鹰眼系统—数学建模
数学建模全国一等奖论文-供参考
关于数码相机定位问题的数学模型摘要本文是关于系统标定中的双目定位问题，对靶标上面的特征点在像平面内进行标定。
我们首先对像图进行了灰度处理，然后通过sobel算子进行边缘检测，将像平面转化为边界处理，计算区域由二维降低为一维，显著的降低了计算量。
对于问题一，我们根据成像原理，得到像图中某些特征点和特征关系用以确定圆心，并由此建立了割线逼近模型，并且利用遍历搜索的算法进行求解。
同时，我们根据图像的边界点特征，建立了霍夫变换模型和基于K-平均算法的数学模型。
割线逼近模型主要依据物与像之间的不变的几何关系，通过寻找靶标的像图中的切线和切点来确定圆心，在求解过程中使用了灭点理论。
这种算法虽然在边界识别以及切线确定中存在误差，但它可以有效的避免对像平面上点集形状的认定。
霍夫变换以及K-平均算法都对像图中的像进行了假设，并认为物的圆心的像在像图中是具有几何特征的点（分别是圆的圆心和椭圆的中心），从而将问题转化为求像图的几何特征点。
霍夫变换把图形从坐标空间映射到参数空间，在参数空间搜索极值点来确定图形的实际参数，只要图形可以通过较少的参数来描述，该方法就可以在可接受的时间里获得较为精确的结果；而K-平均算法是模式识别中常用的聚类算法，利用该算法我们把图像中五个圆的点分为五类，对每一类求取重心点来获得其圆心所在位置。
K平均算法可以在极短时间内获得精确的圆心坐标，有着良好的性能，但对图像质量要求较高，需要对较为严格的预处理过程。
而霍夫变换抗干扰能力相对要强一些，但是运算时间较长，且只能用于图形近似为圆的场合，对椭圆的场合运算速度则会过慢。
我们用问题一中的三个模型和算法对问题二进行了求解计算。
结果显示，基于K-平均算法的数学模型最合适本题的求解，此时，我们到靶标在像平面内的圆心坐标为：（-187，193）、（-86，187）、（130，171）、（-225，-119）、（72，-119）。
问题三中，我们通过三维空间中的不同的摄像角度，给出了不同的像图。
2023年数学建模a题定日镜场的优化设计
《2023年数学建模A题：定日镜场的优化设计》在2023年数学建模A题中，定日镜场的优化设计是一个备受关注的话题。
定日镜场是一种利用太阳能将光聚焦在热发电站上的技术，具有巨大的潜力和应用前景。
本文将从多个角度对定日镜场的优化设计进行全面评估，并提出个人观点和建议。
一、定日镜场的作用和原理定日镜场是一种利用反射镜或透镜将太阳光聚焦在焦点上的装置。
通过聚光可以将太阳能转化为热能，然后用于产生电力或其他热能利用。
这种技术可以有效地利用太阳能资源，具有环保、可再生等优点，是未来能源发展的重要方向之一。
二、定日镜场的优化设计1. 光学方面的优化定日镜场的光学设计是其优化的核心。
需要考虑反射镜或透镜的形状、材料、表面精度等因素，以确保太阳光能够被准确聚焦在焦点上，最大限度地提高能量利用效率。
2. 结构方面的优化定日镜场的结构设计也是优化的重要内容。
需要考虑支架、跟踪系统、操作系统等部分的结构设计，以确保在各种环境条件下都能够稳定运行，并具有良好的机械强度和耐久性。
3. 运行管理方面的优化定日镜场的运行管理对于其能量利用效率和维护成本都具有重要影响。
需要考虑如何合理安排运行时间、维护周期和维护方式，以最大限度地降低成本，保证系统的长期稳定运行。
三、定日镜场优化设计的个人观点和建议就定日镜场的优化设计而言，我认为需要综合考虑光学、结构和运行管理等多个方面的因素。
在光学设计上，可以采用先进的光学材料和设计方法，以提高聚光效果；在结构设计上，可以采用轻型材料和先进的制造工艺，以提高支架的稳定性和跟踪系统的精度；在运行管理上，可以采用智能化的监控系统和预测维护技术，以降低运行成本和增加系统的可靠性。
总结回顾定日镜场的优化设计是一个复杂而重要的课题，通过本文的全面评估和讨论，相信读者已经对这一话题有了更深入的了解。
在未来的实践中，需要不断深化对定日镜场优化设计的研究，以提高其能量利用效率和经济性，为人类的可持续发展做出贡献。
数学建模竞赛常用算法
网络流概念
网络流是图论中的一个重要概念，表示在有向图中，通过边进行 传输的流量。
图的表示方法
图的常见表示方法包括邻接矩阵、邻接表和边集数组等。
图与网络基本概念
图论基础
图是由节点（顶点）和边组成的一种数据结构，用于表示对象及 其之间的关系。
在非线性规划中，凸函数和凹函数的 性质对于问题的求解和分析具有重要 意义。
局部最优解与全局最优解
非线性规划问题可能存在多个局部最 优解，而全局最优解是所有局部最优 解中目标函数值最优的解。
非线性规划基本概念
非线性规划定义
凸函数与凹函数
非线性规划是一种数学优化技术，用 于求解目标函数或约束条件为非线性 函数的优化问题。
Gomory割等。
03
迭代过程
在每次迭代中生成一个或多个割平面，将原问题转化为一个更小的子问
题，然后求解子问题并更新最优解。重复此过程直到满足终止条件。
应用案例：物流配送路径优化
问题描述
物流配送路径优化问题是指在满足一定约束条件下，寻找总成本最小的配送路径。该问题 可转化为整数规划问题进行求解。
建模方法
使用单纯形法求解该线性规划模 型，得到最优的生产计划安排。 同时，可以进行灵敏度分析以了 解不同参数变化对生产计划的影
响程度。
应用案例：生产计划优化
问题描述
某企业计划生产多种产品，每种 产品需要不同的原料和加工时间， 且市场需求和原料供应有限。如 何安排生产计划以最大化利润或
最小化成本？
建模过程
将每种产品的产量作为决策变量， 以利润或成本作为目标函数，以 市场需求、原料供应和生产能力 等作为约束条件，构建线性规划
体检报告自动预判辅助系统设计数学建模
体检报告自动预判辅助系统设计数学建模【实用版】目录1.体检报告自动预判辅助系统的背景和意义2.数学建模在体检报告自动预判辅助系统中的应用3.系统的设计和实现4.系统的优点和可能的改进方向正文随着科技的发展，医疗行业也在不断进行现代化改革。
其中，体检报告自动预判辅助系统的设计数学建模就是一项重要的创新。
一、体检报告自动预判辅助系统的背景和意义在现代医疗行业中，体检报告的阅读和解读是一项既重要又复杂的工作。
由于医学知识的专业性，这项工作往往需要医生具备高深的医学知识和丰富的经验。
然而，医生的时间和精力是有限的，这就导致了体检报告的阅读和解读速度慢、效率低，甚至可能出现误判的情况。
因此，设计一款能够自动预判体检报告的辅助系统，具有重要的实际意义。
不仅能够提高体检报告阅读和解读的速度和效率，还能够减轻医生的工作压力，提高医疗服务的质量。
二、数学建模在体检报告自动预判辅助系统中的应用数学建模是设计体检报告自动预判辅助系统的关键。
通过建立数学模型，可以将复杂的医学知识转化为计算机可以理解和处理的信息。
在建立数学模型时，需要考虑的因素包括：体检报告的数据类型和格式、医生的诊断标准和规则、疾病的症状和体征等。
只有将这些因素综合考虑，才能设计出准确、高效的自动预判辅助系统。
三、系统的设计和实现系统的设计主要包括两个部分：数据输入和模型计算。
数据输入部分主要是将体检报告的数据转化为系统可以处理的格式；模型计算部分则是根据建立的数学模型，对输入的数据进行计算，得出预判结果。
系统的实现主要依赖于计算机编程技术。
通过编写程序，实现数据的输入、计算和输出。
同时，还需要设计用户界面，方便医生使用和查看预判结果。
四、系统的优点和可能的改进方向体检报告自动预判辅助系统的最大优点是提高了体检报告阅读和解读的速度和效率，减轻了医生的工作压力。
同时，通过计算机的精确计算，还能够减少误判的可能性，提高医疗服务的质量。
然而，系统也存在一些不足。
全国大学生数学建模竞赛常用建模方法总结概要
全国大学生数学建模竞赛常用建模方法总结概要第一篇：全国大学生数学建模竞赛常用建模方法总结概要邯郸学院本科毕业论文题目学生指导教师年级专业二级学院（系、部）全国大学生数学建模竞赛常用建模方法探讨柴云飞闫峰教授 2009级本科数学与应用数学数学系2013年6月邯郸学院数学系郑重声明本人的毕业论文是在指导教师闫峰的指导下独立撰写完成的．如有剽窃、抄袭、造假等违反学术道德、学术规范和侵权的行为，本人愿意承担由此产生的各种后果，直至法律责任，并愿意通过网络接受公众的监督．特此郑重声明．论文经“中国知网”论文检测系统检测，总相似比为5.80%．毕业论文作者（签名）：****年**月**日全国大学生数学建模竞赛常用建模方法探讨摘要全国大学生数学建模竞赛作为全国高校规模最大的基础性学科竞赛，越来越受到人们的重视，所以建模竞赛的方法也就变得尤为重要．随着竞赛的不断发展，赛题的开放性逐步增大，一道赛题可用多种解法，各种求解的算法有时会相互融合，同时也在向大规模数据处理方向发展，这就对选手的能力提出了更高的要求．由于建模方法种类众多，无法一一介绍，所以本文主要介绍了四种比较常用的数学建模竞赛方法，包括微分与差分方程建模方法、数学规划建模方法、统计学建模方法、图论方法，并结合历年赛题加以说明．