函数极限的定义与基本性质

函数极限的定义与基本性质
本章主要阐述函数的定义与基本性质，其中，最为重要的函数的极限的模型来自于对自由落体运动，由平均速度，
h
gt h t g 2
221)(21-+（1） 求解瞬时速度，也就是说要考察上述函数（1）中h （注意，t 是固定的），当h 无限变小时，它的变化趋势，也就是看它是否无限接近于一个数。

首先看到，这个函数在0=h 是没有定义的，但至少在包含0的一个开区间（0点除外）有定义，h 不等于0的时候，有
gh gt h gt h t g 2
121)(2122+=-+ 当{}h 很小的时候，左边的函数值与右边的函数值的差也很小，而且当h 无限接近于0的时候，左边的函数值也无限接近于gt 。

接下来，把“接近”、“无限”等语言精确化，便得到我们所要的函数极限概念的定义：
1.1定义： 设)(x f 在0x 点附近（除0x 点以外）有定义，A 是一定数，若对任意给定的0>ε，存在0>δ，当δ<-<00x x 的时候，有
ε<-A x f )(，
则称A 是函数)(x f 当x 趋于0x 的时候的极限，记为
A x f x x =→)(lim 0
或者记为： A x f →)( （0x x →）
1.2 定理： 若
B x g x x A x f x x =→=→)(lim ,)(lim 00，则 （1）
B A x g x f x x ±=±→))()((lim 0 （2）
B A x g x f x x •=•→))()((lim 0 （3）B
A x g x f x x =→)()(lim 0 1.3 推论： 若
A x f x x =→)(lim 0，c 为常数，则 []cA x cf x x =→)(lim 0
1.4 局部有界性定理：
若 A x f x x =→)(lim 0
，则存在0>δ，使得)(x f 在 ),(),(0000δδ+⋃-x x x x 上有界。

1.5 局部保号性定理：
A x f x x =→)(lim 0
>0, 则存在0>δ,当δ<-<00x x 的时候， 有： 02)(>>
A x f 1.6定理：
若
0)(lim 0=→x f x x ，且存在0>δ，)(x g 在),(),(0000δδ+⋃-x x x x 上有界，则
0)()(lim 0
=→x g x f x x
1.7 局部保序性：
若 B x g x x A x f x x =→=→)(lim ,)(lim 0
0，且B A >，则存在0>δ，当δ<-<00x x 的时候，)()(x g x f >。

1.8 极限不等式：
若存在0>δ，当δ<-<00x x 的时候，有)()(x g x f ≤，且B x g x x A x f x x =→=→)(lim ,)(lim 0
0，则B A ≤。

1.9极限唯一式：
若极限 )(lim 0
x f x x →存在，则极限是唯一的。

2.0夹迫性：
若存在0>δ，当δ<-<00x x 的时候，有)()()(x h x g x f ≤≤，并且 A x h x x x f x x =→=→)(lim )(lim 0
0，则
A x g x x =→)(lim 0 2.1 海涅定理：
A x f x x =→)(lim 0
的充分必要条件是对任意的以0x 为极限的数列{}n x ，且0x x n ≠（n=1,2,3........），都有A x f x n =∞
→)(lim 。

海涅定理深刻的揭示了函数极限与数列极限的关系，正确的理解这个定理，有助于理解变量的连续变化和离散变化之间的关系，从而进一步理解函数极限的概念。

2.2定理： 设)(u f 在0u 点附近)(0u u ≠有定义，且 A u f u u =→)(lim 0，而)(x g u =在0x 点附近（0x x ≠）有定义，0)(u x g ≠且00
)(lim u x g x x =→，则A x g f x x =→))((lim 0。