人教版九年级数学册 第二十八章测试卷(附答案)
初中数学人教版九年级下学期第二十八章测试卷
一、单选题（共7题；共14分）
1.tan30°的值等于( )
A. B. C. D.
2.如图，AB是⊙O的直径，C, D是⊙O上AB两侧的点，若∠D＝30°，则tan ∠ABC的值为( )
A. B. C. D.
3.如图，点E是矩形ABCD的边AD的中点，且BE⊥AC于点F，则下列结论中错误的是（）
A. AF= CF
B. ∠DCF=∠DFC
C. 图中与△AEF相似的三角形共有5个
D. tan∠CAD=
4.在锐角中，，则（）
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 75°
5.如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均是1，△ABC的顶点均在小正方形的顶点上，则tanA的值为（）
A. B. C. D.
6.如图，为了测得电视塔的高度AB，在D处用高为1米的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为30°，再向电视塔方向前进100米到达F处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB（单位：米）为（）．
A. B. 51 C. D. 101
7.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，BC＝4，则AC的长为（）
A. 6
B. 5
C.
D.
二、填空题（共3题；共3分）
8.河堤横断面如图所示，堤高BC＝5米，迎水坡AB的坡比是1∶2，则AB的长是________．
9.如图，在的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上，则的余弦值是________．
10.小明沿着坡度i为1∶的直路向上走了50 m，则小明沿垂直方向升高了________m.
三、计算题（共3题；共20分）
11.计算：6tan30°+cos245-sin60°
12.计算：
13.计算：
（1）。
（2）。
四、综合题（共2题；共15分）
14.如图，轮船在A处观测灯塔C位于北偏东70o方向上，轮船从A处以每小时30海里的速度沿南偏东50o 方向匀速航行，1小时后到达码头B处，此时观测灯塔C位于北偏东25o方向上，求灯塔C与码头B之间的距离(结果保留根号)．
15.为积极参与文明城市创建活动，我市某校在教学楼顶部新建了一块大型宣传牌，如下图。
小明同学为测量宣传牌的高度AB，他站在距离教学楼底部E处6米远的地面C处，测得宣传牌的底部B的仰角为60°，同时测得教学楼窗户D处的仰角为30°（A、B、D、E在同一直线上）。
然后，小明沿坡度i=1：1.5的斜坡从C走到F处，此时DF正好与地面CE平行。
（1）求点F到直线CE的距离（结果保留根号）；
（2）若小明在F处又测得宣传牌顶部A的仰角为45°，求宣传牌的高度AB（结果精确到0.1米，
）。
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】D
5.【答案】D
6.【答案】C
7.【答案】C
二、填空题
8.【答案】5 米
9.【答案】
10.【答案】25
三、计算题
11.【答案】解：原式=6×
=
=
12.【答案】解：原式
13.【答案】（1）解：原式= =0 （2）解：原式=
=
=5.
四、综合题
14.【答案】解：过点B作BD⊥AC，交AC于点D
由题可知AB＝30海里，∠DAB＝60°，∠C＝45°在Rt△ABD中，∵sin∠DAB＝，∴sin60°＝∴BD＝海里
在Rt△BCD中，∵sin∠C＝，∴sin45°＝∴BC＝海里
答：灯塔C与码头B之间的距离为海里.
15.【答案】（1）解：过点F作FG⊥EC于G
依题意知FG∥DE，DF∥GE，∠FGE=90°
∴四边形DEGF是矩形；
∴FG=DE，
在Rt△CDE中，
DE=CE•tan∠DCE=6•tan∠30°= (米）
∴点F到地面的距离为米
（2）解：∵斜坡CF的坡度为i=1:1.5，
∴Rt△CFG中，CG=1.5 FG= ×1.5= ，
∴FD=EG= +6，
在Rt△ADF中，
，在Rt△BCE中，
BE=CE•tan∠BCE=6•tan∠60°= ，
∴AB=AD+DE-BE
= +6+ - =6- 4.3(米）
答：宣传牌的高度约为4.3米。
人教版九年级数学册 第二十八章测试卷(附答案)
初中数学人教版九年级下学期第二十八章测试卷一、单选题（共7题；共14分）1.tan30°的值等于( )A. B. C. D.2.如图，AB是⊙O的直径，C, D是⊙O上AB两侧的点，若∠D＝30°，则tan ∠ABC的值为( )A. B. C. D.3.如图，点E是矩形ABCD的边AD的中点，且BE⊥AC于点F，则下列结论中错误的是（）A. AF= CFB. ∠DCF=∠DFCC. 图中与△AEF相似的三角形共有5个D. tan∠CAD=4.在锐角中，，则（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 75°5.如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均是1，△ABC的顶点均在小正方形的顶点上，则tanA的值为（）A. B. C. D.6.如图，为了测得电视塔的高度AB，在D处用高为1米的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为30°，再向电视塔方向前进100米到达F处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB（单位：米）为（）．A. B. 51 C. D. 1017.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，BC＝4，则AC的长为（）A. 6B. 5C.D.二、填空题（共3题；共3分）8.河堤横断面如图所示，堤高BC＝5米，迎水坡AB的坡比是1∶2，则AB的长是________．9.如图，在的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上，则的余弦值是________．10.小明沿着坡度i为1∶的直路向上走了50 m，则小明沿垂直方向升高了________m.三、计算题（共3题；共20分）11.计算：6tan30°+cos245-sin60°12.计算：13.计算：（1）。
（2）。
四、综合题（共2题；共15分）14.如图，轮船在A处观测灯塔C位于北偏东70o方向上，轮船从A处以每小时30海里的速度沿南偏东50o 方向匀速航行，1小时后到达码头B处，此时观测灯塔C位于北偏东25o方向上，求灯塔C与码头B之间的距离(结果保留根号)．15.为积极参与文明城市创建活动，我市某校在教学楼顶部新建了一块大型宣传牌，如下图。
人教版初3数学9年级下册 第28章(锐角三角函数)正切函数专题练习(含答案)
人教版九年级数学下册第二十八章锐角三角函数之正切函数专题练习一、选择题1.如图，第一象限的点P的坐标是(a，b)，则tan ∠POx等于( )A．abB．baC．aa2+b2D．ba2+b22.如图，点A(t,3)在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα＝2，则t的值是( )A． 1B． 1.5C． 2D． 33.在直角坐标系xOy中，点P(4，y)在第四象限内，且OP与x轴正半轴的夹角的正切值是2，则y 的值是( )A． 2B． 8C．－2D．－84.正比例函数y＝kx的图象经过点(3,2)，则它与x轴所夹锐角的正切值是( )A．23B．32C．132D．1335.根据图中的信息，经过估算，下列数值与tanα值最接近的是( )A． 0.26B． 0.43C． 0.90D． 2.236.如图，在2×3的正方形网格中，tan ∠ACB的值为( )A．223B．2105C．12D． 27.如图，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A、B、O是小正方形顶点，⊙O的半径为1，P是⊙O上的点，且位于右上方的小正方形内，则tan ∠APB等于( )A． 1B．3C．33D．128.如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△AC′B′，则tan B′的值为( )A．12B．13C．14D．249.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝2，AC＝1，则tan A的值为( )A．12B．32C．33D．310.如图，E在矩形ABCD的边CD上，AB＝2BC，则tan ∠CBE＋tan ∠DAE的值是( )A． 2B． 2＋3C． 2－3D． 2＋2311.在Rt△ABC中，∠A＝90°，如果把这个直角三角形的各边长都扩大2倍，那么所得到的直角三角形中，∠B的正切值( )A．扩大2倍B．缩小2倍C．扩大4倍D．大小不变12.比较tan 20°，tan 50°，tan 70°的大小，下列不等式正确的是( )A． tan 70°＜tan 50°＜tan 20°B． tan 50°＜tan 20°＜tan 70°C． tan 20°＜tan 50°＜tan 70°D． tan 20°＜tan 70°＜tan 50°二、填空题13.如图，P(12，a)在反比例函数y＝60图象上，PH⊥x轴于H，则tan ∠POH的值为__________．x14.在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C对边，如果2b＝3a，则tan A＝__________.15.在一个直角三角形中，如果各边的长度都扩大4倍，那么它的两个锐角的正切值__________．16.已知∠B是△ABC中最小的内角，则tan B的取值范围是____________．17.比较大小：tan 50°________tan 48°.三、解答题18.如图，在平面直角坐标系中，已知点B(4,2)，BA⊥x轴于A.求tan ∠BOA的值．19.如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝6，S△ABC＝12.试求tan B的值．答案解析1.【答案】B【解析】如图因为第一象限的点P的坐标是(a，b)，所以tan ∠POx＝ba.故选B.2.【答案】B【解析】如图，tanα＝ABOB ＝2，即3t＝2，解得t＝1.5.故选B.3.【答案】D【解析】如图，∵点P(4，y)在第四象限内，∴OA＝4，PA＝－y又OP与x轴正半轴的夹角的正切值是2，∴tan ∠AOP＝2，∴PAOA＝2，∴－y＝2×4，∴y＝－8.故选D.4.【答案】A【解析】如图，过A作AB⊥x轴于B，∵A(3,2)，∴AB＝2，OB＝3，∵正比例函数y＝kx的图象经过点(3,2)，∴它与x轴所夹锐角的正切值是tan ∠AOB＝ABOB ＝23，故选A.5.【答案】B【解析】如图，AB≈2.6，OB＝6，tanα＝ABOB ≈2.66≈0.43.故选B.6.【答案】D【解析】如图，过A作AD⊥BC于D，设每个小正方形边长为1，在Rt△ACD中，AD＝2，CD＝1，则tan ∠ACB＝ADCD＝2，故选D.7.【答案】A【解析】∵A、B、O是小正方形顶点，∴∠AOB＝90°，∴∠APB＝12∠AOB＝45°，∴tan ∠APB＝1.故选A.8.【答案】B【解析】设每个小正方形边长为1，过C点作CD⊥AB，垂足为D.根据旋转性质可知，∠B′＝∠B.在Rt△BCD中，CD＝1，BD＝3，故tan B＝CDBD ＝13，则tan B′＝tan B＝13.故选B.9.【答案】D【解析】∵AB＝2，AC＝1，∴CB＝22−12＝3，∴tan A＝BCAC＝3，故选D.10.【答案】【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴tan ∠CBE＝CEBC ，tan ∠DAE＝DEAD，∵AD＝BC，CE＋DE＝CD＝AB＝2AD，∴tan ∠CBE＋tan ∠DAE＝CEBC ＋DEAD＝CDAD＝2ADAD＝2.故选A.11.【答案】D【解析】把这个直角三角形的各边长都扩大2倍，那么所得到的直角三角形与原来的三角形相似，则∠B的大小不变，则∠B的正切值不变．故选D.12.【答案】C【解析】由锐角的正切值随角增大而增大，得tan 20°＜tan 50°＜tan 70°，故C符合题意，故选C.13.【答案】512【解析】∵P(12，a)在反比例函数y＝60x图象上，∴a＝6012＝5，∵PH⊥x轴于H，∴PH＝5，OH＝12，∴tan ∠POH＝512.14.【答案】23【解析】∵∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C对边，∴tan A＝ab，∵2b＝3a，∴a b ＝23，∴tan A ＝a b ＝23.15.【答案】不变【解析】∵锐角的正切值是该角的对边与邻边的比，∴当各边都扩大为原来的4倍时，比值不变．16.【答案】0＜tan B ≤3【解析】根据三角形的内角和定理，易知三角形的最小内角不大于60°.根据题意，知：0°＜∠B ≤60°.又tan 60°＝3，故0＜tan B ≤3.17.【答案】＞【解析】根据锐角三角函数的增减性：正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)，∵50°＞48°，∴tan 50°＞tan 48°.18.【答案】解 tan ∠BOA ＝AB OA ＝24＝12.【解析】19.【答案】解 如图，过点A 作AD ⊥BC 的延长线于D ，S △ABC ＝12BC ·AD ＝12×6×AD ＝12，解得AD ＝4，在Rt △ABD 中，BD ＝AB 2−AD 2＝82−42＝43，tan B ＝AD BD ＝443＝33.【解析】过点A作AD⊥BC的延长线于D，利用三角形的面积求出AD，再利用勾股定理列式求出BD，然后根据锐角的正切值等于对边比邻边列式计算即可得解．。
