四川省绵阳市2020年高三第三次诊断性测试(理科)数学试题(含答案)
四川省绵阳市2017级高三第三次诊断性测试
(理科)数学试题
一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合22{(,)|1},{(,)|,A x y x y B x y =
+==x+y=1},则A∩B 中元素的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3
2.已知复数z 满足(1)||,i z i −⋅=
+则z= A.1-i B.1+i
C.2-2i
D.2+2i 3.已知3log 21,x ⋅=则4x =
A.4
B.6 3log 2.4C D.9
4.有报道称，据南方科技大学、上海交大等8家单位的最新研究显示: A 、B 、O 、AB 血型与COVID-19易感性存在关联，具体调查数据统计如下:
根据以上调查数据，则下列说法错误的是
A.与非O 型血相比，O 型血人群对COVID-19相对不易感，风险较低
B.与非A 型血相比，A 型血人群对COVID-19相对易感，风险较高
C.与A 型血相比，非A 型血人群对COVID-19都不易感，没有风险
D.与O 型血相比，B 型、AB 型血人群对COVID-19的易感性要高
5.在二项式2()n x x −
的展开式中，仅第四项的二项式系数最大，则展开式中常数项为 A. -360 B. -160 C.160 D.360
6.已知在△ABC 中，sinB=2sinAcosC, 则△ABC 一定是
A.锐角三角形
B.等腰三角形
C.直角三角形
D.钝角三角形
7.已知两个单位向量a , b 的夹角为120°, 若向量c = =2a -b , 则a ·c =
5.2A 3.2B C.2 D.3
8.数学与建筑的结合造就建筑艺术品，2018 年南非双曲线大教堂面世便惊艳世界，如图.若将此大教堂外形
弧线的一段近似看成焦点在y 轴上的双曲线22
221(0,y x a b a b
−=>>0)上支的一部分,且上焦点到上顶点的距离为
2,到渐近线距离为则此双曲线的离心率为
A.2 .B C.3 .D
9.设函数21,0,()21,0,x x x f x x − +>= −−<
则下列结论错误的是
A.函数f(x)的值域为R
B.函数f(|x|)为偶函数
C.函数f(x)为奇函数
D.函数f(x)是定义域上的单调函数
10.己知函数f(x)= sin(ωx + φ)( ω>0,02πϕ
<<)的最小正周期为π,且关于(,0)8π−中心对称，则下列结论正确的是
A. f(1)< f(0)<f(2)
B. f(0)< f(2)< f(1)
C. f(2)< f(0)<f(1)
D. f(2)<f(1)< f(0)
11.已知x 为实数，[x]表示不超过x 的最大整数，若函数f(x)=x-[x], 则函数()()x
x g x f x e =
+的零点个数为 A.1 B.2 C.3 D.4
12.在△ABC 中，∠C=90°, AB=2,AC =D 为AC 上的一点(不含端点),将△BCD 沿直线BD 折起，使点C 在平面ABD 上的射影O 在线段AB 上，则线段OB 的取值范围是
1.(,1)2A 1.(2B .C D 二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知cos sin 22α
α−则sinα=____ 14.若曲线f(x)=e x cosx-mx,在点(0, f(0))处的切线的倾斜角为
3,4π则实数m=_____. 15.已知12,F F 是椭圆C:22
221(0)x y a b a b
+=>>的两个焦点，P 是椭圆C.上的一点,12120,F PF °∠=且
12F PF 的面积为则b=____.
16.在一个半径为2的钢球内放置一个用来盛特殊液体的正四棱柱容器，要使该容器所盛液体尽可能多，则该容器的高应为____.
三、解答题:共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
(一)必考题:共60分。
17. (12 分)
若数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 1=1,1
23n n a S +=. (1)求;n S
(2)设1,n
n
b s =求证:12352n b b b b ++++< .
18. (12分)
如图，己知点S 为正方形ABCD 所在平面外一点，△SBC 是边长为2的等边三角形,点E 为线段SB 的中点.
(1)证明: SD//平面AEC ;
（2）若侧面SBC ⊥底面ABCD ，求平面ACE 与平面SCD 所成锐二面角的余弦值.
19. （12分）
2020年3月，各行各业开始复工复产，生活逐步恢复常态，某物流公司承担从甲地到乙地的蔬菜运输业务。
已知该公司统计了往年同期200天内每天配送的蔬菜量X （40≤X<200，单位：件。
注：蔬菜全部用统一规格的包装箱包装），并分组统计得到表格如下：
若将频率视为概率，试解答如下问题：
(1).该物流公司负责人决定随机抽出3天的数据来分析配送的蔬菜量的情况，求这3天配送的蔬菜量中至多有2天小于120件的概率;
(2)该物流公司拟一次性租赁一批货车专门运营从甲地到乙地的蔬菜运输.已知一辆货车每天只能运营一趟, 每辆货车每趟最多可装载40件,满载才发车，否则不发车.若发车，则每辆货车每趟可获利2000元;若未发车，则每辆货车每天平均亏损400元.为使该物流公司此项业务的营业利润最大，该物流公司应一次性租赁几辆货车?
20. (12 分) 已知函数2()(2)ln 2f x ax a x x
=−+−+，其中a ∈R . (1)当a=4时,求函数f(x)的极值;
(2)试讨论函数f(x)在(1, e) 上的零点个数.
21. (12 分)
已知动直线l 过抛物线C:24y x =的焦点F,且与抛物线C 交于M, N 两点，且点M 在x 轴上方.
(1)若线段MN 的垂直平分线交x 轴于点Q,若|FQ|=8,求直线l 的斜率;
(2)设点P(x 0, 0), 若点M 恒在以FP 为直径的圆外，求0x 的取值范围.
(二)选考题:共10分。
请考生在第22、23题中任选一题做答。
如果多做，则按所做的第一题记分。
22.[选修4-4:坐标系与参数方程] (10 分)
如图,在极坐标系中,曲线1C 是以C 1(4, 0)为圆心的半圆，曲线2C 是以2)2C π为圆心的圆，曲线C 1、2C 都过极点O.
(1)分别写出半圆1,
C 2C 的极坐标方程; (2)直线l:()3πθ
ρ=∈R 与曲线12,C C 分别交于M 、N 两点(异于极点O), P 为2C 上的动点,求△PMN 面积
的最大值.
23. [选修4-5: 不等式选讲] (10 分) 已知函数f(x)=|x-2|+|x+1|.
(1)解关于x的不等式f(x)≤5;
(2)若函数f(x)的最小值记为m，设a, b, c均为正实数，且a+4b+9c=m, 求111
49
a b c
++的最小值.。
2020年四川省绵阳市高考数学三诊试卷(理科) (含答案解析)
2020年四川省绵阳市高考数学三诊试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|x =3n +2,n ∈N}，B ={6,8，10，12，14}，则集合A ∩B 中元素的个数为( )A. 5B. 4C. 3D. 22. 复数 i ⋅(1−i)=( )A. 1+iB. −1+iC. 1−iD. −1−i3. 已知a =log 25，2b =3，则2a+b = ( )A. 15B. 6C. 10D. 54. 如图是容量为n 的样本的频率分布直方图，已知样本数据在[14,18)内的频数是12，则样本数据落在[6,10)的频数是( )A. 12B. 16C. 18D. 205. 若(x −1√x )n 展开式的各项二项式系数和为512，则展开式中的常数项( )A. 84B. −84C. 56D. −566. 在△ABC 中，sinB =1213，cosA =35，则sin C 为( )A. 1665B. 5665C. 6365D. 1665或56657. 已知单位向量a ⃗ ，b ⃗ 的夹角为π3，则a ⃗ ⋅(a ⃗ +2b ⃗ )=( )A. 32B. 1+√32C. 2D. 1+√38. 已知点A(2√5,3√10)在双曲线x 210−y 2b2=1(b >0)上，则该双曲线的离心率为( )A. √103B. √102C. √10D. 2√109. 已知函数f(x)={x 2+1,(x >0)cosx,(x ≤0)，则下列结论正确的是( )A. f(x)是偶函数B. f(x)是增函数C. f(x)的值域为[−1,+∞)D. f(x)是周期函数10. 已知函数f (x )=sin (ωx +π3)(ω>0)的最小正周期为π，则该函数图象( )A. 关于点(π3,0)对称 B. 关于直线x =π4对称 C. 关于点(π4,0)对称D. 关于直线x =π3对称11. 设函数f(x)={4x −4,x ≤1x 2−4x +3,x >1，则函数g(x)=f(x)−log 2x 的零点个数为( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个12. 如图，∠C =90°，AC =BC ，M ，N 分别为BC 和AB 的中点，沿直线MN将△BMN 折起，使二面角B′−MN −B 为60°，则斜线B′A 与平面ABC 所成角的正切值为( )A. √25B. √35C. 45D. 35二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 已知sin α2−cos α2=15，则sinα=_____．14. 曲线f(x)=2−xe x 在点(0,2)处的切线方程为______ ．15. 已知F 1，F 2是椭圆C ：x 24+y 2=1的左、右焦点，P 是椭圆C 上一点，满足∠F 1PF 2=60°，则△F 1PF 2的面积为______．16. 将一个半径为3和两个半径为1的球完全装入底面边长为6的正四棱柱容器中，则正四棱柱容器的高的最小值为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在数列{a n }中，a n >0，其前n 项和S n 满足S n 2−(n 2+2n −1)S n −(n 2+2n)=0．(Ⅰ) 求{a n }的通项公式a n ； (Ⅱ) 若b n =a n −52n，求b 2+b 4+⋯+b 2n ．CD=2，18.如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB//CD，AB=AD=12当点M为EC中点时．(1)求证：BM//平面ADEF；(2)求平面BDM与平面ABF所成锐二面角．19.近几年来，网上购物已成潮流，快递业迅猛发展．为了解某地区快递员的收入情况，现随机抽取了甲、乙两家快递公司30天的送货单，对两个公司的快递员平均每天的送货单数进行统计，数据如下：已知这两家快递公司的快递员的日工资方案分别为：甲公司规定底薪90元，每单抽成1元；乙公司规定底薪120元，每日前40单无抽成，超过40单的部分每单抽成t元．(Ⅰ)分别求甲、乙快递公司的快递员的日工资y1，y2(单位：元)与送货单数n的函数关系式；(Ⅱ)根据以上统计数据，若将频率视为概率，回答下列问题：(ⅰ)记甲快递公司的快递员的平均日工资为X(单位：元)，求X的分布列和数学期望；(ⅰ)小赵拟到甲、乙两家快递公司中的一家应聘快递员的工作，请你利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由．20.已知函数f(x)=ax2+bx−lnx(a,b∈R)．(1)当a=8，b=−6时，求f(x)的零点个数；(2)设a>0，且x=l是f(x)的极小值点，试比较ln a与−2b的大小．21.已知抛物线C：x2=4y的焦点为F，准线与y轴的交点为Q，过点Q的直线l，抛物线C相交于不同的A，B两点．(1)若|AB|=4√15，求直线l的方程；(2)若点F在以AB为直径的圆外部，求直线l的斜率的取值范围．)=2，若直线l 22.在极坐标系Ox中，设曲线C的方程为ρ=4sinθ，直线l的方程为psin(θ+π3与曲线C相交于A，B两点，求△AOB的面积．23.设函数f(x)=|2x−1|(1)解关于x的不等式f(2x)≤f(x+1)(2)若实数a，b满足a+b=2，求f(a2)+f(b2)的最小值．【答案与解析】1.答案：D解析：本题主要考查集合的交集运算和元素个数的求解．解：由已知得A={2,5，8，11，14，17，…}，又B={6,8，10，12，14}，所以A∩B={8,14}．故选D．2.答案：A解析：解：复数i⋅(1−i)=1+i．故选A．利用复数的运算法则即可得出．熟练掌握复数的运算法则及i2=−1是解题的关键．3.答案：A解析：本题主要考查了对数的运算性质，是基础题．利用对数的运算性质即可求解．解：∵a=log25，b=log23，∴a+b=log215，∴2a+b=2log215=15，故选A．4.答案：B解析：本题考查频率分布直方图，考查推理能力和计算能力，属于基础题． 先求出n ，再利用频数=频率×样本容量即可求解．解：由样本数据在[14,18)内的频数是12得样本容量n =121−4×(0.02+0.08+0.09)=50， 则样本数据落在[6,10)的频数是50×4×0.08=16， 故选B ．5.答案：A解析：解：展开式中所有二项式系数和为512，即2n =512，则n =9，T r+1=(−1)r C 9rx18−3r2；令18−3r =0，则r =6，所以该展开式中的常数项为84． 故选：A ．结合二项式定理，即可求出展开式的所有二项式系数的和，然后求出n 的值，利用二项式的通项，求出常数项即可．本题考查二项式定理的应用，二项式定理系数的性质，特定项的求法，考查计算能力．6.答案：D解析：解：∵在△ABC 中，由cos π4=√22>cosA =35>12=cos π3，A ∈(0,π)，∴π4<A <π3，∴sinA =√1−cos 2A =45，∴√32<sinB =1213<1∴π3<B <π2，或π2<B <2π3，∴cosB =√1−sin 2B =±513，sinA =√1−cos 2A =45，∴sinC =sin(A +B)=sinAcosB +cosAsinB =513×45+35×1213=5665，或sinC =sin(A +B)=sinAcosB +cosAsinB =−513×45+35×1213=1665， 故选：D ．先判断A ，B 的范围，利用同角的三角函数的关系和两角和的正弦即可求得答案本题考查两角和与差的正弦函数，关键在于由已知条件判断A、B、C的范围，考查同角三角函数间的基本关系，属于中档题．7.答案：C解析：本题主要考查平面向量的数量积.由a⃗⋅(a⃗+2b⃗ )=a⃗2+2a⃗⋅b⃗ 结合平面向量的数量积运算可得答案解：依题意，|a⃗|=|b⃗ |=1，a⃗⋅b⃗ =1×1×12=12，所以a⃗⋅(a⃗+2b⃗ )=a⃗2+2a⃗⋅b⃗ =2．故选C．8.答案：C解析：利用双曲线上的点在双曲线上求解b，然后求解双曲线的离心率即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．解：点A(2√5,3√10)在双曲线x210−y2b2=1(b>0)上，可得2010−90b2=1，可得b=3√10，又a=√10，所以c=10，双曲线的离心率为：e=√10=√10．故选：C．9.答案：C解析：解：由解析式可知当x≤0时，f(x)=cosx为周期函数，当x>0时，f(x)=x2+1，为二次函数的一部分，故f(x)不是单调函数，不是周期函数，也不具备奇偶性，故可排除A、B、D，对于C，当x≤0时，函数的值域为[−1,1]，当x>0时，函数的值域为(1,+∞)，故函数f(x)的值域为[−1,+∞)，故C正确．