北师大版高中数学选修2-2第四章《定积分》定积分的背景_曲边梯形的面积_课件
北师大版高中数学选修2-2
第四章《定积分》
问题：如图，阴影部分类似于一个梯形，但 有一边是曲线 y f ( x) 的一段，我们把由直 线 x a , x b (a b) , y 0 和曲线 y f ( x) 所围 成的图形称为曲边梯形． 如何计算这个曲边 梯形的面积？
y = f(x)
2 2 2
x
y
y
y x2
O
1 n
2 n
k n
n n
x
y x2
O
1 n
2 n
k n
n n
x
小结:求由连续曲线yf(x)对应的曲边梯形面积的方法
（1）分割 （2）近似代替 把这些矩形面积相加 （3）求面积的和 作为整个曲边形面积S （4）取极限 n
形如 的何 面求 积曲 边 梯
O
y
A1 a b x
用一个矩形的面积A1近似代替曲边梯形的面积A， 得 A A1.
y = f(x)
形如 的何 面求 积曲 边 梯
O
y
A1 a
A2
b x
用两个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A， 得 A A1+ A2
y = f(x)
形如 的何 面求 积曲 边 梯
O
1 n
2 n
k n
n n
1 1 1 2 1 n 1 1 0 n n n n n n n 1 3 (12 22 (n 1)2 ) n 1 (n 1)n(2n 1) 3 n 6 1 1 1 1 2 . 6 n n
2i n
2
x
—— 以直代曲,无限逼近
曲边梯形的面积
y
o
x
曲边梯形的面积
—— 分成很窄的小曲边梯形， 然后用矩形面积代替后求和。 分割越细，面积的近似值就越精确。当分 割无限变细时，这个近似值就无限逼近所 求曲边梯形的面积S。
“以直代曲”的具体操作过程
y
y x2
例1.求抛物线y=x2、直线x=1和
x轴所围成的曲边梯形的面积。
第i个小区间 O ⑴分割 ⑵近似代替
i -1 i n n
1
x
⑶求和
⑷取极限
1 区间长度：△x= n i 1 区间高：h= f n
小矩形面积：△S=
i 1 1 f n n
例1.求抛物线y=x2、直线x=1和x轴所围成的曲边梯形的面积。
解把底边[0,1]分成n等份,然后在每个分点作底边的垂线, 这 样曲边三角形被分成n个窄条, 用矩形来近似代替,然后把这 些小矩形的面积加起来, 得到一个近似值:
y
的近似值。 有理由相信，分 点越来越密时，即分 割越来越细时，矩形 面积和的极限即为曲 边形的面积。
o
x
练习一： 求直线 x=0,x=2,y=0与曲线 y=x2 所围成的曲边梯 y 形的面积。
8 3
y x2
O
2 i - 1 n
回顾总结 1．求曲边梯形的思想和步骤： 分割→近似代替→求和→取极限 (“以直代曲”的思想） 。
y
因此, 我们有理由相信, 这Sn S f ( )x ( ) n n n i 1 i 1 i 1 n n ' i
S lim Sn
1 1 1 lim 1 2 n 6 n n 1 . 3 y x2
O
y
A1 a
A2
A3
A4 b x
用四个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A， 得 A A1+ A2+ A3+ A4
y = f(x)
形如 的何 面求 积曲 边 梯
O
y
A1 a
Ai
An b x
将曲边梯形分成 n个小曲边梯形，并用小矩阵形的面积代替 小曲边梯形的面积， 于是曲边梯形的面积A近似为 A A1+ A2 + + An
第四章《定积分》
问题：如图，阴影部分类似于一个梯形，但 有一边是曲线 y f ( x) 的一段，我们把由直 线 x a , x b (a b) , y 0 和曲线 y f ( x) 所围 成的图形称为曲边梯形． 如何计算这个曲边 梯形的面积？
y = f(x)
2 2 2
x
y
y
y x2
O
1 n
2 n
k n
n n
x
y x2
O
1 n
2 n
k n
n n
x
小结:求由连续曲线yf(x)对应的曲边梯形面积的方法
（1）分割 （2）近似代替 把这些矩形面积相加 （3）求面积的和 作为整个曲边形面积S （4）取极限 n
形如 的何 面求 积曲 边 梯
O
y
A1 a b x
用一个矩形的面积A1近似代替曲边梯形的面积A， 得 A A1.
