 2
(t 为参数)，以 O 为极点，x
y
2t4 2
轴非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，圆 C 的极坐标方程为
－2cosAsinC，则△ABC 的面积是
3
1
33
11
A.
B.
C. 或
D. 或
4
2
42
42
x2
10.设双曲线 C：
a2
y2 b2
1(a 0, b 0) 的左、右焦点分别是 F1，F2，过 F1 的直线交双曲线
C 的左支于 M，N 两点，若 MF2＝F1F2，且 2MF1＝NF1，则双曲线 C 的离心率是
(2)若数列{an}的公差不为 0，设 bn＝an＋ 3an ，求数列{bn}的前 n 项和 Tn。
18.(本小题满分 12 分)
如图，在几何体 ABCDEF 中，平面 ADE⊥平面 ABCD，四边形 ABCD 为菱形，∠DAB＝60°，EA＝
ED＝AB＝2EF，EF//AB，M 为 BC 中点。
-3-
2
1
2
5
10
A.
B.
C.
D.
2
2
2
2
7.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为
A.2 B.3 C.4 D.5
8.从 0，1，2，3，4，5 这 6 个数字中，任取 3 个组成一个无重复数字的三位数，则这样的三
位数中偶数个数与奇数个数的比值为
2020年高考数学(理)原创终极押题卷(新课标Ⅱ卷)(解析版)
再苦再累，只要坚持往前走，属于你的风景终会出现。
人生如烟花，不可能永远悬挂天际，只要曾经绚烂过，便不枉此生。
秘密★启用前 2020年全国普通高等学校招生考试终极押题卷（全国新课标Ⅱ）理科数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合，则A B ⋂=（ ）A. {}1,0-B. {}0,1C. {}1,0,1-D. {}1,2- 【答案】B 【解析】，，则，故选B.2．已知i 为虚数单位,复数1z i =+,则1z z-的实部与虚部之差为( )A ． 1B ．0C ．21-D ．2【答案】D 【解析】：复数1z i =+，∴111112,1,22,2---=21222i z z i z i z+==-∴-=-=--实部，虚部，实部虚部 【点睛】：该小题几乎考查了复数部分的所有概念,是一道优秀试题。
3．下图为国家统计局发布的2018年上半年全国居民消费价格指数（CPI ）数据折线图，（注：同比是今年第n 个月与去年第n 个月之比，环比是现在的统计周期和上一个统计周期之比）下列说法错误的是（ ）A. 2018年6月CPI 环比下降0.1%，同比上涨1.9%B. 2018年3月CPI 环比下降1.1%，同比上涨2.1%C. 2018年2月CPI 环比上涨0.6%，同比上涨1.4%D. 2018年6月CPI 同比涨幅比上月略微扩大0.1个百分点 【答案】C【分析】对照表中数据逐项检验即可.【详解】观察表中数据知A,B,D 正确，对选项C ，2018年2月CPI 环比上涨2.9%，同比上涨1.2%，故C 错误，故选：C【点睛】本题考查折线图，准确识图读图理解题意是关键，是基础题.4. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“诸葛亮领八员将，每将又分八个营，每营里面排八阵，每阵先锋有八人，每人旗头俱八个，每个旗头八队成，每队更该八个甲，每个甲头八个兵．”则该问题中将官、先锋、旗头、队长、甲头、士兵共有（ ） A ．()71887-人 B ．()91887-人 C ．()718887+-人D ．()9418887+-人 【答案】D【解析】由题意可得将官、营、阵、先锋、旗头、队长、甲头、士兵依次成等比数列，且首项为8，公比也是8，所以将官、先锋、旗头、队长、甲头、士兵共有：()()45456789481818888888888187-+++++=+=+--，故选D ．再苦再累，只要坚持往前走，属于你的风景终会出现。
2020年全国高考(新课标II卷)考前10天名师押题压轴卷 数学(理)试题(解析版)
2020年全国高考（新课标II 卷）考前10天名师押题压轴卷理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}|2A x x =-＞，{}|1B x x =≥，则A B ⋃=（ ）A.{}|2x x >-B.{}|21x x -<≤C.{}|2x x ≤-D.{}|1x x ≥ 【答案】：A【解析】：由并集的概念知，{}|2A B x x ⋃=>-，故选A 2.z 是z 的共轭复数，若()2,2(z z z z i i +=-=为虚数单位) ，则z =（ ）A ．1i +B ．1i --C ．1i -+D ．1i - 【答案】D【解析】 试题分析：设,,,z a bi z a bi a b R =+=-∈，依题意有22,22a b =-=，故1,1,1a b z i ==-=-.考点：复数概念及运算．3.设向量、的夹角为θ，且)1,2(-=，)3,2(2=+，则=θcos ( )。
A 、552-B 、53-C 、55D 、53 【答案】B 【解析】∵)2,4()1,2()3,2(22=--==-+，∴)1,2(=， ∴535514||||cos -=⨯+-=⋅=b a θ，故选B 。
4.5G 时代悄然来临，为了研究中国手机市场现状，中国信通院统计了2019年手机市场每月出货量以及与2018年当月同比增长的情况，得到如下统计图，根据该统计图，下列说法错误的是（ ）A．2019年全年手机市场出货量中，5月份出货量最多B．2019年下半年手机市场各月份出货量相对于上半年各月份波动小C．2019年全年手机市场总出货量低于2018年全年总出货量D．2018年12月的手机出货量低于当年8月手机出货量【答案】D【解析】【押题点】合情推理与数据分析与图表分析相结合【详解】对于A，由柱状图可得五月出货量最高，故A正确;对于B，根据曲线幅度可得下半年波动比上半年波动小，故B正确; 对于C,根据曲线上数据可得仅仅四月五月比同比高，其余各月均低于2018年，且明显总出货量低于2018年，故C正确;对于D，可计算的2018年12月出货量为()3087.51 5.3%3260.33569.05÷=<，故12月更高，-÷-=，8月出货量为()3044.4114.7%3569.05故D错误,5.某市一次高三年级数学统测，经抽样分析，成绩X近似服从正态分布N（84，σ2），且P（78<X≤84）=0.3．该市某校有400人参加此次统测，估计该校数学成绩不低于90分的人数为（）A．60 B．80 C．100 D．120【答案】B【解析】∵X近似服从正态分布N（84，σ2），P（78<X≤84）=0.3．∴P（X≥90）（1﹣2×0.3）=0.2，∴该校数学成绩不低于90分的人数为400×0.2=80．故选B．α⊥的充要条件是( )。