故选：C．由三角函数和二次函数的性质，结合函数的奇偶性、单调性和周期性，及值域，分别对各个选项判断，可得A，B，D错，C正确．本题考查分段函数的应用，考查函数的奇偶性、单调性和周期性，涉及三角函数的性质，属中档题．10.答案：A解析：本题考查了函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质．利用函数y=Asin(ωx+φ)的周期性得ω=2，再利用函数y=Asin(ωx+φ)的对称性计算得结论．解：因为函数f(x)=sin(ωx+π3)(ω>0)的最小正周期为π，所以2πω=π，即ω=2，因此函数f(x)=sin(2x+π3)．由2x+π3=kπ(k∈Z)得x=kπ2−π6(k∈Z)，所以对称点为(kπ2−π6, 0)(k∈Z)，当k=1时，对称点为(π3,0)，令2x+π3=kπ+π2(k∈Z)得对称轴x=kπ2+π12，因此直线x=π3和x=π4均不为对称轴，故选A．11.答案：C解析：解：g(x)=0得f(x)=log2x，在同一坐标系下分别作出函数y=f(x)与y=log2x的图象，如图：由图象可知两个图象共有3个交点，则函数g(x)=f(x)−log2x的零点个数为3个．故选C．令g(x)=0，得到方程f(x)=log2x，然后分别作出函数y=f(x)与y=log2x的图象，观察交点的个数，即为函数g(x)的零点个数．本题考查函数与方程问题，求解此类问题的基本方法是令g(x)=0，将函数分解为两个基本初等函数，然后在同一坐标系下，作出两函数的图象，则两函数图象的交点个数，即为函数零点的个数．12.答案：B解析：此题重点考查了折叠图形的做题关键应抓住折叠前与折叠后之间的变量与不变量，还考查了二面角的概念及直线与平面所成角的概念吧，此外多次使用了求解时把边与角放到直角三角形中进行求解的方法．由题意及折叠之前与折叠之后BM与CM都始终垂直于MN，且折叠之前图形为等腰直角三角形，由于要求直线与平面所成的线面角，所以由直线与平面所陈角的定义要找到斜线B′A在平面ACB内的射影，而射影是有斜足与垂足的连线，所以关键是要找到点B′在平面ABC内的投影点，然后放到直角三角形中进行求解即可．解：由题意做出折叠前与折叠之后图形为：由于折叠之前BM与CM都始终垂直于MN，这在折叠之后仍然成立，所以折叠之后平面B′MN与平面BMN所成的二面角即为∠B′MH=60°，并且B′在底面ACB内的投影点H就在BC上，且恰在BM的中点位置，连接B′A和AH，在直角三角形ACH中AH=54a；在直角三角形B′MH中，由于BM=12a，∠B′MH=60°，∠BHM=90°，所以B′M=√34a，最后在直角三角形B′AH中tan∠B′AH= B′HAH =√34a54a=√35，故选B．13.答案：2425解析：本题考查三角函数的同角三角函数基本关系，与二倍角公式的应用，属于基础题．平方后利用三角函数的同角三角函数平方关系，与二倍角公式求出结果．解：∵sinα2−cosα2=15，∴(sinα2−cosα2)2=sin2α2−2sinα2cosα2+cos2α2=1−2sinα2cosα2=1−sinα=125，∴sinα=2425．故答案为2425．14.答案：x+y−2=0解析：解：f(x)=2−xe x的导数为f′(x)=−(1+x)e x，可得在点(0,2)处的切线斜率为k=−1，即有在点(0,2)处的切线方程为y=−x+2，即为x+y−2=0．故答案为：x+y−2=0．求得函数的导数，求出切线的斜率，由斜截式方程可得所求切线的方程．本题考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的导数，正确求导和运用直线方程是解题的关键．15.答案：√33解析：本题考查了椭圆的定义以及椭圆的简单性质的应用，余弦定理的应用，三角形的面积的求法，属于中档题．由题意，|F1P|+|PF2|=4，|F1F2|=2√3；从而由余弦定理求解，从而求面积．解：由题意，F1，F2是椭圆x24+y2=1的两个焦点，|F1P|+|PF2|=4，|F1F2|=2√3，则由余弦定理得，|F1F2|2=|F1P|2+|PF2|2−2|F1P||PF2|cos60°，故12=(|F1P|+|PF2|)2−2|F1P||PF2|cos60°−2|F1P||PF2|，故12=16−3|F1P||PF2|，故|F1P||PF2|=43，故△PF1F2的面积S=12|F1P||PF2|⋅sin60°=√33，故答案为：√33．16.答案：4+2√2解析：解：作出正四棱柱的对角面如图，∵底面边长为6，∴BC=6√2，球O的半径为3，球O1的半径为1，则OA=12BC−O1N=3√2−√2=2√2，在Rt△OAO1中，OO1=4，∴O1A=√42−(2√2)2=2√2，∴正四棱柱容器的高的最小值为4+2√2．故答案为：4+2√2．由题意画出图形，然后通过求解直角三角形得答案．本题考查球的体积和表面积，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．17.答案：解：(Ⅰ)由S n2−(n2+2n−1)S n−(n2+2n)=0，得[S n−(n2+2n)](S n+1)=0，由a n>0，可知S n>0，故S n=n2+2n．当n≥2时，a n=S n−S n−1=(n2+2n)−[(n−1)2+2(n−1)]=2n+1；当n=1时，a1=S1=3，符合上式，则数列{a n}的通项公式为a n=2n+1．(Ⅱ)解：依题意，b n=a n−52n =2n−42n=n−22n−1，则b2n=2n−222n−1=(n−1)⋅(14)n−1，设T n=b2+b4+⋯+b2n，故T n=0+14+242+343+⋯+n−14n−1，而4T n=1+24+342+⋯+n−14n−2．两式相减，得3T n =1+14+142+⋯+14n−2−n−14n−1=1−(14)n−11−14−n−14n−1=13(4−3n+14n−1)，故T n =19(4−3n+14n−1)．解析：(Ⅰ)把已知数列递推式变形，求得S n =n 2+2n ，得到数列首项，再由a n =S n −S n−1(n ≥2)求{a n }的通项公式a n ；(Ⅱ)把(Ⅰ)中求得的通项公式代入b n =a n −52n，得到b 2n ，再由错位相减法求得b 2+b 4+⋯+b 2n ．本题考查数列递推式，考查了由数列的前n 项和求数列的通项公式，训练了错位相减法求数列的通项公式，是中档题．18.答案：(1)证明：以直线DA 、DC 、DE 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系D −xyz ，则A(2,0，0)，B(2,2，0)，C(0,4，0)，E(0,0，2)，M(0,2，1)， ∴BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0,1)，又DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4,0)是平面ADEF 的一个法向量， ∵BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即BM →⊥DC →， ∴BM//平面ADEF ，(2)解：设M(x,y ，z)，则EM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y,z −2)， 又EC⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4,−2)， 设EM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即M(0,2，1)， 设n⃗ =(x 1,y 1,z 1)是平面BDM 的一个法向量， 则DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =2x 1+2y 1=0，DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =4λy 1+(2−2λ)z 1=0， 取x 1=1得 y 1=−1，z 1=2，即n⃗ =(1,−1,2)， 又由题设，DA →=(2,0,0)是平面ABF 的一个法向量， ∴|cos <DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ >|=DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=22√2+4=√66． ∴平面BDM 与平面ABF 所成锐二面角为．解析：本题考查线面平行，考查平面BDM 与平面ABF 所成锐二面角，考查向量方法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．(1)以直线DA 、DC 、DE 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4,0)是平面ADEF 的一个法向量，证明BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即可证明BM//平面ADEF ；(2)求出平面BDM 的一个法向量、平面ABF 的一个法向量，利用向量的夹角公式求平面BDM 与平面ABF 所成锐二面角．19.答案：解：(Ⅰ)甲快递公司的快递员的日工资y 1(单位：元)与送货单数n 的函数关系式：y 1=90+n(30≤n ≤60)．乙快递公司的快递员的日工资y 2(单位：元)与送货单数n 的函数关系式：y 2={120(30≤t ≤40),120+(n −40)t(t >40).(Ⅱ)(ⅰ)X 的分布列如下：E(X)=120×6+130×3+140×13+150×16=135．(ⅰ)由(Ⅰ)可得乙快递公司的快递员的日工资的平均工资为120×15+12(120+10t)+3(120+20t)30=120+6t ．∴当120+6t <135，即0<t <52时，小赵应选择甲快递公司； 当120+6t =135，即t =52时，小赵选择甲、乙快递公司均可； 当120+6t >135，即t >52时，小赵应选择乙快递公司．解析：本题考查频数分布表、离散型随机变量的分布列和数学期望，考查考生的应用意识以及等价转化思想．(Ⅰ)由甲、乙快递公司的快递员的日工资y 1，y 2(单位：元)与送货单数n 的个数和利用频数分布表求解；(Ⅱ)(ⅰ)建立X 的分布列，再利用数学期望公式求解；(ⅰ)由(Ⅰ)可得乙快递公司的快递员的日工资的平均工资，比较120+6t 和135即可得结论．20.答案：解：(1)∵a =8，b =−6，f ′(x)=(2x −1)(8x +1)x(x >0)当0<x <12时，f′(x)<0，当x >12时，f′(x)>0，故f(x)在(0,12)递减，在(12,+∞)递增， 故f(x)的极小值是f(12)， 又∵f(12)=−1+ln2<0， ∴f(x)有两个零点； (2)依题有f′(1)=0， ∴2a +b =1即b =1−2a ， ∴lna −(−2b)=lna +2−4a ， 令g(a)=lna +2−4a ，(a >0) 则g′(a)=1a −4=1−4a a，当0<a <14时，g′(a)>0，g(a)单调递增； 当a >14时，g′(a)<0，g(a)单调递减． 因此g(a)<g(14)=1−ln4<0， 故lna <−2b ．解析：(1)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，得到函数的极小值小于0，从而判断出函数的零点个数；(2)求出b =1−2a ，作差lna −(−2b)=lna +2−4a ，根据函数的单调性求出g(a)的最大值，从而判断出ln a 和−2b 的大小即可．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．21.答案：解：(1)由抛物线C ：x 2=4y ，可得Q(0,−1)，且直线l 斜率存在，∴可设直线l ：y =kx −1，由{y =kx −1x 2=4y ，得：x 2−4kx +4=0， 令△=16k 2−16>0，解得：k <−1或k >1． 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则有x 1+x 2=4k ，x 1x 2=4，∴|AB|=√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+k 2⋅√16k 2−16=4√k 4−1． ∵|AB|=4√15，∴k 4−1=15，解得k =±2，∴直线l 的方程为：y =±2x −1；(2)由(1)知，k <−1或k >1，x 1+x 2=4k ，x 1x 2=4， ∵点F 在以AB 为直径的圆外部，∴FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1−1)⋅(x 2,y 2−1)=x 1x 2+y 1y 2−(y 1+y 2)+1=(1+k 2)x 1x 2−2k(x 1+x 2)+4=8−4k 2>0， 解得：k 2<2，即−√2<k <√2． 又k <−1或k >1，∴直线l 的斜率的取值范围是(−√2,−1)∪(1,√2).解析：本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查数学转化思想方法，是中档题．(1)由抛物线方程可得Q(0,−1)，设直线l ：y =kx −1，联立直线方程与抛物线方程，利用根与系数的关系可得A ，B 横坐标的和与积，结合弦长公式求得k ，进一步得到直线l 的方程；(2)由点F 在以AB 为直径的圆外部，可得FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FB ⃗⃗⃗⃗⃗ >0，结合(1)中根与系数的关系及判别式求得直线l 的斜率的取值范围．22.答案：解：曲线C 的方程为ρ=4sinθ，转换为直角坐标方程为：x 2+(y −2)2=4， 直线l 的方程为psin(θ+π3)=2，转换为直角坐标方程为：√3x +y −4=0，则圆心(0,2)到直线√3x +y −4=0的距离d =√3+1=1， 且|AB|=2√22−1=2√3， 所以S △AOB =12×2√3×1=√3．解析：本题考查参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于中档题．首先把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换，进一步利用点到直线的距离公式的应用和三角形的面积公式的应用求出结果．23.答案：解：(1)|4x −1|≤|2x +1|⇔16x 2−8x +1≤4x 2+4x +1⇔12x 2−12x ≤0，解得x ∈[0,1]，故原不等式的解集为[0,1]．(2)f(a2)+f(b2)=|2a2−1|+|2b2−1|≥|2(a2+b2)−2|，2(a2+b2)≥(a+b)2=4．从而2(a2+b2)−2≥2，即f(a2)+f(b2)≥2，取等条件为a=b=1．故f(a2)+f(b2)的最小值为2．解析：(1)去掉绝对值符号，转化求解不等式即可．(2)利用已知条件化简所求的表达式，通过柯西不等式求解即可．本题考查不等式的解法，函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．。
四川省绵阳市2020届高三第三次诊断性考试数学理试题含