y = f(x)
形如 的何 面求 积曲 边 梯
O
y
A1 a
A2
b x
用两个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A， 得 A A1+ A2
y = f(x)
形如 的何 面求 积曲 边 梯
O
1 n
2 n
k n
n n
1 1 1 2 1 n 1 1 0 n n n n n n n 1 3 (12 22 (n 1)2 ) n 1 (n 1)n(2n 1) 3 n 6 1 1 1 1 2 . 6 n n
2i n
2
x
—— 以直代曲,无限逼近
曲边梯形的面积
y
o
x
曲边梯形的面积
—— 分成很窄的小曲边梯形， 然后用矩形面积代替后求和。 分割越细，面积的近似值就越精确。当分 割无限变细时，这个近似值就无限逼近所 求曲边梯形的面积S。
“以直代曲”的具体操作过程
y
y x2
例1.求抛物线y=x2、直线x=1和
x轴所围成的曲边梯形的面积。
第i个小区间 O ⑴分割 ⑵近似代替
i -1 i n n
1
x
⑶求和
⑷取极限
1 区间长度：△x= n i 1 区间高：h= f n
小矩形面积：△S=
i 1 1 f n n
例1.求抛物线y=x2、直线x=1和x轴所围成的曲边梯形的面积。
解把底边[0,1]分成n等份,然后在每个分点作底边的垂线, 这 样曲边三角形被分成n个窄条, 用矩形来近似代替,然后把这 些小矩形的面积加起来, 得到一个近似值:
y
的近似值。 有理由相信，分 点越来越密时，即分 割越来越细时，矩形 面积和的极限即为曲 边形的面积。
o
x
练习一： 求直线 x=0,x=2,y=0与曲线 y=x2 所围成的曲边梯 y 形的面积。
8 3
y x2
O
2 i - 1 n
回顾总结 1．求曲边梯形的思想和步骤： 分割→近似代替→求和→取极限 (“以直代曲”的思想） 。
y
因此, 我们有理由相信, 这Sn S f ( )x ( ) n n n i 1 i 1 i 1 n n ' i
S lim Sn
1 1 1 lim 1 2 n 6 n n 1 . 3 y x2
O
y
A1 a
A2
A3
A4 b x
用四个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A， 得 A A1+ A2+ A3+ A4
y = f(x)
形如 的何 面求 积曲 边 梯
O
y
A1 a
Ai
An b x
将曲边梯形分成 n个小曲边梯形，并用小矩阵形的面积代替 小曲边梯形的面积， 于是曲边梯形的面积A近似为 A A1+ A2 + + An
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高中数学第四章定积分本章整合课件北师大版选修22
2(������-1) ������
,
2������ ������
(������
= 1,2, …,n),每个小区间的长度为 Δx=xi-xi-1=
2������.
②近似代替,求和:取
ξi=
2������ ������
(������
=
1,2,
…,n),
������
则 S1= ∑ ������
������=1S=Fra bibliotek������ ������
[������2(������) − ������1(������)]d������.
专题一 专题二 专题三
应用1 将一根弹簧从自然长度压缩x cm,需要用4x N的力,将它从
自然长度压缩5 cm,需要做多少功?
提示先由公式F(x)=kx求出力 F(x),再求力F(x)所做的功.
专题一 专题二 专题三
解:如图,由
������ ������
= =
3, ������,
得
������ = 3, ������ = 3.
由
������ = 3, ������������ = 1,
得
1 ������ = 3 ,
������ = 3.
