分治法及其应用示例

话说递归与HANOI塔

递归做为一种算法在程序设计语言中广泛应用.是指函数/过程/子程序在运行过程序中直接或间接调用自身而产生的重入现像.

程序调用自身的编程技巧称为递归（recursion）。

一个过程或函数在其定义或说明中又直接或间接调用自身的一种方法，它通常把一个大型复杂的问题层层转化为一个与原问题相似的规模较小的问题来求解，递归策略只需少量的程序就可描述出解题过程所需要的多次重复计算，大大地减少了程序的代码量。递归的能力在于用有限的语句来定义对象的无限集合。用递归思想写出的程序往往十分简洁易懂。

一般来说，递归需要有边界条件、递归前进段和递归返回段。当边界条件不满足时，递归前进；当边界条件满足时，递归返回。

注意：

(1) 递归就是在过程或函数里调用自身;

(2) 在使用递归策略时，必须有一个明确的递归结束条件，称为递归出口。

递归算法一般用于解决三类问题：

(1)数据的定义是按递归定义的。(Fibonacci函数)

(2)问题解法按递归算法实现。(回溯)

(3)数据的结构形式是按递归定义的。(树的遍历，图的搜索)

递归的缺点：

递归算法解题的运行效率较低。在递归调用的过程当中系统为每一层的返回点、局部量等开辟了栈来存储。递归次数过多容易造成栈溢出等。

递归与HANOI塔

HANOI塔问题递归算法的最典型的例题。

本程序可同时将HANOI塔问题的解题步骤的中间结果显示在屏幕上和保存在文本文件中。（后一点对于显示结果很多无法在一屏中显示时，特别有用）

程序思路很简单，看注释就明白了。

/*

Name: hanoi2.c

Author: zhuqing

Description: HANOI塔问题的递归解

Date: 06-08-03 11:44

Copyright:

*/

#include

#define N 5

/* 原柱，中间柱，目标柱初值数组*/

char a[]={'1','2','3','4','5'};

char b[]={'0','0','0','0','0'};

char c[]={'0','0','0','0','0'};

int step=0;

main()

{

FILE *fp;

int i;

if((fp=fopen("c:\\hanoi2.txt","w"))==NULL){

printf("\nCannot open the file!\n");

getch();

exit(0);

}

printf("\n============ HANOI TOWER ============\n"); print(N);

fprint(N,fp);

move(N,a,b,c,fp);

fclose(fp);

getch();

}

/* 递归函数*/

void move(int n,char a[],char b[],char c[],FILE* fp)

{

if(n>0){

move(n-1,a,c,b,fp);

c[n-1]=a[n-1];

a[n-1]='0';

print(N);

fprint(N,fp);

move(n-1,b,a,c,fp);

}

}

/* 打印输出结果到屏幕的函数*/

void print(n)

int n;

{

int i;

printf("\nSTEP%d",step++);

printf("\na:");

for(i=0;i

printf("%3c",a[i]);

printf("\nb:");

for(i=0;i

printf("%3c",b[i]);

printf("\nc:");

for(i=0;i

printf("%3c",c[i]);

printf("\n-------------------------------------\n");

}

/* 打印输出结果到文本文件的函数*/

void fprint(n,fp)

int n;

FILE *fp;

{

int i;

fputs("\na:",fp);

for(i=0;i

fputc(a[i],fp);

fputs("\nb:",fp);

for(i=0;i

fputc(b[i],fp);

fputs("\nc:",fp);

for(i=0;i

fputc(c[i],fp);

fputs("\n-------------------------------------\n",fp);

}

二分法求方程近似解

二分法求方程近似解：求方程f(x) = x^3 + x^2 - 1 = 0在[0,1]上的近似解，精确度为0.01。

算法分析：二分法求方程近似解的基本思想是将方程的有解区间平分为两个小区间，然后判断解在哪个小区间；继续把有解的区间一分为二进行判断，如此周而复始，直到求出满足精确要求的近似解。

二分法求方程近似解的算法步骤：

⑴确定区间[a,b]，验证f(a).f(b) < 0，给定精确度e

⑵求区间(a, b)的中点mid

⑶计算f(mid)

若f(mid) = 0，则mid就是函数的零点

若f(a).f(mid) < 0，则令b = mid(此时零点a < x0 < mid)

若f(mid).f(b) < 0，则令a = mid(此时零点mid < x0 < b)

⑷判断是否达到精确度e：即若|a-b| < e，则得到零点近似值a（或b）；否则重复⑵-⑷。

代码如下：

double F(double a, double b, double c, double d, double x)//函数表达式

{

return (((a * x + b) * x) * x + d) / c;