关键词：数学建模竞赛统计学方法数学规划图论ICommonly Used Modeling Method ofChina Undergraduate Mathematical Contest in Modeling Chai yunfeiDirected by Professor Yan fengABSTRACTmore people as a basic subject of the largest national college competition.The method of modeling competition has become more and more important.Open questions gradually increased with the development of competition.Most of the games can be solved by lots of solutions.Sometimes these methods can be used together.And there is also a lot of data which puts forward higher requirement on the ability of players.The modeling methods is too numerous to mention, so this article mainly four kinds Commonly used modeling method are introduced that differential and difference equations modeling method, Mathematical programming modeling method, Statistics modeling method, graph theory and interprets with calendar year’s test questions.KEY WORDS：Mathematical contest in modeling Statistics method Mathematical programming Graph theoryII目录摘要........................................................................................................................... ...................I 英文摘要........................................................................................................................... . (II)前言........................................................................................................................... ..................1 1 微分方程与差分方程建模 (2)1.1 微分方程建模 (2)1.1.1 微分方程建模的原理和方法...............................................................................2 1.1.2 微分方程建模应用实例.......................................................................................3 1.2 差分方程建模 (4)1.2.1 差分方程建模的原理和方法...............................................................................4 1.2.2 差分方程建模应用实例.......................................................................................5 数学规划建模........................................................................................................................... ..52.1 线性规划建模的一般理论..............................................................................................6 2.2 线性规划建模应用实例.. (7)3 统计学建模方法 (8)3.1 聚类分析 (8)3.1.1 聚类分析的原理和方法.......................................................................................8 3.1.2 聚类分析应用实例...............................................................................................9 3.2 回归分析.. (9)3.2.1 回归分析的原理与方法.......................................................................................9 3.2.2 回归分析应用实例.............................................................................................10 图论建模方法...........................................................................................................................104.1 两种常见图论方法介绍 (11)4.1.1 模拟退火法的基本原理.....................................................................................11 4.1.2 最短路问题.........................................................................................................11 4.2 图论建模应用实例........................................................................................................12 5 小结........................................................................................................................... ................13 参考文献........................................................................................................................... ............14 致谢........................................................................................................................... . (15)前言全国大学生数学建模竞赛创办于1992年，每年一届，目前已成为全国高校规模最大的基础性学科竞赛，也是世界上规模最大的数学建模竞赛．参赛者需要根据题目要求，在三天时间内完成一篇包括模型假设、模型建立和求解、计算方法的设计和实现、模型结果的分析和检验、模型的改进等方面的论文．通过参加竞赛的训练和比赛，可以提高学生用数学方法解决实际问题的意识和能力，而且在培养团队精神和撰写科技论文等方面都会得到十分有益的锻炼．竞赛题目的涉及面比较宽，有工业、农业、工程设计、交通运输、经济管理、生物医学和社会事业等．竞赛选手不一定预先掌握深入的专业知识，而只需要学过高等数学的相关课程即可，并且题目具有较大的灵活性，便于参赛者发挥其创造能力．近年来，竞赛题目包含的数据较多，手工计算一般不能实现，所以就对参赛者的计算机能力提出了更高的要求，如2003年B题，某些问题的解决需要使用计算机软件；2001年A题，问题的数据读取需要计算机技术，并且对于给出的图像，需要用图像处理的方法获得；再如2004年A题则需要利用数据库数据，数据库方法，统计软件包等等．竞赛题目的总体特点可大致归纳如下：（1）实用性不断加强，问题和数据来自于实际，解决方法需要切合实际，模型和结果可以应用于实际；（2）综合性不断加强，解法多样，方法融合，学科交叉；（3）数据结构越来越复杂，包括数据的真实性，数据的海量性，数据的不完备性，数据的冗余性等；（4）开放性也越来越突出，题意的开放性，思路的开放性，方法多样，结果不唯一等．总体来说，赛题向大规模数据处理方向发展，求解算法和各类现代算法相互融合．