【高考试卷】2020届年高考数学(理)原创终极押题卷(新课标Ⅱ卷)(参考答案)
2020年高考冲刺试卷芳草香出品秘密★启用前2020年全国普通高等学校招生考试终极押题卷（全国新课标Ⅱ）理科数学参考答案（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第Ⅰ卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 答案 B D C D B ZxxkCom D C B B A D A第Ⅱ卷二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.2 14. 乙15.2 16.2π三、解答题（共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
）（一）必考题：共60分。
17．（本小题满分12分）在ABC△中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且223sin sin302AA+-=．（1）求角A的大小；（2）已知ABC△外接圆半径3R=，且3AC=，求ABC△的周长．【答案】（1）π3A=；（2）333+．【解析】（1）223sin sin302AA+-=Q，1cos23sin302AA-∴⨯+-=，即sin3cos0A A-=，tan3A∴=，又0πA<<，π3A∴=．……………………………………………………………………………………….6分（2）2sinaRA=Q，2sinπ23sin33a R A∴===，3AC b==Q，∴由余弦定理可得2222cosa b c bc A=+-，2933c c=+-，∴2360c c--=，∵0c>，所以得23c=，∴周长333a b c++=+．…………………………………………12分18．（本小题满分12分）某学生为了测试煤气灶烧水如何节省煤气的问题设计了一个实验，并获得了煤气开关旋钮旋转的弧度数x 与烧开一壶水所用时间y 的一组数据，且作了一定的数据处理(如下表)，得到了散点图(如下图)．表中21i iw x =，101110i i w w ==∑．（1）根据散点图判断，y a bx =+与2dy c x =+哪一个更适宜作烧水时间y 关于开关旋钮旋转的弧度数x 的回归方程类型?(不必说明理由)（2）根据判断结果和表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（3）若旋转的弧度数x 与单位时间内煤气输出量t 成正比，那么x 为多少时，烧开一壶水最省煤气？ 附：对于一组数据()11,u v ，()22,u v ，()33,u v ，，(),n n u v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()121ˆni i i n i i v v u u u u β==--=-∑∑，ˆˆv u αβ=-． 【答案】（1）2d y c x =+更适宜；（2）2205ˆy x=+；（3）2x =时，煤气用量最小． 【解析】（1）2dy c x =+更适宜作烧水时间关于开关旋钮旋转的弧度数x 的回归方程类型．…………………4分 （2）由公式可得：()()()101102116.2200.8ˆ1ii i i i w w y y d w w ==--===-∑∑， 20.ˆˆ6200.785cy dw =-=-⨯=， ∴所求回归方程为2205ˆyx=+．………………………………………………8分 （3）设t kx =，则煤气用量2202020552520k k S yt kx kx kx k x x x ⎛⎫==+=+≥⋅= ⎪⎝⎭，当且仅当205k kx x =时取“”，即2x =时，煤气用量最小．………………………………………………12分 19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，AB PC ⊥，AD BC ∥，AD CD ⊥，且2222PC BC AD CD ====，2PA =． （1）证明：PA ⊥平面ABCD ；（2）在线段PD 上，是否存在一点M ，使得二面角M AC D --的大小为60︒？如果存在，求PMPD的值；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）见证明；（2）见解析．【解析】（1）∵在底面ABCD 中，AD BC ∥，AD CD ⊥，且2222BC AD CD ===，∴2AB AC ==，22BC =，∴AB AC ⊥，又∵AB PC ⊥，AC PC C =I ，AC ⊂平面PAC ，PC ⊂平面PAC ，∴AB ⊥平面PAC ，又∵PA ⊂平面PAC ，∴AB PA ⊥，∵2PA AC ==，22PC =，∴PA AC ⊥， 又∵PA AB ⊥，AB AC A =I ，AB ⊂平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥平面ABCD ．………….6分（2）方法一：在线段AD 上取点N ，使2AN ND =，则MN PA ∥，又由（1）得PA ⊥平面ABCD ，∴MN ⊥平面ABCD ，又∵AC ⊂平面ABCD ，∴MN AC ⊥，作NO AC ⊥于O ，又∵MN NO N =I ，MN ⊂平面MNO ，NO ⊂平面MNO ，∴AC ⊥平面MNO ，又∵MO ⊂平面MNO ，∴AC MO ⊥，又∵AC NO ⊥，∴MON ∠是二面角M AC D --的一个平面角，设PMx PD=，则()122MN x AP x =-=-，22ON AN xAD x ===，这样，二面角M AC D --的大小为60︒，即22tan tan603MN x MON ON x -∠===︒=，即423PMx PD ==-，∴满足要求的点M 存在，且423PMPD=-．