绵阳市高中2015级第三次诊断性考试数学（理工类）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若复数满足（是虚数单位），则=（）A. 1B. -1C.D.【答案】A........................详解：由题设有，选A.点睛：本题考查复数的加、减、乘、除等四则运算，属于基础题.2. 已知集合，，集合，则集合的子集个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】分析：为一元二次不等式的解集，可先计算出，求得为单元素集合，其子集的个数为2.详解：由题设有，故，所以的子集的个数为，选B. 点睛：本题为集合与集合的交集运算，它们往往和一元二次不等式结合在一起考查，注意如果一个有限集中元素的个数为，那么其子集的个数为.3. 下表是某厂节能降耗技术改造后生产某产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨标准煤）的几组对照数据，用最小二乘法得到关于的线性回归方程，则（）A. 0.25B. 0.35C. 0.45D. 0.55【答案】B【解析】分析：题设中给出了关于的线性回归方程中的一个参数，可利用计算 . 详解：由题设有，故，解得，选B.点睛：本题考查线性回归方程中系数的计算，注意线性回归方程表示的直线必过点.4. 已知实数满足，则的最小值是（）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】C【解析】分析：题设中给出的是二元一次不等式组，要求的是线性目标函数的最小值，可以先画出不等式组对应的可行域，再把目标函数看成一条动直线即可判断出目标函数的最小值. 详解：不等式组对应的可行域如图所示：由当动直线过时，取最小值为6，选C.点睛：当题设条件给出的是关于的二元一次不等式组时，我们可考虑利用线性规划来求目标函数的最值.5. 执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：题设中的算法是结合的范围计算分段函数的函数值.详解：由题设有，当时，；当时，，从而当时，，选C.点睛：本题考察算法中的选择结构，属于基本题. 解题时注意判断的条件及其每个分支对应的函数形式.6. 甲、乙、丙三人各买了一辆不同品牌的新汽车，汽车的品牌为奇瑞、传祺、吉利.甲、乙、丙让丁猜他们三人各买的什么品牌的车，丁说：“甲买的是奇瑞，乙买的不是奇瑞，丙买的不是吉利.”若丁的猜测只对了一个，则甲、乙所买汽车的品牌分别是（）A. 吉利，奇瑞B. 吉利，传祺C. 奇瑞，吉利D. 奇瑞，传祺【答案】A【解析】分析：因为丁的猜测只对了一个，所以我们从“甲买的是奇瑞，乙买的不是奇瑞”这两个判断着手就可以方便地解决问题.详解：因为丁的猜测只对了一个，所以“甲买的是奇瑞，乙买的不是奇瑞”这两个都是错误的.否则“甲买的不是奇瑞，乙买的不是奇瑞”或“甲买的是奇瑞，乙买的是奇瑞”是正确的，这与三人各买了一辆不同的品牌矛盾，“丙买的不是吉利”是正确的，所以乙买的是奇瑞，甲买的是吉利，选A.点睛：本题为逻辑问题，此类问题在解决时注意结合题设条件寻找关键判断.7. 如图1，四棱锥中，底面，底面是直角梯形，是侧棱上靠近点的四等分点，.该四棱锥的俯视图如图2所示，则的大小是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：根据俯视图，计算的长度，然后在直角三角形中，计算的大小即可.详解：在俯视图中，因为，所以，而四边形为直角梯形，故为直角三角形斜边上的高且大小为，又，所以在直角三角形中，，从而，，选C.点睛：本题中所要求解的角是直角三角形内角的补角，该直角三角形的一个直角边已知，所以只要求出的长度即可，但该长度隐含在俯视图中，利用勾股定理和等积法可以求出其大小.8. 在区间上随机取一个实数，则事件“”发生的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：根据给出的三角不等式求出所在的区间，计算出该区间的长度再利用几何概率的计算方法计算概率.详解：，从而.而，所以，也就是，故所求概率为，选B.点睛：几何概型的概率计算关键是基本事件的测度的选取，通常是线段的长度、平面区域的面积或几何体的体积等.9. 双曲线的离心率是，过右焦点作渐近线的垂线，垂足为，若的面积是1，则双曲线的实轴长是（）A. B. C. 1 D. 2【答案】D【解析】分析：利用点到直线的距离计算出，从而得到，再根据面积为1得到，最后结合离心率求得.详解：因为，，所以，故即，由，所以即，故，双曲线的实轴长为.点睛：在双曲线中有一个基本事实：“焦点到渐近线的距离为虚半轴长”，利用这个结论可以解决焦点到渐进线的距离问题.10. 已知圆，圆交于不同的，两点，给出下列结论：①；②；③，.其中正确结论的个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】D【解析】分析：根据两个圆的标准方程得到公共弦的方程为，两点均在该直线上，故其坐标满足①②.而的中点为直线与直线的交点，利用直线方程构成的方程组可以得到交点的坐标，从而得到③也是正确的.详解：公共弦的方程为，所以有，②正确；又，所以，①正确；的中点为直线与直线的交点，又，.由得，故有，③正确，综上，选D.点睛：当两圆相交时，公共弦的方程可由两个圆的方程相减得到，而且在解决圆的有关问题时，注意合理利用圆的几何性质简化计算.11. 中，，，，点是内（包括边界）的一动点，且，则的最大值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：根据点在三角形内部（含边界）可以得到，再通过的解析式来求的最大值.详解：因为为三角形内（含边界）的动点，所以，从而.又，因为，所以的最大值为，故，选B.点睛：本题中向量的模长、数量积都是已知的，故以其为基底计算，其中的取值范围可以由的位置来确定.12. 对于任意的实数，总存在三个不同的实数，使得成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：题设中给出的二元方程可以化简为，因为对每一个，总有三个不同的使得等式成立，因此我们需要研究的值域和的图像，两者均需以导数为工具来研究它们的单调性.详解：由题设有.令，.，当时，，在为单调增函数，所以的值域为.，当时，，当时，，当时，，所以当时，是减函数，当时，是增函数，当时，是减函数，所以的图像如图所示.因为关于的方程，对任意的总有三个不同的实数根，所以，也就是，选A.点睛：较为复杂函数的零点个数问题，均需以导数为工具研究函数的极值，从而刻画出函数的图像，最后数形结合考虑参数的取值范围.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 的展开式中，的系数是__________．【答案】16【解析】分析：展开式中的系数取决于展开式中的和的系数，后者可以利用二项展开式的通项求得.详解：的展开式中，，故的系数分别为，从而的展开式中的系数为.点睛：本题考虑二项展开式中特定项的系数的计算，这类问题可利用多项式的乘法和二项展开式的通项来处理.14. 奇函数的图象关于点对称，，则__________．【答案】2【解析】分析：因为函数的图像具有两个对称中心，可通过解析式满足的条件推出函数为周期函数且周期为2，从而求出.详解：由题设有，从而有，为周期函数且周期为，所以 .点睛：一般地，定义在上的函数如果满足，（），那么的一个周期为.15. 已知圆锥的高为3，侧面积为，若此圆锥内有一个体积为的球，则的最大值为__________．【答案】详解：设圆锥的母线长，底面的半径为，则即，又，解得.当球的体积最大时，该球为圆锥的内切球，设内切球的半径为，则，故，所以.点睛：对于圆锥中的基本量的计算，可以利用轴截面来考虑，因为它集中了圆锥的高、底面的半径和圆锥的母线长.16. 如图，在中，，，的垂直平分线与分别交于两点，且，则__________．【答案】【解析】分析：连接，因为是中垂线，所以.在中，由正弦定理得到与角的关系.在直角三角形中，，两者结合可得的大小，从而在中利用正弦定理求得，最后在中利用余弦定理求得 ..详解：由题设，有，所以，故.又，所以，而，故，因此为等腰直角三角形，所以.在中，，所以，故，在中，.点睛：解三角形时，如果题设给出的几何量分散在不同的三角形中，我们就需要找出沟通这些不同三角形的几何量，如本题中的和，通过它们得到分散的几何量之间的关系.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列的前项和满足：.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若，数列的前项和为，试问当为何值时，最小？并求出最小值. 【答案】（Ⅰ）或；（Ⅱ）-10.【解析】分析：（Ⅰ）题设给出了与的关系，从该关系可以得到或以及，故可得的两种不同的通项；（Ⅱ）数列为等差数列，其前项和的最值与项的正负相关，故考虑项何时变号即可. 详解：（Ⅰ）由已知，可得当时，，可解得，或，当时，由已知可得，两式相减得.若，则，此时数列的通项公式为.若，则，化简得，即此时数列是以2为首项，2为公比的等比数列，故.∴综上所述，数列的通项公式为或.（Ⅱ）因为，故.设，则，显然是等差数列，由解得，∴当或，最小，最小值为.点睛：（1）一般地，如果知道，那么我们可以利用将前者转化为关于或的递推关系；（2）数列前项和的最值往往和项的正负有关，解题时注意合理使用.18. 十九大提出，加快水污染防治，建设美丽中国.根据环保部门对某河流的每年污水排放量（单位：吨）的历史统计数据，得到如下频率分布表：将污水排放量落入各组的频率作为概率，并假设每年该河流的污水排放量相互独立.（Ⅰ）求在未来3年里，至多1年污水排放量的概率；（Ⅱ）该河流的污水排放对沿河的经济影响如下：当时，没有影响；当时，经济损失为10万元；当时，经济损失为60万元.为减少损失，现有三种应对方案：方案一：防治350吨的污水排放，每年需要防治费3.8万元；方案二：防治310吨的污水排放，每年需要防治费2万元；方案三：不采取措施.试比较上述三种文案，哪种方案好，并请说明理由.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）方案二.【解析】分析：（Ⅰ）根据给出的频率分布表可以得到每年排放量在吨到吨的概率为，而三年中之多有一年排放量满足题设要求的概率可由二项分布来计算.（Ⅱ）考虑不同方案导致的经济损失.方案一的经济损失为万元；方案二中，排列量在吨到吨的概率为，相应的经济损失为万，排放量不在此范围内的概率为，相应的经济损失为防治费万，故经济损失的数学期望为，同理可以计算出方案三的经济损失的数学期望为万，故方案二较好.详解：（Ⅰ）由题得，设在未来3年里，河流的污水排放量的年数为，则.设事件“在未来3年里，至多有一年污水排放量”为事件，则.∴在未来3年里，至多1年污水排放量的概率为.（Ⅱ）方案二好，理由如下：由题得，.用分别表示方案一、方案二、方案三的经济损失.则万元.的分布列为：.的分布列为：.∴三种方案中方案二的平均损失最小，所以采取方案二最好.点睛：本题为统计与离散型随机变量的综合题，往往需要从频率分布表中得到随机事件发生的概率，注意常见的离散型随机变量的概率分布（如二项分布、超几何分布等）.另外，这类问题还涉及到不同方案的选择，我们往往通过数学期望或方差来决定方案的优劣.19. 如图，在五面体中，棱底面，.底面是菱形，.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求二面角的余弦值.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.【解析】分析：（Ⅰ）要证明，可证明，它可由证得.（Ⅱ）取的中点为，可证，，从而建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，计算两个法向量夹角的余弦值则可得二面角的相应的余弦值.详解：（Ⅰ）在菱形中，，∵，，∴.又，面，∴.（Ⅱ）作的中点，则由题意知，∵，∴.如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，设，则，，，，∴，，.设平面的一个法向量为，则由，，得，令，则，，即，同理，设平面的一个法向量为，由，，得，令，则，，即，∴，即二面角的余弦值为.点睛：立体几何中二面角的余弦值的计算可以用空间向量来计算，注意对建立空间直角坐标系的合理性的证明（即要有两两垂直且交于一点的三条直线）.20. 如图，椭圆的左、右焦点分别为，轴，直线交轴于点，，为椭圆上的动点，的面积的最大值为1.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点作两条直线与椭圆分别交于，且使轴，如图，问四边形的两条对角线的交点是否为定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】分析：（Ⅰ）意味着通径的一半，最大面积为，所以，故椭圆的方程为.(Ⅱ)根据对称性，猜测定点必定在轴上，故可设，，则，，再设，根据三点共线可以得到，联立直线和椭圆的标准方程后消去，利用韦达定理可以得到，从而过定点，同理直线也过即两条直线交于定点.详解：（Ⅰ）设，由题意可得，即.∵是的中位线，且，∴，即，整理得.①又由题知，当在椭圆的上顶点时，的面积最大，∴，整理得，即，②联立①②可得，变形得，解得，进而.∴椭圆的方程式为.(Ⅱ)设，，则由对称性可知，.设直线与轴交于点，直线的方程为，联立，消去，得，∴，，由三点共线，即，将，代入整理得，即，从而，化简得，解得，于是直线的方程为，故直线过定点.同理可得过定点，∴直线与的交点是定点，定点坐标为.点睛：（1）若椭圆的标准方程为，则通径长为；（2）圆锥曲线中的直线过定点问题，往往需要设出动直线方程，再把定点问题转为动点的横坐标或纵坐标应该满足的关系，然后联立方程用韦达定理把前述关系化简即可得到某些参数的关系或确定的值，也就是动直线过某定点.21. 已知函数的两个极值点满足，且，其中为自然对数的底数.（Ⅰ）求实数的取值范围；（Ⅱ）求的取值范围.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】分析：（Ⅰ）由题设有，因为有两个极值点且，所以有两个不同解为，故，结合题设有，从而得到.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，所以，又，从而，其中，利用导数可以求出该函数的值域.详解：（Ⅰ），由题意知即为方程的两个根.由韦达定理：，所以且.令，则由可得，解得.（Ⅱ），∵，∴，由（Ⅰ）知，代入得，令，于是可得，故∴在上单调递减，∴.点睛：（1）因为函数在上导数是存在的，所以函数的极值点即为导数的零点，也是对应的一元二次方程的根，利用根分布就可以求出参数的取值范围.（2）复杂的多元函数的最值问题可以先消元处理，再利用导数分析函数的单调性从而求出函数的值域.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且在两种坐标系中取相同的长度单位.曲线的极坐标方程是.（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）设曲线与轴正半轴及轴正半轴交于点，在第一象限内曲线上任取一点，求四边形面积的最大值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】分析：（Ⅰ）把整合成，再利用就可以得到曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）因为在椭圆上且在第一象限，故可设，从而所求面积可用的三角函数来表示，求出该函数的最大值即可.详解：（Ⅰ）由题可变形为，∵，，∴，∴.（Ⅱ）由已知有，，设，.于是由，由得，于是，∴四边形最大值.点睛：直角坐标方程转为极坐标方程的关键是利用公式，而极坐标方程转化为直角坐标方程的关键是利用公式，后者也可以把极坐标方程变形尽量产生以便转化.另一方面，当动点在圆锥曲线运动变化时，我们可用一个参数来表示动点坐标，从而利用一元函数求与动点有关的最值问题.23. 选修4-5：设函数.（Ⅰ）若的最小值是4，求的值；（Ⅱ）若对于任意的实数，总存在，使得成立，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】分析：（Ⅰ）由绝对值不等式知，当且仅当异号时等号成立，所以，故；（Ⅱ）原不等式等价于关于的不等式在有解，所以，由此解出的范围即可.详解：（Ⅰ），由已知，知，解得.（Ⅱ）由题知，又是存在的，∴.即，变形得，∴，∴.点睛：（1）利用和可对含绝对值的不等式进行放缩，从而求得最值（注意验证取等号的条件）；（2）含参数的不等式的恒成立问题，优先考虑参变分离.。