纵观历年的赛题，主要用到的建模方法有：初等数学模型、微分与差分方程建模、组合概率、数据处理、统计学建模、计算方法建模、数学规划、图论方法、层次分析、插值与拟合、排队论、模糊数学、随机决策、多目标决策、随机模拟、计算机模拟法、灰色系统理论、时间序列等．本文不一一列举竞赛题目中涉及的所有方法，只是重点讨论其中一些比较常用的方法，包括微分与差分方程建模方法、数学规划建模方法、统计学建模方法、图论建模方法，并结合案例说明建模方法的原理及应用．微分方程与差分方程建模在很多竞赛题目中，常常会涉及很多变量之间的关系，找出它们之间的函数关系式具有重要意义．可在许多实际问题中，我们常常不能直接给出所需要的函数关系，但可以得到含有所求函数的导数（或微分）或差分（即增量）的方程，这样的方程称为微分方程或差分方程.建立微分方程或差分方程的数学模型是一种重要的建模方法.如1996年A题“最优捕鱼策略”，1997年A题“零件参数设计”，2003年A题“SARS的传播”，2007年A题“中国人口增长预测”，2009年A题“最优捕鱼策略”等赛题中，都用到了这种方法．1.1 微分方程建模1.1.1 微分方程建模的原理和方法一般来说，任何时变问题中随时间变化而发生变化的量与其它一些量之间的关系经常以微分方程的形式来表现．例1.1 有一容器装有某种浓度的溶液，以流量v1注入该容器浓度为c1的同样溶液，假定溶液立即被搅拌均匀，并以v2的流量流出混合后的溶液，试建立反映容器内浓度变化的数学模型．解注意到溶液浓度=变化而发生变化．不妨设t时刻容器中溶质质量为s(t)，初始值为s0,t时刻容器中溶液体积为v(t)，初始值为v0，则这段时间(t,t+∆t)内有溶液质量，因此，容器中溶液浓度会随溶质质量和溶液体积溶液体积⎧∆s=c1v1∆t-c2v2∆t，（1）⎨⎩∆V=v1∆t-v2∆t其中c1表示单位时间内注入溶液的浓度，c2表示单位时间内流出溶液的浓度，当∆t很小时，在(t,t+∆t)内有c2≈s(t)s(t)=.（2）V(t)V0+(v1-v2)t对式（1）两端同除以∆t，令∆t→0，则有⎧ds⎪dt=c1v1-c2v2⎪⎪dV.（3）=v1-v2⎨⎪dt⎪s(0)=s0,V(0)=V0⎪⎩即所求问题的微分方程模型．虽然它是针对液体溶液变化建立的，但对气体和固体浓度变化同样适用．实际应用中，许多时变问题都可取微小的时间段∆t去考察某些量之间的变化规律，从而建立问题的数学模型，这是数学建模中微分方程建模常用手段之一．常用微分方程建模的方法主要有：（1）按实验定律或规律建立微分方程模型．此种建模方法充分依赖于各个学科领域中有关实验定律或规律以及某些重要的已知定理，这种方法要求建模者有宽广的知识视野,这样才能对具体问题采用某些熟知的实验定律．（2）分析微元变化规律建立微分方程模型．求解某些实际问题时，寻求一些微元之间的关系可以建立问题的数学模型．如例1.1中考察时间微元∆t，从而建立起反应溶液浓度随时间变化的模型．此建模方法的出发点是考察某一变量的微小变化，即微元分析，找出其他一些变量与该微元间的关系式，从微分定义出发建立问题的数学模型．（3）近似模拟法．在许多实际问题中，有些现象的规律性并非一目了然，或有所了解亦是复杂的，这类问题常用近似模拟方法来建立问题的数学模型．一般通过一定的模型假设近似模拟实际现象，将问题做某些规范化处理后建立微分方程模型，然后分析、求解，并与实际问题作比较，观察模型能否近似刻画实际现象．近似模拟法的建模思路就是建立能够近似刻画或反映实际现象的数学模型，因此在建模过程中经常做一些较合理的模型假设使问题简化，然后通过简化建立近似反映实际问题的数学模型．1.1.2 微分方程建模应用实例例1.2（2003年高教社杯全国大学生数学建模竞赛A题）SARS 传播的预测．2003年爆发的“SARS”疾病得到了许多重要的经验和教训，使人们认识到研究传染病的传播规律的重要性．题目给出了感病情况的三个附件，要求对SARS的传播建立数学模型：（1）对SARS的传播建立一个自己的模型，并说明模型的优缺点；（2）收集SARS对经济某个方面影响的数据，建立相应的数学模型并进行预测．问题求解过程分析由于题目具有开放性，故选择文献[1]中的求解思路分析.传染病的传播模式可近似分为自由传播阶段和控后阶段，然后将人群分为易感者S，感病者I，移出者R三类．由三者之间的关系可得到下列微分方程：⎧dS⎪dt=-kIS⎪dI⎪⎪=kIS-hI，⎨dt⎪dR=hI⎪⎪dt⎪⎩S+I+R=N利用附件中给出的数据，可以将上述方程变形为dI=kNI-hI=λI，dt其中λ=kN-h，其解为I(t)=I0e-λt.其中I0为初始值．但此模型只适用于病例数与总人口数具有可比性的情况，当病例数远小于总人口数时，感病人数将随时间以指数增长.这是按实验定律或规律建立的微分方程模型.为进一步改进模型，用计算机跟踪病毒的个体传播情况，又建立计算机模拟模型．然后用计算机模拟北京5月10日之前SARS的传播情况，并对5月10日以后的传播情况进行预测．但是得到的有效接触率与实际统计数据有所偏差，所以统计数据，为参数的确定寻求医学上的支持，并以随机模拟取代完全确定性的模拟，对原模型进行改进，建立随机模拟模型．通过计算机编程，产生正态分布的随机数，并对传染情况进行500次模拟，即可进行预测，并可得出对SARS疫情控制提出的相应建议．1.2 差分方程建模1.2.1 差分方程建模的原理和方法差分方程在数学建模竞赛中应用的频率极高，所以要对这种方法引起足够的重视．它针对要解决的目标，引入系统或过程中的离散变量．具体方法是：根据实际的规律性质、平衡关系等，建立离散变量所满足的关系式，从而建立差分方程模型．差分方程可以分为不同的类型，如一阶和高阶差分方程，常系数和变系数差分方程，线性和非线性差分方程等等．建立差分方程模型一般要注意以下问题：（1）注意题中的离散变化量，对过程进行分析，尤其要注意形成变化运动过程的时间或距离的分化而得到离散变量；（2）通过对具体变化过程的分析，列出满足题意的差分方程，其中入手点是找出变量所能满足的平衡关系、增量或减量关系及规律，从而得到差分方程．1.2.2 差分方程建模应用实例例1.3（2007年高教社杯全国大学生数学建模竞赛A题）中国人口增长预测.题目要求从中国的实际情况和人口增长的特点出发，参考附录中的相关数据（也可以搜索相关文献和补充新的数据），建立中国人口增长的数学模型，并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测，特别要指出模型中的优点与不足之处.问题求解过程分析由于题目具有开放性，故选择文献[2]中的求解思路分析.通过分析题中相关的数据，考虑到我国近年来人口发展的总趋势，因为涉及到人口的增长和变换，所以可以先用微分方程来建立模型，并对我国人口增长的中短期和长期趋势做出预测．首先，根据灰色系统理论，使用灰色关联分析模型法对人口系统结构进行关联分析，找出影响人口增长的主要因素；其次使用年龄推算法进行短期预测.在建立和求解长期预测模型时，根据人口阻滞增长模型（Logistic模型），可以考虑对中国人口老龄化进程加速、出生人口性别比例持续升高以及乡村人口城镇化等因素建立新的人口增长的差分方程模型.但是它仅给出了人口总数的变化规律，反映不出各类人口的详细信息，所以我们需要建立离散化的模型，并进一步可以得到全面系统地反应一个时期内人口数量状况的差分方程，可以用微分和差分方程理论来表现和模拟人口数量的变化规律．从而对人口分布的状况、变化趋势、总体特征等有更加详细和科学的了解．在模型的求解过程中，用到了MATLAB软件，并做参数估计，利用所得结果和题目给出的近五年来的人口数据，对我国人口发展趋势进行了预测，得到了在老龄化进程加速、出生人口性别比例持续升高以及乡村人口城镇化等因素影响下，未来我国人口发展预测情况.数学规划建模数学规划是指在一系列条件限制下，寻求最优方案，使得目标达到最优的数学模型，它是运筹学的一个重要分支．数学规划的内容十分丰富，包括许多研究分支，如：线性规划、非线性规划、整数规划、二次规划、0-1规划、多目标规划、动态规划、参数规划、组合优化、随机规划、模糊规划、多层规划问题等．在1993年A题“非线性交调的频率设计”，1993年B题“足球队排名”，1995年A题“飞行管理问题”，1996年B题“节水洗衣机”，1997年A题“零件的参数设计”，1998年A题“一类投资组合问题”，1999年B题“钻井布局”，2001年B题“公交车调度问题”，2002年A题“车灯线光源的优化”，2006年A题“出版社书号问题”，2007年B题“城市公交线路选择问题”等赛题中，都用到了规划的方法．在此以线性规划为例，对规划的方法进行探讨．2.1 线性规划建模的一般理论线性规划建模方法主要用于解决生产实际中的资源利用、人力调配、生产安排等问题，它是一种重要的数学模型．线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是研究线性约束条件下线性目标函数的极值问题的数学理论和方法．一般的优化问题是指用“最好”的方式，使用或分配有限的资源即劳动力、原材料、机器、资金等，使得费用最小或利润最大．优化模型的一般形式为:min(或max) z=f(x)(4)s.t.g(x)≤0.(i=1,2,Λ,m)(5)(x=(x1,x2,Λ，xn).T)由（4）、（5）组成的模型属于约束优化．若只有（4）式就是无约束优化．f(x)称为目标函数，g(x)≤0称为约束条件．在优化模型中，如果目标函数f(x)和约束条件中的g(x)都是线性函数，则该模型称为线性规划．建立实际问题线性规划模型的步骤如下：（1）设置要求解的决策变量．