数理逻辑部分综合练习及答案

数理逻辑部分综合练习及答案

一、单项选择题

1．设P ：我将去打球，Q ：我有时间．命题“我将去打球，仅当我有时间时”符号化为( )．

A ．P Q →

B ．Q P →

C ．Q P ↔

D ．Q P ⌝∨⌝

因为语句“仅当我有时间时”是“我将去打球”的必要条件，一般地，当语句是由“……，仅当……”组成，它的符号化用条件联结词→．所以选项B 是正确的．

正确答案：B

问：如果把“我将去打球”改成“我将去学习”、“我将去旅游”等，怎么符号化呢？

2．命题公式P ∨Q 的合取范式是 ( )．

A ．P ∧Q

B ．（P ∧Q ）∨（P ∨Q ）

C ．P ∨Q

D ．⌝（⌝P ∧⌝Q ）

复习合取范式的定义：

定义6.6.2 一个命题公式称为合取范式，当且仅当它具有形式：

A 1∧A 2∧…∧A n ， （n ≥1）

其中A 1，A 2，…，A n 均是由命题变元或其否定所组成的析取式．

由此可知，选项B 和D 是错的．又因为P ∧Q 与P ∨Q 不是等价的，选项A 是错的．所以，选项C 是正确的． 正确答案：C

3．命题公式)(Q P →⌝的析取范式是( )．

A ．Q P ⌝∧

B Q P ∧⌝

C ．Q P ∨⌝

D ．Q P ⌝∨

复习析取范式的定义：

定义6.6.3 一个命题公式称为析取范式，当且仅当它具有形式：

A 1∨A 2∨…∨A n ， （n ≥1）

其中A 1，A 2，…，A n 均是有命题变元或其否定所组成的合取式．

由教材第167页中的蕴含等价式知道，公式)(Q P →⌝与Q P ⌝∧是等价的，

Q P ⌝∧满足析取范式的定义，所以，选项A 是正确的．

正确答案：A

注：第2，3题复习了合取范式和析取范式的概念，大家一定要记住的。如果题目改为求一个变元（P 或⌝P ）命题公式的合取范式或析取范式，那么答案是什么？

4．下列公式成立的为( )．

A ．⌝P ∧⌝Q ⇔ P ∨Q

B ．P →⌝Q ⇔ ⌝P →Q

C ．Q →P ⇒ P

D ．⌝P ∧(P ∨Q )⇒Q

因为： ⌝P ∧(P ∨Q )⇒Q （析取三段论，P171公式(10)）

所以，选项D 是正确的．

正确答案：D

5．下列公式 ( )为重言式．

A ．⌝P ∧⌝Q ↔P ∨Q

B ．(Q →(P ∨Q )) ↔(⌝Q ∧(P ∨Q ))

C ．(P →(⌝Q →P ))↔(⌝P →(P →Q ))

D ．(⌝P ∨(P ∧Q )) ↔Q

由教材第167页中的蕴含等价式，得

(P →(⌝Q →P )) ⇔⌝P ∨(Q ∨ P )，(⌝P →(P →Q )) ⇔ P ∨ (⌝P ∨Q )

所以，C 是重言式，也就是永真式．

正确答案：C

说明：如果题目改为“下列公式 ( )为永真式”，应该是一样的．

6．设A （x ）：x 是人，B （x ）：x 是学生，则命题“不是所有人都是学生”可符号化为（ ）．

A ．(∀x )(A (x )∧

B (x )) B ．⌝(∃x )(A (x )∧B (x ))

C ．⌝(∀x )(A (x )→B (x ))

D ．⌝(∃x )(A (x )∧⌝B (x ))

由题设知道，A (x )→B (x )表示只要是人，就是学生，而“不是所有”应该用全称量词的否定，即⌝∀x ，得到公式C ．

正确答案：C

7．设A （x ）：x 是人，B （x ）：x 是工人，则命题“有人是工人”可符号化为（ ）．

A ．(∃x )(A (x )∧

B (x )) B ．(∀x )(A (x )∧B (x ))

C ．⌝(∀x )(A (x )→B (x ))

D ．⌝(∃x )(A (x )∧⌝B (x ))

选项A 中的A (x )∧B (x )表示x 是人，而且是工人，∃x 表示存在一个人，有一个人，因此(∃x )(A (x )∧B (x ))表示“有人是工人”．

正确答案：A

8．表达式))(),(())(),((z zQ y x R y z Q y x P x ∀→∃∧∨∀中x ∀的辖域是( )．

A ．P (x , y )

