2019年北京市怀柔区高考数学一模试卷(理科)
2019年北京市怀柔区高考数学一模试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）．1．（5分）若集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|1≤x≤3}，则A∩B＝（）A．（﹣1，2）B．[1，2）C．[1，3]D．（﹣1，3] 2．（5分）复数＝（）A．﹣i B．i C．﹣1﹣i D．﹣1+i3．（5分）设x，y满足约束条件，则z＝2x﹣y的最大值为（）A．1B．3C．5D．94．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入x＝10，则输出y的值为（）A．3B．6C．D．5．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱长为（）A．B．C．3D．6．（5分）若函数f（x）＝2x﹣2﹣x，则f（x）（）A．是奇函数，且在R上是增函数B．是偶函数，且在R上是增函数C．是奇函数，且在R上是减函数D．是偶函数，且在R上是减函数7．（5分）知，是两个非零向量，则“＝”是“||＝||且”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）某学习小组，调查鲜花市场价格得知，购买2只玫瑰与1只康乃馨所需费用之和大于8元，而购买4只玫瑰与5只康乃馨所需费用之和小于22元．设购买2只玫瑰花所需费用为A元，购买3只康乃馨所需费用为B元，则A，B的大小关系是（）A．A＞B B．A＜BC．A＝B D．A，B的大小关系不确定二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分．）9．（5分）已知抛物线y2＝2px的准线方程为x＝﹣1，则p＝．10．（5分）若{a n}是等比数列，且公比q＝4，a1+a2+a3＝21，则a n＝．11．（5分）函数f（x）＝sin x cos x+cos2x的最小正周期是，f（x）的取值范围是．12．（5分）在极坐标系中，曲线ρ＝2cosθ上的点到点（1，π）距离的最大值为．13．（5分）设a，b，c是任意实数，能够说明“若c＜b＜a且ac＜0，则ab＜ac”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为．14．（5分）我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”，是程序化寻求精确分数来表示数值的算法．其理论依据是：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为和（a，b，c，d∈N*），则是x的更精确的不足近似值或过剩近似值．已知π＝3.14159…，令，则第一次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值，即，若每次都取最简分数，那么第四次用“调日法”后可得π的近似分数为．三、解答题（共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．）15．（13分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，，．（Ⅰ）求边c的值；（Ⅱ）若，求△ABC的面积．16．（14分）已知三棱锥P﹣ABC中，P A⊥平面ABC，AB⊥AC，P A＝AC＝AB＝2，N为AB上一点，AB＝4AN，M，S分别为PB，BC的中点．（Ⅰ）证明：CM⊥SN；（Ⅱ）求直线SN与平面CMN所成角的大小；（Ⅲ）求二面角B﹣NC﹣M大小的余弦值．17．（13分）某大型企业为鼓励员工利用网络进行营销，准备为员工办理手机流量套餐．为了解员工手机流量的使用情况，通过抽样，得到100位员工每人手机月平均使用流量L （单位：M）的数据，其频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）从该企业的员工中随机抽取3人，求这3人中至多有1人手机月流量不超过900M 的概率；（Ⅱ）据了解，某网络运营商推出两款流量套餐，详情如下：套餐名称月套餐费（单位：元）月套餐流量（单位：M）A20700B301000流量套餐的规则是：每月1日收取套餐费．如果手机实际使用流量超出套餐流量，则需要购买流量叠加包，每一个叠加包（包含200M的流量）需要10元，可以多次购买，如果当月流量有剩余，将会被清零．该企业准备订购其中一款流量套餐，每月为员工支付套餐费，以及购买流量叠加包所需月费用．若以所需费用的数学期望为决策依据，该企业订购哪一款套餐更经济？18．（13分）已知函数f（x）＝lnx﹣ax（a∈R）．（Ⅰ）当a＝2时，求f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若对于任意的x∈（0，+∞），都有f（x）＜0，求a的取值范围．19．（13分）已知椭圆E：＝1（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），点B（0，b）满足|FB|＝2．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）过点F作直线l交椭圆E于M，N两点，若△BFM与△BFN的面积之比为2，求直线l的方程．20．（14分）设集合W由满足下列两个条件的数列{a n}构成：①；②存在实数M，使a n≤M．（n为正整数）（Ⅰ）在只有5项的有限数列{a n}、{b n}中，其中a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝4，a5＝5；b1＝1，b2＝4，b3＝5，b4＝4，b5＝1，试判断数列{a n}、{b n}是否为集合W中的元素；（Ⅱ）设{c n}是等差数列，S n是其前n项和，c3＝4，S3＝18，证明数列{S n}∈W；并写出M的取值范围；（Ⅲ）设数列{d n}∈W，且对满足条件的常数M，存在正整数k，使d k＝M．求证：d k+1＞d k+2＞d k+3．2019年北京市怀柔区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）．1．（5分）若集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|1≤x≤3}，则A∩B＝（）A．（﹣1，2）B．[1，2）C．[1，3]D．（﹣1，3]【考点】1E：交集及其运算．【专题】11：计算题；37：集合思想；49：综合法；5J：集合．【分析】进行交集的运算即可．【解答】解：∵A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|1≤x≤3}；∴A∩B＝[1，2）．故选：B．【点评】考查描述法、区间的定义，以及交集的运算．2．（5分）复数＝（）A．﹣i B．i C．﹣1﹣i D．﹣1+i【考点】A5：复数的运算．【专题】11：计算题．【分析】据所给的复数的表示形式，进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理出最简形式，化简复数为a+bi（a、b∈R）形式．【解答】解：复数＝故选：C．【点评】本题考查复数的代数形式的运算和复数的基本概念，本题解题的关键是整理出复数的代数形式的最简形式，本题是一个基础题．3．（5分）设x，y满足约束条件，则z＝2x﹣y的最大值为（）A．1B．3C．5D．9【考点】7C：简单线性规划．【专题】11：计算题；31：数形结合；49：综合法；5T：不等式．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．【解答】解：由z＝2x﹣y得y＝2x﹣z作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线y＝2x﹣z由图象可知当直线y＝2x﹣z过点A时，直线y＝2x﹣z的截距最小，此时z最大，由，解得A（2，﹣1）．代入目标函数z＝2x﹣y，得z＝2×2+1＝5，∴目标函数z＝2x﹣y的最大值是5．故选：C．【点评】本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．4．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入x＝10，则输出y的值为（）【考点】EF：程序框图．【专题】11：计算题；27：图表型；4B：试验法；5K：算法和程序框图．【分析】根据已知中的程序框图可得，该程序的功能是利用循环，计算并输出变量y的值，模拟程序的运行过程，可得输出结果．【解答】解：当输入的x值为10时，y＝x﹣1＝4，此时|y﹣x|＝6，不满足退出循环的条件，继续执行循环，此时x＝4，y＝1；当x＝4，y＝1时，|y﹣x|＝3，不满足退出循环的条件，继续执行循环，此时x＝1，y＝﹣；当x＝1，y＝﹣时，|y﹣x|＝，不满足退出循环的条件，继续执行循环，此时x＝﹣，y＝﹣；当x＝﹣，y＝﹣时，|y﹣x|＝＜1，满足退出循环的条件，故输出结果为﹣．故选：D．【点评】本题考查的知识点是程序框图，当程序的运行次数不多时，我们可以采用模拟程序运行的方法进行解答，但要注意对变量值的分析．5．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱长为（）【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】5F：空间位置关系与距离．【分析】如图所示，该几何体为三棱锥P﹣ABC．过点P作PO⊥平面ABC，垂足为O 点，连接OB，OC，则四边形ABOC为平行四边形．OA⊥OB．【解答】解：如图所示，该几何体为三棱锥P﹣ABC．过点P作PO⊥平面ABC，垂足为O点，连接OB，OC，则四边形ABOC为平行四边形．OA ⊥OB．则最长棱为PC＝＝3．故选：C．【点评】本题考查了三棱锥的三视图、勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．（5分）若函数f（x）＝2x﹣2﹣x，则f（x）（）A．是奇函数，且在R上是增函数B．是偶函数，且在R上是增函数C．是奇函数，且在R上是减函数D．是偶函数，且在R上是减函数【考点】3E：函数单调性的性质与判断；3K：函数奇偶性的性质与判断．【专题】29：规律型；51：函数的性质及应用．【分析】根据函数奇偶性的定义验证f（﹣x）＝f（x）是否成立，可得函数的奇偶性；当x1＜x2时，判断f（x1）与f（x2）的大小，可得函数的单调性．【解答】解：∵x∈R，f（﹣x）＝2﹣x﹣2x＝﹣f（x）∴函数f（x）为奇函数；∵f（x1）﹣f（x2）＝﹣﹣（﹣）＝（﹣）（1+），∴当x1＜x2时，﹣＜0，则f（x1）＜f（x2），∴函数f（x）在R上是增函数．故选：A．【点评】本题考查了函数单调性与奇偶性的判断与证明，利用定义判断函数的单调性与奇偶性是基本方法，一定要熟练掌握．7．（5分）知，是两个非零向量，则“＝”是“||＝||且”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】38：对应思想；4O：定义法；5L：简易逻辑．【分析】根据向量相等的定义结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：若“＝”则||＝||且”成立，即充分性成立，反之若反向共线时，满足“||＝||且”，但“＝”不成立，即“＝”是“||＝||且”的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合向量共线的定义是解决本题的关键．8．（5分）某学习小组，调查鲜花市场价格得知，购买2只玫瑰与1只康乃馨所需费用之和大于8元，而购买4只玫瑰与5只康乃馨所需费用之和小于22元．设购买2只玫瑰花所需费用为A元，购买3只康乃馨所需费用为B元，则A，B的大小关系是（）A．A＞B B．A＜BC．A＝B D．A，B的大小关系不确定【考点】72：不等式比较大小．【专题】11：计算题；33：函数思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．【分析】根据题意列出x、y所满足的关系式，以及x、y与A、B的关系，进而消去x、y，得到A、B的关系式，最后利用不等式的性质求解即可．【解答】解：由题意得，2x＝A，3y＝B，整理得x＝，y＝，，将A+＞8乘以﹣2与2A+B＜22相加，解得B＜6，将B＜6代入A＞8﹣中，解得A＞6，故A＞B，故选：A．【点评】本题考查利用函数知识解决应用题以及解不等式的有关知识．新高考中的重要的理念就是把数学知识运用到实际生活中，如何建模是解决这类问题的关键．二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分．）9．（5分）已知抛物线y2＝2px的准线方程为x＝﹣1，则p＝2．【考点】K8：抛物线的性质．【专题】34：方程思想；4O：定义法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由已知结合抛物线的直线方程列式求得p值．【解答】解：由抛物线y2＝2px，得直线方程为x＝﹣，由题意，，得p＝2．故答案为：2．【点评】本题考查抛物线的简单性质，是基础题．10．（5分）若{a n}是等比数列，且公比q＝4，a1+a2+a3＝21，则a n＝4n﹣1．【考点】88：等比数列的通项公式．【专题】11：计算题；38：对应思想；4R：转化法；54：等差数列与等比数列．【分析】根据等比数列的通项公式先求出首项，即可求出【解答】解：{a n}是等比数列，且公比q＝4，a1+a2+a3＝21，则a1+4a1+16a1＝21，解得a1＝1，∴a n＝4n﹣1，故答案为：4n﹣1【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式公式，考查了整体运算思想，属基础题．11．（5分）函数f（x）＝sin x cos x+cos2x的最小正周期是π，f（x）的取值范围是[]．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；H1：三角函数的周期性．【专题】35：转化思想；49：综合法；57：三角函数的图象与性质．【分析】利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性和值域，得出结论．【解答】解：函数f（x）＝sin x cos x+cos2x＝sin2x+cos2x＝sin（2x+）的最小正周期是＝π，根据正弦函数的值域可得f（x）＝sin（2x+）∈[﹣]，故答案为：π；[﹣]．【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性和值域，属于基础题．12．（5分）在极坐标系中，曲线ρ＝2cosθ上的点到点（1，π）距离的最大值为3．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【专题】11：计算题；5S：坐标系和参数方程．【分析】将曲线和点的极坐标化为直角坐标后可得．【解答】解：由ρ＝2cosθ得ρ2＝2ρcosθ得（x﹣1）2+y2＝1，表示圆心为（1，0）半径为 1 的圆，点（1，π）的直角坐标为（﹣1，0），所以所求距离得最大值为2+1＝3．故答案为：3．【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．13．（5分）设a，b，c是任意实数，能够说明“若c＜b＜a且ac＜0，则ab＜ac”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为1，0，﹣1．【考点】2K：命题的真假判断与应用．【专题】38：对应思想；4O：定义法；5L：简易逻辑．【分析】根据不等式的关系判断出a＞0，c＜0，b任意，利用特殊值法进行判断即可．