由
������������ = 1, ������ = ������,
取
μi=
2(������-1) ������
(������
=
1,2,
…,n),
������
则 s1= ∑ ������
������=1
2(������-1) ������
������
Δ������ = ∑
������=1
高中数学 第四章第1.1节定积分的背景 面积和路程问题 北师大版选修2-2
6
1
=
1 3
1
1 n
1
1 2n
从而得到 S 的近似值
S
Sn
1 3
1
1 n
1
1 2n
x
把区间 0 ,1 分成许多个1 小x 区间，进而把区边梯形拆为一些
小曲边梯形，对每个小曲边梯形“以直代取”，即用矩形的
面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面
积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的
近似值．分割越细，面积的近似值就越精确。当分割无限 变细时，这个近似值就无限逼近所求曲边梯形的面积 S．也
即：用划归为计算矩形面积和逼近的思想方法求出曲边梯
形的面积．
解：1．分割
在区 间 0 ,1 上等间隔地插入 n 1 个点，将区间
0 ,1等分成 n 个小区间：
0
,
1 n
，
1 n
,
2 n
，…，
n
1 n
,
1
y
记第
i
个区间为
i
1 , n
i n
(i
1,
2,
, n) ，其长y 度x 2 为
x i i 1 1 。 nn n
思考：（1）曲边梯形与“直边图形”的区别？ （2）能否将求这个曲边梯形面积 S 的
问题转化为求“直边图形”面积的问题？。
分析：曲边梯形与“直边图形”的主要区别：曲边梯形有
一边是曲线段，“直边图形”的所有边都是直线段．“以直
代曲”的思想的应用．
y
y
y
y
y x2
x
x
x
1x
1x
O
0.2 0.4 0.6 0.8 1
1
=
1 3
1
1 n
1
1 2n
从而得到 S 的近似值
S
Sn
1 3
1
1 n
1
1 2n
x
把区间 0 ,1 分成许多个1 小x 区间，进而把区边梯形拆为一些
小曲边梯形，对每个小曲边梯形“以直代取”，即用矩形的
面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面
积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的
近似值．分割越细，面积的近似值就越精确。当分割无限 变细时，这个近似值就无限逼近所求曲边梯形的面积 S．也
即：用划归为计算矩形面积和逼近的思想方法求出曲边梯
形的面积．
解：1．分割
在区 间 0 ,1 上等间隔地插入 n 1 个点，将区间
0 ,1等分成 n 个小区间：
0
,
1 n
，
1 n
,
2 n
，…，
n
1 n
,
1
y
记第
i
个区间为
i
1 , n
i n
(i
1,
2,
, n) ，其长y 度x 2 为
x i i 1 1 。 nn n
思考：（1）曲边梯形与“直边图形”的区别？ （2）能否将求这个曲边梯形面积 S 的
问题转化为求“直边图形”面积的问题？。
分析：曲边梯形与“直边图形”的主要区别：曲边梯形有
一边是曲线段，“直边图形”的所有边都是直线段．“以直
代曲”的思想的应用．
y
y
y
y
y x2
x
x
x
1x
1x
O
0.2 0.4 0.6 0.8 1
【数学】4.1.2 定积分 课件(北师大版选修2-2)
3 3 0 0
2
- x + 3 dx
-x2 + 3x dx
3 0
小结
１．定积分的实质：特殊和式的逼近值． ２．定积分的思想和方法：
分割 化整为零
求近似以直（不变）代曲（变）
求和 取逼近
积零为整
取逼近
精确值——定积分
3.定积分的几何意义及简单应用
是图中所示三角形
的面积之差， 由于
y
4 2
C
y 2x
B
SOAB SOCD 3
所以 上 方 取 正 ，下 方 取 负
-1
D
o
-2
A
2
x
2xdx 3
2 1
定积分的基本性质
（1） （2）
1dx b a b b a kf ( x)dx k a f ( x)dx
练习 1：利用定积分的定义，计算 x3dx 的值。
0
1
3 取极限
1 1 2 1 0 x dx lim Sn lim 4 (1 n ) 4 n n
1 3
练习2：用定积分表示抛物线 y=x2-2x+3 与直线
y=x+3所围成的图形面积 .