}

double Function(double a, double b, double c, double d, double low, double high, double e) {

double mid = (low + high) / 2;

if (F(a, b, c, d, mid) == 0)

return mid;

while ((high-low) >= e)

{

mid = (low + high) / 2;

if (F(a, b, c, d, mid) == 0)

return mid;

if (F(a, b, c, d, low)*F(a, b, c, d, mid) < 0)

high = mid;

else

low = mid;

}

return low;

}

求最大值和最小值的分治算法

实践题目：

给定一个顺序表，编写一个求出其最大值和最小值的分治算法。

分析：

由于顺序表的结构没有给出，作为演示分治法这里从简顺序表取一整形数组数组大小由用户定义，数据随机生成。我们知道如果数组大小为 1 则可以直接给出结果，如果大小为 2则一次比较即可得出结果，于是我们找到求解该问题的子问题即: 数组大小 <= 2。到此我们就可以进行分治运算了，只要求解的问题数组长度比 2 大就继续分治，否则求解子问题的解并更新全局解以下是代码。

*/

/*** 编译环境TC ***/

#include

#include

#include

#define M 40

/* 分治法获取最优解*/

void PartionGet(int s,int e,int *meter,int *max,int *min){

/* 参数:

* s 当前分治段的开始下标

* e 当前分治段的结束下标

* meter 表的地址

* max 存储当前搜索到的最大值

* min 存储当前搜索到的最小值

*/

int i;

if(e-s <= 1){ /* 获取局部解，并更新全局解*/

if(meter[s] > meter[e]){

if(meter[s] > *max)

*max = meter[s];

if(meter[e] < *min)

*min = meter[e];

}

else{

if(meter[e] > *max)

*max = meter[s];

if(meter[s] < *min)

*min = meter[s];

}

return ;

}

i = s + (e-s)/2; /* 不是子问题继续分治,这里使用了二分，也可以是其它*/

PartionGet(s,i,meter,max,min);

PartionGet(i+1,e,meter,max,min);

}

int main(){

int i,meter[M];

int max = INT_MIN; /* 用最小值初始化*/

int min = INT_MAX; /* 用最大值初始化*/

printf("The array's element as followed:\n\n");

randomize(); /* 初始化随机数发生器*/

for(i = 0; i < M; i ++){ /* 随机数据填充数组*/

meter[i] = rand()%10000;

if(!((i+1)%10)) /* 输出表的随机数据*/

printf("%-6d\n",meter[i]);

else

printf("%-6d",meter[i]);

}

PartionGet(0,M - 1,meter,&max,&min); /* 分治法获取最值*/

printf("\nMax : %d\nMin : %d\n",max,min);

system("pause");

return 0;

}

用C++实现合并排序

合并排序的思想：当只有一个元素时终止排序，超过一个元素的话，将所有元素分成大致相同的两个集合，分别对两个集合进行排序，最后将排好序的子集合合并为所要求的排好序的集合。

在最坏情况下，时间复杂度为O(nlogn)，它是一个渐进的最优算法。

#include

#include

//这个函数将b[0]至b[right-left+1]拷贝到a[left]至a[right]

template

void Copy(T a[],T b[],int left,int right)

{

int size=right-left+1;

for(int i=0;i

{

a[left++]=b[i];

}

}

//这个函数合并有序数组a[left:i],a[i+1:right]到b,得到新的有序数组b

template

void Merge(T a[],T b[],int left,int i,int right)

{

int a1cout=left,//指向第一个数组开头

a1end=i,//指向第一个数组结尾

a2cout=i+1,//指向第二个数组开头

a2end=right,//指向第二个数组结尾

bcout=0;//指向b中的元素

for(int j=0;j

{

if(a1cout>a1end){b[bcout++]=a[a2cout++];continue;}//如果第一个数组结束，拷贝第二个数组的元素到b

if(a2cout>a2end){b[bcout++]=a[a1cout++];continue;}//如果第二个数组结束，拷贝第一个数组的元素到b

if(a[a1cout]

else

{b[bcout++]=a[a2cout++];continue;}

}

}

//对数组a[left:right]进行合并排序

template

void MergeSort(T a[],int left,int right)

{

T *b=new int[right-left+1];

if(left

int i=(left+right)/2;//取中点

MergeSort(a,left,i);//左半边进行合并排序

MergeSort(a,i+1,right);//右半边进行合并排序

Merge(a,b,left,i,right);//左右合并到b中

Copy(a,b,left,right);//从b拷贝回来

}

}

//from https://www.360docs.net/doc/7710631222.html,/zhangamxqun

int main()

{

int n;

cout<<"how many numbers to sort:";

cin>>n;

int *a=new int[n];

cout<<"input "<

{cin>>a[i];}

MergeSort( a, 0, n-1);

for(int j=0;j

{

cout<

}

return 1;

}