九年级数学下册《第二十八章 解直角三角形及其应用》练习题附答案解析-人教版
九年级数学下册《第二十八章解直角三角形及其应用》练习题附答案解析-人教版班级:___________姓名：___________考号：____________一、单选题1．图，在Rt△ABC中△ACB=90°，CE是斜边AB上的中线，过点E作EF⊥AB交AC于点F，若BC=4，sin△CEF= 3，则△AEF的面积为（）5A．3B．4C．5D．62．小丽在小华北偏东40°的方向，则小华在小丽的（）A．南偏西50°B．北偏西50°C．南偏西40°D．北偏西40°3．如图，小明在距离地面30米的P处测得A处的俯角为15︒，B处的心角为60︒，若斜面坡度为，则斜面AB的长是（）米．A．B．C．D．4．如图，某渔船正在海上P处捕鱼，先向北偏东30°的方向航行10km到A处．然后右转40°再航行到B处，在点A的正南方向，点P的正东方向的C处有一条船，也计划驶往B处，那么它的航向是（）A ．北偏东20°B ．北偏东30°C ．北偏东35°D ．北偏东40°5．如图，某建筑物的顶部有一块宣传牌CD ．小明在山坡的坡脚A 处测得宣传牌底部D 的仰角为60°，沿山坡向上走到B 处测得宣传牌顶部C 的仰角为45°，已知斜坡AB 的坡角为30°，10AB =米，15AE =米，则宣传牌CD 的高度是（ ）米A ．20-B ．20+C ．15+D ．56．如图，已知正六边形ABCDEF 内接于半径为r 的O ，随机地往O 内投一粒米，落在正六边形内的概率为（ ）A B C D ．以上答案都不对7．如图，小明利用标杆BE 测量建筑物DC 的高度，已知标杆BE 的长为1.2米，测得AB =85米，BC ＝425米，则楼高CD 是（ ）A ．6.3米B ．7.5米C ．8米D ．68．如图，点E 是⊥ABCD 的边AB 上一点，过点E 作EF ∥BC ，交CD 于F ，点P 为EF 上一点，连接PB 、PD ．下列说法不正确的是（ ）A ．若⊥ABP ＝⊥CDP ，则点P 在⊥ABCD 的对角线BD 上B ．若AE ：EB ＝2：3，EP ：PF ＝1：2，则S △BEP ：S △DFP ＝3：4C ．若S △BEP ＝S △DFP ，则点P 在AC 上D ．若点P 在BD 上，则S △BEP ＝S △DFP9．如图，一棵大树被台风拦腰刮断，树根A 到刮断点P 的距离是4米，折断部分PB 与地面成40︒的夹角，那么原来这棵树的高度是（ ）A ．44cos 40+︒⎛⎫ ⎪⎝⎭米B ．44sin 40+︒⎛⎫ ⎪⎝⎭米C ．()44sin 40+︒米D ．()44tan 40+︒米10．如图，等腰Rt △ABC 中⊥A =90°，AB =AC ，BD 为△ABC 的角平分线，若2CD =，则AB 的长为（ ）A．3 B ．2 C ．4 D 2+二、填空题11．在Rt ABC 中90C ∠=︒，有一个锐角为60︒，6AB =若点P 在直线．．AB 上（不与点A ，B 重合），且30PCB ∠=︒，则AP 的长为_______．12．如图，将扇形AOB 沿OB 方向平移，使点O 移到OB 的中点O '处，得到扇形A O B '''．若⊥O ＝90°，OA ＝2，则阴影部分的面积为______．13．如图，在一次数学实践活动中小明同学要测量一座与地面垂直的古塔AB 的高度，他从古塔底部点处前行30m 到达斜坡CE 的底部点C 处，然后沿斜坡CE 前行20m 到达最佳测量点D 处，在点D 处测得塔顶A的仰角为30︒，已知斜坡的斜面坡度i =A ，B ，C ，D ，在同一平面内，小明同学测得古塔AB 的高度是___________．14．如图，在直角坐标系中点A 的坐标为（0，点B 为x 轴的正半轴上一动点，作直线AB ，⊥ABO 与⊥ABC 关于直线AB 对称，点D ，E 分别为AO ，AB 的中点，连接DE 并延长交BC 所在直线于点F ，连接CE ，当⊥CEF 为直角时，则直线AB 的函数表达式为__．15．如图，平行四边形OABC 的顶点O 是坐标原点，A 在x 轴的正半轴上，B ，C 在第一象限，反比例函数1y x =的图象经过点C ，()0k y k x=≠的图象经过点B ．若OC AC =，则k =________．16．在⊥ABC 中AB =6AC =且45B ∠=，则BC =______________．17．如图，大坝横截面的迎水坡AB 的坡比为1：2，（即BC ：AC=1：2），若坡面AB 的水平宽度AC 为12米，则斜坡AB 的长为________米．18．如图，等边ABC 中115,125AOB BOC ∠=︒∠=︒，则以线段,,OA OB OC 为边构成的三角形的各角的度数分别为______________________________．三、解答题19．实验学校某班开展数学“综合与实践”测量活动．有两座垂直于水平地面且高度不一的圆柱，两座圆柱后面有一斜坡，且圆柱底部到坡脚水平线MN 的距离皆为100cm ．王诗嬑观测到高度90cm 矮圆柱的影子落在地面上，其长为72cm ；而高圆柱的部分影子落在坡上，如图所示．已知落在地面上的影子皆与坡脚水平线MN 互相垂直，并视太阳光为平行光，测得斜坡坡度1:0.75i =，在不计圆柱厚度与影子宽度的情况下，请解答下列问题：（1）若王诗嬑的身高为150cm ，且此刻她的影子完全落在地面上，则影子长为多少cm ？（2）猜想：此刻高圆柱和它的影子与斜坡的某个横截面一定同在一个垂直于地面的平面内．请直接回答这个猜想是否正确？（3）若同一时间量得高圆柱落在坡面上的影子长为100cm ，则高圆柱的高度为多少cm ？20．八年级二班学生到某劳动教育实践基地开展实践活动，当天，他们先从基地门口A 处向正北方向走了450米，到达菜园B 处锄草，再从B 处沿正西方向到达果园C 处采摘水果，再向南偏东37°方向走了300米，到达手工坊D 处进行手工制作，最后从D 处回到门口A 处，手工坊在基地门口北偏西65°方向上．求菜园与果园之间的距离．（结果保留整数）参考数据：sin65°≈ 0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin37°≈ 0.60，cos37°≈ 0.80，tan37°≈0.7521．如图是某水库大坝的横截面，坝高20m CD =，背水坡BC 的坡度为11:1i =．为了对水库大坝进行升级加固，降低背水坡的倾斜程度，设计人员准备把背水坡的坡度改为2i =求背水坡新起点A 与原起点B之间的距离． 1.41 1.73≈结果精确到0.1m ）参考答案与解析1．C【分析】连接BF ，由已知CE AE BE ==得到A FBA ACE ==∠∠∠，再得出CEF ∠与CBF ∠的关系，由三角函数关系求得CF 、BF 的值，通过BF AF =，用三角形面积公式计算即可．【详解】解：连接BF⊥CE 是斜边AB 上的中线 ⊥12CE AE BE AB ===（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）⊥A FBA ACE ==∠∠∠又⊥90BCA BEF ==︒∠∠在⊥ABC 中180902CBF ACB A ABF A =︒-∠-∠-∠=︒-∠∠在⊥AEC 中180902CEF AEF A ACE A =︒-∠-∠-∠=︒-∠∠⊥CEF CBF ∠=∠3sin sin 5CBF CEF ∴∠=∠=4BC =，设3,5CF x BF x ==则222BC CF BF +=，即()()222435x x +=解得1x =（负值舍掉）3,5CF BF ∴== ⊥EF 是AB 的垂直平分线， ⊥5BF AF ==11·541022AFB S AF BC ∴==⨯⨯=△ 152AEF ABF S S ∴==△△故选：C ．【点睛】本题综合考查了垂直平分线的性质、直角三角形和等腰三角形的性质、勾股定理及三角函数等相关知识，熟练利用相关定理和性质进行计算是解决本题的关键．2．C【分析】画出示意图，确定好小丽和小华的的方向和位置即可．【详解】解：如图所示，当小丽在小华北偏东40°的方向时，则小华在小丽的南偏西40°的方向．故选：C【点睛】本题考查了方位角的知识点，确定好物体的方向和位置是解题的关键．3．B【分析】过点A 作AF BC ⊥于点F ，根据三角函数的定义得到30ABF ∠=︒，根据已知条件得到3045HPB APB ∠∠=︒=︒，求得60HBP ∠=︒，解直角三角形即可得到结论．【详解】如图所示：过点A 作AF BC ⊥于点F斜面坡度为AF tan ABF BF ∠∴=== 30ABF ∠∴=︒在P 处进行观测，测得山坡上A 处的俯角为15︒，山脚B 处的俯角为60︒3045HPB APB ∠∠∴=︒=︒，60HBP ∠∴=︒9045PBA BAP ∠∠∴=︒=︒，PB AB ∴=303060PH PH m sin PB PB =︒===，解得：)PB m =故AB =故选：B ．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解直角三角形的应用-坡度坡角问题，正确得出PB AB =是解题关键．4．C【分析】连接BC ，由锐角三角函数定义得AC A = km ，则AC =AB ，再由等腰三角形的性质得⊥ACB =⊥ABC =35°，即可得出结论．【详解】解：如图，连接BC由题意得：⊥ACP =⊥ACD =90°，⊥P AC =30°，P A =10km ，⊥BAE =40°，AB =⊥⊥BAC =180°—⊥P AC —⊥BAE =180°—30°—40°=110°⊥cos⊥P AC =ACPA =cos30°=⊥AC =P A =×10= km⊥AC =AB⊥⊥ACB =⊥ABC =12×（180°—⊥BAC ）=12×（180°—110°）=35°即B 处在C 处的北偏东35°方向故选：C ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题，等腰三角形的性质，锐角三角函数定义等知识，由锐角三角函数定义求出AC 的长是解题的关键．5．A【分析】过点B 分别作AE 、DE 的垂线，垂足分别为G 、F ，在Rt ⊥ABG 中由已知可求得BG 、AG 的长，从而可易得EF 及EG 、BF 的长度，由等腰直角三角形的性质可得CF 的长度，在Rt ⊥DAE 中由正切函数关系可求得DE 的长度，从而可求得CD 的长度．【详解】过点B 分别作AE 、DE 的垂线，垂足分别为G 、F ，如图在Rt ⊥ABG 中⊥BAG =30゜⊥152BG AB ==米，cos3010AG AB =︒==⊥15)EG AG AE =+=米⊥BG ⊥AE ，BF ⊥ED ，AE ⊥ED⊥四边形BGEF 是矩形⊥EF =BG =5米，15)BF EG ==米⊥⊥CBF =45゜，BF ⊥ED⊥⊥BCF =⊥CBF =45゜⊥15)CF BF ==米在Rt ⊥DAE 中⊥DAE =60゜，AE =15米⊥tan DE AE DAE =∠=米)⊥155(20CD CF EF DE =+-=+-=-米故选：A【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，理解坡角、仰角的含义，构造辅助线得到直角三角形是解题的关键．6．A【分析】连接OB ，过点O 作OH ⊥AB 于点H ，由正六边形的特点可证得⊥OAB 是等边三角形，由特殊角的三角函数值可求出OH 的长，利用三角形的面积公式即可求出⊥OAB 的面积，进而可得出正六边形ABCDEF 的面积，即可得出结果．【详解】解：如图：连接OB ，过点O 作OH ⊥AB 于点H⊥六边形ABCDEF 是正六边形⊥⊥AOB =60°⊥OA =OB =r⊥⊥OAB 是等边三角形⊥AB =OA =OB =r ，⊥OAB =60°在Rt OAH △中sin OH OA OAB r =⋅∠==⊥21122OAB S AB OH r =⋅==△⊥正六边形的面积226== ⊥⊥O 的面积=πr 2⊥米粒落在正六边形内的概率为：222rπ 故选：A ．【点睛】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、等边三角形的判定与性质、解直角三角形；熟练掌握正六边形的性质，通过作辅助线求出⊥OAB 的面积是解决问题的关键．7．B【分析】先判断出⊥ABE ⊥⊥ACD ，再根据相似三角形对应边成比例解答．【详解】⊥AB =85，BC ＝425 ⊥AC =AB +BC =10⊥BE ⊥AC ，CD ⊥AC⊥BE ⊥CD⊥AB ：AC =BE ：CD ⊥85：10=1.2：CD⊥CD =7.5米．故选：B ．【点睛】本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出建筑物的高度，体现了方程的思想．8．D【分析】根据平行四边形的性质和判定进行判断即可．【详解】解：A 、若⊥ABP ＝⊥CDP ，则点P 在⊥ABCD 的对角线BD 上，说法正确；B 、若AE ：EB ＝2：3，EP ：PF ＝1：2则S △BEP ：S △DFP ＝3：4，说法正确；C 、过点P 作GH AB ∥，分别交AD ，BC 于G ，H⊥GH AB ∥ GA HB ∥⊥四边形ABHG 是平行四边形同理：四边形CDGH 、四边形BHPE ，四边形DGPE 都是平行四边形 ⊥12BEP BHPE S S =△ 12DFP DGPF S S =△又BEP DFP S S =△△⊥BEPH DGPF SS = ⊥ABHG ADFE S S =同理：BCFE CDGH S S =⊥点P 在AC 上，C 说法正确；D 、若点P 在BD 上，不能得出EP ＝PF ，所以S △BEP 不一定等于S △DFP ，说法错误；故选：D ．【点睛】此题考查平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键．9．B【分析】通过解直角三角形即可求得．【详解】解：在Rt ABP △中4==sin sin 40AP BP ABP ∠︒ 故原来这棵树的高度为：4=4sin 40AP BP ⎛⎫++ ⎪︒⎝⎭(米) 故选：B ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握和运用解直角三角形的方法是解决本题的关键．