x + 3 dx - x
2 1
3 积为 . 所以 2 3 2 2 1
y
2 1
yx
xdx
o
1
2
x
y
解（3）： 1 1
1 x dx
2
-1
1
y 1 x2
表示的是图中所示 半径为1的半圆的面
x
o o 1
积， 由于这个半圆
的面积为 2
2
- x + 3 dx
-x2 + 3x dx
3 0
小结
１．定积分的实质：特殊和式的逼近值． ２．定积分的思想和方法：
分割 化整为零
求近似以直（不变）代曲（变）
求和 取逼近
积零为整
取逼近
精确值——定积分
3.定积分的几何意义及简单应用
是图中所示三角形
的面积之差， 由于
y
4 2
C
y 2x
B
SOAB SOCD 3
所以 上 方 取 正 ，下 方 取 负
-1
D
o
-2
A
2
x
2xdx 3
2 1
定积分的基本性质
（1） （2）
1dx b a b b a kf ( x)dx k a f ( x)dx
练习 1：利用定积分的定义，计算 x3dx 的值。
0
1
3 取极限
1 1 2 1 0 x dx lim Sn lim 4 (1 n ) 4 n n
1 3
练习2：用定积分表示抛物线 y=x2-2x+3 与直线
y=x+3所围成的图形面积 .
x + 3 dx - x
2 1
3 积为 . 所以 2 3 2 2 1
y
2 1
yx
xdx
o
1
2
x
y
解（3）： 1 1
1 x dx
2
-1
1
y 1 x2
表示的是图中所示 半径为1的半圆的面
x
o o 1
积， 由于这个半圆
的面积为 2
2018年高中数学 第四章 定积分 4.1.1 定积分背景——面积和路程问题课件2 北师大版选修2-2
请估计汽车在刹车过程中滑行的距离 s .
分析：由已知，汽车在刚开始刹车时的速度是 v(0)=25m/s,我们可以用这个速度来近似替代汽车在 这段时间内的平均速度，求出汽车的滑行距离： s=25×5=125(m) 但显然，这样的误差太大了. 为了提高精确度，我们可以采用分割滑行时间的方法 来估计滑行距离. 首先，将滑行的时间5s平均分成5份. 我们分别用v(0),v(1),v(2),v(3),v(4) 近似替代汽 车在0～1s、1～2s、2～3s、3～4s、4～5s内的平均速 度，求出滑行距离s1：
已知匀速运动物体的速度v和运动的时间t, 我们可以求出它走过的路程s=vt,那么如何求非 匀速运动的物体走过的路程呢？ 问题2 想象这样一个场景：一辆汽车的司机猛踩刹车， 汽车滑行5s后停下，在这一过程中，汽车的速度 v （单位：m/s)是时间 t 的函数：
v(t ) t 2 10t1 O a
Ai
An b x
将曲边梯形分成 n个小曲边梯形，并用小矩阵形的面积代替 小曲边梯形的面积， 于是曲边梯形的面积A近似为 A A1+ A2 + + An
—— 以直代曲,无限逼近
将区间[a，b]平均分成许多小区间，把曲边梯形拆 即用矩形面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个
s1 v(0) v(1) v( 2) v( 3) v(4) 1 55( m)
由于v是下降的，所以显然s1大于s,我们称它为汽
s1 (03 0.23 0.43 0.63 0.83 ) 0.2 0.16
3 3 3 3 3 S1 (0.2 0.4 0.6 0.8 1 ) 0.2 0.36
估计误差不会超过 S1 - s1 =0.2
优课系列高中数学北师大版选修22 4.1定积分的概念 课件(15张)
变速运动路程： S t2 v (t )dt t1
变力做功：
b
W F(x)dx a
例1 利 用 定 积 分的 几 何 意 义 计 算 下 列 积 分 .
(1) 1 xdx ; 0
(2) 1 1 x 2 dx . 0
解 (1 ) 1 x d x ， 0
表 示 由 x 0 , x 1 , y x 及 x 轴 围 成 的 三 角 形 面 积 .