四川省绵阳市2020届高三第三次诊断性考试数学(理)试题 Word版含答案
数学（理工类）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集R U =，}02{2<-=x x x A ，}1{≥=x x B ，则=)(B C A U ( ) A ．),0(+∞ B. )1,(-∞ C ．)2,(-∞ D ． （0,1）2. 已知i 是虚数单位，则=+ii12 ( ) A ．1 B ．22 C ．2 D ．23. 某路口的红绿灯，红灯时间为30秒，黄灯时间为5秒，绿灯时间为40秒，假设你在任何时间到达该路口是等可能的，则当你到达该路口时，看见不是．．黄灯的概率是( ) A ．1514 B 151． C. 53 D ．214. 等比数列}{n a 的各项均为正数，且4221=+a a ，73244a a a =，则=5a ( )A ．161 B ．81C. 20D. 40 5. 已知正方形ABCD 的边长为6，M 在边BC 上且BM BC 3=，N 为DC 的中点，则=∙BN AM ( )A ．-6B ．12 C.6 D ．-126. 在如图所示的程序框图中，若函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<-),0(2),0)((log )(21x x x x f x则输出的结果是( )A ．16B ．8 C. 162 D ．827. 已知函数)cos(4)(ϕω+=x x f )0,0(πϕω<<>为奇函数，)0,(a A ，)0,(b B 是其图像上两点，若b a -的最小值是1，则=)61(f ( )A ．2B ． -2 C.23 D ．23- 8.《九章算术》是中国古代第一部数学专著，书中有关于“堑堵”的记载，“堑堵”即底面是直角三角形的直三棱柱.已知某“堑堵”被一个平面截去一部分后，剩下部分的三视图如图所示，则剩下部分的体积是 ( )A ．50B ．75 C.25.5 D ．37.5 9. 已知函数x m x m x f sin )2(2cos 21)(-+=，其中21≤≤m .若函数)(x f 的最大值记为)(m g ，则)(m g 的最小值为( ) A ．41-B ．1 C. 33- D ．13- 10.已知F 是双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点. O 为坐标原点，D 为C 上一点，x DF ⊥轴.过点A 的直线l 与线段DF 交于点E ，与y 轴交于点M ,直线BE 与y 轴交于点N ，若ON OM 23=，则双曲线C 的离心率为（ )A ．3B ．4 C.5 D ．611. 三棱锥ABC P -中，PA ，PB ，PC 互相垂直，1==PB PA ，M 是线段BC 上一动点，若直线AM 与平面PBC 所成角的正切的最大值是26，则三棱锥ABC P -的外接球表面积是( )A ．π2B ．π4 C. π8 D ．π1612. 已知函数3ln 2)(2+-=ax x x f ，若存在实数]5,1[,∈n m 满足2≥-m n 时，)()(n f m f =成立，则实数a 的最大值为( )A ．83ln 5ln - B ．43ln C. 83ln 5ln + D ．34ln 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥-≥,5,02,0y x y x y ，则y x 2+的最小值是 ．14.过定点M 的直线：021=-+-k y kx 与圆：9)5()1(22=-++y x 相切于点N ，则=MN ．15.已知ny x x )2(2-+的展开式中各项系数的和为32，则展开式中25y x 的系数为 ．（用数字作答）16.设公差不为0的等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若2a ，5a ，11a 成等比数列，且)(211n m S S a -=),,0(*∈>>N n m n m ，则n m +的值是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在ABC ∆中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，且ac b c a 3)(22+=+. （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若2=b ，且A A C B 2sin 2)sin(sin =-+，求ABC ∆的面积.18. 共享单车进驻城市，绿色出行引领时尚.某市有统计数据显示，2016年该市共享单车用户年龄登记分布如图1所示，一周内市民使用单车的频率分布扇形图如图2所示.若将共享单车用户按照年龄分为“年轻人”（20岁~39岁）和“非年轻人”（19岁及以下或者40岁及以上）两类，将一周内使用的次数为6次或6次以上的称为“经常使用单车用户”，使用次数为5次或不足5次的称为“不常使用单车用户”.已知在“经常使用单车用户”中有65是“年轻人”.（Ⅰ）现对该市市民进行“经常使用共享单车与年龄关系”的调查，采用随机抽样的方法，抽取一个容量为200的样本，请你根据图表中的数据，补全下列22⨯列联表，并根据列联表的独立性检验，判断能有多大把握可以认为经常使用共享单车与年龄有关？使用共享单车情况与年龄列联表（Ⅱ）将频率视为概率，若从该市市民中随机任取3人，设其中经常使用共享单车的“非年轻人”人数为随机变量X ，求X 的分布与期望. （参考数据：独立性检验界值表其中，))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=，d c b a n +++=）19. 已知矩形ADEF 和菱形ABCD 所在平面互相垂直，如图，其中1=AF ，2=AD ，3π=∠ADC ，点N 是线段AD 的中点.（Ⅰ）试问在线段BE 上是否存在点M ，使得直线//AF 平面MNC ？若存在，请证明//AF平面MNC ，并求出MEBM的值；若不存在，请说明理由； （Ⅱ）求二面角D CE N --的正弦值.20.已知点)0,2(-E ，点P 是椭圆F ：36)2(22=+-y x 上任意一点，线段EP 的垂直平分线FP 交于点M ，点M 的轨迹记为曲线C . （Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）过F 的直线交曲线C 于不同的A ，B 两点,交y 轴于点N ，已知AF m NA =，n =，求n m +的值.21. 函数4ln )(-+=x x x p ，)()(R a axe x q x∈=.（Ⅰ）若e a =，设)()()(x q x p x f -=，试证明)(x f '存在唯一零点)1,0(0ex ∈，并求)(x f 的最大值；（Ⅱ）若关于x 的不等式)()(x q x p <的解集中有且只有两个整数，求实数a 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程是⎩⎨⎧=+=ααsin 3,cos 31y x （α为参数）.以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为1=ρ.（Ⅰ）分别写出1C 的极坐标方程和2C 的直角坐标方程； （Ⅱ）若射线l 的极坐标方程)0(3≥=ρπθ，且l 分别交曲线1C 、2C 于A 、B 两点，求AB . 23.选修4-5：不等式选讲已知函数633)(-+-=x a x x f ，12)(+-=x x g . （Ⅰ）1=a 时，解不等式8)(≥x f ；（Ⅱ）若对任意R x ∈1都有R x ∈2，使得)()(21x g x f =成立，求实数a 的取值范围.绵阳市高2014级第三次诊断性考试数学(理工类)参考解答及评分标准一、选择题1-5: CDABA 6-10: ABDDC 11、12：BB二、填空题13. 2 14. 4 15.120 16. 9三、解答题17.解：（Ⅰ） 把ac b c a 3)(22+=+整理得，ac b c a =-+222,由余弦定理有ac b c a B 2cos 222-+=212==ac ac ,∴3π=B .（Ⅱ）ABC ∆中，π=++C B A ，即)(C A B +-=π，故)sin(sin C A B +=， 由已知A A C B 2sin 2)sin(sin =-+可得A A C C A s 2sin 2)sin()sin(=-++, ∴++C A C A sin cos cos sin A C A C sin cos cos sin -A A cos sin 4=, 整理得A A C A cos sin 2sin cos =. 若0cos =A ，则2π=A ，于是由2=b ，可得332tan 2==B c ， 此时ABC ∆的面积为33221==bc S . 若0cos ≠A ，则A C sin 2sin =， 由正弦定理可知，a c 2=，代入ac b c a =-+222整理可得432=a ，解得332=a ，进而334=c ，此时ABC ∆的面积332sin 21==B ac S . ∴综上所述，ABC ∆的面为332. 18.解：（Ⅰ）补全的列联表如下：于是100=a ，20=b ，60=c ，20=d ，∴4016080120)206020100(20022⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=K 072.2083.2>≈，即有85%的把握可以认为经常使用共享单车与年龄有关.（Ⅱ）由（Ⅰ）的列联表可知，经常使用共享单车的“非年轻人”占样本总数的频率为%10%10020020=⨯，即在抽取的用户中出现经常使用单车的“非年轻人”的概率为0.1， ∵)1.0,3(~B X ,,3,2,1,0=X∴729.0)1.01()0(3=-==X P ，001.01.0)3(3===X P ， ∴X 的分布列为∴X 的数学期望3.01.03)(=⨯=X E .19.解：（Ⅰ）作FE 的中点P ，连接CP 交BE 于点M ，M 点即为所求的点.证明：连接PN ，∵N 是AD 的中点，P 是FE 的中点， ∴AF PN //，又⊂PN 平面MNC ，⊄AF 平面MNC ， ∴直线//AF 平面MNC . ∵AD PE //，BC AD //， ∴BC PE //， ∴2==PEBCME BM .（Ⅱ）由（Ⅰ）知AD PN ⊥，又面⊥ADEF 面ABCD ，面 ADEF 面AD ABCD =，⊂PN 面ADEF ， 所以⊥PN 面ABCD . 故AD PN ⊥，NC PN ⊥.以N 为空间原点，ND ，NC ，NP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系xyz N -， ∵3π=∠ADC ，2==DC AD ，∴ADC ∆为正三角形，3=NC ，∴)0,0,0(N ，)0,0,3(C ，)0,1,0(D ，)1,1,0(E ，∴)1,1,0(=NE ，)0,0,3(=NC ，)1,0,0(=DE ，)0,1,3(-=DC ， 设平面NEC 的一个法向量),,(1z y x n =，则由01=∙n ，01=∙n 可得⎩⎨⎧==+,03,0x z y 令1=y ，则)1,1,0(1-=n . 设平面CDE 的一个法向量),,(1112z y x n =，则由02=∙n ，02=∙n 可得⎩⎨⎧=-=,03,0111y x z 令11=x ，则)0,3,1(2=n . 则46223,cos 212121==∙=n n n n n n ，设二面角D CE N --的平面角为θ，则410)46(1sin 2=-=θ， ∴二面角D CE N --的正弦值为410. 20.解：（Ⅰ）由题意知，MP MF ME =+46=>==+EF r MF ，故由椭圆定义知，点M 的轨迹是以点E ，F 为焦点，长轴为6，焦距为4的椭圆，从而长半轴长为3=a ，短半轴长为52322=-=b ，∴曲线C 的方程为：15922=+y x .（Ⅱ）由题意知)0,2(F ，若直线AB 恰好过原点，则)0,3(-A ，)0,3(B ，)0,0(N ， ∴)0,3(-=，)0,5(=，则53-=m ， )0,3(=，)0,1(-=，则3-=n ，∴518-=+n m . 若直线AB 不过原点，设直线AB ：2+=ty x ，0≠t ，),2(11y ty A +，),2(22y ty B +，)2,0(tN -.则,2(1+=ty )21t y +，),(11y ty --=，,2(2+=ty NB )22ty +，),(22y ty BF --=，由m =，得)(211y m ty -=+，从而121ty m --=； 由n =，得)(222y n ty -=+，从而221ty n --=； 故=+n m 121ty --)21(2ty --+)11(2221y y t +--=212122y y y y t +⨯--=.联立方程组得：⎪⎩⎪⎨⎧=++=,159,222y x ty x 整理得02520)95(22=-++ty y t ， ∴9520221+=+t t y y ，9525221+=t y y ， ∴=+n m 212122y y y y t +⨯--518582252022-=--=⨯--=t t . 综上所述，518-=+n m . 21.（Ⅰ）证明：由题意知xexe x x x f --+=4ln )(，于是=+-+='xe x e xx f )1(11)(x exe x e x e x x x x )1)(1()1(1-+=+-+ 令xexe x -=1)(μ，)0(0)1()(><+-='x e x e x xμ，∴)(x μ在)0(∞+上单调递减.又01)0(>=μ，01)1(1<-=e e eμ， 所以存在)1,0(0e x ∈，使得0)(0=x μ，综上)(x f 存在唯一零点)1,0(0e x ∈.解：当),0(0x x ∈，0)(>x μ，于是0)(>'x f ，)(x f 在),0(0x 单调递增； 当),(0+∞∈x x ，0)(<x μ，于是0)(<'x f ，)(x f 在),(0+∞x 单调递减； 故00000max 4ln )()(x e ex x x x f x f --+==，又01)(000=-=x e ex x μ，001x x e e =，00ln 11ln 0x ex x --==， 故)ln 1(ln )(00max x x x f --+=6151400-=--=∙--ex e x . （Ⅱ）解：)()(x q x p >等价于x axe x x >-+4ln .x axe x x >-+4ln x x xe x x xe x x a 4ln 4ln -+=-+<⇔， 令x xe x x x h 4ln )(-+=，则xe x x x x x h 2)5)(ln 1()(-++='， 令5ln )(-+=x x x ϕ，则011)(>+='xx ϕ，即)(x ϕ在),0(+∞上单调递增. 又023ln )3(<-=ϕ，04ln )4(>=ϕ，∴存在),0(t t ∈，使得0)(=t ϕ.∴当),0(t x ∈，)(0)(0)(x h x h x ⇒>'⇒<ϕ在),0(t 单调递增； 当),(+∞∈t x ，)(0)(0)(x h x h x ⇒<'⇒>ϕ在),(+∞t 单调递减. ∵03)1(<-=e h ，0222ln )2(2<-=eh ，0313ln )3(3>-=e h ， 且当3>x 时，0)(>x h ， 又e h 3)1(=，>-=222ln 2)2(e h 3313ln )3(eh -=，44ln 2)4(e h =， 故要使不等式)()(x q x p >解集中有且只有两个整数，a 的取值范围应为≤≤-a e 3313ln 222ln 2e -. 22.解：（Ⅰ）将1C 参数方程化为普通方程为3)1(22=+-y x ，即02222=--+x y x ， ∴1C 的极坐标方程为02cos 22=--θρρ.将2C 极坐标方程化为直角坐标方程为122=+y x . （Ⅱ）将3πθ=代入1C ：02cos 22=--θρρ整理得022=--ρρ， 解得21=ρ，即21==ρOA .∵曲线2C 是圆心在原点，半径为1的圆， ∴射线)0(3≥=ρπθ与2C 相交，即12=ρ，即12==ρOB . 故11221=-=-=ρρAB .23.解：（Ⅰ）当31≤x 时，x x f 67)(-=，由8)(≥x f 解得61-≤x ，综合得61-≤x ， 当231<<x 时，5)(=x f ，显然8)(≥x f 不成立， 当2≥x 时，76)(-=x x f ，由8)(≥x f 解得25≥x ，综合得25≥x ， 所以8)(≥x f 的解集是),25[]61,(+∞--∞ . （Ⅱ）633)(-+-=x a x x f a x a x -=---≥6)63()3(， 112)(≥+-=x x g ， ∴根据题意16≥-a ，解得7≥a ，或5≤a .。