【解答】解：若c＜b＜a且ac＜0，则a＞0，c＜0，b任意，则取a＝1，b＝0，c＝﹣1，则满足条件，但ab＜ac不成立，故答案为：1，0，﹣1．【点评】本题主要考查命题的真假判断，利用特殊值法是解决本题的关键．比较基础．14．（5分）我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”，是程序化寻求精确分数来表示数值的算法．其理论依据是：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为和（a，b，c，d∈N*），则是x的更精确的不足近似值或过剩近似值．已知π＝3.14159…，令，则第一次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值，即，若每次都取最简分数，那么第四次用“调日法”后可得π的近似分数为．【考点】F1：归纳推理．【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5M：推理和证明．【分析】利用“调日法”进行计算，即可得出结论．【解答】解：第二次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值，即＜π＜；第三次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值，即＜π＜，第四次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值，即＜π＜，故答案为：【点评】本题考查“调日法”，考查学生的计算能力，比较基础．三、解答题（共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．）15．（13分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，，．（Ⅰ）求边c的值；（Ⅱ）若，求△ABC的面积．【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【专题】15：综合题；34：方程思想；49：综合法；58：解三角形．【分析】（Ⅰ）由正弦定理化简已知的式子，由条件求出c的值；（Ⅱ）由条件和余弦定理列出方程，化简后求出b的值，由平方关系求出sin C的值，代入三角形的面积公式求出答案．【解答】解：（Ⅰ）因为a＝，，所以由正弦定理得c＝a＝4…（4分）（Ⅱ）因为c＝4，，所以由余弦定理得，c2＝a2+b2﹣2ab cos C，则化简，b2﹣2b﹣8＝0，解得b＝4或b＝﹣2（舍去），由得，，所以△ABC面积…（10分）【点评】本题考查正弦定理、余弦定理，平方关系，以及三角形面积公式的应用，属于中档题．16．（14分）已知三棱锥P﹣ABC中，P A⊥平面ABC，AB⊥AC，P A＝AC＝AB＝2，N为AB上一点，AB＝4AN，M，S分别为PB，BC的中点．（Ⅰ）证明：CM⊥SN；（Ⅱ）求直线SN与平面CMN所成角的大小；（Ⅲ）求二面角B﹣NC﹣M大小的余弦值．【考点】MI：直线与平面所成的角；MJ：二面角的平面角及求法．【专题】31：数形结合；41：向量法；5G：空间角．【分析】（Ⅰ）以A为原点，AB，AC，AP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，分别求得＝（2，﹣2，1），＝（﹣1，﹣1，0），由数量积为0即可证明CM⊥SN；（Ⅱ）求出平面CMN的一个法向量，及向量的坐标，求得|cos＜a，＞|，即可得到直线SN与平面CMN所成角为45°；（Ⅲ）分别求出平面BNC与平面MNC的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角B﹣NC﹣M大小的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：以A为原点，AB，AC，AP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则P（0，0，2），C（0，2，0），B（4，0，0），M（2，0，1），N（1，0，0），S（2，1，0），∴＝（2，﹣2，1），＝（﹣1，﹣1，0），∵＝2×（﹣1）+（﹣2）×（﹣1）+1×0＝0，∴CM⊥SN；（Ⅱ）解：＝（1，﹣2，0），设＝（x，y，z）为平面CMN的一个法向量，则，令y＝1，则x＝2，z＝﹣2．∴＝（2，1，﹣2）．∵|cos＜，＞|＝，∴直线SN与平面CMN所成角为45°；（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知平面CMN的一个法向量＝（2，1，﹣2），又平面BNC的法向量＝（0，0，1），且二面角B﹣NC﹣M为锐角，∴|cos＜＞|＝．∴二面角B﹣NC﹣M大小的余弦值为．【点评】本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及应用，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．17．（13分）某大型企业为鼓励员工利用网络进行营销，准备为员工办理手机流量套餐．为了解员工手机流量的使用情况，通过抽样，得到100位员工每人手机月平均使用流量L （单位：M）的数据，其频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）从该企业的员工中随机抽取3人，求这3人中至多有1人手机月流量不超过900M 的概率；（Ⅱ）据了解，某网络运营商推出两款流量套餐，详情如下：套餐名称月套餐费（单位：元）月套餐流量（单位：M）A20700B301000流量套餐的规则是：每月1日收取套餐费．如果手机实际使用流量超出套餐流量，则需要购买流量叠加包，每一个叠加包（包含200M的流量）需要10元，可以多次购买，如果当月流量有剩余，将会被清零．该企业准备订购其中一款流量套餐，每月为员工支付套餐费，以及购买流量叠加包所需月费用．若以所需费用的数学期望为决策依据，该企业订购哪一款套餐更经济？【考点】B8：频率分布直方图；CH：离散型随机变量的期望与方差．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5I：概率与统计．【分析】（Ⅰ）利用对立事件概率计算公式能求出100位员工每人手机月平均使用流量不超过900M的概率为0.9，从该企业的员工中随机抽取3人，可以近似看作独立重复试验，至多1个可分为恰有1人和没有人超过900M，设事件A为“3人中至多有1人手机月流量不超过900M”，由此能求出事件A的概率P（A）．（Ⅱ）若该企业选择A套餐，设一个员工所需要费用为X，则X可能取值为20，30，40，求出X的分布列和E（X）；若该企业选择B套餐，设一个员工所需费用为Y，则Y可能为30，40，求出Y的分布列和E（Y），从而企业订购A套餐更经济．【解答】解：（Ⅰ）由题意100位员工每人手机月平均使用流量不超过900M的概率为：1﹣（0.0002+0.0008）×100＝0.9，从该企业的员工中随机抽取3人，可以近似看作独立重复试验，至多1个可分为恰有1人和没有人超过900M，设事件A为“3人中至多有1人手机月流量不超过900M”，则P（A）＝+＝0.028．（Ⅱ）若该企业选择A套餐，设一个员工所需要费用为X，则X可能取值为20，30，40，X的分布列为：X203040P0.30.60.1E（X）＝20×0.3+30×0.6+40×0.1＝28，若该企业选择B套餐，设一个员工所需费用为Y，则Y可能为30，40，则Y的分布列为：Y3040P0.980.02E（Y）＝30×0.98+40×0.02＝30.2．∴企业订购A套餐更经济．【点评】本题考查概率的作法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法及应用，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18．（13分）已知函数f（x）＝lnx﹣ax（a∈R）．（Ⅰ）当a＝2时，求f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若对于任意的x∈（0，+∞），都有f（x）＜0，求a的取值范围．【考点】6E：利用导数研究函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】33：函数思想；4R：转化法；53：导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）当a＝2时，f（x）＝lnx﹣2x，求出函数导函数，得到f′（1）＝﹣1，进一步求得f（1）＝﹣2，利用直线方程点斜式得答案；（Ⅱ）f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）＝，当a≤0时，可得函数在（0，+∞）上单调递增，结合f（1）＝﹣a≥0，可知不合题意；当a＞0时，求出f（x）的最大值为f（）＝ln﹣1，由最大值小于0列式求解a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a＝2时，f（x）＝lnx﹣2x，∴f′（x）＝，则f′（1）＝﹣1，又f（1）＝﹣2，∴f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y+2＝﹣（x﹣1），即x+y+1＝0；（Ⅱ）f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）＝．当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增，又f（1）＝﹣a≥0，不合题意；当a＞0时，当0＜x＜时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当x＞时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．∴函数f（x）在x＝时求得最大值为f（）＝ln﹣1．∵对于任意的x∈（0，+∞），都有f（x）＜0，∴直线＜0，即a＞．∴a的取值范围是（）．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求函数的最值，考查数学转化思想方法，是中档题．19．（13分）已知椭圆E：＝1（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），点B（0，b）满足|FB|＝2．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）过点F作直线l交椭圆E于M，N两点，若△BFM与△BFN的面积之比为2，求直线l的方程．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】34：方程思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（I）由题意可得：c＝1，a＝2＝，解得b．可得椭圆E的方程．（II）由题意可得直线l的斜率存在，设直线l的方程为：y＝k（x﹣1），M（x1，y1），N （x2，y2）．与椭圆方程联立化为：（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0，由△BFM与△BFN的面积之比为2，可得|FM|＝2|FN|，即＝2，与根与系数的关系联立即可得出．【解答】解：（I）由题意可得：c＝1，a＝2＝，解得b＝．∴椭圆E的方程为：+＝1．（II）由题意可得直线l的斜率存在，设直线l的方程为：y＝k（x﹣1），M（x1，y1），N （x2，y2）．联立，化为：（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0，x1+x2＝，①x1x2＝，②∵△BFM与△BFN的面积之比为2，∴|FM|＝2|FN|，即＝2，可得：x1﹣1＝2（1﹣x2），可得：x1+2x2＝3，③．①②③联立可得：x1＝，x2＝，代入③解得：k＝±．∴直线l的方程为：y＝（x﹣1）．【点评】本题考查了椭圆标准方程及其性质、弦长公式、三角形面积计算公式、平面向量运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．（14分）设集合W由满足下列两个条件的数列{a n}构成：①；②存在实数M，使a n≤M．（n为正整数）（Ⅰ）在只有5项的有限数列{a n}、{b n}中，其中a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝4，a5＝5；b1＝1，b2＝4，b3＝5，b4＝4，b5＝1，试判断数列{a n}、{b n}是否为集合W中的元素；（Ⅱ）设{c n}是等差数列，S n是其前n项和，c3＝4，S3＝18，证明数列{S n}∈W；并写出M的取值范围；（Ⅲ）设数列{d n}∈W，且对满足条件的常数M，存在正整数k，使d k＝M．求证：d k+1＞d k+2＞d k+3．【考点】12：元素与集合关系的判断；83：等差数列的性质；R6：不等式的证明．【专题】11：计算题；14：证明题．【分析】（Ⅰ）要判断数列不为集合中的元素，只需要在数列中找一个元素不是集合中的元素即可．要判断数列为集合中的元素，需要严格证明，对于数列{b n}，当nÎ{1，2，3，4，5}时，看数列{b n}是否满足集合W的条件①②即可．（Ⅱ）是证明题．要证明数列{S n}∈W，首先利用题中的条件：{c n}是等差数列，S n是其前n项和，c3＝4，S3＝18确定出数列{S n}，然后再证明满足①②即可．（Ⅲ）也是证明题．要求证d k+1＞d k+2＞d k+3，数列{d n}∈W所以满足W的两个条件，得到．整理得d k+2＜d k+1+（d k+1﹣d k）＝d k+1+（d k+1﹣M），因为d k＝M，得到d k+1≤M，即d k+2＜d k+1；又因为，得到d k+3＜d k+2+（d k+2﹣d k+1）＜d k+2，整理可得证．【解答】解：（Ⅰ）对于数列{a n}，当n＝1时，＝a2，显然不满足集合W的条件①，故{a n}不是集合W中的元素．（2分）对于数列{b n}，当n＝{1，2，3，4，5}时，不仅有，，，而且有b n≤5，显然满足集合W的条件①②，故{b n}是集合W中的元素．（4分）（Ⅱ）∵{c n}是等差数列，S n是其前n项和，c3＝4，S3＝18，设其公差为d，∴c3﹣2d+c3﹣d+c3＝18，∴d＝﹣2∴c n＝c3+（n﹣3）d＝﹣2n+10，S n＝﹣n2+9n（7分）∵，∴；∵，∴S n的最大值是S4＝S5＝20，即S n≤S4＝20．∴{S n}∈W，且M的取值范围是[20，+∞）（9分）（Ⅲ）证明：∵{d n}∈W，∴，整理d k+2＜d k+1+（d k+1﹣d k）＝d k+1+（d k+1﹣M），∵d k＝M，∴d k+1≤M，∴d k+2＜d k+1；又∵，∴d k+3＜d k+2+（d k+2﹣d k+1）＜d k+2，∴d k+1＞d k+2＞d k+3．（14分）【点评】此题考查运用题中定义的函数解决问题的能力，以及数列与集合关系的判断．第21页（共21页）。
怀柔区高三一模数学试卷及答案理科 (1)
怀柔区高三一模数学试卷及答案理科
找一部古代言小说是不，是穿越的已经忘记了只，是一开始主不要嫁给那，个主想要逃有关磁力异，能穿越的小说我想写穿，越小说希望大家给些＜，要正反角都要］托求一，部穿越言小说穿越王小，说如果有的我求几本小，说穿越的主一开始有喜，欢的还为了这个伤害了，主但后来喜欢主求一篇，耽小说穿越到架空的古，代的世界夫给捡到了一，本很久以前的穿越小说，主很和一滚被窝尸另外，一个的也回来了她在床，上十分纠结一部动漫很，多内容都记清了之记得，一只猫变的小时候被男，照顾还救了她一命记清，了如吃低脂肪的鱼类以，及多喝脱脂奶多吃含丰，富纤维质及热量较低的，蔬菜如韭菜冬瓜黄瓜想，减肥记得使用红色餐具，哟红色餐具有助减肥餐，具颜色会影响减肥效果，吗《食欲》杂志刊登一，项最新研究宣称使用红，色餐具可提高减肥效果，在由德国和瑞士科学家，联合完成的这项新研究，中名男性参试者被要求，使用贴有红色或蓝色标，签的杯子喝茶结果发现，使用红色茶杯的时候参，试者饮茶量减少了%在，研究的第二阶段科学家