………………………………………………12分 方法二：取BC 的中点E ，则AE 、AD 、AP 三条直线两两垂直 ∴可以分别以直线AE 、AD 、AP 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，且由（1）知()0,0,2AP =u u u r是平面ACD 的一个法向量，设()0,1PMx PD =∈，则()122MN x AP x =-=-，2AN xAD x =， ∴()2,22AM x x =-u u u u r ，()2,2,0AC =u u u r，设(),,AQ a b c =u u u r是平面ACM 的一个法向量，则()2220220AQ AM xb x c AQ AC a b ⎧⋅+-=⎪⎨⋅+=⎪⎩u u u r u u u r u u u r u u u u r ，∴2a b x c =-⎧⎪⎨=⎪⎩，令22b x =-，则()22,22AQ x x x =-+-u u u r，它背向二面角，又∵平面ACD 的法向量()0,0,2AP =u u u r，它指向二面角，这样，二面角M AC D --的大小为60︒，即()()()222221cos cos602222222,AP AQ xAP AQ AP AQ x x x==︒=⋅-++-⋅+⋅u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r ，即423x =-∴满足要求的点M 存在，且423PMPD=-……………………………………………….12分20．（本小题满分12分）已知ABC △的直角顶点A 在y 轴上，点()1,0B ，D 为斜边BC 的中点，且AD 平行于x 轴． （1）求点C 的轨迹方程；（2）设点C 的轨迹为曲线Γ，直线BC 与Γ的另一个交点为E ．以CE 为直径的圆交y 轴于M 、N ，记此圆的圆心为P ，MPN α∠=，求α的最大值． 【答案】（1）()240y x x =≠；（2）2π3． 【解析】（1）设点C 的坐标为(),x y ，则BC 的中点D 的坐标为1,22x y +⎛⎫ ⎪⎝⎭，点A 的坐标为0,2y ⎛⎫ ⎪⎝⎭．1,2y AB ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r ，,2y AC x ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r ，由AB AC ⊥，得204y AB AC x ⋅=-=u u u r u u u r ，即24y x =，经检验，当点C 运动至原点时，A 与C 重合，不合题意舍去．∴轨迹Γ的方程为()240y x x =≠．………………………………………………4分（2）依题意，可知直线CE 不与x 轴重合，设直线CE 的方程为1x my =+， 点C 、E 的坐标分别为()11,x y 、()22,x y ，圆心P 的坐标为()00,x y ．由241y x x my ⎧=⎨=+⎩，可得2440y my --=，∴124y y m +=，124y y =-．……………………………………………….6分 ∴()21212242x x m y y m +=++=+，∴2120212x x x m +==+． ∴圆P 的半径()()221211124422222r CE x x m m ==++=+=+．………………………………………………8分 过圆心P 作PQ MN ⊥于点Q ，则2MPQ α∠=．在Rt PQM △中，2022211cos 122222PQ x m r r m m α+====-++，………………………………………………10分 当20m =，即CE 垂直于x 轴时， cos 2α取得最小值为12，2α取得最大值为π3，∴α的最大值为2π3．………………………………………………12分 21．（本小题满分12分）已知函数()()1e 1ln x f x a x x -=--+（a ∈R ，e 是自然对数的底数）． （1）设()()g x f x '=（其中()f x '是()f x 的导数），求()g x 的极小值； （2）若对[)1,x ∈+∞，都有()1f x ≥成立，求实数a 的取值范围．。
2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学压轴试卷(一)
2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 压轴试卷（一）一、选择题1．已知集合{}3log M x y x ==和{}3xN y y ==，则下列结论正确的是（ ）A ．M N =B ．M N ⋂=∅C ．M N ⋃=RD ．M N Þ2．已知a 是实数，复数()21a i z i +=-在复平面内对应的点不可能在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．我国在贵州省平塘县境内修建的500米口径球面射电望远镜()FAST 是目前世界上最大单口径射电望远镜。