决策变量选取得当，不仅能顺利地建立模型而且能方便地求解，否则很可能事倍功半．（2）找出所有的限制，即约束条件，并用决策变量的线性方程或线性不等式来表示．当限制条件多，背景比较复杂时，可以采用图示或表格形式列出所有的已知数据和信息，从而避免“遗漏”或“重复”所造成的错误．（3）明确目标要求，并用决策变量的线性函数来表示，标出对函数是取极大还是取极小的要求．需要特别说明的是，要使用线性规划方法来处理一个实际问题，必须具备下面的条件：（1）优化条件：问题的目标有极大化或极小化的要求,而且能用决策变量的线性函数来表示．（2）选择条件：有多种可供选择的可行方案，以便从中选取最优方案．（3）限制条件：达到目标的条件是有一定限制的（比如，资源的供应量有限度等），而且这些限制可以用决策变量的线性等式或线性不等式表示出来．此外，描述问题的决策变量相互之间应有一定的联系，才有可能建立数学关系，这一点自然是不言而喻的．线性规划模型的求解可用图解法或单纯形法．随着计算机的普及和大量数学软件的出现，可以利用现成的软件MATLAB或LINGO等求解，在此不再叙述．2.2 线性规划建模应用实例例2.1（2006年高教社杯全国大学生数学建模竞赛B题）艾滋病疗法的评价及疗效的预测.题目给出了美国某艾滋病医疗试验机构公布的两组数据，数据涉及到了病人CD4和HIV的浓度含量的测试结果.根据所给的资料需要参赛者完成以下问题：（1）利用附件1的数据，预测继续治疗的效果，或者确定最佳治疗终止时间；（2）利用附件2的数据，评价4种疗法的优劣（仅以CD4为标准），并对较优的疗法预测继续治疗的效果，或者确定最佳治疗终止时间；（3）如果病人需要考虑4种疗法的费用，对评价和预测有什么影响.问题求解过程分析由于题目具有开放性，故选择文献[3]中的求解思路进行分析.首先对题目所给数据进行分析,考虑到治疗的效果与患者的年龄有关，将患者按年龄分组，如14~25岁,25~35岁,35~45岁及45岁以上4组．每组中按照4种疗法和4个治疗阶段（如0~10周，10~20周，20~30周，30~40周），构造16个决策单元．取4种药品量为输入，治疗各个阶段末患者的CD4值与开始治疗时CD4值的比值为输出.然后建立相应的数学模型,利用相对有效性评价方法，建立分式规划模型并经过变换，转化为线性规划模型求解，对各年龄组患者在各阶段的治疗效率进行评价．计算结果：对第1年龄组疗法2和4在整个治疗中效率较高，在第4阶段仍然有效；对第2年龄组疗法1在第1，2阶段有效；对第3年龄组疗法1，2，3在第1阶段有效；对第4年龄组疗法1，2在第1，2阶段有效．表明只有14~25岁的年4种轻患者，才能在治疗的最后阶段仍然有有效的疗法．随后，由线性规划模型的对偶形式建立预测模型，对各年龄组各种疗法下一阶段的疗效进行预测．若由某决策单元得到的实际输出大于预测输出，则该决策单元相对有效；反之，说明该种疗法对该组患者在治疗的未来阶段不再有效，应该转换疗法．统计学建模方法在数学建模竞赛中，常常会涉及到大量的数据，因此，我们就需要用统计学建模方法对这些数据进行处理．此类方法主要包括统计分析、计算机模拟、回归分析、聚类分析、数据分类、判别分析、主成分分析、因子分析、残差分析、典型相关分析、时间序列等．如2004年A题“奥运会临时超市网点设计问题”，2004年B题“电力市场的输电阻塞管理问题”，2007年A题“人口增长预测问题”，2008年B题“大学学费问题”，2012年A题“葡萄酒的评价”等都用到了这种建模方法．在此选取其中两类方法进行阐述．3.1 聚类分析3.1.1 聚类分析的原理和方法该方法说的通俗一点就是，将n个样本，通过适当的方法选取m 聚类中心，通过研究各样本和各个聚类中心的距离，选择适当的聚类标准，通常利用最小距离法来聚类，从而可以得到聚类．结果利用sas 软件或者spss 软件来做聚类分析，就可以得到相应的动态聚类图．这种模型的的特点是直观，容易理解．聚类分析的类型可分为：Q型聚类（即对样本聚类）和R型聚类（即对变量聚类）．通常聚类中有相似系数法和距离法两种衡量标准.聚类方法种类多样，有可变类平均法、中间距离法、最长距离法、利差平均和法等.在应用时要注意,在样本量比较大时，要得到聚类结果就显得不是很容易,这时需要根据背景知识和相关的其他方法辅助处理．主要的方法步骤大致如下：（1）首先把每个样本自成一类；（2）选取适当的衡量标准，得到衡量矩阵；（3）重新计算类间距离，得到衡量矩阵；（4）重复第2步，直到只剩下一个类.3.1.2聚类分析应用实例例3.1（2012年高教社杯全国大学生数学建模竞赛A题）葡萄酒的评价.题目的附件中给出了某一年份一些葡萄酒的评价结果，和该年份这些葡萄酒的和酿酒葡萄的成分数据.要求参赛者建立数学模型解决以下问题：（1）分析附件1中两组评酒员的评价结果有无显著性差异，哪一组结果更可信；（2）根据酿酒葡萄的理化指标和葡萄酒的质量对这些酿酒葡萄进行分级；（3）分析酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标之间的联系；（4）分析酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标对葡萄酒质量的影响，并论证能否用葡萄和葡萄酒的理化指标来评价葡萄酒的质量.问题求解过程分析由于题目具有开放性，故选择文献[4]中的求解思路分析.由于给定了酿酒葡萄的理化指标，首先可将附录2和附录3中的一些数据进行处理.并可以据此对各种酿酒葡萄进行聚类分析，但是，由于题目中所给的数据庞大，所以可通过主成分分析法，简化并提取大部分有效信息，再用聚类分析对酿酒葡萄进行分级．最后根据酿酒葡萄对应葡萄酒质量的平均值大小进行比较，排序分级．接下来针对问题中分析酿酒葡萄与葡萄酒理化指标之间的联系，及上面整理好的数据，采用回归分析原理，在SPSS中得到酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标之间的联系．再通过相关分析，得出相应的相关系数，从而得到相应的判断结论．在分析酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标之间的联系时，还用到了多元线性回归分析．该模型用于生活实践中，也可以解决很多实际问题．3.2 回归分析回归分析是利用数据统计原理，对大量数据进行数学处理，并确定因变量与某些自变量的相关关系，建立一个相关性较好的回归方程，并加以外推，用于预测今后的因变量的变化的分析方法．3.2.1回归分析的原理与方法回归分析是在一组数据的基础上研究这样几个问题：建立因变量与自变量之间的回归模型；对回归模型的可信度进行检验；判断每个自变量对因变量的影响是否显著；判断回归模型是否适合这组数据；利用回归模型对进行预报或控制．回归分析主要包括一元线性回归、多元线性回归、非线性回归．回归分析的主要步骤为：（1）根据自变量和因变量的关系，建立回归方程．（2）解出回归系数．（3）对其进行相关性检验，确定相关系数．（4）当符合相关性要求后，便可与具体条件结合，确定预测值的置信区间.需要注意的是，要尽可能定性判断自变量的可能种类和个数，并定性判断回归方程的可能类型．另外，最好应用高质量的统计数据，再运用数学工具和相关软件定量定性判断．3.2.2 回归分析应用实例例3.2（2006年高教社杯全国大学生数学建模竞赛B题）艾滋病疗法的评价及疗效的预测.题目同例2.1．问题求解过程分析由于题目具有开放性，故选择文献[3]中的求解思路进行分析.问题2的解决就用到回归模型.首先分析数据知，应建立时间的一次与二次函数模型，并经过统计分析比较，确定哪种较好．所以可建立一个统一的回归模型，也可对每种疗法分别建立一个模型．以总体回归模型为例，分别用一次与二次时间函数模型进行比较，可知疗法1~3用一次模型较优，且一次项系数为负，即CD4在减少，从数值看疗法3优于疗法2和1；疗法4用二次模型较优，即CD4先增后减，在t 20左右达到最大．可以通过4条回归曲线进行比较，显示疗法4在30周之前明显优于其它．最后再用检验法作比较，结果是疗法1与2无显著性差异，而疗法1与3，2与3，3与4均有显著性差异．图论建模方法图论建模方法在建模竞赛中也经常涉及，应用十分广泛，并且解法巧妙，方法灵活多变．如1990年B题“扫雪问题”，1991年B题“寻找最优Steiner树”，1992年B题“紧急修复系统的研制”，1993年B题“足球队排名”，1994年A题“逢山开路问题”，1994年B题“锁具装箱问题”，1995年B题“天车与冶炼炉的作业调度”，1997年B题“截断切割的最优排列”，1998年B题“灾情巡视最佳路线”，1999年B题“钻井布局”，2007年B题“城市公交线路选择问题”等都应用到了图论的方法．图论近几年来发展十分迅速，在物理、化学、生物学、地理学、计算机科学、信息论、控制论、社会科学、军事科学以及计算机管理。
鹰眼技术在排球竞赛中的运用研究
鹰眼技术在排球竞赛中的运用研究引言鹰眼系统是一种先进的视觉监测系统，它通过高清摄像头和强大的计算机算法，实现对目标的高精度识别和跟踪。
它能够在复杂环境中实时监测目标，准确识别物体的细微变化，从而提供详尽的数据分析。
这一强大的技术也被应用到排球竞赛中，它可以帮助裁判员更准确地判断比赛中的动作和情况。
这些设备可以通过高清摄像头捕捉运动员的动作和位置，并将数据传输到裁判员手中的显示器上。
且裁判员在收到鹰眼数据后，会根据数据进行分析，以确定运动员是否犯规或者是否得分。