使用红色蓝色或白色盘，子向名参试者发放脆饼，干结果发现使用红盘子，的参试者吃的饼干最少，科学家还发现由于红色，通常与“危险”“禁止，”或“停止”等密切相，关因此红色餐具可以帮，助减肥者少吃或避免零，食节后消脂方案大盘点，多喝乌龙茶茶叶具有消，腻减肥延年益寿的作用，还有消食下气泻热清神，生津止渴利尿解毒等
功，效尤其是乌龙茶玉米须，代茶饮以开水冲泡干净，玉米须(干品-克)当，茶喝不仅对过度肥胖者，有效对一些高血压患者，也有效果多喝绿豆海带，汁取绿豆海带各克每日，一剂煮食肥胖者常服可，减肥降脂多喝瓜菜汤平，时可以灵活选用一些常，见果蔬如冬瓜黄瓜萝卜，豆芽山楂黑木耳嫩豆腐，等轮换按家常用量做成，瓜菜汤喝久之多可获得，减肥效果当然寒凉底子，的朋友不宜多饮养成饭，前喝汤的习惯。
北京市怀柔区高三一模数学试题(解析版)
北京市怀柔区高三一模数学试题一、单项选择题1．集合{1,0,1,2},{|03}A B x x =-=<<，那么图中阴影局部的集合为〔 〕A ．{}1-B ．{1,2}C ．{1,0}-D ．{0,1,2}【答案】B【分析】根据维恩图分析阴影局部，利用集合的交集计算即可. 【详解】由维恩图可知，阴影局部为集合{1,2}A B =.应选：B.2．在复平面内，复数12,z z 对应的点的关于实轴对称，假设12z i =+，那么12z z ⋅=〔 〕 A ．2i - B ．5C 5D ．3【答案】B【分析】根据共轭复数的性质即可求解.【详解】因为复数12,z z 对应的点的关于实轴对称， 所以12,z z 互为共轭复数， 所以222121||215z z z ⋅==+=， 应选：B3．在5(21)x -的展开式中，2x 的系数为〔 〕 A ．20 B ．20- C ．40- D ．40【答案】C【分析】根据二项式展开式的通项求2x 的系数.【详解】由题得()521x -的展开式的通项为555155(2)(1)(1)2.rrr rr r r r T C x C x ---+=-=-令5-r =2,那么r =3,所以2x 的系数为33535(1)240.C --=-故答案为：C4．曲线22153x y -=与曲线22135x y -=的〔 〕A ．焦距相等B ．实半轴长相等C ．虚半轴长相等D ．离心率相等【答案】A【分析】根据双曲线的标准方程求出c 即可得出结论.【详解】由双曲线22153x y -=可知，225,3a b ==，2538c =+=，由双曲线22135x y -=可知2223,5,538a b c '''===+=，所以焦距相等，实半轴长不相等，虚半轴长不相等，离心率不相等. 应选：A5．要得到函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 2y x =的图象〔 〕 A ．向右平移6π个 B ．向右平移3π个C ．向左平移3π个D ．向左平移6π个 【答案】D【分析】直接根据三角函数的图象平移规那么得出正确的结论即可； 【详解】解：函数sin 2sin 236y x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， ∴要得到函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 2y x =的图象向左平移6π个． 应选：D ．【点睛】此题考查三角函数图象平移的应用问题，属于根底题． 6．某四棱柱的三视图如下列图，该几何体的体积为〔 〕A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】C【分析】先复原几何体，再根据直四棱柱体积公式求解. 【详解】解：由三视图复原原几何体如下列图：该几何体为直四棱柱，底面为直角梯形，那么其体积为122262+⨯⨯=． 应选：C ．7．“0a =〞是直线(1)(1)20()a x a y a a R ++-+=∈与圆224x y +=相交的〔 〕 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．即不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据直线与圆相交的判定，充分条件，必要条件即可求解【详解】当0a =时，直线为0x y -=，过圆心(0,0)，故直线与圆224x y +=相交， 当直线(1)(1)20()a x a y a a R ++-+=∈与圆224x y +=相交时，圆心到直线的距离222(1)(1)d a a =<++-，化简得220a +>，显然恒成立，不能推出0a =，所以“0a =〞是直线(1)(1)20()a x a y a a R ++-+=∈与圆224x y +=相交的充分不必要条件， 应选：A8．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，假设528a a =，那么以下式子中的数值不能确定的是〔 〕A ．53a aB ．53 S SC ．1n na a +D ．1n nS S + 【答案】D【分析】根据的等式变形，利用等比数列的性质求出公比q 的值，然后分别根据等比数列的通项公式及前n 项和公式，即可找出四个选项中数值不能确定的选项．【详解】解：因为528a a =，所以3528a q a ==，所以2q ，所以2534a q a ==，12n n a q a +==，()()11111121212 121212n n n n n n a S S a +++---==---，所以()()5155333112123112 1271212a S S a ---===--- 应选：D9．函数2log (0)()3(0)x x x f x x >⎧=⎨⎩，且关于x 的方程()f x x a =-+恰有两个互异的实数解，那么实数a 的取值范围为〔 〕 A ．(,1)-∞ B ．(,1]-∞C ．(1,2)D ．(1,)+∞【答案】B【分析】当0x ≤时，031x <≤，当0x >时，2log x R ∈，由题意可得，函数()y f x =与直线y x a =-+有两个交点，数形结合求得实数a 的范围．【详解】方程()f x x a =-+恰有两个互异的实数解，转化为()y f x =与y x a =-+的图象有2个不同的交点，作函数()y f x =与y x a =-+的图象如下，由图可知，当1a ≤时，方程()f x x a =-+恰有两个互异的实数解. 应选：B【点睛】关键点点睛：方程根的个数转化为两个函数图象交点的个数，作出图象是解决问题的关键，属于中档题．10．形状､节奏､声音或轨迹，这些现象都可以分解成自复制的结构.即相同的形式会按比例逐渐缩小，并无限重复下去，也就是说，在前一个形式中重复出现被缩小的相同形式，依此类推，如下列图，将图1的正三角形的各边都三等分，以每条边中间一段为边再向外做一个正三角形，去掉中间一段得到图2，称为“一次分形〞；用同样的方法把图2中的每条线段重复上述操作，得到图3，称为“二次分形〞；依次进行“n 次分形〞，得到一个周长不小于初始三角形周长100倍的分形图，那么n 最小值是〔 〕(取lg30.4771,lg 20.3010≈≈)A ．15B ．16C ．17D ．18【答案】C【分析】根据分形的变化规律，得出一条长为a 线段n 次分形后变为长为43na ⎛⎫ ⎪⎝⎭的折线，建立不等关系，利用对数求解即可.【详解】设正三角形的一条边长为a ，“一次分形〞后变为长为43a的折线， “二次分形〞后折线长度为243a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，⋯“n 次分形〞后折线长度为43na ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以得到一个周长不小于初始三角形周长100倍的分形图，只需满足41003na a ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，两边同时取常用对数得：4lg lg10023n ≥=， 即得：(2lg 2lg3)2n -≥， 解得2216.012lg 2lg30.60200.4771n ≥=≈--，故至少需要17次分形， 应选：C.【点睛】关键点点睛：仔细读题，弄懂分形变化的规律，即正三角形的一条边长为a ，“一次分形〞后变为长为43a 的折线，“二次分形〞后折线长度为243a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，⋯“n 次分形〞后折线长度为43na ⎛⎫ ⎪⎝⎭是解题的关键.二、填空题11．函数()122log 1y x x =+-的定义域为______.【答案】[0,1)【分析】根据函数解析式，列出不等式组求解即可. 【详解】因为函数()122log 1y x x =+-，所以010x x ≥⎧⎨->⎩解得01x ≤<，所以函数定义域为[0,1)，故答案为：[0,1)12．假设抛物线C 顶点在原点，焦点在y 轴上，且过点(2,1)，那么C 的标准方程是___________. 【答案】24x y =【分析】利用待定系数法求出抛物线方程即可；【详解】解：因为抛物线C 顶点在原点，焦点在y 轴上，故设抛物线方程为2x my =，又抛物线过点(2,1)，所以22m =，即4m =，所以抛物线方程为24x y = 故答案为：24x y =13．在ABC 中，12,1,cos 4a b A ===，那么c =___________. 【答案】2【分析】直接利用余弦定理计算可得； 【详解】解：因为12,1,cos 4a b A ===，2222cos a b c bc A =+-，所以222121214c c =+-⨯⨯⨯解得2c =或32c 〔舍去〕故答案为：214．假设函数()sin cos()f x x x ϕ=-+的一个零点为6x π=，那么常数ϕ的一个取值为___________. 【答案】6π【分析】根据零点的概念及特殊角的三角函数值即可求解. 【详解】因为函数()sin cos()f x x x ϕ=-+的一个零点为6x π=，所以1()cos()0626f ππϕ=-+=，即1cos()62πϕ+=，所以6π=ϕ时，满足条件，6π=ϕ是常数ϕ的一个取值.故答案为：6π15．如图，在直角梯形ABCD 中，//,,2,1,(0)AB CD AB BC AB CD BC a a ⊥===>，P 为线段AD 上一个动点，设,AP xAD PB PC y =⋅=，对于函数()y f x =给出以下四个结论：①当2a =时，函数()f x 的值域为[1,4]； ②(0,)a ∀∈+∞，都有(1)1f =成立；③(0,)a ∀∈+∞，函数()f x 的最大值都等于4； ④0,()a ∃∈+∞，函数()f x 的最小值为负数. 其中所有正确结论的序号是___________. 【答案】②③④【分析】先利用垂直建立坐标系，根据长度写点的坐标，再化简函数()()222()144f x a x a x =+-++，利用二次函数性质依次判断四个选项的正误即得结果.【详解】建立如图坐标系，根据题意，()()()()2,0,0,0,0,,1,A B C a D a ，()1,AD a =-， 故(),AP xAD x ax ==-，01x ≤≤，故()2,P x ax -， 那么()2,BP x ax =-，()2,CP x ax a =--， 那么()()()()22222144()y PB PC BP CP x ax ax a a x a x f x ==⋅=⋅=-+-=+-++，当2a =时，224458455()5x f x x x ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭=，01x ≤≤，故当45x =时，()f x 最小值为45，当0x =时，()f x 最大值为4，即值域为4,45⎡⎤⎢⎥⎣⎦，①错误； (0,)a ∀∈+∞时，()()22(1)1441f a a =+-++=，②正确；()()222()144f x a x a x =+-++，对称轴为()()2224131,2222121a x a a +⎛⎫==+∈ ⎪++⎝⎭， 当()2131221a +≥+时，即02a <≤，函数()f x 在[]0,1上递减，故当0x =时，()f x 取得最大值(0)4f =，当1x =时，()f x 取得最小值(1)1f =；当2a >时，()211312221a <+<+，根据抛物线对称性可知，当0x =时，函数()f x 取得最大值(0)4f =，当()22421a x a +=+时，()f x 取得最小值()()2224441a a+-+. 综上可知，(0,)a ∀∈+∞，函数()f x 的最大值都等于4，故③正确； 取32a =>时，()f x 取得最小值()()222241394404104041a a +-=-=-<⨯+，故④正确.故答案为：②③④. 【点睛】关键点点睛：此题的解题关键在于建立适当的直角坐标系得到函数()f x ，才能结合二次函数的图象性质突破难点.三、解答题16．如图，在四棱柱1111ABCD A BC D -中，1AB ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱12A A =.〔1〕求证：1//C D 平面11ABB A ； 〔2〕求证：1AC BC ⊥；〔3〕求二面角11C BD D --的余弦值. 【答案】〔1〕证明见解析〔2〕证明见解析〔3〕427. 【分析】(1)根据四棱柱的性质可得面面平行，由面面平行的性质即可求证； 〔2〕建立空间直角坐标系，利用向量法证明线线垂直； 〔3〕根据平面的法向量，利用法向量的夹角公式求二面角即可. 【详解】〔1〕四棱柱1111ABCD A BC D -中，111//,C C BB C C ⊄平面11ABB A , 1//C C ∴平面11ABB A ,由正方形ABCD 可知，//DC AB ,且DC ⊄平面11ABB A ，//DC ∴平面11ABB A ,1DC C C C =,DC ⊂平面11DCC D ,1C C ⊂平面11DCC D , ∴平面11//DCC D 平面11ABB A ，1C D ⊂平面11DCC D , ∴1//C D 平面11ABB A〔2〕以A 为原点，AD 为x 轴，AB 为y 轴，1AB 为z 轴，建立空间直角坐标系，∴()()()()(10,0,0,0,1,01,1,0,1,0,0,1,3A B C D D ⋅-，221111//,=213C D AB C D AB =-=1(13)C ∴,1(1,1,0),(1,3)AC BC →→==-∴11100AC BC →→⋅=-+=,1AC BC →→∴⊥, 即1AC BC ⊥.〔3〕设平面1C BD 的法向量111(,,)m x y z →=，1(1,1,0),(1,BD BC →→=-=-,10BD m BC m ⎧⋅=⎪∴⎨⋅=⎪⎩,即1111100x y x y -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，令11x =，那么111,0y z ==，(1,1,0)m →∴=，设平面1BDD 的法向量222(,,)n x y z →=，()1,1,0BD =-，1(0,DD →=-100BD n DD n ⎧⋅=⎪∴⎨⋅=⎪⎩，即22220x y y -=⎧⎪⎨-=⎪⎩， 令21z =，那么22x y =n →∴=，23cos ,||||72m n m n m n →→⋅∴<>===⋅ 即二面角11C BD D --. 【点睛】关键点点睛：根据四棱柱的性质及条件1AB ⊥平面ABCD ，建立空间直角坐标系，利用向量法求解是解题的关键，属于中档题. 17．函数()sin ,()cos 66h x x g x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为，求： 〔1〕()f x 的单调递增区间； 〔2〕()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的取值范围.