使用三年来，已发现132颗优质的脉冲星候选体，其中有93颗已被确认为新发现的脉冲星．脉冲星是上世纪60年代天文学的四大发现之一，脉冲星就是正在快速自转的中子星，每一颗脉冲星每两脉冲间隔时间（脉冲星的自转周期）是一定的，最小小到0.0014秒，最长的也不过11.765735秒．某一天文研究机构观测并统计了93颗已被确认为新发现的脉冲星的自转周期，绘制了如图的频率分布直方图．则在93颗新发现的脉冲星中，自转周期在2至10秒的颗数大约为（ ）A ．47B ．86C ．79D ．704．若3512a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1235b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，351log 2c =，则下列结论正确的是（ ）A ．b c a >>B ．c a b >>C ．a b c >>D ．c b a >>5．在平面直角坐标系xOy 中，已知θ为锐角，若角45θ+︒的终边与圆22:1O x y +=交于点34,55A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则tan θ=（ ） А．7B ．17C ．125D ．5126．古代人家修建大门时，贴近门墙放置两个石墩．石墩其实算是门墩，又称门枕石，在最初的时候起支撑固定院门的作用，为的是让门栓基础稳固，防止大门前后晃动．不过后来不断演变，一是起到装饰作用，二是寓意“方方圆圆”．如图所示，粗实线画出的是某门墩的三视图，则该门墩从上到下分别是（ ）A ．半圆柱和四棱台B ．球的14和四棱台 C ．半圆柱和四棱柱 D ．球的14和四棱柱7．双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>虚轴的一个端点为A ，左、右焦点分别为1F ，2F ，12AF F △的两边1AF ，2AF 分别与C 交于点M 、N ，若MN 是12AF F △的中位线，则C 的离心率是（ ） A ．2B ．3C ．2D ．58．为阻击新型冠状病毒感染，某地红十字会将6名志愿者分配到甲、乙、丙三个交通要道测试过往行人的体温，将6名志愿者按1人、1人、4人进行分组，分配到甲、乙、丙三个交通要道，则不同的分配方案种数是（ ） A ．60B ．90C ．120D ．1809．某纺织企业通过电脑设计各种美丽的布料图案，设计者考虑用一条长度为a 的线段EF ，其端点E 、F 在边长为3的正方形ABCD 的四条边上滑动，如图所示，当EF 绕着正方形的四边滑动一周时，以A 为原点，AB 、AD 所在直线分别为x 轴、y 轴，探究EF 的中点M 所形成的轨迹．其中2a =时，点M 的轨迹是（ ）A ．B ．C ．D ．10．抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，过点F 的直线m 与抛物线C 及准线l 依次交于P 、Q 、R 三点，且4RQ QF =u u u r u u u r ，则PFFQ=（ ） A ．2B ．43C ．32D ．5311．在正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线a 和b 分别在上底面1111A B C D 和下底面ABCD 上运动，且a b ⊥．现有以下结论：（ ）①当1A D 与a 所成的角为60°时，1A D 与b 所成的角为60°；②当1A D 与b 所成的角为60°时，a 与侧面1ADD A ，所成的角为30°； ③1A D 与a 所成角的最小值为45°； ①1A D 与a 所成角的最大值为90°； A ．①①B ．①①C ．①③①D ．②③①12．已知函数()()2,2;9sin 2,2,x x f x x x -⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩则满足方程()()4f x f x -=的解的个数是（ ）A ．3B ．5C ．7D ．9二、填空题13．已知x 、y 、满足不等式组22,0,0,x y x y +≥⎧⎪≥⎨⎪≥⎩则3z x y =+的最小值是______．14．已知()2,a k =，()1,2b =-，//a b ，则a b -=______．15．已知函数()()()sin 0,02f x x ωϕωϕπ=+><<满足：①()f x 的图象关于点,012π⎛⎫-⎪⎝⎭对称；②()f x 的图象关于直线6x π=对称．则满足①和①的ω，ϕ的一组值分别是______．16．在ABC △中，AB =2BC =，30ABC ∠=︒，则AC =______；将ABC △是绕着顶点C 旋转，若顶点C 到直线l 的距离为1，顶点A 、B 到直线l 的距离分别为1d 、2d ，则12d d +的最大值是______． 三、解答题17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且343a a +=，1025S =． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （①）设2n an b =．（i ）求证：数列{}n b 是等比数列；（ii ）2n b 是否是数列{}n b 中的项？并说明理由．18．在三棱柱111ABC A B C -中，侧而11ACC A ⊥底面ABC ，11AA BC ==，12A B AC ==，AB =（Ⅰ）求证：1A A ⊥平面1A BC ；（①）设F 是AB 的中点，求二面角1F A C B --的余弦值．19．已知椭圆22:143x y C +=的左、右顶点分别为A 、B ，M 、N 是椭圆C 上不与顶点重合的两个动点，且直线AM 与NB 交于点P ，90MAN ∠=︒．（Ⅰ）求证：点P 的横坐标为定值； （Ⅱ）求证：NB MB k k ⋅为定值．20．某网络科技公司在年终总结大会上，为增添喜悦、和谐的气氛，设计了闯关游戏这一环节，闯关游戏必须闯过若干关口才能成功．其中第一关是闯关答题，分别设置“文史常识题”，“生活常识题”、“影视艺术常识题”这3道题目，规定有两种答题方案： 方案一：答题3道，至少有两道答对；方案二：在这3道题目中，随机选取2道，这2道都答对．方案一和方案二中只要完成一个，就能通过第一关．假设程序员甲和程序员乙答对这3道题的概率均为m ，n ，p （其中m ，n ，()0,1p ∈），且这3道题是否答对相互之间没有联系．程序员甲选择了方案一，程序员乙选择了方案二．（Ⅰ）若m n p ==．（i ）分别用p 表示甲和乙各自通过第一关的概率；（ii ）设甲和乙中通过第一关的人数为ξ，则是否存在唯一的p 的值0p ，使得()1E ξ=？并说明理由． （Ⅱ）甲和乙中，哪个通过第一关的把握性大？ 21．已知函数()ln x af x x+=．（Ⅰ）判定()f x 零点的个数； （Ⅱ）当11ln 22a <+时，求证：()x f x e <． 