2023届绵阳三诊全科答案
绵阳市高中2020级第三次诊断性考试文科综合(地理)参考答案及评分标准一、选择题（44分）1——5：DBDCA6——11：ABCADB二、非选择题（56分）36.（24分）（1）国土面积小，土地资源不足；地势低平，土壤盐碱化严重；温带海洋性气候，作物的年光照时间少；低温冻害、冬季风暴潮与洪涝等，多种灾害叠加。
（答对一点得2分，总分不超过6分）（2）将农业从农村、郊区迁移到城市，摆脱了自然条件对农业的限制；便于实施集约化、自动化、高精度耕作，绿色生产；可实施生产环节的专业化分工，降低人工成本；垂直农场利用有限土地，提高了产品产量和品质，可获得更大的经济效益。
（答对一点得2分，其它答案，言之有理酌情给分，总分不超过6分）（3）面向北美，背靠欧洲西部大陆腹地，市场广阔；拥有没有贸易壁垒的欧盟市场；交通发达，且市场距离近；产品绿色、生态，市场接受度高；农产品高效生产，能满足市场需求。
（答对一点得2分，总分不超过6分）（4）观点1：应大规模造陆。
理由：荷兰地狭人稠，围海造田能增加土地面积（2分）；国土地势低平，造陆可减少海水侵蚀（2分）；发达国家，资金技术雄厚（2分）。
观点2：不宜大规模造陆。
必然破环海陆自然生态系统（气候、水、生物、外力作用等）（2分）；可能产生更大的损失（2分）；造陆与维护成本高（2分）。
37（22分）（1）第四纪冰期时，受冰川侵蚀、搬运、堆积作用，冰碛物堆积至此（2分）；冰期后，洪水侵蚀并混杂冰水物，在磨西谷地堆积（2分）；长期的外力作用，固结形成冰水混合堆积体（2分）。
（2）雅家埂河流域面积广、支流多，干流流量大，侵蚀作用强（2分）；流域落差大流速快，雨水极易汇流成洪峰（2分）；雅家埂河位于台地东侧，右岸为冰水堆积物，岩性软（2分）；水流侵蚀台地，岸坡易发生坍塌等（2分）。
（3）河流凹（右）岸，水流右偏（2分），岸坡（下部、底部）长时期受洪水冲蚀（2分），失去支撑的岸坡（上部）冰水堆积物，（胶结力不足以平衡下滑力）大面积塌陷（2分），塌陷体与岸坡分离，被水流带走（2分），从而形成圆椅状的陡壁。
2024届四川省绵阳市高三第三次诊断性考试理科综合试卷
一、单选题1. 如图所示，一定质量的理想气体从状态A 依次经过状态B 、C 、D 后又回到状态A ，其中A→B 和C→D 为等温过程，B→C 和D→A 为绝热过程，这就是著名的“卡诺循环”，则下列说法不正确的是（ ）A ．在A→B 过程中，密度减小B ．在B→C 过程中，分子的速率分布曲线发生变化C ．在一次循环过程中，吸收的热量大于放出的热量D ．在B→C 和D→A 过程中，对外界做功的绝对值不相等2. 某学习小组观看完“太空授课”后，设计出4种在太空实验舱中测量小物块质量的方案：①将待测小物块悬挂在劲度系数为k 的轻弹簧下端，测出小物块静止时弹簧的形变量，根据，求得小物块的质量②让待测小物块随实验舱一起绕地球做匀速圆周运动，测出圆周运动的半径r 和周期T ，根据，求得小物块的质量③对待测小物块施加一个恒定的拉力F ，使小物块从静止做匀加速直线运动，测出经过时间t 时的速度v ，根据，求得小物块的质量④用一个弹簧测力计拉着待测小物块做匀速圆周运动，测出弹簧测力计示数F 、圆周运动的半径R 和周期T ，根据，求得小物块的质量其中可行的方案有（ ）A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．①和④3. 如图所示，OA 、OB 是两根光滑的金属杆，且AO ⊥OB ，OA 与水平方向呈60°角。
小球a 、b 分别套在OA 和OB 两根杆上，其质量均为m ，某位置系统处于平衡状态，弹簧与金属杆OB 呈60°角。
已知重力加速度为g ，弹簧的劲度系数为k。
则以下说法中错误的是（ ）A．此时弹簧处于压缩状态，且其压缩量等于B ．小球a 受到OA 杆的弹力大小为mgC ．小球b 受到OB杆的弹力大小为mgD ．向下移动小球b 至O点，待系统再次平衡后，弹簧压缩量变为4. 2023年9月，杭亚会滑板男子碗池决赛，中国年仅15岁的小将陈烨以84.41分夺冠。
图示为陈烨在比赛中腾空越过障碍物，若忽略空气阻力，那么腾空过程中（ ）A ．在最高点的时候人的速度为零，但加速度不为零B ．运动员和滑板构成的系统机械能守恒C ．运动员和滑板构成的系统动量守恒D ．上升过程是超重状态，滑板对人的作用力不为零5. 高速公路的ETC 电子收费系统如图所示，ETC 通道的长度是识别区起点到自动栏杆的水平距离。
中学生标准学术能力诊断性测试(THUSSAT)2024届高三下学期3月测试数学试卷(含解析)
中学生标准学术能力诊断性测试2024年3月测试数学试卷本试卷共150分，考试时间120分钟。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1． 已知集合{}{}22,4,10,10,24,25A a a B a a =−−=−+−−，且{}10AB =−，则A ．{}8,2,10A =−−C ．2a =或20B ．{}10,78,25B =−−D ．{}800,16,10,82,25AB =−−2． 已知函数()233,3log ,>3x x x f x x x ⎧−≤=⎨⎩，若0x ∃∈R ，使得()20104f x m m ≤+成立，则实数m 的取值范围为 A ．91,44⎡⎤−−⎢⎥⎣⎦ C ．91,,44⎛⎤⎡⎫−∞−−+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭B ．5,02⎡⎤−⎢⎥⎣⎦ D ．[)5,0,2⎛⎤−∞−+∞ ⎥⎝⎦3． 已知21sin 75απ⎛⎫+=⎪⎝⎭，那么31tan 14απ⎛⎫−= ⎪⎝⎭A ．15−B ．±C D ．4． 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且23n S n n =+，若首项为12的数列{}n b 满足111n n na b b +−=，则数列{}n b 的前2024项和为 A ．10122023B ．20252024C ．20232024D ．202420255． 已知点()()()72,6,2,3,0,1,,62A B C D ⎛⎫−− ⎪⎝⎭，则与向量2AB CD +同方向的单位向量为A ．⎝⎭B ．⎝⎭C ．⎝⎭D ．43,55⎛⎫− ⎪⎝⎭6． 已知圆()22:20>0M x y ax a+−=的圆心到直线22x y +=距离是，则圆M 与圆()()22:211N x y −++=的位置关系是A ．外离B ．相交C ．内含D ．内切 7． 已知213nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的各项系数和为4096，则展开式中6x 的系数为A ．15B ．1215C ．2430D ．818． 设a ∈R ，若复数23i2ia +−（i 为虚数单位）在复平面内对应的点在直线y x =−上，则a =A ．2−B ．10−C ．25 D ．2二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对但不全得2分，有错选的得0分. 9． 下列说法正确的是A ．不等式2451>0x x −+的解集是1><14x x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭或 B ．不等式2260x x −−≤的解集是322x x x ⎧⎫≤−≥⎨⎬⎩⎭或C ．若不等式2821<0ax ax ++恒成立，则a 的取值范围是∅D ．若关于x 的不等式223<0x px +−的解集是(),1q ，则p q +的值为12−10．已知m n 、为两条不重合的直线，αβ、为两个不重合的平面，则下列说法正确的是A ．若,m n αβ⊥⊥且αβ，则m n C ．若,,mn n ααβ⊂，则m β B ．若,,m n m n αβ⊥⊥⊥，则αβ⊥ D ．若,,,mn n m ααββ⊥⊥⊄，则m β11．设椭圆22:12516x y C +=的左、右焦点分别为12,F F P 、是C 上的动点，则下列结论正确的是A ．125PF PF +=B ．离心率3e 5=C ．12PF F ∆面积的最大值为12D ．以线段12F F 为直径的圆与圆()()22434x y −+−=相切12．已知函数()3,1log ,>1kx k x f x x x −≤⎧=⎨⎩，下列关于函数()()2y ff x =−的零点个数的判断，其中正确的是A ．当>0k 时，有2个零点 C ．当>0k 时，有1个零点B ．当<0k 时，至少有2个零点 D ．当<0k 时，可能有4个零点三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若变量,x y 满足约束条件21024020x y x y y +−≤⎧⎪−+≥⎨⎪+≥⎩，则xy 的最大值是 ．14．在平面直角坐标系中，已知点()()1,22,4,A B E F −−、、是直线3y x =+上的两个动点，且32EF =AE BF ⋅的最小值为 ．15．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若761311S S =，则1511SS = ． 16．若,a b 是两个夹角为120的单位向量，则向量53a b −在向量a b +方向上的投影向量为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知3tan 24C =−．（1）求cos C ；（2）若4c =，求ABC ∆面积的最大值．18．（12分）设数列{}n a 满足：112,244n n a a a n +==+−． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}3n n n a +的前n 项和n S ．19．（12分）已知过点()1,0的动直线l 与圆221:40C x y x +−=相交于不同的两点,A B ．（1）求圆1C 的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程．20．（12分）某中外合作办学学院为了统计学院往届毕业生薪酬情况，面向学院部分毕业生发放问卷统计了其薪资情况，共有200名毕业生进行了问卷填写．毕业生年薪（单位：万元），以[)[)[)[)[)[)[)10,20,20,30,30,40,40,50,50,60,60,70,70,80分组的频率分布直方图如图所示，年薪在[)50,60的毕业生人数比年薪在[)10,20的毕业生人数多22人．（第20题图）（1）求直方图中x ，y 的值；（2）①用样本估计总体，比较学院毕业生与同类型合作办学高校毕业生薪资水平，如果至少77%的毕业生年薪高于同类型合作办学高校毕业生平均薪资水平，则说明同类型合作办学高校毕业生平均年薪最高为多少；②若将频率视为概率，现从该学院毕业生中随机抽取4人，其中年薪高于50万的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望()E ξ．21．（12分）已知函数()22exx ax af x −+=，其中a ∈R ． （1）当1a =时，求曲线()y f x =在()()0,0f 处的切线方程； （2）求证：()f x 的极大值恒为正数．22．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:14x E y +=的左、右焦点分别为12F F 、，点A在椭圆E 上且在第一象限内，12AF AF⊥，点A 关于y 轴的对称点为点B ．（1）求A 点坐标；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与直线y =Q ，求OP OQ ⋅的最大值；（3）设点M 在椭圆E 上，记OAB ∆与MAB ∆的面积分别为12,S S ，若122S S =，求点M 的坐标．10 20 30 40 50 60 70 80 毕业生年薪情况（单位：万元）中学生标准学术能力诊断性测试2024年3月测试数学参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对但不全的得2分，有错选的得0分．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．16 14．1858−15．64545116．a b +四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分） （1）22tan 3tan 21tan 4C C C ==−− ········································································· 2分解得tan 3C =，故cos 10C =·································································· 4分（2）2222cos 1625a b c ab C ab +=+=+≥ ·············································· 6分解得809ab +≤·················································································· 8分 由（1）知sinC =12 1018．