条件①：()()()f x h x x =；条件②：()()()f x h x g x =⋅；条件③：()()()f x h x g x =-.注：如果选择不同条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】选①，〔1〕单调递增区间[2,2]()k k k z πππ-∈，〔2〕[0,2]；选②，〔1〕单调递增区间为5[,],()1212k k k Z ππππ-+∈，〔2〕1[]42-；〔3〕选③，〔1〕单调递增区间为57[2,2],1212k k k Z ππππ-+∈，〔2〕. 【分析】选①，根据辅助角公式化简函数为()2cos f x x =，〔1〕根据余弦函数的图象与性质求解单调区间；〔2〕根据自变量的范围，利用余弦函数的图象与性质即可求解； 选②，根据二倍角的正弦公式化简得1()sin(2)23f x x π=+，(1)利用正弦型函数图象与性质求单调区间；(2) 根据自变量范围求出23x π+的范围，利用正弦函数的图象性质求值域；选③，根据辅助角公式化简可得())12f x x π=-，〔1〕利用正弦型函数的图象与性质求其单调区间；〔2〕根据自变量范围求出12x π-的范围，利用正弦函数求范围即可.【详解】选①：()()()sin())2sin()6663f x h x x x x x ππππ==+++=++ 2sin()2cos 2x x π=+=，〔1〕由()2cos f x x =知，单调递增区间[2,2]()k k k z πππ-∈ 〔2〕当[0,]2x π∈时，0cos 1x ≤≤，所以()2cos [0,2]f x x =∈. 选②：1()()()sin cos sin(2)6623f x h x g x x x x πππ⎛⎫⎛⎫=⋅=+⋅+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 〔1〕令222,232k x k k Z πππππ-≤+≤+∈, 解得5,1212k x k k Z ππππ-≤≤+∈， 所以()f x 的单调递增区间为5[,],1212k k k Z ππππ-+∈ 〔2〕当[0,]2x π∈时，42333x πππ≤+≤，所以sin(2)13x π+≤，所以11()sin(2)[]232f x x π=+∈. 选③：()()()sin()cos()))666412f x h xg x x x x x πππππ=-=+-+=+-=-， (1)令22,2122k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈，解得57π22,1212k x k k Z πππ-+≤≤+∈， 所以()f x 的单调递增区间为57[2,2],1212k k k Z ππππ-+∈， 〔2〕当[0,]2x π∈时，5121212x πππ-≤-≤，所以sin()4124x π-≤-≤，所以())6f x x π=-∈【点睛】关键点点睛：根据所选条件，利用辅助角公式或者二倍角的正弦公式化简函数，根据正弦型函数图象与性质或余弦函数图象与性质，确定单调性及值域，属于中档题. 18．某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，对该流水线上的产品进行简单随机抽样，获得数据如下表：包装质量在(495,510]克的产品为一等品，其余为二等品 〔1〕估计从该流水线任取一件产品为一等品的概率；〔2〕从上述抽取的样本产品中任取2件，设X 为一等品的产品数量，求X 的分布列； 〔3〕从该流水线上任取2件产品，设Y 为一等品的产品数量，求Y 的分布列；试比较期望EX 与那么望EY 的大小.(结论不要求证明) 【答案】〔1〕45；〔2〕分布列见解析；〔3〕分布列见解析，()()E Y E X = 【分析】〔1〕直接利用古典概型的概率公式计算可得；〔2〕依题意X 的可能取值为0、1、2，求出所对应的概率，列出分布列； 〔3〕依题意42,5Y B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，即可求出Y 的分布列，再求出数学期望，即可得解； 【详解】解：〔1〕样本中一共有3475120++++=件产品，包装质量在(495,510]克的产品有47516++=件，故从该流水线任取一件产品为一等品的概率164205P == 〔2〕依题意X 的可能取值为0、1、2；()21622012219C P X C ===，()1116422032195C C P X C ===，()242203095C P X C ===故X 的分布列为：〔3〕由〔2〕可得()2101995955E X =⨯+⨯+⨯= 依题意42,5Y B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，那么Y 的可能取值为0，1，2 ()24162525P Y ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()12448115525P X C ⎛⎫==⨯-⨯= ⎪⎝⎭，()24101525P X ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭故Y 的分布列为：所以()255E Y =⨯= 所以()()E Y E X = 19．函数1()ln xf x e x a x ⎛⎫=⋅-+⎪⎝⎭，其中a R ∈. 〔1〕假设曲线()y f x =在1x =处的切线与直线y ex =平行，求a 的值； 〔2〕假设函数()f x 在定义域内单调递减，求a 的取值范围. 【答案】〔1〕2〔2〕11ln 22(,2]+-∞ 【分析】〔1〕对函数求导，令(1)e f ，即可求得a 的值；〔2〕由题可知，()0f x '≤在(0,)+∞上恒成立，参变别离，利用导数求最值即可求解.【详解】〔1〕由题可知21()ln xf x e x a x ⎛⎫'=--+ ⎪⎝⎭，那么(1)(1)f e a e '=-+=，解得2a =．〔2〕∵1()ln xf x e x a x ⎛⎫=⋅-+⎪⎝⎭在(0,)+∞上是减函数， ∴21()ln 0xf x e x a x ⎛⎫'=--+≤ ⎪⎝⎭对(0,)x ∈+∞恒成立，所以21ln a x x ≤+， 令21()ln g x x x =+，那么由322112()(1)0g x x x x x'=-+=-=得x =当x ∈时，()0g x '<，当)x ∈+∞时，()0g x '>，所以()g x 在x ∈上单调递减，在)x ∈+∞上单调递增，所以min 11()ln 222g x g ==+， 故只需min 11ln 222()a g x =+≤故a 的取值范围是11ln 22(,2]+-∞．【点睛】关键点点睛：函数在定义域上单调递减转化为函数导数在(0,)+∞上小于等于零恒成立，采用了参变别离法，再构造函数，利用导数求出新函数的最值，其中转化的思想，参变量别离的方法，是解题的关键，属于中档题．20．椭圆2222:1x y C a b+=过点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且2a c =，假设直线:1l y kx =+与椭圆C 交于M ，N 两点，过点M 作x 轴的垂线分别与直线,PO NO 交于点A ，B ，其中O 为原点.〔1〕求椭圆C 的方程； 〔2〕假设||1||AB AM =，求k 的值.【答案】〔1〕22143x y +=〔2〕1【分析】〔1〕根据椭圆过点及2a c =求解即可；〔2〕设1122(,1),(,1)M x kx N x kx ++，表示出,A B 点的坐标，联立直线1y kx =+与椭圆的方程，根据A 为BM 的中点，化简求解即可.【详解】〔1〕椭圆2222:1x y C a b+=过点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且2a c = 222222219144a b a c a b c ⎧+=⎪⎪∴=⎨⎪=+⎪⎩， 2224,3,1a b c ===∴ ∴椭圆C 的方程为22143x y +=〔2〕如图，设1122(,1),(,1)M x kx N x kx ++，31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭，3:2OP y x ∴=， 113(,)2A x x ∴，22112211:,(,)kx kx x x ON y x B x x x ++∴=， 由221143y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得 22(43)880k x kx ++-=，226432(43)0k k ∆=++>，12122288,4343k x x x x k k -+-==++， ||1||AB AM =，A ∴为BM 的中点，12111231kx x x x kx x +∴=++，即12121123kx x x x x kx x ++=+，121212123x x kx x kx x x x ∴=+++，22224434341683k k k k k -∴-=-+++，2424k ∴-=-，解得1k =.【点睛】关键点点睛：根据条件得到点A 为BM 的中点，根据此条件建立相关坐标之间的关系，是解决问题的关键，注意韦达定理在解题中的应用，属于中档题. 21．定义满足以下两个性质的有穷数列123,,,,n a a a a 为()3,4,n n =⋅⋅⋅阶“期待数列〞：①1230n a a a a ++++=；②1231n a a a a ++++=.〔1〕假设等比数列{}n a 为4阶“期待数列〞，求{}n a 的公比； 〔2〕假设等差数列{}n a 是21k +阶“期待数列〞(1,2,3,,21n k =+.k 是正整数，求{}n a 的通项公式；〔3〕记2k 阶“期待数列〞{}n a 的前n 项和为n S (1,2,3,,2n k =.k 是不小于2的整数)，求证：12k S ≤. 【答案】〔1〕公比为-1；〔2〕0d >时，()11n n a k k k=-+()n N *∈；0d <时，()11n n a k k k=-++()n N *∈；〔3〕证明见详解.【分析】〔1〕先根据新定义得到对应关系式，再结合等比数列求和公式解得公比即可； 〔2〕先根据新定义得到对应关系式，结合等差数列求和公式和性质得到10k a +=，再利用等差数列性质求绝对值之和解得d ，根据()11n k a a n k d +=+-+⎡⎤⎣⎦求通项公式即可；〔3〕先利用新定义计算数列中所有非负项之和和所有负数项之和，再求k S 的最大值和最小值，即证结论.【详解】解：〔1〕依题意，等比数列{}n a 为4阶“期待数列〞， 故数列满足①12340a a a a +++=，②12341a a a a +++=.易见0n a ≠，假设公比q 为1，那么①式即140a =，不符合题意，故1q ≠， 故①式即()41101a q q-=-，即41=q ，故1q =-，所以{}n a 的公比为-1；〔2〕依题意，等差数列{}n a 是21k +阶“期待数列〞，设等差数列{}n a 公差为d ， 那么数列满足①123210k a a a a +++++=；②123211k a a a a +++++=.故①式即()()1212102k k a a +++=，即121120k k aa a +++==，即10k a +=.假设0d >时，有123,,,,0k a a a a <，2321,,,0k k k a a a +++>， 那么②式即122321......1k k k k a a a a a a +++----++++=，故()()()213221...1k k k k a a a a a a +++-+-++-=，即()11k k d ⋅+=，得()11d k k =+，所以()()()()11110111n k n a a n k d n k k k k k k+=+-+=+--⋅=-⎡⎤⎣⎦++；假设0d <时，有123,,,,0k a a a a >，2321,,,0k k k a a a +++<， 那么②式即1232321......1k k k k a a a a a a a +++++++----=，故()()()122321...1k k k k a a a a a a +++-+-++-=，即()11k k d -⋅+=，得()11d k k =-+，所以()()()()11110111n k n a a n k d n k k k k k k+-=+-+=+--⋅=-+⎡⎤⎣⎦++.综上，0d >时，()11n n a k k k =-+()n N *∈；0d <时，()11n n a k k k=-++()n N *∈； 〔3〕设2k 阶“期待数列〞{}n a 的所有非负项之和为A ，所有负数项之和为B ， 依题意数列满足①12320k a a a a ++++=；②12321k a a a a ++++=.即0,1A B A B +=-=，那么解得11,22A B ==-， 当所有非负数项一起构成k S 时，k S 最大为12A =，即12k S ≤； 当所有负数项一起构成k S 时，k S 最小为12B =-，即12k S ≥-.故1122kS-≤≤，所以12kS≤.【点睛】关键点点睛：此题解题关键是理解并利用新定义解出每一问的关系式，再结合等差数列、等比数列相关公式即突破难点.。
2019北京怀柔区高三一模数学(理)试题及答案
2019北京年怀柔区高三一模数学(理)本试卷共5页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分(选择题共40分)一、选择题(共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项)．1．若集合A={x|(－1<x<2}，B ={x|1≤x≤3}，则A∩B =A．(－1,2) B．[1,2) C．[1,3] D．(－1,3]2．复数=A．-i B．i C．1--i D．1-+i3．设x,y满足约束条件,1,2,y xx yx≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则2z x y=-的最大值为A．1B．3C．5D．94．执行右图所示的程序框图，若输入10x=，则输出y的值为A．3B．6C．3 2D．5 4 -5．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱长为A．B ．C ．D ．6．若函数()22-=-x x f x ，则()f xA ．是奇函数，且在R 上是增函数B ．是偶函数，且在R 上是增函数C ．是奇函数，且在R 上是减函数D ．是偶函数，且在R 上是减函数 7．已知a b ,是两个非零向量，则“=a b ”是“=a b 且a b ”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．某学习小组，调查鲜花市场价格得知，购买2只玫瑰与1只康乃馨所需费用之和大于8元，而购买4只玫瑰与5只康乃馨所需费用之和小于22元．设购买2只玫瑰花所需费用为A 元，购买3只康乃馨所需费用为B 元，则A B 、的大小关系是A ．AB > B ． A B <C ．A B =D ．A B 、的大小关系不确定第二部分 (非选择题共110分)二、填空题(共6小题，每小题5分，共30分．)9．已知抛物线22=y px 的准线方程为1x =-，则=p __________．10．若{}n a 是等比数列，且公比4=q ,12321++=a a a ，则n a =__________． 11．函数21()sin cos s 2=+-f x x x co x 的最小正周期是________，(f x ）的取值范围是__________． 12．在极坐标系中，曲线ρ=2cos θ上的点到点(1,)π距离的最大值为 __________．13．