（2） a bk(fx)d xka bf(x)dx
（3） （4）
b
b
b
a [f1 (x ) f2 (x )] d x af1 (x )d x af2 (x )d x
b
c
b
a f(x)dxa f(x)dxc f(x)dx
其中，acb. 积分区间的可加性
课堂练习 课 本 P 8 0练 习 第 1 、 2 、 3 题
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/82021/9/82021/9/82021/9/89/8/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月8日星期三2021/9/82021/9/82021/9/8 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/82021/9/82021/9/89/8/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/82021/9/8September 8, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/82021/9/82021/9/82021/9/8
高中数学 第四章 定积分 4.1.1 定积分的背景——面积和路程问题课件 北师大版选修2-2
复习课件
高中数学 第四章 定积分 4.1.1 定积分的背景——面积和路程问题课件 北师大版选修2-2
11
第四章 定 积 分 §1 定积分的概念 1.1 定积分的背景——面积和路程问题
22
33
1.曲边梯形 如图.由直线x=a，x=b(a≠b)，y=0和曲线y=f(x)所围成的 图形(图中阴影所示).
1111
(2)求曲边梯形的面积时，不足估计值小于等于过剩估 计值. ( ) (3)若曲边梯形的面积可求，则不足估计值与过剩估计 值的极限相等. ( )
1122
提示：(1)×.面积只能大于等于0，为非负值.
(2)√.由不足估计值与过剩估计值的概念可知正确.
(3)√.曲边梯形的面积可求，则S=
l
n
【解析】每个小区间长度为1（1） 2 .
nn
答案：2
n
2299
【加练·固】 求由直线x=1，x=2和y=0及曲线y=x3所围成图形的
面积的估计值，并写出估计误差.(将区间5等分)
3300
【解析】把区间[1，2]5等分，以每一个小区间的左端 点的纵坐标为小矩形的高，所有小矩形面积之和为不 足估计值s，s=(13+1.23+1.43+1.63+1.83)×0.2=3.08.
3377
分别用v(0.1)，v(0.2)，v(0.3)，…，v(1)近似替代汽 车在0～0.1 h，0.1～0.2 h，…，0.8～0.9 h，0.9～ 1 h的平均速度，求出汽车在1 h时行驶的路程的不足 估计值S2， S2= [v(0.1)+ v(0.2)+ v(0.3)+…+v(1)] ×0.1 =1.615(km)，
3311
高中数学 第四章 定积分 4.1.1 定积分的背景——面积和路程问题课件 北师大版选修2-2
11
第四章 定 积 分 §1 定积分的概念 1.1 定积分的背景——面积和路程问题
22
33
1.曲边梯形 如图.由直线x=a，x=b(a≠b)，y=0和曲线y=f(x)所围成的 图形(图中阴影所示).
1111
(2)求曲边梯形的面积时，不足估计值小于等于过剩估 计值. ( ) (3)若曲边梯形的面积可求，则不足估计值与过剩估计 值的极限相等. ( )
1122
提示：(1)×.面积只能大于等于0，为非负值.
(2)√.由不足估计值与过剩估计值的概念可知正确.
(3)√.曲边梯形的面积可求，则S=
l
n
【解析】每个小区间长度为1（1） 2 .
nn
答案：2
n
2299
【加练·固】 求由直线x=1，x=2和y=0及曲线y=x3所围成图形的
面积的估计值，并写出估计误差.(将区间5等分)
3300
【解析】把区间[1，2]5等分，以每一个小区间的左端 点的纵坐标为小矩形的高，所有小矩形面积之和为不 足估计值s，s=(13+1.23+1.43+1.63+1.83)×0.2=3.08.