10．D【分析】过点D 作DE ⊥BC 于点E ，设AB =AC =x ，则AD =x -2，根据等腰Rt △ABC 中90,A AB AC ∠=︒= 得到⊥C =45°，根据BD 为△ABC 的角平分线，⊥A =90°，DE ⊥BC ，推出DE =AD =x -2，运用⊥C 的正弦即可求得．【详解】解：过点D 作DE ⊥BC 于点E ，则⊥DEB =⊥DEC =90°设AB =AC =x ，则AD =x -2⊥等腰Rt △ABC 中，⊥A =90°，AB =AC ，⊥⊥C =（180°-⊥A ）=45°⊥BD 为△ABC 的角平分线⊥DE =AD =x -2⊥sin sin 452DE C CD ︒===⊥22x -⊥2x ，即2AB =．故选D ．【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形，角平分线，解直角三角形，熟练掌握等腰直角三角形的性质，角平分线的性质，正弦的定义和45°的正弦值，是解决问题的关键．11．92或9或3 【分析】分⊥ABC =60、⊥ABC =30°两种情况，利用数形结合的方法，分别求解即可．【详解】解：当⊥ABC =60°时，则⊥BAC =30°⊥132BC AB ==⊥AC ==当点P 在线段AB 上时，如图⊥30PCB ∠=︒⊥⊥BPC =90°，即PC ⊥AB⊥9cos 2AP AC BAC =⋅∠==；当点P 在AB 的延长线上时⊥30PCB ∠=︒，⊥PBC =⊥PCB +⊥CPB⊥⊥CPB =30°⊥⊥CPB =⊥PCB⊥PB =BC =3⊥AP =AB +PB =9；当⊥ABC =30°时，则⊥BAC =60°，如图⊥132AC AB ==⊥30PCB ∠=︒⊥⊥APC =60°⊥⊥ACP =60°⊥⊥APC =⊥P AC =⊥ACP⊥⊥APC 为等边三角形⊥P A =AC =3．综上所述，AP 的长为92或9或3． 故答案为：92或9或3 【点睛】本题是解直角三角形综合题，主要考查了含30度角的直角三角形、解直角三角形，等边三角形的判定和性质等，分类求解是本题解题的关键．12．3π【分析】设A O '与扇形AOB 交于点C ，连接OC ，解Rt OCO '，求得60O C COB '=∠=︒，根据阴影部分的面积为()OCO A O B OCB S S S ''''--扇形扇形，即可求解．【详解】如图，设A O '与扇形AOB 交于点C ，连接OC ，如图O '是OB 的中点11122OO OB OA '∴===, OA ＝2 AOB ∠＝90°，将扇形AOB 沿OB 方向平移90A O O ''∴∠=︒1cos 2OO COB OC '∴∠== 60COB ∴∠=︒sin 60O C OC '∴=︒=∴阴影部分的面积为()OCO A O B OCB S S S''''--扇形扇形 OCO AOB OCB S S S ''=-+扇形扇形22906012213603602ππ=⨯-⨯+⨯3π=故答案为：3π+【点睛】本题考查了解直角三角形，求扇形面积，平移的性质，求得60COB ∠=︒是解题的关键．13．(20m +【分析】过D 作DF ⊥BC 于F ，DH ⊥AB 于H ，设DF =x m ，CF m ，求出x =10，则BH =DF =，CF =，DH =BF ，再求出AH DH ，即可求解． 【详解】解：过D 作DF ⊥BC 于F ，DH ⊥AB 于H⊥DH =BF ，BH =DF⊥斜坡的斜面坡度i =1⊥:DF CF =设DF =x m ，CFm⊥CD 220x ==⊥x =10⊥BH =DF =10m ，CF =⊥DH =BF =（m ）⊥⊥ADH =30°⊥AH 10=+m ） ⊥AB =AH +BH =20103（m ）故答案为：(20m +【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡角坡度问题，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．14．y【分析】证明⊥ABO ⊥⊥ABC ，于是可知⊥CBA =⊥ABO =30°，得出OB =3即可求出直线AB 的函数表达式．【详解】解：⊥⊥ABO 与⊥ABC 关于直线AB 对称⊥⊥ACB ＝⊥AOB ＝90°⊥点E 是AB 的中点⊥CE ＝BE =EA⊥⊥EAC ＝⊥ECA⊥⊥ECA +⊥ECF ＝90°，⊥ECF +⊥CFE ＝90°⊥⊥CFE ＝⊥BAC而点D ，E 分别为AO ，AB 的中点⊥DF ∥OB⊥⊥CFE ＝⊥CBO ＝2⊥CBA ＝2⊥ABO⊥⊥ABO 与⊥ABC 关于直线AB 对称⊥⊥ABO ⊥⊥ABC⊥⊥OAB ＝⊥CAB ＝2⊥ABO⊥⊥ABO ＝30°而点A 的坐标为（0，即OAAB ∴=⊥OB =3即点B 的坐标为（3，0）于是可设直线AB 的函数表达式为y ＝kx +b ，代入A 、B 两点坐标得30b k b ⎧=⎪⎨+=⎪⎩解得kb故答案为y【点睛】本题考查的是三角形的全等，并考查了用待定系数法求函数解析式，找到两个已知点的坐标是解决本题的关键．15．3【分析】过点C 作CD ⊥OA 于D ，过点B 作BE ⊥x 轴于E ，先证四边形CDEB 为矩形，得出CD =BE ，再证Rt △COD ⊥Rt △BAE （HL ），根据S 平行四边形OCBA =4S △OCD =2，再求S △OBA =112OCBA S =平行四边形即可． 【详解】解：过点C 作CD ⊥OA 于D ，过点B 作BE ⊥x 轴于E⊥CD ⊥BE⊥四边形ABCO 为平行四边形⊥CB OA ∥ ，即CB DE ∥，OC =AB⊥四边形CDEB 为平行四边形⊥CD ⊥OA⊥四边形CDEB 为矩形⊥CD =BE⊥在Rt △COD 和Rt △BAE 中OC AB CD EB =⎧⎨=⎩⊥Rt △COD ⊥Rt △BAE （HL ）⊥S △OCD =S △ABE⊥OC =AC ，CD ⊥OA⊥OD =AD⊥反比例函数1yx=的图象经过点C⊥S△OCD=S△CAD=12⊥S平行四边形OCBA=4S△OCD=2⊥S△OBA=11 2OCBAS=平行四边形⊥S△OBE=S△OBA+S△ABE=13 122 +=⊥3232k=⨯=．故答案为3．【点睛】本题考查反比例函数k的几何意义，平行四边形的性质与判定，矩形的判定与性质，三角形全等判定与性质，掌握反比例函数k的几何意义，平行四边形的性质与判定，矩形的判定与性质，三角形全等判定与性质．16．3或3【分析】画出图形，分⊥ABC为锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论即可．【详解】解：情况一：当⊥ABC为锐角三角形时，如图1所示：过A点作AH⊥BC于H⊥⊥B=45°⊥⊥ABH为等腰直角三角形⊥363322ABAH BH在Rt⊥ACH中由勾股定理可知：2236273CH AC AH⊥333BC BH CH．情况二：当⊥ABC为钝角三角形时，如图2所示：由情况一知：363322ABAH BH2236273CH AC AH⊥333BC BH CH ．故答案为：3或3．【点睛】本题考察了等腰直角三角形的性质及勾股定理的应用，本题的关键是能将⊥ABC 分成锐角三角形或钝角三角形分类讨论．17．【分析】根据坡面AB 的坡比以及AC 的值，求出BC ，再利用勾股定理即可求出斜面AB 的长．【详解】解：⊥大坝横截面的迎水坡AB 的坡比为1：2，AC=12米⊥1212BC BC AC == ⊥BC=6⊥AB =故答案为：【点睛】本题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力，能根据坡度求出BC 是解题关键． 18．55°，60°，65°．【分析】通过旋转AOB 至CDB △，可得BOD 是等边三角形，将,,OA OB OC 放在一个三角形中进而求出各角大小。
人教版九年级下册数学第二十八章 锐角三角函数含答案解析
人教版九年级下册数学第二十八章锐角三角函数含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，在⊙O中，E是直径AB延长线上一点，CE切⊙O于点E，若CE=2BE，则∠E的余弦值为（）A. B. C. D.2、如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，则下列线段的比中不等于sinA 的是( )A. B. C. D.3、如图，学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在点C处测得树顶B的仰角为60°，然后在坡顶D测得树顶B的仰角为30°，已知斜坡CD的长度为20m，DE的长为10m，则树AB的高度是（）m．A.20B.30C.30D.404、如图所示，已知：点A（0，0），B（，0），C（0，1）．在△ABC内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别是第1个△AA1B1，第2个△B1A2B2，第3个△B2A3B3，…，则第n个等边三角形的边长等于（）A. B. C. D.5、已知Rt△ABC中，∠A=90°，则是∠B的（）A.正切；B.余切；C.正弦；D.余弦6、如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么的值为（）．A. B. C. D.7、如图，在△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，则tanB的值是（）A. B. C. D.8、如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，BC=3, AC=4，则sinA的值为（）．.A. B. C. D.9、定义：在等腰三角形中，底边与腰的比叫做顶角的正对，顶角A的正对记作sadA，即sadA＝底边：腰．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝4∠B．则cosB•sadA＝（）A.1B.C.D.10、Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，且a：b=3：4，斜边c=15，则b的值是（）A.12B.9C.4D.311、已知tanα=0.3249，则α约为（）A.17°B.18°C.19°D.20°12、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=22.5°，DE垂直平分AB交BC于E，若BE=2 ，则AC=( )A.1B.2C.3D.413、如图，在一块矩形ABCD区域内，正好划出5个全等的矩形停车位，其中EF＝a米，FG＝b米，∠AEF＝30°，则AD等于（）A.（a+ b）米B.（a+ b）米C.（a+ b）米D.（a+ b）米14、如图，平面直角坐标系中，A（8，0），B（0，6），∠BAO，∠ABO的平分线相交于点C，过点C作CD∥x轴交AB于点D，则点D的坐标为（）A.（，2）B.（，1）C.（，2）D.（，1）15、如图，已知A，B，C，D是⊙O上的点，AB⊥CD，OA=2，CD=2 ，则∠D 等于（）A. B. C. D.二、填空题(共10题，共计30分)16、图1是一种矩形时钟，图2是时钟示意图，时钟数字2的刻度在矩形ABCD 的对角线BD上，时钟中心在矩形ABCD对角线的交点O上.若，则BC长为________cm（结果保留根号）.17、在三角形ABC中，AB=2，AC= ，∠B=45°，则BC的长________．18、如图，射线OC与x轴正半轴的夹角为30°，点A是OC上一点，AH⊥x轴于H，将△AOH绕着点O逆时针旋转90°后，到达△DOB的位置，再将△DOB沿着y轴翻折到达△GOB的位置，若点G恰好在抛物线y=x2（x＞0）上，则点A 的坐标为________．19、如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=3，点D、E分别在AB、AC 上，将△ABC沿DE折叠，点A落在AC边的点F处．若F为CE的中点，则DF 的长为________.20、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4 ，AC=4，点D是BC的中点，点E是边AB上一动点，沿DE所在直线把△BDE翻折到△B′DE的位置，B′D交AB于点F.若∠AB′F为直角，则AE的长为________.21、小华从斜坡底端沿斜坡走了100米后，他的垂直高度升高了50米，那么该斜坡的坡角为________度22、在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA=,则cosA=________.23、如图，ABCD中，E是AD边上一点，AD=4 ，CD=3，ED= ，∠A=45．点P，Q分别是BC，CD边上的动点，且始终保持∠EPQ=45°．将CPQ沿它的一条边翻折，当翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形时，线段BP的长为________．24、把直尺、三角尺和圆形螺母按如图所示放置于桌面上，∠CAB=60°，若量出AD=6cm，则圆形螺母的外直径是________.25、已知：正方形ABCD的边长为3，点P是直线CD上一点，若DP=1，则tan∠BPC的值是________．三、解答题(共5题，共计25分)26、计算：+（tan60﹣1）0+| ﹣1|﹣2cos30°．27、教育部布的《基础教育课程改革纲要》要求每位学生每学年都要参加社会实践活动，某学校组织了一次测量探究活动，如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD，小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为53°，沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度1：，AB＝10米，AE＝21米，求广告牌CD的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，tan53°≈，cos53°≈0.60）28、如图，B位于A南偏西37°方向，港口C位于A南偏东35°方向，B位于C正西方向. 轮船甲从A出发沿正南方向行驶40海里到达点D处，此时轮船乙从B出发沿正东方向行驶20海里至E处，E位于D南偏西45°方向.这时，E 处距离港口C有多远？（参考数据：tan37°≈0.75，tan35°≈0.70）29、周末，小亮一家在东昌湖游玩，妈妈在湖心岛岸边P处观看小亮与爸爸在湖中划船（如图）.小船从P处出发，沿北偏东60°划行200米到达A处，接着向正南方向划行一段时间到达B处.在B处小亮观测妈妈所在的P处在北偏西37°方向上，这时小亮与妈妈相距多少米（精确到米）？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.41，≈1.73）30、每年的6至8月份是台风多发季节，某次台风来袭时，一棵大树树干AB （假定树干AB垂直于地面）被刮倾斜15°后折断倒在地上，树的项部恰好接触到地面D（如图所示），量得树干的倾斜角为∠BAC＝15°，大树被折断部分和地面所成的角∠ADC＝60°，AD＝4米，求这棵大树AB原来的高度是多少米？（结果精确到个位，参考数据：）参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、B2、D3、B4、A5、A6、D7、A8、C9、B10、A11、B12、B13、A14、A二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、28、。