设a b c ，，是任意实数，能够说明“若<<c b a 且0<ac ，则<ab ac ”是假命题的一组整数a b c ，，的值依次为__________．14．我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”，是程序化寻求精确分数来表示数值的算法．其理论依据是：设实数x 的不足近似值和过剩近似值分别为b a 和d c （,,,*∈a b c d N ），则++b da c是x 的更精确的不足近似值或过剩近似值．已知 3.14159π=⋅⋅⋅，令31491015π<<，则第一次用“调日法”后得165是π的更为精确的过剩近似值，即3116105π<<，若每次都取最简分数，那么第四次用“调日法”后可得π的近似分数为__________．三、解答题(共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．) 15．（本小题满分13分）在中，角，，所的对边分别是a，b，c，，．（Ⅰ）求边c的值；（Ⅱ）若，求的面积．16．（本小题满分14分）已知三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=AC=12AB=2，N为AB上一点，AB=4AN，M，S分别为PB，BC的中点.（Ⅰ）证明：CM⊥SN；（Ⅱ）求直线SN与平面CMN所成角的大小；（Ⅲ）求二面角--B NC M大小的余弦值.17．（本小题满分13分）某大型企业为鼓励员工利用网络进行营销，准备为员工办理手机流量套餐.为了解员工手机流量的使用情况，通过抽样，得到100位员工每人手机月平均使用流量L(单位:M)的数据，其频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）从该企业的员工中随机抽取3人，求这3人中至多有1人手机月流量不超过900M的概率；（Ⅱ）据了解，某网络运营商推出两款流量套餐，详情如下：流量套餐的规则是：每月1日收取套餐费.如果手机实际使用流量超出套餐流量，则需要购买流量叠加包，每一个叠加包(包含200M 的流量)需要10元，可以多次购买，如果当月流量有剩余，将会被清零.该企业准备订购其中一款流量套餐，每月为员工支付套餐费，以及购买流量叠加包所需月费用．若以所需费用的数学期望为决策依据，该企业订购哪一款套餐更经济？18．（本小题满分13分）已知函数()ln ()=-∈f x x ax a R .（Ⅰ）当2=a 时，求()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）若对于任意的(0,)x ∈+∞，都有()0f x <，求a 的取值范围.19．（本小题满分13分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为(1,0)F ，点(0,)B b 满足||2FB =.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）过点F 作直线l 交椭圆E 于M N 、两点，若BFM ∆与BFN ∆的面积之比为2，求直线l 的方程.20．（本小题满分14分）设集合W 由满足下列两个条件的数列{}n a 构成： ①212n n n a a a +++<；②存在实数M ，使M a n ≤（ n 为正整数）. （Ⅰ）在只有5项的有限数列{}n a 、 {}n b 中，其中1231,2,a a a ===3，44a =，55a =；123451,4,5,4,1b b b b b =====，试判断数列{}n a 、{}n b 是否为集合W 中的元素；（Ⅱ）设{}n c 是等差数列，n S 是其前n 项和，334,18c S ==，证明数列{}W S n ∈；并写出M 的取值范围； （Ⅲ）设数列{}n d W ∈，且对满足条件的常数M ，存在正整数k ，使k d M =．求证：123k k k d d d +++>>.数学试题答案一、选择题(共8小题，每小题5分，共40分)．二、填空题(共6小题，每小题5分，共30分．)9. 2； 10. 14-n ； 11.π，[-； 12. 3； 13. 1,0,1-； 14. 227. 三、解答题(共6小题，共80分．) 15．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由及正弦定理得,∴-----------------------------------------------------------------------------------5分 （Ⅱ）在中，由余弦定理得，所以整理得，解得或（舍去）因为，所以。
2019年高考理科数学北京卷理数(附参考答案和详解)
绝密★启用前 6月7日15:00-17:002019年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（理工农医类）总分：150分考试时间：120分钟★祝考试顺利★注意事项：1、本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
2、选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸、答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸、答题卡上的非答题区域均无效。
4、考试结束后，将本试卷和答题卡一并上交。
第I卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.（2019北京卷·理）已知复数2iz=+，则z z⋅=（）A.3B.5C.3D.5【解析】因为2iz z⋅=+⋅-=.故选D.z=+，所以2iz=-，所以(2i)(2i)5【答案】D2.（2019北京卷·理）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）A.1B.2C.3D.4【解析】1,1k s ==；第一次循环：2s =，判断3,2k k <=；第二次循环：2s =，判断3,3k k <=；第三次循环：2s =，判断3k =.故输出2，故选B. 【答案】B3.（2019北京卷·理）已知直线l 的参数方程为13,24x t y t=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），则点(1,0)到直线l 的距离是（ ）A.15B.25C.45D.65【解析】由题意可知直线l 的普通方程为4320x y -+=，由点到直线的距离公式可得点(1,0)到直线l的距离65d ==.故选D. 【答案】D4.（2019北京卷·理）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为12，则（ ）A.222a b =B.2234a b =C.2a b =D.34a b =【解析】因为椭圆的离心率为12c e a ==，所以224a c =.又222a b c =+，所以2234a b =.故选B. 【答案】B5.（2019北京卷·理）若x ，y 满足||1x y ≤-，且1y ≥-，则3x y +的最大值为（ ）A.7-B.1C.5D.7【解析】由||1x y ≤-，且1y ≥-，得10,10,1.x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩作出可行域如图阴影部分所示.设3z x y =+，则3y x z =-+，作直线0:3l y x =-，并进行平移.显然当0l 经过点(2,1)A -时，z 取得最大值，max 3215z =⨯-=.故选C. 【答案】C6.（2019北京卷·理）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足12125lg2E m m E -=，其中星等为k m 的星的亮度为(1,2)k E k =．已知太阳的星等是26.7-，天狼星的星等是 1.45-，则太阳与天狼星的亮度的比值为（ ）A.10.110B.10.1C.lg10.1D.10.110-【解析】由题意知，126.7m =-，2 1.45m =-，代入所给公式得1251.45(26.7)lg 2EE ---=，所以12lg10.1E E =，所以10.11210EE =.故选A. 【答案】A7.（2019北京卷·理）设点A ，B ，C 不共线，则“AB 与AC 的夹角为锐角”是“AB AC BC +>”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】因为设点A ，B ，C 不共线，由向量加法的三角形法则，可知BC AC AB =-，所以||||AB AC BC +>等价于||||AB AC AC AB +>-，因模为正，故不等号两边平方得22222||||cos 2||||cos AB AC AB AC AC AB AC AB θθ++⋅⋅>+-⋅⋅（θ为AB 与AC 的夹角），整理得4||||cos 0AB AC θ⋅⋅>，故cos 0θ>，即θ为锐角.又以上推理过程可逆，所以“AB 与AC 的夹角为锐角”是“AB AC BC +>”的充分必要条件.故选C. 【答案】C8.（2019北京卷·理）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线22:1||C x y x y +=+就是其中之一（如图）．给出下列三个结论： ①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ②曲线C③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3．其中，所有正确结论的序号是（ ）A.①B.②C.①②D.①②③【解析】由221||x y x y +=+，当0x =时，1y =±；当0y =时，1x =±；当1y =时，01x =±，.故曲线C 恰好经过6个整点：(0,1)A ，(0,1)B -，(1,0)C ，(1,1)D ，(1,0)E -，(1,1)F -，所以①正确.由基本不等式，当0y >时，22221||1||12x y x y x y xy ++=+=+≤+，所以222x y +≤222x y +≤②正确.如图，由①知矩形CDFE 的面积为2，△BCE 的面积为1，所以曲线C 所围成的“心形”区域的面积大于3，故③错误.故选C. 【答案】C第Ⅱ卷二、填空题：本题共6小题，每小题5分。
2019北京高三一模数学---函数理科
2019北京高三一模数学---函数理科1.2019东城一模理（13）已知函数3()4f x x x =-，若1212,[,],,x x a b x x ∀∈≠都有12122()(2)(2)f x x f x f x +>+成立，则满足条件的一个区间是________. 2.2019西城一模理11．函数()sin2cos2f x x x =+的最小正周期T =____；如果对于任意的x ∈R 都有()f x a ≤，那么实数a 的取值范围是____．13. 能说明“若sin cos αβ=，则36090k αβ+=⋅+，其中k ∈Z ”为假命题的一组α，β的值是___． 3.2019海淀一模理(2)若角α的终边在第二象限，则下列三角函数值中大于零的是(A) sin(+)2πα (B) s(+)2co πα (C) sin()πα+ (D) s()co πα+ 4.2019朝阳一模理4．若函数22,1,()log ,1x x f x x x ⎧<=⎨-≥⎩,则函数()f x 的值域是A ．(,2)-∞B ．(,2]-∞C ．[0,)+∞D ．(,0)(0,2)-∞5．如图，函数()f x 的图象是由正弦曲线或余弦曲线经过变换得到的，则()f x 的解析式可以是A ．()sin(2)3f x x π=+B ．()sin(4)6f x x π=+C ．()cos(2)3f x x π=+D ．()cos(4)6f x x π=+12．能说明“函数()f x 的图象在区间[]0,2上是一条连续不断的曲线．若(0)(2)0f f ⋅>，则()f x 在(0,2)内无零点”为假命题的一个函数是 ． 5.2019丰台一模理5．下列函数中，同时满足：①图象关于y 轴对称；②1212,(0,)()x x x x ∀∈+∞≠，2121()()0f x f x x x ->-的是（A ）1()f x x -=（B ）2()log ||f x x =（C ）()cos f x x =（D ）1()2x f x +=13．已知函数()cos(2)(0)2f x x ϕϕπ=+-<<． ①函数()f x 的最小正周期为____；②若函数()f x 在区间4[,]33ππ上有且只有三个零点，则ϕ的值是____．6.2019石景山一模理7. 若1x y a b >>>>，则下列各式中一定正确的是A. x ya b >B. ln ln x y <C. sin sin x y >D.a b x y< 8.已知函数()sin f x a x x =-的一条对称轴为π6x =-，12()()0f x f x +=，且函数()f x 在12(,)x x 上具有单调性，则12||x x +的最小值为A. π6B.π3C.2π3D.4π37.2019怀柔一模理6．若函数()22-=-x x f x ，则()f xA ．是奇函数，且在R 上是增函数B ．是偶函数，且在R 上是增函数C ．是奇函数，且在R 上是减函数D ．是偶函数，且在R 上是减函数11．函数的最小正周期是________，的取值范围是__________．8.2019延庆一模理3. 已知(0,1)x ∈，令log 3x a =，sin b x =，2x c =，那么,,a b c 之间的大小关系为 （A ）a b c << （B ）b a c << （C ）b c a << （D ）c a b << 4．函数()=sin 22f x x x -在区间[,]22ππ-上的零点之和是 （A ）3π-（B ）6π- （C ）6π（D ）3π(f x ）12. 设()f x 是定义在R 上的单调递减函数，能说明“一定存在0x R 使得0()1f x <”为假命题的一个函数是()f x =_____．9.2019平谷一模理2. 下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（ ） A. y=B. y=lnxC. y=sinxD. y=8. 放射性物质的半衰期T 定义为每经过时间T ，该物质的质量会衰退原来的一半，铅制容器中有两种放射性物质A ，B ，开始记录时容器中物质A 的质量是物质B 的质量的2倍，而120小时后两种物质的质量相等，已知物质A 的半衰期为7.5小时，则物质B 的半衰期为（ ） A. 10小时B. 8小时C. 12小时D. 15小时13. 已知函数f(x)=sin(2x+ )（其中 为实数），若f （x ）≤对x ∈R 恒成立，则满足条件的 值为 （写出满足条件的一个 值即可）。
怀柔数学一模答案