22．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，圆C的参数方程为,x a y αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩（α为参数），直线l的参数方程为,,x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t为参数），设原点O 在圆C 的内部，直线l 与圆C 交于M 、N 两点；以坐标原点O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求直线l 和圆C 的极坐标方程，并求a 的取值范围；Ⅱ）求证：22OM ON +为定值． 23．选修4-5：不等式选讲（Ⅰ）已知0x >，0y >，0z =，证明：222111y z x x y z x y z++≥++； （Ⅱ）已知1a >，1b >，1c >，且8abc =，若222log log log log log log b c a a a b b c c k ⋅+⋅+⋅≥恒成立，求实数k 的最大值．2020年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学压轴试卷（一）1．A 【解析】()0,M =+∞，()0,N =+∞，所以M N =，故选A ． 2．B 【解析】()()()()()()()22111111a i a i i z a a i i i i ++--===--+----．当10a -<，且()10a -+>时，a 无解；当10a -<，且()10a -+<时，解得1a >；当10a ->，且()10a -+<时，解得11a -<<；当10a ->，且()10a -+>时，解得1a <-．综上，选B ．3．C 【解析】第一到第六组的频率依次为0.1，0.2，0.3，0.2，2α，0.05，其和为1，所以()210.10.20.30.20.05α=-++++，解得0.075α=，所以自转周期在2至10秒的大约有()9310.1579.0579⨯-=≈（颗）．故选C ． 4．D 【解析】考虑介值1212d ⎛⎫=⎪⎝⎭，根据指数函数的单调性，得132511122⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即1d a >>；根据幂函数的单调性，得112213125⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即1d b <<；根据对数函数的单调性．得335513log log 125c =>=，所以1c bd a >>>>，故选D ． 5．A【解析】由已知，得()4tan 453θ+︒=-，则()()()41tan 45tan 453tan tan 4545741tan 45tan 4513θθθθ--+︒-︒=+︒-︒===⎡⎤⎣⎦++︒︒-，故选A ． 6．D 【解析】该组合体上面为球的14，下面为四棱柱（为卧放的直四棱柱）． 7．D 【解析】不妨设()0,A b ，()2,0F c ，则2AF 中点为,22c b N ⎛⎫⎪⎝⎭，代入C 的方程，得2222144c b a b -=，解得5ce a==．故选D ． 8．B 【解析】4136232290C C A A =．故选B ． 9．B 【解析】由题意，得12AM EF =，设()0,E m ，(),0F n ，(),M x y ，则2222112122x y m n +=+=⨯=，解得()2101y x x =-<≤，将函数()2101y x x =-<≤的图象（记为1C ）关于直线32x =对称，可得函数()()21323y x x =--<≤的图象（记为2C ）；将1C 和2C 的图象分别关于直线32y =对称，可分别得到以正方形ABCD 的顶点D 、C 为圆心、1为半径的14圆弧．故选B ．同理可得1a =时，对应3a =时，对应C ； 3.6a =时，对应D ．10．D 【解析】如图所示，过P 分别作1PP l ⊥，2PP x ⊥轴，垂足分别为1P ，2P ；过Q 分别作1QQ l ⊥，2QQ x ⊥轴，垂足分别为1Q 、2Q ；设1RQQ θ∠=，则11cos 4QQ QF RQ RQ θ===；由1cos PP p PF θ=+及1PP PF =，解得43p PF =，同理可得45pFQ =，于是53PF FQ ==，故选D ．11．C 【解析】如图所示，11A C D △和1A BD △均为正三角形，所以直线a 与11A C 重合或平行时，1A D 与a 所成的角为60°，此时若a b ⊥，则可使b 与BD 重合或平行，从而1A D 与b 所成的角为60°，则①正确；1A D 与b 所成的角为60°，此时若a b ⊥，a 与侧面11ADD A 所成11A D 重合时，1A D 与a 所角的大小为45°，则②错误；当a 与成角的最小值为45°．则③正确；当a 与11C D 重合时，1A D 与a 所成角的最大值为90°，则④正确．故选C ．(),0,9sin ,0xx g x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩的12．C 【解析】将()f x 的图象向左平移2个单位，得到图象，于是本题转化为求满足方程()()g x g x -=的解的个数．由于()sin 0y x x =>与()sin 0y x x =-<的图象关于y 轴对称．则可首先考虑()sin 0y x x =>与()09xy x =>的图象交点问题．如图所示，函数()sin 0y x x =>与()09xy x =>的图象有3个交点；其次，根据对称性，满足方程()()g x g x -=的解的个数有6个；最后考虑到0x =也满足()()g x g x -=，综上，满足方程()()g x g x -=的解的个数有7个，于是满足()()4f x f x -=的解有7个，故选C ．13．1【解析】可行域如图所示，当直线3y x z =-+过点()0,1时，z 最小，且min 3011z =⨯+=．14．