人教版-数学-九年级下册--第二十八章 锐角三角函数全章小结与复习测试(含答案)
小结与复习知识结构基础知识1．直角三角形的边角关系：在Rt△ABC中，∠A+∠B=90°，a2+b2=c2，sinA=cosB=ac， cosA=sinB=bc，tanA=cotB=ab， cosA=tanB=ba．2．互余两角三角函数间的关系：如∠A+∠B=90°，那么sinA=cosB，cosA=sinB． 3．同角三角函数间的关系：sin2A+cos2A=1，tanA·cotA=1，tanA=sin cos,cotcos sinA AAA A．4．特殊角的三角函数三角函数0°30°45°60°90°sinα 0 1222321cosα 1 322212tanα 0 321 3不存在cotα不存在3 1 33解直角三角形的基本类型解直角三角形的基本类型及其解法如下表：类型已知条件解法解直角三角形注意点1．尽量使用原始数据，使计算更加准确．2．有的问题不能直接利用直角三角形内部关系解题，•但可以添加合适的辅助线转化为解直角三角形的问题．3．一些较复杂的解直角三角形的问题可以通过列方程或方程组的方法解题．4．解直角三角形的方法可概括为“有弦（斜边）用弦（正弦、余弦），无弦有切（正切、余切），宁乘毋除，取原避中”其意指：当已知或求解中有斜边时，可用正弦或余弦；无斜边时，就用正切或余切；当所求元素既可用乘法又可用除法时，则用乘法，不用除法；既可由已知数据又可用中间数据求解时，则取原始数据，忌用中间数据．5．必要时按照要求画出图形，注明已知和所求，•然后研究它们置于哪个直角三角形中，应当选用什么关系式来进行计算．6．要把添加辅助线的过程准确地写在解题过程之中．7．解含有非基本元素的直角三角形（即直角三角形中中线、高、角平分线、•周长、面积等），一般将非基本元素转化为基本元素，或转化为元素间的关系式，再通过解方程组来解．应用题解题步骤度量工具、工程建筑、测量距离等方面应用题的解题步骤可概括为如下几步：第一步，审清题意，要弄清仰角、俯角、坡度、坡角、水平距离、垂直距离、水平等概念的意义．第二步，构造出要求解的直角三角形，对于非直角三角形的图形可作适当的辅助线把它们分割成一些直角三角形和矩形（包括正方形）．第三步，选择合适的边角关系式，使运算尽可能简便，不易出错．第四步，按照题目中已知数的精确度进行近似计算，并按照题目要求的精确度确定答案及注明单位． 思想方法总结 1．转化思想转化思想贯穿于本章的始终．例如，利用三角函数定义可以实现边与角的转化，利用互余两角三角函数关系可以实现“正”与“余”的互化；利用同角三角函数关系可以实现“异名”三角函数之间的互化．此外，利用解直角三角形的知识解决实际问题时，首先要把实际问题转化为数学问题． 2．数形结合思想本章从概念的引出到公式的推导及直角三角形的解法和应用，无一不体现数形结合的思想方法．例如，在解直角三角形的问题时，常常先画出图形，使已知元素和未知元素更直观，有助于问题的顺利解决． 3．函数思想锐角的正弦、余弦、正切、余切都是三角函数，其中都蕴含着函数的思想．例如，任意锐角a 与它的正弦值是一一对应的关系．也就是说，对于锐角a 任意确定的一个度数，sina 都有惟一确定的值与之对应；反之，对于sina 在（01）之间任意确定的一个值，锐角a 都有惟一确定的一个度数与之对应． 4．方程思想在解直角三角形时，若某个元素无法直接求出，往往设未知数，根据三角形中的边角关系列出方程，通过解方程求出所求的元素． 中考新题型 例1 计算：（1）sin 230°-cos45°·tan60°（223tan 30︒+分析：把特殊角的三角函数值代入计算即可．解：（1）sin30°-cos45°·tan60°=14-2=14（2）原式+1-3×（3）2+1-1+2（1-2）=2 说明：熟记30°、45°、60°角的三角函数值，是解决这类问题的关键，•这类题也是中考考查的重点，在选择题和填空题中出现的更多．例 2 如右图，已知缆车行驶线与水平线间的夹角α=30°，β=45°．•小明乘缆车上山，从A到B，再从B到D都走了200米（即AB=BD=200米），•请根据所给的数据计算缆车垂直上升的距离．（计算结果保留整数，以下数据供选用：sin47°≈0.7314，cos47•°≈0.6820，tan47°≈1.0724）分析：缆车垂直上升的距离分成两段：BC与DF．分别在Rt△ABC和Rt△DBF•中求出BC 与DF，两者之和即为所求．解：在Rt△ABC中，AB=200米，∠BAC=α=30°，∴BC=AB·sinα=200sin30°=100（米）．在Rt△BDF中，BD=200米，∠DBF=β47°，∴DF=BD·sinβ=200·sin47°≈200×0.7314=146.28（米）．∴BC+DF=100+146.28=246.28（米）．答：缆车垂直上升了246.28米．说明：解直角三角形在实际生活中的应用，是中考考查的重点，也是考查的热点．要解决好这类问题：一是要合理地构造合适的直角三角形；•二是要熟记特殊角的三角函数值；三是要有很好的运算能力和分析问题的能力．课时作业设计本章单元测试．单元测试一、选择题．1．在△ABC中，∠C=90°，AB=15，sinA=13，则BC等于（）．A．45 B．5 C．15D．1452．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，若cotA=34，则cosA等于（）．A．45B．35C．43D．343．如图，为测一河两岸相对两电线杆A、B间的距离，在距A点15米的C处（AC⊥AB）测得∠ACB=50°，则A、B之间的距离应为（）．A ．15sin50°米B ．15cos50°米；C ．15tan50°米D ．15cot50°米CBAaADC(第3题) (第6题) (第7题) 4．如果si n 2a+sin 230°=1，那么锐角a 的度数是（ ）． A ．15° B ．30° C ．45° D ．60° 5．在Rt △ABC 中，∠C=90°，若2，则cosB 的值为（ ）． A ．12B ．22C ． 32D ．16．如图，为了测量河两岸A 、B 两点的距离，在与AB 垂直的方向上取点C ，•测得AC=a ，∠ACB=a ，那么AB 等于（ ）．A ．a ·sinaB ．a ·cosaC ．a ·tanaD ．a ·cota7．如图Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，D 为垂足．若AC=4，BC=3，则sin ∠ACD 的值为（ ）． A ．43 B ．34 C ．45 D ．358．已知直角三角形中30°角所对的直角边长是2cm ，则斜边的长是（ ）． A ．2cm B ．4cm C ．6cm D ．8cm 9．在△ABC 中，sinB=cos （90°-C ）=12，那么△ABC 是（ ）． A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形10．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=13，AC=12，BC=5，则下列各式中正确的是（ ）． A ．sinA=125 B ．cosA=1213 C ．tanA=125 D ．cotA=121311．如图，为测楼房BC 的高，在距离房30米的A 处测得楼顶的仰角为α，则楼高BC•的高为（ ）．A．30tanα米B．3030.30sin.tan30sinC Dααα米米BAαCBADC(第11题) (第12题)12．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一点，若tan∠DBA=15，则AD的长为（）．A．2 B．2 C．1 D．22二、填空题．13．如图，如果△APB绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A′P′B′，且BP=2，•那么PP′的长为________．（不取近似值，以下数据供解题使用：sin15°=6262,cos1544-+︒=）(第13题) (第14题) (第21题)14．如图，沿倾斜角为33°的山坡植树，要求相邻两棵树的水平距离AC为2m，那么相邻两棵树的斜坡距离AB约为________m．（精确到0.01m）15．sin30°=________．1635°=________．（精确到0.01）17．若圆周角α所对弦长为sinα，则此圆的半径r为_______．18．锐角A满足2sin（A-15°）3A=________．19．计算：3tan30°+cot45°-2tan45°-2cos60°=_________．20．已知A是锐角，且sinA=13，则cos（90°-A）=________．21．为了测量一个圆形铁环的半径（如图），某同学采用了如下办法：•将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径，若测得PA=5cm，则铁环的半径是______cm．三、计算题．22°-）．23．计算：cos60°-1．24．计算：（1）sin30°+cos45°+tan60°-cot30°．（2cot303tan30 cos27sin30cos45︒-︒︒+︒-︒25．若方程2x2+（4sinθ）x+1=0（0<θ<90°）有两个相等的实数根，求θ的值．四、解答题．26．如图，为申办2010年冬奥会，需改变哈尔滨市的交通状况．在大道拓宽工程中，要伐掉一棵树AB，在地面上事先划定以B为圆心，半径与AB等长的圆形区域为危险区，现在某工人站在离B点3米处的D处测得树的顶端A点的仰角为60°，树的底部B•点的俯角为30°，问距离B点8 1.73）27．我边防战士在海拔高度（即CD 的长）为50米的小岛顶部D 处执行任务，上午8时发现在海面上的A 处有一艘船，此时测得该船的俯角为30°，该船沿着AC•方向航行一段时间后到达B 处，又测得该船的俯角为45°，求该船在这一段时间内的航程．（•计算结果保留根号）28．如图，在离地面高度5米处引拉线固定电线杆，拉线和地面成58°，•求拉线下端点A 与杆底D 的距离AD ．（精确到0.01米）58B A4mD C答案：一、1．B 2．B 3．C 4．D 5．B 6．C 7．C 8．B 9．A 10．B 11．A 12．B二、13 14．2.38 15．12 16．1.10 17．1218．75° 1920．1321．三、22°-）0．23．解：原式=12-12．24．（1）12（2）1 25．θ=45°． 四、26．过点C 作CE ⊥AB 于E ，Rt △CBE 中，tan30°=BE CE，∴BE=CE ·tan30° Rt △CAE 中，tan60°=AEEC，∴AE=CE ·tan60°∴4×1.73=6.92<8． ∴保护物不在危险区．27．解：根据题意，∠ADC=60°，∠BDC=∠DBC=45°，∴BC=DC=50．在Rt △ADC 中，AC=CD ×tan ∠AB=AC-BC=50-1）（米）．答：该船在这段时间内的航程为50）米． 28．解：在Rt △ACD 中，∠ADC=90°，∠CAD=58°，CD=5米．∵tan ∠CAD=CDAD ， ∴AD=5tan tan 58CD CAD =∠︒≈3.12（米）．答：拉线下端点A 与杆底D 的距离AD 约为3.12米．。
人教版九年级数学下册第二十八章： 锐角三角函数 练习(含答案)