由此可见，与传统的裁判员判断相比，鹰眼技术具有更高的准确性和客观性。
它不受裁判员个人经验和情绪的影响，能够更加公正地判断比赛情况，减少了误判的可能性。
1、鹰眼技术的发展及特点鹰眼系统的诞生源于对传统安防系统的反思和突破。
传统安防系统在面对复杂环境和大规模数据时，往往显得力不从心。
而鹰眼系统则以其强大的视觉识别能力和大数据分析能力，成功解决了这一难题。
随着人工智能和大数据技术的飞速发展，以及相关政策的出台，鹰眼系统逐渐崭露头角。
如今，鹰眼系统已经广泛应用于交通、金融、教育、体育竞赛等领域，为各行各业带来了巨大的便利。
鹰眼系统通常由多个高清摄像头组成，每个摄像头负责监控不同的角度和范围。
这些摄像头的高度通常在几米到十几米之间，这样可以提供广阔的视野，能够覆盖较大的目标区域。
鹰眼系统的外观设计通常比较简洁，线条流畅，颜色通常是黑色或灰色，与周围环境融为一体，不易被发现。
同时，鹰眼系统还配备了夜视功能，可以在黑暗环境中进行监控，提高了监控的时效性。
且鹰眼系统采用了人工智能技术和机器学习算法，通过高清摄像头捕捉到图像，进行实时分析和处理。
系统通过识别目标的特征和行为，判断目标是否异常，并对其进行跟踪。
鹰眼系统还采用了人脸识别技术，可以对监控区域内的特定人员进行实时追踪，提高了监控的精准度和效率。
此外，鹰眼系统还可以通过与其他安全系统的联动，实现信息的共享和协同作战，提高了安全防护的整体效果。
数学建模提取特征方法
数学建模提取特征方法我之前搞数学建模提取特征方法的时候，那真叫一个头疼啊。
说实话，我一开始也是瞎摸索。
咱先说说主成分分析这个方法吧。
我试过用主成分分析来提取特征，结果呢，刚开始就犯了大错。
我没有把数据标准化就直接做了，那得出的结果简直乱七八糟。
就好比你要比较不同大小的苹果，不先把它们放在一样的标准下比，得出的结论肯定不靠谱。
后来我才知道，数据标准化是主成分分析很重要的一步，这一步就像给每个参赛选手在比赛前量身高体重，得有个统一的标准才行。
还有聚类分析这个方法我也试了。
我想按照数值把数据分几个堆儿，看看每个堆儿的特征。
可我在选择距离度量方式的时候，纠结了好久。
欧式距离、曼哈顿距离这些度量方式我都试过。
有时候用欧式距离分类出来的结果看起来很合理，可换个数据又不行了。
我后来发现啊，这得根据数据的分布和实际的意义去选择。
如果你的数据像是在规整的空间里分布，欧式距离可能还行；要是数据像是在网格里走，曼哈顿距离可能更合适，就好比一个是开车直线走，一个是必须沿着街道走的那种感觉。
我也试过决策树。
这决策树啊，就像个树杈一样，一步一步分叉。
但构建这决策树的时候我又懵了。
我先是没搞清楚怎么选特征分裂节点。
我想当然地按照某个特征一下子就分，后来发现分错地儿了。
原来是得综合考虑每个特征对分类的影响大小。
怎么确定这个影响大小呢？信息熵、基尼系数这些概念就很有用。
可以把信息熵看成是信息里的不确定性，如果分出一个节点能让这个不确定性降得最快，那这个节点就是个比较好的特征分裂点，就像在岔路口，你得选那个让你最快到达目的地的路一样。
另外我还想说，在尝试这些方法的时候，数据预处理真的很关键。
很多时候，数据里面有些噪声或者异常值。
像我之前没处理这些，就像在一锅好粥里混进了几颗老鼠屎，结果就很不理想。
处理异常值有好多种方法，可以是直接去掉那些特别离谱的数据，也像除草一样把坏东西连根拔掉；也可以用一些平滑的方法，像是给那些值做个小修补。
高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 CT系统参数标定及成像
2018西交数模第一次模拟赛之蔡仲巾千创作数学建模论文首页选题 A步队编号6962018年 6月30 日摘要本题针对一种二维CT获取样品内部结构信息的工作方式及成像原理,意在通过借助已知结构样品进行参数标定,消除系统误差,而后对未知结构的样品进行成像,得出该未知介质的相关信息.问题一中,要求通过标定模板的相关,确定CT系统的旋转中心、探测器单位之间的距离以及该CT系统使用的X射线的180个方向.本文利用标定模板几何参数,通过条数、以及探测器单位间距相等等信息,首先计算出探测器单位之间的距离为0.2778mm.根据X射线与标定模板的几何特性,以椭圆短轴所在直线为x轴,长轴所在直线为y轴建立直角坐标系,得旋转中心在所建立的坐标系中的坐标为.最后通过近似确定X射线180个方向的旋转角度具有高度线性相关性,根据部份确定命据拟合出整体旋转角度.前十五组旋转角度为：问题二中,要求通过已求得的标定参数,确定未知介质在正方形托盘中的位置、几何形状和吸收率等信息,并具体给出所要求十个位置的吸收率.本文依据CT层析成像原理,利用逆拉东变换作出重构图像,并利用Excel中数据分布计算出原位置介质的相关性质.所求十个位置的吸收率为：序号12345吸收率序号678910吸收率序号12345吸收率序号678910吸收率问题四中,要求对问题一中的标定模型进行改进以减小误差并增加稳定性,本文利用在问题一求解过程中遇到的问题进行思考,首先适当增年夜模板减小偶然误差,其次做出投射图像后应容易找到极值,而且图像应有一定的对称性；图像扫描后应尽量少地得出重复数据.关键词：CT层析成像 Radon变换与逆变换吸收率 MATLAB算法应用ng yongPAGE2﷽﷽﷽﷽﷽﷽﷽﷽﷽﷽﷽﷽﷽﷽﷽﷽﷽﷽﷽﷽构造ient in parabolic problems[J]. PAGE2PAGE2PAGE2PAGE2PAGE2PAGE2PAGE2PAGE2PAGE2PAGE2PAGE2PAGE2PAGE2PAGE2PAGE 2PAGE2PAGE2PAGE2PAGE2PAGE2PAGE2PAGE2PAGE2PAGE2PAGE2PAGE2PAGE2PAGE2PAGE2PAG E2PAGE2PAGE2PAGE2PAGE2PAGE2PAGE2PAGE2PAGE2PAGE2PAGE2PAGE2PAGE2PAGE2PAGE2PA GE2PAGE2PAGE2PAGE2PAGE2PAGE2PAGE2PAGE2PAGE2PAGE2PAGE2PAGE2PAGE2PAGE2PAGE2P AGE2PAGE2PAGE2PAGE2PAGE2PAGE2CT(Computed Tomography)可以在不破坏样品的情况下,利用样品对射线能量的吸收特性对生物组织和工程资料的样品进行断层成像,由此获取样品内部的结构信息.本题介绍了一种二维CT系统,平行入射的X射线垂直于探测器平面,每个探测器单位看成一个接收点,且等距排列.X射线的发射器和探测器相对位置固定不变,整个发射-接收系统绕某固定的旋转中心逆时针旋转180次.对每一个X射线方向,在具有512个等距单位的探测器上丈量经位置固定不动的二维待检测介质吸收衰减后的射线能量,并经过增益等处置后获得180组接收信息.而且,为消除装置误差,需要对装置好的CT系统进行参数标定,即借助于已知结构的样品（称为模板）标定CT系统的参数,并据此对未知结构的样品进行成像.题目附件中提供了标定模板的几何信息,接受信息,待测介质的接收信息以及图3所给位置的相应数据.在正方形托盘上放置两个均匀固体介质组成的标定模板,模板的几何信息如图2所示,请根据这一模板及其接收信息,确定CT系统旋转中心在正方形托盘中的位置、探测器单位之间的距离以及该CT系统使用的X射线的180个方向.附件3是利用上述CT系统获得的某未知介质的接收信息.利用第一问中获得的标定参数,确定该未知介质在正方形托盘中的位置、几何形状和吸收率等信息.另外,请具体给出图3所给的10个位置处的吸收率.利用给出上述CT系统获得的另一个未知介质的接收信息.利用第一问中获得的标定参数,给出该未知介质的相关信息.另外,请具体给出图3所给的10个位置处的吸收率.分析第一问中参数标定的精度和稳定性.在此基础上自行设计新模板、建立对应的标定模型,以改进标定精度和稳定性,并说明理由.图1.CT系统示意图图2.模板示意图（单位：mm）图3. 10个位置示意图结合图2和附件1表中数据,可以首先计算出CT系统探测器个数和模板长度怀抱的比值,运用法式1.1可以得出模板的几何形状如图2.1.1,可年夜致认为它是对称的.对附件2 ,由于对180个方向尚无清晰地认识,首先用同样的方式做出数据分布图2.1.2,观察到图像比力平滑,因此认为按表格的顺序180个方向是相邻较密、不错位的.（图中有色区域暗示该点有吸收率,蓝色部份暗示吸收率年夜于100）图2.1.1 附件1的数据分布图图2.1.2 附件2的数据分布图在图2.1.2中易观查到有一红色条形图案,这是在分歧的方向扫描到圆形时留下的,可以此为突破口首先求出探测器单位之间的距离.求出探测器单位之间的距离与增益比率之后,可以根据几何关系,自己设立坐标系并通过数学运算计算出旋转中心.最后在建立的坐标系内,将待求解的180个旋转方向转换成X射线的斜率进行数学运算.题目给出了未知介质的接收信息,要求出介质的相关信息,可以搜索相应的数学模型,将附件中给出的依照射线条数与旋转角度列成的表格,一一对应为相应坐标点的吸收情况,从而根据各坐标点的分歧性质,还原回该未知介质的几何信息与吸收率等信息.问题三与问题二类似,可以年夜致看出数据分布更具有一般性,不容易描述出未知介质的相关信息,可以通过图形年夜致描绘出介质相关信息.问题四要求分析题目所给的二维CT系统,设计新的标定模板以提高原系统的精确度与稳定性.可以搜索相关资料,根据第一问的求解思路与求解过程,以规避求解过程中因标定模板自身性质而呈现的误差为原则进行思路拓展,以设计高精度与稳定性的标定模板.