（12分）（1）对于2n ≥时，()()1412824n n n a n a n a n +++=+=+ ······································ 2分 112,416a a =+⨯=，432,324n n n n a n a n +=⨯=⨯− ··································································· 3分 经验算，1a 符合上述结果，故324nn a n =⨯− ················································· 4分 （2）设33643nnnn n b n a n n =+=+⨯−⨯，则()()1816143216nnn n n S n ⨯−+=+−⨯− ························································· 6分设43nn T n =⨯，123438312343n n T n =⨯+⨯+⨯++⨯，23413438312343n n T n +=⨯+⨯+⨯++⨯ ····················································· 7分作差得到123124343434343n n n T n +=−⨯−⨯−⨯−−⨯+⨯ ······························ 8分故()()1161323213313n n n n T n n ++−⨯−=+⨯=−⨯+− ·········································· 10分 ()()18161216nn nn n S T⨯−+=+−−故()21183362132255n n n n n S n +=++⨯−−⨯− ················································ 12分 19．（12分）（1）圆1C 的方程可变形为()2224x y −+= ···························································· 2分 故1C 的圆心坐标为()2,0，半径为2······························································· 4分 （2）设(),M M M x y ，因为点M 是AB 的中点，1C M AB ∴⊥，11 61218由此可得22320M M M x x y −++=··································································· 10分 故轨迹方程为223124M M x y ⎛⎫−+= ⎪⎝⎭，轨迹是以圆心为3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径为12的圆 ······· 12分 20．（12分）（1）解：10100.005100.0110100.019100.02100.0271x y +⨯+⨯++⨯+⨯+⨯=，故0.019x y +=························································································· 1分 200102001022y x ⨯−⨯=，故0.011y x −= ························································································· 2分 解得0.004,0.015x y == ············································································ 3分 （2）①学院毕业生年薪在[)30,80区间的人数比例为：()0.020.0270.0150.010.005++++1077%⨯=，故同类型合作办学高校毕业生平均年薪最高为30万元········································ 5分 ②对于单个毕业生，其年薪高于50万的概率()0.0050.010.015100.3P =++⨯=， 故随机变量3~4,10B ξ⎛⎫⎪⎝⎭， 故()()4010.30.2401P ξ==−= ·································································· 6分 ()()314110.30.30.4116P C ξ==⨯−⨯= ························································ 7分 ()()2224210.30.30.2646P C ξ==⨯−⨯= ······················································ 8分 ()()334310.30.30.0756P C ξ==⨯−⨯= ······················································· 9分()440.30.0081P ξ=== ········································································· 10分ξ的分布列为：ξ的数学期望()0.34 1.2E ξ=⨯= ······························································· 12分21．（12分） （1）()()()()()2224e e 2242e e x x xx x a x ax a x a x af x −−−+−++−'== ······················· 2分当1a =时，()2252exx x f x −+−'=，()02f '=− ············································ 4分 又()01f =，故曲线()y f x =在()()0,0f 处的切线方程为21y x =−+ ············ 5分（2）()()()()2242220e e x xx a x a x a x f x −++−−+−'===，解得知122,2a x x ==··················································································· 7分 若()>4,a f x 在(),2,,2a ⎛⎫−∞+∞⎪⎝⎭递减，2,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭递增 ······································· 8分极大值2>02e a a af ⎛⎫= ⎪⎝⎭··············································································· 9分 若=4a ，函数单调递减，无极大值 ····························································· 10分 若()<4,a f x 在(),,2,2a ⎛⎫−∞+∞ ⎪⎝⎭递减，,22a ⎛⎫ ⎪⎝⎭递增 ····································· 11分 极大值()282>0ea f −=············································································ 12分 综上，()f x 的极大值恒为正数． 22．（12分）（1）椭圆22:14x E y +=的左，右焦点分别为())12,F F ，设()12,,A m n AF AF ⊥，故()12,,0AF AF m nm n ⋅=−−−= ··············· 1分即223m n += ··························································································· 2分 221433333 4（2）设P 点坐标为(),0p ，则可得Q 点坐标为(2p ································· 5分()(22,022232OP OQ p p p p ⎛⋅==−+=−−+ ⎝⎭ ················· 7分当2p =时，OP OQ ⋅取最大值，最大值为3 ················································ 8分（3）A 点坐标为⎝⎭，B 点坐标为⎛ ⎝⎭，点O 到线段AB 的距离1h =····································································· 9分若122S S =，则点M 到线段AB 的距离应为2h =故M 点的纵坐标为6或2，代入椭圆方程，解得M 点的横坐标为3±或1± ······························································· 11分故M 点的坐标为：⎛ ⎝⎭或⎛±⎝⎭ ·············································· 12分。
理第18题 概率与统计(原卷版)-2022年高三毕业班数学第X题满分练(全国通用)
第18题概率与统计高考考点命题分析三年高考探源考查频率概率、随机变量分布列及正态分布高考全国卷每年必有一道概率与统计解答题，该题通常以实际问题为背景，考查考生的数学建模及数据分析等核心素养，可以是较容易的题，也可以是难度较大的题，考查热点是概率的计算、随机变量的分布列、期望与方差的应用、正态分布、用样本估计总体、统计案例．2020课标全国Ⅰ19 2020课标全国Ⅲ18 2019课标全国Ⅱ18 2019课标全国I 21★★★统计与统计案例2021课标全国Ⅰ17 2021课标全国Ⅱ17 2020课标全国Ⅱ18 2020课标全国Ⅲ18 2019课标全国Ⅲ17★★★例题（2021高考全国I ）某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备 9.8 10.3 10.0 10.2 9.99.8 10.0 10.1 10.29.7新设备 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5y 21S 和22S ．（1）求x ，y ，21S ，22S ；（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果2212210S S y x +-≥则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）．【答案】（1）221210,10.3,0.036,0.04x y S S ====；（2）新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有 解：（1）9.810.31010.29.99.81010.110.29.71010x +++++++++==，（2分）10.110.410.11010.110.310.610.510.410.510.310y +++++++++==，（4分）22222222210.20.300.20.10.200.10.20.30.03610S +++++++++==，（8分） 222222222220.20.10.20.30.200.30.20.10.20.0410S +++++++++==.（8分）（2）依题意，20.320.1520.1520.025y x -==⨯==，0.0360.040.007610+=（10分）2212210s s y x +-≥，所以新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高. （12分）1．（2022届江苏省泰州市兴化市高三4月模拟）设(),X Y 是一个二维离散型随机变量，它们的一切可能取的值为(),i j a b ，其中,i j N *∈，令(,)ij i j p P X a Y b ===，称(,)ij p i j N *∈是二维离散型随机变量(),X Y 的联合分布列．与一维的情形相似，我们也习惯于把二维离散型随机变量的联合分布列写成下表形式：(),X Y1b 2b 3b ... 1a 1,1p 1,2p 1,3p (2)a 2,1p 2,2p 2,3p (3)a3,1p3,2p3,3p ·…… … … … …现有()n n N ∈个相同的球等可能的放入编号为1，2，3的三个盒子中，记落下第1号盒子中的球的个数为X ，落入第2号盒子中的球的个数为Y ． (1)当n ＝2时，求(),X Y 的联合分布列；(2)设0(,),nk m p P X k Y m k N ====∈∑且k n ≤计算0nk k kp =∑．2．（陕西省西安市高三下学期二模）某中学对学生进行体质测试（简称体测），随机抽取了100名学生的体测结果等级（“良好以下”或“良好及以上”）进行统计，并制成列联表如下： 良好以下 良好及以上 合计 男 25 女 10 合计70100(2)事先在本次体测等级为“良好及以上”的学生中按照性别采用分层抽样的方式随机抽取了9人．若从这9人中随机抽取3人对其体测指标进行进一步研究，求抽到的3人全是男生的概率．附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++．()20P K k ≥0.10 0.05 0.025 0.010 0.001 0k2.7063.8415.0246.63510.828会上参与全民健身活动的人越来越多，小明也有大量好友参与了“健步团”，他随机选取了其中的40人，记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下：步量性别5001~60006001~70007001~80008001~9000>9000男 1 2 3 6 8 女21062(2)如果每人一天的走路步数超过8000步就会被系统评定为“健步型”，否则为“良好型”，根据题意完成下面的22⨯列联表，并据此判断能否有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关健步型良好型总计男女总计附：参考公式()()()()() 2n ad bcKa b c d a c b d-=++++.临界值表：()2P K k≥0.10 0.05 0.025 0.010 0k 2.706 3.841 5.024 6.635专业队，与两名高山滑雪爱好者乙、丙组成的业余队进行友谊比赛．约定赛制如下：业余队中的两名队员轮流与甲进行比赛．．．．．．．．．．．．，若甲连续豪两场．．．．．则专业队获胜；若甲连续输两场．．．．．则业余队获胜：若比赛三场还没有决出胜负，则视为平局，比赛结束．已知各场比赛相互独立，每场比赛都分出胜负，且甲与乙比赛，乙赢概率为13；甲与丙比赛，丙赢的橱率为p，其中1132p<<．(1)若第一场比赛，业余队可以安接乙与甲进行比赛，也可以安排丙与甲进行比赛．请分别计算两种安排下业余队获胜的概率；若以获胜概率大为最优决策，问：业余队第一场应该安排乙还是丙与甲进行比赛？(2)为了激励专业队和业余队，赛事组织规定：比赛结束时，胜队获奖金3万元，负队获奖金1.5万元；若平局，两队各获奖金1.8万元．在比赛前，已知业余队采用了（1）中的最优决策与甲进行比赛，设赛事组织预备支付的奖金金额共计X万元，求X的数学期望()E X的取值范围．5．（2022届广东省广州市高三二模）某校为全面加强和改进学校体育工作，推进学校体育评价改革，建立了日常参与，体质监测和专项运动技能测试相结合的考查机制，在一次专项运动技能测试中，该校班机抽取60名学生作为样本进行耐力跑测试，这60名学生的测试成绩等级及频数如下表成绩等级优良合格不合格频数7 11 41 1(1)从这60名学生中随机抽取2名学生，这2名学生中耐力跑测试成绩等级为优或良的人数记为X ，求()1P X =；(2)将样本频率视为概率，从该校的学生中随机抽取3名学生参加野外拉练活动，耐力跑测试成绩等级为优或良的学生能完成该活动，合格或不合格的学生不能完成该活动，能完成活动的每名学生得100分，不能完成活动的每名学生得0分．这3名学生所得总分记为Y ，求Y 的数学期望．6．