怀柔区2019年高级中等学校招生模拟考试（一）数学评分标准一、选择题（每小题有且只有一个选项是正确的，请把正确的选项前的序号填在相应的表格内. 本题共有10个小题，每小题3分，共30分） 二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，共18分）11. x≠3. 12. 2a(a-3)(a+3). 13. 32.14.答案不唯一，符合m<1即可. 15. [(2x-1)×2-1] ×2-1=0或8x-7=0.. 16. CD 和EF 是四边形DECF 对角线，而CD 和EF 互相垂直且平分(答案不唯一).三、解答题（本题共72分，第17—26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分） 17. 解： 原式=1221222-++-⨯………………………………………………4分= 22.………………………………………………5分 18.解：1)-1)(a (a 3)a(2a +-+=1)(a 3a 2a 22--+ =1a 3a 2a 22+-+=13a a 2++.……………………………………………………3分 ∵063a a 2=++， ∴-63a a 2=+.∴原式=-6+1=-5. ……………………………………………………5分19.解：2(x-2)3x-3, x x+1<34⎧⎪⎨⎪⎩≤① . ②解不等式①得：x≥-1. ……………………………………………………2分解不等式②得：x<3. ……………………………………………………4分 所以不等式组的解集为-1≤x<3.所以不等式组的非负整数解为0,1,2. .………………………………………5分 20.证明：∵DE 是AB 边的垂直平分线,EDCBAHA CEFD∴AE=BE , ∠ADE=90°.∴∠EAB=∠B. ……………………………………………………3分 在Rt △ABC 中，∠C=90°, ∴∠CAB+∠B=90°.在Rt △ADE 中，∠ADE=90°, ∴∠AED+∠EAB=90°. ……………………………………………………4分∴∠CAB=∠AED. ……………………………………………………5分21. 解：设该款空调补贴前的售价为每台x 元, ……………………………………………1分 由题意，得：,500x 600001.2x 60000-=⨯………………………………………………2分 解得：x=3000. ……………………………………………………3分经检验,x=3000是原方程的解，且符合题意．………………………………………………4分 答：该款空调补贴前的售价为每台3000元．…………………………………………5分 22. （1）证明：∵CE//AB ，∴∠DAF=∠ECF. ……………………………1分 ∵F 为AC 的中点, ∴AF=CF. 在△DAF 和△ECF 中,DAF=ECF AF=CFAFD=CFE ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩∴ △DAF ≌△ECF ．∴ AD=CE ． ………………………………2分 ∵CE//AB ，∴ 四边形ADCE 为平行四边形．………………………………3分 （2）作FH ⊥DC 于点H ． ∵ 四边形ADCE 为平行四边形,∴ AE//DC ，DF= EF=22， ∴∠FDC =∠AED=45°． 在Rt △DFH 中，∠DHF=90°，DF=22，∠FDC=45°，∴ sin ∠FDC=FH =DF 2，得FH=2， tan ∠FDC=HF=1HD，得DH=2． ………………………………4分 在Rt △CFH 中，∠FHC=90°，FH=2，∠FCD=30°，∴ FC=4． 由勾股定理，得HC=32．∴ DC=DH+HC=2+32． ………………………………5分 23.解：（1）把A （5,1）代入xm y =中, ∴m=5.∴反比例函数表达式x5y =.………………………………1分 ∵OC=5BC,设B(x,5x) , (x<0) 把B(x,5x)代入x5y =中, ∴5x 2=5. x 1=1（舍），x 2=-1.∴B(-1,-5) . ……………………………2分 把A （5,1），B(-1,-5) 代入b kx y +=中, 得⎩⎨⎧-=+-=+5．b k 1，b 5k解得⎩⎨⎧-==4．b 1，k∴一次函数表达式为4x y -=.……………………………3分（2）P （6,0）或P （-6,0） ． ……………………………5分 24. (1)证明：连结OF ，如图.∵DH 为⊙O 的切线，OF 为半径，∴OF ⊥DH. ∴∠OFD=90°。
2019年最新北京市高考一模考试数学试题(理)有答案解析
北京市一模统一考试高三数学（理科）本试卷共6页，满分150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合2{|02},{|1}A x x B x x =≤≤=>，则AB = （ ）A.{|01}x x ≤≤B.{|0x x >或1}x <-C. {|12}x x <≤D.{|02}x x <≤2.复数21i i =+（ ） A.1i + B ．1i - C. 1i -+D ．1i --3.已知两条直线,a b 和平面α，若,a b b α⊥⊄，则“a α⊥”是“//b α”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的长为 （ ） AC.25.执行如图所示的程序框图,若输出的a 的值为15，则判断框应填写 （ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5（4题图）2013201420151季度 2季度 3季度 4季度 1季度 2季度 3季度 4季度 1季度2013年 2014年 2015年年份增长率/%6.已知等比数列{}n a 的公比1q ≠，则下面说法中不正确．．．的是 （ ） A.2{}n n a a ++是等比数列 B.对于k *∈N ，1k >，112k k k a a a -++≠C ．对于n *∈N ，都有20n n a a +>D ．若21a a >，则对于任意n *∈N ，都有1n n a a +> 7.如图是近三年某市生产总值增速（累计，%）的折线统计图，据该市统计局初步核算，2015年一季度全市生产总值为1552.38亿元，与去年同一时期相比增长12.9%（如图，折线图中其它数据类同）．根据统计图得出正确判断是 （ ） A ．近三年该市生产总值为负增长 B. 近三年该市生产总值为正增长 C ．该市生产总值2013年到2014年 为负增长，2014年到2015年为正增长 D.以上A 、B 、C 的判断都不正确8.已知偶函数()f x ，奇函数()g x 的图像分别如图（1）、图（2）所示，方程(())0f g x =，(())0g f x =的实根的个数分别为,a b ，则a b += （ ）A ．3B ．7C ．10D ．14）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 某校高一学雷锋志愿小组共有8人，其中一班、二班、三班、四班各2人，现在从中任选3人，要求每班至多选1人，不同的选取方法的种数为 .（图2）x10. 2022年冬奥会高山滑雪项目将在延庆小海坨山举行。
2019怀柔区高三一模数学试卷及答案理科
怀柔区2019～2019学年度第二学期高三适应性练习数 学（理科）2019.3本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页，共150分．考试时间120分钟．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题 共40分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选 涂其它答案，不能答在试卷上．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知全集R U =，}21{<<-=x x A ，}0{≥=x x B ，则=)(B A C UA ．}20{<≤x xB ．}0{≥x xC ．}1{-≤x xD ．}1{->x x2．复数=-+i i11A ．i -B ．1-C ．iD ．13．已知等比数列}{n a 的公比为2，且531=+a a ，则42a a +的值为A ．10B ．15C ．20D ．254．如图是一正方体被过棱的中点M 、N 和顶点A 、D 、C 1的两个截面截去两个角后所得的几何体，则该几何体的主视图为A ．B ．C ．D ． 5．若＝(1,2,－3)，＝(2,a －1,a 2－31)， 则“a ＝1”是“⊥”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．右图是计算函数2x ,x 1y 0,1x 2x ,x 2⎧-≤-⎪=-<≤⎨⎪>⎩的值的程序框图，则在①、②、③处应分别填入的是 A ．y x =-，y 0=，2y x =B ．y x =-，2y x =，y 0= C ．y 0=，2y x =，y x =-D ．y 0=，y x =-， 2y x =7．在极坐标系中，定点1,2A π⎛⎫⎪⎝⎭，动点B 在直线cos sinρθρθ+上运动，当线段AB 最短时，动点B 的极坐标是A ．)4,22(π B ．)43,22(πC ．)4,23(π D ．)43,23(π 8．已知三棱锥A BCO -，OA OB OC 、、两两垂直且长度均为6，长为2的线段MN 的一个端点M 在棱OA 上运动，另一个端点N 在BCO ∆内运动（含边界），则MN 的中点P 的轨迹与三棱锥的面所围 成的几何体的体积为A ．6π B ．6π或636π+C ．366π-D ．6π或366π-第Ⅱ卷（非选择题 共110分）注意事项：1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上． 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上． 9．命题：0,2≥∈∀x R x 的否定是 ．10．函数1cos 2)(2-=x x f 的最小正周期为 ；单调递减区间为 ． 11．如图是甲、乙两班同学身高（单位：cm ）数据的茎叶图，则甲班同学身高的中位数为 ；若从乙班身高不低于170cm 的同学中随机抽取两名，则身高为173cm 的同学被抽中的概率为 ．甲班 乙班2 18 19 9 1 0 17 0 3 6 8 9 8 8 3 2 16 2 5 8 8 15 912．已知PA 是圆O 的切线，切点为A ，2=PA ．AC 是圆O 的直径，PC 与圆O 交于点B ，1=PB ，则圆O 的半径=R ．13．已知抛物线)0(22>=p px y 与双曲线12222=-by a x 有相同的焦点F ，点A 是两曲线的一个交点，且AF ⊥x 轴，则双曲线的离心率为 ．14注：加满油后已行驶距离加满油后已用油量油耗=，当前油耗汽车剩余油量可继续行驶距离=，指定时间内的行驶距离指定时间内的用油量平均油耗=．从以上信息可以推断在10：00—11：00这一小时内 （填上所有正确判断的序号）． ① 行驶了80公里； ② 行驶不足80公里；③ 平均油耗超过9.6升/100公里； ④ 平均油耗恰为9.6升/100公里； ⑤ 平均车速超过80公里/小时．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）在ABC ∆中，c b a 、、分别为角C B A 、、所对的三边，已知222+c b a bc -=． （Ⅰ）求角A 的值；（Ⅱ）若a =cos C =，求c 的长． 16．（本小题满分14分）如图，四棱锥P ABCD -的底面为正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，且2P A A D ==，,,E F H分别是线段,,PA PD AB 的中点． （Ⅰ）求证：PB //平面EFH ； （Ⅱ）求证：PD ⊥平面AHF ； （Ⅲ）求二面角H EF A --的大小．17．（本小题满分13分）为了参加广州亚运会，从四支较强的排球队中选出18人组成女子排球国家队，队员来源人数如下（Ⅰ）从这18名队员中随机选出两名，求两人来自同一支队的概率；（Ⅱ）中国女排奋力拼搏，战胜韩国队获得冠军．若要求选出两位队员代表发言，设其中来自北京队的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列，及数学期望ξE．18．（本题满分13分）已知函数2()ln f x x ax b x =++（0x >，实数a ，b 为常数）．（Ⅰ）若1,1a b ==-，求)(x f 在1=x 处的切线方程； （Ⅱ）若2a b =--，讨论函数()f x 的单调性．已知点)2,1(A 是离心率为22的椭圆C ：)0(12222>>=+b a a y b x 上的一点．斜率为2的直线BD 交椭圆C 于B 、D 两点，且A 、B 、D 三点不重合．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）ABD ∆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？ （Ⅲ）求证：直线AB 、AD 的斜率之和为定值．已知集合},,,,{321n a a a a A =，其中)2,1(>≤≤∈n n i R a i ，)(A l 表示和)1(n j i a a j i ≤<≤+中所有不同值的个数．（Ⅰ）设集合}8,6,4,2{=P ，}16,8,4,2{=Q ，分别求)(P l 和)(Q l ； （Ⅱ）若集合}2,,8,4,2{nA =，求证：2)1()(-=n n A l ； （Ⅲ）)(A l 是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由？参考答案及评分标准(理科) 2019.3一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.9. R x ∈∃,02<x 10. π；)](2,[Z k k k ∈+πππ 11. 169；3112.3 13. 12+ 14. ② ③三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分. 15．（本小题满分13分）在ABC ∆中，c b a 、、分别为角C B A 、、所对的三边，已知222+c b a bc -=． （Ⅰ）求角A 的值；（Ⅱ）若a =cos 3C =，求c 的长． 解：（Ⅰ） 222+c b a bc -= ， 2221c o s22b c a A bc +-==-------------------------4分 π<<A 03π=∴A -----------------------------------------------------------------------------6分（Ⅱ）在ABC ∆中，3π=A，a =，cos 3C =sin C ∴===------------------------------------------8分 由正弦定理知：,sin sin a C A C= ∴ACa c sin sin=3==-----------------------------------------------12分∴362=c -------------------------------------------------------------------------------13分16．（本小题满分14分）如图，四棱锥P ABCD -的底面为正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，且2P A A D ==，,,E F H 分别是线段,,PA PD AB 的中点． （Ⅰ）求证：PB //平面EFH ； （Ⅱ）求证：PD ⊥平面AHF ； （Ⅲ）求二面角H EF A --的大小．解：建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0)A B C D ∴,)2,0,0(P ，)1,0,0(E ，)1,1,0(F ，(1,0,0)H ．----------------------------1分（Ⅰ）证明：∵(2,0,2)PB =-，(1,0,1)EH =-，∴2PB EH =,∵⊄PB 平面EFH ，且EH ⊂平面EFH ，∴PB //平面EFH ．-------------------------------------------------5分（Ⅱ）解：(0,2,2)PD =-，(1,0,0)AH =， (0,1,1)AF =，0021(2)10,0120(2)00.PD AF PD AH ⋅=⨯+⨯+-⨯=⋅=⨯+⨯+-⨯=,PD AF PD AH ∴⊥⊥， 又AF AH A =，PD ∴⊥平面AHF ． -----------------------------------------------------9分（Ⅲ）设平面HEF 的法向量为),,(z y x =,因为(0,1,0)EF =，(1,0,1)EH =-，则0,0,n EF y n EH x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩取).1,0,1(= 又因为平面AEF 的法向量为),0,0,1(=m所以cos ,2||||2m n m n m n ⋅<>====-------------------------12分 ,45,m n ∴<>=所以二面角H EF A --的大小为45．