第二十八章 锐角三角函数一、单选题1．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=12，BC=5，则sinA 的值为（ ）A ．B ．C ．D ． 2．（2016甘肃省兰州市）在Rt △ABC 中，∠C =90°，sin A =35，BC =6，则AB =（ ） A ．4 B ．6 C ．8 D ．103．在Rt △ABC 中，∠C=90°，sinB=513，则tanA 的值为（ ） A ．513 B ．1213 C ．512 D ．1254．Rt ABC 中，C 90∠=，若BC 2=，AC 3=，下列各式中正确的是 ( ) A ．2sinA 3= B ．2cosA 3= C ．2tanA 3= D ．2cotA 3= 5．如图，过点C （﹣2，5）的直线AB 分别交坐标轴于A （0，2），B 两点，则tan ∠OAB=（ ）A ．25B ．23C ．52D ．326．如图，某超市自动扶梯的倾斜角 为 ，扶梯长 为 米，则扶梯高 的长为（ ）A．米B．米C．米D．米7．聊城流传着一首家喻户晓的民谣：“东昌府，有三宝，铁塔、古楼、玉皇皋．”被人们誉为三宝之一的铁塔，初建年代在北宋早期，是本市现存最古老的建筑．如图，测绘师在离铁塔10米处的点C测得塔顶A的仰角为α，他又在离铁塔25米处的点D测得塔顶A的仰角为β，若tanαtanβ＝1，点D，C，B在同一条直线上，那么测绘师测得铁塔的高度约为(参考≈3.162)()A．15.81米B．16.81米C．30.62米D．31.62米8．若某人沿坡角为α的斜坡前进100m，则他上升的最大高度是（）A．100 αm B．100sinαm C．100cosαm D．100 αm9．某水坝的坡度i=1，坡长AB=20米，则坝的高度为（）A．10米B．20米C．40米D．2010．如图，两建筑物的水平距离为32 m，从点A测得点C的俯角为30°，点D的俯角为45°，则建筑物CD的高约为()A．14 m B．17 m C．20 m D．22 m二、填空题11．2sin45°+2sin60°﹣＝_____． 12．在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =5，BC =3，则sin A = ．13．某同学沿坡比为1： 的斜坡前进了90米,那么他上升的高度是______米14．如图，在边长相同的小正方形网格中，点A 、B 、C 、D 都在这些小正方形的顶点上，AB 与CD 相交于点P ，则tan ∠APD 的值为______.三、解答题15．计算：|﹣2|﹣2cos60°+（16）﹣1﹣（π0． 16．如图，为了测得某建筑物的高度AB ，在C 处用高为1米的测角仪CF ，测得该建筑物顶端A 的仰角为45°，再向建筑物方向前进40米，又测得该建筑物顶端A 的仰角为60°．求该建筑物的高度AB ．（结果保留根号）17．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，∠C=45°，sinB=13，AD=1．（1）求BC的长；（2）求tan∠DAE的值．18．如图，为了测量出楼房AC的高度，从距离楼底C处D（点D与楼底C在同一水平面上）出发，沿斜面坡度为i=1的斜坡DB前进30米到达点B，在点B处测得楼顶A的仰角为53°，求楼房AC的高度（参考数据： 53°≈0.8， 53°≈0.6， 53°≈43，计算结果用根号表示，不取近似值）．答案1．D2．D3．D4．C5．B6．A7．A8．A9．A10．A1112．3513．4514．215．|﹣2|﹣2cos60°+（16）﹣1﹣（π﹣ ）0 =2﹣2×12+6﹣1 =6．16．解：设AM x =米，在Rt AFM ∆中，45AFM ︒∠=，∴FM AM x ==，在Rt AEM ∆中，AM tan EMAEM ∠=，则tan AM EM x AEM ==∠， 由题意得，FM EM EF -=，即40x x -=，解得，60x =+，∴61AB AM MB =+=+答：该建筑物的高度AB为(61+米．17．解：（1）在△ABC 中，∵AD 是BC 边上的高，∴∠ADB=∠ADC=90°。
人教版九年级下册第二十八章 《锐角三角函数》单元练习题(含答案)
人教版九年级下册第二十八章《锐角三角函数》单元练习题（含答案）一、选择题1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，那么cos A的值等于()A．B．C．D．2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，cos B＝，则BC的长为()A．4B．2C．D．3.已知∠A为锐角，且tan A＝，则∠A的取值范围是()A．0°＜∠A＜30°B．30°＜∠A＜45°C．45°＜∠A＜60°D．60°＜∠A＜90°4.把Rt△ABC各边的长度都缩小为原来的得Rt△A′B′C′，则锐角A、A′的余弦值之间的关系是()A．cos A＝cos A′B．cos A＝5cos A′C．5cos A＝cos A′D．不能确定5.Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，AC＝6 cm，那么BC等于()A．8 cmB．cmC．cmD．cm6.在△ABC中，∠C＝90°，已知tan A＝，则cos B的值等于()A．B．C．D．7.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，cos B＝，则BC的长为()A．B．4C．2D．58.已知∠A为锐角，且sin A＜，那么∠A的取值范围是()A．0°＜∠A＜30°B．30°＜∠A＜60°C．60°＜∠A＜90°D．30°＜∠A＜90°分卷II二、填空题9.在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝10，若△ABC的面积为，则∠A＝________.10.若tan (x＋10°)＝1，则锐角x的度数为__________．11.在△ABC中，∠C＝90°，如果tan B＝3，则cos A＝__________.12.如图，一天，我国一渔政船航行到A处时，发现正东方向的我领海区域B处有一可疑渔船，正在以20海里/小时的速度向西北方向航行，我渔政船立即沿北偏东60°方向航行，1.5小时后，在我领海区域的C处截获可疑渔船，我渔政船的航行路程是________海里．13.如图，某电视塔AB和楼CD的水平距离为100 m，从楼顶C处及楼底D处测得塔顶A的仰角分别为45°和60°，试求塔高为__________，楼高为__________．14.在Rt△ABC中，∠C＝90°，且tan A＝3，则cos B的值为__________．15.如图，将△ABC放在每个小正方形边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则tan A 的值是__________．16.△ABC中，∠C＝90°，cos ∠A＝0.3，AB＝10，则AC＝__________.三、解答题17.如图，某公园内有座桥，桥的高度是5米，CB⊥DB，坡面AC的倾斜角为45°，为方便老人过桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面DC的坡度为i＝∶3.若新坡角外需留下2米宽的人行道，问离原坡角(A点处)6米的一棵树是否需要移栽？(参考数据：≈1.414，≈1.732)18.课堂上我们在直角三角形中研究了锐角的正弦，余弦和正切函数，与此类似，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，把∠A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cot A＝.(1)若∠A＝45°，则cot 45°＝__________；若∠A＝60°，则cot 60°＝__________；(2)探究tan A·cot A的值．19.已知Rt△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，∠C＝90°，a：c＝2：3，求tan A 的值．20.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，a＝5，解这个直角三角形．21.如图1是一种折叠椅，忽略其支架等的宽度，得到他的侧面简化结构图(图2)，支架与坐板均用线段表示，若座板DF平行于地面MN，前支撑架AB与后支撑架AC分别与座板DF 交于点E、D，现测得DE＝20厘米，DC＝40厘米，∠AED＝58°，∠ADE＝76°.(1)求椅子的高度(即椅子的座板DF与地面MN之间的距离)(精确到1厘米)(2)求椅子两脚B、C之间的距离(精确到1厘米)(参考数据：sin 58°≈0.85，cos 58°≈0.53，tan 58°≈1.60，sin 76°≈0.97.cos 76°≈0.24，tan 76°≈4.00)第二十八章《锐角三角函数》单元练习题答案解析1.【答案】D【解析】∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝＝＝5.∴cos A＝＝，故选D.2.【答案】A【解析】如图，∵∠C＝90°，∴cos B＝，∴BC＝AB cos B＝6×＝4，故选A.3.【答案】C【解析】∵tan 45°＝1，tan 60°＝，锐角的正切值随角增大而增大，又1＜＜，∴45°＜∠A＜60°.故选C.4.【答案】【解析】∵Rt△ABC各边的长度都缩小为原来的得Rt△A′B′C′，∴Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，∴∠A＝∠A′，∴cos A＝cos A′.故选A.5.【答案】A【解析】∵Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，AC＝6 cm，∴tan A＝＝＝，解得BC＝8，故选A.6.【答案】A【解析】设BC＝2x，∵tan A＝，∴AC＝x，∴AB＝3，∴cos B＝＝，故选A.7.【答案】B【解析】∵cos B＝，∴BC＝AB·cos B＝6×＝4.故选B.8.【答案】A【解析】∵∠A为锐角，且sin 30°＝，又∵当∠A是锐角时，其正弦随角度的增大而增大，∴0°＜A＜30°，故选A.9.【答案】60°【解析】∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝10，若△ABC的面积为，∴S＝AC·BC＝，∴AC＝，∵tan A＝＝＝，∴∠A＝60°.10.【答案】20°【解析】∵tan (x＋10°)＝1，∴tan (x＋10°)＝＝，∴x＋10°＝30°，∴x＝20°.11.【答案】【解析】由tan B＝3，可以设∠B的对边是3k，邻边是k，则根据勾股定理，得斜边是k＝k，故cos A＝.12.【答案】30【解析】作CD⊥AB于点D，垂足为D，在Rt△BCD中，∵BC＝20×1.5＝30(海里)，∠CBD＝45°，∴CD＝BC·sin 45°＝30×＝15(海里)，则在Rt△ACD中，AC＝＝15×2＝30(海里)．13.【答案】100m(100－100)m【解析】设CD＝x m，则∵CE＝BD＝100，∠ACE＝45°，∴AE＝CE·tan 45°＝100.∴AB＝100＋x.在Rt△ADB中，∵∠ADB＝60°，∠ABD＝90°，∴tan 60°＝，∴AB＝BD，即x＋100＝100，∴x＝100－100，即楼高100－100 m，塔高100m.14.【答案】【解析】解法1：利用三角函数的定义及勾股定理求解．∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝3，设a＝3x，b＝x，则c＝x，∴cos B＝＝＝.解法2：利用同角、互为余角的三角函数关系式求解．又∵tan A＝＝3，∴sin A＝3cos A.又sin2A＋cos2A＝1，∴cos A＝.∵A、B互为余角，∴cos B＝sin (90°－B)＝sin A＝.15.【答案】【解析】作BD⊥AC于点D，∵BC＝2，AC＝＝3，点A到BC的距离为3，AB＝＝，∴＝，即＝，解得BD＝，∴AD＝＝＝2，∴tan A＝＝＝.16.【答案】3【解析】∵∠C＝90°，AB＝10，∴cos A＝＝＝0.3，∴AC＝3.17.【答案】解不需要移栽，理由：∵CB⊥AB，∠CAB＝45°，∴△ABC为等腰直角三角形，∴AB＝BC＝5米，在Rt△BCD中，新坡面DC的坡度为i＝∶3，即∠CDB＝30°，∴DC＝2BC＝10米，BD＝BC＝5米，∴AD＝BD－AB＝(5－5)米≈3.66米，∵2＋3.66＝5.66＜6，∴不需要移栽．【解析】根据题意得到三角形ABC为等腰直角三角形，求出AB的长，在直角三角形BCD中，根据新坡面的坡度求出∠BDC的度数为30，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半求出DC的长，再利用勾股定理求出DB的长，由DB－AB求出AD的长，然后将AD＋2与6进行比较，若大于则需要移栽，反之不需要移栽．18.【答案】解(1)由题意得：cot 45°＝1，cot 60°＝；(2)∵tan A＝，cot A＝，∴tan A·cot A＝·＝1.【解析】(1)根据题目所给的信息求解即可；(2)根据tan A＝，cotA＝，求出tan A·cot A的值即可．19.【答案】解设a＝2k，c＝3k.由勾股定理得b＝＝＝k.则tan A＝＝＝.【解析】设a＝2k，c＝3k，依据勾股定理可求得b的长度，然后依据锐角三角函数的定义解答即可．20.【答案】解在Rt△ABC中，∠B＝90°－∠A＝60°，∵tan B＝，∴b＝a×tan B＝5×tan 60°＝5，由勾股定理，得c＝＝10.【解析】直角三角形的两个锐角互余，并且Rt△ABC中，∠C＝90°则∠A＝90－∠B＝60°，解直角三角形就是求直角三角形中出直角以外的两锐角，三边中的未知的元素．21.【答案】解(1)如图，作DP⊥MN于点P，即∠DPC＝90°，∵DE∥MN，∴∠DCP＝∠ADE＝76°，则在Rt△CDP中，DP＝CD sin ∠DCP＝40×sin 76°≈39(cm)，答：椅子的高度约为39厘米；(2)作EQ⊥MN于点Q，∴∠DPQ＝∠EQP＝90°，∴DP∥EQ，又∵DF∥MN，∠AED＝58°，∠ADE＝76°，∴四边形DEQP是矩形，∠DCP＝∠ADE＝76°，∠EBQ＝∠AED＝58°，∴DE＝PQ＝20，EQ＝DP＝39，又∵CP＝CD cos ∠DCP＝40×cos 76°≈9.6(cm)，BQ＝＝≈24.4(cm)，∴BC＝BQ＋PQ＋CP＝24.4＋20＋9.6≈54(cm)，答：椅子两脚B、C之间的距离约为54 cm.【解析】(1)作DP⊥MN于点P，即∠DPC＝90°，由DE∥MN知，∠DCP＝∠ADE＝76°，根据DP＝CD sin ∠DCP可得答案；(2)作EQ⊥MN于点Q可得四边形DEQP是矩形，知DE＝PQ＝20，EQ＝DP＝39，再分别求出BQ、CP的长可得答案．人教版数学九年级下册第二十八章锐角三角函数 章末专题训练人教版数学九年级下册第二十八章锐角三角函数 章末专题训练一、选择题1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若将各边长度都扩大为原来的5倍，则∠A 的正弦值( D )A ．扩大为原来的5倍B ．缩小为原来的15C ．扩大为原来的10倍D ．不变2. 下列式子错误的是( D )A ．cos40°＝sin50°B ．tan15°·tan75°＝1 C.sin 225°＋cos 225°＝1 D ．sin60°＝2sin30°3. 如图所示，AB 为斜坡，D 是斜坡AB 上一点，斜坡AB 的坡度为i ，坡角为α，AC ⊥BM 于C ，下列式子：①i ＝AC ∶AB ；②i ＝(AC －DE)∶EC ；③i ＝tan α＝DE BE；④AC ＝i ·BC.其中正确的有( C )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4.河堤横断面如图所示，堤高BC ＝5米，迎水坡AB 的坡度是（坡度是坡面的铅直高度BC 与水平宽度AC 之比），则AC 的长是 （ A ） A.米B.米C. 15米D. 10米5.△ABC 在网格中的位置如图K －17－2所示(每个小正方形的边长都为1)，AD ⊥BC 于点D ，下列选项中，错误．．的是( C )图K－17－2A．sinα＝cosα B．tanC＝2C．sinβ＝cosβ D．tanα＝16.把Rt△ABC各边的长度都扩大3倍得到Rt△A′B′C′，那么锐角∠A、∠A′的余弦值的关系是( B )A．cosA＝cosA′B．cosA＝3cosA′C．3cosA＝cosA′D．不能确定7. 如图，要在宽为22米的九洲大道AB两边安装路灯，路灯的灯臂CD长2米，且与灯柱BC成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直。