◆假设在射线经过介质时能量只损失在介质中,及不考虑衍射等现象；◆假设附件中所给出数据是正确的、可以直接利用的；◆假设旋转中心在相邻两条射线的中间直线上；4.1 问题一模型的建立与求解从题目中可以得出,由于x射线之间得间距相等,不论x射线怎么旋转,穿过托盘上圆的x 射线条数应该是年夜致相等的.可将穿过圆形标定模板的X射线与模板建立模型示意图如下：和.求解旋转中心时,以椭圆形标定模板短轴所在直线为X轴,长轴所在直线为Y轴建立直角坐标系,将托盘进行划分.由附件二的数据分布图的分歧毛病称性可知,旋转中心应在对称轴某一侧,年夜致确定旋转中心方位后,根据旋转中心两侧探测器个数不变且同一探测器接收的与距旋转中心的距离不变具体确定旋转中心的位置.求解X射线旋转角度时,设穿过椭圆的最边缘的射线到椭圆中心的距离为R,取椭圆中心为原点,模板的对称中心为x轴建立平面直角坐标系,X射线所在直线的斜率为k.4.1.2 符号说明d 相邻探测器之间的距离N 对应于圆形模板的射线条数或探测器个数μ标定模板的吸收率λ处置数据时的增益率φ圆形模板的直径求探测器单位间距离：通过MATLAB 编程求出计算出的条形带平均涉及探测器个数为,沿直径方向上的平均吸收率；由图二圆形模板直径,计算出探测器之间的平均距离：探测系统平均增益率：求旋转中心：分析图2.1.2可知,由于蓝色区域仅分布在后部份角度范围内,因此估计旋转中心的位置在对称轴的某一侧,红色区域分为两部份时暗示该角度下由两部份射线分别照射经过椭圆形和圆形；为了讨论方便,现对正方形托盘做出如下划分：图4.1.3.1 圆盘划分简单分析可知,如果旋转点在I区域,则沿180个方向照射后不会呈现射线分成两部份的情况；在II或III或IV区域,当吸收率呈现最年夜值的时候射线也被分成两部份,而不是像图1.2那样成为一部份,也排除；综合各因素可判断旋转中心应该在V区域.因为发射-接收系统逆时针旋转,且图2.1.2中两部份红色区域,间距缩小,说明旋转之后在垂直于发射-接收方向上二者的距离是缩短的,从而确定旋转中心在短轴的上半侧,先运用Excel对附件二第1列数据作图（即画出第一个方向上的扫描图像）如图4.1.3.2,发现此时获得两部份图像,说明两模板之间有一部份射线直接被探测器接收,直到第14列数据两部份图像结合在了一起,如图4.1.3.3.结合托盘的几何特征,在垂直于对称轴方向上应该会呈现最年夜的吸收率,利用MATLAB 求得呈现最年夜吸收率的方向为第151个方向,在此方向结合增益率得出的模板长度为进一步验证了结果；平行于对称轴方向上最年夜的吸收率呈现在沿对称轴的直线上,计算得出为第61个方向,此方向的模板长度,也验证了结果.根据极近似水平方向为第61方向、最年夜吸收率呈现在235号探测器,极近似竖直方向为151方向、最年夜吸收率呈现在223号探测器,设旋转中心到竖直轴、水平轴的距离分别为x,y.为求解还需要另一个方向的等量关系,选取椭圆和圆的一条外公切线的方向,经计算得出经椭圆与圆公切线所在直线的X射线为第372号射线.则在所建立坐标系内,切线方程为：进而列出二元方程组：解之得:因此旋转中心在所建立的坐标系中的坐标为.求180个旋转方向：由于x射线的发生装置是连续旋转的,所以在512条射线中穿过模板的射线条数应该是连续变动的,所以用MATLAB编写法式,计算每次旋穿过模板的x射线条数,并画出图像如图4.1.3.4.图4.1.3.4 穿过模板射线条数随旋转次数变动曲线图中横坐标为旋转次数,纵坐标为穿过模板的射线条数.从图中可以看出附表2中的数据是依照射线发射装置旋转的顺序依次给出的,而且可以看出,180次旋转后装置共旋转了180度,每次旋转的角度近乎相等.考虑到在前50次旋转中,穿过整个装置的x射线条数与穿过椭圆的条数相等.设穿过椭圆的最边缘的射线到椭圆中心的距离为R,取椭圆中心为原点,模板的对称中心为x轴建立平面直角坐标系,由于射线可以近似看成与椭圆和圆都相切,可以获得以下方程组：化简以上方程组可得：图4.1.3.5 前50次旋转角度变动曲线用同样方式得出最后面25组数据的图像为：从图像中可以看出每次旋转角度近似为1度.为了更加精确地计算旋转角度以便据此获得估算其他角度地依据,本文设计了另外一种算法.从附表二中可以看出,前15组数据中穿过椭圆的射线与穿过圆的射线没有交叉,所以数据中换算出来的最年夜吸收距离就是近似穿过椭圆中心的射线被椭圆所截的距离,弦长公式为：且这个距离由直线的斜率k唯一确定,已知k、m时可解得：所以用MATLAB编程计算得出了较为精确的前15次旋转角度的结果如下：可以看出,这些结果的线性相关性非常好,据此利用Excel进行拟合,获得如下图表：图4.1.3.7 旋转角度与旋转次数拟合公式从图表中可以得出拟合公式为：根据拟合公式利用MATLAB编写法式计算得出所有方向角度.4.2 问题二模型的建立与求解通过分析问题与附件数据可以发现,题目所给数据与介质相关性质的二维分布具有对应关系,X射线将介质一条线上的性质投影为一点.据此,本文利用radon变换与radon逆变换进行运算,以通过投影后的讯号重建原始未知介质相关性质的二维分布.该变换的界说为：令密度函数f(X)=f(x,y)是一个的界说域为的紧致台(compact support).令R为radon变换的运算子,则Rf(x,y)是一个界说在空间中的直线L.其基本思想为：radon变换可以理解为图像在空间的投影,空间的每一点对应一条直线,而radon变换是图像像素点在每一条直线上的积分.因此,图像中高灰度值的直线会在空间形成亮点,而低灰度值的线段在空间形成暗点.对直线的检测转化为在变换区域对亮点、暗点的检测.Radon变换是一幅图像在一个特定的角度下的径向线方向的投影,一幅图像的radon变换是每一个像素radon变换的集合.对MATLAB中语句R = radon(I, theta),如果theta是一个标量,R则是一个包括在theta的列向量.如果theta是一个向量,R则是一个矩阵,矩阵的每一列是对应其中一个theta的radon变换.而radon变换的逆运算,就可以将CT系统对每一直线上的X射线吸收率数据还原回未知介质的物理性质.radon反变换的公式是：该反变换把持比力简单, 思路清晰,可以借助数学运算软件计算.在MATLAB上将附件2和附件3的数据导入,利用radon逆变换将附件中数据重建未知介质信息,获得图像如图4.2.2.1.图4.2.2.1 radon逆变换重建介质图像（1）为使逆拉东变换后获得的图像与原图像年夜小相等,在逆radon变换公式中取362条射线,每两条射线相距0.2770,所以获得的图形长宽也为100,由第一问求解得知,X射线从约29度位置开始旋转,为消除重建模型与真实模型的旋转角度不同,将从29度逆radon变换获得Excel表格可得变换后图像坐的数据导入竖直标水平方向平移了,,方向平移了所以将原图中的坐标按上述数值平移就获得了变换后的坐标.从模板的逆radon变换发生的矩阵中可以发现,模板中所有点对应的灰度都近似为0.5,又由于模板的吸收率为1,所以相比较例近似为2.据此利用MATLAB编程可以算出图中对应十个点的吸收率如下表所示：表4.2.2.1 所求十点的吸收率（1）序号12345吸收率序号678910吸收率然后根据逆radon变换的结果,将得的数据导入Excel表格,在分歧范围内的数值填充成份歧颜色对分歧吸收率的部份进行色块填充,获得结果如图4.2.2.2所示.再利用Excel表格中寻找各椭圆定点的坐标,由于拉东变换中x射线之间的距离都是0.2770,所以表格中两组数据在实际物体上的距离也是0.2770.由得知表格取362组数据时,总长度与原图基秘闻同,此时可以长度为基础,计算坐标变换公式.根据前文坐标变换的逆变换,用MATLAB编写法式运算各色块（由运算可得各色块均为椭圆形）的坐标及长短轴相应数据.将问题二中数据进行radon逆变换后的图像最低点在Excel行数和列数,将行数和列数乘以倍率0.2770即距离图像鸿沟的距离,由于第一个图距离两鸿沟的距离已知,可以获得平移的方向和距离,具体结果如表4.2.2.2所示.图4.2.2.2 分歧区域吸收率关系图（1）以每个椭圆中心的吸收率代表整个椭圆的吸收率则A,B,C,D,E,F的吸收率分别为：0、1.1870、1.2914、0、0.9877、1.0632.椭圆编号A B C D E F x0y0half1half2吸收率00其中X0、y0、half1、half2分别暗示椭圆中心横纵坐标和两个半轴.数据均以左下角的点为坐标原点建立坐标系求得.4.3 问题三模型的建立与求解与第二问类似,仍利用radon变换的思想建立模型,将空间每一条射线所投影的点还原回一条直线,将数据合并后重建未知介质的几何性质与吸收率.将附件5的数据导入MATLAB,利用radon逆变换将附件中数据重建未知介质信息,获得图像如图4.3.2.1.图4.3.2.1 radon逆变换重建介质图像（2）其中图三图四显示完全,图二图四经角度修正后得出.为具体算出所要求十个点的吸收率,将数据带入MATLAB中运算后结果如下表所示：表4.3.2.1 所求十点的吸收率（2）序号12345吸收率序号678910吸收率根据radon逆变换的结果,将得的数据导入Excel表格,在分歧范围内的数值填充成份歧颜色对分歧吸收率的部份进行色块填充,获得结果如图4.3.2.2所示.图4.3.2.2 分歧区域吸收率关系图（2）其中无色处吸收率为0,黄色吸收率为0到2,红色为2到4,浅蓝色为4到6,绿色为6到8,紫色为8到9.