-------------------------------------------------14分17．（本小题满分13分）为了参加广州亚运会，从四支较强的排球队中选出18人组成女子排球国家队，队员来源人数如下(Ⅰ(Ⅱ)中国女排奋力拼搏，战胜韩国队获得冠军．若要求选出两位队员代表发言，设其中来自北京队的人数 为ξ，求随机变量ξ的分布列，及数学期望ξE ．解：(Ⅰ)“从这18名队员中随机选出两名，两人来自于同一队”记作事件A ，则222246352182()9C C C C P A C +++==. ------------------------------------------------------------5分 (Ⅱ)ξ的所有可能取值为0，1，2. -----------------------------------------------------------------2分∵21421891(0)153C P C ξ===，1141421856(1)153C C P C ξ===，242186(2)153C P C ξ===，∴ξ的分布列为：--------------------------------10分∴915664()0121531531539E ξ=⨯+⨯+⨯=. -------------------------------------------------------13分18．（本题满分13分）已知函数2()ln f x x ax b x =++（0x >，实数a ，b 为常数）．（Ⅰ）若1,1a b ==-，求)(x f 在1=x 处的切线方程； （Ⅱ）若2a b =--，讨论函数()f x 的单调性．解：（Ⅰ）因为1,1a b ==-，所以函数2()ln f x x x x =+-，2)1(=f又1()21f x x x'=+-，2)1('=f -------------------------------------------------------------2分 所以)1(22-=-x y即)(x f 在1=x 处的切线方程为02=-y x -------------------------------------------------5分（Ⅱ）因为2a b =--，所以2()(2)ln f x x b x b x =-++，则 (2)(1)()2(2)b x b x f x xb x x --'=-++= )0(>x令()0f x '=，得12bx =，21x =．----------------------------------------------------------------7分（1）当02b≤，即0≤b 时，函数()f x 的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞； -------------------------------------------------------------------------------------------------------8分（2）当01b<<，即02b <<时，)(x f '，)(x f 的变化情况如下表：所以，函数()f x 的单调递增区间为(0,)2，(1,)+∞，单调递减区间为(,1)2b ；-------9分（3）当12b=，即2b =时，函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞；-----------------------------10分（4）当1b>，即2b >时，)(x f '，)(x f 的变化情况如下表：所以函数()f x 的单调递增区间为(0,1)，(,)2+∞，单调递减区间为(1,)2b ；--------------12分综上，当0≤b 时，函数()f x 的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞；当02b <<时，函数()f x 的单调递增区间为(0,)2b ，(1,)+∞，单调递减区间为(,1)2b ；当2b =时，函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞；当2b >时，函数()f x 的单调递增区间为(0,1)，(,)2b +∞，单调递减区间为(1,)2b ．-----------------------------------------------------------------------------------------------------------13分19．（本小题满分14分）已知点)2,1(A 是离心率为22的椭圆C ：)0(12222>>=+b a a y b x 上的一点．斜率为2的直线BD 交椭圆C 于B 、D 两点，且A 、B 、D 三点不重合．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）ABD ∆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？ （Ⅲ）求证：直线AB 、AD 的斜率之和为定值．解：（Ⅰ） a c e ==22， 12122=+ab ，222c b a +=∴2=a ，2=b ，2=c∴14222=+y x --------------------------------------------------------------------------------------5分 （Ⅱ）设直线BD 的方程为b x y +=2∴⎩⎨⎧=++=42222y x b x y 0422422=-++⇒b bx x ∴06482>+-=∆b 2222<<-⇒b,2221b x x -=+ ----① 44221-=b x x -----② 222128264864343)2(1b b x x BD -=-=∆=-+= ，设d 为点A 到直线BD ：b x y +=2的距离， ∴3b d =∴2)8(422122≤-==∆b b d BD S ABD ，当且仅当2±=b 时取等号. 因为2±)22,22(-∈，所以当2±=b 时，ABD ∆的面积最大，最大值为2--------10分（Ⅲ）设),(11y x D ，),(22y x B ，直线AB 、AD 的斜率分别为：AB k 、AD k ，则=+AB AD k k 122122121222112211--++--+=--+--x b x x b x x y x y =]1)(2[22212121++--++x x x x x x b ------* 将（Ⅱ）中①、②式代入*式整理得]1)(2[22212121++--++x x x x x x b =0，即=+AB AD k k 0----------------------------------------------------------------------------------------------14分20．(本小题满分13分)已知集合},,,,{321n a a a a A =，其中)2,1(>≤≤∈n n i R a i ，)(A l 表示和)1(n j i a a j i ≤<≤+中所有不同值的个数．（Ⅰ）设集合}8,6,4,2{=P ，}16,8,4,2{=Q ，分别求)(P l 和)(Q l ；（Ⅱ）若集合}2,,8,4,2{nA =，求证：2)1()(-=n n A l ； （Ⅲ）)(A l 是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由？ 解：（Ⅰ）由,1486,1284,1064,1082,862,642=+=+=+=+=+=+ 得5)(=P l .由,24168,20164,1284,18162,1082,642=+=+=+=+=+=+得6)(=Q l .----------------------------------------------------------------------------------------------5分（Ⅱ）证明：因为)1(n j i a a j i ≤<≤+最多有2)1(2-=n n C n 个值，所以.2)1()(-≤n n A l 又集合}2,,8,4,2{nA =，任取),1,1(,n l k n j i a a a a l k j i ≤<≤≤<≤++ 当l j ≠时,不妨设l j <，则l k l j j j i a a a a a a +<≤=<++122，即l k j i a a a a +≠+.当k i l j ≠=,时，l k j i a a a a +≠+.因此，当且仅当l j k i ==,时， l k j i a a a a +=+. 即所有)1(n j i a a j i ≤<≤+的值两两不同， 所以.2)1()(-=n n A l -----------------------------------------------------------------------------------------9分 （Ⅲ） )(A l 存在最小值，且最小值为32-n ．不妨设,321n a a a a <<<< 可得,1213121n n n n a a a a a a a a a a +<<+<+<<+<+-所以)1(n j i a a j i ≤<≤+中至少有32-n 个不同的数，即.32)(-≥n A l 事实上，设n a a a a ,,,,321 成等差数列，考虑)1(n j i a a j i ≤<≤+，根据等差数列的性质， 当n j i ≤+时，11-++=+j i j i a a a a ；当n j i >+时，n n j i j i a a a a +=+-+；因此每个和)1(n j i a a j i ≤<≤+等于)2(1n k a a k ≤≤+中的一个，或者等于)12(-≤≤+n l a a n l 中的一个.所以对这样的32)(,-=n A l A ,所以)(A l 的最小值为32-n . --------------------------------------13分。
2019年北京市高考数学一模试卷(理科)(解析版)
2019年北京市高考数学一模试卷(理科)(解析版)2019年北京市高考数学一模试卷（理科）一、选择题共8个小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数z=i（1+i），则|z|等于（）A。
2B。
√2C。
1D。
2√22.在方程r=2cosθ+3sinθ（θ为参数）所表示的曲线上的点是（）A。
(2.-7)B。
(3.1)C。
(1.5)D。
(2.1)3.设公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4=2(a2+a3)，则Sn=（）A。
5anB。
6anC。
7anD。
14an4.将函数y=sin2x的图象向左平移π/4个单位后得到函数y=g(x)的图象。
则函数g(x)的一个增区间是（）A。
(π/4.3π/4)B。
(3π/4.5π/4)C。
(5π/4.7π/4)D。
(7π/4.9π/4)5.使“a>b”成立的一个充分不必要条件是（）A。
a>b+1B。
a>b-1C。
a^2>b^2D。
a^3>b^36.下列函数：①y=-|x|；②y=(x-1)^3；③y=log2(x-1)；④y=-6.在x中，在(1.+∞)上是增函数且不存在零点的函数的序号是（）A。
①④B。
②③C。
②④D。
①③④7.某三棱锥的正视图和侧视图如图所示，则该三棱锥的俯视图的面积为（）A。
6B。
8C。
10D。
128.远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示的是一位母亲记录的孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满七进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是（）A。
336B。
510C。
1326D。
3603二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
9.在(1-x)^5的展开式中，x^2的系数为______（用数字作答）。
答案：1010.已知向量a=(1.b)。
b=(-2.-1)，且向量a+b的模长为√10.则实数x=______。
2019怀柔区高三一模数学试卷及答案理科
B .必要不充分条件 D .既不充分也不必要条件怀柔区2019〜2019学年度第二学期高三适应性练习数学（理科）2019.3本试卷分第I 卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分，第I卷 150分.考试时间120分钟.考试结束，将本试卷和答题卡一并交回.1至2页，第H 卷3至8页，共第I 卷（选择题共40 分） 注意事项： 1. 答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上. 2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选 涂其它答案，不能答在试卷上. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求 的一项. 1.已知全集 U =R , A={x —1<x<2} , B={xxKC}，贝y C U (A U B )= {x0 兰x<2} B . {XX _ 0} 2. 3. 4. 5. 复数 {xx 兰-1} D . {XX -1} 1 i 1 -i -i -1已知等比数列｛a n ｝的公比为 A . 10 B . 15 如图是一正方体被过棱的中点 几何体的主视图为 2，且a 1 a^ 5，则a 2 的值为C. 20D . 25M 、N 和顶点A 、D 、C 1的两个截面截去两个角后所得的几何体，则该则a = 1”是a _ b ”的若 a = (1,2, —3), A .充分不必要条件C .充要条件-x , x _ —16.右图是计算函数y =三0 ,x <2的值的程序框图，则2 -x , x >2在①、②、③处应分别填入的是棱OA 上运动，另一个端点N 在=BCO 内运动（含边界），则MN 的中点P 的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体的体积为兀，、HB .或 36 '—6 6 D .—或 36 —— 6 67 •在极坐标系中，定点 (31A 1 — 动点B 在直线 P cosO + Psin 8 = 0/ 输岀y /上运动，当线段 AB 最短时，动点 B 的极坐标是结束.2 2兀B .（于占（于D .3r )&已知三棱锥 A - BCO , OA OB OC 两两垂直且长度均为6，长为2的线段MN 的一个端点M 在 开始 A . y -_x ,y =o B .2y --X , y =xC . y =° , y = 2X ,D . y 二° ,y =-X ,y =x 2 兀A .6JIC . 36 - _6输入x否X 亏一1是否③x 2是②.y =0y - ^x 2y =x第口卷（非选择题共110分）注意事项：1 •用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上.2 •答卷前将密封线内的项目填写清楚.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分•把答案填在题中横线上.— 29.