3377
分别用v(0.1)，v(0.2)，v(0.3)，…，v(1)近似替代汽 车在0～0.1 h，0.1～0.2 h，…，0.8～0.9 h，0.9～ 1 h的平均速度，求出汽车在1 h时行驶的路程的不足 估计值S2， S2= [v(0.1)+ v(0.2)+ v(0.3)+…+v(1)] ×0.1 =1.615(km)，
3311
优课系列高中数学北师大版选修22 41定积分的概念 课件(17张)[可修改版ppt]
记作
b a
f
(x)dx
c
a即
f
(xa)bdfx(xcb)dfx(x=)dA xac。f
(
积分号
x 积分变量 a 积分下限
f (x) 被积函数
b
积分上限
二、定积分的几何意义：
当 f(x)0 时，积分
b
f
(x)dx
a
在几何上表示由 y=f (x)、
xa、xb与 x轴所围成的曲边梯形的面积。
优课系列高中数学北师大 版选修22 41定积分的概念
课件（17张）
复习巩固
曲边 梯形面积 变速 物体走过的路程 变力 做功
思路：
先求近似值
再提高精确度
步骤：
分割---近似代替----求和
----取极限
一.定积分的定义
y
yf (x)
一般地，给定在区间[a, b]的函数y = f (x)，将区
间[a, b]分成 n 份，分点为：
y yf (x)
Oa
b
c
b
f (x)dx f (x)dx
f (x)dx。
a
a
c
bx
5
例1 说明下列定积分所表示的意义，并根据其 意义求出定积分的值：
(1)
1
2dx ;
(2)
2
xdx ;
(3)
1
1 x2 dx
0
1
1
例1 说明下列定积分所表示的意义，并根据其 意义求出定积分的值：
(1)
-1
o
1x
1 1 x2 dx
-1
2
练习
用图形表示下列定积分：
(1) 1 x2dx 0
高中数学第四章定积分4.1定积分的概念课件北师大版选修2_2
§4.1 定积分的概念
学 习 目 标 思 1.了解 曲边梯形的面 积求法. 2.理解 “分割、近似代 替、求和、取极限” 的数学思想. 3.掌握 定积分的概念, 并会用定义求定积 分. 4.理解 定积分的几何 意义和定积分的基本 性质.
维
脉 络
1.曲边梯形及其面积的求法 曲线y=f(x)与平行于y轴的直线和x轴所围成的平面图形叫曲边梯 形.求连续曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积S的方法是:①分割;②近 似代替;③求面积的和;④逼近. 2.定积分的背景 面积问题、路程问题以及做功问题3个问题,一般通过分割自变 量的区间得到过剩估计值和不足估计值,分割得越细,估计值也就 越接近精确值;当分割成的小区间的长度趋于0时,过剩估计值和不 足估计值都趋于要求的值.
2.定义中区间的分法和ξi的取法是任意的.
【做一做1】 把区间[1,3]等分成n份,所得n个小区间的长度均为 ( )
A.
1 ������
B.
2 ������
C.
解析:区间的总长度为
答案:B
2 2,则每个区间的长度为 . ������
3 ������
D.
1 2������
【做一做2】 汽车以v=v(t)在[0,t]内作直线运动,经过的路程为s, 则下列叙述正确的是( ) A.将[0,t]等分n份,若以每个小区间左端点的速度近似替代时,求 得的路程是s的不足估计值 B.将[0,t]等分n份,若以每个小区间右端点的速度近似替代时,求 得的路程是s的过剩估计值 C.将[0,t]等分n份,n越大,求出的路程近似替代s的精确度越高 D.将[0,t]等分n份,当n很大时,求出的路程就是s的准确值 解析:当n越大时,分割成的小区间长越小,则求出的路程近似替代 s的精确度越高. 答案:C
学 习 目 标 思 1.了解 曲边梯形的面 积求法. 2.理解 “分割、近似代 替、求和、取极限” 的数学思想. 3.掌握 定积分的概念, 并会用定义求定积 分. 4.理解 定积分的几何 意义和定积分的基本 性质.
维
脉 络
1.曲边梯形及其面积的求法 曲线y=f(x)与平行于y轴的直线和x轴所围成的平面图形叫曲边梯 形.求连续曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积S的方法是:①分割;②近 似代替;③求面积的和;④逼近. 2.定积分的背景 面积问题、路程问题以及做功问题3个问题,一般通过分割自变 量的区间得到过剩估计值和不足估计值,分割得越细,估计值也就 越接近精确值;当分割成的小区间的长度趋于0时,过剩估计值和不 足估计值都趋于要求的值.