从表格中年夜致取出图案中心,调用法式获得图案中心在（51.2450,47.9210）(若以椭圆中心为原点,则图案中心在（1.2450,-2.0790）)附近.4.4 问题四的分析与求解：为了便于求相邻探测器之间的距离,考虑最好仍选择圆形模板,可是要适当增年夜圆形模板的半径,从而减小偶然误差；为了利用180次旋转获得的投射图像求出旋转中心的坐标,鉴于在原来的标定模板中椭圆和圆的内公切线的选择有较年夜误差,新的模板中应尽量使得切线容易取得,且做出投射图像后容易找到极值,而且图像应有一定的对称性；图像扫描后应尽量少地得出重复数据,因此两个图像分歧应较年夜；考虑到方便地识别投射位置以确定旋转中心,应至少设置两个模板且相互隔开.基于以上分析,设计出如下新模板：图4.4.1 新设计标定模板标定方法：首先借助于圆形模板很容易求得相邻探测器间距,利用对称性,更容易求得射线水平、竖直和一条倾斜方向的位置,因此用和第1问相同的思路,此模板相对来说更能准确地确定CT系统的参数.第一问求得的单位间距,旋转中心与旋转角度与所搜集资料的实际值相差不年夜且符合现实认知,在运算旋转角度时,由于线性关系良好,可以印证旋转中心与单位间距计算误差不年夜.第二问十个位置的吸收率计算,由于是直接由题目所给数据计算得出,结果较精确,所得结果与逆radon变换所得图形相对应.在求解具体坐标与几何关系时,通过Excel表格数据直接计算得出,可能存在误差,但由具体结果运用radon变换检验后可以看出,基本符合题目所给数据.第一问中求单位间距与解旋转中心时利用了切线的特殊性质,但切线的选择纷歧定准确,因为射线宽度远小于探测器宽度且所用射线纷歧定恰好为标定模板切线位置.从题目中可以得出,由于x射线之间得间距相等,不论x射线怎么旋转,穿过托盘上圆的x射线条数应该是年夜致相等的.根据附件二可以发现,前13组穿过圆的x射线条数都是29条,由此可以粗略的计算出x射线之间的距离为.可是这种做法其实不精确,因为在29条射线中最两边的x射线其实不是与圆相切的,为尽量减小误差,本文利用图4.1.1.1进行误差检验,则如下方程成立：设模板的吸收率为p,第n个数据为,上述方程可以转化为：即利用MATLAB编程带入多组数据求其平均值可得,进而求得.从这里可以看出在圆两边的射线不论是否与圆完全相切,对结果的影响不是很年夜,所以该建模方式可以使用.简单地说第2,3问根据逆radon矩阵求出坐标值存在一定的偶然误差,计算量年夜.而且本文的模型没有考虑到噪声等其他因素的影响,因此输出图像模糊有光晕.为了获得清晰的图像,可以进行频域滤波.首先二维傅里叶变换对为：引入傅里叶切片定理,其中ω是频率分量：这说明一个投影的一维傅里叶变换,是二维投影矩阵的二维傅里叶变换的一个切片,执行换元把持后,引入窗函数计算积分计算式并滤波,从而获得一个相对较好的结果.参考文献：工业CT技术刘丰林工业CT系统旋转中心定位方法研究刘明进附录%法式1.1 作附件1的数据分布图axis equalfor i=1:256for j=1:256if(A(i,j)>0)plot(j,257-i,'r*')hold onendendend%法式1.2 作附件2的数据分布图for i=1:512for j=1:180if(AS(i,j)>0)if(AS(i,j)>100)plot(j,513-i,'b*-')hold onelseplot(j,513,'r*-')hold onendendendendhold off%法式1.3 计算探测系统的增益率及探测器的平均距离ticd=ones(86,1);%统计圆模板对应探测器的平均个数m=zeros(86,1);%统计圆模板对应探测器的最年夜吸收率平均值for i=1:14k=0;x=0;for j=374:430if(AS(j,i)>0)k=k+1;endif(AS(j,i)>x)x=AS(j,i);endendd(i)=k;m(i)=x;endfor i=109:180k=0;x=0;for j=45:110if(AS(j,i)>0)k=k+1;endif(AS(j,i)>x)x=AS(j,i);endendd(i-94)=k;m(i-94)=x;enda=mean(d)b=mean(m)toc%法式1.4 求出竖直射线近似方向d=zeros(180,1);k=0for j=1:180if(k<max(AS(:,j)))d(j)=max(AS(:,j));endenddfor i=1:180if(k<d(i))k=d(i)iendend%法式1.5 推出水平射线近似方向d=zeros(180,1);u=1.7721;for j=14:109d(j)=max(AS(:,j));d(j)jend%法式1.6根据你和公式用matlab编写法式：th=zeros(1,180);for i=1:1:180th(i)=0.9938*i+28.718;endth计算得出所有的方向为：1 至 15 列16 至 30 列31 至 45 列46 至 60 列61 至 75 列76 至 90 列91 至 105 列106 至 120 列121 至 135 列136 至 150 列151 至 165 列166 至 180 列%法式2.1 画出未知介质1的几何形状I1=iradon(AX,0:179);I2=iradon(AX,0:179,'linear','Hann');I3=iradon(AX,0:179,'nearest','Ram-Lak');I4=iradon(AX,0:179,'spline','Cosine');I5=iradon(AX,0:179,'pchip','Hamming');subplot(2,3,1),imshow(AX),title('附件3'); subplot(2,3,2),imshow(I1),title('odinary'); subplot(2,3,3),imshow(I2),title('linear.Hann'); subplot(2,3,4),imshow(I3),title('nearest.Ram-Lak'); subplot(2,3,5),imshow(I4),title('spline.Cosine'); subplot(2,3,6),imshow(I5),title('pchip.Hamming');x0=[10,34.5,43.5,45,48.5,50,56,65.5,79.5,98.5];y0=[18,25,33,75.5,55.5,75.5,76.5,37,18,43.5];x=round(x0/0.2770)+31;y=384-round(y0/0.2770);for i=1:1:10if x(i)>361x(i)=361;endendfor i=1:1:10if y(i)>361y(i)=361;endendresult=zeros(1,10);for i=1:1:10result(i)=2*S2(y(i),x(i));endresultaa=iradon(AS4,0:179);subplot(2,2,1);imshow(aa)subplot(2,2,2);aa=iradon(AS4,29:208);imshow(aa)xlswrite('D:\endexcel.xlsx',aa,'Sheet4');aa=iradon(AS4,0:179,512);subplot(2,2,3);imshow(aa)subplot(2,2,4);aa=iradon(AS4,29:208,512);imshow(aa)x0=[10,34.5,43.5,45,48.5,50,56,65.5,79.5,98.5]; y0=[18,25,33,75.5,55.5,75.5,76.5,37,18,43.5]; x=round(x0/0.2770)+31;y=384-round(y0/0.2770);for i=1:1:10if x(i)>361x(i)=361;endendfor i=1:1:10if y(i)>361y(i)=361;endendresult=zeros(1,10);for i=1:1:10result(i)=2*S3(y(i),x(i));endresult。
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鹰眼系统”建模数学建模作业：学院： 学号： 姓名：机电学院 0811350124 尹昊管理学院 0811470121 高婧管理学院 0811470120 段文天管理学院 0811470310 门一伟问题重述：网球运动风靡全球，是一项传统的高雅运动，集竞技性、观尝性于一体。
在竞技的过程中，除主裁外，需要多名司线员对接近边球进行落点裁决。
既便如此，由于网球在空中运行速度很快，在落地后，经常会有选手对其落在线内还是线外产生争议。
“鹰眼”被称为即时回放系统，利用高速摄像头从不同角度同时捕捉网球飞行轨迹的基本数据；再将这些数据生成三维图像；最后利用即时成像技术，清晰地呈现出网球的运动路线及落点。
“鹰眼”技术是对裁判判罚精确性的得力辅助工具，通过它可以有效地杜绝一些争议的产生。
“鹰眼”显示的落点是一个阴影，它不是拍出来的，而是由飞行数据精确计算出来。
问题一：我们假定通过“鹰眼”系统已经能获得网球飞行中某点处的三维坐标、速度、速度方向，请建立模型，计算出网球的落点图象。
问题二：以底线中点为坐标原点，x轴平行于底线方向，y轴平行于边线方向，z 轴竖直向上，建立三维坐标系，单位长度为米。