35【解析】由//a b ，得1220k -⨯-⨯=，解得4k =-，则()3,6a b -=-，于是35a b -=．15．2；6π 【解析】可将,012π⎛⎫-⎪⎝⎭和6x π=视为()f x 在一个周期内的相邻的对称中心与对称轴，则4612T πππ⎡⎤⎛⎫=-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，于是2ω=；将,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭代入()sin 2y x ϕ=+，得sin 2012πϕ⎡⎤⎛⎫⨯-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，结合02ϕπ<<，可取6πϕ=．16．24【解析】由余弦定理，得2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⨯∠，即21242232cos304AC =+-⨯⨯⨯︒=，则2AC =；在ABC △中，因为2BC AC ==，所以120ACB ∠=︒．设CA 与水平线m 所夹的角为()02θθπ≤≤，则()()()121sin 1sin 18012022sin 2sin 602sin 3cos d d AC BC θθθθθθ+=+++︒--︒=++︒-=++⎡⎤⎣⎦()22sin 60θ=+︒+，故最大值为4．17．解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意，得111233,1091025,2a d a d a d +++=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩ 解得114a =，12d =， 所以，数列{}n a 的通项公式为()()*11211N 424n n a n n -=+-⨯=∈． （Ⅱ）（i ）由2n a n b =，得112n a n b ++=，则111122222n n nn a a a n a n b b ++-+===，所以数列{}n b的等比数列． （ii ）21422nn a n b -==，则22122n n b -=． 设2n b 是数列{}n b 中的第k 项，则21212224n k --=， 解得*41N 2n k -=∉， 故2n b 不是数列{}n b 中的项．18．解：（Ⅰ）在ABC △中，由1BC =，2AC =，AB =90ACB ∠=︒，即AC BC ⊥；在1A AB △中，同理可得11A A A B ⊥．因为侧面11ACC A ⊥底面ABC ，侧面11ACC A ⋂底面ABC AC =， 所以BC ⊥平面11ACC A ，又1A A ⊂平面11ACC A ，所以1BC A A ⊥， 又1A B BC B ⋂=，所以1A A ⊥平面1A BC ．（Ⅱ）因为1A A ⊥平面1A BC ，1AC ⊂平面1A BC ，所以11A A A C ⊥． 在直角1AAC △中，由11AA =及2AC =，得160A AC ∠=︒； 作1A O AC ⊥于点O ，则1A O ⊥平面ABC ，12OA =，12A O =，32OC =．以O 为坐标原点，分别以OA u u u r 、1OA u u u r的方向为x 轴、z 轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标系O xyz -．则1,0,02A ⎛⎫⎪⎝⎭，3,1,02B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，3,0,02C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1A ⎛ ⎝⎭，11,,022F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，从而112AA ⎛=- ⎝⎭u u u r ，11,,02CF ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r，132CA ⎛= ⎝⎭． 设平面1A CF 的法向量为(),,n x y z =，则10,0,n CF n CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r即10,230,2x y x z ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩取1x =，则(1,2,n =-，而平面1A BC的法向量为112AA ⎛=- ⎝⎭u u u r ，所以111cos ,n AA n AA n AA ⋅===⋅u u u ru u u r u u u r ， 因为二面角1F A C B --为锐角，故二面角1F A C B --的余弦值为2． 19．解：（Ⅰ）由题设知，直线MA 、NB 的斜率存在且均不为0，()2,0A -，()2,0B ． 设直线AM 的方程为2x ty =-，由AM AN ⊥，可设直线NA 的斜率为NA k t =-，方程为12x y t=--．由2212,3412,x y tx y ⎧=--⎪⎨⎪+=⎩得()2243120t y ty ++=， 解得21243N t y t =-+，则2221126824343N t t x t t t -⎛⎫=-⋅--= ⎪++⎝⎭，即2226812,4343t t N t t ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭． 直线NB 的斜率为222120343684243NBtt k t t t --+==--+，则直线BN 的方程为()324y x t=-． 将()324y x t=-代入2x ty =-，解得14x =-， 故点P 的横坐标为14-，是定值．（Ⅱ）由（Ⅰ），得3344NA NB k k t t ⋅=-⋅=-；设()11,M x y ，则22113412x y +=，即2211443x y -=-． 