（2022届重庆市高三质量检测）冰壶被喻为冰上的“国际象棋”，是以团队为单位在冰上进行的投掷性竞赛项目，每场比赛共10局，在每局比赛中，每个团队由多名运动员组成，轮流掷壶、刷冰、指挥．两边队员交替掷壶，可击打本方和对手冰壶，以最终离得分区圆心最近的一方冰壶数量多少计算得分，另外一方计零分，以十局总得分最高的一方获胜．冰壶运动考验参与者的体能与脑力，展现动静之美，取舍之智慧．同时由于冰壶的击打规则，后投掷一方有优势，因此前一局的得分方将作为后一局的先手掷壶．已知甲、乙两队参加冰壶比赛，在某局中若甲方先手掷壶，则该局甲方得分概率为25；若甲方后手掷壶，则该局甲方得分概率为23，每局比赛不考虑平局．在该场比赛中，前面已经比赛了六局，双方各有三局得分，其中第六局乙方得分．(1)求第七局、第八局均为甲方得分的概率； (2)求当十局比完，甲方的得分局多于乙方的概率．7．（2022届内蒙古赤峰市高三模拟）为评估设备M 生产某种零件的性能，从设备M 生产零件的流水线上随机抽取100个零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表： 直径/mm 58596061626364 65 66 67686970717273合计个数2 1 13 5 6 1931164 4 2 1 2 2 1 10065μ=σ(1)为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X ，并根据以下不等式进行评判（P 表示相应事件的概率）,()0.6826P X μσμσ-<≤+≥；()220.9545P X μσμσ-<≤+≥；()330.9973P X μσμσ-<≤+≥.评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；若仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部都不满足，则等级为丁，试判断设备M 的性能等级.(2)将直径小于等于2μσ-或直径大于2μσ+的零件认为是次品.（i ）从设备M 的生产流水线上随机抽取3件零件，计算其中次品件数Y 的数学期望()E Y ； （ii ）从样本中随机抽取2件零件，计算其中次品件数Z 的概率分布列和数学期望()E Z . 8．（2022届四川省绵阳市高三第三次诊断性考试）随着科技进步，近来年，我国新能源汽车产业迅速发展．以下是中国汽车工业协会2022年2月公布的近六年我国新能源乘用车的年销售量数据：年份 2016 2017 2018 2019 2020 2021 年份代码x1 2 3 4 5 6 新能源乘用车年销售y （万辆）5078126121137352(2)若用e nx y m =模型拟合y 与x 的关系，可得回归方程为0.3337.71e x y =，经计算该模型和第（1）问中模型的2R （2R 为相关指数）分别为0.87和0.71，请分别利用这两个模型，求2022年我国新能源乘用车的年销售量的预测值；(3)你认为（2）中用哪个模型得到的预测值更可靠？请说明理由． 参考数据：设ln u y =，其中ln i i u y =． yu()()61iii x x y y =--∑()()61i ii x x u u =--∑3.63e 5.94e 6.27e144 4.78 841 5.70 37.71 380 528参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据()()123i i x y i n =⋅⋅⋅，，，，，，其回归直线ˆˆˆybx a =+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()121ˆnii i nii xx y ybxx==--=-∑∑，ˆˆay bx =-． 9．（2022届四川省攀枝花市高三第三次统一考试）2022年2月4日，北京冬奥会盛大开幕，这是让全国人民普遍关注的体育盛事，因此每天有很多民众通过手机、电视等方式观看相关比赛．某机构将每天收看相关比赛的时间在2小时以上的人称为“冰雪运动爱好者”，否则称为“非冰雪运动爱好者”，该机构通过调查，并从参与调查的人群中随机抽取了100人进行分析，得到下表（单位：人）：冰雪运动爱好者非冰雪运动爱好者合计 女性 20 50 男性15合计 100的前提下认为性别与是否为“冰雪运动爱好者”有关？(2)将频率视为概率，现从参与调查的女性人群中用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次，记被抽取的3人中“冰雪运动爱好者”的人数为X ，若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列、数学期望()E X 和方差()D X ． 附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b c -=++++，其中n a b c d =+++． ()20P K k ≥0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k3.8415.0246.6357.87910.828北京冬奥会男子冰球主要比赛场馆是位于北京奥林匹克公园的“冰之帆”国家体育馆.本届冬奥会男子冰球有12支队伍进入正赛，中国首次组队参赛，比赛规则12支男子冰球参赛队先按照往届冬奥会赛制分成三个小组（每组4个队）.正赛分小组赛阶段与决赛阶段；小组赛阶段各组采用单循环赛制（小组内任两队需且仅需比赛一次）；决赛阶段均采用淘汰制（每场比赛胜者才晋级），先将12支球队按照小组赛成绩进行种子排名，排名前四的球队晋级四分之一决赛（且不在四分之一决赛中遭遇），其余8支球队按规则进行附加赛（每队比赛一次，胜者晋级），争夺另外4个四分之一决赛席位，随后依次是四分之一决赛、半决赛、铜牌赛、金牌赛(1)本届冬奥会男子冰球项目从正赛开始到产生金牌，组委会共要安排多少场比赛？ (2)某机构根据赛前技术统计，率先晋级四分之一决赛的四支球队（甲乙丙丁队）实力相当，假设他们在接下来四分之一决赛、半决赛、铜牌赛、金牌赛中取胜率都依次为34、12、12、12，且每支球队晋级后每场比赛相互独立，试求甲、乙、丙、丁队都没获得冠军的概率.11．（2022届山东省枣庄市高三下学期一模）已知有一道有四个选项的单项选择题和一道有四个选项的多项选择题，小明知道每道多项选择题均有两个或三个正确选项．但根据得分规则：全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．这样，小明在做多项选择题时，可能选择一个选项，也可能选择两个或三个选项，但不会选择四个选项．(1)如果小明不知道单项选择题的正确答案，就作随机猜测．已知小明知道单项选择题的正确答案和随机猜测的概率都是12，在他做完单项选择题后，从卷面上看，在题答对的情况下，求他知道单项选择题正确答案的概率．(2)假设小明在做该道多项选择题时，基于已有的解题经验，他选择一个选项的概率为12，选择两个选项的概率为13，选择三个选项的概率为16．已知该道多项选择题只有两个正确选项，小明完全不知道四个选项的正误，只好根据自己的经验随机选择．记X 表示小明做完该道多项选择题后所得的分数．求： （i ）()0P X =；（ii ）X 的分布列及数学期望．12．（2022届湖北省高三下学期4月二模）某企业使用新技术对某款芯片进行试生产，在试产初期，该款芯片的生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测评估工序，包括智能自动检测与人工抽检．已知该款芯片在生产中，前三道工序的次品率分别为123111,,1098P P P ===． (1)求该款芯片生产在进人第四道工序前的次品率；(2)如果第四道工序中智能自动检测为次品的芯片会被自动淘汰，合格的芯片进入流水线并由工人进行人工抽查检验．在芯片智能自动检测显示合格率为90%的条件下，求工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品的概率．13．（2022届广西四市高三4月教学质量检测）近期新冠病毒奥密克戎毒株全球蔓延，传染性更强、潜伏期更短、防控难度更大．为落实动态清零政策下的常态化防疫，某高中学校开展了每周的核酸抽检工作：周一至周五，每天中午13：00开始，当天安排450位师生核酸检测，五天时间全员覆盖．(1)该校教职工有410人，高二学生有620人，高三学生有610人， ①用分层抽样的方法，求高一学生每天抽检人数；②高一年级共15个班，该年级每天抽检的学生有两种安排方案，方案一：集中来自部分班级；方案二：分散来自所有班级．你认为哪种方案更合理，并给出理由． (2)学校开展核酸抽检的第一周，周一至周五核酸抽检用时记录如下： 第x 天12 3 4 5 用时y （小时） 1.21.21.11.01.0x y ②根据①中的计算结果，判定变量x 和y 是正相关，还是负相关，并给出可能的原因．10 3.16，相关系数()()()()12211niii nniii i x x y y r x x y y ===--=--∑∑∑14．（2022届北京市通州区高三一模）某单位有A ，B 两个餐厅为员工提供午餐与晚餐服务，甲、乙两位员工每个工作日午餐和晚餐都在单位就餐，近100个工作日选择餐厅就餐情况统计如下：,A A(),A B(),B A(),B B 选择餐厅情况（午餐，晚餐）()甲员工30天20天40天10天乙员工20天25天15天40天(1)分别估计一天中甲员工午餐和晚餐都选择A餐厅就餐的概率，乙员工午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的概率；E X；(2)记X为甲、乙两员工在一天中就餐餐厅的个数，求X的分布列和数学期望()(3)试判断甲、乙员工在晚餐选择B餐厅就餐的条件下，哪位员工更有可能午餐选择A餐厅就餐，并说明理由．。
2024届四川省绵阳市高中高三下学期第三次诊断性考试文科综合试卷-高中历史(含答案解析)
2024届四川省绵阳市高中高三下学期第三次诊断性考试文科综合试卷-高中历史学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．春秋时期“齐有彗星”，齐侯以祭祀祛除不祥，晏子说“无益也，祗取巫焉”，认为“祝史之为，无能补也”。
面对水灾，百姓祭祀神龙时，子产指出神龙与水灾无关，坚持“吾无求于龙”，不必祭祀。
这反映出当时（）A．礼乐制度受到冲击B．德治思想成为主流C．人文意识逐渐萌发D．祭祀传统遭到背弃2．秦朝在兴建公共工程时，工程效能非常高，如秦直道施工大体两年完成。
汉惠帝时期，长安城的修建“四年就半，五年六年成就”，春季施工往往“三十日罢”，在工役调发的规模及工期的确定都很有节制。
这一差异体现了秦汉（）A．行政效能的高低B．经济实力的差距C．集权程度的不同D．施政理念的差异3．古代科举经历了从唐代考试科目众多到宋代以后进士科一科独大，考试内容从考“十二经”“三史”等到只考“四书”“五经”的过程。
导致这一变化的主要原因是（）A．选官程序的完善B．主流思想的强化C．社会结构的变动D．文官政治的发展4．下图为宋明以来中国核心区的变化，这一变化（）A．推动了生产专业化的发展B．改变了南北经济文化格局C．强化了中央对江南的控制D．促进了跨区域贸易的繁荣5．梁启超认为，必须等到多数国人具备公益心、自治力的国民资格，才能有国民政治。
革命党人强调“建设新政府之模范，即为开浚人民之政治思想，培养人民之政治智识，习练人民之政治能力之一大机关”。
二者的分歧在于（）A．革命与改良孰重孰轻B．平民与精英孰优孰劣C．立宪与共和孰是孰非D．启蒙与变革孰先孰后6．九一八事变后，中共满洲省委明确提出将传单和标语作为抗日宣传的重要载体。
除此以外，党组织还利用东北民俗传统节日开展宣传工作，潜入秧歌队、高跷队、灯会、庙会和戏院中开展秘密宣传。
这反映出中国共产党（）A．贯彻全面抗战B．落实统一战线C．注重社会动员D．宣扬传统文化7．下表是新中国初期四川省大竹县大鹿山村粮食产量对比表(单位：石)主粮类别1951年1952年互助组4813.855923.79水稻单干户400.90384.30互助组202.59436.55玉米单干户20.1933.29据此可知，当时该地（）A．土地改革推动生产的发展B．尝试变革农村的生产关系C．农业合作化运动成效显著D．包干到户提高生产积极性8．下图是1981年出版的《做新时期的好儿童，作未来科学的主人》宣传画，将儿童置于现代科技的大背景之下，画面构图简洁，色调温暖，既面向大众又契合了时代主题。
绵阳市高中2020年第三次诊断性考试理科数学带答案
秘密★启用前【考试时间：2020年4月21日15：00-17：00】绵阳市高中2017级第三次诊断性考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再涂选其它答案标号。
回答非选择时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题；本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合A={（x ，y ）| x 2+y 2=1}，B=（x ，y ）| x+y=1}，则A∩B 中元素的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．32．已知复数z 满足i z i +=⋅-3)1(，则z=（ ）A ．1-iB ．1+iC ．2-2iD ．2+2i3．已知12log 3=⋅x ，则4x =（ ）A ．4B ．6C ．2log 34D ．94．有报道称，据南方科技大学、上海交大等8家单位的最新研究显示；A 、B 、O 、AB 血型与COVD -19易感性存在关联，具体调查数据统计如下：武汉市3694名正常人血型占比 武汉市1775名COVD -19患者血型占比根据以上调查数据，则下列说法错误的是（ ）A ．与非O 型血相比，O 型血人群对COVID -19相对不易感，风险较纸B ．与非A 型血相比，A 型血人群对COVID -19相对易感，风险较高C ．与A 型血相比，非A 型血人群对 COVID -19都不易感，没有风险D ．与O 型血相比，B 型、AB 型血人群对COVID -19的易感性要高5．在二项式n x x )2(-的展开式中，仅第四项的二项式系数最大，则展开式中常数项为（ ）A ．-360B ．-160C ．160D ．3606．已知在△ABC 中，sinB=2sinAcosC ，则△ABC 一定是（ ）A ．锐角三角形B ．腰三三角形C 直角三角形D ．钝角三角形 7，已知两个单位向量a ，b 的夹角为120°，若向量c =2a -b ，则a ·c=（ ）A ．25B ．23 C ．2 D ．3 8．数学与建筑的结合造就建筑艺术品，2018年南非双曲线大教堂面世便惊艳世界，如图．若将此大教堂外形弧线的一段近似看成焦点在y 轴上的双曲线12222=-bx a y （a ＞0，b ＞0）上支的一部分，且上焦点到上顶点的距离为2，到渐近线距离为22，则此双曲线的离心率为（ ）A ．2B ．22C ．3D ．239．设函数⎪⎩⎪⎨⎧<-->+=-0,120,12)(x x x f x x ，则下列结论错误的是（ ） A ．函数f （x ）的值域为R B ．函数f （| x |）为偶函数C ．函数f （x ）为奇函数D ．函数f （x ）是定义域上的单调函数10．已知函数)20,0)(sin()(πϕωϕω<<>+=x x f 的最小正周期为π，且关于（8π-，0）中心对称，则下列结论正确的是（ ）A ．f （1）<f （0）<f （2）B ．f （0）<f （2）< f （1）C ．f （2）<f （0）<f （1）D ．f （2）<f （1）<f （0）11．已知x 为实数，[x]表示不超过x 的最大整数，若函数f （x ）=x -[x]，则函数x e x x f x g +=)()(的零点个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．412．在△ABC 中，∠C=90，AB=2，AC= 3，D 为AC 上的一点（不含端点），将△BCD 沿直线BD 折起，使点C 在平面ABD 上的射影O 在线段AB 上，则线段OB 的取值范围是（ ）。