若网球在点（0,0,1）处获得（2,16,1）方向的15.75米/秒的速度，试判断网球的落点。
问题三：由于运动中的网球常带有旋转，由伯努利原理，运行轨迹呈一定方向的偏转。
若任务二中球还经过点（0.2215，1.5517，1.0485），试判断网球的落点。
问题分析：网球运动处于三维立体空间中，必须要建立坐标系以求满足网球运动条件的方程。
网球离开球拍就开始在空气中坐斜抛运动，在运动的过程中存在重力、空气阻力的影响，如果考虑球的旋转，还要考虑流动力学。
对于问题一和问题二，建立如下三维坐标系：以底线中点为坐标原点，x轴平行于底线方向，y轴平行于边线方向，z轴竖直向上，单位长度为米。
根据矢量分解的方法，把重力和速度分别向x,y,z方向上分解，再根据牛顿运动定律和运动方程，列出x,y,z方向上位移与时间的关系，在通过MATLA模拟出网球在空中运动的三维图像。
问题二，已知某一点的具体坐标，可以将坐标代入问题一中的公式中，算出落点。
问题三，在我们解决问题一和问题二的基础上，我们再把空气阻力和球的旋转考虑进去，再进一步模拟真实情况，让我们的数据更具说服力。
在求解的过程中，还是将矢量分解到x,y,z方向上，利用牛顿第二定律建立位移与时间以及速度和时间的微分关系，还要运用要空气动力学和流体力学的知识。
通过计算，从而得到网球的落点坐标，进一步完善网球的落点图像。
比较重要的是涉及到了网球的旋转，因此要考虑流体力学的相关知识。
假设网球绕自身的一条直径轴逆旋，旋转时会使球体表面的空气形成一个环流，环流的方向与球的旋转方向一致。
这时，球体还在向前飞行，所以它同时又受到了空气的阻力。
环流在球体上部的方向与空气阻力相反，在球体下部的方向与空气阻力一致，所以，球体上部空气的流速慢，而下部空气的流速快．流速慢的压强大，流速快的压强小，这样就使球体得到了一个向下的力。
这个力和空气阻力的分力以及重力mg 将分别作用于x、y、z方向上，然后按照第一题的相同的解法计算出分别网球落点，并把计算结果在坐标中画出来，就会联结出一个具有一定弯曲度的弧线。
参考文献、公式及理论1． 刚性球的动力学行为建模方法。
刚性球的动力学行为首先符合一般刚体的运动规律，又有其特点，其在平面上和空气中的运动形态是多种多样的。
在分析一般刚体动力学行为建模方法的基础上，研究了刚性球在平面上和空气中的动力学行为，并建立了高尔夫球的精确动力学行为模型，重点研究了高尔夫球的射程问题，所得到的研究结果与相关资料相当吻合。
但该模型仍然需要在高尔夫球运动的实践中得到进一步的检验和改进完善。
A．H．夏皮罗p 71利用运动阻力疑难实验，定性分析了球的阻力随速度发生变化的规律，以及球的光滑程度对阻力的影响等。
而Assai等p 驯则利用实验测定了各种粗糙程度不同的球体在空气中飞行时的阻力系数，并绘制了阻力系数与雷诺数的关系曲线。
这也是本研究所使用的阻力系数与雷诺数间的关系曲线。
设地球是均匀球体，其半径为r，质量为M，并设物体的海拔高度为h，Ｇ=6．67310N·m／，得：g= ，地球的半径大约是6．3810m，质量约为5．9810kg，假设物体所处的海拔高度为0 m，将这些数值带入(3．3)式可得到海平面上重力加速度的大小为9．8。
由(3．3)式看到，重力加速度的大小与海拔高度有关，海拔越高，重力加速度越小，物体的所受到的重力越小。
不仅如此，重力加速度的大小还与地球纬度有关，表3．1列出了不同纬度附近海拔高度为0处的重力加速度大小。
，多数情况下并不需要考虑海拔高度和地球纬度对重力加速度的影响，而取重力加速度g=9．8m/或者g=9．80665 m／，更有甚者干脆就取g--lO m／，北京所在的经纬度：北纬39.55，东经116.24，所以取ｇ＝取g=9．80665 ，当流体流经物体表面时，流体会对物体产生两种力的作用。
雷诺数是流体流动中惯性力与粘性力比值的量度。
流体力学中表征粘性影响的相似准数。
为纪念O.雷诺而命名，记作Re。
Re＝ρvL／μ，ρ、μ为流体密度和动力粘度，v、L为流场的特征速度和特征长度。
对外流问题，v、L一般取远前方来流速度和物体主要尺寸(如机翼展长或圆球直径)；内流问题则取通道内平均流速和通道直径。
雷诺数表示作用于流体微团的惯性力与粘性力[1]之比。
两个几何相似流场的雷诺数相等，则对应微团的惯性力与粘性力之比相等。
雷诺数越小意味着粘性力影响越显著，越大则惯性力影响越显著。
雷诺数很小的流动（如润滑膜内的流动），其粘性影响遍及全流场。
雷诺数很大的流动（如一般飞行器绕流），其粘性影响仅在物面附近的边界层或尾迹中才是重要的。
2．流体总的阻力作用在绕流物体上的总阻力是摩擦阻力和压差阻力之和，即Ｆ，压差阻力(或形状阻力)作用于非流线形物体上，这种物体的高度大于其在流速方向上的长度，也称为钝体。
压差阻力仅仅是由压强变化形成的，常用压差阻力系数表示压差阻力的分布。
压差阻力系数的定义为 阻力/(动态压强投影面积)式中，投影面积是物体在运动方向上的投影面积。
压差阻力系数常用下式计算 （3.12）式中，励是非湍流点处的压强，p是非湍流点以外其它点的压强。
对于受表面影响的任意流线，在非湍流点和其它点之间是使用伯努利方程可以得到由此有上式表明，当时，压强为正，反之为负。
压差阻力就是作用在物体表面上的所有压力在物体运动方向上的分力的合力。
由于压差阻力主要取决于物体的形状，因此，压差阻力又称为形状阻力。
通常将压差阻力定义为阻力系数与作用在绕流物体沿流动法线方向投影面积Ａ上的动态压强的乘积，即 （３.１３）对于饨形物体，如球体，压差阻力起主要作用，则取物体在与流速垂直的面上的投影面积作为特征面积，采用(3．13)式计算压差阻力。
对这样的物体一旦分离点确定，阻力系数就不再随Re而变化，几乎是常数嗍。
一般情况下，由于阻力与绕流的动态压强成正此，因此，常用下式计算总阻力： (3．14)，式中，是流体的阻力系数，Ａ是物体在垂直于流体流速方向上的特征面积。
球体的雷诺数由下式计算：Re，式中是空气的密度，是网球在该空气中的速度，ｄ是网球的直径， 是空气的粘度系数。
雷诺数较低(Re<1)时，绕流圆球附近的流体是粘性的，流体将粘附在球的表面，这种流称为斯托克斯流，此时的流体阻力最大，主要是摩擦阻力。
此时的阻力使用斯托克斯公式计算：３ （３．１６）由（3.14）、（3.15）、（3.16）得：（3.17）随着速度的升高，雷诺数将逐渐增大。
当雷诺数大于1 时，绕流球体表面的层流边界层从分离点开始与球的表面脱离，并向前运动，从而形成环形漩涡，在分离点处的逆向压力梯度最大，之后的摩擦阻力减小．而压差阻力所占的比重增大，接近于与成正比。
当速度继续升高而使得雷诺数Re接近1000时，分离点处于一个稳定的位置，此位置为距离球的迎风面驻点约附近，继续升高速度时，雷诺数在相当大的范围内，层流比较稳定，其分离点差不多稳定在球的前半部分，而阻力系数也保持在0．4左右。
随着速度的不断升高，而使得雷诺数Re接近250000时，绕流光滑球体的阻力系数就突然降至0．2左右。
这是由于绕流球体的边界层从层流转变为湍流，而分离点也向后移动到大约115附近．由此形成尾迹变小．压差阻力下降。
基本假设：首先总体环境条件网球是在一个无风的情况下飞行，并且是在一个标准大气压下。
故还要考虑到其他合理假设：1．考虑到网球每次在飞行过程中时间较短所以整个过程中网球围绕旋转始终保持匀速逆时针旋转运动，且旋转轴方向不变。
2．由于自旋力相对较小且整个过程基本保持向下。
3．由于球的半径相对于飞行时球离地面的高度h相比很小，所以在利用伯努利方程是z可以认为是不变的。
4．同样由于球的半径相对较小，在旋转运动过程的每个瞬间，网球上（下）半个球面上的各处的流速相等。
建立模型：：网球的球半径M：网球的质量，一般为 56．7～58．47克 （题中取57克）S：网球的最大截面积V：网球在空中某一时刻的速度大小，分解到x、y、z方向上分别为，，，速度的方向（ ,，）（，, ）——网球在空中运动时初始的三维坐标——网球在空中运动时初始的速度大小，分解到x、y、z方向上分别为，，（ ,，）——网球在空中运动时初始的速度的方向——考虑网球旋转时，球在空中旋转的带动周围气体运动的速度（m ,n ,l）——网球旋转轴的方向：空气的密度：标准大气压强：空气阻力：自旋力：考虑网球自身旋转时网球上部所受大气压强：考虑网球自身旋转时网球下部所受大气压强C：空气阻力系数g：重力加速度（题中取9.8 ）t：运动时间第一题解答：任意位置处（，, ）的速度V,V在三个数轴上的分速度分别为如图（1）：，，在图中为u,在图中为v,在图中为w。
图一：（1）；（2）；； （3）；； （4）；； （5）；； （6）；由（4）式可解出 （7）；由于实际情况，此时 （8）；将（8）代入（5），（6）得（9）；（10）；问题二：根据问题一的结果我们可以得出问题二的答案，如下：对于问题二，已知球的初始位置（0,0,1），速度的方向为（2,16,1），大小为15.75m/s。
将数值代入式（1）（2）（3）（9）（10）中得到 和的值，所以网球的落点位置坐标为（1.075, 8.6002, 0）；问题三：为了减小绕流阻力，应设法避免边界层分离。
在不发生边界层分离的情况下，边界层应尽可能保持层流。
如果已发生分离，则应在发生分离处稍前设法使边界层流转变为紊流，以使分离点后移。
由于发生边界层分离的条件是沿流向压强增大和动能不足，因此，如果在压强增大处采取减压措施或使流体增加流速，均能消除边界层分离而降低阻力，这种措施称为边界层控制，这里不再介绍，可能参阅有关文献。