B ．P (x , y )∨Q (z )

C ．R (x , y )

D ．P (x , y )∧R (x , y )

所谓辖域是指“紧接于量词之后最小的子公式称为量词的辖域”．那么看题中紧接于量词∀x 之后最小的子公式是什么呢？显然是P (x , y )∨Q (z )，因此，选项B 是正确的．

正确答案：B

注：如果该题改为判断题，即

表达式))(),(())(),((z zQ y x R y z Q y x P x ∀→∃∧∨∀中x ∀的辖域是P (x , y )

如何判断并说明理由呢？

9．在谓词公式(∀x )(A (x )→B (x )∨C (x ，y ))中，（ ）．

A ．x ，y 都是约束变元

B ．x ，y 都是自由变元

C ．x 是约束变元，y 都是自由变元

D ．x 是自由变元，y 都是约束变元

约束变元就是受相应的量词约束的变元．而自由变元就是不受任何量词约束的变元．所以选项C 是正确的． 正确答案：C

注：如果该题改为填写约束变元或自由变元的填空题，大家也应该掌握．

补充题：设个体域为自然数集合，下列公式中是真命题的为 ( )

A ．)1(=⋅∃∀y x y x

B ．)0(=+∃∀y x y x

C ．)(x y x y x =⋅∀∃

D ．)2(y y x y x =+∀∃

因为选项A 表示：对任一自然数x 存在自然数y 满足xy =1，这样的y 是不存在的

选项B 表示：对任一自然数x 存在自然数y 满足x +y =0，这样的y 也是不存在的

选项C 表示：存在一自然数x 自然数对任意自然数y 满足xy =x ，取x =0即可，故选项C 正确

正确答案：C

二、填空题

1．命题公式()P Q P →∨的真值是 ．

因为()P Q P →∨⇔⌝P ∨(Q ∨P ) ⇔1，所以应该填写：1．

应该填写：1

问：命题公式Q Q →、Q Q ⌝∨的真值是什么？

2．设P ：他生病了，Q ：他出差了．R ：我同意他不参加学习. 则命题“如果他生病或出差了，我就同意他不参加学习”符号化的结果为 ．

一般地，当语句是由“如果……，那么……”，或“若……，则……”组成，它的符号化用条件联结词→． 应该填写：(P ∨Q )→R

3．含有三个命题变项P ，Q ，R 的命题公式P ∧Q 的主析取范式是 ．

复习主析取范式的定义：

定义6.6.5 对于给定的命题变元，如果有一个等价公式，它仅仅有小项的析取组成，则该等价式称为原式的主析取范式．

而小项的定义是：

定义6.6.4 n 个命题变元的合取式，称为布尔合取或小项，其中每个变元与它的否定不能同时存在，但两者必须出现且仅出现一次．

由小项的定义知道，命题公式P ∧Q 中缺少命题变项R 与它的否定，因此，应该补上，即

P ∧Q ⇔P ∧Q ∧ (R ∨⌝R ) ⇔(P ∧Q ∧ R ) ∨(P ∧Q ∧⌝R )

得到命题公式P ∧Q 的主析取范式．

应该填写：(P ∧Q ∧R )∨ (P ∧Q ∧⌝R )

4．设个体域D ＝{a , b },那么谓词公式)()(y yB x xA ∀∨∃消去量词后的等值式为 ． 因为在有限个体域下，消除量词的规则为：设D ＝{a 1, a 2, …, a n }，则

)(...)()()(21n a A a A a A x xA ∧∧∧⇔∀

)(...)()()(21n a A a A a A x xA ∨∨∨⇔∃

所以，应该填写：(A (a )∨ A (b ))∨ (B (a )∧ B (b ))

应该填写：(A (a )∨ A (b ))∨ (B (a )∧ B (b ))

注：如果个体域是D ＝{1, 2}，D ={a , b , c }, 或谓词公式变为(()())x A x B x ∃∨，怎么做?

5．设个体域D ＝{1, 2, 3}，A (x )为“x 小于3”，则谓词公式(∃x )A (x ) 的真值为 ．

因为 (∃x )A (x )⇔A (1)∨A (2)∨A (3)⇔1∨1∨0⇔1

应该填写：1

注：若个体域D ＝{1, 2}，A (x )为“x 小于3”，则谓词公式(∃x )A (x ) 的真值是什么？

或：设个体域D ＝{1, 2, 3}，A (x )为“x 是奇数”，则谓词公式(∃x )A (x ) 的真值是什么？