精品解析2022年人教版九年级数学下册第二十八章-锐角三角函数综合测评试题(含详细解析)
人教版九年级数学下册第二十八章-锐角三角函数综合测评考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，则下列选项正确的是（）A．sin A＝34B．cos A＝45C．cos B＝34D．tan B＝352、在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，那么cos B的值等于（）A．34B．43C．45D．353、如图，用一块直径为4的圆桌布平铺在对角线长为4的正方形桌面上，若四周下垂的最大长度相等，则桌布下垂的最大长度x为（）A1B．2C．1D14、在科学小实验中，一个边长为30cm正方体小木块沿着一个斜面下滑，其轴截面如图所示．初始状态，正方形的一个顶点与斜坡上的点P重合，点P的高度PF＝40cm，离斜坡底端的水平距离EF＝80cm．正方形下滑后，点B的对应点B'与初始状态的顶点A的高度相同，则正方形下滑的距离（即AA'的长度）是（）cmA ．40B ．60C ．305D ．4055、如图①，5AB =，射线AM BN ∥，点C 在射线BN 上，将△ABC 沿AC 所在直线翻折，点B 的对应点D 落在射线BN 上，点P ，Q 分别在射线AM 、BN 上，PQ AB ∥．设AP x =，QD y =．若y 关于x 的函数图象（如图②）经过点()9,2E ，则cos B 的值等于（ ）A ．25B ．12C ．35D ．7106、将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折起，使顶点C 落在C ′处，若AB = 4，DE = 8，则sin∠C ′ED 为（ ）A ．2B ．12C D7、如图，为测量一幢大楼的高度，在地面上与楼底点O 相距30米的点A 处，测得楼顶B 点的仰角65OAB ︒∠=，则这幢大楼的高度为（ ）A ．30sin 65︒⋅米B ．30cos 65︒米 C ．30tan 65︒⋅米 D ．30tan 65︒米 8、如图，在ABC 中，135ABC ∠=︒，点P 为AC 上一点，且90PBA ∠=︒，12CP PA =，则tan APB ∠的值为（ ）A ．3B ．2C ．13D 9、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝5，BC ＝3，则sin A 的值是（ ）A B ．35C ．34D10、如图，过点O 、A (1，0)、B (0作⊙M ，D 为⊙M 上不同于点O 、A 的点，则∠ODA 的度数为（ ）A ．60°B ．60°或120°C ．30°D ．30°或150°第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，沿AE 折叠矩形纸片ABCD ，使点D 落在BC 边的点F 处．已知8AB =，10BC =，则tan EFC ∠的值为_____．2、助推轮椅可以轻松解决起身困难问题．如图1是简易结构图，该轮椅前⊙O 1和后轮⊙O 2的半径分别为0.6dm 和3dm ，竖直连接处CO 1＝1dm ，水平连接处BD 与拉伸装置DE 共线，BD ＝2dm ，座面GF 平行于地面且GF ＝DE ＝4.8dm ，HF 是轮椅靠背，∠ADE 始终保持角度不变．初始状态时，拉伸杆AD 的端点A 在点B 正上方且距地面2.2dm ，则tan∠ADB 的值为 _____．如图2，踩压拉伸杆AD ，装置随之运动，当AD 踩至与BD 重合时，点E ，F ，H 分别运动到点E '，F '，H '，此时座面GF '和靠背F 'H '连成一直线，点H 运动到最高点H '，且H '，F ，O 2三点正好共线，则H 'O 2的长为 _____dm ．3、如图所示，草坪边上有互相垂直的小路m，n，垂足为E，草坪内有一个圆形花坛，花坛边缘有A，B，C三棵小树．在不踩踏草坪的前提下测圆形花坛的半径，某同学设计如下方案：若在小路上P，Q，K三点观测，发现均有两树与观测点在同一直线上，从E点沿着小路n往右走，测得∠1＝∠2＝∠3，EQ＝16米，QK＝24米；从E点沿着小路m往上走，测得EP＝15米，BP⊥m，则该圆的半径长为_______米．4、如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以A为圆心，AC的长为半径画弧，得EC，连接AC，AE，则图中阴影部分的面积为________．5、如图所示，河堤的横断面是四边形ABCD，AD∥BC，2AD m，点A到BC的距离为4m，斜坡AB的坡度为1：3，斜坡CD的坡角为45°，则四边形ABCD的面积为__________．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，点B在x轴的负半轴上，点C在y轴的正半轴上，直线BC的解析式为y＝kx＋12（k≠0），AC⊥BC，线段OA的长是方程x2﹣15x﹣16＝0的根．请解答下列问题：（1）求点A、点B的坐标．（2）若直线l经过点A与线段BC交于点D，且tan∠CAD＝14，双曲线y＝mx（m≠0）的一个分支经过点D，求m的值．（3）在第一象限内，直线CB下方是否存在点P，使以C、A、P为顶点的三角形与△ABC相似．若存在，请直接写出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．2、如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，连结AC，BD交于点E，弦CF⊥BD于点G，连结AG，且满足∠1＝∠2．（1）求证：四边形AGCD为平行四边形．（2）设tan F＝x，tan∠3＝y，①求y关于x的函数表达式．②已知⊙O的直径为y＝34，点H是边CF上一动点，若AF恰好与△DHE的某一边平行时，求CH的长．③连结OG，若OG平分∠DGF，则x的值为．3、如图，建筑物BC上有一高为8m的旗杆AB，从D处观测旗杆顶部A的仰角为53︒，观测旗杆底部B 的仰角为45︒，则建筑物BC的高约为多少米？（结果保留小数点后一位）．（参考数据sin530.80︒≈，︒≈）cos530.60︒≈，tan53 1.334、如图，O的弦AB与直径CD交于点G，点C是优弧ACB的中点．（1）AG BG=（2）当AB也为O直径时，连接BC，点K是O内AB上方一点，过点K作KR BC⊥于点R，交OC于点M，连接KA，KC，2∠=∠求证：AKC KAB ABC∠-∠=∠KCB KAB（3）在（2）的条件下，过点B作BN AK∥交KR于点N，连接BK并延长交O于点E，2EK=，BR KN=，求O的半径．:10:135、如图，抛物线()()41y a x x =+-的图像与x 轴的交分别为点A 、点B ，与y 轴交于点C ，且tan 2CBA ∠=．（1）求抛物线解析式（2）点D 是对称轴左侧抛物线上一点，过点D 作DE AO ⊥于点E ，交AC 于点P ，32DP =，求点D 的坐标．（3）在（2）的条件下，连接AD 并延长交y 轴于点F ，点G 在AC 的延长线上，点C 关于x 轴的对称点为点H ，连接AH ，GF 、GH ，点K 在AH 上，GH AK AH =+，12KCH CAO ∠=∠，:3:4GF GH =，过点C 作CR GH ⊥，垂足为点R ，延长RC 交抛物线于点Q ，求点Q 坐标．---------参考答案----------- 一、单选题 1、B【分析】根据勾股定理求出AB，再根据锐角三角函数的定义求出sin A，cos A，cos B和tan B即可．【详解】解：由勾股定理得：5AB，所以3sin5BCAAB==，4cos5ACAAB==，cos35BCBAB==，4tan3ACBBC==，即只有选项B正确，选项A、选项C、选项D都错误．故选：B．【点睛】本题主要是考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理，熟练掌握每个锐角三角函数的定义，是求解该类问题的关键．2、D【分析】根据题意画出图形，求出AB的值，进而利用锐角三角函数关系求出即可．【详解】解：如图，∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，∴AB，∴cos B＝BCAB＝35．故选：D．【点睛】本题考查了三角函数的定义，熟知余弦函数的定义是解题关键．3、B【分析】作出图象，把实际问题转化成数学问题，求出弦心距，再用半径减弦心距即可．【详解】如图，正方形ABCD是圆内接正方形，4BD=，点O是圆心，也是正方形的对角线的交点，作OF BC⊥，垂足为F，∵直径4BD=，∴2OB=，又∵BOC是等腰直角三角形，由垂径定理知点F是BC的中点，∴BOF是等腰直角三角形，∴sin45OF OB=°∴2x EF OE OF==-=故选：B．【点睛】此题考查了垂径定理的应用，等腰直角三角形的判定和性质，正方形的性质，特殊角的三角函数值，解题的关键是根据题意作出图像，把实际问题转化成数学问题．4、B【分析】根据题意可得：A 与B '高度相同，连接AB '，可得AB EF '∥，利用平行线的性质可得：B AA PEF ''∠=∠，根据正切函数的性质计算即可得．【详解】解：根据题意可得：A 与B '高度相同，如图所示，连接AB '，∴AB EF '∥，∴B AA PEF ''∠=∠， ∴1tan tan 2PF B AA PEF EF ''∠=∠==， ∴301tan 2A B B AA AA AA ''''∠===''， ∴60AA '=，故选：B ．【点睛】题目主要考查平行线的性质及锐角三角函数解三角形，熟练掌握锐角三角函数的性质是解题关键．5、D【分析】由题意可得四边形ABQP是平行四边形，可得AP＝BQ＝x，由图象②可得当x＝9时，y＝2，此时点Q在点D下方，且BQ＝x＝9时，y＝2，如图①所示，可求BD＝7，由折叠的性质可求BC的长，由锐角三角函数可求解．【详解】解：∵AM∥BN，PQ∥AB，∴四边形ABQP是平行四边形，∴AP＝BQ＝x，由图②可得当x＝9时，y＝2，此时点Q在点D下方，且BQ＝x＝9时，QD=y＝2，如图①所示，∴BD＝BQ﹣QD＝x﹣y＝7，∵将△ABC沿AC所在直线翻折，点B的对应点D落在射线BN上，∴AC⊥BN，∴BC＝CD＝12BD＝72，∴cos B＝BCAB＝725＝710，故选：D．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，折叠的性质，锐角三角函数等知识．理解函数图象上的点的具体含义是解题的关键．6、B【分析】由折叠可知，C′D=CD=4，再根据正弦的定义即可得出答案．【详解】解：∵纸片ABCD是矩形，∴CD=AB，∠C=90°，由翻折变换的性质得，C′D=CD=4，∠C′=∠C=90°，∴41 sin82C DC EDED''∠===．故选：B．【点睛】本题可以考查锐角三角函数的运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边．7、C【分析】利用在Rt△ABO中，tan∠BAO＝OBAO即可解决．【详解】：解：如图，在Rt△ABO中，∵∠AOB ＝90°，∠A ＝65°，AO ＝30m ，∴tan 65°＝OB AO， ∴BO ＝30•tan 65°米．故选：C ．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟知正切函数为对边比邻边．8、A【分析】过点P 作PD∥AB 交BC 于点D ，因为135ABC ∠=︒，且90PBA ∠=︒，则tan∠PBD =tan45°=1，得出PB =PD ，再有12CP PA =，进而得出tan∠APB 的值． 【详解】 解：如图，过点P 作PD AB ∥交BC 于点D ，∴CPD CAB △∽△， ∴AC AB PC PD=,∵135ABC ∠=︒，且90PBA ∠=︒，∴∠PBD =45°，∴tan tan 451PBD ∠=︒=，∴PB PD =，又∵12CP PA =， ∴3AC PC=， ∴tan 3AB AB AC APB PB PD PC∠====． 故选A ．【点睛】 本题主要考查了相似三角形的性质与判定，解直角三角形，解题的关键在于能够正确作出辅助线进行求解．