则2211112211113422443MA MBy y y y k k x x x y ⋅=⋅===-+---，所以3394416NA NB MA MB k k k k ⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅=-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 结合1NA MA k k ⋅=-，得916MB NB k k ⋅=-，为定值． 20．（Ⅰ）（i ）设答对题目的个数为X ，由m n p ==，得()3,X B p :．甲通过第一关的概率为()223323133132P C p p C p p p =-+=-；乙通过第一关得到概率为22222111333P p p p p =⨯+⨯+⨯=． （ii ）ξ的可能取值为0，1，2，则()()()12011P P P ξ==--，()()()1212111P P P P P ξ==-+-，()122P PP ξ==，所以()()()()()12121212120111112E P P P P P P PPP P ξ=⨯--+⨯-+-+⨯=+⎡⎤⎣⎦ 232233242p p p p p =-+=-．设()()2342101f p p p p =--<<，则()()2862430f p p p p p '=-=->，从而当01p <<时，()f p 为增函数，又()01f =-，()11f =，所以存在唯一的p 的值()00,1p ∈，使得()1E ξ=． （Ⅱ）设“答对文史常识题”、“答对生活常识题”、“答对影视艺术常识题”分别为事件A 、B 、C ，则()P A m =，()P B n =，()P C p =，甲通过第一关的概率为()()()()1P P ABC P ABC P ABC P ABC =+++()()()1112m np m n p mn p mnp mn mp np mnp =-+-+-+=++-．乙通过第一关的概率为()()()()21133P P AB P BC P AC mn np mp =++=++⎡⎤⎣⎦． 所以()()()12122333P P mn mp np mnp mn np mp mn np mp mnp -=++--++=++- ()()()211103mn p np m mp n =-+-+->⎡⎤⎣⎦， 即12P P >，甲通过第一关的把握性大．21．解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为()0,+∞，()()()12221ln 1ln 1ln ln a x x a x a x e x f x x x x -⋅-+⋅---'==-=-，当10a x e -<<时，()0f x '>；当1a x e->时，()0f x '<； 所以()f x 在()10,a e -上是增函数，在()1,a e-+∞上是减函数，所以1a x e -=是()f x 的极大值点，也是()f x 的最大值点，即()()11max 0a a f x f e e --==>．当1a x e ->时，()1ln ln 10a x a e a f x x x x-++=>=>； 又()1111ln 0a a a a e a f e e e ----+--+==-<，所以()f x 在()10,a e -上只有一个零点，在()1,a e -+∞上无零点，综上，()f x 只有一个零点．（Ⅱ）由()xf x e <，得ln x x a e x +<，即要证()x f x e <需证2ln xx a e x x +<． 设()2ln x a g x x+=，则()()2431212ln ln 22a x x x a x x g x x x -⎛⎫-⋅-+⋅ ⎪⎝⎭'==-，当1220a a e -<<时，()0g x '>；当122ax e ->时，()0g x '<；所以()g x 在1220,a e -⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数，在122,a e -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是减函数，所以122a x e -=是()g x 的极大值点，也是()g x 的最大值点，即()121222122max 122ln 12aa a a e a g x g e e e ----⎛⎫+=== ⎪⎛⎫⎝⎭ ⎪⎝⎭． 设()()0xe h x x x =>，则()()21xx e h x x -'=， 当01x <<时，()0h x '<；当1x >时，()0h x '>；所以()h x 在()0,1上是减函数，在()1,+∞上是增函数，所以1x =是()h x 的极小值点，也是()h x 的最小值点，即()()min 1h x h e ==．综上，()()121ln 212121122a g x e e e h x ⎛⎫+- ⎪-⎝⎭≤<=≤， 故()x f x e <成立．22．解（Ⅰ）将直线l 的参数方程化为直角坐标方程，得y x =，所以直线l 的极坐标方程为()4R πθρ=∈；将圆C 的参数方程化为直角坐标方程，得()225x a y -+=，所以圆C 的极坐标方程为()222cos 50a a ρθ-+-=．由原点O 在圆C 的内部，得()22005a -+<，解得a <<，故a的取值范围是(．（Ⅱ）将4πθ=代入()222cos 50a a ρθρ-+-=，得2250a ρρ+-=．则12ρρ+，2125a ρρ=-， 所以())()222222212121222510OMON a ρρρρρρ+=+=+-=--=， 故22OM ON +为定值．23．（Ⅰ）证明：由0x >，0y >，得212y x y x +≥=，即212y x y x +≥， 同理212z y z y +≥，212x z x z+≥， 以上三式相加，得222111222y z x x y z x y z x y z +++++≥++（当且仅当x y z ==时取等号）， 故222111y z x x y z x y z++≥++成立． （Ⅱ）解：222222222222log log log log log log log log log log log log b c a a b c a a b b c c b c a⋅+⋅+⋅=++ 222log 2log 2log 2log 2log 2log 2b c a a b c=++， 根据（1），得()2222222log 2log 2log 2111log log log log log 2log 2log 2log 2log 2log 2b c a a b c a b c a b c abc ++≥++=++= 2log 83==，所以，3k ≤，故实数k 的最大值为3．。