2.定义中区间的分法和ξi的取法是任意的.
【做一做1】 把区间[1,3]等分成n份,所得n个小区间的长度均为 ( )
A.
1 ������
B.
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C.
解析:区间的总长度为
答案:B
2 2,则每个区间的长度为 . ������
3 ������
D.
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【做一做2】 汽车以v=v(t)在[0,t]内作直线运动,经过的路程为s, 则下列叙述正确的是( ) A.将[0,t]等分n份,若以每个小区间左端点的速度近似替代时,求 得的路程是s的不足估计值 B.将[0,t]等分n份,若以每个小区间右端点的速度近似替代时,求 得的路程是s的过剩估计值 C.将[0,t]等分n份,n越大,求出的路程近似替代s的精确度越高 D.将[0,t]等分n份,当n很大时,求出的路程就是s的准确值 解析:当n越大时,分割成的小区间长越小,则求出的路程近似替代 s的精确度越高. 答案:C
高中数学北师大版选修2-2第4章 拓展资料：定积分与曲
定积分与曲边梯形的面积咱们明白定积分的几何意义：当函数()f x 在区间[a,b]上恒为正时，定积分()b a f x dx ⎰的几何意义是以曲线()f x 为曲边梯形的面积.一般情形下，定积分()b af x dx ⎰的几何意义是介于x 轴、函数()f x 的图象和直线x=a 、x=b 之间各部份面积的代数和，在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积取负号.所以求曲边梯形的面积是定积分在几何中的重要应用，把求平面图形的面积问题转化为求定积分问题，充分表现了数形结合的数学思想．求解此类题常常常利用到以下技能．一、巧选积分变量求平面图形面积时，要注意选择积分变量，以使计算简便．例1 求抛物线22y x =与直线4y x =-围成的平面图形的面积．解析：如图1，解方程组224y x y x ⎧=⎨=-⎩，，得两曲线的交点为(22)-，、(84)，．方式一：选取横坐标x 为积分变量，则图中阴影部份的面积应该是两部份之和，即280222(244)S xdx x dx =+-+⎰⎰ 332828822022242122418332x x x x =+-+=．方式二：选取纵坐标y 为积分变量，则图中阴影部份的面积可据公式求得，即2423422114418226y S y y dy y y --⎛⎫⎛⎫=+-=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰．点评：从上述两种解法能够看出，对y 积分比对x 积分计算简捷．因此，应用定积分求平面图形面积时，积分变量的选取是相当重要的．但同时也要注意对y 积分时，积分函数应是()x y ϕ=，本题须将条件中的曲线方程、直线方程化为212x y =、4x y =+的形式，然后求得积分．另外还要注意的是对面积而言，无论选用哪一种积分变量去积分，面积是不会变的，即定积分的值不会改变． 二、巧用对称性在求平面图形面积时，利用函数所对应曲线的对称性解题，也是简化计算进程的常常利用手腕．例2 求由三条曲线2y x =，24y x =，1y =所围图形的面积． 解析：如图2，因为2y x =，24y x =是偶函数，按照对称性，只算出y 轴右边的图形的面积再两倍即可．解方程组21y x y ⎧=⎨=⎩，，和241y x y ⎧=⎨=⎩，，得交点坐标(11)-，、(11)，、(21)-，、(21)，．方式一：选择x 为积分变量，则22122012144x x S x dx dx ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰⎰ 3123201111424123x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦． 方式二：能够选择y 为积分变量，求解进程请同窗们自己完成．点评：对称性的应用和积分变量的选取都影响着计算进程的繁简程度．三、分割计算例3 求由抛物线243y x x =-+-及其在点(03)M -，和点(30)N ，处两条切线所围成的图形的面积．解析：由243y x x =-+-，得24y x '=-+，∴04x y ='=，过M 点的切线方程为43y x =-；32x y ='=-，过N 点的切线方程为26y x =-+．又可求得两切线交点的横坐标为32x =，故所求面积332223029[(43)(43)][(26)(43)]4S x x x dx x x x dx =---+-+-+--+-=⎰⎰． 点评：本题求图形的面积，适当的分割是关键，故求出两切线交点，过交点作x 轴的垂线，将图形分割成两部份，别离用定积分求解．同窗们应注意掌握这种分割的处置方式．。
4.1.1《定积分的背景--面积和路程问题》课件(北师大版选修2-2)
2
所以S-s=0.3.