9、A【分析】先根据银河股定理求出AB ，根据正弦函数是对边比斜边，可得答案．【详解】解：如图，∵∠C ＝90°，AC ＝5，BC ＝3，∴AB ==∴sinBC A AB == 故选：A ．【点睛】本题考查了锐角三角函数，利用正弦函数是对边比斜边是解题关键．10、D【分析】连接AB ，先利用正切三角函数可得30OBA ∠=︒，再分点D 在x 轴上方的圆弧上和点D 在x 轴下方的圆弧上两种情况，分别利用圆周角定理、圆内接四边形的性质求解即可得．【详解】解：如图，连接AB ，(1,0),A B ，1,OA OB ∴==90AOB ∠=︒，∴在Rt AOB 中，tanOA OBA OB ∠== 30OBA ∴∠=︒，由题意，分以下两种情况：（1）如图，当点D 在x 轴上方的圆弧上时，由圆周角定理得：30OBAODA∠∠==︒；（2）如图，当点D在x轴下方的圆弧上时，由圆内接四边形的性质得：180150OD BAA O∠=︒-∠=︒；综上，ODA∠的度数为30或150︒，故选：D．【点睛】本题考查了正切、圆周角定理、圆内接四边形的性质等知识点，正确分两种情况讨论是解题关键．二、填空题1、34．【解析】【分析】根据折叠的性质和锐角三角函数的概念来解答即可．【详解】解：根据题意可得：在Rt ABF ∆中，有8AB =，10AF AD ==则在ABF ∆中，6BF =，90AFE D ∠=∠=︒，BAF EFC ∴∠=∠，B C ∠=∠，∴Rt ABF Rt EFC ，EFC BAF ∴∠=∠， 故63tan tan 84EFC BAF ∠=∠==． 故答案是：34．【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．2、 310； 7； 【解析】【分析】根据题意求得A 到BD 的距离h ，进而根据正切的定义可得tan h h ADB BD AD∠==;如图2，过点H '作H K GF '⊥交GF 的延长线于点K ，解直角三角形GKH '即可解决问题 【详解】解：拉伸杆AD 的端点A 在点B 正上方且距地面2.2dm ，BD ＝2dm ，⊙O 1半径分别为0.6dm ，竖直连接处CO 1＝1dm ，设A 到BD 的距离为h ，则()2.20.610.6h =-+=dmtan h h ADB BD AD ∠==0.63210== 如图1，连接2O F ，过点2O 作2O M GF ⊥，24.8,3FG O F ==1 2.42FM FG ∴==2Rt MFO 中2 1.8O M == 2 1.83tan 2.44MFO ∴∠== ∠ADE 始终保持角度不变． ∴ADB E DE '∠=∠GF ＝DE ，//GF DE∴四边形GFED 是平行四边形 装置运动后，//GF DE ''E DEF GE ''∴∠=∠如图2，过点H '作H K GF '⊥交GF 的延长线于点K ，则23tan tan 4H FK MFO '∠=∠= 设3H K x '=，则4FK x =，5FH x '=， 3tan tan tan 10H GK E DE ADB ''∴∠=∠=∠= 334 4.810x x =+ 解得0.8x =3 2.4,4 3.2KH x FK x '∴==== 54FH x '∴==2347O H OF FH ''∴=+=+= 故答案为：310，7【点睛】本题考查了垂径定理，解直角三角形的应用，两图中有一个角是相等的，找到这个角的并求得它的正切值为310是解题的关键． 3、253##183【解析】【分析】设圆心为O ，过点C 作CF n ⊥，连接OC 交AB 于点D ，//,//BE QA PA n ，根据题意可证明四边形PEFD 是矩形，进而求得PB ,证明ABC QKC ∽，根据tan 2tan 1tan PBE ∠=∠=∠求得DC ，设O 的半径为r ,在Rt OAD 中，222OD DA AO +=，勾股定理即可求解【详解】如图，设圆心为O ，过点C 作CF n ⊥，连接OC 交AB 于点D ，根据题意,m n PB M ⊥⊥//PB n ∴在小路上P ，Q ，K 三点观测，发现均有两树与观测点在同一直线上，且∠1＝∠2，//,//BE QA PA n ∴16AB EQ ∴==∠2＝∠3，//BA QKA CBA ∴∠=∠CB CA ∴=OC AB ∴⊥182BD AD AB ∴=== ,,O C F ∴三点共线∴四边形PEFD 是矩形2=3,CF QK ∠∠⊥1122QF QK ∴== 161228EF EQ QF ∴=+=+=28820PB PD BD EF BD ∴=-=-=-=//AB QKABC QKC ∴∽AB DC QK CF ∴=162243== 23CF DC ∴= //PB n1=PBE ∴∠∠153tan 2tan 1tan 204PBE ∴∠=∠=∠== 3tan 24CF QF ∴∠== 12QF =9CF ∴=2963DC ∴=⨯= 设O 的半径为r ,在Rt OAD 中，222OD DA AO +=则()22268r r -+= 解得253r =故答案为：253【点睛】本题考查了两点确定一条直线，三角函数，垂径定理，勾股定理，相似三角形的性质与判定，矩形的性质，等边对等角，理清各线段长，并添加辅助线是解题的关键．4、2π【解析】【分析】由正六边形ABCDEF 的边长为2，可得AB =BC =2，∠ABC =∠BAF =120°，进而求出∠BAC =30°，∠CAE =60°，过B 作BH ⊥AC 于H ，由等腰三角形的性质和含30°直角三角形的性质得到AH =CH ，BH =1，在Rt △ABH 中，由勾股定理求得AH AC 的面积【详解】解：∵正六边形ABCDEF 的边长为2，()6218021206AB BC ABC BAF -⨯︒∴==∠=∠==︒， =120°，∵∠ABC +∠BAC +∠BCA =180°，∴∠BAC =12（180°-∠ABC ）=12×（180°-120°）=30°，过B 作BH ⊥AC 于H ，∴AH =CH ，BH =12AB=12×2=1，在Rt △ABH 中，AH =∴AC ，同理可证，∠EAF =30°，∴∠CAE =∠BAF -∠BAC -∠EAF =120°-30°-30°=60°，∴(260?2360CAE S ππ==扇形∴图中阴影部分的面积为2π，故答案为：2π．【点睛】本题考查的是正六边形的性质和扇形面积的计算、等腰三角形的性质、勾股定理，掌握扇形面积公式是解题的关键．5、40 m 2【解析】【分析】过A 作AE ⊥BC 于E ，DF ⊥BC 与F ，先证四边形AEFD 为矩形，得出AE =DF =4m ，AD =EF =2m ，根据斜坡AB的坡度为1：3，求出BE =3AE =3×4=12m，根据斜坡CD 的坡角为45°，求出CF =DF =4m ，再求BC =BE +EF +FC =18m ，然后利用梯形面积公式计算即可．【详解】解：过A 作AE ⊥BC 于E ，DF ⊥BC 与F ，∴∠AEF =∠DFE =90°，∵AD ∥BC ，∴∠ADF +∠DFE =180°，∴∠ADF =180°-∠DFE =180°-90°=90°，∴∠AEF =∠DFE =∠ADF =90°，∴四边形AEFD 为矩形，∴AE =DF =4m ，AD =EF =2m ，∵斜坡AB 的坡度为1：3，∴tan∠ABE =13AEBE ， ∴BE =3AE =3×4=12m，∵斜坡CD 的坡角为45°，∴tan∠C =1DF CF=， ∴CF =DF =4m ，∴BC =BE +EF +FC =12+2+4=18m ，∴四边形ABCD 的面积为()()211421840m 22AE AD BC +=⨯⨯+=． 故答案为40 m 2．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，坡度，坡角，斜坡，锐角正切函数，矩形判定与性质，梯形面积公式，掌握解直角三角形的应用，坡度，坡角，斜坡，锐角正切函数，矩形判定与性质，梯形面积公式，关键是利用辅助线把梯形问题转化为直角三角形和矩形来解．三、解答题1、（1）A（16，0），B（-9，0）；（2）-24；（3）存在，（16，12）或（25，12）或（32，643）或（288384,2525）【解析】【分析】（1）解一元二次方程x2﹣15x﹣16＝0，对称点A（16，0），根据直线BC的解析式为y＝kx＋12，求出与y轴交点C为（0，12），利用三角函数求出tan∠BCO= tan∠OAC=3=4OBOC，求出OB=3312944OC=⨯=即可；（2）过点D作DE⊥y轴于E，DF⊥x轴于F，利用勾股定理求出AC20 =，BC=，根据三角函数求出tan∠CAD＝1204CD CDAC==，求出12054CD=⨯=，利用三角函数求出DE= CD sin∠BCO=3535⨯=，再利用勾股定理求出点D（-3，8）即可；（3）过点A作AP1与过点C与x轴平行的直线交于P1，先证四边形COAP1为矩形，求出点P1（16，12），再证△P1CA∽△CAB，作P2A⊥AC交CP1延长线于P2，可得∠CAP2=∠BCA=90°，∠P2CA=∠CAB，可证△CAP2∽△ACB，先求三角函数值cos∠CAO=164205COAC==，再利用三角函数值cos∠P2CA= cos∠CAO= 222045ACCP CP==，求出225CP=，得出点P2（25,12）作∠P3CA=∠OCA，在射线CP3截取CP3=CO=12，连结AP3，先证△CP3A≌△COA（SAS）再证△P3CA∽△CAB，设P3（x，y）利用勾股定理列方程()()22222216161212x y y x ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，解方程得出点P 3（2883842525，），延长CP 3与延长线交P 4，过P 4作PH ⊥x 轴于H ，先证△CAP 4∽△ACB ，再证△P 4P 3A ≌△P 4HA （ASA ），利用cos∠P 3CA =34123205PC CACA CP ===，求得4510033CA CP ==即可．【详解】解：（1）x 2﹣15x ﹣16＝0，因式分解得()()1610x x -+=， 解得12161x x ==-，，点A 在x 轴的正半轴上，OA =16，∴点A （16，0），∵直线BC 的解析式为y ＝kx ＋12，与y 轴交点C 为（0，12），∴tan∠OAC =123=164，∠OCA +∠OAC =90°， ∵AC ⊥BC ，∴∠BCO +∠OCA =90°，∴∠BCO =∠OAC ，∴tan∠BCO = tan∠OAC =3=4OB OC ， ∴OB =3312944OC =⨯=，∴点B （-9，0）；（2）过点D 作DE ⊥y 轴于E ，DF ⊥x 轴于F ，在Rt △AOC 中，AC20==，在Rt △BOC 中，∵tan∠CAD ＝1204CD CD AC ==， ∴12054CD =⨯=，∵sin∠BCO =93155OB BC ==， ∴DE = CD sin∠BCO =3535⨯=，∴CE 4=，OE =OC -EC =12-4=8， ∴点D （-3，8），∵双曲线y ＝m x（m ≠0）的一个分支经过点D ， ∴3824m xy ==-⨯=-;（3）过点A 作AP 1与过点C 与x 轴平行的直线交于P 1， 则∠CP 1A =∠P 1CO =∠COA =90°，∴四边形COAP 1为矩形，∴点P 1（16，12），当点P 1（16,12）时，CP 1∥OA，∠P 1CA =∠CAB ，∠ACB =∠CP 1A ，∴△P 1CA ∽△CAB ，作P 2A ⊥AC 交CP 1延长线于P 2，∵∠CAP 2=∠BCA =90°，∠P 2CA=∠CAB， ∴△CAP 2∽△ACB ，∴cos∠CAO =164205CO AC ==， ∴cos∠P 2CA = cos∠CAO =222045AC CP CP ==，∴225CP =，∴点P 2的横坐标绝对值=225CP =，纵坐标的绝对值=OC=12， ∴点P 2（25,12），作∠P 3CA =∠OCA ，在射线CP 3截取CP 3=CO =12，连结AP 3， 在△CP 3A 和△COA 中，33CP CO PCA OCA CA CA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△CP 3A ≌△COA （SAS ），∴AP 3=OA =16， ∴33124164,155205CP P A CB CA ====， ∴3334,905CP P A CP A BCA CB CA ==∠=∠=︒ ∴△P 3CA ∽△CAB ，设P 3（x ，y ）()()22222216161212x y y x ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩， 整理得22223224x y x y x y⎧+=⎨+=⎩， 解得：2882538425x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴点P 3（2883842525，）， 延长CP 3与延长线交P 4，过P 4作PH ⊥x 轴于H ， ∵∠P 4CA =∠CAB ，∠P 4AC =∠BAC =90°， ∴△CAP 4∽△ACB ， ∵∠BAC +∠HAP4=∠CAP 3+∠P 3AP 4=90°，∠CAP 3=∠BAC ， ∴∠HAP4=∠P 3AP 4， ∠P 4P 3A =180°-∠CP 3A =180°-90°=90°=∠P 4HA ， 在△P 4P 3A 和△P 4HA 中， 34444434P AP HAP AP AP P P A P HA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， △P 4P 3A ≌△P 4HA （ASA ）， ∴AP 3=AH =16，P 3P 4=P 4H ，∵cos∠P 3CA =34123205PC CACA CP ===， ∴4510033CA CP ==，∴43443100641233P H P P CP CP ==-=-=，OH =OA +AH =OA +AP 3=16+16=32， ∴点464323P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，， 综合直线CB 下方，使以C 、A 、P 为顶点的三角形与△ABC 相似．