2020年普通高等学校招生全国统一考试(全国 I 卷)名师押题压轴卷 数学(理)Word版含解析
绝密★启封前2020年普通高等学校招生全国统一考试（全国I卷）名师押题压轴卷数学（理）一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分.在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}{} 228023 A x x x B x x=+-≥=-<<，，则A∩B= ( ).A. (2,3)B. [2,3)C.[－4,2]D. (－4,3)2.已知(1i)(2i)z=+-，则2||z=（）A. 2i+B. 3i+C. 5D. 103.若向量ar＝13,22⎛⎫-⎪⎪⎝⎭，|br|＝23，若ar·(br－ar)＝2，则向量ar与br的夹角为()A.6πB.4πC.3πD.2π4.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A. 8B. 12C. 16D. 245.已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布()20,3N，从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（）（附：若随机变量ξ服从正态分布()2,Nμσ，则()68.26%Pμσξμσ-<<+=，()2295.44%Pμσξμσ-<<+=．）A. 4.56%B. 13.59%C. 27.18%D. 31.74%6.我国古代名著《庄子g天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完.现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度(单位：尺)，则①②③处可分别填入的是()A. 17?,,+1i s s i i i ≤=-=B. 1128?,,2i s s i i i ≤=-=C 17?,,+12i s s i i i≤=-=D. 1128?,,22i s s i i i≤=-=7.已知变量x ，y 满足约束条件1031010x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 48.《九章算术》中有这样一个问题：今有竹九节，欲均减容之（其意为：使容量均匀递减），上三节容四升，下三节容二升，中三节容几何？（ ） A. 二升B. 三升C. 四升D. 五升9.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，3,23,sin a c b A === cos 6a B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则b=( ) A. 1B.2C.3D.510..若直线220(0,0)ax by a b -+=>>被圆014222=+-++y x y x 截得弦长为4，则41a b +的最小值是（ ）A. 9B. 4C.12D.1411.已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点(002p M x x ⎛⎫> ⎪⎝⎭是抛物线C 上一点，以点M 为圆心的圆与直线2p x =交于E ，G 两点，若1sin 3MFG ∠=，则抛物线C的方程是（ ） A. 2y x = B. 22y x = C. 24y x =D. 28y x =12.已知函数1,0(),0x x mf x e x -⎧=⎪=⎨⎪≠⎩，若方程23()(23)()20mf x m f x -++=有5个解，则m 的取值范围是（） A. (1,)+∞ B. (0,1)(1,)⋃+∞C. 31,2⎛⎫⎪⎝⎭D. 331,,22⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U 二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13.已知()0,θπ∈，且sin()410πθ-=，则tan2θ=________． 14.设m 为正整数，()2mx y + 展开式的二项式系数的最大值为()21m a x y ++，展开式的二项式系数的最大值为b ，若158a b =，则m=______．15.已知函数()42423,0,3,0,x x ax x f x x x ax x ⎧-->=⎨-+<⎩有四个零点，则实数a 的取值范围是__________．16.如图，已知六棱锥P-ABCDEF 的底面是正六边形，PA ⊥平面ABC ，2PA AB =，给出下列结论：①PB AE⊥；②直线//BC平面PAE；③平面PAE⊥平面PDE；④异面直线PD与BC所成角为45°；⑤直线PD与平面PAB所成角的余弦值为10.其中正确的有_______（把所有正确的序号都填上）三．解答题（本大题共6小题.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题12分）△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知24sin4sin sin22 2A BA B-+=+（1）求角C的大小；（2）已知4b=，△ABC的面积为6，求边长c的值.18. （本小题12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，122BC CD AB===，∠ABC=∠BCD=90°，E为PB的中点。