答案：0.3
5.变速运动的物体的速度和时间之间的函数关系式为 v(t)=t+2，估计该物体在区间［0,2］内运动的路程.若将区 间10等分，则其不足估计值为_____. 【解析】把区间［0,2］10等分，取小区间的左端点的函数值 作为小区间的平均速度，可得不足估计值为： s=(2+2.2+2.4+2.6+2.8+3.0+3.2+3.4+3.6+3.8)×0.2=5.8. 答案：5.8
估计值，分割的越细，估计值就越接近精确值.
典型例题精析
知能巩固提高
一、选择题（每题5分，共15分） 1.（2010·安庆高二检测）在“近似替代”中，函数f(x)在区
间［xi,xi+1］上的近似值等于（
）
（A）只能是区间的左端点的函数值f(xi) （B）只能是区间的右端点的函数值f(xi+1) （C）可以是区间内的任意一点的函数值f(ξ i)（ξ i∈ ［xi,xi+1］） （D）以上答案均正确 【解析】选C.以直代曲，可以把区间［xi,xi+1］上的任意一点 的函数值f(ξi)（ξi∈［xi,xi+1］）作为小矩形的高.
【解题提示】首先根据题设信息，求出过剩估计值与不足 估计值，然后确定答案. 【解析】选D.由例2的练一练1可知，其过剩估计值与不足估计 值分别为19.8g、16.2g，则估计值应在［16.2g,19.8g］之间.
二、填空题（每题5分，共10分） 4.求曲线y= 1 x2与直线x=1，x=2，y=0所围成的平面图形的面 积时，把区间5等分，其估计误差不超过_____. 【解析】分别以左、右端点的函数值为小矩形的高，得此平面 图形面积的不足估计值s和过剩估计值S如下：
所以S-s=0.3.
答案：0.3
5.变速运动的物体的速度和时间之间的函数关系式为 v(t)=t+2，估计该物体在区间［0,2］内运动的路程.若将区 间10等分，则其不足估计值为_____. 【解析】把区间［0,2］10等分，取小区间的左端点的函数值 作为小区间的平均速度，可得不足估计值为： s=(2+2.2+2.4+2.6+2.8+3.0+3.2+3.4+3.6+3.8)×0.2=5.8. 答案：5.8
估计值，分割的越细，估计值就越接近精确值.
典型例题精析
知能巩固提高
一、选择题（每题5分，共15分） 1.（2010·安庆高二检测）在“近似替代”中，函数f(x)在区
间［xi,xi+1］上的近似值等于（
）
（A）只能是区间的左端点的函数值f(xi) （B）只能是区间的右端点的函数值f(xi+1) （C）可以是区间内的任意一点的函数值f(ξ i)（ξ i∈ ［xi,xi+1］） （D）以上答案均正确 【解析】选C.以直代曲，可以把区间［xi,xi+1］上的任意一点 的函数值f(ξi)（ξi∈［xi,xi+1］）作为小矩形的高.
【解题提示】首先根据题设信息，求出过剩估计值与不足 估计值，然后确定答案. 【解析】选D.由例2的练一练1可知，其过剩估计值与不足估计 值分别为19.8g、16.2g，则估计值应在［16.2g,19.8g］之间.
二、填空题（每题5分，共10分） 4.求曲线y= 1 x2与直线x=1，x=2，y=0所围成的平面图形的面 积时，把区间5等分，其估计误差不超过_____. 【解析】分别以左、右端点的函数值为小矩形的高，得此平面 图形面积的不足估计值s和过剩估计值S如下：