点P 的坐标（16，12）或（25,12）或64323⎛⎫ ⎪⎝⎭，或(2883842525，)．【点睛】本题考查一元二次方程的解法，直线与y 轴的交点，反比例函数解析式，锐角三角形函数，勾股定理，三角形全等判定与性质，矩形判定与性质，三角形相似，图形与坐标，解方程组，本题难度大，综合性强，涉及知识多，利用动点作出准确图形是解题关键．2、（1）见解析；（2）①y =1x 2．②245或185．③1或2 【解析】【分析】（1）由直径所对的圆周角是直角，得∠ADB =∠DGC =90°，证明AD∥CG ；根据∠1=∠2=∠ACD ，证明AG∥CD ；根据平行四边形的定义判定即可；（2）①如图1，过点A 作AP ⊥CF 于点P ，根据AD ∥CF ，得AF =DC ，四边形APGD 是矩形，△APF≌△DGC，从而得到CG=GP=PF=AD，设CG=GP=PF=AD=a，DE=EG=b，则GF=2a，GD=2b，BG=CG GF GD=2a b ，在Rt△BGC中，tan∠3＝y=CGGB，在Rt△APF中，tan F＝x=APPF，消去a，b即可；②运用勾股定理，确定a，b的值，显然DE与AF是不平行的，故分DH∥AF和EH∥AF两种情形计算即可．③过点O作OM⊥CF于点M，过点O作ON⊥BD于点N，根据OG平分∠DGF，OM=ON，于是BD=CF，从而确定a，b之间的数量关系，代入计算即可．【详解】（1）∵AB是⊙O的直径，弦CF⊥BD于点G，∴∠ADB=∠DGC=90°，∴AD∥CG；∵∠1=∠2=∠ACD，∴AG∥CD；∴四边形AGCD为平行四边形；（2）①如图1，过点A作AP⊥CF于点P，则四边形ADGP是矩形∵四边形AGCD为平行四边形∴AD∥CF，AD=CG，DE=EG，∠DAC=∠ACF∴AF=DC，AP=DG，∴△APF≌△DGC，∴CG=GP=PF=AD，设CG=GP=PF=AD=a，DE=EG=b，则GF=2a，CF=3a，GD=2b，∵BG GD CG GF⋅=⋅，∴BG=CG GFGD=2ab，在Rt△BGC中，tan∠3＝y=CGGB=2baa⨯=ba，在Rt△APF中，tan F＝x=APPF=2ba，消去a，b即可；∴x=2y，∴y关于x的函数表达式为y=1x2；②∵tan∠3＝y=CGGB=2baa⨯=ba，y＝34，∴ba＝34，∴b＝34 a，∴GD=2b=32 a，∴BG=2ab=43a，∴BD =DG +BG =43a +32a =176a ，∵AB 222AD BD AB +=，∴22217()6a a +=， 解得a =125； 显然DE 与AF 是不平行的，如图2，当DH ∥AF 时，∵AD ∥FH ，∴四边形ADHF 是平行四边形，∴AD =FH =a ，∴CH =2a =245；如图3，当EH ∥AF 时，∵四边形AGCD是平行四边形，∴AE=EC，∴H是CF的中点，∵CF=3a=365，∴CH=185；故CH的长为245或185；③如图4，过点O作OM⊥CF于点M，过点O作ON⊥BD于点N，∵OG平分∠DGF，∴OM=ON，∴BD=CF，∴3a=2b+2ab，整理，得2232a ab b-+=0，解得a=b或a=2b，∵tan F＝x=APPF=2ba，当a=b时，x=2ba=2，当a=2b时，x=2ba=1，故答案为：1或2．【点睛】本题考查了圆的基本性质，圆心角，弦，弦心距之间的关系，圆周角的性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质，三角形函数，因式分解，熟练掌握圆的基本性质，灵活掌握三角函数的计算，分类思想是解题的关键．3、建筑物BC的高约为24.2米【解析】【分析】先根据等腰直角三角形的判定与性质可得BC CD =，设m BC CD x ==，从而可得(8)m AC x =+，再在Rt ACD △中，利用正切三角函数解直角三角形即可得．【详解】解：由题意得：AC CD ⊥，8m AB =，53ADC ∠=︒，45BDC ∠=︒，Rt BCD ∴是等腰直角三角形，BC CD ∴=，设m BC CD x ==，则(8)m AC x =+，在Rt ACD △中，tan AC ADC CD∠=，即8tan 53 1.33x x +=︒≈， 解得24.2(m)x ≈，经检验，24.2(m)x ≈是所列分式方程的解，且符合题意，∴建筑物BC 的高约为24.2米，答：建筑物BC 的高约为24.2米．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．4、（1）见详解；（2）见详解；（3）OA =【解析】【分析】（1）连结OA 、OB ，根据点C 是优弧ACB 的中点．得出AC BC =，得出圆心角相等，得出∠AOD =180°-∠AOC =180°-∠BOC =∠BOD ，根据等腰三角形性质即可得出AG =BG ；（2）作∠KCB 的平分线交AB 于H ，连结AC ，CK 与AB 交于L ，根据AB ，CH 为直径，AB ⊥CD ，可得AC BC =，∠ACB =90°，得出∠ABC =∠BAC =45°，根据CH 平分∠KCB ，得出∠KCH =∠HCB =11222KCB KAB KAB ∠=⨯∠=∠，可得∠AKL =180°-∠KAL -∠KLA =180°-∠ACH -∠HLC =∠LHC ，利用∠LHC为△HCB 的外角得∠LHC =∠ABC +∠HCB =∠KAB +∠BAC =∠AKC 即可；（3）连结AE ，RK 与AB 交于P ，延长BN 交AC 与Q ，根据CH 平分∠KCB ，得出∠KCS =∠BCS =∠KAB ，根据BN∥AK ，可得∠EKA =∠EBN ，∠KAB =∠ABN ，可证∠BKR =∠SCB ，再证∠KBA =∠NBC ，求出∠EKA =45°，根据等腰三角形性质与勾股定理AE =KE =2，AK=，再证四边形AQNK为平行四边形，可得AK =QN =AQ =KN ,设BR =10m ，KN =13m ，BN =x ，先证△PNB ∽△BNK ，PN BN BN KN =，即213BN BN x PN KN m⋅==，再根据勾股定理Rt △BNR 中，根据勾股定理222+BN NR BR =，求出x =，然后证明△AQB ∽△BNK ，AQ BQ BN KN =即BQ BN AQ KN ⋅=⋅，解得m =△BNR ∽△BQC ，可得1026m BR BQ BC BN ⋅==即可． 【详解】（1）证明：连结OA ，OB∵点C 是优弧ACB 的中点．∴AC BC =，∴∠AOC =∠BOC ，∴∠AOD =180°-∠AOC =180°-∠BOC =∠BOD ，∵OA=OB，∴OG 平分AB ，∴AG =BG ；（2）作∠KCB的平分线交AB于H，连结AC，CK与AB交于L，∵AB，CH为直径，AB⊥CD，∵AC BC=，∠ACB=90°，∴∠ABC=∠BAC=45°，∵CH平分∠KCB，∴∠KCH=∠HCB，∵2KCB KAB∠=∠∴∠KCH=∠HCB=11222KCB KAB KAB∠=⨯∠=∠，∵∠KLA=∠HLC，∴∠AKL=180°-∠KAL-∠KLA=180°-∠ACH-∠HLC=∠LHC，∵∠LHC为△HCB的外角，∴∠LHC=∠ABC+∠HCB=∠KAB+∠BAC=∠AKC，∴∠AKC-∠KAB=∠BAC即AKC KAB ABC∠-∠=∠（3）连结AE，RK与AB交于P，延长BN交AC与Q，∵CH平分∠KCB，∴∠KCS=∠BCS=∠KAB，∵BN∥AK，∴∠EKA=∠EBN，∠KAB=∠ABN，∵∠AKL=∠LHC=∠HBC+∠HCB=∠KAB+∠BAC=∠KAC，∴AC=KC=BC，∵CH平分∠KCB，∴CS⊥BK，BS=KS，∴∠SCB+∠SBC=90°，∵KR⊥BC，∴∠RKB+∠RBK=90°，∵∠CBS=∠KBR，∵AC=BC，∠ACB=90°，∴∠ABC=∠BAC=45°，∴∠BPR=45°=∠RKB+∠ABP=∠ABN+∠NBC，∵∠RKB=∠ABN，∴∠KBA=∠NBC，∴∠EBN=45°，∴∠EKA=45°，∵∠AEK=90°，∴∠EAK=90°-∠EKA=45°∴AE=KE=2，AK=∵KR⊥BC，∠ACB=90°，∴AC∥KR，AK∥BQ，∴四边形AQNK为平行四边形，∴AK=QN=AQ=KN,设BR=10m，KN=13m，BN=x，∴AQ=KN=13m，∵∠PBN=∠BKN，∠PNB=∠BNK，∴△PNB∽△BNK，∴PN BNBN KN=，即213BN BN xPNKN m⋅==，∵PR⊥BC，∠PBR=45°∴NR =PR -PN =10m-213x m, 在Rt △BNR 中，根据勾股定理222+BN NR BR = 即()2222101013x x m m m ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ ∴2422222010010013169x x x m m m =-++ 整理得4224429338000x m x m -+=，解得22325x m =舍去，22104x m =∴x =∵PN∥AQ，∴∠BNP =∠BQA ，∠BPN =∠BAQ ，∴△PNB ∽△AQB ，∴△AQB ∽△BNK ，AQ BQ BN KN=即BQ BN AQ KN ⋅=⋅∴(2169x x m +=∴22169x m += ∴2x = ∴222104m =解得m =∴NR∥QC ，∴∠BNR =∠BQC ，∠BRN =∠BCQ ，∴△BNR ∽△BQC ，∴BN BR BQ BC =即1026m BR BQ BC BN ⋅===， ∴AB =BC=，∴OA =1122AB =⨯=【点睛】本题考查等腰三角形性质，角平分线定义，三角形外角性质，等腰直角三角形判定与性质，三角形相似判定与性质，直径所对圆周角性质，勾股定理，一元高次方程，锐角三角函数，本题难度大，综合性强，图形复杂，利用辅助线构造准确图形，是中考压轴题，掌握多方面知识是解题关键．5、（1）213222y x x =--+；（2）(3,2)D -；（3）325(,)28Q -【解析】【分析】（1）根据tan 2CBA ∠=求出点C 的坐标，把点C 的坐标代入()()41y a x x =+-即可求出a ，即可得出抛物线解析式；（2）先求直线AC 解析式，设23,2)12(2D m m m -+-，则可表示点P 坐标，y 值相减即可得出答案； （3）作CAO ∠的角平分线为AM ，作MN AC ⊥交于点N ，过点K 作KT y ⊥轴交于点T ，由（2）得点D 坐标，求出直线AD 解析式，令0x =，求出F 点坐标，由对称得出点H 坐标，求出直线AH 的解析式，求出AK 、AH 的值，可得GF 、FG ，FH 满足勾股定理，即FG HG ⊥，求出点G 坐标，得出直线FG 解析式，即可得出直线CR 解析式，与抛物线解析式联立，即可求出点Q 的坐标．【详解】（1）由题得：(4,0)A -，(1,0)B ，∴1OB =，∵tan 2CBA ∠=， ∴2OC OB=，即2OC =， ∴(0,2)C ，把(0,2)C 代入()()41y a x x =+-得：12a =-， ∴抛物线解析式为：()()2141213222y x x x x =--=-++-； （2）设直线AC 的解析式为y kx b =+，把(4,0)A -，(0,2)C 代入得：402k b b -+=⎧⎨=⎩， 解得：122k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴直线AC 的解析式为122y x =+， 设23,2)12(2D m m m -+-，则1(,2)2P m m +， ∴2213113(2)(2)222222m m m m m --+-+=--=， 解得：3m =-或1m =-， ∵213222y x x =--+的对称轴为直线332122()2x -=-=-⨯-，点D 是对称轴左侧抛物线上一点， ∴3m =-， ∴2132222m m --+=， ∴(3,2)D -；（3）如图，作CAO ∠的角平分线为AM ，作MN AC ⊥交于点N ，过点K 作KT y ⊥轴交于点T ，由(4,0)A -，(3,2)D -得直线AD 解析式为28y x =+，∴AC =()0,8F ，∵H 是点C 的对称点，∴(0,2)H -，由(4,0)A -，(0,2)H -得直线AH 解析式为122y x =--，∴AH AC ==设(0,)M t ，1(,2)2T n n --，则OM MN t ==，2CM t =-，4CN AC AN AC OA =-=-=，2224)(2)t t +=-，解得：8t =， ∵12KCH CAO ∠=∠，∴KCT MAO ∠=∠，∵90CTK AOM ∠=∠=︒，∴CTK AOM ，CT KT AO MO =，即12(2)24n ++=解得：n =，122n --=K ， 由题知：HTK HOA ，∴HK KT HA AO =54=，解得：8HK =，∴8)8AK ==-∴88GH AK AH =+=-=，∵:3:4GF GH =，∴6GF =，∵8210FH =+=，∴FGH 是直角三角形， 设1(,2)2G x x +，11681022FGH S x =⨯⨯=⨯， 解得：245x =， 122225x +=， ∴2422(,)55G ， 由()0,8F ，2422(,)55G 得直线FG 的解析式为384y x =-+， ∵CR GH ⊥，∴CR FG ∥，∴直线CR 解析式为34y x c =-+，把(0,2)C 代入得：324y x =-+，232413222y x y x x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=--+⎪⎩， 解得：02x y =⎧⎨=⎩或32258x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴325(,)28Q -． 【点睛】本题考查二次函数综合问题，还涉及了解直角三角形以及相似三角形的判定与性质，属于中考压轴题，掌握用待定系数法求解析式是解题的关键．。