2020届高考数学(理)一轮必刷题 专题45 立体几何中的向量方法(解析版)
考点45 立体几何中的向量方法1．（辽宁省沈阳市2019届高三教学质量监测三数学理）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面PAB ⊥底面ABCD ，E 为PC 上的点，且BE ⊥平面APC（1）求证：平面PAD ⊥平面PBC ；（2）当三棱锥ABC P -体积最大时，求二面角B AC P --的余弦值．【答案】（1）见证明；（2）3. 【解析】（1）证明：∵侧面PAB ⊥底面ABCD ，侧面PAB底面ABCD AB =，四边形ABCD 为正方形，∴BC AB ⊥，面ABCD ，∴BC ⊥面PAB ， 又AP ⊂面PAB ， ∴AP BC ⊥，BE ⊥平面APC ，AP ⊂面PAC ，∴BE AP ⊥，B BE BC = ，,BC BE ⊂平面PBC ，∴AP ⊥面PBC ，AP ⊂面PAD ，∴平面PAD ⊥平面PBC ． （2）111323P ABC C APB V V PA PB BC PA PB --==⨯⨯⨯⨯=⨯⨯， 求三棱锥ABC P -体积的最大值，只需求PA PB ⨯的最大值．令,PA x PB y ==，由（1）知，PA PB ⊥， ∴224x y +=，而221123323P ABCx y V xy -+=≤⨯=，当且仅当x y ==PA PB ==ABC P V -的最大值为23． 如图所示，分别取线段AB ，CD 中点O ，F ，连接OP ，OF ，以点O 为坐标原点，以OP ，OB 和OF 分别作为x 轴，y 轴和z 轴，建立空间直角坐标系xyz O -． 由已知(0,1,0),(0,1,2),(1,0,0)A C P -，所以(1,1,0),(0,2,2)AP AC ==， 令(,,)n x y z =为面PAC 的一个法向量，则有0220x y y z +=⎧⎨+=⎩，∴(1,1,1)n =-易知(1,0,0)m =为面ABC 的一个法向量， 二面角B AC P --的平面角为θ，θ为锐角则1cos 3n m n m θ⋅===⋅.2．（湖南省长沙市第一中学2019届高三下学期高考模拟卷一数学理）如图所示，圆O 的直径AB ＝6，C 为圆周上一点，BC ＝3，平面PAC 垂直圆O 所在平面，直线PC 与圆O 所在平面所成角为60°，PA ⊥PC ．（1）证明：AP ⊥平面PBC（2）求二面角P —AB 一C 的余弦值 【答案】(1)见解析.(2) 721. 【解析】（1）由已知可知AC BC ⊥，又平面PAC ⊥平面圆O ，平面PAC 平面圆O AC =，∴BC ⊥平面PAC ，∴BC PA ⊥， 又PA PC ⊥，PC BC C =，PC ⊂平面PBC ，D 平面PBC ，∴PA ⊥平面PBC .（2）法一：过P 作PH AC ⊥于H ，由于平面PAC ⊥平面O ，则PH ⊥平面O ，则PCH ∠为直线PC 与圆O 所在平面所成角，所以60PCH =︒. 过H 作HF AB ⊥于F ，连结PF ，则AB PF ⊥， 故PFH ∠为二面角P AB C --的平面角.由已知60ACP ABC ∠=∠=︒，30CAP CAB ∠=∠=︒，在Rt APC ∆中，sin30cos30sin30PH AP AC =⋅︒=⋅︒⋅︒19224==，由2AP AH AC =⋅得2AP AH AC ==Rt AFH ∆中，sin 30FH AH =︒=，故9tan3PHPFHHF∠===，故cos7PFH∠=，即二面角P AB C--的余弦值为721.法二：过P作PH AC⊥于H，则PH⊥平面O，过H作//HF CB交AB于F，以H为原点，HA、HF、HP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.则(0,0,0)H，4A⎛⎫⎪⎪⎝⎭，4B⎛⎫-⎪⎪⎝⎭，90,0,4P⎛⎫⎪⎝⎭，从而94AP⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭，(AB=-，设平面PAB的法向量(,,)n x y z=，则9394333AP n x zABn x y⎧⋅=-+=⎪⎨⎪⋅=-+=⎩得zy⎧=⎪⎨=⎪⎩，令1x=，从而(1,3,n=，而平面ABC的法向量为(0,0,1)m=，故3cos,7n mn mn m⋅<>===即二面角P AB C--的余弦值为721.3．（四川省绵阳市2019届高三下学期第三次诊断性考试数学理）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD是菱形，且2PA AD ==，120PAD BAD ∠=∠=︒，E ，F 分别为PD ，BD 的中点，且2EF =.（1）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ； （2）求锐二面角E AC D --的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）5【解析】（1）过P 作PO ⊥AD ，垂足为O ，连结AO ，BO ， 由∠PAD=120°，得∠PAO=60°，∴在Rt △PAO 中，PO=PAsin ∠PAO=2sin60°=2×2∵∠BAO=120°，∴∠BAO=60°，AO=AO ，∴△PAO ≌△BAO ，∴∵E ，F 分别是PA ，BD 的中点，EF=2EF 是△PBD 的中位线，∴，∴PB 2=PO 2+BO 2，∴PO ⊥BO ，∵AD∩BO=O ，∴PO ⊥平面ABCD ，又PO ⊂平面PAD ，∴平面PAD ⊥平面ABCD ．（2）以O 为原点，OB 为x 轴，OD 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系， A （0，1，0），P （0，0，B0，0），D （0，3，0），∴E （0，32，F302，），AE =（0，12，AF =12，0），易得平面ABCD 的一个法向量m =（0，0，1），设平面ACE 的法向量n =（x ，y ，z ），则1AE y z 02231AF x y 022n n ⎧⋅=+=⎪⎪⎨⎪⋅=+=⎪⎩，取x=1，得n =（1，1），设锐二面角的平面角的大小为θ，则cosθ=|cos ＜,m n ＞|=m nm n⋅⋅=，∴锐二面角E-AC-D．4．（四川省宜宾市2019届高三第三次诊断性考试数学理）如图，在四棱锥中，，平面，二面角为为中点．（1）求证：；（2）求与平面所成角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】（1）证明：作SA中点F，连接EF∵E为SD中点∴∵∴∴得平行四边形∴∵平面∴为二面角的平面角∴∵∴∴∴（2）作AB中点O，由（1）知∵∴平面如图建立空间直角坐标系设，则∴设平面SCD 的法向量，得令 ，则∵∴∴∴AB 与平面所成角的余弦值为.5．（安徽省黄山市2019届高三毕业班第三次质量检测数学理）如图，在以,,,,,A B C D E F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，AF =，90AFD ︒∠=，且二面角E AF D --与二面角C BE F --都是30.（1）证明：⊥AF 平面EFDC ；（2）求直线BF 与平面BCE 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）42. 【解析】 （1）面ABEF 为正方形∴ΑF FE ⊥又90AFD ∠=∴ΑF DF ⊥，而DF FE F ⋂=,DF ⊂面EFDC ,⊂EF 面EFDC∴ΑF ⊥面EFDC（2）⊂AF ABEF ，则由（1）知面EFDC ⊥平面ΑΒΕF ，过D 作DG ΕF ⊥，垂足为G ，∴DG ⊥平面ΑΒΕF ．以G 为坐标原点，GF uu u r的方向为x 轴正方向，GD 为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系G xyz -．由（1）知DFE ∠为二面角E AF D --的平面角，故DFE 30∠=，又AF =，则2DF =，GF =AF =()B -，()E -，)F．由已知，//AB EF ，∴//AB 平面EFDC ．又平面ABCD平面EFDC DC =，故//AB CD ，//CD EF ．由//BE AF ，可得BE ⊥平面EFDC ，∴C F ∠E 为二面角C BE F --的平面角，30C ΕF ∠=．∴()C -． ∴()3,0,1ΕC=，()ΕΒ=，()BF =-．设(),,n x y z =是平面ΒC Ε的法向量，则C 00n n ⎧⋅E =⎨⋅EB =⎩，即00z +==⎪⎩，∴可取(1,0,n = .则43sin cos ,446BF n BF n BF nθ⋅=<>===⨯． ∴直线BF 与平面BCE 所成角的正弦值为42 .6．（湖南省师范大学附属中学2019届高三考前演练（五)数学（理）在五边形AEBCD 中，BC CD ⊥，C //D AB ，22AB CD BC ==，AE BE ⊥，AE BE =（如图）.将△ABE 沿AB 折起，使平面ABE ⊥平面ABCD ，线段AB 的中点为O(如图）.（1）求证：平面ABE ⊥平面DOE ；（2）求平面EAB 与平面ECD 所成的锐二面角的大小. 【答案】（1）见解析（2）45° 【解析】（1）由题意2AB CD =，O 是线段AB 的中点，则OB CD =.又//CD AB ，则四边形OBCD 为平行四边形，又BC CD ⊥，则AB OD ⊥， 因AE BE =，OB OA =，则EO AB ⊥.EO DO O =，则AB ⊥平面EOD.又AB Ì平面ABE ，故平面ABE ⊥平面EOD.（2）由（1）易知OB ，OD ，OE 两两垂直，以O 为坐标原点，以OB ，OD ，OE 所在直线分别为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -， △EAB 为等腰直角三角形，且AB=2CD=2BC ， 则OA OB OD OE ===，取1CD BC ==，则O （0，0，0），A （-1，0，0），B （1，0，0），C （1，1，0），D （0，1，0）， E （0，0，1），则1CD =-（，0,0)，011DE =-（，，）， 设平面ECD 的法向量为n x y z =（，，）， 则有取0,0,n CD n DE ⎧⋅=⎨⋅=⎩0,0,x y z -=⎧⎨-+=⎩1z =，得平面ECD 的一个法向量011n =（，，）， 因OD ⊥平面ABE.则平面ABE 的一个法向量为010OD =（，，）， 设平面ECD 与平面ABE 所成的锐二面角为θ，则,cos cos OD n θ===因为0(0,90)θ∈，所以045θ=，故平面ECD 与平面ABE 所成的镜二面角为45°.7．（河北省保定市2019年高三第二次模拟考试理）如图，已知四棱锥中，四边形ABCD 为矩形，AB =2BC SC SD ===，BC SD ⊥.（1）求证：SC ⊥平面SAD ； （2）设12AE EB =，求平面SEC 与平面SBC 所成的二面角的正弦值.【答案】（1）见证明；（2【解析】（1）证明： BC ⊥SD ，BC ⊥CD 则BC ⊥平面SDC, 又//BC AD 则AD ⊥平面SDC ，SC ⊂平面SDC SC ⊥AD又在△SDC 中，SC=SD=2, DC=AB SC 2+SD 2=DC 2则SC ⊥SD ，又SD AD D =所以 SC ⊥平面SAD（2）解：作SO⊥CD于O，因为BC⊥平面SDC, 所以平面ABCD⊥平面SDC，故SO⊥平面ABCD 以点O为原点，建立坐标系如图.则),C(0,0), A(2，,0),B(2,0)设E(2,y,0),因为12 AE EB=所以1),23y y y+=∴=-即E((2,3-,0)42=(0,2,-2),(2,-,0),=(2,0,0)SC CE CB==(,,),=(,b,c)SEC n x y z SBC m a设平面的法向量为平面的法向量为22=0·=0,·=02=03zSC nCE n x y⎧⎧⎪∴⇒⎨⎨-⎩⎪⎩令3z=，则3y=，23x==(22,3,3)n∴·=0·=0SC mCB m⎧∴⇒⎨⎩20a==⎪⎩，令1b=，则1c=，0a=8．（陕西省西安市2019届高三第三次质量检测理）如图，在三棱柱111ABC A B C-中，AB⊥平面11BB C C，E是1CC的中点，1BC=，12BB=，160BCC∠=°.=(0,1,1)∴vmcos<,>=13||||∴u r ru r r gu r rm nm nm n（1）证明：1B E AE ⊥；（2）若AB =11A B E A --的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2【解析】解：（1）证明：连接1BC ，BE ， 因为在中，1BC =，112CC BB ==，160BCC ∠=°．所以1BC BC ⊥． 所以1112BE CC ==，因为1B E ==所以1B E BE ⊥，又AB ⊥平面11BB C C ，且1B E ⊂平面11BB C C ， 所以1B E AB ⊥，AB BE B ⋂=， 所以1B E ⊥平面ABE ， 因为AE ⊂平面ABE ， 所以1B E AE ⊥．（2）以B 为原点建立如图所示空间直角坐标系，则(A，()1B -，12E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，(1A -，所以13,2B E ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，(1AB =-，13,2A E ⎛= ⎝，设平面1AB E 的法向量为(),,n x y z =r，设平面11A B E 的法向量为(),,m a b c =，则1100{{y B E n AB n x -=⋅=⇒⋅=+=，取(1,3,n =，则1100{{30y B E m A m a E -=⋅=⇒⋅=-=，取()1,3,0m =．所以cos ,26m n n m m n ⋅〈〉===⋅⨯，即二面角11A B E A --． 9．（河南省重点高中2019届高三4月联合质量检测数学理）在四棱锥中，底面为平行四边形，平面平面，是边长为4的等边三角形，，是的中点.（1）求证：； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.【答案】(1)见证明；(2)【解析】（1）因为是等边三角形，是的中点，所以.又平面平面，平面平面，平面，所以平面.所以，又因为，，所以平面.所以.又因为，所以.又且，平面，所以平面.所以.（2）由（1）得平面.所以就是直线与平面所成角.因为直线与平面所成角的正弦值为，即，所以.所以，解得.则.由（1）得，，两两垂直，所以以为原点，，，所在的直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则点，，，，所以，.令平面的法向量为，则由得解得令，可得平面的一个法向量为；易知平面的一个法向量为，设平面与平面所成的锐二面角的大小为，则.所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.10．（天津市北辰区2019届高考模拟考试数学理）如图，在四棱柱中，侧棱底面，，，，，且点和分别为和的中点（I ）求证：平面； （II ）求二面角的正弦值；（III ）设为棱上的点，若直线和平面所成角的正弦值为，求的长。