命题：-X- R, x - 0的否定是 ______________________ •10•函数f （x ） =2cos 2 x -1的最小正周期为 _______________ ;单调递减区间为 11 •如图是甲、乙两班同学身高（单位：cm ）数据的茎叶图，则甲班同学身高的中位数为 ________________若从乙班身高不低于 170cm 的同学中随机抽取两名，则身高为173cm 的同学被抽中的概率为 ____________ .甲班 乙班 2 18 1 9 9 1 0 17 0 3 6 8 9 8 8 3 216 2 5 8 815 912•已知PA 是圆O 的切线，切点为 A , PA =2. AC 是圆O 的直径, 则圆O 的半径R= _____________________ •2 213 •已知抛物线 y =2px （p 0）与双曲线 笃-每=1有相同的焦点F ，点A 是两曲线的一个交点, a b 且AF 丄x 轴，则双曲线的离心率为 ________________14•在某条件下的汽车测试中，驾驶员在一次加满油后的连续行驶过程中从汽车仪表盘得到如下信息: 时间 油耗（升/100公里）可继续行驶距离（公里）10： 00 9.5 300 11： 009.6220注：油耗_加满油后已用油量 : 一加满油后已行驶距离可继续行驶距离汽车剩余油量当前油平均油耗二指定时间内的用油量•指定时间内的行驶距离从以上信息可以推断在 10 : 00 —11： 00这一小时内 ① 行驶了 80公里； ② 行驶不足80公里；PC 与圆O 交于点B , PB =1,（填上所有正确判断的序号）③平均油耗超过9.6升/100公里；④平均油耗恰为9.6升/100公里；⑤平均车速超过80公里/小时.三、解答题：本大题共6小题，共80分•解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15. (本小题满分13分)在ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的三边，已知b2+c2_a2二be .(I)求角A的值；(n)若a = 3 , cosC '—，求c 的长.316. (本小题满分14分)如图，四棱锥P - ABCD的底面为正方形, 侧棱PA _ 底面ABCD，且PA¥D =2 , E,F,H 分别是线段PA, PD , AB的中点.(I)求证：PB〃平面EFH ;(H)求证：PD _平面AHF ;(川)求二面角H -EF -A的大小.甘17. (本小题满分13分)为了参加广州亚运会，从四支较强的排球队中选出18人组成女子排球国家队，队员来源人数如下表：(I)从这18名队员中随机选出两名，求两人来自同一支队的概率；(H)中国女排奋力拼搏，战胜韩国队获得冠军.若要求选出两位队员代表发言，设其中来自北京队的人数为，求随机变量'的分布列，及数学期望 E '.18. (本题满分13分)已知函数f (x) =x ax bl nx ( x . 0 ,实数a , b为常数).(i)若a=1,b = —1，求f (x)在x =1处的切线方程；(n)若a - -2 - b，讨论函数f (x)的单调性.BD 交椭圆C 于B 、D 两点，且 A 、B 、D 三点不重合. (I)求椭圆C 的方程；(n) ABD 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由? (川)求证：直线 AB 、AD 的斜率之和为定值.[2已知点A(1,、2)是离心率为—的椭圆C :22 2笃亠与=1(a b - 0)上的一点.斜率为b a..2的直线已知集合A =仙，a2, a3,…，a*｝，其中a i R(1兰i兰n, n >2) ,(A)表示和aj + a」(1兰i v j兰n) 中所有不同值的个数.(I)设集合P 二｛2,4,6,8｝, Q 二｛2,4,8,16｝，分别求l(P)和l(Q);(n)若集合A ={2,4,8,2 n }，求证: 皿弩);(川)l (A)是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由?参考答案及评分标准（理科）、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.题号12345678答案C C A B A B B D5分，共30分.二、填空题：本大题共6小题，每小题2』6c 二32019.329. T x R,x ::: 0 10. 二;[k二,k二?](k Z) 11.169;12. .3 13. '.2 1 14.②③三、解答题：本大题共6小题，共8015. （本小题满分13分）在ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的三边，已知b2+c2 - a（I）求角A的值;(n)若a = -、3 , cosC —，求c的长.3解：(I) ； b2 +c2-a2二bc ,2 2 2b +c —a 1 c o sA =2bc0 ：： A ::二(n)在ABC 中，A =—,3■- .3 a = .3 , cosC =-3由正弦定理知:sin A sinC2.6sin A1213数学试卷16. (本小题满分14分)四棱锥P-ABCD 的底面为正方形，侧棱PA_底面ABCD ，且FA /D =2 , E,F, H••• PB =2EH ,••• PB 二平面 EFH ，且 EH 平面 EFH , • PB 〃平面 EFH . ---------------------------T T —*(n)解：PD=(0,2,-2) , AH =(1,0,0) , AF (0,1,1),PD AF = 0 0 2 1 (-2) 1 =0, PD AH 0 12 0 (-2) 0 = 0.PD _ AF , PD _ AH , 又: AF “AH =A ,.PD _ 平面 AHF . ------------------所以二面角 H - EF - A 的大小为 45 . ------------------------------------------------- 14 分如图, 分别是线段 P 代PD, AB 的中点.(I)求证： (n)求证： (川)求二面角H -EF -A 的大小.PB //平面 EFH ; PD _ 平面 AHF ;解：建立如图所示的空间直角坐标系A —xyz ,-A(0,0,0), B(2,0,0), C(2,2,0), D(0,2,0), P(0,0,2)，E(0,0,1)，F(0,1,1)，H (1,0,0).(I)证明：••• P B = (2,0, —2) , EH = (1,0,—1),(川)设平面HEF 的法向量为n= (x, y,z),因为 EF =(0,1,0) EH =(1,0,—1)n EF y =0,则n EH 二 x - z = 0,取 n =(1,0,1).又因为平面AEF 的法向量为m= (1,0,0),___ =_止;2 1 2 2所以 cos ： m, n 锂 1 -0 0 -|m|| n|12 分'■< m, n x 45 ,分17. （本小题满分13分）为了参加广州亚运会，从四支较强的排球队中选出18人组成女子排球国家队，队员来源人数如下表：（）从这18名队员中随机选出两名，求两人来自同一支队的概率；（n）中国女排奋力拼搏，战胜韩国队获得冠军.若要求选出两位队员代表发言，设其中来自北京队的人数为■，求随机变量■的分布列，及数学期望E'.解：（I ）从这18名队员中随机选出两名，两人来自于同一队”记作事件A ,2 2 2 2则p（A）亠C6 2C3 C5 2. ______________________________________________ 5分9（n ）t的所有可能取值为0, 1 , 2. ---------------------------------------------------------------- 2分2 11 2...p（•呵二旦,PC =1）=洋二色,PC =2）=$ =2 ,C18 153 C18 153 C18 153••• ■的分布列为：分••• E( ) =0 1 -56 2 —4 . -------------------------------------------------------- 13 分153 153 153 918. (本题满分13分)已知函数f (x) =x2 ax bl nx ( x • 0 ,实数a , b为常数).(I)若a =1,b ，求f (x)在x =1处的切线方程；(n)若a - -2 - b，讨论函数f (x)的单调性.2解：(I)因为a = 1,b = -1，所以函数f (x) = x • x -In x , f (1) = 21 '又f (x) =2x 1 , f (1) ^2 --------------------------------------------------------- 2 分x所以y -2 =2(x -1)即f(x)在x=1处的切线方程为2x-y=0 ------------------------------------------------------ 5 分2(n)因为a =「2 —b，所以f (x) =x -(2 b)x bln x，贝U”点丄b (2x— b)(x 1)f ( x)= 2x- (2 b ) (x 0)x xb令f(X)= 0，得为=一,冷=1 . ------------------------------------------------------------------ 7 分2b(1)当-<0，即b 乞0时，函数f(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1「：)；----------------------------------------------------------------------------------------------------- 8分(2)当0 ：：： 2 ”：1，即0 ”： b ：：： 2时，f (x) , f (x)的变化情况如下表:所以，函数f (x)的单调递增区间为(0,|)，(1,二)，单调递减区间为(|,1)； ——9分(3) -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 当b =1，即b=2时，函数f (x)的单调递增区间为(0, =) ； ----------------------------------------------- 10 分b(4) 当—・1，即b 2时，f (x)， f (x)的变化情况如下表：所以函数f (x)的单调递增区间为(0,1)，(2,丘)，单调递减区间为(1,?) ； ----------------- 12分 综上，当b 空0时，函数f (x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,=)；当0 ■ b 2时, 函数f(x)的单调递增区间为(0上)，(1「：)，单调递减区间为(-,1);当b=2时，函数f (x)的单2 2调递增区间为(0,二：)；当b 2时，函数f(x)的单调递增区间为(0,1)，(-^：：)，单调递减区间2为(1,b ) . ------------------------------------------------------------------------------------------ 13分219. (本小题满分14分)2 2务 与=1(a b - 0)上的一点•斜率为 2 的直线b aBD 交椭圆C 于B 、D 两点，且 A 、B 、D 三点不重合. (i)求椭圆C 的方程；(n) ABD 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由? (川)求证：直线 AB 、AD 的斜率之和为定值.已知点A(1, .2)是离心率为-詁2—的椭圆C :22 c 1 2 2,22 解：(I)，e , 2 2=1，a = b c2 a b aa = 2,b =、•. 2 ,c = ■. 2 2 2x y “ 124y+b n 4x 2 +2V2bx +b 2 —4 = 0 2X + y =4..：--8b 2 640 二 -2、2 :：: b :: 2. 2227二2；2)1]=0，即 k AD k AB = 0 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 1420. (本小题满分13分)已知集合 A ={a 「a 2, a 3,…,a n }，其中 a iR(1 兰 i 兰 n, n >2) , l(A)表示和 a j (^ i中所有不同值的个数.(n)设直线 BD 的方程为y - • 2x • bX i ' X 2b,—①2b 2 -4X-|X 2:十;1 - ( . 2)2 X _x 2•3逼=岛込琶,2设d 为点A 到直线BD : y=2x b 的距离,S.ABD7 2 ' 2 2 r~BDd = — P(8—b)b <<2 ，当且仅当b = ±2时取等号4因为 2 (-2,2,2.2)，所以当b =「2时， ABD 的面积最大，最大值为 ..210分(川)设 D(X 1, y 1), B(X 2, y 2)，直线 AB 、AD 的斜率分别为：k AB 、k AD ，则-、2kAD—_1y2■IIIIr：■- 2 「2x 1 b -、2 二 2x 2 b -、2—= ------------------------------ 十 ------------------------X ： - 1X i=2显 b[X 1 X 2-2] x 1x 2 - (x 1 ■ x 2)1将(n)中①、②式代入 *式整理得分X(I)设集合P 二｛2,468｝, Q 二｛2,4,8,16｝，分别求l(P)和l(Q)；(H)若集合A ={2,4,8, ,2n}，求证:|(A)=丄^卫；(川)l (A)是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由？解：(I)由2 4 = 6,2 6 =8,2 8 =10,4 6 =10,4 8 =12,6 8 =14,得l(P) =5.由2 4 =6,2 8 =10,2 16 =18,4 8 =12,4 16 = 20,8 16 =24,(n)证明：因为a i a j (^ i 讪最多有几咛)个值，所以®咛又集合A 二{2,4,8, ,2n},任取a i■ a j, a k a l (1 乞i ：：： j < n,1 乞k ::: l <n),当j l 时,不妨设j :: l，则a i■ a j::: 2a j = 2j a l< a k■ a l,即a i - a j a k - a l.当j = l,i = k 时，Q a」=a k a i.因此，当且仅当i二k, j = l时，a i■ a」=a k■ a l.即所有a i a j(^^：： j < n)的值两两不同，所以1(A)二垃9. ------------------------------------------------------------------------------------- 2(川)l(A)存在最小值，且最小值为2n -3 .不妨设a^：： a2::: a3”：…：：：a n,可得a1 a2 :::a1 ■ a^ ::: a1 ■ an ::: a2 ，an ：：：…：:：an ' an,所以a • a j(1乞i ：：：j辽n)中至少有2n-3个不同的数，即l (A) _ 2n-3.事实上，设玄勺忌忌,,a n成等差数列，考虑a i - a j(1乞i ：：：j乞n)，根据等差数列的性质，当i j n时，a i - a j = a j ' a i —;当i j . n 时，a j • a」二a j 寸』• a n;因此每个和a j • a」(1 _ i ：：： j _ n)等于a i • a k(2空k空n)中的一个，或者等于a i • a n (2 _ 丨 _ n -1)中的一个•所以对这样的代1(A) =2n—3,所以1(A)的最小值为2n-3. ------------------------------------------ 13 分。